CAPITULO 4

CAPITULO 4
LA CIRCUNFERENCIA
4.1 Definición
Una circunferencia, es el lugar geométrico de un punto que se mueve en un plano de tal forma,
que su distancia desde un punto fijo es siempre una constante mayor que cero.
El punto fijo se llama centro y la distancia constante se llama radio.
4.2 Ecuación ordinaria
Para determinar la ecuación en forma ordinaria de una circunferencia , supóngase que C(h, k) es
el centro, P(x, y) el punto móvil o generador, y CP = r la distancia constante (ver figura 4.1).
Figura 4.1
Entonces, al aplicar la fórmula de la distancia entre los puntos P y C, hallamos:
CP  r
 x  h 2   y  k   r
2
 x  h 2   y  k   r 2
2
(4.1)
y como es satisfecha por todos los puntos de la circunferencia, y no por otros, la ecuación (4.1) se
denomina forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia con centro (h, k) y radio r. A ésta,
también se le conoce como la forma centro-radio de la ecuación de la circunferencia.
Para el caso particular en el cual, el centro de la circunferencia se encuentre en el origen del
sistema de coordenadas, entonces: h = 0 y k = 0 y por lo tanto la ecuación (4.1) se reduce a:
x2  y2  r 2
(4.1a)
Si r2  0, la circunferencia es real.
Si r2  0, la circunferencia es imaginaria
Si r2 = 0, la circunferencia degenera en punto.
Ejemplo 1.- Encontrar la ecuación de la circunferencia con centro en (3, -4) y radio 5.
Solución: Dado que, h = 3, k = -4 y r = 5 , de la ecuación (4.1) obtenemos:
( x  3 )2  ( y  ( 4 ))2  ( 5 )2
( x  3 )2  ( y  4 )2  25
x 2  6 x  9  y 2  8 y  16  25
x 2  y 2  6x  8 y  0
Ejemplo 2.- Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (2, -1) y radio 4.
Solución: Puesto que, h = 2, k = -1 y r = 4 , aplicando la ecuación (4.1) se tiene:
( x  2 )2  ( y  ( 1 ))2  ( 4 )2
( x  2 )2  ( y  1 )2  16
x 2  4 x  4  y 2  2 y  1  16
x 2  y 2  4 x  2 y  11  0
4.3 Forma general de la ecuación de la circunferencia
Si en la ecuación (4.1) se desarrollan las operaciones y se reordenan los términos, se obtiene:
x 2  2 xh  h 2  y 2  2 yk  k 2  r 2
x 2  y 2  2hx  2 yk  h 2  k 2  r 2  0
la cual se puede escribir como:
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
(4.2)
La ecuación (4.2) se llama forma general de la ecuación de la circunferencia.
Además, toda ecuación de segundo grado de la forma (4.2), representa una circunferencia. Para
demostrar esta afirmación, dejamos los términos en x y en y del lado izquierdo de la ecuación y
pasamos el término independiente al lado derecho:
x 2  y 2  Dx  Ey   F
En seguida, completamos a un trinomio cuadrado perfecto, sumando el cuadrado de la mitad del
coeficiente de x y de y en ambos lados de la ecuación anterior:
 D
E
 D  E 
x  Dx     y 2  Ey      F      
2
2
2 2
2
2
2
2
2
la cual se puede escribir como:
D 
E
D2  E 2  4F

x     y   

2 
2
4
2
2
que es la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia. Por lo tanto:
D
E
h
, k 
2
2
D2  E 2  4F
, r 
r
4
2
D2  E 2  4F
2
(4.3)
Estas expresiones son de gran importancia para transformar una ecuación de forma general a ordinaria.
Ejemplo 3: Expresar la ecuación x2 + y2 -6x - 4y -3 = 0 en la forma ordinaria y dibujar su gráfica.
Solución: Identificando los coeficientes y aplicando (4.3), tenemos:
h
r
D
6
E
4

3 , k 
2
2
2
2
2
( 6 )2  ( 4 )2  4( 3 )
D2  E 2  4F
64 8


 4
2
2
2
2
La circunferencia tiene centro en C(3, 2) y radio r = 4 . Su gráfica es:
Ejemplo 4: Expresar la ecuación 2x2 +2y2 - 10x + 6y - 15 = 0 en la forma ordinaria y dibujar su gráfica.
Solución: Identificando los coeficientes y aplicando (4.3), hallamos:
h
D
5 5
E
3


, k   , r
2
2 2
2
2
D  E  4F

2
2
2
 15 

 2
 5 2   3 2  4
2

64 8
 4
2
2
La circunferencia tiene centro en C(5/2, -3/2) y radio r = 4. Su gráfica es:
Ejemplo 5: Hallar la ecuación de la circunferencia con centro en (2, 1) , pasando por (5, -4). Graficar
Solución: Dado que, sólo nos falta el radio para hallar la ecuación, éste lo encontramos aplicando la
fórmula de la distancia entre los puntos dados:
2
2
2
r   5  2   4  1  32   5  9  25  34
Hallemos su ecuación:
 x  2 2   y  1   34 
2
2
x 2  4 x  4  y 2  2 y  1  34
x 2  y 2  4 x  2 y  29  0
cuya gráfica es:
Ejemplo 6: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyos extremos del diámetro, son los puntos: (5, -3)
y (1, 7)
Solución: Hallemos primeramente las coordenadas del centro, mediante las fórmulas (1.5) que nos
proporcionan las coordenadas del punto medio entre los puntos dados:
51
3  7
3 , k 
2
2
2
En seguida, hallamos el radio, aplicando la fórmula de la distancia entre las coordenadas del centro y un
extremo del diámetro ( o, hallando la longitud del diámetro y dividiendo entre 2).
h
2
2
r   5  3   3  2  4  25  29
Aplicando la ecuación (4.1), hallamos su ecuación
( x  3) 2  ( y  2) 2  ( 29 ) 2
x 2  6 x  9  y 2  4 y  4  29
x 2  y 2  6 x  4 y  16  0
Ejemplo 7: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra en (4, 5) y es tangente a la
recta 3x - 4y -2 = 0.
Solución: La recta tangente a una circunferencia es perpendicular a su radio, por lo tanto, podemos
aplicar la distancia de un punto a una recta para hallar la longitud del radio.
La recta está definida por los coeficientes A = 3, B = -4 y C = -2. Además, el centro está localizado en el
punto (4, 5). En consecuencia
r
Ax  By  C
A2  B 2

