Apunte/Anexos - Facultad de Ciencias Económicas

Virginia Monti – Lic. Santiago Tagle
Julio 2004
TEMAS DE MEDICION
INDICE
1- INTRODUCCIÓN
2- LA IMPORTANCIA DE LA MEDICION
3- MEDICION Y OPERACIONES EMPÍRICAS
4- ESCALAS DE MEDICION
4.1- Escala Nominal
4.2- Escala Ordinal
4.3- Escala de Intervalos
4.4- Escala Racional
5- CONFIABILIDAD Y VALIDEZ
6- CARACTERÍSTICAS DE LAS ESCALAS DE MEDICION
7- CONTEO Y TEORIA DE LA DECISION
8- PROBABILIDAD Y TEORIA DE LA DECISION
8.1- LA PROBABILIDAD
8.2- ESCUELAS DE LA PROBABILIDAD
8.3- ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS ACERCA DE LA PROBABILIDAD
9- EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1
1-INTRODUCCIÓN
El objetivo del presente trabajo es introducir al alumno en la Teoría de la Medición.
No pretendemos de modo alguno realizar un análisis profundo de la misma, sino explicitar
los conceptos básicos necesarios para la comprensión de la importancia del tema y su
aplicación no sólo para la Teoría de la Decisión sino para las ciencias sociales en general.
La ciencia moderna conlleva la observación sistemática y la medición. Cualquiera
sea el nivel de complejidad de una investigación es imprescindible realizar mediciones En
este sentido las ciencias sociales, en sus comienzos se abocaron a la observación
etnográfica, con métodos básicamente cualitativos y, de esa manera, utilizaron técnicas y
procesos que les permitiera la medición de los sucesos.
Galtung (1965) define la medición como “ un proceso de clasificación de unidades
de análisis según alguna característica elegida”.
Por su parte, Carmines y Zelller
(1979) la definen como un “proceso de vincular conceptos abstractos con indicadores
empíricos, proceso que supone una planificación previa tanto de la clasificación como de la
cuantificación.”
De estas definiciones, elegidas entre otras, deducimos que Medir es asignar
números a los objetos o hechos del mundo empírico La
medición
es
el
proceso
de
cuantificar nuestra experiencia de dicho mundo.
En toda medición existe un acto clasificatorio que permite la operacionalización de las
variables bajo análisis.
Las matemáticas, al igual que el lenguaje, son un invento del hombre. Constituyen
un sistema formal, lógico y simbólico.
Sirven para modelizar hechos y relacionarlos con
el mundo real.
Las reglas formales matemáticas son convenciones arbitrarias. De hecho los
primeros matemáticos pensaron que podían poner a prueba sus matemáticas de manera
empírica, demostrando que
2+2 =4 agrupando piedras ( del latín calculus) Este proceso
de agrupar lleva al concepto de número cardinal, que se basa en el principio de
correspondencia e implica no contar.
Es importante, en este punto destacar que medir no es simplemente contar, ya que
contar se refiere al acto de determinar frecuencia mientras que medir se refiere a las
variaciones cuantitativas de las variables bajo análisis. Por medio, de la medición
2
asignamos una categoría o un valor a una variable “x” para un suceso, muestra o población
determinados.
Como cualquier modelo utilizado para representar algo diferente de sí mismo, las
matemáticas “sirven” mejor en algunos
casos que en otros, pero lo cierto es que en
ninguno existe una correspondencia perfecta entre el modelo matemático y las variables
empíricas del mundo real. Ello implica que siempre “pagamos” algún costo al modelizar el
universo, analizado
A través de la medición pretendemos representar el mundo o la porción del mundo
real que percibimos. Mediante los números transformamos lo subjetivo en objetivo y
utilizando las herramientas matemáticas.
2-LA IMPORTANCIA DE LA MEDICIÓN
Para comprender mejor la trascendencia
de la medición es necesario analizar
previamente algunos conceptos. Siguiendo a José Mosterín la variedad de los conceptos
científicos pueden agruparse en tres clases:

Clasificatorios: aquellos que provienen del lenguaje ordinario.

Cuantitativos, métricos o magnitudes: que no tienen correlato con el lenguaje
ordinario. Constituyen una creación del lenguaje científico.

Comparativos: constituyen un tipo intermedio.
Para realizar una medición necesitamos:
1. Un instrumento de medición ( una balanza, un reloj, un test, etc.). Este instrumento
requiere de dos cualidades básicas: confiabilidad y validez. Sobre este tema
volveremos más adelante.
2. Una escala, es decir, una regla de medición.
3. Un procedimiento o función para realizar la medición.
La medición es un proceso mediante el cual cuantificamos el sistema bajo análisis, para
poder efectuar comparaciones.
Así podemos realizar mediciones sobre variables físicas
o sobre variables no físicas, pero medir es algo relativo varía en género y grado, en tipo y
precisión de manera diferente en cada una de ellas.
3
Medir una variable física es establecer cuántas veces una unidad cabe en el objeto
medido. Es el resultado de contar unidades de algo (matemáticamente expresar el cardinal
de un determinado conjunto). Así, por ejemplo medimos la altura de un individuo, la
cantidad de asistentes a un espectáculo, el número de unidades vendidas, los kilómetros
recorridos, la superficie
de un predio, etc. .Todas ellas
Podemos medirlo en escalas
lineales.
Pero cuando hablamos de variables no físicas, no es posible hacerlo en escalas tan
sencillas como las anteriores y este es uno de los problemas básicos de la medición en
ciencias sociales. Muchas veces nos encontramos con que no existen patrones
universalmente aceptados para medir los aspectos cualitativos. Si queremos medir la
distancia entre dos ciudades podemos hacerlo en km., o en millas, pero si queremos medir
el “riesgo social” o la “calidad de vida” de una población determinada, no tenemos ninguna
unidad, ni una escala predeterminada, sino que debemos adaptar alguna ya existente o
crear una ad-hoc.
Para medir este tipo de fenómenos complejos necesitamos realizar una serie de
operaciones. Para lo cual tenemos que:

