Capítulo 4 - Módulo de Probabilística

4. Definición de Probabilidad y Propiedades.
4.1. Definición de Probabilidad
Observa las siguientes definiciones de probabilidad, ¿cuál de ellas te parece más adecuada y fácil de recordar?
La Probabilidad de un evento es un número
al que tiende la frecuencia relativa asociada al
suceso a medida que el número de veces que
se realiza el experimento crece.
La Probabilidad es un número que mide la
verosimilitud de que el evento sucederá,
cuando se realice el experimento.
4.1.1. Definición frecuencialística.
Un experimento aleatorio se caracteriza porque repetido muchas veces y en idénticas condiciones el cociente
entre el número de veces que aparece un resultado (evento) y el número total de veces que se realiza el
experimento tiende a un número fijo. Esta propiedad es conocida como ley de los grandes números,
establecida por Jackob Bernouilli. Tiene el inconveniente de variar la sucesión de las frecuencias relativas de
unas series de realizaciones a otras, si bien el valor al que se aproximan a medida que el número de
realizaciones aumenta se mantiene estable.
La frecuencia relativa del suceso A:
Propiedades de la frecuencia relativa:
1. 0 fr (A) 1 cualquiera que sea el suceso A.
2. fr(
) = fr(A) + fr(B)
si
= Ø.
3. fr(S) = 1
fr(Ø) = 0.
Esta definición presenta el inconveniente de tener que realizar el experimento un gran número de veces y
además siempre obtendremos un valor aproximado de la probabilidad.
4.1.2. Definición axiomática.
La definición axiomática de probabilidad se debe a Kolmogorov, quien consideró la relación entre la frecuencia
relativa de un evento y su probabilidad cuando el número de veces que se realiza el experimento es muy
grande.
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Sea S el espacio muestral de cierto experimento aleatorio. La Probabilidad
de cada evento es un número que verifica:
1. Cualquiera que sea el suceso A, P(A)
0.
2.Si dos sucesos son mutuamente excluyentes, la probabilidad de su
unión es igual a la suma de sus probabilidades.
=Ø
P(
) = P(A) + P(B).
3. La probabilidad total es 1. O sea la probabilidad del espacio de
muestreo P(S) = 1.
4.1.3. Definición de Laplace.
En el caso de que todos los eventos simples del espacio muestral S sean equiprobables, Laplace define la
probabilidad del suceso A como el cociente entre el número de resultados favorables a que ocurra el suceso A
en el experimento y el número de resultados posibles del experimento.
Para los objetivos del curso, trabajaremos con la definición de Laplace, con el fin de calcular las probabilidades
de los eventos.
Si S = {E1, E2, E3, ..., Ek}
P( Ei ) 
y P(E1) = P(E2) = P(E3) = ...= P(Ek), entonces:
Numero de casos favorables al suceso E i
Numero de casos totales
Ejemplo:
Consideremos el experimento "lanzar un dado y anotar el resultado".
El espacio muestral es S = {1,,2, 3, 4, 5, 6}.
Las probabilidades de cada uno de los eventos simples es:
P(Ø) = 0
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P(1) = 1/6
P(2) = 1/6
P(3) = 1/6
P(4) = 1/6
P(5) = 1/6
P(6) = 1/6
Resumiendo: La probabilidad de un evento simple es un número que mide la verosimilitud de que el
evento ocurrirá cuando se realice el experimento. Para un evento simple E, denotamos la probabilidad
de E por P(E).
4.2. Reglas básicas para asignar probabilidades a eventos simples:
Sean: E1, E2...Ek los eventos simples de un espacio de muestreo.
1. Todas las probabilidades de los eventos simples deben estar entre 0 y 1.
0  P (E i )  1 para i = 1, 2...k.
2. La suma de las probabilidades de todos los eventos simples dentro de un espacio de muestra debe
ser igual a 1.
k
 P( E )  1
i 1
i
4.3. Algunas Propiedades de la Probabilidad.
1. P(Ac) = 1 - P( A )
2. P( Ø ) = 0
3. Si
A
B
P( B ) = P( A ) + P( B - A)
4. Si
A
B
P( A )
P( B )
5. Si A1 , A2 , ... , Ak , son todos mutuamente excluyentes, entonces:
P( A1
6. P(
A2
) = P( A ) + P( B ) - P(
...
Ak ) = P( A1 ) + P( A2 ) + ... + P( Ak )
)
7. Si el espacio muestral S es finito y un sucesos es A={x1 , x2 , ... , xK} , entonces:
P( A ) = P( x1 ) + P( x2 ) + ... + P( xK )
Ejemplo:
En una baraja de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de obtener un rey al sacar al azar una carta de la baraja?
Solución: Sea A el evento: A= Se extrae un rey 
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P ( A) 
Ejemplo 2:
4
1

52 13
Considere el experimento de lanzar 2 monedas. Las probabilidades asociadas a los eventos simples son las
siguientes.
Evento simple
Probabilidad
CC
¼
CX
¼
XC
¼
XX
¼
Defina los siguientes eventos:
A ={observar exactamente una cara}
B ={observar al menos una cara}
Calcular la probabilidad de A y la probabilidad de B.
Solución:
Cada uno de los 4 eventos simples tiene la misma probabilidad pues su frecuencia relativa es igual a:
¼
El evento A ocurrirá si se da cualquiera de los dos eventos simples CX o XC
A = {CX, XC} luego.
P(A) = P(CX) + P(XC)
P(A) = ¼ + ¼ = ½
Aproximadamente la ½ de un número grande de experimentos tendrá como resultado el evento A.
