TEMA: OPERACIONES CON NUMEROS REALES

TEMA: OPERACIONES CON NUMEROS REALES
Grado: Segundo
Sección: “...”
Fecha:.../.../...
Prof.: Lic. José Luis Guizado Pino
NUMEROS RACIONALES





ALGUNAS PROPIEDADES DE LOS NUMEROS
RACIONALES
Es un conjunto Infinito.
Es un conjunto muy denso, entre dos
números racionales siempre existe otro
número racional.
Todo número racional tiene una expresión
decimal equivalente.
A cada número racional le corresponde un
punto en la recta numérica, pero a todo
punto no le corresponde un número racional.
Es un conjunto ordenado, entre dos números
racionales diferentes, siempre es uno mayor
que el otro.
 3,8 =
38  3 35

9
9
Decimal periódico mixto
 1,26 =
126  12 114 19


90
90 15
NUMEROS IRRACIONALES
Un número irracional se puede expresar por:
 Un número decimal no periódico de infinitas
cifras.
 Un conjunto de números racionales con
aproximación por defecto o por exceso
Las fracciones irreductibles, representan una Algunos números irracionales.
clase de equivalencia y forman el conjunto de
2 = 1,414213...
los números racionales Q,
3 = 1,732 050...
DE FRACCION A NUMERO DECIMAL
5 = 2, 236 067 ...
FRACCION
3
2
5
11
13
6
EXPRESIÓN DECIMAL
3 15
=
= 1,5
2 10
5
= 0,4545...
11
13
= 2,1666...
6
TIPO
Exacto o
limitado
Periódico
puro
Periódico
mixto
GENERATRIZ DE UN NUMERO
DECIMAL
Expresión
decimal
1,625
Exacto o
limitado
1625 13

1,625 =
1000
8
217  2 215

2,17 =
99
99
25
1

100 4
Decimal periódico puro
0,36 =
L

= 3, 141592 ...
= 2, 718281 ...
Ejercicios
1. Halla la fracción generatriz de:
a) 4,5
b) 3,128 282 8...
2. Halla la fracción generatriz y
resuelve
2,7 –5,3 . 0,27
Fracción generatriz
2,1717...
Periódico
Puro
2,45151...
2451  24 2427 809


2,451 =
Periódico
990
990
330
mixto
Decimal limitado:
0,25 =

7 = 2, 645 751 ...
11 = 3, 316 624 ...
36 12
4


99 33 11
3. Resuelve 1,5 + 0,8 -
0,2
1,23
4. Indica que tipo de expresión
decimal representa las fracciones
13
16
33
a)
b)
c)
11
15
31
5. Halla
la
suma
de
los
numeradores de las generatrices
de 0,32 y 1,1316
Redondeamos
centésimos:
NUMEROS REALES
Existen números reales positivos, R
números reales negativos, RR = R-  {0}  R+
decimales
hasta
los
4,736 = 4,74
1,318 = 1,32
0,576 = 0,58
El conjunto de los números racionales y el de
los de los números irracionales conforman el
conjunto de los números reales y se designa
por R
+
los
Aproximación de 4,736
4,736
, y
4,73
R
4,736
4,74
Aproximación de 0,576
Q
0,576
I
Z
N
0,57
N Z

I
Q


R
RECTA REAL
-5
-
-4
Ejercicios

-3
-
-2
5
10
2
-1
0
9
5
1
2
3
1. Ubica en la recta real los números
RECTA REAL
irracionales
4
5
y 2
Solución
Hallamos la expresión decimal de cada uno:
 = 3,1416...
APROXIMACIONES
2 = 1,4142...
Ubicamos sus valores aproximados

