An lisis Matem tico II

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA NACIONAL
FACULTAD REGIONAL TUCUMÁN
Departamento: Ciencias Básicas
Asignatura: Análisis Matemático II
Bloque: Ciencias Básicas
Área: Matemática
Horas/año: 120
Fundamentación de la materia dentro del plan de estudios
La función de la asignatura, Análisis matemático II, es la formación cuantitativa
de los ingenieros ya que aporta los conceptos fundamentales del Cálculo. La
comprensión y la habilidad para la utilización de este conocimiento facultarán al
estudiante, a un buen desempeño en todas las asignaturas del Área Formación
Básica Homogénea.
Análisis Matemático constituye la base para que el Ingeniero tenga la base
para plantear problemas y formular modelos matemáticos.
Objetivos
 Conocer y aplicar, en el campo del cálculo, los razonamientos inductivos,
deductivos, abductivos y analógicos en forma independiente y en conjunto.
 Adquirir los hábitos de orden, método y trabajo sistematizado, como
resultado formativo del uso de las formas de razonamientos inductivos,
deductivos, abductivos y analógicos
 Estimular criterios lógicos para sistematizar, generalizar, abstraer y
sintetizar.. Despertar y alimentar el interés por la investigación, el desarrollo
tecnológico y la innovación.
 Integrar y generalizar los nuevos conceptos que se van adquiriendo, con los
acumulados a lo largo de su desarrollo matemático personal.
 Enseñar a pensar y razonar matemáticamente.
 Comprender la universalidad de los conceptos matemáticos que pueden
ser usados por distintas ciencias formales y fácticas.
 Aprender a traducir a un modelo matemático el modelo real científico; físico,
químico, matemático, económico o social.
 Desarrollar aptitud y destreza para el cálculo, haciendo notar que, con
advenimiento de la informática, se deberá prestar más atención
a la comprensión de las definiciones, denotaciones y deducciones
que
a
su operatividad, función ésta delegada a la herramienta
computacional.
 Estimular la obtención de recursos técnicos y metodológicos para la
integración de equipos de trabajo, haciendo notar que el lenguaje
matemático que se adquiera sirve de comunicación en grupos
interdisciplinario no solo de ingeniería sino para otros grupos de distintas
áreas de conocimiento.
 Manejar, conocer y estimular la consulta bibliográfica que le permita afianzar
y ampliar los conocimientos adquiridos en clase.
Contenidos
Unidad 1: Funciones de variables reales múltiples.
Generalización del concepto de función de una variable: dominio y rango.
Funciones
de dos variables: definición, dominio, rango y representación cartesiana.
Superficies. Funciones de tres variables: definición, dominio, rango y gráfica del
dominio. Generalización del concepto de función de n variables independientes.
Unidad 2: Límites y continuidad.
Espacio Euclidiano n dimensional. . Entorno de un punto, entorno reducido,
frontera de entorno. Generalización del concepto de límite. Límites en
funciones de dos variables independientes. Cálculo con límites. Límites
sucesivos. Límites dobles. Relaciones. Propiedades. Continuidad de una
función en un punto, condiciones: Operaciones con funciones continuas.
Unidad 3: Cálculo vectorial:
Revisión de los conceptos de cantidades escalares, vectoriales y operaciones.
Funciones vectoriales de una variable real en el plano: definición, dominio y
rango. Curvas Planas orientadas. Límite y continuidad; definiciones,
propiedades y teoremas. Derivada; definición, propiedades y teoremas. Curva
suave en el plano. Interpretación geométrica de la derivada. Velocidad,
aceleración y rapidez Integración indefinida y definida de funciones vectoriales:
Definición, propiedades y teoremas. Longitud de arco de una curva plana.
Funciones vectoriales en el espacio.
Unidad 4: Derivación parcial.
Derivación parcial de primer orden en funciones de dos variables: concepto,
definiciones. La derivada parcial como límite. Generalización para funciones de
n variables. Regla práctica para la derivación parcial. Teorema del valor medio.
Derivadas parciales sucesivas o de orden superior. Condición para la igualdad
de las derivadas parciales cruzadas. Teorema de Schwarz-Clairaut. Funciones
compuestas: derivación, regla de la cadena. Teoremas. Funciones implícitas
definidas por una ecuación y por un sistema de ecuaciones: derivación.
Teoremas. Funciones Homogéneas: Definición, derivación y teorema de Euler.
