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CALCULO DIFERENCIAL E INTEGRAL II
TEMA Nº 6
(Ultima actualización 25-9-2013)
FUNCIONES IMPLÍCITAS
Funciones implícitas de una variable independiente:
Definición: Se considera que “y” es función implícita de la variable independiente “x”, cuando está
establecida indirectamente mediante una ecuación del tipo: F(x; y)  0
Consideremos la expresión: F(x; y)  x 2  y 2  a 2  0 , que es la ecuación de una circunferencia que
tiene su centro en el origen de coordenadas y radio “a”.
La forma explícita, y  f(x) o bien x  g(y) de la precedente función es: y  a 2  x 2 o
x  a 2  y 2 , respectivamente en ciertos convenientes dominios.
En muchos casos, dada la ecuación F(x , y) = 0, es posible pasar de la forma implícita a la forma
explícita y  f(x) mediante procedimientos puramente algebraicos (como se ha realizado en el
ejemplo dado). Pero existen también casos en que ello no es posible.
Por ello trataremos de resolver el problema de determinar las propiedades de una función
y  f(x) definida implícitamente por F(x; y)  0 , sin necesidad de pasar a la forma explícita.
No debe pensarse que toda expresión de la forma F( x; y)  0 determina una función y  f(x) o
x  g(y) . Es fácil dar ejemplos de funciones F ( x; y ) que igualadas a cero no determinan
soluciones en términos de una variable. Así por ejemplo, sea la función x 2  y2  0 solo se satisface
para el punto x = 0; y = 0, y no existe por lo tanto función y = f(x)
Otro ejemplo más drástico aún es el siguiente: F(x; y)  x 2  y 2  1 , que al igualar a cero, resulta
que no hay ningún valor real ni de “x” ni de “y” que satisfaga la expresión precedente.
Se comprende entonces la necesidad de hallar condiciones bajo las cuales la expresión F( x; y)  0
define una función y  f(x) o x  g(y) y cuales son las propiedades de éstas, en relación con las
propiedades de F( x; y)  0
Antes de dar el teorema de existencia, haremos algunas consideraciones de carácter geométrico
intuitivo.
z  F(x; y)
, cuya solución es la
z0
La ecuación F(x; y)  0 resulta equivalente al sistema siguiente: 
curva en que la superficie z  F(x; y) es interceptada por el plano z = 0 (plano x y).
Cuando esta curva de intersección exista, o en otras palabras, cuando la superficie z  F(x; y)
corte realmente al plano (x ; y) dicha curva de intersección será el gráfico en el plano (x , y) de una
función y = f(x) expresión explícita de F(x; y)  0 .
Vale decir que cuando F(x; y)  0 define una función y=f(x), se verifica : F(x; y)  Fx; f(x)  0 .
En relación con las posiciones relativas de la superficie z =F(x, y) y el plano coordenado (x,y)
analicemos las distintas situaciones geométricas que pueden presentarse:
1
Una primera posibilidad es que la superficie z  F( x; y) y el plano (xy) no tengan puntos en
común, por ejemplo el ya citado: z  F(x; y)  x 2  y 2  1  0 .
En tal caso es obvio que no existe curva de intersección con el plano (x y) y por lo tanto no existe
solución y = f(x) ni x = g(y).
Por ello, se hace necesario considerar solo aquellos casos en que haya por lo menos un punto (x0,y0)
que satisfaga la ecuación F(x; y)  0 . Estos valores (xo , y0 ) constituyen la llamada “solución
inicial” de F(x , y)=0
Si existe una solución inicial (x0,y0), geométricamente restan dos posibilidades
1. Que el plano tangente a la superficie z  F(x; y) en el punto P0(x,y,0) sea horizontal.
2. Que el plano tangente a la misma superficie en el punto considerado No sea horizontal.
Si el plano tangente a la superficie en P0(x,y,0) es horizontal, es fácil dar ejemplos que muestran
que la solución y = f(x) ó x = g(y) puede o no existir.
Así, F(x; y)  x 2  y 2  0 tiene la solución inicial, siendo horizontal el plano tangente
correspondiente a dicho punto (es el mismo plano (x y) como se ve aplicando la ecuación del plano
tangente: z  z 0  Fx (x 0 ; y 0 )(x  x 0 )  Fy (x 0 ; y 0 )(y y 0 ) .
Pero F(x; y)  x  y  0 no define ninguna función y = f(x) ni x = g(y)
Por otra parte, es completamente posible que la ecuación F(x; y)  0 tenga una solución y = f(x)
o bien x = g(y), aún cuando el plano tangente en P(x0,y0,0) sea horizontal. Como ejemplo
F(x; y)  (y 2 x) 2  0 , de la cual se deduce la función explícita y = 2x o bien la función x =
y/2.
Por ello, en el caso excepcional de plano tangente horizontal correspondiente a la solución inicial,
no podemos hacer ninguna afirmación de carácter general.
La posibilidad restante es que para la solución inicial (x0,y0), el plano tangente no sea horizontal.
La intuición nos muestra entonces que la superficie z = F(x ; y) no puede “doblarse” tan
rápidamente, lo suficiente como para eludir cortar al plano x y en las proximidades de P0(x,y,0) en
una bien definida curva de intersección, y que esta porción de la curva en las vecindades de
(x ; y ,0) puede ser descripta por funciones y = f(x) o x = g(y).
2
0
2
0
El hecho que el plano tangente en P0(x,y,0) no sea horizontal equivale a establecer que
Fx ( x 0 ; y 0 ) y Fy ( x 0 ; y 0 ) no son nulas simultáneamente. (Recordar la ecuación del plano
tangente).
Recapitulando, resulta que hemos llegado, mediante consideraciones puramente intuitivas de
carácter geométrico, a la conclusión que sí:
1) Existe una solución inicial (x0,y0) de F(x,y)=0
2) Existe plano tangente a la superficie z=F(x,y) en (x0,y0 ), (F es diferenciable en (x0,y0))
3) El plano tangente en (x0,y0,0) no es horizontal para lo cual basta que por lo menos una de las
derivadas parciales Fx o FY no sea nula en (x0,y0), entonces existe curva de intersección de la
superficie z = F(x ,y) con el plano coordenado z = 0 en las proximidades de (x 0,y0,0) y en
consecuencia F( x; y)  0 define una función y = f(x) o bien x = g(y).
2
Los resultados obtenidos de manera geométrica intuitiva los discutiremos a continuación en forma
analítica rigurosa.
TEOREMA I
De existencia, unicidad, continuidad, derivabilidad y diferenciabilidad de funciones definidas
en forma implícita
Sea z = F (x , y) una función de dos variables que satisfaga las siguientes condiciones:
1.
F(x 0 ; y 0 )  0 (existe solución inicial), para algún punto P(x0,y0)  R2.
2.
Fx (x; y)
3.
F(x ; y) como función de dos variables y por lo tanto la existencia del plano tangente a la
superficie z = F(x , y) en el punto (x0,y0,0).
Fy (x 0 ; y 0 )  0 , lo cual asegura que el plano tangente en (x0,y0,0) no es horizontal, entonces
y
Fy (x; y)
existen y son continuas , lo cual asegura la Diferenciabilidad de
es posible determinar un entorno rectangular que contenga al punto P(x 0 ; y 0 ) : 
x1
 x  x2
 y1  y  y 2
tal que para cada x perteneciente al intervalo de la recta real (x1,x2), la ecuación F(x , y) = 0
determina uniformemente un valor y = f(x), perteneciente al intervalo real (y1,y2) cumpliéndose
Fx; f(x)   0  x  (x1,x2). La función y = f(x) satisface la ecuación y0  f ( x0 ) . Además y =
f(x) es continua y diferenciable y su derivada y diferencial son respectivamente:
Fx (x; y)
F (x; y)
dy
. dx , en todo punto en que Fy(x,y)  0.
f (x)  y  
 x
, dy  
Fy (x; y)
dx
Fy (x; y)
Demostración: El plan de demostración es el siguiente : a) Existencia y unicidad
b) Continuidad y c) Derivabilidad y Diferenciabilidad
a) Existencia y unicidad.
Estableceremos un rectángulo x  x  x ; y  y  y en el cual la ecuación F(x;y) = 0
1
2
1
2
determina una única función y = f(x); pero se debe aclarar que no vamos a tratar de encontrar el
mayor rectángulo de este tipo, solo debemos demostrar que ese rectángulo existe. Ver Figura 1
Figura 1
3
Como por hipótesis Fy ( x; y) es continua y, Fy (x 0 ; y 0 )  0 podemos encontrar un rectángulo R que
contiene a P( x 0 ; y 0 ) que sea lo necesariamente pequeño como para que en todo R la función
Fy (x; y)  z y sea diferente de cero y por lo tanto tenga siempre el mismo signo.
Sin perder generalidad podemos suponer que este signo es positivo.
Si no fuera así, reemplazaríamos F por - F, para lo cual también vale -F(x0;y0) = 0 , o sea
Fy (x; y )  0  (x; y )  R (1)
Por (1), en cada segmento x = cte (paralelo al eje y) contenido en R; la función z = f(x , y)
considerada como función de y solamente (x = cte) es monótona creciente en sentido estricto.
Consideremos en particular x=x0. Como F( x 0 ; y 0 )  0 , y por ser monótona estrictamente
creciente la función z = F(x0,y), existirá un punto A (x 0 ; y1 ), y1  y 0 tal que el valor de F en A
es negativo; F(x 0 ; y1 )  0 y existirá un punto B tal que F(x 0 ; y 2 )  0 .
Pero por la continuidad de z = F(x,y) se deduce que z = F(x,y) será negativa no solo en A ,sino en
todo un entorno de A, en particular, a lo largo de un segmento y = y1 que contenga a A y esté
contenido en R y z = F(x,y) será positiva no solo en B, sino en todo un entorno de B, en particular,
a lo largo de un segmento y = y2 que contenga B y este contenido en R.
Ahora elegimos el intervalo x  x  x lo suficientemente pequeño como para que:  F( x; y1 )  0
1
2
F( x; y 2 )  0
x / x1  x  x 2 Supongamos que fijamos x en cualquier valor del intervalo x1  x  x 2 ,
y que y aumenta desde y1 hasta y2. Como
Fy ( x; y)  0 , z = F(x , y) crece estrictamente continua
y monótonamente desde un valor negativo F( x; y1 )  0 , hasta un valor positivo F( x; y 2 )  0 , y
no puede nunca tener el mismo valor para dos puntos de igual abscisa x.
Entonces, para cada valor de x del intervalo x1  x  x 2 , existe un valor de y unívocamente
determinado para el cual F(x ; y) = 0 con y1  y  y2 . Luego, este valor de y es función de x:
y  f(x) . Hemos probado así la existencia y unicidad de la función y = f(x) que es solución de
F(x , y) = 0 en el rectángulo x1  x  x 2 ; y1  y  y2 .
Nota: Es evidente el papel primordial desempeñado en la demostración por la hipótesis
Fy (x 0; y 0 )  0 , que nos asegura que el plano tangente en (x0,y0,0)no es horizontal.
b) Continuidad de y = f(x).
Queremos demostrar que y = f(x) es continua en el rectángulo x1  x  x 2 ; y1  y  y2 .
Demostraremos primeramente la continuidad de la función y = f(x) en un punto (x0 ; y0 ) que
satisface la ecuación y 0  f (x 0 ) .
Para ello, debe demostrarse que dado un   0 arbitrario, es posible hallar otro número positivo
  () tal que: f(x)  f(x 0 )   para x  x 0   .
De igual forma que en el punto anterior, se demuestra que existe unívocamente y=f(x) / F(x , y) = 0
en el rectángulo y 0    y  y 0   ; x 0    x  x 0   , donde  se ha elegido en función de 
tal como antes elegimos el intervalo x1  x  x 2 , en función del y 1  y  y 2 .
4
Figura 2
y0    y  y0  
x0    x  x0  