Cuando necesitamos operar con números
reales nos vemos obligados, en muchas
ocasiones, a manejar decimales con muchas
0
1
cifras. sabemos que las expresiones decimales
de un número real se reducen a los siguientes
2. ¿Cual es el valor de
tipos
Exacto
4,736
Periódico
puro
0,576
Periódico mixto
1, 318
Ilimitado no
periódico
2 = 1,41421356...
Como no podemos operar con infinitas cifras,
tomamos aproximaciones de estos números
para efectuar operaciones con ellos.
Una aproximación o valor aproximado de un
número es otro número próximo al primero al
cual representa y sustituye. Por ejemplo, el
decimal 0,33 es una aproximación del número
0, 3 . Para aproximar un número se suelen
utilizar dos técnicas: truncamiento y redondeo.
Ejemplos:
Truncamos
los
decimales
hasta
los
centésimos:
4,736 = 4,73
1,318 = 1,31
0,576 = 0,57
t
0,58
Para truncar un número decimal se eliminan sus
cifras a partir de un cierto orden. Para redondear
hasta cierto orden n, se deja la cifra de orden n
como está, si la que sigue es menor que 5; y se
aumenta en una unidad, si la que sigue es mayor o
igual que 5
R
R = Q I
9
2
0,576

2
2
2
+
3
3
con
aproximación a las milésimas?
Solución
Hallamos los valores decimales de cada raíz:
2 = 1,4142...
3 = 1,7320...
Calculamos la suma con los valores decimales
aproximados a las milésimas.
2
3
+
= 1,414 + 1,732 = 3,146
Tarea
Resuelve las siguientes operaciones y redondea según se
indique
a)
b)
5
2
(al centésimo)
+ 5
- 2,49 (al centésimo)
c) 0,51 x 2,13 (al milésimo)
d)
e)
9-
4
+ 2,13 +
5 2
12
x 6: 2
4 15
3
7
(al centésimo)
(al milésimo)
TEMA: INTERVALOS
Grado: Segundo Sección: “...” Fecha:.../.../...
Prof.: Lic. José Luis Guizado Pino
INTERVALOS
Alguna vez hemos escuchado que se ha
INTERVALOS NO ACOTADOS
averiado un tramo de una carretera. Por
ejemplo, nos dicen que entre los kilómetros 12
X<3
x  3
y 18 de la carretera central ha caído un
“huaico”.
-1 0 1 2 3 4
1 2 3 4 5 6 7
Km
12
 ;3 = {x /x  R, x < 3} 3;  = {x /x
Km
18
Tramo de la Carretera Central
Unión de intervalos:
La unión de dos intervalos I1 =
Un intervalo de números reales es el conjunto de
números correspondientes a una parte de la recta
numérica, en consecuencia, un intervalo es un
subconjunto del conjunto de los números reales
CLASES DE INTERVALOS
Intervalo
cerrado
a, b
-1
3
-1
3
-1
3
-1
3
a
b
a
b
a
b
a
b
Intervalo abierto
a la izquierda
a, b
-2
 El intervalo cerrado a, b está formado
por los números reales x comprendidos entre
a y b incluidos a y b. Se expresa:
a, b = {x/x  R, a  x  b}
intervalo
formado
por
comprendidos
expresa: a, b
-1
0
1
2
I1  I2 = [-2; 6]
y I2 =
3
4
5
6
7
 [1; 8] = [-2; 8]
8
Intersección de intervalos:
La Intersección de dos intervalos es el
conjunto de los
números
reales
que
pertenecen a la vez a los dos intervalos.
 El intervalo abierto a, b está formado por
I2
los números reales x comprendidos entre a y
I1
b excluidos a y b. Se expresa:
I1  I2
a, b = {x/x  R, a< x < b}
 El
 2;6
[1; 8] es el conjunto de números reales que
pertenecen a l menos a uno de los dos
intervalos .
I2
I1
I1  I2
Intervalo
Abierto
a, b
3}
OPERACIONES CON INTERVALOS
A un tramo de la recta numérica se llama intervalo.
Intervalo
abierto a la
derecha
a, b
 R, x 
-2
-1
0
1
2
I1  I2 = [-2; 6]
3
4
5
6
7
8
 [1; 8] = [1; 6]
Diferencia de Intervalos :
semiabierto
a, b está La diferencia del intervalo I1 y I2 es el conjunto
de los números reales que pertenecen al
los
números
reales
x
intervalo I1 y no pertenecen al intervalo I2
entre a y b incluidos a. Se
= {x/x  R, a  x < b} el
I2
Intervalo semiabierto a, b está formado
I1
I
I
1
2
por los números reales x comprendidos entre
-2 -1 0 1 2 3 4
5 6 7
8
a y b incluidos b. Se expresa
a, b = {x/x  R, a < x  b}
I1 - I2 = [-2; 6] - [1; 8] = [-2; 1[
 Otros intervalos que se consideran en la
recta son los no limitados o no acotados.
Ejemplo 1: ¿Cuál es la unión, la intersección
y la diferencia de intervalos?.
Ejemplo 1. el conjunto de números
menores que 3 se expresa por x< 3 y se
representa por una semirrecta de origen 3
que no contiene al 3.
El conjunto de números mayores o iguales a
3 se expresa por x  3 y se representa por
Una semirrecta de origen 3 que contiene al 3
P
Ejemplos 3:Hallar los posibles valores de x
VALOR ABSOLUTO DE UN NUMERO REAL
en: |X – 4| = 6
Solución
El valor absoluto de un número real es la
distancia del punto al cual corresponde, con
respecto al origen. Se denota por |a| (valor
absoluto) donde:
| -a | = a
| +a | = a
Si el valor absoluto es 6, entonces lo que está
dentro del paréntesis tiene la posibilidad de
tener dos valores:
Si x – 4 = 6, entonces x = 10
Si x – 4 = -6, entonces x = -2
- Si |x| = < 2, x es cualquier número real
Comprobación
del intervalo abierto ] –2; 2 [
Para x = 10
Para x = -2
|x| < 2, ó –2 < x < 2
-3
-2
-1
0
1
2
Ejemplo 4: Hallar los posibles valores de:
3
- Si |x| =  2, x es cualquier número real
del intervalo cerrado [ –2; 2 ]
-3
|x|