Interpretación geométrica de las derivadas parciales en funciones de dos
variables. Curvas y superficies de nivel. Gradiente. Derivación direccional.
Dirección de derivación direccional máxima, mínima y nula. Teoremas.
Unidad 5: Aplicaciones geométricas de las derivadas parciales.
Superficies representadas explícitamente e implícitamente. Curvas
representadas como intersección de superficies y paramétricamente. Plano
tangente y recta normal a superficies, teoremas. Recta tangente y plano
normal a curvas, teoremas. Superficies tangentes y normales. Condiciones.
Teoremas
Unidad 6: Diferenciales
Función diferenciable: condiciones y teoremas. Incremento total de una
función y diferencial total: definición, interpretación geométrica para funciones
de dos variables, diferencias. Diferenciales de funciones compuestas.
Diferenciales sucesivas en funciones de dos variables. Operador diferencial.
Aplicación de la diferencial total para el cálculo del valor aproximado y la teoría
de errores. Diferencial parcial.
Unidad 7: Máximos y mínimos.
Puntos críticos: condición y clasificación de los puntos críticos. Caso
particular para funciones de dos variables independientes. Condiciones
necesarias y suficientes de existencia. Máximos y mínimos absolutos en
funciones de dos variables. Máximos y mínimos vinculados. Multiplicadores de
Lagrange. Aplicaciones a los problemas de ingeniería.
Unidad 8: Campos vectoriales
Revisión de los conceptos de campo escalar, funciones vectoriales
paramétricas, gradiente y operador diferencial nabla. Campos vectoriales en el
plano y el espacio. Definiciones. Gradiente de un campo escalar. Rotacional de
un campo vectorial. Teoremas. Divergencia de un campo vectorial. Relación
entre divergencia y rotacional. Teoremas. Tipos de campos vectoriales:
cuadrático inverso y conservativos. Teoremas.
Unidad 9: Integrales múltiples.
Generalización del concepto de integral simple definida. Integral doble:
definición y evaluación. Integral triple: definición y evaluación. Cambio de
variables en integrales dobles y triples. Cálculo de áreas de superficies planas
y volúmenes con integrales dobles. Masa, peso, momentos de primer y
segundo orden, coordenadas del centro de gravedad, de una lámina plana de
densidad variable, con integrales dobles. Cálculo de volúmenes con integrales
triples. Masa, peso, momentos de primer y segundo orden, coordenadas del
centro de gravedad, de un sólido de densidad variable con integrales triples.
Unidad 10: Integrales de línea y de superficie.
La integral de línea en el campo escalar de funciones de dos variables:
definición y cálculo cuando la curva está dada paramétricamente,
vectorialmente y escalarmente. Propiedades y aplicaciones matemáticas y
físicas. Integral de línea en el campo escalar de funciones de tres variables:
definición, cálculo y aplicaciones matemáticas y físicas. Integral de línea en
campos vectoriales en el plano y el espacio: Definiciones, cálculo y teorema
fundamental de las integrales de línea. Independencia del camino.
Aplicaciones. Trabajo de un campo de fuerza a lo largo de una línea. Integrales
de funciones escalares sobre superficies. Definición y cálculo. Teoremas. Áreas
de superficies: Definición y cálculo. Teoremas.
Unidad 11: Introducción a las ecuaciones diferenciales ordinarias.
Ecuaciones diferenciales: definiciones. Ecuaciones diferenciales a variables
separables. Ecuaciones diferenciales con coeficientes homogéneos de igual
grado. Ecuaciones diferenciales exactas. Ecuaciones que se reducen a la
forma exacta. Factor integrante. Familia de curvas y trayectorias ortogonales.
Unidad 12: Ecuaciones diferenciales lineales.
Ecuaciones diferenciales lineales de primer orden homogéneas y no
homogéneas.
Soluciones Generales. Ecuación diferencial de Bernoulli. Definición y Solución.
