ESTADÍSTICA MATEMÁTICA

Estadística Descriptiva
ANOTACIONES DE ESTADÍSTICA
BACHILLERATO SOCIALES
CURSOS 2º BACHILLERATO
ECONOMÍA – ADE – EMPRESARIALES
Dpto Matemáticas
IES León Felipe
1
Estadística Descriptiva
ESTADÍSTICA MATEMÁTICA ( Cálculo de probabilidades )
Experimento aleatorio si pude dar lugar a varios resultados, pero no se puede predecir
de antemano cual de ellos va a ocurrir en la realización del experimento.
Suceso elemental cada uno de los posibles resultados de un experimento aleatorio
Espacio muestral es el conjunto de todos los sucesos elementales asociados a un
experimento aleatorio, se designa E.
Suceso seguro, se da obligatoriamente como resultado de un experimento
Suceso imposible, no se puede dar como resultado de un experimento.
OPERACIONES CON SUCESOS
Unión de sucesos AUB , es el suceso que se verifica siempre que se verifica A, o
siempre que se verifica B
Intersección de sucesos A  B es el suceso que se verifica si se verifican A y B
simultáneamente.
Sucesos incompatibles si la intersección es el suceso imposible A  B  
Suceso contrario de A, se verifica cuando no se verifica A, se designa A .
Diferencia de sucesos A-B, si se verifica A y no se verifica B, es decir se verifica sólo
A, por lo tanto:
A  B  A  B
Leyes de Morgan:
( A  B)  A  B Complementario de la unión es intersección de
complementarios.
( A  B)  A  B Complementario de la intersección es unión de
complementarios.
Con las operaciones de unión e intersección los sucesos tienen estructura de
Álgebra de Boole.
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Estadística Descriptiva
AXIOMÁTICA DEL CÁLCULO DE PROBABILIDADES
Dado un experimento aleatorio A de espacio muestral E, se define la
probabilidad como cualquier aplicación de A en los números reales:
p : A  R que cumpla los siguientes axiomas:



p( A)  0
p( E )  1
A  B    p( A  B)  p( A) + p(B)
p(A) sería la probabilidad del suceso A y p la función de probabilidad.
Consecuencias:

p( )  0

p( A)  1  p( A)

0  p( A)  1

p( A  B)  p( A)  p( A  B)

A  B  p( A)  p( B)

p( A  B)  p( A)  p( B)  p( A  B)

p( A  B  C )  p( A)  p( B)  p(C )  p( A  B)  p( B  C )  p( A  C )  p( A  B  C )
Asignación de probabilidades
Consideremos un experimento aleatorio, y su espacio muestral asociado E, formado
por los sucesoso elementales e1, e2, e3,..........., en.
Para tener una función de probabilidad nos basta con asignar a cada ei un número pi,
que verifique:
1.- pi  0
2.- p1+p2+p3+…….+pn=1
En esas condiciones la probabilidad de ei sería p(ei) = pi
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3
Estadística Descriptiva
Entonces para cualquier suceso A formado por varios sucesos elementales
ocurre:
p( A)   p(ei ) siendo ei  A
Si los sucesos elementales ei tienen todos la misma probabilidad de ocurrir
(equiprobables), y el suceso A lo forman r sucesos elementales se cumple:
p( A)  r.
1 r Casos Favorables
 
Re gla de Laplace
n n
Casos Posibles
Probabilidad condicionada
Se llama suceso B condicionado por A y se denota B/A al suceso que representa
el hecho que se verifique B supuesto que se ha verificado A, en consecuencia se fija A
como espacio muestral por lo tanto:
p( B / A) 
p ( A  B)
p( A)
de dondese deduce p( A  B)  p( A). p( B / A)
Independencia de sucesos
El suceso B es independiente del A si p(B/A) = p(B)
Por lo tanto si dos sucesos son independientes p( A  B)  p( A).p( B)
Si dos sucesos son incompatibles p( A  B)  
Probabilidad Total
Si A1, A2, A3, ..............An son sucesos incompatibles dos a dos, su unión es el
suceso seguro y sus probabilidades son no nulas, entonces para cualquier suceso B
tenemos:
P(B) = p(A1).p(B/A1) + p(A2).p(B/A2) + ……….+ p(An).p(B/An)
Siendo p(A1) + p(A2) + ...............+ p(An) = 1 por ser incompatibles
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Estadística Descriptiva
Teorema de Bayes
En las condiciones anteriores, para cualquier suceso Aj, se cumple:
p ( A j / B) 
p ( A j  B)
p ( B)

p( Aj ). pB / Aj )
p( A1 ). p( B / A1 )  .............. p( An ). p( B / An )
P(A1)
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Estadística Descriptiva
EJERCICIOS CALCULO DE PROBABILIDADES
1.- Sea el experimento aleatorio lanzar tres monedas al aire y anotar los resultados, se
pide:



Construir el espacio muestral
Considerar los sucesos A= “ aparece al menos una cara” B = “ aparece
exactamente una cruz”
Hallar la unión e intersección de los sucesos A y B
2.- Sea E = ( a, b, c, d ) el espacio muestral asociado a un experimento aleatorio y “ p”
una función de probabilidad sobre E.


