5TO_A_O_-_GUIA_N_6_

COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO
MENOS POR MENOS ES MÁS
Hasta fines del siglo XVIII, los números negativos no fueron
aceptados universalmente. Sin embargo los matemáticos de la
India, en el siglo VII usaban los números negativos para
indicar deudas y los representaban con un circuito sobre el
número: admitían soluciones negativas en las ecuaciones pero
no las tomaban en consideración porque decían que “la gente
no aprueba las raíces negativas”.
Gerolamo Cardano, en el siglo XVI, llamaba a los números
negativos “falso”, pero en su Ars Magna (1545) los estudió
exhaustivamente.
John Wallis (1616 – 1703), en su Arithmetica Infinitorum (1655) “demuestra” la imposibilidad de su
existencia diciendo que “esos entes tendrían que ser a la vez mayores que el infinito y menores que
cero”.
Leonardo Euler, es el primero en darles estatuto legal; en su Anleitung Zur Álgebra (1770) trata de
“demostrar” que (-1) (-1) ) = +1; argumenta que el producto tiene que ser +1 ó -1 y que, sabiendo que se
cumple (1) (-1), tendrá que ser : (-1)(-1) = +1.
Hoy, una de las preguntas más repetidas en las clases matemáticas es ¿Por qué menos por menos es
más?.
Es difícil encontrar una respuesta sencilla y convincente, ya que la regla e puramente arbitraria y se
adopta solo para que no aparezcan contradicciones, pero existen varias justificaciones claras y
aceptables:
Equivalente lingüístico: “la doble negativa equivale a una información”: No es cierto que Pepito no tenga el
libro = Pepito tiene el libro.
Un ejemplo fácil de visualizar es el de isla Barataria, donde hay ciudadanos “buenos a los que se asignan
el signo + y, ciudadanos “malos” a los que se da el signo -.También se acuerda que : “salir” de la isla
equivale al signo -, y “entrar” a la isla equivale al signo +.
Sale de
Entra
Si un ciudadano bueno (+) entra (+) a Barataria,
la isla
a la isla
el resultado para la isla es positivo: (+) (+) = (+)
Si un ciudadano malo (-) sale (-) de barataria, el
resultado para la isla es positivo (-) (-) = (+)
Si un ciudadano bueno (+) sale (-) de barataria, el
resultado para la isla es negativo: (+) (-) = (-)
Si un ciudadano malo (-) entra (+) a barataria, el
resultado para la isla es negativo: (-) (+) = (-)
Ciudadano
bueno +
Ciudadano
Malo -
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
+
-
+
-
-
+
Dpto. de Publicaciones
25
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
NIVEL: SECUNDARIA
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO
SEMANA Nº 6
QUINTO AÑO
MÉTODOS OPERATIVOS - I
Los
Métodos
Operativos
(Técnicas/artificios).
Nos
ayudan a simplificar los
problemas,
abreviando
planteamientos tediosos y
cálculos saturados.
Ahora desarrollaremos
juntos las siguientes
situaciones, aplicando
operaciones inversas.
(Método del cangrejo) …
Hemos clasificado los métodos operativos en:
I.
Método de operaciones inversas (cangrejo)
II.
Método del rombo (Falsa su suposición)
III. Método de diferencias (Comparación de Cantidad)
IV. Método de la regla conjunta (Equivalencia)
La clave para la resolución de los
problemas radica en saber reconocer
en que caso aplicar determinado
método y cuál es el procedimiento de
solución.. ¡He ahí nuestro desafío!
I.
MÉTODO DE OPERACIONES INVERSAS
Se aplica en aquellos problemas donde la
variación inicial se desconoce, hay una serie de
operaciones y nos dan como dato el valor final
(resultado). El procedimiento de solución
consiste en invertir el sentido de las
operaciones.