3(4)  4(5)  2 12  20  2 10


2
5
9  16
25
Aplicando (4.1) hallamos su ecuación:
( x  4) 2  ( y  5) 2  (2) 2
x 2  8 x  16  y 2  10 y  25  4
x 2  y 2  8 x  10 y  37  0
La gráfica es:
Ejemplo 8: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (4, -3) y su y su centro es la
intersección de las rectas 3x - 4y +1 = 0 y 2x + y - 3 = 0.
Solución: El centro C(h , k) se encuentra en la intersección de las rectas, por lo tanto, debe satisfacer a
ambas ecuaciones:
3h  4 k  1  0
(1)
2h  k  3  0
(2)
Multiplicando la ecuación (2) por 4 y sumando con la ecuación (1):
3h  4 k  1
8h  4 k  12
11h
= 11
h=1
Sustituyendo h = 1 en la ecuación (1):
3(1)  4 k  1  0
4  4k
k 1
De donde se encuentra que, el centro tiene coordenadas C(1, 1)
El radio se halla mediante la distancia del centro al punto por donde pasa la circunferencia.
r  (4  1) 2  (3  1) 2  9  16  25  5
Sustituyendo en la forma ordinaria de la ecuación de la circunferencia, hallamos
( x  1) 2  ( y  1) 2  25
x 2  2 x  1  y 2  2 y  1  25
x 2  y 2  2 x  2 y  23  0
la gráfica de esta ecuación es
4.4 Condiciones que determinan una circunferencia
Al observar las ecuaciones ordinaria y general de una circunferencia, nos damos cuenta que
aparecen tres constantes arbitrarias ( h, k y r ó D, E y F ). Es decir, para determinar la ecuación de una
circunferencia, debemos ser capaces de hallar a estas tres constantes. Pero, por álgebra, sabemos que,
para hallar tres cantidades desconocidas, es necesario conocer tres condiciones independientes, es decir,
tres ecuaciones, a partir de las cuales se puede determinar el valor de estas constantes. Debido, a que
tales ecuaciones, son condiciones analíticas que debe satisfacer la circunferencia, decimos que, la
circunferencia está determinada por tres condiciones.
Ejemplo 9: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (4, 5), (3, -2) y (1, -4).
Solución: Supóngase que la ecuación que se busca es de la forma: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, cada punto, debe satisfacer esta escuación. Por lo tanto:
(4)2 + (5)2 +D(4) + E(5) + F = 0
(3)2 + (-2)2 + D(3) + E(-2) + F = 0
(1)2 + (-4)2 + D(1) + E(-4) + F = 0
(1)
(2)
(3)
Al simplificar a cada una de estas ecuaciones obtenemos:
4D + 5E + F = - 41 (1)
3D - 2E + F = -13 (2)
D - 4E + F = -17 (3)
Eliminemos a F de las ecuaciones (1) y (2). Multipliquemos a la ecuación (1) por -1 y sumemos con la
ecuación (2):
4 D  5E  F  41
3D  2 E  F  13
D  7E
 28
(4)
Eliminemos a F de las ecuaciones (1) y (3). Multipliquemos a la ecuación (1) por -1 y sumemos con la
ecuación (3):
4 D  5E  F  41
D  4 E  F  17
3D  9 E
 24
(5)
Ahora, eliminemos a D de las ecuaciones (4) y (5). Multipliquemos a la ecuación (4) por -3 y sumemos
con la ecuación (5):
3D  21E  84
3D  9 E  24
12 E  60
60
E
= -5
12
Sustituyendo E = -5 en la ecuación (4):
 D  7( 5)  28
 D  35  28
 D  35  28
 D  7
D7
Sustituyendo E = -5 y D = 7 en la ecuación (3):
7  4 5  F  17
7  20  F  17
F  17  20  7
F  44
Por lo tanto, la ecuación de la circunfencia es:
x 2  y 2  7 x  5y  44  0
y sus elementos son:
D
7
E
5 5
h 
, k  

, r
2
2
2
2 2
 7 2   5 2  4 44
D2  E 2  4F


2
2
250 5 10

2
2
su gráfica es:
Ejemplo 10: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, 1), (1, 3) y (9, 2).
Solución: Supóngase que la ecuación que se busca es de la forma: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, cada punto, debe satisfacer esta escuación. Por lo tanto:
(1)2 + (1)2 + D(1) + E(1) + F = 0
(1)2 + (3)2 + D(1) + E(3) + F = 0
(9)2 + (2)2 + D(9) + E(2) + F = 0
(1)
(2)
(3)
Al simplificar a cada una de estas ecuaciones obtenemos:
D + E + F = - 2 (1)
D + 3E + F = -10 (2)
9D + 2E + F = -85 (3)
Eliminemos a F de las ecuaciones (1) y (2). Multipliquemos a la ecuación (1) por -1 y sumemos con la
ecuación (2):
D  E  F  2
D  3E  F  10
2E
 8