Hallar p(a) si p(b) = 1/3, p(c) =1/6 y p(d)=1/9
Hallar p(a) y p(b) sabiendo que p(c)=p(d) =1/4 y que p(a) = 2. p(b)
3.- Sean A y B dos sucesos de un experimento aleatorio tales que p(A)=1/3 , p(B)=1/4
1
y p ( A  B )  . Calcular:
5





p(A/B)
p(B/A)
p( A / B)
p( B / A)
p ( A  B)
4.- Sean A y B dos sucesos independientes de un experimento aleatorio, la probabilidad
de que ocurran los dos a la vez es 1/3 y de que no ocurra ninguno de los dos es 1/6.
Calcular p(A) y p(B).
5.- Dados los sucesos A y B con probabilidades p(A) = 1/3, p(B) = 1/4 y
p( A  B)  1/ 12 . Obtener:


p( A  B)
p( A  B)
6.- En un banco hay dos sistemas de seguridad, el primero funciona el 90% de las
veces y el segundo el 80%, los dos a la vez el 75% ¿ Cuál es la probabilidad de que no
funcione ninguno de los dos sistemas?
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Estadística Descriptiva
7.- Sean A y B dos sucesos de manera que p(A) = 0,4 p(B)= 0,3 y la probabilidad de
que ocurran los dos a la vez es 0,1. Calcula razonadamente :






p ( A  B)
p( A  B)
Probabilidad de que ocurra A si ha ocurrido B
Probabilidad de que ocurra sólo B
Probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos
Probabilidad de que si no ocurre A, no ocurra B
8.- Sean A y B dos sucesos de un espacio muestral ¿ Podríamos afirmar
P(A) + P(B) > P(AUB)
Razona la respuesta
Sabiendo que P(A) = 0,5 y P(B) = 0,6 Calcula razonadamente para qué valor de
P(AUB) los sucesos A y B son independientes.
9.- Luis, Silvia y Yolanda quedan para ir al cine. Las probabilidades de llegar con
retraso son 0,3, 0,2 y 0,1 respectivamente. El retraso o no de uno de ellos es
independiente de los otros. Calcula las probabilidades siguientes:




Ninguno se retrasa
Sólo uno se retrasa
Alguno se retrasa
Sabiendo que sólo uno se retrasó ¿ Cual es la probabilidad de que fuera Luis?
10.- En un Ayuntamiento hay 5 concejales del partido A. 4 del B y 2 del C. Si se
eligen al azar tres concejales. ¿cuál es la probabilidad de que pertenezcan al partido A?
¿cuál es la probabilida de que pertenezcan a distintos partidos?
11.- El 12% de los habitantes de una ciudad padece cierta enfermedad, el
diagnóstico no es completamente fiable ya que da positivo en el 90% de los casos de
personas realmente enfermas, pero también da positivo en el 5% de los casos de
personas sanas.
¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que el procedimiento le
ha dado positivo?
12.- En una gran empresa los ascensos son muy solicitados. La probabilidad de
ascender por oposición es 0,2, la de ascender por méritos es 0,8 y la de ascender por
enchufe es 1. Si los presentados para un posible ascenso son 70% oposición, el 25% por
méritos y el resto son enchufados, se pregunta:
¿Si una persona ascendió porqué método es más probable que lo consiguiera?
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Estadística Descriptiva
13.- Consideramos dos urnas A y B. En la urna A hay 5 bolas blancas y 3 negras, y
en la urna B hay 2 bolas blancas y 6 negras. Se selecciona al azar una urna, se extrae
una bola. Se pide:


Probabilidad que sea blanca
Si la bola extraída fue negra probabilidad que provenga de la urna B
14.-Dados los sucesos A y B de un mismo espacio muestral, se sabe que : P(A) =
0,4; P(AUB) = 0,8 y P( A  B )  0,7
a) Comprobar si los sucesos A y B son independientes.
b) Calcular la probabilidad de que sólo se verifique B.
15.- El 60% de los habitantes de la muy noble villa de Benavente están satisfechos
con su situación económica, y el 80% de esos habitantes tiene vivienda propia. De los
no satisfechos con su situación económica, sólo el 20% tiene vivienda propia.
¿ Qué tanto por ciento de habitantes tienen vivienda propia?
¿ Qué tanto por ciento de los habitantes que tienen vivienda propia están
satisfechos con su situación económica?.
¿ Qué tanto por ciento de los habitantes sin vivienda propia están satisfechos con
su situación económica?.
16.- La baraja española consta de diez oros, diez copas, diez espadas y diez bastos. Si se
extraen simultáneamente dos cartas de la baraja, calcula la probabilidad de obtener:
a) Dos copas.
b) El as y el tres de copas
17.- Considerar dos urnas A y B. En la urna A hay 5 bolas blancas y 3 negras, y en la
urna B hay 2 bolas blancas y 6 negras. Se selecciona una urna al azar, se extrae una
bola.
a) Probabilidad de que sea blanca
b) Si la bola extraída fue negra, probabilidad que provenga de la urna B
18 - En una ciudad se publican dos periódicos A y B. La probabilidad de quer una
persona lea el periódico A es 0,1; la probabilidad de que lea el periódico B es 0,1 y la
probabilidad de que lea ambos es 0,02