y  y0  
x  x0  
Pero
y 0  f (x 0 )
y  f (x)
f ( x )  f ( x 0 )  ,
luego
x  x 0  .
Esto último nos indica lim f ( x)  f ( x 0 ) , que nos determina la continuidad de y = f(x) en x0.
x x 0
Como este razonamiento puede aplicarse a cualquier punto del intervalo x 1<x<x2, queda probada la
continuidad de y=f(x) en todo este último intervalo.
c) Derivabilidad de y = f(x).
Por la hipótesis segunda, que implica la diferenciabilidad de z = F(x , y), podemos escribir:
z  F  F( x  h; y  k )  F( x; y)  h. Fx ( x; y)  k. Fy ( x; y)  1 . h   2 . k ,
donde 1  2  0 , con h  k  0.
(2)
Ahora, para y = f(x), entre h y k no existe independencia.
Así, es y k  f(x h),k  f(x h)  y  f(x h)  f(x) . (3)
Suponemos también que los puntos (x,y) ; (x+h ,y+k) pertenecen al rectángulo donde y=f(x) esta
definida en forma implícita por F(x,y)=0. Entonces es
F(x;y) = 0; F(x+h ; y+k) = 0 . Luego:
0  h. Fx  k. Fy  1 . h   2 . k Dividiendo por h. Fy lo anterior, tenemos
0
k.Fy
h.Fx
 .h
 .k
, esto es