La idea queda resumida en el siguiente esquema:
Valor Final
Valor Inicial
Proceso
Directo
x
Operaciones
Directas
Valor Inicial
Valor Final
Proceso
Inverso
Dato
Dato
Operaciones
Inversas
x
Ejemplo : Completa el siguiente cuadro :
Enunciado
Interpretación
(Op. Directas)
Cangrejo
(Op. Inversas)
Duplicó su
dinero
Gastó 4
soles
Triplico lo
que tenía
Gastó la
mitad más 1
En la última línea : “gasto la mitad
más uno”, no se puede traducir como
2, +1 por que ese “mas uno” es un
gasto y debe ir con signo negativo,
dado que la operación final es una
sustracción .. ‘No lo olvides!!
EJERCICIOS DE APLICACIÓN
1. Una persona ingreso aun restaurante, gastó la
mitad de lo que tenía y dejo 3 soles de propina:
Luego ingreso a una heladería, gastó la mitad de
los que aún le quedaba y dejó 2 soles de propina,
quedándose
sin
dinero.
¿Cuánto
tenía
inicialmente?.
a) 12 soles
d) 14
b) 16
e) 18
c) 10
Solución : sus gastos fueron :
En el restaurante : ……………………………………………………..
En la heladería :
26 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
……………………………………………………..
Dpto. de Publicaciones
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
Las operaciones directas son :
x → (2,
-3,  2, -2) → 0
restaurante
0 → (…………………………)→x
∴ x =
2. Aun número se le efectuaron las siguientes
operaciones, se le agrego 10, al resultado se le
multiplico por 5, para quitarle enseguida 26. Si a
este resultado se extrae la raíz cuadrada y por
último se multiplica por 3, se obtiene 24. ¿Cuál es el
número?.
b) 10
e) 14
c) 8
3. El nivel del agua de un pozo en cada hora desciende
3 cm. por debajo de su mitad, hasta quedar vació el
pozo luego de 4 horas. ¿Qué profundidad tenía el
agua inicialmente?.
a) 144cm
d) 72
b) 120
e) 90
c) 80
4. En un lejano país existe una imagen milagrosa que
duplica el dinero con la condición de que el
favorecido deja una ofrenda de 80 monedas después
de cada milagro. Uno de sus feligreses resultó
favorecido 3 veces seguidas y dejó también sus
ofrendas, pero que al final quedó poseedor de nada.
¿Cuánto tenía inicialmente?.
a) 90 monedas
d) 80
b) 120
e) 160
c) 70
5. Dos jugadores; acuerdan que después de cada
partida la que pierde duplicará el dinero de otra.
Después de dos partidas, que las ha ganado una sola
jugadora cada una tiene 64 soles. ¿Cuánto tenía la
perdedora al inicio?.
a) S/.16
d) 112
b) 128
e) 32
c) 96
6. Jorge le dice a Rosa : “Si a la cantidad de dinero que
tengo le agrego 20 soles y luego a ese resultado lo
multiplico por 6, para quitarle a continuación 24
soles. Y si a este resultado le extraigo la raíz
cuadrada y por último lo divido entre 3, obtengo 8
soles, lo que tengo al inicio es”.
a) S/.92
d) 576
b) 24
e) 352
7. Lili, cada día gasta la mitad de lo que tiene más
S/.20; si gastó todo en 4 días. ¿Cuánto gasto el
segundo día?.
a) 100
d) 130
heladería
Las operaciones inversas tenían :
a) 12
d) 6
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO
c) 80
b) 110
e) 140
c) 160
8. Hallar la profundidad de un pozo de agua sabiendo
que cada día su nivel desciende en 4 metros por
debajo de su mitad, quedando vació al cabo del
cuarto día.
a) 110m
d) 140
II.
b) 120
e) 150
c) 130
MÉTODO DE FALSA SUPOSICIÓN
Se aplica cuando en un problema existen 4 datos
como mínimo
1.
________________________________
2.
________________________________
3.
________________________________
4.
________________________________
El procedimiento de solución radica en realizar una
falsa suposición (asumiendo que todos los
elementos son de una sola clase).
El presente diagrama resume estas apreciaciones.