Calcula la probabilidad de que una persona no lea ningún periódico
Calcula la probabilidad de que sólo lea uno de los dos
Calcula la probabilidad de que una persona que ha leído alguno de los
dos periódicos lea también el otro.
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19 - El Ayuntamiento de MATALASCAÑAS tiene en la actualidad 17 concejales de los
que 9 son del PP, 6 del PSOE y 2 de MC. Se eligen tres concejales al azar para formar
una comisión que se encargue de las fiestas patronales de la ciudad.



Probabilidad de que sean de partidos distintos.
Probabilidad que los tres sean del PP.
Probabilidad que los tres sean de MC.
20.- Chema y Esther escriben en la pizarra una vocal cada uno ¿ Cuál es la probabilidad
de que escriban la misma?.
21.- Sabiendo que p(A) = ½ , p(B) = 3/5 y p( AUB ) = ¾. Calcular p (A/B ) y p ( B/A ).
22.- En una clase hay 10 chicos y 5 chicas. El profe saca a la pizarra a tres. Se pide:
a.- Probabilidad de que sean tres chicos.
b.- Probabilidad de que sean tres chicas.
c.- Probabilidad de que sean dos chicos y una chica.
d.- Probabilidad de que el primero sea chico y las otras dos chicas.
e.- Probabilidad de que al menos uno sea chico.
23- La probabilidad de que un alumno de 2ºC apruebe Filosofía es 0´6 y de que apruebe
Economía es 0´8, y la de que apruebe las dos es 0´5. Se pide:
a.- Probabilidad de que apruebe al menos una de las dos.
b.- Probabilidad de que no apruebe ninguna.
c.- Probabilidad de que apruebe Economía, supuesto que no aprobó
Filosofía.
d.- ¿ Son independientes?. ¿ Son incompatibles?.
24.- De los 1000 alumnos adscritos al IES León Felipe, hay 300 que saben inglés, 100
saben francés y 50 los dos idiomas. ¿ Son independientes los sucesos “Saber inglés” y
“Saber francés”?.
25.- En 2ºC un año glorioso un 40% de alumnos aprobaron Filosofía y un 50% aprobaron
Arte. Se sabe que la probabilidad de aprobar Filosofía si se ha aprobado Arte es 0´6 ¿ Qué
porcentaje de alumnos aprobaron las dos asignaturas ese glorioso año?.
26.- El despertador de Pepe el 20% de las veces no funciona. Cuando funciona llega tarde
a clase el 20% de las veces y cuando no funciona llega tarde el 90% de las veces. Se pide:
a.- Probabilidad de que llegue tarde a clase.
b.- Si llega tarde a clase, probabilidad de que no haya sonado el
despertador.
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Estadística Descriptiva
27.- Un señor lleva un manojo de llaves para abrir una puerta, pero no sabe cual es la que
la abre¿ Qué es más probable, que acierte al primer intento o al tercero?.
28.- En un Ayuntamiento hay 5 concejales del partido A, 4 concejales del partido B y 1
concejal del partido C. Si se eligen al azar tres concejales, ¿cuál es la probabilidad de que
los tres sean del partido A? ¿Y la de que pertenezcan a partidos distintos?
29.- El 12% de los habitantes de una ciudad padece cierta enfermedad, el diagnóstico no
es completamente fiable ya que da positivo en el 90% de los casos de personas realmente
enfermas, pero también da positivo en el 5% de los casos de personas sanas.
¿Cuál es la probabilidad de que esté sana una persona a la que el procedimiento le ha dado
positivo?
30.- En una ciudad se publican tres periódicos A, B y C. El 30% de la población lee A, el
20% lee B y el 15% lee C; el 12% lee A y B, el 9% A y C, el 6% B y C , mientras que
sólo el 3% lee los tres. Se pide:
a) Porcentaje de la población que lee sólo el A.
b) Porcentaje de la población que lee al algún periódico.
31..- El 60% de los habitantes jubilados de la muy noble villa de Benavente están
satisfechos con los jardines de la Mota, y el 70% de estos habitantes pasean diariamente
por ellos. De los no satisfechos sólo el 20% pasean diariamente.
a) ¿Qué tanto por ciento pasean diariamente por la Mota?
c) ¿Qué porcentaje de los que pasearán el 25 de Marzo, están satisfechos con los
jardines de la Mota?
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Estadística Descriptiva
VARIABLES ALEATORIAS (DISCRETAS Y CONTINUAS)
Si consideramos un experimento aleatorio antes de su ejecución los posibles
resultados dan lugar a una variable aleatoria, cuyos valores tienen una cierta
probabilidad de repetirse.
Si lo ejecutamos y anotamos los resultados, los valores constituyen una variable
estadística, que ya estudiamos en el tema 1 de estas notas
Una variable aleatoria es DISCRETA si sólo puede tomar un número finito de
valores o un número infinito numerable
Una variable aleatoria es CONTINUA cuando puede tomar cualquier valor de un
intervalo.
Función de probabilidad en variables discretas
Consideremos una variable aleatoria discreta X, que toma los valores x1, x2, ...,xn
y que conocemos la probabilidad de que tome cada uno de ellos es decir p(xi) = pi.
Entonces la función que asigna a cada valor de la variable su probabilidad, se le
llama función de probabilidad de la variable X
Se puede representar mediante un diagrama de barras no acumulativo
Función de distribución en variables discretas
En muchas ocasiones nos interesa conocer la probabilidad de que la variable X
tome un valor menor o igual que uno determinado xi,, entonces la función F(x) es la
suma de las probabilidades de los valores anteriores al dado, es la probabilidad
acumulada y se denomina función de distribución de la variable X.