E  4
(4)
Eliminemos a F de las ecuaciones (1) y (3). Multipliquemos a la ecuación (1) por -1 y sumemos con la
ecuación (3):
-D E  F  2
9 D  2 E  F  85
8D  E
  83
(5)
Sustituyendo la ecuación (4) en (5):
8 D  4  83
8 D  83  4
8 D  79  D  
79
8
Sustituyendo E = - 4 y D = -79 / 8 en la ecuación (1).
79
 4  F  2
8
79
F  2  4 
8
79
95
F  2
 F
8
8

Por lo tanto, la ecuación de la circunfencia es:
x2  y2  
79
95
x  4y 
0
8
8
o equivalentemente, si multiplicamos por 8 a cada término de la ecuación:
8x 2  8 y 2  79 x  32 y  95  0
sus elementos son:
79

D
79
E
4
h  8 
, k 
2
2
2
16
2
2
 79 
 95 
     4 2  4 
 8
8
2
D  E  4F

2
2
r
2
2

6241
380
 16 
64
8

2
4225 65
65
64
 8 
2
2 16
su gráfica es:
Ejemplo 11: Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita, al triángulo cuyos lados tienen
ecuaciones dadas por:
L1: 3x + 2y -13 = 0
L2: x + 2y - 3 = 0
L3: x + y - 5 = 0.
Solución: Hallemos los puntos de intersección de L1 y L2. Multipliquemos la ecuación (2) por -1 y
sumemos con la ecuación (1).
3x  2 y  13  0
(1)
x  2y  3  0
(2)
2x
- 10 = 0
2 x  10
x5
sustituyendo x = 5 en la ecuación (1):
3(5) + 2y - 13 = 0
2y = 13 - 15
2y = - 2
y = -1
Es decir, L1 y L2 se cortan en el punto (5, -1).
Hallemos los puntos de intersección de L1 y L3. Multipliquemos la ecuación (3) por -2 y sumemos con
la ecuación (1).
3x  2 y  13  0
(1)
2 x  2 y  10  0
(3)
x
-3 0
x3
sustituyendo x = 3 en la ecuación (1):
3(3) + 2y - 13 = 0
2y = 13 - 9
2y = 4
y=2
Es decir, L1 y L3 se cortan en el punto (3, 2).
Hallemos los puntos de intersección de L2 y L3. Multipliquemos la ecuación (3) por -2 y sumemos con
la ecuación (2).
x  2y  3  0
(2)
2 x  2 y  10  0
(3)
x
7 0
 x  7
x7
sustituyendo x = 7 en la ecuación (2):
7 + 2y - 3 = 0
2y = 3 - 7
2y = - 4
y = -2
Es decir, L2 y L3 se cortan en el punto (7, -2).
Ahora, supóngase que la ecuación que se busca es de la forma: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Entonces, cada punto satisface esta escuación. Por lo tanto:
(5)2 + (-1)2 + D(5) + E(-1) + F = 0 (1)
(3)2 + (2)2 + D(3) + E(2) + F = 0 (2)
(7)2 + (-2)2 + D(7) + E(-2) + F = 0 (3)
Al simplificar a cada una de estas ecuaciones obtenemos:
5D - E + F = - 26
3D + 2E + F = -13
7D - 2E + F = -53
(1)
(2)
(3)
Eliminemos a F de las ecuaciones (1) y (2). Multipliquemos a la ecuación (1) por -1 y sumemos con la
ecuación (2):
5D  E  F  26
3D  2 E  F  13
2 D  3E
 13
(4)
Eliminemos a F de las ecuaciones (1) y (3). Multipliquemos a la ecuación (1) por -1 y sumemos con la
ecuación (3):
-5D  E  F  26
7 D  2 E  F  53
2D  E
 27
(5)
Hagamos simultáneas las ecuaciónes (4) y (5). Eliminemos a D sumando ambas ecuaciones:
2 D  3E  13
2 D  E  27
2 E  14
E  7
Sustituyendo E = - 7 en la ecuación (4).
-2D + 3(-7) = 13
-2D - 21 = 13
-2D = 13 + 21
-2D = 34
D = - 17
Sustituyendo E = -7 y D = -17 en la ecuación (1):
5(-17) - (-7) + F = -26
-85 + 7 + F = -26
F = -26 + 85 - 7
F = 52
La ecuación de la circunferencia es:
x 2  y 2  17 x  7 y  52  0
La gráfica de esta circunferencia y las rectas L1, L2 y L3 es:
Ejemplo 12: Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de lados: L1: 7x + 6y -11 = 0,
L2: 9x - 2y + 7 = 0 y L3: 6x - 7y - 16 = 0
Solución: La circunferencia inscrita, es tangente a cada una de las rectas L1, L2 y L3. El centro de esta
circunferencia, llamado "incentro", se encuentra en el punto de intersección de las bisectrices de los
ángulos interiores del triángulo. Para hallar los signos que corresponden a cada bisectríz, graficaremos
las rectas L1, L2 y L3 .
La ecuación de la bisectríz, formada por las rectas L1 y L2 está dada por:
d1  d 2
7h  6k  11
9h  2 k  7


 85
 85
7h  6k  11  9h  2 k  7
16h  4 k  4
(1)
Donde, el signo negativo de d1 y d2 se eligieron porque, el incentro y el origen se encuentran del mismo
lado, respecto de L1 y L2 .
La ecuación de la bisectríz, formada por las rectas L1 y L3 está dada por:
d 1  d 3
7h  6k  11
6h  7 k  16