definir las dimensiones que componen la variable

encontrar patrones o índices que la determinen, y

construir una escala para cada caso
Definimos una escala como un continuo de valores ordenados que tiene principio y fin,
por ejemplo las notas de los alumnos. Una escala puede aportar información objetiva si es
confiable (consistente) y válida, es decir no confusa, que mida lo que realmente se quiere
medir y no otra cosa. Si volvemos al ejemplo de las notas de los alumnos éstas miden su
nivel de conocimiento y no otra cosa parecida como por ejemplo su habilidad para la
oratoria.
Por ello es fundamental conocer:
-qué significan los números.
-cuáles son las operaciones que podemos realizar con ellos.
Como dijimos anteriormente medimos conforme a determinadas reglas, ya que los
números no tienen cualidades y con ellos podemos realizar operaciones que representen el
mundo real.
Una abstracción constituye una construcción mental basada en criterios de asociación
y selección, a partir de la cual construimos modelos. Este proceso de abstracción trae
4
aparejado un costo que de alguna forma pagamos para simplificar la complejidad del
mundo empírico, pero dichos criterios nunca conforman una relación perfecta entre el
mundo real y el modelo.
Estos modelos empíricos llevados a una escala numérica se transforman en un
modelo formal (simbólico). Es
requisito
fundamental
que
la
función
elegida
sea
representativa y cumpla con la condición de invarianza, es decir que no se modifiquen las
cualidades originales de representación del mundo real.
Dice al respecto Keyser “ la
invariancia es el no cambio en medio del cambio, permanencia en un mundo que fluye,
persistencia de configuraciones que se mantienen iguales a pesar del torbellino y presión
de incontables grupos de curiosas transformaciones”
Son requisitos que la representación sea;

Reflexiva: si a R a es válida ( igual a, menor o igual a) siendo R la relación ( por
ejemplo costo de un producto)

Simétrica: si a R b, entonces b R a ( por ejemplo “ser hermano de”)

Transitiva: si a R b, y b R c, entonces a R c (por ejemplo “ser hermano de”)

Conexa: se da en los casos en que los elementos están relacionados.
La
conexidad puede ser:
-
Completa: cuando todos los elementos están conectados por la relación R ó
-
Débil: cuando no hay conexidad entre los cuales la relación es reflexiva.
La medición constituye uno de los problemas con los que se enfrentan las ciencias
sociales.
-
Por ello es importante diferenciar tres campos de investigación:
Sintáctica, que estudia la relación entre signos. Se refiere a las disciplinas formales
de la lógica, matemáticas y sintaxis. Estas proposiciones no tienen contenido empírico, no
expresan nada del mundo real. Son sólo enunciados como los de las leyes del álgebra..
establecen reglas para ordenar y combinar los signos algebraicos.
Por ejemplo: a ² = a x a = a¹ x a
Semántica: se ocupa de las reglas que relacionan signos con objetos. Son
fundamentalmente arbitrarias, ya que son los hombres quienes las crean para su
conveniencia.
Por ejemplo: la palabra perro es un sustantivo; círculo es el nombre
que se le da a una figura de este tipo O.
5
Pragmática:
se refiere a la relación entre los signos y los científicos. Dada su
especificidad, y no siendo el objeto del presente, no ahondaremos en el tema.
3- MEDICION Y OPERACIONES EMPÍRICAS
Dijimos que toda representación del mundo empírico es siempre una abstracción
basada en ciertos criterios de selección y asociación. Estos modelos empíricos llevados a
una escala numérica se transforman en un modelo formal (simbólico). Ese mundo
(universo) empírico está compuesto por variables pasibles de ser clasificadas en niveles,
valores o grados que mantienen relaciones entre sí.
En ese universo observamos tres operaciones básicas, que detallamos a
continuación:
SIMBOLO
INTERPRETACION EMPIRICA
INTERPRETACION EN TD
=I
semejanza
Indiferencia
>P
precedente
Preferencia
agregación
Conjunción
A
4- ESCALAS DE MEDICION
Una escala implica la creación de una regla para asignar números a los diferentes
aspectos de los hechos u objetos. Estos aspectos pueden ser cuantitativos o cualitativos.
Las escalas son posibles porque existe un isomorfismo entre las propiedades de la serie y
las operaciones empíricas que podemos realizar con los objetos o acontecimientos. Pero,
de hecho no todas las propiedades de los números ni todas las propiedades de los hechos
u objetos pueden tener una correspondencia sistemática.
Tanto para las escalas cualitativas como para las cuantitativas existen operaciones
clasificatorias, es decir la ubicación de las unidades de análisis en clases. Por ejemplo de
una determinada población podemos decir cuales individuos son solteros, casados, viudos
o cualquier otra categoría de la variable “estado civil”(cualitativo), también para la misma
población podemos agruparlas en intervalos de nivel de ingresos, estatura, peso, etc.
(cuantitativo). Por ende la clasificación constituye un acto propio de la medición
6
Stevens distingue cuatro tipos de escalas:

Escala nominal

Escala ordinal

Escala de intervalos

Escala proporcional, racional o de cocientes.
Antes de abocarnos al análisis de cada una de ellas es importante destacar que el orden
en que las hemos enunciado, tiene su fundamento en que el grado de precisión y exactitud
de la anterior es menor que el de la siguiente, lo que implica aumenta la información que
recibimos al hacer la medición.
Por ejemplo si entramos en una librería y pedimos un libro para niños (escala
cualitativa) damos menos información que si pedimos un libro para un niño de 5 años
(escala cuantitativa).
Las propiedades de cada nivel son acumulativas, es decir que con la escala de
intervalos realizamos las mismas operaciones que con la escala ordinal y alguna más., y
así sucesivamente.
A continuación analizaremos entonces cada una de las escalas.
4.1 - LA ESCALA NOMINAL
Esta escala es la más elemental al momento de asignar números, ya que éstos se
utilizan como etiquetas, lo que implica que daría lo mismo asignar palabras, letras o
cualquier otro símbolo.
En la escala nominal la regla está dada por no asignar el mismo
número o código a distintas clases o darle los mismos números, o códigos, a distintas
clases.
A modo de ejemplo una escala nominal puede referirse al país de origen de un
individuo, tendríamos entonces:
País de origen
Argentina
Brasil
Francia
Canadá
Nº
8
6
1
4
En esta escala no importa ni el orden ni la jerarquía. El requisito fundamenta es que
sean diferentes entre sí, tal que no existan dos categorías con el mismo número y que no
se mezclen las categorías entre sí.es decir que deben ser mutuamente excluyentes. La
información que nos da una escala nominal es fundamentalmente la diferenciación.
7
La escala nominal es la escala de la codificación, volviendo al ejemplo anterior
entonces podríamos tener:
País de origen
Argentina
Brasil
Francia
Canadá
Nº
8
6
0
4
Letra
V
A
S
O
Símbolo
♦
♠
◘
♥
Sus transformaciones son invariantes y son posibles solamente mediante una
función biunívoca.. No existe un origen en los elementos, es decir que se puede asignar el
número cero.
Universo
Modelo
a
n1
b
n2
c
n3
función biunívoca
Son ejemplos de una escala nominal:

El número de las sedes del CBC.