 1
 2
h.Fy
h.Fy
h.Fy
h.Fy
5
Fx k 1
k . 2
F
  
k
 

 x  1  2   1 , y tomando límite para h0 será:
Fy h Fy h . Fy
Fy h 
Fy  Fy
 F (x; y) k 
    F (x; y)
k
0  lim x
 1  2   1   x
 lim , por (3) y (2) y la continuidad de f(x).
h0 F (x; y)
h 
Fy  Fy  Fy (x; y) h0 h
 y
F x, y 
k
f(x  h)  f(x)
 Fx ( x; y)
dy
 x
 lim  lim
, o sea
en (x,y) / Fy (x,y)0. (4)
 y 
h 0 h
h 0
h
Fy x, y 
dx
Fy ( x; y)
0
Fx ( x; y)
. dx , esto es Fx ( x; y). dx  Fy ( x; y). dy  0 . Resultado
Fy ( x; y)
que se hubiera obtenido diferenciando F(x,y)=0 comoi función de dos variables
De (4) se deduce que dy  
Funciones Implícitas de n variables independientes.
Aquí
establecemos
condiciones bajo las cuales
una expresión de la forma
F( x1 ; x 2 ;...; x n ; y)  0 define IMPLICITAMENTE una función y  f ( x 1 ; x 2 ;...; x n ) de n
variables independientes.
El teorema estudiado para funciones implícitas de una variable independiente se extiende
naturalmente para funciones implícitas de n variables independientes. Como en este caso la
demostración es similar a la ya vista, solo se enunciará el correspondiente teorema y se mostrará
como se obtienen las formulas que figuran en él.
TEOREMA II
F(x 1 ; x 2 ;...; x n ; y)  0 una función de n+1 variables que satisface las siguientes
Sea
condiciones:
1º) F(x 1 , x 2 ,...... x n , y o )  0 (existe solución inicial) para algún punto P(x01,x02,...,x0n.y0) 
Rn+1,
o
o
o
2º)
Fx 1 ; Fx 2 ;...; Fx n ; Fy
3º)
Fy ( x1o , x o2 ,...... x on , y o )  0 ,
existen y son continuas (lo que asegura la Diferenciabilidad de F),
entonces es posible determinar un entorno que contenga al punto P ( x 1o , x 2o ,...... x on , y o ) :
1
2

x i  x i  x i
i  1;2;3;..; n , tal que en cada punto del entorno x 1  x  x 2 , i  1,2,... n

i
i
i

y1  y  y 2
la expresión F( x1 ; x 2 ;...; x n ; y) = 0 determina un valor y  f(x 1 ; x 2 ;...; x n )  (y1 , y 2 ) que es único.
En el último entorno mencionado se cumple que:
F  x1; x2 ;...; x n ; f ( x1; x2 ;...; x n )  0 .
Además:
y 0  f(x 1o , x o2 ,...... x on ) y la función y = f ( x 1 ; x 2 ;...; x n ) es continua, diferenciable y sus
derivadas parciales están dadas por:
Fx (x 1 ;...; x k ;...; x n ; y)
y
 k
 k  1,2,..., n ,en todo punto en que
 xk
Fy (x 1 ; x 2 ;...; x k ;...; x n ; y)
6
Fy (x1 ,..., x n , y)  o .
Para obtener esta formula partimos de la diferencial de una función de n variables
y  f(x1 ,..., x n ) : dy  A 1 . dx 1  A 2 . dx 2 ...A n . dx n
Por otra parte, como
dF 
F(x1 , x 2 ,..., x n , y)  0 ,
, donde es
es diferenciable,
Ai 
y
x i
(5)
podemos escribir:
F
F
F
F
. dx1 
. dx 2  ... 
. dx n 
. dy  0
 x1
 x2
 xn
y
Despejando dy en todo punto en que es
Fy (x 1 ,..., x n , y)  o , será:
F
F
x 1
x 2
dy  
. dx 1 
. dx 2 ...
F
F
y
y
F
x n
. dx n
F
y
F
x i
y
Comparando esta última expresión con (5) será: A i 
 
F
x i
y
Derivadas y diferenciales sucesivas de funciones implícitas
para i = 1,2,3,.....,n.
Por comodidad trabajaremos con una expresión de dos variables: F(x; y) = 0 que suponemos
cumple las condiciones del teorema 1 visto para definir y=f(x), ya que la generalización es
inmediata.
dy
F ( x; y)
 y   x
en donde y = f(x), o sea Fx ( x; y)  y. Fy ( x; y)  0 .
dx
Fy ( x; y)
Derivando esta última expresión con respecto a “x” será:
Fx dx Fx dy  Fy dx Fy dy 
dy 