 85
 85
7h  6k  11  6h  7 k  16
h  13k  5
(2)
El signo negativo de d1 y d3 se eligieron porque, el incentro y el origen se encuentran del mismo lado,
respecto de L1 y L3 .
Resolviendo simultaneamente (1) y (2):
16h  4 k  4
(1)
h  13k  5
(2)
Multiplicando la ecuación (2) por -16 y sumando con la ecuación (1):
16h  4 k  4
16h  208k  80
- 204 k  84
84
7
k
=204
17
Sustituyendo este valor en la ecuación (2):
 7
h  13    5
 17 
h  5 
91 85  91

17
17
6
17
El radio se obtiene mediante la distancia del centro a una de las rectas, digamos a L1:
6  7
7   6    11
 17   17 
11
r

85
85
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es
2
2
2
6 
7   11 

x     y    


17  
17   85 
que escrita en forma general se reduce a
h
85x 2  85y 2  60x  70 y  96  0
La gráfica de esta circunferencia y las rectas L1, L2 y L3:
Ejemplo: 13 Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de lados:
L1: y = 0, L2: 3x - 4y = 0 y L3: 4x + 3y - 50 = 0.
Solución: Como se sabe, la circunferencia inscrita es tangente a cada una de las rectas y su centro está
en la intersección de las bisectrices. Mediante, la gráfica de las rectas, podemos determinar los signos
correspondientes a la ecuación de la bisectríz.
La ecuación de la bisectríz, formada por las rectas L1 y L2 está dada por:
d1  d 2
3h  4 k
k
5
5k  3h  4 k
9 k  3h  0
3k  h  0
(1)
Cuando las recta pasan por el origen, el signo es positivo si el punto (incentro) está por arriba de la
recta y negativo si el punto está por dabajo de la recta.(ver gráfica). Por arriba de L1 y por debajo de L2.
La ecuación de la bisectríz, formada por las rectas L1 y L3 está dada por:
d1  d 3
4h  3k  50
k  
5
5k  4h  3k  50
8k  4h  50
4 k  2h  25 (2)
El signo negativo de L3 se asignó porque, el incentro y el origen están del mismo lado respecto a L3 .
Resolviendo simultaneamente (1) y (2):
3k  h  0
(1)
4 k  2h  25
(2)
Multiplicando la ecuación (1) por 2 y sumando con la ecuación (2):
6k  2h  0
4 k  2h  25
10k
 25
k
Sustituyendo este valor en la ecuación (2):
25 5
=
10 2
5
3   h  0
2
15
2
El radio se obtiene mediante la distancia del centro a una de las rectas, digamos a L2:
h
 15   5 
45 20
25
3   4 

 2  2
2   2  25  5
r
 2
5
5
5 10 2
Por lo tanto, la ecuación de la circunferencia es:
2
2
2
15  
5 5

x     y     

2 
2 2
que escrita en forma general se reduce a:
4 x 2  4 y 2  60x  20 y  225  0
La gráfica de la circunferencia y las tres rectas es:
Ejemplo 14: Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-1, -3) y que sea tangente a la recta que
une los puntos (-2, 4) y (2, 1).
Solución: Dado que, conocemos las coordenadas del centro, sólo debemos hallar el radio. Para esto,
determinamos la ecuación de la recta tangente que pasa por los puntos (-2, 4) y (2, 1):
4 1
 x  2
2  2
3
y  1    x  2
4
4 y  4  3x  6
3x  4 y  10  0
Hallamos el radio de la circunferencia, aplicando la distancia del centro (-1,-3) a la recta tangente:
y 1
r
3 1  4 3  10
32  4 2
La ecuación de la circunferencia es:

3  12  10
25
25


 5  5
5
9  16
25
 x  1 2   y  3  52
2
x 2  2 x  1  y 2  6 y  9  25
x 2  y 2  2 x  6 y  15  0
Ejemplo 15: Hallar la ecuación de la circunferencia cuyo centro está en el eje X y que pasa por los
puntos (-2, 3) y (4, 5).
Solución: Dado que el centro está sobre el eje X : k = 0 , o que es lo mismo E = 0.
Por lo tanto, debemos de hallar h y r, o, equivalentemente D y F.
Suponiendo que la ecuación de la circunferencia es de la forma: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
y dado que E = 0, ésta se reduce a:
x 2  y 2  Dx  F  0
Además, ambos puntos (-2, 3) y (4, 5) deben satisfacer esta ecuación. es decir:
 2 2   3 2  D 2  F  0
4  9  2D  F  0
2 D  F  13
(1)
 4 2   5 2  D 4  F  0
16  25  4 D  F  0
4 D  F  41
(2)
Hagamos simultáneas las ecuaciones (1) y (2).Multiplicamos la ecuación (1) por -1 y sumamos con (2):
2 D  F  13
4 D  F  41
6D
D
 28
28
14

6
3
sustituyendo D = -14 / 3 en la ecuación (1):
 14 
2    F  13
 3
28
 F  13
3
28
F  13 

