Solucion_de_las_ecuaciones_para_la_Tension.pptx

Soluciones de las ecuaciones
diferenciales para la tensión y
corriente.
Representación Grafica
Para tomar en cuenta la naturaleza distribuida de las
constantes de la línea de transmisión, considere el
siguiente circuito, el cual representa una sección de
línea de longitud Δx. V(x) e I(x) denotan la tensión y la
corriente en la posición x, la cual se mide en metros
desde la derecha, o extremo receptor de la línea. De
modo semejante, V(x+Δx) e I(x+Δx) denotan la tensión
y la corriente en la posición (x+Δx).
en donde G suele despreciarse para las líneas aéreas de
60 Hz. Escribiendo una ecuación de la LKV para el
circuito:
V(x+Δx)=V(x)+(zΔx)I(x) volts.
Si se reacomodan los términos de la ecuación:
Y tomando el límite cuando Δx tiende a cero,
De igual manera, escribiendo una ecuación de la LKC
para el circuito
Reacomodando los términos,
Y tomando el límite cuando Δx tiende a cero,
Las dos ecuaciones anteriores respectivamente son
ecuaciones diferenciales lineales homogéneas y de
primer orden con dos incógnitas, V(x) e I(x).
Al derivar la de I(x) eliminándola se puede utilizar del
siguiente modo
O bien
Para la ecuación con una incógnita, V(x).
Por inspección, su solución es:
En donde son constantes de integración y
γ, cuyas unidades son
propagación.
, llamada constante de
Ondas incidentes y reflejadas
de voltaje y corriente
Una onda plana que se encuentra en una región 1
viaja hacia la superficie de una frontera en z=0, es
llamada onda incidente que a su ves esta se mueve
alejándose de la superficie de la frontera hacia la
región 2 conocida como onda transmitida
Onda reflejada
Es una onda que viaja alejándose de la
frontera en la región 1 la cual es
llamada onda reflejada
El voltaje que se propaga, desde la fuente hacia la
carga, se llama voltaje incidente, y el voltaje que se
propaga, desde la carga hacia la fuente se llama voltaje
reflejado.
Es decir, es una cantidad vectorial que representa a la
relación del voltaje reflejado al voltaje incidente o
corriente reflejada a la corriente incidente.
CONSTANTE DE
PROPAGACION
 La constante de propagación se utiliza para determinar
la reducción en voltaje ó corriente en la distancia
conforme una onda TEM se propaga a lo largo de la LT.
 σ=α+jβ
 σ: constante de propagación
 α: Coeficiente de atenuación
(neper/unidad de longitud)
 β: Coeficiente de desplazamiento
(rad/unidad de longitud)
 Es
una
unidad
compleja definida por:
σ =√(R + jωL)(G + jωC)
Ya
que
el
desplazamiento de fase
de 2rad ocurre sobre
una distancia de una
longitud de onda
 A frecuencias de radio
e intermedias, ωL>R y
ωC>G, por tanto
 Las señales de transmisión a través de largas distancias
están sujetas a distorsión que es una pérdida de fuerza
o amplitud de la señal. La atenuación es la razón
principal de que el largo de las redes tenga varias
restricciones. Si la señal se hace muy débil, el equipo
receptor no interceptará bien o no reconocerá esta
información.
 Esto causa errores, bajo desempeño al tener que
transmitir la señal. Se usan repetidores o
amplificadores para extender las distancias de la red
más allá de las limitaciones del cable. La atenuación se
mide con aparatos que inyectan una señal de prueba
en un extremo del cable y la miden en el otro extremo.
FACTOR DE ATENUACION
 Una onda de tensión o corriente experimenta una
atenuación de N néper cuando su magnitud cambia en
un factor e -N a medida que la onda avanza entre dos
puntos en una línea de transmisión. El valor en Nepers
se puede cambiar a dB mediante la relación:
 1 Néper = 8.686 dB
EJEMPLO DE ATENUACION
FASE
FACTOR DE FASE
El término e-j βz es un número complejo cuya magnitud
es la unidad y cuyo ángulo de fase es bz radianes. No
afecta a la magnitud de los fasores de tensión o
corriente. Solo afecta a la fase, disminuyéndola en la
dirección
de
incremento
de
z.