El número de las camisetas de los jugadores de rugby.

El código asignado a un producto.

El número de las rutas nacionales.

El número de los canales de televisión.
4.2 - ESCALA ORDINAL
Surge de la operación de ordenar rangos, o sea que toda transformación que
preserve el orden mantendrá la forma de la escala ( propiedad isotónica). Es
un
grupo
amplio porque incluye las transformaciones para funciones monótonas (que nunca
decrecen), y consecuentemente no tienen máximos.
8
Los valores de una escala ordinal pueden reemplazarse por su logaritmo, su
potencia, entre otras funciones, pues mantienen invariable la relación de éstas entre los
valores de sus vecinos.
Da origen a la noción de precedencia como por ejemplo. “mejor que”, “preferido a ”,
“antes que” “ superior a”. Acarrea mayor información que la escala nominal y dado que el
orden representa la cualidad esencial de los números, es muy utilizada en la vida cotidiana.
Este tipo de escala pone de manifiesto orden, pero nada dice respecto de intervalos. Al
igual que la escala nominal admite la función monótona y biunívoca pero además conserva
el orden. En cuanto a las mediciones estadísticas admite la mediana pero no el promedio.
En Teoría de la Decisión los órdenes que más utilizamos son preferencia (mayor,
orden estricto), o preferencia / indiferencia ( mayor o igual, orden débil) que sirven para
determinar las preferencias entre las distintas alternativas.
Por ejemplo:

alquilar > comprar

tercerizar > producir en planta

aumentar ventas > bajar costos
Una escala ordinal es nominal pero no viceversa. Así por ejemplo, si decimos “Pedro
vive más lejos de mi casa que Juan” no especifico cuanto más lejos, ni hago referencia a
los intervalos (cuadras, kms., millas).
Por ejemplo, si nos referimos a la altura de un grupo de individuos podemos decir:
Muy Alto
Alto
Mediano
Bajo
8
6
3
2
Daremos algunos ejemplos a efectos de clarificar esta escala

Yo quiero a Juan más que a Pedro.

Prefiero el tomate a la lechuga

Prefiero la pizza a la tarta y la tarta a la milanesa
En ninguno de estos casos puedo establecer cuanto.
Puede establecer la preferencia
pero no el intervalo
Son ejemplos de escalas ordinales:
9

La numeración de las filas del teatro.

La numeración de los edificios de una calle.

El número de los departamentos de un piso.
4.3- ESCALA DE INTERVALOS
Es cuantitativa en sentido ordinario de la palabra. Se aplican en ella todas las
medidas estadísticas usuales, excepto aquellas en las que existe un punto cero verdadero
En esta escala el cero es arbitrario, ya que la forma de la escala permanece invariable al
añadírsele una constante, tal como sucede con las escalas de temperatura de grados
centígrados y Fahrenheit. Iguales intervalos de temperatura en las escalas implican
volúmenes iguales de expansión. También la energía se mide en una escala de intervalos.
La transformación de un valor numérico de una escala se transforma al valor de otra por
medio de una ecuación:
y = ax + b
Muchas de las escalas que se utilizan en los test psicológicos y de rendimiento se
miden en una escala de intervalos.
Así utilizamos escalas de intervalos en la medición de “clima organizacional”,
“satisfacción del cliente”, “calidad de atención al público”, “grado de conocimiento de un
alumno”; etc.
En la Teoría de la Decisión utilizamos, por ejemplo, al menos una escala de
intervalos para el método lineal de resolución de objetivos múltiples, a efectos de valorar
los atributos de los distintos objetivos.
Los intervalos deben ser mutuamente excluyentes, es decir que cada dato debe
pertenecer a un solo intervalo. Por ejemplo si estamos analizando por grupo etario una
población determinada diremos:

Hasta veinticinco años;

Mayor de 25 años, de modo tal que 25 años entre en un solo intervalo.
4.4- ESCALA RACIONAL
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Esta escala, llamada también proporcional o de cocientes tiene todas las
propiedades de las escalas anteriores, pero además se añade la existencia de un cero real,
lo que hace posible el uso de todas las operaciones matemáticas: igualdad, orden
jerárquico, igualdad de intervalos e igualdad de razones. Admite todas las operaciones y
medidas estadísticas. Permite asignar números de forma tal que las proporciones iguales
entre ellos correspondan a razones iguales de alguna variable.
Una vez elaborada una
escala proporcional, sus valores pueden ser transformados (como Km. a millas)
multiplicando cada valor por una constante.
Son las que se encuentran con mayor frecuencia en la física. Son ejemplos de
escalas racionales el peso y la longitud. Observemos que en estos ejemplos el cero físico
existe, representa inexistencia de la variable o fenómeno a medir.
Estas escalas son altamente específicas, estructuradas y acarrean un alto grado de
información. Constituyen la expresión de lo cuantitativo.
Las transformaciones que preservan la invarianza en la escala racional son las de
similitud:
y = ax (para todo x = 0)
Difícilmente, las escalas racionales intervienen en la medición de las ciencias
sociales, ya que son contados los casos en que las variables pueden ser definidas con
exactitud y precisión ésta escala requiere. La economía y la demografía son, entre las
ciencias sociales, las que más utilizan la escala proporcional.
5- CONFIABILIDAD Y VALIDEZ
Cuando medimos algo, tanto en ciencias físicas como en ciencias sociales, siempre
existe un determinado grado de error. Así dos mediciones de características iguales
repetidas en los mismos individuos nunca se duplican exactamente.
En la práctica de la experimentación se presentan errores experimentales o incertezas:

Imperfecciones inevitables del instrumento.

Limitaciones de nuestros sentidos.
Las causas de estos errores o incertezas pueden ser de orígenes diversos:
11

Originadas en el observador, que comete pequeños errores de apreciación al leer
los instrumentos.