3
39  28
67
F

3
3
De donde, la ecuación de la circunferencia es:
14
67
x2  y2 
x
0
3
3
3x 2  3 y 2  14 x  67  0
Ejemplo 16: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (1, -4) y (5, 2) y que tiene
su centro sobre la recta x - 2y + 9 = 0.
Solución: Supóngase que la ecuación de la circunferencia es de la forma: x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
Ambos puntos: (1, -4) y (5, 2) deben satisfacer esta ecuación, es decir:
1 2   4 2  D(1)  E (4)  F  0
1  16  D  4 E  F  0
D  4 E  F  17
(1)
(5) 2  (2) 2  D(5)  E (2)  F  0
25  4  5D  2 E  F  0
5D  2 E  F  29
(2)
Además, el centro C( -D/2, -E/2), debe satisfacer la ecuación de la recta: x - 2y + 9 = 0. Esto es:
 D  E 
    2    9  0
 2  2
D
  E 9 0
2
 D  2 E  18
(3)
Eliminemos a F de las ecuaciones (1) y (2). Multiplicamos la ecuación (1) por -1 y sumamos con la
ecuación (2):
 D  4 E  F  17
5D  2 E  F  29
4 D  6E
 12
(4)
Eliminemos a E de las ecuaciones (3) y (4). Multiplicamos la ecuación (3) por -3 y sumamos con la
ecuación (2):
3D  6 E  54
4 D  6 E  12
7D
 42
D6
Sustituyendo D = 6 en la ecuación (3):
 (6)  2 E
6  2 E
2E
2E
E
 18
 18
 18  6
 12
 6
Sustituyendo D = 6 y E = -6 en la ecuación (1):
6  4(6)  F
6  24  F
F
F
 17
 17
 17  6  24
 47
La ecuación de la circunferencia es
x 2  y 2  6x  6 y  47  0
Ejemplo 17: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (2, 3) y (3, 6) y sea tangente
a la recta 2x + y - 2 = 0.
Solución: Supóngase que la circunferencia tiene por ecuación: (x - h)2 + ( y - k)2 = r2. En consecuencia,
requerimos de tres ecuaciones independientes para determinar el valor de h, k y r. Los puntos (2, 3) y
(3, 6) deben satisfacer la ecuación. Por lo tanto:
(2  h) 2  (3  k ) 2  r 2
(1)
(3  h) 2  (6  k ) 2  r 2
(2)
El radio r, se obtiene mediante la distancia del centro C(h, k) a la recta tangente 2x + y - 2 = 0.
Entonces, se cumple que:
2h  k  2
r
(3)
5
En donde, el signo ± , se elige, dependiendo si, la distancia es positiva o negativa. Además, recordar,
que el signo del radical es contrario al del término independiente.
Eliminemos a r de las ecuaciones (1) y (2):
( 2  h) 2  ( 3  k ) 2  ( 3  h) 2  ( 6  k ) 2
4  4h  h 2  9  6k  k 2  9  6h  h 2  36  12 k  k 2
13  4h  6k  45  6h  12 k  0
6k  2h  32  0
3k  h  16  0
(4)
Sustituyendo la ecuación (3) en la ecuación (1) para eliminar a r:
 2h  k  2 

( 2  h)  ( 3  k )   


5
2
2
2
4h 2  k 2  4  4hk  8h  4 k
4  4h  h  9  6k  k 
5
2
2
2
20  20h  5h  45  30k  5k  4h  k 2  4  4hk  8h  4 k
2
2
4 k 2  h 2  12h  26k  4hk  61  0
(5)
Despejando a h de la ecuación (4) y sustituyendo en la ecuación (5):
4 k 2  (16  3k ) 2  12(16  3k )  26k  4 k (16  3k )  61  0
4 k 2  256  96k  9 k 2  192  36k  26k  64 k  12 k 2  61  0
25k 2  150k  125  0
k 2  6k  5  0
( k  5)( k  1)  0
k  5 ó
k 1
Primeramente, sustituimos k = 5 en la ecuación (4):
3(5)  h  16  0
h  16  15
h1
Para hallar el radio r , sustituimos h = 1 y k = 5 en la ecuación (3), tomando el signo positivo, ya que, el
centro C(1, 5) y el origen se encuentran en lados opuestos respecto a la recta tangente 2x + y - 2 = 0.
r
Por lo tanto, la primera solución es:
2(1)  5  2
5

 5
5
5
( x  1) 2  ( y  5) 2   5
2
x 2  2 x  1  y 2 10 y  25  5
x 2  y 2  2 x  10 y  21  0
De la misma manera, sustituimos k = 1 en la ecuación (4):
3(1)  h  16  0
h  16  3
h  13
Para el radio r , sustituimos h = 13 y k = 1 en la ecuación (3), tomando el signo positivo, ya que, el
centro C(13, 1) y el origen se encuentran en lados opuestos respecto a la recta tangente 2x + y - 2 = 0.
r
La segunda solución es:
2(13)  1  2 27  2 25


5 5
5
5
5
( x  13) 2  ( y  1) 2   5 5
2
x 2  26 x  169  y 2 2 y  1  125
x 2  y 2  26 x  2 y  45  0
Ejemplo 18: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (11, 2) y sea tangente a la
recta 2x + 3y - 18 = 0 en el punto (3, 4).
Solución: Supóngase que la ecuación de la circunferencia es de la forma (x - h)2 + ( y - k)2 = r2. Por lo
tanto, debemos hallar tres ecuaciones independientes para determinar a h, k y r. Dado que los puntos
(11, 2) y (3, 4) están sobre la circunferencia, éstos, deben satisfacer su ecuación:
(11  h) 2  (2  k ) 2  r 2
(1)
(3  h) 2  (4  k ) 2  r 2
(2)
Para el radio r, aplicamos la distancia del centro C(h, k) a la recta tangente 2x + 3y - 18 = 0.
2h  3k  18
13
De las ecuaciones (1) y (2) eliminamos a r, obteniendo:
r
(3)
4h  k  25  0
(4)
De las ecuaciones (2) y (3) eliminamos a r y obtenemos:
9h 2  4k 2  6h  4k  12hk  1  0
(5)
Ahora, de la ecuacion (4) despejamos a k y sustituimos en la ecuación (5):
9h 2  4(4h  25) 2  6h  4(4h  25)  12h(4h  25)  1  0
9h 2  64h 2  800h  2500  6h  16h  100  48h 2  300h  1  0
25h 2  490h  2401  0
Resolviendo esta ecuación de 2º grado, hallamos: h = 49 / 5
Para hallar k, se sustituye h = 49 / 5 en la ecuación (4):
 49 
4   k  25  0
5
196
196  125 71
k
 25 