β es llamado factor de fase y se expresa en radianes
por
unidad
de
longitud.
 LONGITUD DE ONDA λ
 La longitud de onda es la distancia entre puntos sucesivos
de la onda con la misma fase eléctrica. De acuerdo a lo
expuesto, la fase original de la onda incidente es (wt +θ ), y
es modificada en la medida que la onda avanza, en un
factor bz radianes, esto es: (wt - bz + θ ).
Al reducirse la vp, la longitud de onda en la línea se
reduce también en forma proporcional. En las LT , la
velocidad de propagación sería igual a la velocidad
de la luz si el dieléctrico entre los conductores fuera
aire, pero si el medio tiene una constante dieléctrica
relativa er mayor que la unidad, la velocidad de
propagación será menor, e igual a :
 Nota: El término que multiplica a la velocidad de la luz es
denominado factor de velocidad (k), y se expresa como un
porcentaje.
 La velocidad de fase y la velocidad de propagación son
numéricamente iguales en las LT (modo TEM). Para un
medio sin pérdidas se puede considerar entonces que:
El tiempo que tarda la onda en avanzar la longitud total
de la línea es llamado tiempo de retardo de la línea (td),
y es igual a:
ONDA ESTACIONARIA DE
VOLTAJE Y CORRIENTE
 La relación de onda estacionaria (SWR), se define
como la relación del voltaje máximo con el voltaje
mínimo, o de la corriente máxima con la corriente
mínima de una onda. A ello también se llama relación
de voltajes de onda estacionaria (VSWR). En esencia es
una medida de la falta de compensación entre la
impedancia de carga y la impedancia característica de
la línea de transmisión.
 Los máximos de voltaje (Vmax) se presentan cuando las
ondas incidentes y reflejadas están en fase ( es decir, sus
máximos pasan por el mismo punto de la línea, con la
misma polaridad) y los mínimos de voltaje(Vmin) se
presentan cuando las ondas incidentes y reflejadas están
desfasadas 180º. La ecuación queda
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA
LINEA ABIERTA
 Cuando las ondas incidentes de voltaje y corriente alcanzan una
terminación abierta, nada de la potencia se absorbe; toda se refleja
nuevamente a la fuente. La onda de voltaje incidente se refleja
exactamente, de la misma manera, como si fuera a continuar a lo largo
de una línea infinitamente larga.
Las características de una línea de transmisión terminada en un
circuito abierto pueden resumirse como sigue:
1. La onda incidente de voltaje se refleja de nuevo exactamente como si
fuera a continuar (o sea, sin inversiónde fase).
2. La onda incidente de la corriente se refleja nuevamente 1800 de
como habría continuado.
3. La suma de las formas de ondas de corriente reflejada e incidente es
mínima a circuito abierto.
4. La suma de las formas de ondas de corriente reflejada e incidente es
máxima a circuito abierto
ONDAS ESTACIONARIAS EN UNA
LINEA EN CORTO CIRCUITO
 Así como en una línea de circuito abierto nada de la potencia incidente será
adsorbida por la carga, cuando una línea de transmisión se termina en un
cortocircuito. Sin embargo, con una línea en corto, el voltaje incidente y las
ondas de corriente se reflejan,nuevamente de la manera opuesta La onda de
voltaje se refleja 180 invertidos de como habría continuado, a lo largo de una
línea infinitamente larga, y la onda de corriente se refleja exactamente de la
misma manera como si no hubiera corto.
Las características de una línea de transmisión terminada en corto
puede resumir como sigue:
1.La onda estacionaria de voltaje se refleja hacia atrás 180 invertidos de cómo
habría continuado.
2.La onda estacionaria de corriente Se refleja, hacia atrás, como si hubiera
continuado.
3.La suma de las formas de ondas incidentes y reflejadas es máxima en el corto.
4.La suma de las formas de ondas incidentes y reflejadas es cero en el corto.