GUIA_8B

UNIVERSIDAD TÉCNICA FEDERICO SANTA MARÍA
DEPARTAMENTO DE FÍSICA
FIS100
GUÍA N°8 - SEGUNDA PARTE
PRIMER SEMESTRE 2011
INFORMACION IMPORTANTE
Los contenidos de la Guía 8, 1ª y 2ª parte, se evaluarán en el Control 7, el viernes 13 de mayo.
Objetivos de aprendizaje:
Esta guía es una herramienta que usted debe usar para lograr los siguientes objetivos:
 Definir, calcular y utilizar vectores unitarios. Definir, distinguir y utilizar las componentes
vectoriales y escalares de un vector.
 Descomponer un vector en sus componentes vectoriales, y expresar estas en función de
componentes escalares y vectores unitarios, en una, dos y tres dimensiones. Calcular magnitud y
dirección de un vector a partir de sus componentes.
 Leer, analizar, plantear y resolver problemas de vectores, especialmente aquellos relacionados
con los vectores: posición, desplazamiento, velocidad y fuerza.
Vectores unitarios, componentes escalares y vectoriales de un vector
1. Una oruga parte de un punto Q, avanza 8,3[m] hacia el Sur y luego continúa en
dirección 30° al oeste del norte (N30°O), deteniéndose en un punto D, habiendo
recorrido en total 20,4[ m]. Calcule el vector desplazamiento de una mariposa que
vuela de Q a D, en términos de los vectores unitarios ê y ŝ .
ê
ŝ
SUR
2.
ˆ y c = ˆi -ˆj , escriba los vectores:
Dados los vectores: a = 4ˆi - 3jˆ , b = 2ˆi + 4j
d=a+ b-2 c
e , tal que 2a - 3 b - e = 0,5c .
y
en función de ˆi y ˆj . Para cada uno calcule la magnitud y el ángulo que forma con el eje +x.
3.
Dados los vectores:
a = 2,0 î + 1,5 ĵ
c = 0,9 î + 1,2 ĵ
b = 1,2 î + 0,9 ĵ
d = 2,4 î + 1,8 ĵ
a) Determine cuáles de ellos tienen iguales magnitudes, y cuáles tienen las mismas direcciones.
b) Encuentre un vector unitario en la dirección de b .
c) Encuentre un vector unitario en la dirección de b – c .
4.
Dados los vectores a = 3 î + 4 ĵ
b = 4 î + 3 ĵ , represente gráficamente cada vector.
y
Represente gráficamente los vectores a  b y a  b , y determine el valor numérico de la expresión:
ab – ab + a + b .
5.
Una persona viaja de P a Q y a continuación desea viajar a R.
Escriba el desplazamiento “que le falta” en función de
.
Si finalmente regresa de R a P, escriba este último desplazamiento
PQ
y PR
como función de PQ y QR .
Exprese los tres desplazamientos en función de los vectores ˆi y ˆj , y
calcule la suma de los tres desplazamientos.
6.
y
1
0
P
1
2
(*) 1[N] = 1 [newton] es la unidad de fuerza en el Sistema MKS. Equivale a
una fuerza que produce una aceleración de 1[m/s 2] al ser aplicada a un
cuerpo de 1 kilogramo de masa.
1
3 x [km]
F1
F2  1,4 F1 .
Encuentre las componentes escalares de una tercera fuerza F3 ,
tal que la suma de las tres fuerzas sea cero. Exprese el resultado
en función de las funciones trigonométricas de  y  .
Pedro Del Canto, Martín Vargas, Gonzalo Fuster
R
2
y
Dos fuerzas F1 y F2 están aplicadas sobre un cuerpo en O,
siendo sus magnitudes: F1 = 15[N] (*)
y [km]
Q
3
O