0 ,
  y   Fy 
x dx
dy dx  x dx
dy dx 
dx
Hemos visto que


 Fxx  Fxy . y   Fyx  Fyy . y' . y   Fy . y   0 ,
 y 
 Fxx  Fxy . y Fyx . y Fyy . y 2
Fy

(6)
 Fxx  2 Fxy . y Fyy . y 2
Fy
Si deseamos calcular y’’’ debemos derivar (6) respecto de x, y proceder como antes. Lo mismo
hacemos para las derivadas de orden superior.
Para calcular las diferenciales sucesivas partimos de:
diferenciamos esa expresión teniendo en cuenta que y = f(x).
7
Fx ( x; y). dx  Fy ( x; y). dy  0 y
d Fx . dx  Fy . dy   dFx (x; y). dx   d Fy (x; y). dy  
 dFx (x, y) dx  d Fy (x; y) . dy  Fy (x; y). ddy  
 Fx x . dx  Fx y . dy . dx  Fy x . dx  Fy y . dy . dy  Fy (x; y). d 2 y 
 Fx x . dx 2  2 Fx y . dx . dy  Fy y . dy 2  Fy . d 2 y 
(7)
2
 


 
. dx 
. dy  . F(x; y)  Fy . d 2 y  0,
y
 x

2
 


  x . dx   y . dy  . F(x; y)

d2y   
FY (x; y)
Para calcular d3y se diferencia (7) y luego se despeja d3y. Para calcular las diferenciales de orden
superior de y=f(x) se procede en forma análoga a la anterior.
8
SISTEMAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
Se trata de investigar, condiciones bajo las cuales un sistema de la forma:
F1 ( x1; x 2 ;...; x n ; y1; y 2 )  0

F2 ( x1; x 2 ;...; x n ; y1; y 2 )  0
determina una solución dada por un sistema de funciones explícitas:
 y1  f1 (x 1 ; x 2 ;...; x n )

 y 2  f 2 (x 1 ; x 2 ;...; x n )
y cuales son las propiedades de la solución, en relación con las propiedades de F1  F2 .
Definiremos primeramente el término JACOBIANO o DETERMINANTE FUNCIONAL.
Si u = u(x ,y) ; v = v(x , y) son dos funciones continuas de las variables independientes x,y ; siendo
u v u v
sus derivadas parciales
también continuas, la expresión:
;
;
;
x x y y
 u
 x
u v
u v
.

.
 
x y
y x
 v
 x

u 
y 

v 
y 

recibe el nombre de Jacobiano o determinante funcional de u,v con respecto a x e y , y generalmente
se denota con alguna de las siguientes expresiones:
J  J
(u, v)

(x, y)


(u, v)
.
(x; y)
Para funciones de n variables:
u1  u1 ( x1; x2 ;...; xn )
u  u ( x ; x ;...; x )
n
 2 2 1 2



un  un ( x1;............ Xn)
es
  u1
 x   
1

(u1 , u 2 ,..., u n )
J
     
(x1 , x 2 ,... x n )
 u n


  x1
9
 u1 
 xn 

  
 un 

 xn 
TEOREMA III
Si
F1 ( x1; x 2 ;...; x n ; y1; y 2 )  F2 ( x1 ; x 2 ;... x n ; y1 ; y 2 )
son dos funciones de n+2 variables, que cumplen las siguientes condiciones:
1º)
o
o
o
o
o

F1 (x 1 , x 2 ,...... x n , y1 , y 2 )  0

o
o
o
o
o

F2 (x 1 , x 2 ,...... x n , y1 , y 2 )  0
para algún punto
P( x1o , xo2 ,...... xon , y1o , yo2 ) 
Rn+2
2º) F1  F2 admiten derivadas parciales de primer orden continuas en un entorno del punto P, lo
que asegura la Diferenciabilidad de F1  F2 como función de n +2 variables.
3º)
JP
  ( F1 ; F2 )
 
 ( y ; y )
1
2

 F1
 y

1

 

P
 F2
 y1

F1
y 2
F2
y 2


 0,


P

entonces se puede determinar un entorno que contenga al punto P (del espacio
 x1
 xJ  x2
J
J
 1
2
 y1  y1  y1
 y1  y
 y2
2
2
2

F1 (x 1 ,..., x n, y 1 , y 2 )  0

F2 (x 1 ,..., x n , y 1 , y 2 )  0
J = 1,2,...,n en el cual
(A)
determina una solución:
y1  f1 (x1 , x 2 ,..., x n )

y 2  f 2 (x1 , x 2 ,..., x n )
Se cumple que:
(B)
y solo una.
0
o
o
o

 y1  f1 (x1 , x 2 ,..., x n ),
 0
o
o
o

 y 2  f 2 (x1 , x 2 ,..., x n ),
F1x1 , x 2 ,... x n , f1 (x1 ,..., x n ), f 2 (x1 ,..., x n )  0

F2 x1 , x 2 ..., x n , f1 (x1 ,..., x n ), f 2 (x1 ,..., x n )  0
10
y que:
R n 2 )
en el entorno mencionado, siendo las funciones dadas en (B) continuas, diferenciables e
independientes.
Demostración:
Partimos de la hipótesis Jp 0 , o sea
F1 F2
F2 F1
.

.
 0
y1 y 2
y1 y 2
en P.
Para que esto se cumpla, las cuatro derivadas no pueden ser simultáneamente nulas en P, entonces
sin perder generalidad suponemos que es:
F1
 0
y1
en P
(C).
F1 (x1 , x 2 ,...... x n , y1 , y 2 )  0
Ahora consideremos la ecuación
(D).
Pero las hipótesis 1 y 2 de este teorema, junto con (C) nos aseguran (Teorema II) que de (D) se
deduce: y1  g( x1 ; x 2 ;...; x n ; y 2 )
derivada respecto de y2 es:
y1
y2
Además se cumple que es
 
(E),
función única continua y diferenciable, cuya
F1
y2
F1
y1
en P.
y10  g(x 10 , x 02 ,..., x 0n , y 02 ).
(F)
(E)
Si reemplazamos (E) en la expresión de F2 se tiene:
F2 ( x1 , x 2 ,..., x n , y1 , y 2 )  F2 [x1 , x 2 ,..., g( x1 ,..., x n , y 2 ), y 2 ]  G[x1 , x 2 ,..., x n , y 2 ]
cuya derivada respecto a y2 (como función compuesta) será:
G
F2 x1
F2 x 2
F2 x n
F2 y1
F2 y 2

.

