losnumerosreales

Guía 10:
Los Números Reales
Racionales e Irracionales
Durante el estudio de los Conjuntos Numéricos,
nos apoyamos en la representación gráfica de
estos.
Esta representación consiste en asociar a cada
punto de una línea recta un número, creando
así una Recta Numérica.
¿Qué necesitamos para construir una
recta numérica?
Lo primero que debemos definir es
dónde se ubicará el CERO y el largo
del segmento unidad.
El primer conjunto numérico que
representamos fue el Conjunto de los
Números Naturales.
Pero nos dimos cuenta que hay muchos problemas
que no pueden ser resueltos sólo con los Números
Naturales. Entonces ampliamos este conjunto
considerando la metáfora del Espejo y así asociamos
a cada número natural un número negativo.
Continuando el estudio, nos volvimos a
enfrentar con situaciones donde el conjunto
numérico tratado, no era suficiente para
resolver variados problemas.
La estrategia entonces fue dividir el segmento
unidad en partes iguales.
Puede ser en :
2
3
4
5
O quizás 10, 20, 100, 1000… ¡el número
de partes que se necesite!
Todos estos números forman parte del
conjunto de los Números Racionales.
¿Son los Números Enteros parte del
conjunto de lo Números Racionales?
¿Habremos finalizado la construcción de
una recta numérica?
¿Todos los puntos de la recta tendrán
asociado un número?
Veamos el siguiente caso…
En el año 530 a. C. existió una escuela en
Grecia, dedicada al estudio de la
filosofía, matemática y las ciencias
naturales. Esta escuela era conocida por
el nombre de su fundador como La
Escuela Pitagórica.
En uno de sus estudios se encontraron
con el siguiente problema:
¿Cuánto mide la
diagonal de un
cuadrado cuyo lado
mide 1?
Para determinar el valor de x ubicaremos
el cuadrado sobre la recta numérica y
también la diagonal:
¿Cuál crees que es el valor de x?
Si hacemos un acercamiento en la recta numérica, podemos
tener una mejor aproximación.
¿Cuánto crees ahora que mide?
Haciendo uso de sus conocimientos, La Escuela Pitagórica
calculó la medida de la diagonal utilizando el Teorema de
Pitágoras
¡Calcúlalo!
2
¡Exactamente!
Ese punto en la recta no es nada menos que
2
En una calculadora, calcula
2
¿Qué valor obtuviste?
Aquí te presentamos su valor con los primeros 65 decimales:
2 = 1, 41421 35623 73095 04880 16887
24209 69807 85696 71875 37694
80731 76679 73799 …
Y aun tiene más decimales …
Veamos otra situación,
Consideremos una circunferencia
cuyo diámetro mide uno.
¿Cuánto mide el perímetro de esta
circunferencia?
Observa la siguiente animación:
La letra  se lee ‘pi’ y representa el resultado de la
pregunta anterior.
Según lo que viste en la animación, ¿cuánto vale
?
Estos son los primeros 100 decimales de
:
 = 3,1415926535 8979323846 2643383279
5028841971 6939937510 5820974944
5923078164 0628620899 8628034825
3421170679 …
Y aun tiene más decimales …
¿Qué características tienen en común estos
dos números?
¿Notas alguna diferencia o similitud con los
números del Conjunto de los Racionales?
Y así como estos dos números, hay muchos más en la
recta numérica.
Podemos pesar así,
Consideremos un número decimal que
posee infinitos dígitos después de la
coma. Si en estos dígitos se observa un
periodo, entonces decimos que es el
resultado de una división de dos
números enteros y se puede expresa
como una fracción. Hablamos de un
Número Racional.
¿Podrías dar 3 ejemplos?
Escríbelos
Por otra parte, si este desarrollo
decimal no posee periodo, no se
tratará de un cuociente entre
números enteros, es decir, no es un
Número Racional.
Este tipo de número recibe el nombre
de Número Irracional.
¿Podrías dar 3 ejemplos?
Escríbelos
Finalmente, todos los problemas que has estudiado
hasta el momento tienen solución en un solo gran
conjunto en que se unen el Conjunto de los
Números Racionales y el Conjunto de los Números
Irracionales y se conoce como
Conjunto de los Números Reales
IR
De esta manera hemos completado la
recta numérica, asociando a cada
punto de ella un número real.
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