Originadas en el instrumento de medición, que eventualmente sufra alguna tensión,
deformación u oscilación.

Originadas en pequeñas variaciones de las condiciones ambientales del laboratorio.
Éstos serán considerados y comprendidos en el intervalo que exprese nuestra
medida.
Para que el instrumento sea eficaz debe reunir dos condiciones esenciales:

Confiabilidad: es decir estabilidad o constancia en los resultados. Si un metro hoy
informa que el lote A mide 15,75 m. x 25 m.; mañana 16,93 m. x 24,5 y pasado 15,59 m. x
26m., entonces es poco confiable
Si un test de “satisfacción en el trabajo””arroja
resultados altamente disímiles en diferentes momentos sucesivos probablemente tampoco
sea confiable.
Debemos tener en cuenta que la constancia nunca es perfecta, pueden existir pequeñas
variaciones que no comprometen la confiabilidad del instrumento de medición. Volviendo
al ejemplo del lote si la variación es de 0,03 cm, entonces no es significativo. En cuanto al
ejemplo, del test si los diferencias se deben a razones naturales o simplemente a cambios
en el comportamiento del o los individuos, entonces no implica necesariamente que el
instrumento no sea confiable.
Es decir que el concepto de confiablilidad se relaciona con la calidad del instrumento
mismo no del individuo o la variable bajo análisis.
La evaluación de la confiabilidad de un instrumento de medición requiere dos tipos de
mediciones una experimental y otra estadística.
Los procedimientos experimentales se encuentran íntimamente vinculados con los
aspectos lógicos del problema, razón por la cual primero se deben analizar los objetivos de
una medida de confiabilidad.

Validez: un test o cualquier otro instrumento puede ser confiable pero no válido. Es
válido sólo cuando mide lo que realmente quiere medir. Probablemente esto parezca una
obviedad, pero si con un test queremos medir memoria y sólo medimos angustia, entonces
no tiene validez.
Estos mismos requisitos de confiabilidad y validez enunciados para los
instrumentos son aplicables a las escalas.
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6- CARACTERÍSTICAS DE LAS ESCALAS DE MEDICIÓN
ESCALA
Función.
Básica
NOMINAL
Permite
operación
entre elementos de
distintas clases y la
igualdad
entre
elementos basada en
ciertos atributos con la
operación posibilidad
de
colocarlos
en
clases
ORDINAL
Da origen a la
noción
de
precedencia.
Permite establecer
relaciones
posibles de orden,
indicar o recoger
el
orden
de
elementos relativo
a
alguna
característica pero
no
revela
la
distancia
entre
esos elementos,
Operacione
s empíricas
Igualdad
Orden Jerárquico
El
cero
no
es No hay operación
necesario
por
la física.
Los
amplia generalidad de instrumentos
la escala.
utilizados en los
fenómenos
cualitativos son la
estadística
no
Origen
paramétrica
Es
intensivo.La falta
de operación y
relación
entre
intervalos lleva a
que el cero no sea
requerido.
TransforBiunívoca
Monótona
maciones
y=f(x)
f(y)<f(x)
permitidas Mod. Isomórfico
Mod. Homomórfico
hasta una
(Modela
y
función
Transforma)
Moda (el valor más Mediana (Valor del
frecuente), operación elemento central),
de frecuencias
percentiles. Puede
Operacióne
aplicarse cualquier
s
Operación
estadísticas
aritmética pero el
permitidas
resultado
sólo
tendrá sentido si
mantiene el orden.
INTERVALOS
Permite establecer
proporciones entre
intervalos
porque
puede representar
válidamente
aspectos empíricos,
la
igualdad,
desigualdad y ratio
s diferencias. No
requiere un cero
empírico,
debe
crear
un
cero
arbitrario y una
unidad de medida
para
que
los
intervalos
tengan
un sentido en el
ambiente físico.
Igualdad
entre
diferencias
Origen
físico
arbitrario: no hay un
origen físico de
suficiente precisión
o
manipuleo
práctico. Requiere
inventar una unidad
de medición para
que los intervalos
tengan sentido en
un ambiente físico
RACIONAL
Permite
hacer
proporciones
directas
porque
hay
un
cero
absoluto, físico. La
igualdad,
desigualdad
de
ratios
de
mediciones
y
diferencias. No hay
cantidades
negativas.
Igualdad
entre
razones
Origen
físico
natural
o
cero
absoluto:
se
impone de por sí
físicamente.
Implican
cierta
operación
del
espacio.
operaciones
operación
y=ax+b
y=ax
Mod. Homomórfico Mod. Homomórfico
(Transforma)
(Transforma)
Promedio o media Media geométrica
aritmética (x) y valor (Gn= x1.x2...xn)
esperado, Varianza
(s2), Desvío medio
cuadrático (s)
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7- CONTEO Y TEORIA DE LA DECISION
Contar es calcular el número de unidades de alguna cosa, hacer cuentas según
reglas matemáticas. Para la Teoría de la Decisión, los principios del conteo son utilizados
fundamentalmente para analizar la variedad de comportamientos del universo
bajo
análisis.
Supongamos que nos encontramos ante la disyuntiva de decidir en qué posición
debe quedar una llave de luz.
Más allá de los motivos que podamos
tener para
modificar el estado en que se encuentra dicha llave, debemos conocer qué alternativas
existen, es decir, cuántas posiciones distintas tiene la tecla. ¿Cómo lo hacemos?
Sencillamente contando, si solo puede estar en "Sí" o "No", tiene 2 posiciones. Esta es
entonces la totalidad de estados que puede asumir esta variable "llave de luz".
¿Pero qué ocurre si en vez de encontrarnos ante una única llave, estamos
manejando, por ejemplo, un tablero de control compuesto de 5 controles distintos?.
Los
controles serían la llave de "Si" "No"; una perilla de 5 posiciones; un control de positivo,
neutro y negativo; un nivelador de potencia de 4 niveles y una palanca de "encendido"
"apagado". ¿De cuántas formas distintas podremos combinar estos 5 controles? Aquí el
tema se torna más complejo, y ya no podremos
resolverlo como lo hicimos antes.
Necesitamos alguna herramienta que nos permita, más allá de la complejidad del
caso, resolver el problema.
Analizaremos el problema por partes, para comprender el origen de la fórmula.
Si quisiéramos saber de cuántas formas distintas podríamos combinar la llave Si-No
con la perilla de 5 posiciones, podemos recurrir a la teoría de los conjuntos y confeccionar
el siguiente gráfico:
Llave de Luz
SI
NO
Perilla
1
2
3
4
5
6
Contado todas las uniones realizadas obtenemos un total de 10 combinaciones
distintas (por ejemplo, llave de luz en "SI", perilla en "1"). Nótese que este resultado es el
mismo que se obtiene multiplicando los 2 estados de la primer variable por los 5 estados
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de la segunda variable. Ahora bien, ¿qué ocurre si a estas dos variables le agregamos el
medidor de potencia? Como se puede observar en el gráfico, se torna más complejo de
contar (complete el alumno la unión de las 5 posiciones de la 2da variable con las 4 del
medidor)
Llave de Luz
SI
NO
Perilla
1
2
3
4
5
6
Medidor
1
2
3
4
Pero podemos recurrir a la multiplicación para obtener el mismo resultado, entonces
la respuesta sería: 2 x 5 x 4 = 40. Éste cálculo representa el principio básico de conteo, el
cual vamos a utilizar cuando debamos obtener la variedad de combinaciones de una serie
de variables, sin ninguna restricción que limite estas posibilidades.
El número total de maneras en que se pueden combinar dos (o más) variables de n y
m estados respectivamente, se obtiene mediante el producto de esos estados, es decir, que
se combinan de n*m formas distintas., llegando a que el principio básico de conteo es la
regla de la multiplicación que acabamos de describir. Veamos un ejemplo:
¿Cuántas hamburguesas distintas puedo armar con estos cuatro ingredientes,
Lechuga, Tomate, Salsa y Cebolla?.
Supongamos ahora que nos encontramos frente a 3 variables que pueden asumir 2
estados distintos cada una. ¿De cuántas formas distintas pueden suceder conjuntamente
esas 3 variables?
Utilizando nuestro principio, de 2 x 2 x 2 = 8 formas, lo cual es equivalente a 2 3 = 8
,esto es la cantidad de estados elevado a la cantidad de variables o sucesos. Esta
simplificación es válida siempre y cuando las variables tengan la misma cantidad de
estados.
Veamos un ejemplo, ¿De cuántas formas puedo combinar cuatro variables que
tienen 3, 2, 3 y 4 estados cada una? Respuesta, de 3 2 x 2 x 4 = 72 formas.
Supongamos ahora que queremos saber cuántas claves de 10 dígitos puedo armar
con los números del conjunto {0;9}. Tendremos para cada dígito de la clave un total de 10
elementos para elegir, por lo que de acuerdo a nuestro concepto de n*m, tendremos un
15
total de 10
10
= 10.000.000.000 claves distintas, teniendo como válidas a claves como
0000000000 o 1111111111.
Ahora bien, analicemos qué ocurre si imponemos una restricción, requiriendo que
una vez que se utilizó un número, este no podrá ser vuelto a usar. Ello implicaría que ya no
son válidas las claves donde se repite al menos un número, por ejemplo: 1111111111 o
1123456789. Esto es lo que se conoce como conteo sin reposición.
En este caso lo resolvemos de la siguiente manera:
-
para el primer dígito de la clave tendremos 10 números para elegir,
-
luego para el siguiente tendremos solamente 9, ya que el número utilizado en el
1er.dígito no se repone,
-
para el 3er.dígito tendremos 8 números posibles y así sucesivamente hasta llegar a
1 (en el décimo dígito).
Es decir, tendremos 10*9*8*7*6*5*4*3*2*1 = 3.628.800 claves distintas (un poco menos
que antes...).
Formalmente, entonces tendremos = N*(N-1)*(N-2)*..........*(1)
Lo que equivale a decir que tendremos = N! Claves distintas.
Veamos algunos ejemplos:

