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Funciones y Graficas
Relaciones de correspondencia …
x
F(x)
x
F(x)
x
F(x)
-2
-4
1
1
1
3
0
0
2
4
2
7
1
2
3
9
3
17
Después de observar las tablas anteriores trata de encontrar
la regla de correspondencia que relaciona las columnas en cada
Tabla.
Relaciones de correspondencia …
x
F(x)
x
F(x)
x
F(x)
-2
-4
1
1
1
3
0
0
2
4
2
7
1
2
3
9
3
17
y
2x
y
2
x
y
?
Relaciones de correspondencia…
y
y
4
1
y
0.5
3
x
2
x
0.5
1
1.5
2
-0.5
1
y
-1
-2
Figura 1
-1
1
x2
2
x
Figura 2
La Figura 1 muestra la expresión que resulta de extraerle la raíz cuadrada a un
número real positivo o cero. La Figura 2 representa el resultado de elevar al cuadrado
Cualquier número real.
¿Te fijaste en cuantos la recta vertical anaranjada corta a la grafica de la Figura 1?
¿En cuantos corta a la grafica de la Figura 2?
¿Podrías concluir algo?
Función
A continuación se te presentan ejemplos de
relaciones de correspondencia que son
funciones y otros que no lo son, observa bien
las características de los ejemplos, semejanzas
y diferencias y trata de expresar con tus
propias palabras qué es lo que hace que una
correspondencia sea una función:
Función …
si es función
1
a
b
2
c
3
X
F(x)
Una vez analizados los ejemplos anteriores ¿podrías identificar cuáles de las tablas
siguientes representan funciones?
X
-2
0
1
F(x)
-4
0
2
X
1
2
3
F(x)
1
4
9
X
1
2
3
F(x)
3
7
17
Función …
¿ Y de estas gráficas habrá alguna que no sea función?
y
y
4
1
y
0.5
3
x
2
x
0.5
1
1.5
2
-0.5
1
y
-1
-2
No es función
-1
1
x2
2
x
Sí es función
Para finalizar te presentamos ejemplos de conjuntos de pares
ordenados, uno de los cuales es función y el otro no.
{(-2, 4), (0, -1), (1, 3), (2, 5) }
Sí es función
{ (-1, 0), (2, 6), (4, 9), (-1, -1) }
No es función
Función …
Ahora el momento importante
ha llegado, te toca a ti
decirnos qué es una función.
Definición de función
Una función f es una regla de
correspondencia que asigna a cada elemento x
de un conjunto X, exactamente un único
elemento, f(x), de otro conjunto F(x).
x
f
f (x)
Ejemplos de funciones

Función lineal ( y = m x+b )
x
0
1
2
3
4
5
F (x)
2
3
4
5
6
7
Otros ejemplos
y
4
3.5
3
2.5
y=x+2
2
1.5
-1
-0.5
y = 2x – 2
y = -3x +2
0.5
1
1.5
2
x
Ejemplos de funciones …

Función cuadrática (y = a x2+b x+c)
x
F (x)
0
1
2
3
4
5
0
1
4
9
16
25
Otros ejemplos:
y
4
3
y = x2
2
1
-2
-1
y = x2 – 2 x + 1
y = - 3 x2 +2 x + 3
1
2
x
Ejemplos de funciones …

Función polinomiales
y
y
2
2
1.5
1
1
0.5
x
-4
-2
2
4
x
-1
-4
-2
2
-0.5
-2
-1
-1.5
y = x3
y = x3 +x2
Otros ejemplos: y  3x 3  2 x 2  10 x  1
y  x 4  7 x3  x
4
Ejemplos de funciones …

Función definidas por partes
y
4
y=
x2
y = Cos[x]
2
-4
-2
2
4
6
8
10
x

Si  4  x  2
x

f ( x)   x 2
Si  2  x  0

cos( x)
Si x  0

-2
y=x
-4
Otros ejemplos

 x
f ( x)  x  
x

Si x  0
Si x  0

 x
 3
f ( x)   x

x  2

Si  2  x  0
Si 0  x  2
Si x  2
SECCIONES CÓNICAS …
RECTA.
y
5
2.5
0
-5
-2.5
0
2.5
5
x
-2.5
-5
y mx
SECCIONES CÓNICAS …
PARÁBOLA.
y
25
20
y
2
1.5
15
1
0.5
10
0
0
0.5
1
1.5
2
2.5
3
3.5
4
-0.5
4.5
5
x
5
-1
-1.5
0
-2
-5
-2.5
0
2.5
5
x
y  4 px
2
x  4 py
2
Funciones de uso práctico
Las funciones se utilizan en todas las ramas
de la ingeniería para describir el
comportamiento de una variable con respecto a
otra. Entre algunas de las aplicaciones
podemos mencionar los circuitos eléctricos,
mecánica de fluidos, transferencia de calor y
electrónica.
Funciones de uso práctico …
Otros ejemplos
 Velocidad (Graficar V vs d y V vs t )
d
V  f (d ) 
t
d
V  f (t ) 
t

Ley de la gravitación Universal
q1q2
F  f (r )  k 2
r
Valores extremos de funciones cuadráticas …
Ejemplos
1.
Considere la siguiente función cuadrática:
f ( x)  5 x  30 x  49
2
a) Exprese la función en su forma estándar
b) Trace la gráfica de f.
c) Determine el valor mínimo de f.
2.
Dada la función
f ( x)   x 2  x  2
a) Exprese la función en su forma estándar
b) Trace la gráfica de f.
c) Determine el valor máximo de f.
Valor máximo y mínimo de una
función cuadrática
El valor máximo o mínimo de una función
cuadrática f(x)=ax2+bx+c ocurre en
b
x
2a
Si a > 0, entonces el valor mínimo es
Si a < 0, entonces el valor máximo es
 b 
f  
 2a 
 b 
f  
 2a 