5
5
5
Para hallar r, sustituimos h = 49 / 5 y k = 71 / 5 en la ecuación (3), tomando el signo positivo, ya que el
centro C( 49/5, 71/5) y el origen, están en lados opuestos respecto a la recta tangente 2x + 3y -18 = 0.
r
 49   71 
2   3   18
5 5
13
98 213
98  213  90

 18
221
5
5
 5


13
13
5 13
La ecuación de la circunferencia es:
49  
71   221 

x     y    


5 
5   5 13 
98
2401
142
5041 3757
x2 
x
 y2 
y

5
25
5
25
25
98
142
737
x2  y2 
x
y
0
5
5
5
5x 2  5 y 2  98 x  142 y  737  0
2
2
2
Ejemplo 19: Hallar la ecuación de la circunferencia de radio 10 que sea tangente a la recta 3x-4y-13=0.
en el punto (7, 2).
Solución:
Supóngase que la ecuación de la circunferencia es de la forma (x - h )2 + (y - k )2 = r2. Requerimos de
dos ecuaciones independientes para determinar h y k, puesto que el radio ya es proporcionado. Por lo
tanto:
(7  h) 2  (2  k ) 2  10 2
3h  4 k  13
10 = 
5
(1)
(2)
Al despejar h de la ecuación (2), obtenemos dos posibles ecuaciones :
4 k  63
3
4 k  37
h
3
h
(2a)
(2b)
Sustituyendo (2a) en la ecuación (1) y simplificando:
 4 k  63 2
 4 k  63 

  k 2  14
  4 k  47  0
 3 
 3 
16k 2  504 k  3969
56k 882
 k2 

 4 k  47  0
9
3
3
16k 2  504 k  3969  9 k 2  168k  2646  36k  423  0
25k 2  300k  900  0
k 2  12 k  36  0
( k  6) 2  0
k  6
Susutituyendo este valor en la ecuación (2a):
h
4(6)  63 24  63 39


 13
3
3
3
Por lo tanto, la primera ecuación de la circunferencia es:
( x  13) 2  ( y  6) 2  100
x 2  26 x  169  y 2  12 y  36  100
x 2  y 2  26 x  12 y  105  0
Sustituyendo la ecuación (2b) en la ecuación (1):
 4 k  37 2
 4 k  37 