¿De cuántas maneras distintas puedo poner 5 fichas de colores en una línea?

¿De cuántas maneras puedo acomodar 7 libros en una estantería?

¿De cuántas formas distintas puedo armar una góndola de exhibición con 15
productos distintos?

¿Qué sucede si deseo armar una clave de solo 5 dígitos, tomados del mismo
conjunto, {0;9}? Si hay reposición tendré 10
5
= 100.000 claves distintas, si no hay
reposición, tendré 10*9*8*7*6 = 30.240 claves distintas.
Esto es lo que se conoce como una Permutación, a la que podemos definir como "un
arreglo de todos o parte de los objetos dentro de un conjunto de objetos en un orden
definido". Es decir, "una elección de r objetos de un conjunto de n objetos".
En nuestro ejemplo, r = 5 y n = 10. Nótese que la definición propuesta establece
"arreglo de todos o parte de los objetos", y esto es válido ya que cuando n=r el resultado
de la Permutación = N!
La fórmula de una Permutación es =
n!
(n-r)!
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Es importante comprender qué contamos cuando utilizamos una Permutatoria; se
trata de contar no solo la cantidad de grupos distintos de r objetos, sino además las
distintas formas o maneras en que podemos ordenar los elementos dentro de esos grupos.
La palabra clave que nos remite a esta fórmula es, "Orden".
Supongamos que queremos saber de cuántas maneras podemos seleccionar tres
letras del conjunto {a, b, c, d}. Si nos interesa el orden, la respuesta es
4x3x2 = 24;
gráficamente:
Abc
Acb
Bac
Bca
Cab
Cba
Acd
Adc
Cad
Cda
Dac
Dca
Abd
Adb
Bad
Bda
Dab
Dba
Bcd
Bdc
Cbd
Cdb
Dbc
dcb
Para este caso en particular no es lo mismo el grupo "abc" que el "acb" ya que sus
componentes se encuentran en distinto orden.
Ejemplos:

¿De cuántas maneras puedo ubicar a 3 personas en una fila, eligiéndolas de
un total de 20?

¿De cuántas formas distintas puedo acomodar 6 libros distintos, si debo
elegirlos de un total de 9?