.
...
.

.

.
y 2
x1 y 2
x 2 y 2
x n y 2
y1 y 2
y 2 y 2
Como x1; x2; ... ; xn no dependen de y2 , será :
por lo tanto: en P´( x 10 ,..., x 0n , y 02 ) es
G
F2 y1
F2 .

.

y2
y1 y2
y2
Pero por (F):
y 1
y 2
F1
y 2
 
F1
y 1
,
y reemplazando esta expresión en la anterior, queda :
11
 xi
0,
 y2
.
 G
 y2



F
2 
y
2


F
2 .
y
1







F
1
y
2
F
1
y
1



1
F
1
y
1
G

y2


 F
 F1
2 .



y

y

2
1



F
 F1
2 .
y

y
1
2




1
.Jp
F1
y1
expresión que existe y es distinta de cero en P(x10 ,..., x 0n , y02 ) .
Pero las hipótesis 1 y 2 de este teorema juntamente con  G  0 en P y con E ,
 y2
nos aseguran que:
F2 ( x1 ; x 2 ;...; x n ; y1 ; y 2 )  G[ x1 ; x 2 ;...; x n ; y 2 ]  0
determina una función
y 2  f2 ( x1; x 2 ; . . . ; x n )
que es única, continua y diferenciable y que cumple
y 02  f 2 (x10 , x 02 ,..., x 0n ) .
Si reemplazamos
y2  f2 ( x1; x2 ; ...; x n ) en la expresión (E) para y1 ,tendremos:
y1  g[ x1; x2 ; ...; x n ; f2 ( x1; x2 ; ...; x n )]  f1 ( x1; x2 ; ...; x n )
que resulta única continua , diferenciable y cumple


y10  g(x 10 , x 02 ,..., x 0n , y 02 )  g x 10 , x 30 ,..., x 0n , f 2 (x10 ,..., x 0n )  f1 (x10 ,..., x 0n )
Reuniendo estas expresiones resulta la solución buscada :
y1  f1 ( x1; x 2 ;...; x n )

y 2  f2 ( x1 ; x 2 ;...; x n )
Calcularemos ahora las derivadas de y1 e y2 con respecto a cada una de las xk. Partimos del sistema:
F1 (x 1 ; x 2 ;...; x n ; y1 ; y 2 )  0

F2 (x 1 ; x 2 ;...; x n ; y1 ; y 2 )  0
12
y derivando (como función compuesta), cada una de ellas respecto de las x k , (teniendo en cuenta
que estas son independientes, todas las derivadas de la forma
x j
x k
son nulas para todo j  k se obtiene:







F1
 F1  y1
 F1  y 2

.

.
 0,
xk
 y1  x k
 y2  x k
F2
 F2  y1
 F2  y 2

.

.
 0,
xk
 y1  x k
 y2  x k
y1
y 2
;
x k
x k
Pasando en cada ecuación los términos independientes al segundo miembro, se tiene:
donde las incógnitas son







F1  y1
 F1  y 2
 F1




y1  x k
 y2  x k
 xk
F2  y1
 F2  y 2
 F2




y1  x k
 y2  x k
 xk
que es un sistema lineal de dos ecuaciones con dos incógnitas, y que puede resolverse por la regla
de CRAMER siempre que el determinante de los coeficientes sea distinto de cero, o sea, siempre
que:
 F1
 y
1


F
2


 y1
F1
y 2
F2
y 2


  0



cosa que ocurre, ya que este determinante es el JACOBIANO antes visto y por hipótesis es  0 en el
punto P .Resolviendo el sistema anterior, tendremos:
 y1

 xk
 y2
 xk





 
F1
y1
F2
y1






 F1 
 xk 

 F2 

 x k 








F1
xk
F2
xk
F1
y2
F2
y2
J








 (F1 ; F2 )
 (x k ; y 2 )
J


J


 (F1 ; F2 )
 (y1 ; x k )
J
 (F1 ; F2 )
 (y1 ; x k )

 (F1 ; F2 )
 (y1 ; y 2 )
Habrá n derivadas de cada una de las funciones y1 ; y2 para k = 1;....;n.
13
 (F1 ; F2 )
 (x k ; y 2 )
 (F1 ; F2 )
 (y1 ; y 2 )

Calculamos ahora las diferenciales dy1,dy2. Diferenciando el sistema F1=0, F2=0 , será:







F1
 F1
 F1
 F1
 dx  ... 
 dx 
 dy1 
 dy 2  0
1
n  y1
x1
 xn
 y2
F2
 F2
 F2
 F2
 dx  ... 
 dx 
 dy 
 dy  0,
1
n
1
2
x1
 xn
 y1
 y2










n
F1
 F1
 dy 
 dy
  
1
2
y1
 y2

k 1

n
F2
 F2
 dy 
 dy
  
1
2
y1
 y2

k 1
F
1  dx
k
k
F
2  dx
k
x
k
x
que también siempre en el punto P puede resolverse en dy1, dy2 como antes, por CRAMER.
SISTEMAS DE M FUNCIONES IMPLÍCITAS.
Deseamos estudiar condiciones bajo las cuales el sistema de m ecuaciones con n+m variables:
F1 (x1 ;...; x n ; y1 ;...; y m )  0,
              


              

Fm (x1 ;...; x n ; y1 ;...; y m )  0,
Determina una solución dada por:
 y1  f1 (x 1 ;...; x n )

         
 y  f (x ;...; x )
m
1
n
 m
cuales son las propiedades de las fi en relación con aquellas de las Fj ( i, j =1,...,m).
TEOREMA 4
Si las
 
Fi (x; y ) ,
para i = 1;....;m, son m funciones de m+n variables que cumplen con las
siguientes condiciones:


 F1 (x 0 ; y 0 )  0
1º)         (existe solución inicial)para algún punto



 F (x
0 ; y0 )  0
 m
 
 
P( x 0 ; y 0 )
 Rn+m
2º) Las Fi (x; y) admiten derivadas parciales de primer orden en un entorno del punto
3º)
Jp
( F1 ; F2 ;...; Fm )


( y1 ; y 2 ;...; y m ) p
F1
y1
Fm
y1
F1
y m
Fm
y m
14
 0
p
 
P( x 0 ; y 0 )
entonces se puede determinar
.
 x 1K  x k  x 2K
un entorno que contiene al punto P. 
 1
2

y J  y J  y j
k = 1,...,n,
J = 1,...,m,
en el cual el sistema de ecuaciones Fi=0(i=1,...,m) determina una solución yj=fj(x1,...,xn), (j=1,...,m)
que es única. Se cumple que y 0j  f j (x 10 ,..., x 0n ) (j=1,...,m) y que en el intervalo mencionado.
Además las funciones son continuas, diferenciables e independientes siendo las derivadas
 j  1,..., m,
 k  1,..., n,
 (F1 ;......... ...; Fm )
 (F1 ;......... ...; Fm )
 yi
 (y1 ;...; x K ;...; y m )
 (y1 ;...; x K ;...; y m )


 (F1 ;...; Fm )
 xk
J
 (y1 ;...; y m )
La demostración de este teorema es análoga a la del teorema III y por ello no la haremos aquí.
APLICACIÓNES DE LOS TEOREMAS DE FUNCIONES IMPLÍCITAS
FUNCIÓN INVERSA:
Consideremos una función de una variable independiente y=f(x).
Vamos a mostrar como se puede utilizar el Teorema 1 de funciones implícitas para determinar
condiciones bajo las cuales existirá la función inversa x=g(y), cuales son sus propiedades y como
calcular su derivada.
Teorema 5:
Si y=f(x) es una función continua con derivada continua, y existe un punto x=x o con yo =f(xo) ^ f '
(xo)  0 (1) ,entonces es posible determinar un entorno que contiene al punto x=x 0 en el cual
y=f(x) define la función inversa x=g(y). Esta función es continua y derivable siendo su derivada
dx
1

dy , en todo punto del entorno mencionado en el cual sea f' ' (x) 0
dy
dx
Demostración: formemos la siguiente función auxiliar F (x,y) = y - f (x) (2)
Si en esta expresión reemplazamos x por x0 e y por y0 ; teniendo en cuenta (1) se obtiene
F(x0;y0) = 0 (3)
Además, como f(x) es continua y con derivada continua, resulta que
Fx (x,y); Fy (x,y) (4)
existen y son continuas, puesto que Fx (x,y) = -f' ' (x) , Fy (x,y) = 1
(que se obtienen derivando (2)).
Pero Fx (x0,y0) = - f' ' (x0) 0 por hipótesis. Esto último, juntamente con (3) y (4) ,nos asegura por
el Teorema 1, que existe x = g (y), que es única, continua y derivable, definida por F(x,y)=yf(x)=0 en un entorno del punto P(x0,y0),siendo:
15
Fy x, y
dx
1
1
1
 
 


dy
dy
Fx x, y
 f '  x
f '  x
dx
, o sea
dx
1

dy
dy
dx
con lo cual queda demostrado el Teorema 5.
Obsérvese que este Teorema no nos informa sobre la forma explícita de la función inversa x=g(y),
sino que, nos suministra condiciones bajo las cuales seguro existe ésta y cuales son sus propiedades
en relación con las de y=f(x).
Nótese que y=f(x) puede interpretarse como una transformación T: x -->y, y cuando existe inversa
x = g(y), se tendrá la transformación inversa T-1 y -->x
T:x-->y
y
x
T-1: y -->x
TRANSFORMACIÓN INVERSA
Consideremos ahora el caso de un sistema de funciones o transformación de la forma
 u  x , y , (5)
T:
 v   x , y .
Cabe preguntarse bajo que supuestos existirá la transformación inversa
 x  f u , v 
T  1
 y  g u , v 
u  x o , y o 
T o
 v o  x o , y o 

y
P(xo,yo))
yo
(6) en cuyo caso se tendría gráficamente:
T
P '(uo,vo)
vo

P
v
x  f  u o , v o 
T 1  o
y o  g u o , v o 
xo
T-1
uo
x
u
Teorema 6: Si las funciones u  ( x, y) , v  (x, y) pertenecen a la clase C1 ( es decir
son continuas y con derivadas primeras continuas.) y existe un punto P(xo ,yo) con
16
 u  (x 0 , y ) (A)
y el Jacobiano en P Jp=  ,    J ,    0,

v


(x
,
y
)
x, y p
 x , y p

entonces se puede determinar un entorno que contenga al punto P, en el cual la transformación (5)
admite inversa (6)
0
0
0
0
Las funciones
0
x  f  u, v  y  g u, v
son diferenciables.
Demostración: Formemos el sistema de funciones auxiliares.
 F u, v , x , y   u  x , y 

 F u, v , x , y   v   x , y 
1
(7)
2
Si reemplazamos u,v,x,y por uo,vo,xo,yo respectivamente en (7) y tenemos en cuenta (A)
Obtenemos
 F u , v , x , y 0   u  x , y   0,

 F u , v , x , y   v 0   x , y   0.
1
0
0
0
2
0
0
0
0
0
0
(8)
0
0
0
Derivando (7) se tiene:
F1
F1
F1
F1
  x x , y ;
  y x , y ;
 1;
 0,
x
y
u
v
F2
x
  x x , y ;
F2
y
  y x , y ;
F2
u
 0;
y como las funciones u  x, y  v  x, y
resulta que F1 y F2 también pertenecen ala clase C1
F2
v
(9)
 1,
pertenecen a la clase C1 por hipótesis,
Finalmente, el Jacobiano de F1 y F2 respecto de x e y es:
F , F 
 F , F 
J 1 2
x, y 
 x , y 
1
2
F1
x