Cronograma estimado de clases (hs cátedra)
Semana
Tema A Desarrollar
Teoría
1
Revisión de la geometría plana y espacial
Funciones
5 hs
2
Funciones Límite y continuidad
5 hs
3
Cálculo vectorial
5 hs
4
Límite y continuidad Derivación parcial de primer orden
5 hs
5
Cálculo vectorial Derivadas parciales sucesivas
5 hs
6
Derivación parcial de primer orden Funciones compuestas
5 hs
7
Derivadas parciales sucesivas
5 hs
8
Funciones compuestas Funciones implícitas definidas por
una ecuación
5 hs
9
Funciones implícitas definidas por una ecuación Funciones
implícitas definidas por un sistema de ecuaciones y
funciones homogéneas
5 hs
10
Funciones implícitas definidas por un sistema de ecuaciones
5 hs
y funciones homogéneas Derivación Direccional
11
Derivación Direccional Aplicaciones geométricas de las
derivadas
5 hs
12
Aplicaciones geométricas de las derivadas
5 hs
13
Aplicaciones geométricas de las derivadas Diferenciales
5 hs
14
Diferenciales Máximos y mínimos relativos
5 hs
15
Máximos y mínimos relativos Máximos y mínimos absolutos
y vinculados
5 hs
16
Máximos y mínimos absolutos y vinculados
2 hs
Primer Parcial
3 hs
17
Revisión de los ejercicios del parcial Campos vectoriales
5 hs
18
Campos vectoriales Integrales dobles
5 hs
19
Integrales dobles Integrales triples
5 hs
20
Cambio de variables en dobles y triples
5 hs
21
Cambio de variables en dobles y triples Aplicaciones con
integrales dobles
5 hs
22
Aplicaciones con integrales dobles Aplicaciones con
integrales triples
5 hs
23
Aplicaciones con integrales triples Integrales de línea en el
campo escalar
5 hs
24
Integrales de línea en el campo escalar Aplicaciones de las
integrales de línea en escalar
5 hs
25
Aplicaciones de las integrales de línea en escalar Integrales
de línea en el campo vectorial
5 hs
26
Integrales de línea en el campo vectorial
Aplicaciones de las integrales de línea vectorial
5 hs
27
Aplicaciones de las integrales de línea vectorial Integral de
superficie en el campo escalar. Área
5 hs
28
29
Integral de superficie en el campo escalar. Área Introducción
5 hs
a las ecuaciones diferenciales
Introducción a las ecuaciones diferenciales
5 hs
30
Ecuación diferencial lineal de primer orden
5 hs
31
Ecuación diferencial lineal de segundo orden
5 hs
32
Ecuación diferencial lineal de orden n
2 hs
Segundo parcial
3 hs
CARGA HORARIA ANUAL
160
Metodología de Enseñanza
Clases Teóricas: El docente es un guía y orientador en el proceso de
enseñanza aprendizaje, el alumno es el centro del proceso y por lo tanto un
sujeto activo, el que construye y reconstruye los conocimientos. Para lograr
esto el docente solicita la ejecución de monografías y guías de algunos temas
en particular, que luego en plenario son discutidas por el profesor y luego
abre un debate de los alcances del tema en particular. Par facilitar esta
actividad la cátedra pone a disposición de los estudiantes, al inicio de la
actividad, los siguientes materiales: a) la guía de cada clase teórica, b)
apuntes seleccionados de todas las clases teóricas planificadas para el año, c)
Bibliografía adicional de consulta y ampliación de los temas. Para otros
temas el docente
lo desarrolla en clases del tipo seminario y luego
solicita al estudiante que complete algunos sub temas que el docente indica,
fundamentalmente el enunciado la especificación de hipótesis y tesis
y la demostración de teoremas adicionales a los desarrollados en la clase en
cuestión.
Clases Prácticas: Para las clases prácticas, anualmente la cátedra edita la
guía de trabajos prácticos. En estas clases el docente muestra la forma
de solución de algunas de las situaciones problemáticas planteadas, con la
participación activa de los estudiantes. Las restantes son resultas por los
estudiantes en forma individual o en grupos, según prefieran, con la asistencia
y guía del profesor.
La matemática tiene dos impactos en el estudiantes de ingeniería, por lado
está la información que recibe a través de las definiciones y denotaciones
propuestas que disparan las aplicaciones y por el otro el aspecto formativo con
el uso de los razonamientos deductivos, inductivos, abductivos y analógicos
que derivan en proposiciones lógicas, hábitos de síntesis, orden y disciplina,
además de entender las deducciones para las cuales se usan los
razonamientos especificados.
Por estas razones es que el proceso de aprendizaje en los estudiantes gira
alrededor de estos dos grandes ejes: la información y la formación, donde,
indudablemente, la segunda solo se puede adquirir en el aula, mientras
que la primera puede adquirirse también de la lectura de los textos.