  k 2  14
  4 k  47  0
 3 
 3 
16k 2  296k  1369
56
518
 k2  k 
 4 k  47  0
9
3
3
16k 2  296k  1369  9 k 2  168k  1554  36k  423  0
25k 2  500k  2500  0
k 2  20k  100  0
( k  10) 2  0
k  10
Sustituyendo k = 10 en la ecuación (2b):
h
4(10)  37 3
 1
3
3
La segunda ecuación de la circunferencia es:
( x  1) 2  ( y  10) 2  100
x 2  2 x  1  y 2  20 y  100  100
x 2  y 2  2 x  20 y  1  0
Ejemplo 20: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-3, 2) y (4, 1) y sea
tangente al eje X.
Solución: Supóngase que la circunferencia es de la forma (x - h )2 + (y - k )2 = r2. Requerimos de tres
ecuaciones para determinar h, k y r. Los puntos dados, deben satisfacer esta ecuación:
( 3  h ) 2  ( 2  k ) 2  r 2
9  6h  h 2  4  4 k  k 2  r 2
(4  h)  (1  k )  r
2
2
(1)
2
16  8h  h 2  1  2 k  k 2  r 2
(2)
Para el radio, aplicamos la distancia del centro C(h, k) al eje X, que es la recta tangente y cuya ecuación
es y = 0:
r  k
(3)
De las ecuaciones (1) y (2), eliminamos a r:
(3  h) 2  (2  k ) 2  (4  h) 2  (1  k ) 2
9  6h  h 2  4  4 k  k 2  16  8h  h 2  1  2 k  k 2
14h  2 k  4  0
7h  k  2  0
(4)
De las ecuaciones (2) y (3), eliminamos a r:
(4  h) 2  (1  k ) 2  k 2
16  8h  h 2  1  2 k  k 2  k 2
h 2  8h  2 k  17  0
(5)
Ahora, despejamos a k de la ecuación (4) y sustituimos en la ecuación (5):
h 2  8h  2(7h  2)  17  0
h 2  8h  14h  4  17  0
h 2  22h  21  0
(h  21)(h  1)  0
 h  1 y h  21
Sustituyendo h = 1 en la ecuación (4):
7(1)  k  2  0
k  72
k 5
Para hallar el radio, sustituimos k = 5 en la ecuación (3), asignando el signo positivo(ver el tema 3.2).
r=5
La ecuación de una de las circunferencias es:
( x  1) 2  ( y  5) 2  25
x 2  2 x  1  y 2  10 y  25  25
x 2  y 2  2 x  10 y  1  0
Sustituyendo h = 21 en la ecuación (4):
7(21)  k  2  0
k  147  2
k  145
Para hallar el radio, sustituimos k=145 en la ecuación (3), asignando el signo positivo(ver el tema 3.2).
r =145
La ecuación de la segunda circunferencias es:
( x  21) 2  ( y  145) 2  1452
x 2  42 x  441  y 2  290 y  21025  21025
x 2  y 2  42 x  290 y  441  0
4.5 Familia de circunferencias que pasan por la intersección de dos de ellas
Supóngase:
x 2  y 2  D1 x  E1 y  F1
y
(1)
x 2  y 2 + D2 x  E 2 y  F2
(2)
son las ecuaciones de dos circunferencias que se cortan. Multiplíquese la ecuación (2) por una constante
k cualquiera y súmese el resultado a la ecuación (1):
x
2
 y 2  D1 x  E1 y  F1   k  x 2  y 2  D2 x  E 2 y  F2   0
(3)
ó
 1  k  x 2   1  k  y 2   D1  kD2  x   E1  kE 2  y  F1  kF2  0
(4)
Si k  -1, entonces, podemos dividir la ecuación (4) entre 1+ k :
x2  y2 
D1  kD2
E1  kE2
F1  kF2
x
y
0
1 k
1 k
1 k
(5)
la cual, representa una circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias (1)
y (2), esto es debido a que ambos puntos, hacen cero las expresiones dentro de los paréntesis de la
ecuación (3), también harán cero la ecuación (5). Como a k se le puede asignar una infinidad de valores,
existe una infinidad de circunferencias que pasan por la intersección de dos circunferencias. Por lo
tanto, tenemos una familia de circunferencias de un parámetro. La ecuación (5) nos dice, que podemos
obtener una circunferencia para cada valor asignado a k, y podemos encontrar el valor de k para que la
circunferencia satisfaga una condición, además de pasar por las intersecciones de las dos
circunferencias dadas.
Si en la ecuación (4), k = -1, ésta se reduce a :
D  D x E
1
2
1
 E2  y  F1  F2  0
(6)
que representa la ecuación de una línea recta. Si las circunferencias (1) y (2) se intersectan, entonces (6)
representa una cuerda común que pasa por sus puntos de intersección ; si son tangentes, (6) es una
tangente común ; y si no hay contacto entre ellas, (6) es un eje radical.
Ejemplo 21.- Hallar la ecuación de la circunferencia que corta al eje Y en el punto (0, -4) y pasa por la
intersección de las circunferencias:
C1:
x 2  y 2  2x  2 y  2  0
C2 : x 2  y 2  4 x  6 y  4  0
Solución: La familia de circunferencias que pasa por la intersección de C1 y C2 esta dada por:
C1 + kC2 :
x 2  y 2  2 x  2 y  2  k ( x 2  y 2  4 x  6 y  4)  0
y como deseamos hallar la ecuación que pasa por el punto (0, -4), entonces, sustituimos las coordenadas
de este punto en la ecuación anterior, para obtener:
 0 2   4 2  2 0  2 4  2  k   0 2   4 2  4 0  6 4  4  0
16  8  2  k  16  24  4  0
22  k  44  0
k  44  22
22
k
44
1
k
2
Sustituyendo este valor en la ecuación (C1+kC2):
 1
x 2  y 2  2 x  2 y  2    ( x 2  y 2  4 x  6 y  4)  0
 2
x2  y2  2x  2 y  2 
x2 y2

 2 x  3y  2  0
2
2
x2 y2

 4x  y  4  0
2
2
x 2  y 2  8x  2 y  8  0
La gráfica es:
Ejemplo 22: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (3,1) y por la intersección de
las circunferencias:
C1 : x 2  y 2  x  y  2  0
C2 : x 2  y 2  4 x  4 y  8  0
Solución: La familia de circunferencias que pasa por la intersección de C1 y C2 esta dada por:
C1 + kC2 :
x 2  y 2  x  y  2  k ( x 2  y 2  4 x  4 y  8)  0
y deseamos hallar la ecuación que pasa por el punto (3,1), entonces, sustituimos las coordenadas de este
punto en la ecuación anterior, para obtener:
 3 2   1 2   3   1  2  k   3 2   1 2  4 3  4 1  8  0
9  1  3  1  2  k  9  1  12  4  8  0
4  k  10  0
k  10  4
4
10
2
k
5
Sustituyendo este valor en la ecuación (C1+kC2):
k
 2
x 2  y 2  x  y  2    x 2  y 2  4 x  4 y  8  0
 5
5x 2  5 y 2  5x  5 y  10  2 x 2  2 y 2  8 x  8 y  16  0
3x 2  3 y 2  13x  3 y  6  0
Su gráfica es:
Ejemplo 23: Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos de intersección de las
circunferencias:
C1: x 2  y 2  6x  2 y  4  0
C2 :
x 2  y 2  2x  4 y  6  0
y cuyo centro esté en la recta y = x.
Solución: La familia de circunferencias que pasa por la intersección de C1 y C2 está dada por:
x 2  y 2  6x  2 y  4  k  x 2  y 2  2 x  4 y  6  0
C1  kC2 :
la cual se puede expresar como
x2  y2 
6  2k
2  4k
4  6k
x
y
0
1 k
1 k
1 k
Las coordenadas del centro de esta familia de circunferencias son:
h
D
2
k
E
2
6  2 k
6  2 k
3  k 3  k
  1 k  




2
2 1 k
1 k
1 k
2  4k
2  4k
1  2 k 1  2 k
1 k




2
2 1  k 
1 k
1 k
Dado que el centro está sobre la recta y = x , sus coordenadas deben satisfacer esta ecuación:
kh
3  k 1  2 k