¿Cuántas patentes de vehículos admite nuestro actual sistema, tomando 26
letras y 10 números? (recuerde que el formato de una patente es "AAA-000")
Veamos ahora ¿qué ocurre si no nos interesa el orden en que podemos arreglar los
objetos dentro de un grupo?. En nuestro ejemplo de las tres letras no hay necesidad de
contar las distintas columnas, ya que se trata del mismo grupo de tres letras, ordenadas de
distintas formas. Analicemos un caso, si queremos elegir a 6 legisladores de un total de 12
candidatos, ¿cuántos cuerpos legislativos distintos puedo formar? Aquí el orden en que se
ubiquen los legisladores no es importante, ya que todos son pares. Por lo que vamos a
tratar de inferir la fórmula sobre la base de lo que ya sabemos. ¿Cuál es el número de
Permutaciones posibles para estos elementos? P(12;6) = 665.280, pero el orden de los
legisladores no nos interesa, ¿cómo lo eliminamos de esta cuenta? Sabemos que tenemos
17
6! = 720 formas distintas de acomodar a los 6 legisladores dentro de cada grupo. Por lo que
el número de grupos de 6 legisladores que podemos armar son 665.280 / 720 = 924 grupos
distintos.
Veámoslo en fórmulas:
C(n;r) = P(n;r)
r!
Por lo que podemos armar la fórmula de la Combinatoria, será:
C(n;r) =
n!
(n-r)! r!
Por lo que definimos a una combinación como un subconjunto o un arreglo de todos
o parte de los objetos de un conjunto sin considerar el orden de los objetos. El número
total de combinaciones posibles de un conjunto de objetos tomados todos a la vez (donde
r=n) es igual a 1.
Ejemplos:

¿Cuántos grupos distintos de 4 personas puedo conformar eligiéndolas de un
total de 10?

¿De cuántas maneras puedo acomodar dos grupos de libros, uno de 3 libros
de estadística y otro de 4 de Historia, tomados de un total de 7 y 6
respectivamente, en una estantería si los libros de cada materia deben estar
juntos?

¿Cuántos grupos de dos cartas de oros de la baraja española puedo formar?
8- PROBABILIDAD Y TEORIA DE LA DECISIÓN
En Teoría de la Decisión, trataremos la probabilidad de ocurrencia de un suceso X
como “ la propensión a suceder” (PAS). En nuestra materia, la probabilidad representa dos
conceptos:

El concepto subjetivo (grado de creencia relativa), y

El concepto objetivo (concepto de frecuencia estadística)
18
En base a lo expuesto anteriormente definiremos entonces la propensión a suceder
(PAS) como una variable definida por el decisor D, y por ende subjetiva, que representa su
grado de creencia acerca del acontecimiento de un suceso dado.
Como toda variable, la PAS
puede asumir valores, grados o niveles a lo largo del
tiempo.
La probabilidad o PAS asume valores entre 0 y 1.
Es decir, que si el decididor cree que un determinado suceso no acontecerá la “p”
de dicho suceso, en el tiempo T, será igual a cero. Por el contrario si el decisor está seguro
que un acontecimiento sucederá la “p” del mismo será igual a 1, y, entonces estará en
certeza.
Expresado de otra forma cuando hablamos de probabilidades lo primero que acude
a nuestra mente son términos cualitativos tales como “es altamente probable”, “es
probable”, “es muy poco probable”, indicando en el lenguaje cotidiano una manera de
asignar propensión a suceder de un acontecimiento determinado.
Veamos un ejemplo: Ud. va a ver a su abogado por un tema litigioso, el profesional
le plantea las distintas alternativas, y sus posibles consecuencias, le dice:
-Ud. puede ganar el juicio o perderlo, de cualquier modo en cualquier momento del mismo
y si la otra parte está de acuerdo Ud. puede conciliarlo.
A priori, la variable resultado del juicio puede asumir distintos valores(ganar, perder o
conciliar)
Entonces Ud. , angustiado pregunta:
-Doctor, ¿cuál es la “p” de ganarlo y cuál la de perderlo?. ¿Cómo puedo saber si la otra
parte está dispuesta a conciliarlo?
-Es altamente probable que lo gane y poco probable que lo pierda. En cuanto a la voluntad
conciliatoria de la otra parte la desconozco, pero si uno tiene en cuenta que como dice el
vulgo “es mejor un mal arreglo que un buen juicio”, podría decirle que es relativamente
probable que lo logremos”, le responde su letrado.
Estas expresiones no son lo suficientemente precisas para la generalidad de las
decisiones.
Por lo cual, en la mayoría de los casos es preferible expresar esas probabilidades en
forma cuantitativa, volviendo al ejemplo anterior, Ud. le pide a su abogado que por favor de
19
alguna madera “mida” las probabilidades del evento “resultado del juicio”. Su letrado le da
algunos datos y Ud. puede cuantificar:
Resultado del juicio
Cualitativamente
Cuantitativamente
Ganar
Altamente probable
0.60
Perder
Poco probable
0.15
Conciliar
Relativamente probable
0.25
De este modo Ud. podrá cuantificar los resultados de las distintas alternativas.
8.1- LA PROBABILIDAD
M. Loeve, en su obra Probability Theory dice: “ Por largo tiempo el homo sapiens
investigó únicamente acontecimientos determinísticos, aquellos en los cuales las
condiciones (causas) determinan completamente los resultados (efectos). Sin embargo,
otro tipo de permanencias han sido observadas en los juegos de azar, y así el homo
sapiens ha sido llevado a pensar en una interpretación racional de la naturaleza en
términos de análogas permanencias la Naturaleza juega el más grande de los juegos de
azar con el hombre”
La naturaleza de la probabilidad está dada por la “aleatoriedad”, que le impide al
decisor definir una estructura formal que le permita explicar el comportamiento de una o
más variables bajo análisis, ello constituye básicamente incertidumbre acerca del
comportamiento de un fenómeno dado. Blas Pascal es considerado el padre de la Teoría
de la probabilidad (TP), aún cuando no fue el primero en realizar investigaciones acerca de
la misma.
El concepto de “aleatoriedad”, generalizado a inicios del siglo XVIII, constituía una
característica inherente a la explicación del comportamiento de las ciencias fácticas, pero
aún la TP no había logrado dar una respuesta satisfactoria a la formalización del proceso
de inferencia.
J. Bernoulli fue el primero en intentar dar un tratamiento formal a la
idea de que es posible aprender a partir de la experiencia basándose en la experiencia
empírica.
Esta demostración acerca de que la incertidumbre disminuye con el conocimiento y la
cuantificación de dicho proceso dio origen a la primera “ley de los grandes números”
20
Existen respecto del abordaje de la probabilidad cuatro escuelas, que a continuación
desarrollaremos brevemente.
8.2- ESCUELAS DE LA PROBABILIDAD

