OPERACIONES CON NºS ENTEROS:

APUNUTES Y EJERCICIOS DEL
TEMA 3
1-T3
NÚMEROS ENTEROS (Z):
Existen nos con signo, que son los nos enteros (Z+ son
los positivos y Z- son los negativos). Según se sabe, nos los podemos encontrar en:
a.- Los ascensores, donde el “0” indica la planta baja.
b.- La libreta del profesor, donde el “0”
indica que aún no ha empezado a poner deberes.
c.- El golf, donde el “0” es que lleva
dados los mismos golpes que se le exigen.
d.- La altitud y profundidad, done el “0” es el
nivel del mar.
e.- Las temperaturas, donde el “0” es la temperatura de congelación del
agua.
f.- La recta numérica, donde el “0” es el nº que separa los positivos (a la derecha) de
los negativos (a la izquierda).
g.- Los años de nacimiento, donde el “0” es el año en
que nació Jesucristo.
h.- El banco, donde el “0” es que ni tengo ni debo nada...
IMPORTANTE: Los nos enteros tienen siempre dos elementos que lo forman como son “el signo”
y la “cifra”. A la cifra se la conoce con el nombre de “valor absoluto”.
ORDEN DE Nos ENTEROS:
Se siguen estas reglas:
os
a) Entre 2 n enteros positivos siempre es mayor quien tenga mayor valor absoluto, y viceversa.
b) Un nº positivo siempre es mayor que el “0”, y viceversa.
c) El “0” siempre es mayor que cualquier nº negativo, y viceversa.
d) Cualquier nº positivo siempre es mayor que cualquier nº negativo, y viceversa.
e) Entre 2 nos enteros negativos siempre es mayor el que tenga menor valor absoluto, y viceversa.
EJERCICIOS
1.- Ordena de menor a mayor los siguientes nos enteros:
a) 3, +2, -5, +6, -1, -10, +9, -33
b) –32, 45, +22, +99, -26, 0, +11, -11, -6, 22, -9
2.- ¿Por qué –6 es más pequeño que –4? ¿Y 9 más grande que –79?
3.- Encuentra todos los nos comprendidos entre –4 y +5.
4.- Un avión de pruebas vuela a 3000 m sobre el nivel del mar, sube 500 m y luego baja en picado
250 m; después vuelve a subir 400 m. ¿A qué altura vuela al final? Expresa el resultado en una
sola cuenta.
OPERACIONES CON Nos ENTEROS:
MUY MUY IMPORTANTE
SUMA: Se hace de 2 formas diferentes. Antes de contestar debo lanzar una pregunta, ¿de qué
signo?
a.- De igual signo: Se deja el mismo signo y se suman los valores absolutos.
b.- De diferente signo: Se deja el signo del que tenga mayor valor absoluto y se
restan los v.a.
Ejemplos:
(+5) + (+9) = (+14) ,, (-2) + (-8) = (-10) ,, (+3) + (-1) = (+2) ,, (-9) + (+4) + (-7) = (-12)
RESTA: Puesto que restar es lo mismo que sumar el opuesto del nº, para hacer las restas primero
habrá que pasar las restas a sumas, y después procederemos como en la suma. Ejemplos:
(-9) – (-5) = (-9) + (+5) = (-4) ,, (+8) – (+2) + (-3) = (+8) + (-2) + (-3) = (+3)
MULTIPLICACIÓN:
absolutos.
Ejemplos:
Se aplica la regla de los signos y se multiplican los valores
(-9) x (-5) = (+45) ,, (+8) x (-4) = (-32) ,, (+11) x (+6) = (+66) ,, (-3) x (+15) = (-45)
DIVISIÓN:
Se aplica la regla de los signos y se dividen los valores absolutos. Ejemplos:
(-12) : (+6) = (-2) ,, (+99) : (+11) = (+9) ,, (+340) : (-10) = (-34) ,, (-48) : (-6) = (+8)
EJERCICIOS
2-T3
5.- De la página 47 del libro, los nos 1, 3, 8, 9 y 10.
6.- Realiza todas estas sumas y restas de nos enteros:
(-3) + (+2)
(+5) + (+12)
(+1) + (-22)
(-2) + (-8)
(-6) + (+9)
(+9) + (-17)
(+7) + (+4)
(-12) + (-6)
(-8) + (+8)
(-11) + (+14)
(+34) – (+35)
(-7) + (-3)
(-8) + (+2)
(+9) + (+3)
(-1) + (+4)
(-14) + (-9)
(+7) - (+22)
(+99) + (-11)
(-16) + (+15)
(+10) + (-10)
(-100) + (-100)
(+44) + (-4)
(-15) + (-3)
(+10) + (+1)
(+1) + (-56)
(-31) - (+3)
(-57) + (-12)
(+80) - (-15)
(-13) + (+12) – (-9)
(+21) + (+9)
(+98) + (-8)
(+85) – (+7)
(-12) + (-19) + (+1)
7.- De la página 49 del libro, los nos 13, 14, 15, 16, 17, 19 y 22.