Clase
“A”
#total de
elementos
(Conjunto)

Valor real
(Total)
Clase
“B”
Lo que despejamos al realizar estas operaciones es
la cantidad de elementos que no fueron tomados
en cuenta en la suposición (Clase “B”)
# de elementos
de "B"
# de elementos
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
de " A"

(conjunto x A)  TOTAL
AB

Dpto. de Publicaciones
27
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
a) 5L
d) 13
Ya conociendo la fórmula
y el procedimiento de
solución…
apliquemos
esté método de los
siguientes problemas….
9. En un billetera hoy 24 billetes que hace un total
de $560. Si sólo habían billetes de $50 y $10.
¿Cuántas eran de cada clase?.
a) 14 y 10
d) 15 y 19
b) 16 y 8
e) N.A.
c) 12 y 12
Solución :
:
:
:
:
b) 4
e) 11
................................................
................................................
................................................
................................................
* * Ahora con los datos elabore el rombo:
algunos de:
c) 9
13. En una prueba de 50 preguntas, un alumno gana 2
puntos por repuesta correcta pero pierde un punto
por cada equivocación. ¿Cuántas respondió
correctamente, si obtuvo 64 puntos y contesto
todas?.
a) 42
b) 36
c) 38
d) 34
e) 32
14. Se tiene 3600 soles en billetes de S/.100 y S/.50
que se han repartido entre 45 personas tocándole
c/u un billetes. ¿Cuántas personas recibieron un
billete de S/.100?.
a) 30
d) 15
* Identificar los 4 datos :
1. Conjunto
2. Clase “A”
3. Clase “B”
4. Total
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO
b) 18
e) N.A.
c) 27
15. Dos niños han recorrido en total 64 metros dando
entre los dos 100 pasos. Si cada paso del segundo
mide 50 cm. y cada paso del primero mide 70 cm.
¿Cuántos pasos más que el segundo ha dado el
primero?.
a) 10
d) 40
b) 20
e) 50
c) 30
TAREA DOMICILIARIA Nº6
# Billetes
Dinero Total
Ya conoces los
métodos operativos –
I, ahora práctica con
los siguientes
ejercicios … y
recuerda: “Mucha
habilidad y
razonamiento”…
otros de:
# billetes de $10 = ______________ =
10. En un examen, cada respuesta correcta vale 4
puntos y cada incorrecta vale (-1) punto. Si un
alumno, luego de responder 30 preguntas obtuvo
80 puntos. ¿En cuántas se equivocó?.
a) 7
d) 6
b) 9
e) 10
c) 8
11. En un zoológico, entre todas las jirafas y
avestruces se podían contar 30 ojos y 44 patas.
Determinar el número de alas.
a) 14
d) 12
b) 28
e) 30
c) 16
12. Un litro de leche pura pesa 1030 gramos, si un
vendedor entregó 55 litros que pasaban 56,5 kg.
Calcular la cantidad de agua que contenía esta
entrega.
1. Los
métodos
operativos
nos
ayudan
a
_________________ los problemas abreviando:
__________________ y ________________.
2. Relacionar correctamente :
a)
b)
c)
d)
Se aplica operaciones
inversas
Generamos un
valor supuesto
Es dato el valor final
Existen 4 datos
(
)
Met. Rombo
(
)
Met. Cangrejo
(
(
)
)
Met. Rombo
Met. Cangrejo
3. En el siguiente problema :
Tres jugadores : A, B y C convienen en que el que
pierda duplicará el dinero a los demás si pierden
en ese orden quedando al final c/u con 32 soles.
Responder :
28 COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
Dpto. de Publicaciones
COLEGIO PREUNIVERSITARIO “TRILCE”
a) ¿Cuánto tenía c/u inicialmente?
__________________________________
b) ¿Quién ganó mas y cuánto?.
__________________________________
c) ¿Quién perdió y cuánto?
__________________________________
d) ¿Quién tuvo más dinero en las diferentes
etapas del juego?.
__________________________________
4. Juan le dice a Luis : “Si el doble de mi edad, lo
multiplicas por 8, luego divides por 10, al cociente
lo multiplicamos por 3, agregas 36 y por último,
ivides el resultado entre 6, obtendrías 30 años.