Clásica

Frecuencialista

Logicista

Subjetivista

La escuela clásica
Se refiere a aquellos sucesos en que todos sus resultados posibles son igualmente
probables, lo que permite determinar sus probabilidades “a priori” las probabilidades de
ocurrencia a partir de análisis deductivos. Es aplicable fundamentalmente a los juegos de
azar, (o eventos asimilables), es decir cuando el número de casos puede establecerse con
precisión, e incluye simétricamente todos los resultados posibles.
Esta escuela define entonces la probabilidad como el “número de casos favorables
sobre el número de casos posibles”, partiendo de que los resultados son mutuamente
excluyentes, tienen un número finito y son todos igualmente posibles.
P=
casos favorables
casos igualmente posibles
Son ejemplos de este tipo de probabilidad:


la “p”de sacar el número 8 en la ruleta, es igual a 1/37

“p” de sacar un 6 en una tirada de dados es 1/6
La escuela frecuencialista
Esta escuela tiene su origen en la experiencia de J. Bernoulli, que plantea la noción de
que se puede aprender de la experiencia, y que dicho aprendizaje es cuantificable. Fue
desarrollada por Von Mises y Reinchenbach en la segunda década del siglo XX.
Se utiliza en aquellos casos en los que no contamos con información que nos permita
establecer una simetría en los resultados, es decir cuando el cálculo de las probabilidades
” a priori” debe reemplazarse por el de una probabilidad “a posteriori”, a partir de una
21
información inductiva integrada por las frecuencias relativas obtenidas de la observación
repetida de un determinado fenómeno. Por lo tanto es condición que el fenómeno sea
repetible, no es válida para casos únicos.
Define la probabilidad como el “limite de la frecuencia relativa de un determinado
acontecimiento o suceso”, es decir.
P (x) = límite del número de veces que se verificó x
número total de repeticiones ( para m
)
Recordemos las siguientes definiciones:
-Frecuencia absoluta: número total de acontecimientos de una determinada clase que
se observaron.
Frecuencia relativa: es la relación entre la frecuencia absoluta de una clase de
acontecimientos observados X y la frecuencia absoluta de una clase mayor Y ( que
incluye a la clase X)
Veamos un ejemplo:

Nº de nacimientos múltiples originados por fertilización asistida en la Ciudad de
Buenos Aires en el año 2002 (Clase X)

Nº de nacimientos múltiples en la Ciudad de Buenos Aires en el año 2002 (Clase Y,
que incluye a la clase X)
La probabilidad frecuencialista es empírica, es decir, relaciona acontecimientos
reales, basándose en el principio del número de observaciones tendientes a infinito.

La escuela logicista
Desarrollada inicialmente por John Keynes, y luego por Jeffreys y Carnap, se basa en el
grado de creencia racional acerca de la ocurrencia de un determinado suceso, en función
de un grado de conocimiento acerca del mismo. Implica una concepción determinista del
universo
bajo
análisis,
suponiendo
que
existen
leyes
objetivas
que
rigen
el
comportamiento de los distintos fenómenos
Esta probabilidad no pretende reemplazar las definiciones anteriores.
22
Está definida por una relación lógica entre enunciados y, por ende no es empírica
Relaciona enunciados
Definimos la probabilidad lógica como:
Pj = P (H es verdadero dado el conjunto de evidencias E), donde,
H: es una hipótesis cualquiera y E, el total de evidencia ( información) acumulado por el
actor.
Esta probabilidad es subjetiva, pero se basa solamente en la evidencia y la relación
lógica.
Veamos un ejemplo:
Probabilidad de vida en otro planeta: dada la información que Ud. tiene acerca de la
existencia de vida en otro planeta ¿ cual es la probabilidad de que ello sea cierto?
- La evidencia (E) es el conocimiento que Ud. tiene acerca del tema.
- La hipótesis (H) es “que haya vida en otro planeta”
- Ud. puede asignar una probabilidad lógica (P), por ejemplo 0,2. Pero no existe una
fórmula para calcular ese número.
La importancia de ella radica en abrir el pensamiento a distintas interpretaciones, es
utilizada por los filósofos, pero no preocupa demasiado a los matemáticos.
Esta probabilidad es de poca ayuda para el decisor ya que no indica cómo obtener la
probabilidad numérica.

La escuela subjetivista
Fue iniciada por Bayes, por lo cual también se la conoce como probabilidad bayesiana.
Define la probabilidad como “el grado de creencia subjetiva” del observador. Implica,
entonces que dos observadores distintos en un mismo momento y con igual grado de
conocimiento puedan asignar una probabilidad diferente a la ocurrencia de un suceso o
evento determinado.
Es decir, entonces, que cada individuo adoptará valores de probabilidad “verdaderos”
para sí mismo, lo cual conlleva a desarrollar un sistema de medición de ese “ grado de
creencia”
23
Esta probabilidad trata de llenar un vacío dejado por las otras interpretaciones en el
caso de sucesos únicos, poco frecuentes, cuando se cuenta con poca información, o en
caso de evaluar el impacto de nueva información.
8.3- ALGUNOS CONCEPTOS BÁSICOS ACERCA DE LA PROBABILIDAD
Sucesos Independientes o dependientes Mutuamente excluyentes o no
Hasta aquí hemos visto definiciones teóricas relativas a la ocurrencia de un solo
evento o suceso, pero debemos ver qué ocurre cuando deseamos conocer las
probabilidades de dos o más eventos, tal como veremos a continuación.
Dos o más sucesos pueden ser independientes o no, mutuamente excluyentes o no.
Si A y B son dos sucesos, la probabilidad de que ocurra B dado que haya ocurrido
A, se denota por P(B/A) (probabilidad de B dado A) y se llama probabilidad condicional de
B dado A (obsérvese que primero ocurre A y luego B).
Si la ocurrencia o no de A no afecta para nada la probabilidad de ocurrencia de B,
entonces la P(B/A) = P(B) y decimos que A y B son sucesos independientes. Caso contrario
se trata de sucesos dependientes.
La probabilidad de que ambos eventos A y B ocurran, llamado suceso conjunto, es:
P(A y B) = P(A) * P(B/A)
Donde
P(A y B) = P(A)*P(B) para sucesos independientes
El alumno podrá resolver estos ejemplos a modo de ejercitación:

Encontrar la probabilidad de que en un lanzamiento de un dado se obtenga, a) "3" y
b) no "3".