PASO A FORMA SIMPLIFICADA:
Un ejercicio que nos encontramos a los nos
enteros metidos en sus respectivos paréntesis se puede pasar a forma simplificada (un solo signo
delante de cada valor absoluto) aplicando la regla de los signos. Posteriormente, si el nº lleva
delante un signo “-” será negativo y si lleva “+” o no lleva nada será positivo. Con ellos, la
operación que siempre haremos será la de “sumar”.
Ejemplos:
(-9) + (-8) = -9 - 8 = -17 ,, (+5) – (-3) + (+7) = 5 +3 +7 = 15
(+3) + (-2) – (+12) = 3 – 2 – 12 = -11 ,, (-4) + (-5) + (+3) – (+55) = -4 -5 +3 -55 = - 61
EJERCICIOS
8.- De la página 51 del libro, los nos 24, 25, 27, 28, 29, 31, 33 y 36.
9.- De la página 53 del libro, los nos 38, 39, 41, 43, 44, 45, 46, 48, 49 y 50.
PROPIEDAD DISTRIBUTIVA:
Este tipo de ejercicios se hacen todos igual. Es una de las propiedades que tiene la multiplicación
de nos enteros. Nos lo encontraremos cuando tengamos un nº entero multiplicando a un corchete,
donde dentro del corchete hay nos sumando o restando.
El hecho de que haya un nº entero multiplicando al corchete significa que está
multiplicando a todos los nos del corchete obviamente:
1ª Forma (-6) x [(-4) + (-7) – (+3)] = (-6) x (-4) + (-6) x (-7) – (-6) x (+3) 2ª Forma
Esto se llama “aplicar la propiedad distributiva” y en los ejercicios aparecerá cuando te diga
“calcula de dos formas diferentes o distintas”
SACAR FACTOR COMÚN:
Es lo contrario de aplicar la propiedad distributiva. En el
ejemplo de la parte de arriba, sería ir de la parte derecha del igual a la parte izquierda. Ejemplo:
(-9) x (-4) – (-9) x (+7) + (-3) x (-9) = (-9) x [(-4) – (+7) + (-3)]
EJERCICIOS
10.- Calcula el resultado final:
(-3) + (-9) – (-5) + (+1) + (+54) – (+12) + (-91) + 23
11.- Pasa a forma simplificada y calcula el resultado: (-9) + (-6) – (+3) – (-7) + (+7) + (-21) – (-4)
12.- Calcula: 4 – (-12) – (-2) ,, 2 – (-4) – (-11 +5) ,, 80 – (-20) ,, 9 – (-6) + (-9)
-5 +2 +3 –4 +7 ,, 8 –7 +5 –8 –19 ,, -7 –5 +6 –4 +20 ,, (10 –3 +4) – (9 –2 +8) ,,
(-3 +5 –9) – (-4 +11 +6) ,, 5 + [ 4 –( 6 +7 –5)] ,, 2 – [ -4 –( 9 +5 –3) +21] –12
3-T3
13.- Un avión vuela a 9000 m de altura. Sube 2000 m para situarse sobre una borrasca y luego
desciende en dos ocasiones el mismo nº de metros. El avión queda a una altura de 6000 m.
¿Cuántos metros bajó en cada ocasión?
14.- Halla el resultado final: 96 + (25 : 5) + (62 –2 – 30) ,, 22 +18 : (36 :6) + (12 : 4) –41 +7
15.- ¿Qué nº dividido por –6 da de cociente 5?
Si el dividendo es 60 y el cociente exacto –12,
¿cuál es el divisor? Explica cómo lo averiguas en ambos casos.
16.- Averigua el resultado: a) [(-3) + (-6)] + [(-65) – (+9)]
b) [(+8) – (-6)] – [(+4) – (-6)]
c) [(+9) – (-5) +3] x [(40) + 24 : (-3)] – (-2) x (-7)
d) [(-6) – (-12)] – [(-9) – (+62)] – [(+6) +8]
17.- Calcula de dos formas diferentes:
a) (+8) x [(-4) + (-5)]
b) (-42) x [(-4) – (-8)]
c) (-3) x [(+8) – (-5) – (+7)]
18.- Saca factor común:
a) (-4) x (-3) + (-4) x (+6)
b) (+2) x (+8) – (+2) x (-9)
c) (-10) x (+7) + (-10) x (-4) – (-8) x (-10)
d) (-9) x (-6) + (-7) x (-6) – (-6) x (-6)
19.- Explica cómo se suman dos números enteros y pon 4 ejemplos de dos nos cuyos valores
absolutos superen los 34.
20.- Escribe un nº que sea a la vez mayor que –6 y menor que –9. Escribe todas las soluciones
posibles.