F2
x
F1


y
x


F2

x
y


y
x




y
x


 ,  
(,  )
y

J

x, y 
 x , y 
y
(10)
siendo por hipótesis este Jacobiano en el punto P distinto de cero.
Esta última condición, o sea
 F1 , F2 
 0 , juntamente con (8) y que F1 y F2 sean de la clase C1
 x, y p
nos aseguran ( Teorema 3 ) que existe el sistema:
x  f u, v ,
(11)

 y  gu, v ,
definido por
 F1  u   ( x, y )  0,

 F2  v   ( x, y )  0,
17
en un entorno del punto (u0,v0,x0,y0) el cual está formado por dos funciones que son continuas,
independientes y diferenciables, siendo sus derivadas:
1  y
F1, F2 
0  y
u, y 
  y y
x




F1, F2 
F1, F2 
u
J
J
J
x, y 
x, y 

 F1, F2
y
 x , u 
 
 F1, F2
u
 x , y 



x
 _
J
0  y
 F1, F2
1  y
x
y
 v , y 






F
1
,
F
2
x y
v
J
 x , y 
x y




 F1, F2
y
 x , v 
 
 F1, F2
v
 x , y 
,

x
j
Este teorema informa sobre condiciones bajo las cuales seguro existe (6) y cuales son sus
propiedades en relación con las de (5), pero en general no proporciona la forma explícitamente (6).
La generalización para un sistema de n funciones de n variables se realiza mediante un
procedimiento similar Condiciones suficientes para la existencia de la transformación inversa se
expresan en un teorema análogo a los anteriores.
TRANSFORMACIÓN DE COORDENADAS
Hemos estudiado los sistemas de la forma
u  x , y 
 v  x , y 
T 
 x  f  u, v 
y su inversa T-1 
y  g u, v
Es evidente que estos pueden interpretarse como cambios de coordenadas en el plano.
El hecho fundamental concerniente a los cambios de coordenadas es obviamente la
inversibilidad o sea la biunicidad de la correspondiente transformación, esto es que, a cada punto
de un espacio le corresponde uno y solo uno del espacio transformado.
Por el Teorema 6, este problema de decidir si un sistema dado de funciones define o no un
cambio de coordenadas queda resuelto afirmativamente cuando:
1) las funciones son de la clase C1, y
2) el Jacobiano de la transformación es distinto de cero en todo punto de la región considerada.
Puesto que entonces vimos que existe la transformación inversa.
18
Consideremos ahora algunos hechos generales referentes en primer término a los cambios de
coordenadas en el plano definido por:
u   x, y
 x  f  u, v
(12) T 
y su inversa T-1 
(13)
 v    x, y 
y  g u, v
Cuando se dan las coordenadas (x1,y1) de un punto P1 respecto de un sistema de coordenadas
cartesianas "x,y”, lo que en realidad se hace es fijar la posición de P 1 como intersección de las
rectas x=x1 ; y=y1..
 u  x 1 , y ,
que representan las ecuaciones paramétricas de
 v   x , y ,
Pero al fijar x=x1 , (12) queda 
1
una curva en el plano "u,v", con parámetro "y" ya que x=constante.
De modo que a la recta x=x1 del plano "x,y" le corresponde una curva del plano "u,v"
v
y=y1
y
P´1
y=y1
P1
x=x1
0
x=x1
0
x
u
Análogamente, al fijar la ordenada y=y1 obtenemos las ecuaciones paramétricas de otra curva del
plano "u,v”, con parámetro "x", ya que y =constante. De manera que a la recta y=y1del plano
(x,y) le corresponde otra curva en el plano "u,v". Entonces al punto P1 , que en el plano "x,y" es la
intersección de las rectas x=x1 ; y=y1, le corresponde en el plano "u,v" el punto P'1 , que es la
intersección de las curvas respectivas mencionadas.
En general, a la familia de rectas x=c1 ; x=c2 ;...; x=cn del plano “x,y” , le corresponde una familia
de curvas en el plano "u,v".Análogamente, a la familia de rectas del plano “x,y” y=k1 ; y=k2...y=kn
,le corresponde otra familia de curvas en el plano “u,v”.Recíprocamente, a la familia de rectas u=u 1;
u=u2...u=un del plano”u,v”, le corresponde una familia de curvas en el plano "x,y", al igual que a la
familia de rectas del plano “u,v” v=v1; v=v2...v=vn le corresponde otra familia de curvas en el
plano "x,y"
Transformación de Coordenadas Cartesianas (x,y) a Coordenadas Polares
3
r
y
( r,  )
2
1
r3
r2
r1
x
r=r1
r=r2
r=r3
4
1

1
2
3  4

19
y
P(x,y)
0<r<+ 
y
0    2
r

O
x
x
x
x  r. cos 

x, y 

r
 y  r. sen  J r ,    y
r
 r. cos 2   r. sen 2   r  0
x
  cos 
y
sen 

 r. sen 
r. cos 

en todo punto distinto del O (0,0)
r   x 2  y 2

Geométricamente vemos que es : 
y
  arctg


x
Cambios de coordenadas en el Espacio :
En el espacio podemos hacer consideraciones similares a las efectuadas en el plano Interpretemos
geométricamente algunos hecho generales referentes a los cambios de coordenadas definidos por:
u  x, y, z 
x  f u, v , w 

T:  v   x, y, z  (14) y su inversa T 
 y  g u, v , w  (15)
 w  x, y, z 
z  h u, v , w 


