TP-Espacios_euclideos-2013.docx

ALGEBRA LINEAL Y GEOMETRÍA ANALÍTICA.
TRABAJO PRACTICO.( ESPACIOS EUCLIDEOS). (07-09-13)
---------------------------------------------------------------------------------------------------------1) Sea el subespacio (F) de R3 generado por los vectores de
1   0  1 
     
A  u1 , u 2 , u 3   1 , 1 ,  2  ; se pide:
 0  1  1 
     
a) Halle una base para F e indique la dimensión.
b) Halle la ecuación implícita de F e interprete geométricamente al subespacio
F.
c) Ortonormalice la base hallada en b).(Gram-Schmidt)[ver en bibliografía]
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d) Muestre que el vector v  3,4,2 no pertenece a F.
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e) Halle el vector Proyección ortogonal de v sobre el subespacio F. PF v
(recuerde la base para la proyección debe ser ortogonal).
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f) Calcule el módulo del vector v  PF v .
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g) Interprete geométricamente el número v  PF v .
h) Transforme el subespacio F en una Variedad Lineal sumándole a F el vector
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u  1, 2, 2 y llamemos a la variedad lineal Q, es decir Q  u  F .
i) Halle la ecuación implícita de Q e interprete geométricamente esta Variedad
Lineal.
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j) Halle v  u , determine PQ (v  u ) y calcule (v  u )  PQ (v  u ) . Interprete
geométricamente este número.
k) Halle el subespacio complementario y ortogonal a F y lo llamaremos F 
.(recuerde: al ser suplementarios la suma de las dimensiones de los espacios
debe ser la dimensión del espacio en el que trabajamos.)
l) Halle una base ortonormal para el subespacio complementario y ortogonal a
F.
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m) Determine Proyección de v sobre F  y luego sume las proyecciones del
vector v sobre F y F  . ¿Qué obtiene?.
2) Dado el subespacio H = {2x+y-z=0}, se pide
a) Hallar el vector w, que es el simétrico del vector v=(2,-3,3)respecto de H.
b) Calcular el área del triángulo que tiene por lados los vectores v y w.
c) Hallar el vector w1, simétrico de v, respecto del plano: π: 2x+y-z=5.
d) Hallar la distancia de v a H y de v a π.
e) Graficar (con algún software) los subespacios y los puntos v y w.
3) Consideremos los puntos P = (-1, 1, 1) , Q = (7, 1, 7) y R(-4, 1, 5). Se pide:
a) Demuestra que son los vértices de un triángulo rectángulo y calcula la longitud
de cada cateto y el área del triángulo.
b) Obtén la ecuación del plano que los contiene.
c) Obtén un punto T de manera que los puntos P, Q, R y T sean los vértices de un
rectángulo.
4) Dados los puntos A=(3,2,0), B=(1,0,1), C=(2,-2,3), y D(-1,1,2). Se pide:
a) El área del triángulo ABC.
b) El volumen del tetraedro ABDC.
c) El ángulo determinado por el plano ABC y la recta CD.
d) El ángulo determinado por los planos ABC y BCD.
e) Ecuación de la perpendicular común a las rectas AB y CD.
f) Distancia entre las rectas AB y CD.
5) En R4 se considera el subespacio vectorial V dado por las ecuaciones
x  y  2z  t  0
v
x  y  t  0
a) Hallar una base ortonormal de dicho subespacio.
b) Halla el subespacio ortogonal complementario de v.
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c) expresa el vector u  (2,4,3,2) como suma de proyecciones sobre los
subespacios ortogonales.
6) Dar a ecuación parabólica que mejor se ajusta a los puntos (-1,0) (0,1) (1,2) (2,2).
Calcular el error cuadrático medio.(𝑦 = 𝑎 𝑥 2 + 𝑏 𝑥 + 𝑐)
7) Dados los puntos (0,0) (1,1) (2,3) (3,5) ajustarlos a una función del tipo
y=a cos (x) + b 2x
Utilizando el método de mínimos cuadrados. Calcular también el error cuadrática.
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