21.- Sustituye el valor de “¿? “ por el nº que corresponda: (haz todas las comprobaciones)
a) –3 –4 –1 + ¿? = 8
b) –3 + (-9) + ¿? x 7 = -33
c) (¿?) x [(+5) + (-6) – (-4)] = 0
d) 91 : (¿?) = -7
e) ¿? : (+8) = -6
f) (42 : ¿?) x (2 x 5) = -70 g) 4 –5 –9 ¿? = 1
h) 2 x 4 x 5 x ¿? = -9000
i) ¿? : (+6) = 70
j) 25 + 21 – 9 ¿? = -7
k) 4 –6 = ¿?
22.- La suma de un nº con el doble de su opuesto es igual a 14. ¿Cuál es el nº?
23.- Halla el resultado final sin saltarte ningún paso. Intenta hacerlo de 3 formas diferentes (la 1ª
cogiendo de 2 en 2 a partir de la izquierda; la 2ª haciendo la tabla de los positivos y de los
negativos; y la 3ª cogiendo parejas de 2 en 2 a lo largo de todo el ejercicio)
a) -3 +12 –6 –8 +4 – 67 +23 – 6 –4 +23
b) 4 –7 –12 –6 + 9 +30 – 13 –24 +8 –5
c) 50 –12 –33 +2 –80 +3 –2 –11 – (5 – 9)
24.- Invéntate una suma, una resta, una multiplicación y una división de números enteros cuyos
resultados sean:
- 6 ,, -9 ,, 17 ,, +80 ,, -91
25.- Saca factor común (-4) en la siguiente expresión:
(-12) + (-8) – (-20) + (+28)
26.- Dibuja una recta entera y señala en ella sólo los nos enteros que te digo a continuación:
-3 ,, 9 ,, +4 ,, -10 ,, -1 ,, +8 ,, -7
27.- Pasa las siguientes restas a sumas y luego calcula el resultado final:
a.- (-6) – (-8)
b.- (+7) – (+21)
c.- (-81) – (-64)
d.- (-54) – (+45)
28.- Calcula el resultado final lo más rápido que puedas. Debes darle a cada apartado en un
máximo de 3 segundos:
3 – 8 ,, 4 + (-9) ,, -5 –9 ,, (-9) + (+6) ,, (+30) –80 ,, 33 x (-2) ,, 45 –46 ,, 23 – 20 ,, -4 +9
8 –6 –3 ,, -1 –1 –3 ,, 5 +7 –10 ,, (+84) : (-3) ,, (-42) : (-7) ,, 3 x 2 –8 ,, 10 + 4 –84 ,, 12 –16
EJERCICIOS DEL TRABAJO:
77, 78, 80, 81, 82 y 83.
57, 59, 61, 63, 64, 65, 66, 67, 68, 69, 70, 71, 73, 74, 75, 76,
EJERCICOS CAMBIADOS O MODIFICADOS:
63.- Elige el signo “<, =, >” más adecuado para indicar la relación entre los siguientes pares de nos,
y calcula luego la diferencia entre el mayor y el menor:
a.- -2 y –1
b.- -1 y 7
c.- 0 y –8
d.- -12 y –20
67.- Entre un nº entero y su opuesto hay 5 nos enteros. ¿Cuáles son esos nos? ¿Hay más de una
solución?
4-T3
70.- Calcula: a.- -5 – (-5) + [2 – (4 + 6 –1)]
b.- (-3) –2 – [ -5 + (-7) – (-1)] – (-3)
c.- 3 – [4 + (-6)] – (-2) – (8 –4)
d.- 6 + (3 –5 +4) –2 –3 – (6 –9 +8)
74.- Pitágoras, el gran matemático griego, nació en el año 570 a. J.C. y vivió 89 años. ¿En qué año
murió?
81.- Calcula de dos formas diferentes:
a.- (-3) x [(+4) + (-9)]
b.- (-2) x [(-3) + (-1) – (-9)]
c.- (+8) x [(-4) – (+3)]
82.- En una división, el divisor es igual a –7 y el cociente es igual a la suma de –12 con el doble
del divisor. ¿Cuál es el dividendo?
83.- Tiene dos partes y se llama “dale al coco”:
a.- Con 4 cuatros y haciendo las operaciones que necesites, escribe los nos del 0 al 9. Un
ejemplo: si tuviésemos que formar el nº 15 se podría hacer así 4 x 4 – 4 : 4 (No vale hacer la
raíz cuadrada al 4, ya que no sería el nº 4 el que estarías utilizando, sino el 2)
b.- Un caracol sube verticalmente por una tapia de 10 m. Durante el día sube 2 m, pero por
la noche el pobre resbala y retrocede 1 m. ¿Cuántos días tardará en llegar a lo alto de la tapia?
Fdo. Juan Chanfreut Rodríguez
Profesor de matemáticas de 1º de ESO