Por lo expuesto la metodología a seguir tenderá a que las clases teóricas sean
centralmente de carácter participativas y en menor grado de del tipo
expositivas. Se buscará estimular el pensamiento lógico formal con clases
participativas, estimulando a los estudiantes en el uso del método científico y
despertando el interés por la investigación. En los trabajos prácticos se
combinarán ejercicios, con grado creciente de dificultad, con situaciones
problemáticas, buscando que los estudiantes adquieran el hábito de construir el
modelo matemático que exprese la situación problemática planteada y sea
capaz de arribar a los resultados y discutir sus alcances y limitaciones.
Metodología de Evaluación
En la Universidad Tecnológica Nacional las clases son presenciales y
obligatorias para los alumnos, por lo que se tiene un sistema de evaluación
caracterizado por dos elementos relacionados entre sí, Régimen de Promoción
y Formas de Evaluación.
En el Régimen de Promoción están los requisitos que deben satisfacer los
alumnos para aprobar la asignatura, los cuales son:
Régimen de Asistencia: 75% para Clases Teóricas- Prácticas y Laboratorios.
Trabajos Prácticos: 100% de realización. Cualquiera sea la naturaleza del
Trabajo Práctico, Gabinete o de Laboratorio.
Aprobación del Primer y Segundo Parcial o las Recuperaciones I y II según lo
que corresponda. La forma de evaluación es mediante Pruebas Escritas
individuales.
En el caso de Asignaturas Integradoras, Realización y Aprobación del
Seminario Anual de la Materia a través de un Trabajo Práctico Integrador. Los
docentes guían a los alumnos hasta la presentación del Informe Final que
habilita a participar en el Seminario.
Realizado los pasos anteriores el alumno cumple con el Régimen de
Promoción, Regulariza la Asignatura, y está en condiciones de efectuar el
Examen Final para la Aprobación de la Asignatura.
El Examen Final consiste en una prueba de conocimientos sobre el Programa
Analítico de la Asignatura. Es Oral, individual y coloquial. La Nota mínima de
Aprobación es cuatro (4) y la máxima diez (10).
Se puede Rendir el Examen Final para su aprobación hasta un máximo de
tres veces, a partir de lo cual y si no es aprobado, el alumno debe recusar la
Asignatura.
El Examen Final indica la Aprobación de la Asignatura y habilita para la
inscripción y cursado de las correlativas inmediatas
Recursos didácticos a utilizar como apoyo a la enseñanza
Se dispone de bibliografía específica de la materia, como también se ha
elaborado guías de trabajos prácticos.
Se incentiva al estudiante a recurrir al uso de la bibliografía referida, como
también a la búsqueda de información relevante en páginas de internet.
Recursos tecnológicos.
Se dispone de Notebook y proyector multimedial para presentaciones Power
Point, como también se hace uso del campus virtual de la universidad a través
del aula virtual.
Bibliografía
STEWART, J. Calculo de una y varias variables (Tomo I y II), Ed. Thomson
SMITH, R . T. y MINTON, R, B. Cálculo (Tomo I y II). Ed. Mc. Graw Hill.
BRADLEY, G. L., SMITH, K., J. Cálculo de una y varias variables (Tomo I y II).
PrenticeHall
THOMAS, G. B., FINNEY, R. L. Cálculo de una y varias variables
(Tomo I y II). Addison Wesley Longman
AYRES, F. Teoría y Problemas, Cálculo Diferencial e Integral, Serie de
Compendios
Schaum,
SMITH – MINTON. Cálculo. Mc Graw Hill.
STEWART, J. Calculo diferencial e integral, Ed. Thomson
Bibliografía Complementaria:
ZILL, D. G. Cálculo con Geometría Analítica. Grupo Editorial Iberoamericano.
LARSON, HOSTETLER Y EDWARS. Cálculo y Geometría Analítica (Tomo I
y II). Mc Graw Hill.
SHERMAN y BARCELLOS. Cálculo y Geometría Analítica (Tomo I y II). Mc
Graw
Hill.
PURCELL, VARGERG y RIGDON. Cálculo. Pearson Educación.
EDWARDS y PENNY. Ecuaciones Diferenciales Elementales.
Prentice Hall EDWARDS y PENNY. Cálculo con Geometría
Analítica. Prentice Hall APOSTOL, T. M. Cálculus, Editorial
Reverté S.A.
PAULOGORRÁN – PÉREZ. Cálculo con DERIVE para PC. Ra-ma
WOLFRAN,S., Mathematica, The Student Book, 1994.
REY PASTOR, J., Curso de Cálculo Infinitesimal, Editorial del autor
LEITHOL, L. El Cálculo. Oxford University Press