¿Cuál es la probabilidad de sacar dos veces seguidas "3" en igual cantidad de
lanzamientos de un dado?

¿Cuál es la probabilidad de: sacar un As de una baraja de póker; sacar una carta
cualquiera de corazón; sacar el 10 de trébol, sacar o un as o una carta de corazón?
24

Una bola es extraída de una bolsa que contiene cinco bolas blancas y tres bolas
rojas. ¿Cuál es la probabilidad de que sea a) roja, b) blanca?

Obtenga la probabilidad de que en una tirada de un dado se obtenga "4" o "5"

Para el ejemplo 4, si realizamos dos extracciones consecutivas. ¿Cuál es la
probabilidad de sacar una bola blanca si; a) se restituye la primer bola a la bolsa; b)
la bola obtenida no se repone.
Aquí podemos relacionar los conceptos vistos en las técnicas de conteo con el de
probabilidad condicional, gracias al principio de multiplicación. Por ejemplo, si no hay
reposición, tenemos 8 formas de extraer una bola en la primera extracción y 7 en la
segunda. Por lo que tales extracciones pueden hacerse de 8x7 formas = 56. Hay 5x4=20
formas en que las 2 bolas extraídas consecutivamente pueden ser blancas. Por lo que la
probabilidad de que ambas sean blancas será, 20/56 = 0.36
Dos sucesos son mutuamente excluyentes si la ocurrencia de uno de ellos implica la
no ocurrencia del otro, de modo que P(A y B) = 0 o visto en conjuntos:
A
B
Siendo estos dos subconjuntos del Universo disjuntos
Por lo que la P(A o B) = P(A) + P(B) - P(A y B). Particularmente para el caso de
sucesos mutuamente excluyentes, la P(A o B) = P(A) + P(B). Lo cual se aprecia claramente
en el gráfico anterior, ya que la probabilidad de que ocurra o bien el suceso A o bien del
suceso B, estará dada por la suma de las probabilidades simples de cada evento.
Para el caso de eventos que no son excluyentes.
A
B
En cuyo caso tiene un sentido práctico eliminar o restar la probabilidad conjunta P(AyB) - ya que la misma se encuentra contenida en cada "conjunto" de probabilidades.
Volveremos sobre estos conceptos el abordar el tema de las “Decisiones
Bayesianas”
25
9- EJERCICIOS COMPLEMENTARIOS
1. Se saca al azar una bola de una caja que contiene 6 bolas rojas, 4 blancas y 5
azules. Hallar la probabilidad de que la bola extraída sea: a) Roja, b) blanca, c)
azul, d) no roja y e) roja o blanca.
2. De una baraja de 52 cartas se sacan dos al azar. Hallar la probabilidad de que
ambos sean ases si la primera extraída: a) se devuelve a la baraja, b) no se
devuelve.
3. Se sacan sucesivamente 3 bolas de la caja del problema 1. Hallar la probabilidad
de que salgan en el orden roja, blanca, azul si cada bola: a) se repone y b) no se
repone.
4. Un boleto de una rifa ofrece dos premios, uno de $5000 y otro de $2000, con
probabilidades 0,001 y 0,003 respectivamente. ¿Cuál sería el precio justo a pagar
por él?
5. En un negocio Ud. puede ganar $300 con probabilidad 0,6 o perder $100. Hallar la
esperanza matemática.
6. ¿De cuántas maneras se pueden sentar 10 personas en un banco si hay 4 sitios
disponibles?
7. Hay que colocar 5 hombres y 4 mujeres en una fila de modo que las mujeres
ocupen los lugares pares. ¿De cuántas maneras puede hacerse?
8. ¿Cuántos números de 4 dígitos se pueden formar con las cifras {0; 9}:
a)permitiendo repeticiones, b) sin repeticiones y c)si el último dígito ha de ser 9 y
no se permiten repeticiones?
9. Cuatro libros diferentes de matemáticas, 6 de física y 2 de química han de ser
colocados en una estantería. ¿Cuántas colocaciones distintas admiten si: a) los
libros de cada materia han de estar juntos y b) solo los de matemáticas tienen
que estar juntos?
10. ¿De cuántas formas se pueden repartir 10 objetos en dos grupos de 4 y 6
objetos, respectivamente?
11. ¿De cuántas maneras se puede formar con 9 personas una comisión de 5
miembros?
12. De entre 5 matemáticos y 7 físicos hay que constituir una comisión de 2
matemáticos y 3 físicos. ¿De cuántas formas podrá hacerse si: a) todos son
elegibles, b) un físico particular ha de estar en esa comisión y c) dos
matemáticos concretos tienen prohibido pertenecer a la comisión?
13. Una caja contiene 8 bolas rojas, 3 blancas y 9 azules. Si se sacan 3 bolas al azar,
determinar la probabilidad de que: a) las 3 sean rojas, b) las 3 sean blancas, c) 2
26
sean rojas y 1 blanca, d) al menos 1 sea blanca, e) sean una de cada color y f)
salgan en el orden roja, blanca y azul.
14. Hallar la probabilidad de acertar un juego en el que se deben marcar 6 números
de entre 36 en cualquier orden.
Soluciones (sólo se indican los resultados para su verificación)
1. A) 0.4, b) 0.267, c) 0.333, d) 0.6 y e) 0.666.
2. A) 0.006, b) 0.004
3. A) 0.035, b) 0.044
4. $11
5. $140
6. 5040
7. 2880
8. a) 9000, b) 4536, c) 504
9. a) 207360, b) 8709120
10. 210
11. 126
12. a) 350, b) 150, c) 105
13. a) 0.049, b) 0.00088, c) 0.074, d) 0.404, e) 0.189, f) 0.032
14. 1/C(36,6)
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BIBLIOGRAFIA
CAZAU, Pablo – El Papel de la Medición- “Guía de Metodología de la Investigación”
LANDRO, Alberto y GONZALEZ, Mirta - “Teoría de la Probabilidad y sus aplicaciones”,
MOSTERIN, Jesús – “La Estructura de los conceptos científicos”, Investigación y ciencia
PAVESI, Pedro - “La Medición el Universo” – CECE.
WAINERMAN, STEVENS y otros –“ EstudioEscalas de Medición en ciencias sociales”
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