x

F2
Problemas de planteo
7. El punto P divide al trazo AB en razón de 3:5. El módulo del desplazamiento AP es 15[cm].
Un punto Q, no representado en la figura, está ubicado de tal modo que
AQ  AP y
BQ
= 80[cm].
A
P
B
a) Haga un dibujo en papel cuadriculado mostrando la ubicación del punto Q.
b) Calcule QP
.
8. Considere el trapecio isósceles de la figura y
los desplazamientos indicados, siendo:
a  b  L.
a) Haga un dibujo a escala del trapecio (use el
triángulo aproximado de la figura).
b) Exprese cada desplazamiento c , d , e y f , en
a
b
e
60°
d
f
P
≈ 60°
c
función de a y b .
c) Determine la distancia desde la base del trapecio hasta el punto P de intersección de e y f , en
función del largo L.
9.
Los módulos de los desplazamientos de la figura adjunta valen:
a  4[cm] ,
b  3[cm] , c  5[cm] , d  12[cm] y
e  13[cm].
y
a) Usando funciones trigonométricas, calcule el ángulo  entre
los vectores a y c .
b) Usando el teorema del coseno, encuentre el ángulo entre los
c
x
0
d
vectores c y d .
e
c) Usando el teorema del seno calcule el ángulo  entre e y d .
10.
b
 a
Dos desplazamientos
a
y
b

perpendiculares entre sí tienen magnitudes iguales
a  b  6[cm] .
a) Determine un escalar
 tal que el vector d  a   b
sea perpendicular al vector a  b .
ˆ
b) Determine dos escalares  y  tal que el vector c   a   b̂ que sea unitario, y que esté en
ˆ
la dirección del vector â  b .
11. Los tres vectores representados en la figura cumplen con la relación:
siendo:
p  n  m  0
n  8 y m  5.
Calcule los escalares  y
n
m
37°
p .
53°
p
12.
Un objeto efectúa el desplazamiento a
a lo largo del trazo CA , como se indica en la
figura.
Si
a = 20[ cm] , calcule las componentes
escalares de a en dirección de los vectores
unitarios ̂ y ̂ que son, respectivamente
perpendicular y paralelo al trazo CB .
Pedro Del Canto, Martín Vargas, Gonzalo Fuster
C
a
A
20°
̂
̂
40°
B
Operaciones con vectores en tres dimensiones
13.
En la pirámide mostrada, exprese el vector s en función de los otros
tres vectores.
14.
Un avión sale de un aeropuerto alcanzando tres mil metros de altura
cuando ha viajado cinco kilómetros hacia el Norte y ocho kilómetros hacia
el Este del punto de salida. Usando un sistema de referencia X Y Z con
origen en el punto de salida y el eje Y hacia el Norte, determine:
a) El vector posición r del avión al alcanzar los 3000[ m ] de altura.
b) La distancia del avión al punto de salida.
c) El ángulo de elevación de tal vector posición.
s
r
q
p
Problema 13
15.
Tres cubos iguales, de arista a = 6[ cm ] , están situados
en la forma indicada en la figura. Si N es el punto medio del
trazo AB y si CM  MD / 2 , determine los vectores posición
A
N
B
z
ON , OM y el desplazamiento NM en función de los vectores
ˆ
unitarios i , ĵ , k̂ .
y
C
M
O
D
x
16.
El vector V
de la figura tiene módulo
V
= 10 [ ] , su
z
proyección sobre el eje z vale 5[ ] y su proyección sobre el
plano x-y forma un ángulo de 30  con el eje y.
V
y
a) Exprese V en función de x̂ , ŷ , ẑ . (Notación alternativa para
ˆi ,
ĵ , k̂ )
b) Determine un vector unimodular en la dirección del vector
x
V  5 3 xˆ / 2 .
17.
En el prisma representado en la figura,
ABCD es un rectángulo. El punto P está sobre la
diagonal AE de modo que la distancia de P a E
es un 30% menor que la distancia de P a A.
Exprese BP en términos de
F
E
y c  CE .
P
D
a  AB , b  AD
A
C
B
Pedro Del Canto, Martín Vargas, Gonzalo Fuster