El evento B contiene los eventos simples CC, CX y XC; B sucederá si ocurre uno cualquiera de estos 3 eventos
B ={CC, CX, XC}. Luego
P (B) = ¼ + ¼ + ¼ = ¾
Con el ejemplo visto podemos llegar a lo siguiente:
CC
A
XC
CX
CC
XC
XC
XC
Evento A
Representación gráfica
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B
XC
Evento B
CX
4.4. Pasos para calcular probabilidades de eventos.
1. Defina el experimento, es decir, describa el proceso para realizar una observación y el tipo de observación
que se registrará.
2. Enumere los eventos simples
3. Asigne probabilidades a los eventos simples
4. Determine la colección de eventos simples contenida en el cuento de interés.
5. Sume las probabilidades de los eventos simples para obtener la probabilidad del evento.
Ejemplo 3 :
Un ingeniero debe seleccionar 3 trabajos de 5 que esperan su atención. Los trabajos varían en cuanto al tiempo
de programación que requieren (aunque él no lo sabe).
Indique la probabilidad de que:
a. El contador escoja los 2 trabajos que requieren el menor tiempo.
b. El contador escoja los 3 trabajos que requieren más tiempo.
Solución:
1. El experimento consiste en seleccionar 3 trabajos de 5 disponibles.
2. Denotaremos los trabajos por los símbolos W1, W2, W3, W4, W5 de donde W1, es el trabajo más corto y W5 en
el mas largo.
Wi Wj denotará la selección de los trabajos, por ejemplo, W2 W3 denota la selección de los trabajos 2 y 3.
Los 10 eventos simples asociados al experimento son los siguientes,
Evento simple
probabilidad
evento simple
probabilidad
W1 W2 W3
1/10
W1 W4 W5
1/10
W1 W2 W4
1/10
W2 W3 W4
1/10
W1 W3W4
1/10
W2 W3 W5
1/10
W1 W3 W5
1/10
W2 W4 W5
1/10
W1 W2 W5
1/10
W3 W4 W5
1/10
3. La probabilidad de cada uno de los 10 eventos es 1/10
4. Defino los siguientes eventos:
A = {El programador escoge los 2 trabajos que requieren menos tiempo}.
B = {El programador escoge los 3 trabajos que requieren más tiempo}.
A ocurre donde se escojan los trabajos W1 W2
Los eventos simples para A serán:
A = { W1 W2 W3 , W1 W2 W4 , W1 W2 W5 }
B ocurre donde se escojan los trabajos W3 W4 W5
B = { W3 W4 W5 }
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5. Sumamos las probabilidades de los eventos simples de A y B para obtener:
P (A) = P (W1 W2 W3)+ P (W1 W2 W4)+ P (W1 W2 W5)
P (A) = 1/10 + 1/10 + 1/10 = 3/10
P (B) = P (W3 W4 W5 )
P (B) = 1/10
Responda en palabras cada uno de los dos resultados anteriores. ¿Qué podría concluir al respecto?
4.5. Ejercicios del Capítulo.
1. Defina los siguientes conceptos:
a. Experimento aleatorio, evento y espacio de muestreo.
b. Cómo se define la probabilidad de un evento simple y qué reglas se asignan para ella?
c. Cuáles son los pasos para calcular las probabilidades de los eventos?
2. La siguiente tabla indica el número de doctorados otorgados en EE.UU. para algunos postgrados en 1991.
Suponga que se escoge al azar un estudiante de postgrado.:
a. Detemine la probabilidad de que el estudiante haya recibido un grado de doctor en astronomía.
b. Determine la probabilidad de que el estudiante no sea estadounidense.
Disciplina
Ingeniería
Astronomía
Física
Totales
Doctorados concedidos a
estadounidenses
607
126
757
1490
Doctorados concedidos a
extranjeros
1630
84
1006
2720
Totales
2237
210
1763
4210
3. La ruleta se juega tirando una bola sobre una rueda dividida en 38 arcos de igual longitud; éstos llevan los
números 00, 0, 1, 2, 3, 4,…, 34, 35, 36. El número del arco dentro del cual cae la bola es el ganador.
Además los números están coloreados de la siguiente manera:
Rojo: 1 3 5 7 9 12 14 16 18 19 21 23 25 27 30 32 34 36
Negro: 2 4 6 8 10 11 13 15 17 20 22 24 26 28 29 31 33 35
Verde: 00 0
Los jugadores pueden colocar apuestas en las mesas de diversas maneras, incluídas apuestas a un resultado
impar, par, rojo, negro, bajo (entre 1 y 18) y alto (entre 19 y 36). Considere los siguientes eventos:
A= {El resultado es un número impar}
B= { El resultado es un número negro}
C= { El resultado es un número alto}
Calcule las probabilidades de los siguientes eventos:
a. A  B
b. A  C
c. Bc
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4. Para poner en funcionamiento una máquina se necesita oprimir 6 botones en cierto orden. ¿Cuál es la
probabilidad de que esta persona ponga en marcha la máquina?
En una encuesta entre estudiantes de la universidad se halló que el 42% lee el Colombiano, el 31% lee el
Tiempo y el 9% lee ambos periódicos. Si se escoge al azar un estudiante de la universidad, calcule la
probabilidad de que:
a.Lea por lo menos un periódico.
c. Lea el Colombiano pero no el Tiempo.
b. No lea el Colombiano
d. No lea ninguno de los dos periódicos.
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