-2
-1
2, ó –2
0

1

x
2
|3x – 2|

11
Solución
Expresamos el valor absoluto de |3x – 2|
2
- 11  3x – 2  11
-11 + 2  3x  11+ 2
-9  3x  13
3
- Si |x| = > 2, x es cualquier número real de
los intervalos ]–  ; -2[  ]2;  [
- Si |x| =  2, x es cualquier número real
de los intervalos ]–  ; -2]  [2;  [
-
ab
2
[a; b] =
Ejemplo; El punto medio del intervalo [-5, 3]
Solución
53
 1
[-5, 3] =
2
11
9
13
x 
3
3
13
3  x 
3
Expresamos en intervalo y representamos en
la recta numérica
PUNTO MEDIO DE UN INTERVALO

13

 3; 3 


13
3
-3
-2 -1
0
1
2
3
4
5
6
7
Tarea:
1. Representa gráficamente el punto medio
-5
-4
Ejemplo
-3
2:
-2
-1
0
Representa
1
2
en
notación
conjuntista y grafica el siguiente intervalo:
a) ] 3; 9]
Expresamos la notación conjuntista
] 3; 9] = { x/x
 R; 3< x  9}
Representamos gráficamente
1
2
3
4
5
6
7
8
9
3
10
del intervalo: [ -6; -5/2]
2. Calcula y representa en la recta numérica
los siguientes intervalos:
A) ]1; 5[  [4; 6]
B) [-4; 7]  ]4; 8]
C) ]-3; 6] – [2; 7]
3. Halla los posibles valores de x en cada
caso:
a) |2x – 5| = 11
b) |x - 15| = 2
4. Halla el resultado de las siguientes
operaciones:
a) |-5 +|-2-3||
b) |-3 – 10| - 20