¿Cuántos años tienen Juan?.
a) 20
d) 50
b) 30
e) 60
c) 40
5. Con 34 monedas de 5 y 10 pesos se desea colocar
una a continuación de otra hasta alcanzar la
longitud de un metro. Si los diámetros de las
monedas son de 20 y 30mm respectivamente, el #
de monedas de 5 pesos es:
a) 20
d) 30
b) 32
e) 2
c) 18
6. Paola escribe cada día la mitad de las hojas en
blanco de un cuaderno más 5 hojas. Si al cabo de 4
días gastó todas las hojas. ¿Cuántas hojas tenía el
cuaderno?.
a) 200
d) 120
b) 175
e) 150
c) 225
7. En un concurso de admisión, la prueba de R.M.
tenía 100 preguntas, por cada respuesta correcta
se le asigna un punto y cada incorrecta tiene
puntaje en contra de 1/4 de punto. César ha
obtenido en dicha prueba 50 puntos, habiendo
respondido la totalidad de preguntas planteadas.
¿Cuántas erró?
a) 10
d) 25
b) 50
e) 40
c) 30
8. Tres jugadores: A, B y C acuerdan que después de
cada partido el perdedor duplicará el dinero de los
otros dos. Habiendo perdido cada jugador una
partida en el orden ABC, resulta que el 1º tiene 24
soles, el 2º 28 y el 3º 14. ¿Cuánto dinero perdió
“A”?.
a) 8
d) 16
b) 10
e) 18
c) 12
I BIM – RAZ. MATEMÁTICO – 5TO. AÑO
9. Martín trabaja en una compañía en la cual, por
cada día de trabajo le pagan 300 soles y por cada
día que falta le descuentan 100 soles de sus
sueldos. ¿Cuántos días ha trabajado si al final de
40 días adeuda a la empresa la suma de 2000
soles?.
a) 12
d) 5
b) 13
e) 10
c) 18
10. Cada vez que una persona ingresa a una cafetería
gasta la tercera parte de lo que tiene en ese
momento, más cuatro soles. Al salir por 3ra vez se
queda sin dinero, ¿Cuánto tenía al comienzo?.
a) S/.48
d) 22,5
b) 15,6
e) 17,5
c) 28,5
11. A Jorgito, por cada día que asiste al colegio, le dan
4 caramelos y por cada día que falta le quitan uno.
¿Cuántos días faltó si después de 28 días reunió
12 caramelos?.
a) 24
d) 12
b) 20
e) 4
c) 25
12. Si trabaja los lunes inclusive, Juan economiza 40
soles semanales; en cambió, la semana que no
trabaja el día lunes, debe quitar 20 soles. De sus
ahorros. Si durante 10 semanas se logra
economizar 220 soles. ¿Cuántos lunes dejó de
trabajar en esas 10 semanas?.
a) 1
d) 7
b) 3
e) 8
c) 5
13. Con un cierto número se hacen estas operaciones :
se eleva al cubo, al resultado se suma 9 y se
extrae raíz cuadrada; al número resultante se
divide entre 3 para luego restarle 1 y por último
elevarlo al cuadrado, obteniéndose 16. ¿De qué
número se trata?.
a) 4
d) 12
b) 6
e) N.A.
c) 9
14. Un tren de 325 pasajeros tiene que recorrer 150
km. Los pasajeros de 1ra clase pagan 4 soles por
km y los de 2da clase pagan 2 soles por km.
¿Cuántos pasajeros iban en el de 1ra clase, si en
ese viaje se ha recaudado : 129 600 por concepto
de pasajes?.
a) 125
d) 145
b) 218
e) 107
c) 99
15. El nivel del agua de una piscina desciende a 3cm.
Por debajo de su mitad y luego de 4 horas se
desagua toda la piscina. ¿Qué profundidad tenía el
agua actualmente?.
a) 80cm
d) 108 cm
COLEGIOS TRILCE: “SAN MIGUEL” – “FAUCETT” – “MAGDALENA”
b) 90 cm
e) 120 cm
c) 96 cm
Dpto. de Publicaciones
29