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Análisis Matemático II – Recuperatorio 3erparcial – 21-12-06
Apellido y Nombre:
1.
a) Dada f ( x , y )  x y ( x  3)( y  2) hallar todos sus puntos críticos y clasificarlos. En el caso de puntos
dudosos, clasificar sólo uno de ellos.
 x  2 y  3 z  14
b) Hallar el punto de la recta L : 
más cercano al origen. Resolver primero por
  x  3 y  3 z  14
multiplicadores de Lagrange y luego mediante parametrización de L .
2.
a) Hallar las ecuaciones de las trayectorias ortogonales a las curvas integrales de la siguiente EDO:
( x 2  2 xy ) dx  (1  xy ) dy  0
b) Dada la EDO lineal: x 2 y' ' x y' y  0 (*)
i) Comprobar que y1 ( x)  x es solución particular de (*). Se propone una segunda solución particular de la
forma y 2 ( x)  x u( x) siendo u( x ) una función a determinar. Para ello, reemplace y 2 en (*) y muestre que
u( x ) debe satisfacer la EDO: x u ' '3 u '  0 (**)
Defina w ( x )  u ' ( x ) , exprese (**) por medio de w , resuelva para hallar w ( x ) y luego halle u( x ) e y 2 ( x )
ii) Escriba la solución particular y P de (*) que verifique y P (1)   2 ; y ' P (1)  8
3.
a) Sean: x 3 z  ln ( x y )  yz 3  2  0 ; Q o (1,1,1) Mostrar que la ecuación dada define impl\ícitamente
x  f ( y , z ) localmente en Qo Deducir además los valores de f ' y (1,1) ; f ' z (1.  1) Averiguar si el TFI
permite asegurar que la ecuación define implícitamente y  f ( x , z ) localmente en Qo
 x2  y2  z2  3
b) Mediante el TFI mostrar que el sistema  2
define implícitamente x  f ( z ) ; y  g( z )
3
4
2 x  2 y  z  5
en un entorno de Q o (1,1,1) . Verificar las hipótesis y escribir la conclusión del TFI para este ejemplo particular.
Deducir luego los valores de f ' (1) y g ' (1)