1
Cuando se dan las coordenadas (x1,y1,z1) de un punto P1 respecto a un sistema de coordenadas
cartesianas, lo que en realidad se hace es fijar la posición de P1 como intersección de los tres planos
x=x1 ; y=y1 ; z=z1.Pero al fijar x=x1, el sistema (14) adopta la forma de las ecuaciones paramétricas
de una superficie en el espacio "u,v,w" De modo que al plano x=x1 del espacio "x,y,z", le
corresponde una superficie en el espacio "u,v,w".Las mismas consideraciones se pueden realizar
respecto a los planos y=y1 y z=z1.
Así,al punto P1(x1,y1,z1) del espacio "x,y,z" le corresponde el punto P´de intersección de las
mencionadas tres superficies en el espacio "u,v,w".
20
COORDENADAS SEMIPOLARES O CILINDRICAS: r, ,z
z
P
0 < r < +
0    2
-  z  +
z
y
x
r

x
x  r.cos 

Ty  r.sen 
z  z

y
r   x 2  y 2

y

T 1   arctg
x

zz


 x , y , z
J
 r ,  , z
cos 
 sen 
0
 r . sen 
r . cos 
0
J = r 0
en todo punto no situado sobre el eje z.
JACOBIANO DE UN PRODUCTO O COMPOSICIÓN DE TRANSFORMACIONES
Consideremos la siguiente transformación:
 y1  f1 x 1 , x 2 ,...., x n 
 y  f x , x ,..., x 
2
2
1
2
n
F: 
, (16) Cuyo Jacobiano es:

..........
..........
..........


 y n  f n x 1 , x 2 ,..., x n 
J1 = J
y1, y 2 ,..., y n    y1, y 2 ,..., y n 
, (17)
x1, x 2 ,..., xn   x1 , x 2 ,..., x n 
y supongamos que las variables xi dependen de otras tj variables, es decir:
 x 1  g 1 t 1 , t 2 ,......, t n 
 x  g 2 t , t ,....., t 
 2
1
2
n

..........
..........
.........


 x n  g n t 1 , t 2 ,....., t n 
J2  J
x 1 , x 2 ,....., x n  
t 1 , t 2 ,....., t n 
cuyo Jacobiano es:
(18)
 x 1 , x 2 ,..... x n
 t 1 , t 2 ,..... t n

 . (19)

Hagamos ahora el producto de los jacobianos 1 y 2 (17) y (19)
21
0
0
1


 
 


y1
y
........... 1
x1
x n
x1
x
........... 1
t1
t n
a11
 y , y ,....., y
 x , x ,....., x
1 2
n 
1 2
n  ....................... . ....................
 ......
 x , x ,....., x
 t , t ,....., t
1 2
n
1 2
n
y n
y x n
x
........... n
.......... n
x1
x n t1
t n
a n1
...... a1n
...... .....
.
...... a nn
(20)
Recordando la forma como se realiza el producto de matrices obtenemos:
a11 
y1 x1
y1 x 2
y1
y1 xn
.

.

 ...... 
.
x1 t1
x 2 t1
x 3
x n t1
y 1
y
.
Luego a 11  1 , y ,en general
t 1
t 1
y x
y x
y x
y
a ij  i . 1  i . 2  ......  i . n  i , resultado que reemplazado en (20) da:
x1 t j x 2 t j
x n t j
t j
Pero la sumatoria es
J 1 .J 2
o sea que:

a1 1
a 21

.....
a n1
y1
t 1
a 1n

y2
a 2n
 t 1
.....
......
a nn
y n
t 1
a 1 2 .......
a 2 2 .......
.......... ..
a n 2 .......
 y1 , y 2 ,....., y n
 . x
 x 1 , x 2 ,....., x n 
y1
......
t 2
y 2
......
t 2
.......... ..
y n
.......
t 2
y1
t n
y 2
t n
.....
y n
t n
, x 2 ,....., x n   y1 , y 2 ,....., y n 

 t 1 , t 2 ,....., t n 
 t 1 , t 2 ,....., t n 
1
Notemos que el segundo miembro resulta ser el jacobiano de la transformación producto o
composición de F y G : F . G .
Vale decir que el Jacobiano del producto o composición de dos transformaciones es igual al
producto de los jacobianos de cada una de ellas. Como el producto de transformaciones no es, en
general, conmutativo, hay que tener en cuenta el orden. Veamos ahora el caso particular en que


y  t o sea:
y1=t1 ; y2=t2 .........yn=tn
Resulta entonces que el producto de las transformaciones (18) y (16) da como resultado la
transformación identidad. Por lo tanto, por definición de transformación inversa, (18) es la inversa
de (16) o sea G=F -1 :
 y1  f1 x 1 , x 2 ,....., x n 

F:  y 2  f 2 x 1 , x 2 ,....., x n 

.......... .......... .........

 y n  f n x 1 , x 2 ,....., x n 
, F 1
 x1  g1 y1, y 2,....., yn 
 x 2  g 2  y1, y 2,....., yn 


.............................

 xn  gn  y1, y 2,....., yn 
22
Haciendo el producto de los jacobianos, tenemos:
J
a 11 a 12 ....... a 1n
a 21 a 22 ....... a 2 n
y1 , y 2 ,....., y n  x 1 , x 2 ,....., x n 
.J

x 1 , x 2 ,....., x n  y1 , y 2 ,....., y n  .....
a n1
.......... .. .....
a n 2 ....... a nn

 y1 , y 2 ,..... y n   x 1 , x 2 ,..... x n 
.
 x 1 , x 2 ,..... x n   y1 , y 2 ,..... y n 
en donde, según vimos, es:
yi x1
yi x 2
y1 xn
y1
a11 
.

.
 ...... 
.

1
x1 y1 x 2 y1
xn y1
y1
a12 
y1
 0,
y 2
ya que y1 no depende de y2.
Entonces, todos los
aij serán iguales a cero para
 y1 , y 2 ,..... y n   x 1 , x 2 ,..... x n 
.

 x1 , x 2 ,..... x n   y1 , y 2 ,..... y n 
i  j, y cuando i=j a ij = 1 .
1
0
0
0
.....
0
0
...
1
...
0
...
0
...
.....
...
0
1
...
0
0
0
0
...
1
Así es:
de donde:
 y1 , y 2 ,..., y n   x 1 , x 2 ,..., x n 
.
 1.
 x 1 , x 2 ,..., x n   y1 , y 2 ,..., y n 
Luego :
 y1 , y 2 ,...., y n 
1

,
 x 1 , x 2 ,..., x n 
 x 1 , x 2 ,..., x n 
 y1 , y 2 ,..., y n 
lo que nos dice que el jacobiano de la transformación inversa de una transformación es igual al
inverso del jacobiano de la transformación original, si esta admite inversa.
23