1 k
1 k
3  k  1  2 k
3k  4
k
4 4

3 3
sustituyendo este valor en la ecuación C1+kC2:
4 2

x  y 2  2 x  4 y  6  0
3
2
2
3x  3 y  18 x  6 y  12  4 x 2  4 y 2  8 x  16 y  24  0
x 2  y 2  6x  2 y  4 
7 x 2  7 y 2  10 x  10 y  12  0
Su gráfica es:
Ejemplo 24: Hallar la ecuación del eje radical de las circunferencias:
C1: x 2  y 2  4 x  2 y  1  0
C2 : x 2  y 2  8x  4 y  12  0
Solución: Restando C2 de C1, hallamos:
C1  C2 : 12 x  6 y  13  0
que es la ecuación del eje radical.
Su gráfica es:
PROBLEMAS PROPUESTOS
1.- Hallar la ecuación de la circunferencia que cumple con las condiciones siguientes:
a) Centro en (3, 4) y radio 2
b) Centro en (2, 1) y radio 3
c) Centro en (4, -1) y diámetro 8
d) Centro en (6, -2) y pasa por el punto (4, 0)
e) Centro en (-4, 2) y pasa por el punto (-1, 3)
f) Diámetro el segmento que une los puntos (-3, 5) y (7, -3)
g) Diámetro el segmento que une los puntos (-1, 5) y (-5, -7)
h) Centro en (-3, -4) y que sea tangente al eje "X".
i) Centro en (5, 3) y que sea tangente al eje "Y"
j) Centro en (3, -4) y que pase por el origen
k) Que pase por el origen, de radio r = 10 y cuya abscisa de su centro sea -6.
2.- Reducir las siguientes ecuaciones a su forma ordinaria y determinar el radio y las coordenadas del
centro:
a) x2 + y2 + 6x - 4y - 12 = 0
b) x2 + y2 - 10x + 4y - 7 = 0
c) x2 + y2 - 8x + 10y - 12 = 0
3.- Determinar si las sigientes ecuaciones representan a una circunferencia real, imaginaria o puntual.
a) x2 + y2 - 6x + 2y + 10 = 0
b) x2 + y2 + 4x - 8y - 5 = 0
c) 3x2 + 3y2 - 4x + 2y + 6 = 0
4.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos:
a) (4, 5), (3, -2) y (1, -4) b) (8, -2), (6, 2) y (3, -7) c) (1, 1) , (1, 3) y (9, 2)
5.- Hallar la ecuación de la circunferencia circunscrita al triángulo de lados:
a) x - y + 2 = 0, 2x + 3y - 1 = 0 , 4x + y - 17 = 0
b) x +2y - 5 = 0, 2x + y - 7 = 0 , x - y + 1 = 0
c) 3x + 2y - 13 = 0, x + 2y - 3 = 0 , x + y - 5 = 0
6.- Hallar la ecuación de la circunferencia inscrita al triángulo de lados:
a) 4x - 3y -65 = 0 , 7x - 24y + 55 = 0 y 3x + 4y - 5 = 0
b) 4x - 3y = 0 , 4x + 3y - 8 = 0 y y = 0
Sol. x2 + y2 - 20x + 75 = 0
7.- Hallar la ecuación de la circunferencia de centro (-2, 3) que sea tangente a la recta 20x - 21y -42 = 0
Sol. x2 + y2 + 4x - 6y - 12 = 0
8.- La ecuación de una circunferencia es 4x2 + 4y2 -16x + 20y + 25 = 0. Hallar la ecuación de la
circunferencia concéntrica que es tangente a la recta 5x - 12y - 1 = 0.
9.- Una circunferencia de radio 13 es tangente a la circunferencia x2 + y2 - 4x + 2y - 47 = 0 en el punto
(6, 5). Hallar su ecuación. (Dos soluciones)
10.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (5, 9) y es tangente a la recta x + 2y -3
= 0 en el punto (1, 1).
11.-Una circunferencia de radio 5 pasa por los puntos (0, 2) y (7, 3). Hállese su ecuación. (dos
soluciones).
12.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por el punto (6, 1) y es tangente a cada una de las
rectas 4x - 3y + 6 = 0 , 12x + 5y - 2 = 0. (Dos soluciones)
13.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (-3, -1) , (5, 3) y es tangente a la
recta x + 2y - 13 = 0. (Dos soluciones)
14.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa por los puntos (6, 2) y (8, 0) y cuyo centro está
sobre la recta 3x + 7y + 2 = 0 .
15.-Hallar la ecuación de la circunferencia tangente a la recta x + 2y = 3 en el punto (-1, 2) y cuyo
centro está en el eje Y .
16.- Hallar la ecuación de la circunferencia que pasa que pasa por la intersección de las circunferencias:
x2 + y2 - 2x - 24 = 0 , x2 + y2 + 6x + 2y + 6 = 0 y por el punto (1, 1)
17.- Hallar la ecuación de la recta que pasa por los puntos de intersección de las circunferencias:
x2 + y2 - 4x + 2y - 4 = 0 y x2 + y2 + 4x = 0.
18.- Obtener la ecuación del eje radical de las circunferencias:
x2 + y2 + 4x + 8y + 16 = 0 y x2 + y2 - 10x + 16 = 0.
19.- Hallar la ecuación de la cuerda común a las circunferencias:
x2 + y2 + 3x - 2y - 7 = 0 y x2 + y2 - x - y + 2 = 0
20.- Hallar los puntos de intersección de las circunferencias:
x2 + y2 - 25 = 0 y x2 + y2 + x + y - 20 = 0