F ( x)  P( X  x) 
0 si x  x1

 p si x  x  x

1
1
2
pi  
 p1  p2 si x2  x  x3

1 si x  xn
Media varianza y desviación típica de una variable aleatoria discreta
La media se le denomina media teórica o esperanza matemática
i n
E ( x) 

xi pi
i 1
La varianza
Dpto Matemáticas
s2x 

pi ( xi  E ( x )) 2
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Distribución de Bernouilli
Consideremos un experimento aleatorio y en él dos sucesos contrarios con sus
probabilidades :
p( A)  p

p( A)  q  1  p
y
Consideremos la variable aleatoria:
1 si ocurre A

X 
0 si ocurre A
La función de probabilidad sería:
x
pi
0
q
1
p
Su media y varianza son:
E(X) = o.q + 1.p = p
Sx2 = p.q
Distribución Binomial
Si realizamos n pruebas de Bernouilli sucesivas e independientes, a la variable
aleatoria:
X = “número de veces que ocurre el suceso A en las n pruebas” se le denomina
variable binomial
En consecuencia para describir una distribución binomial, suponiendo una
colección de pruebas de un experimento se tiene que cumplir :




El resultado de cada prueba es éxito o fracaso
La probabilidad de éxito es la misma en cada prueba
Las pruebas son independientes entre sí
El experimento lo forman n pruebas
Función de probabilidad en variable binomial
B(n, p) donde n es el número de pruebas y p la probabilidad de éxito en
cada una de ellas.
 n
P( X  h)    p h q n  h
 h
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Estadística Descriptiva
La media y varianza en esta distribución son :
E(X) = np
S2x= npq



Si p=q la distribución es simétrica
Si p<q asimetría a la derecha
Si p>q asimetría a la izquierda
Los valores de P(X=k) se encuentran tabulados para valores de p entre cero y 0,5
Si p>0,5 entonces B(n,p,k) = B(n,q,n – k).
NOTA .- Hay, como puede suponer el curioso lector, más distribuciones de variables
discretas, causal, hipergeométrica, ectc......, pero no son objeto de estudio en
bachillerato aunque sí que las encontrareis en vuestros estudios universitarios.
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VARIBLE AEATORIA CONTINUA ( puede tomar cualquier valor de un intervalo)
Función de densidad o cuantía
La probabilidad de que X tome valores entre xo y xo+h será P(xo<X<xo+h) y
gráficamente corresponde al área encerrada por la curva y = f(x) entre esos dos valores.
La función que define la curva y = f(x) se le llama función de densidad si cumple:



Es positiva o cero en todo su dominio
La probabilidad de que X tome valores entre x0 y x0+h es el área bajo la curva
correspondiente a ese intervalo
El área total bajo la curva es 1, que es la probabilidad de que X tome valores
entre a y b, suceso seguro.
Función de Distribución
F(x) es la probabilidad de que la variable tome valores entre a y x, es decir, se trata de la
probabilidad acumulada desde X=a hasta X =x, por lo tanto :
x
F ( x)  P(a  X  x) 

f ( x)dx
a
Es decir la función de distribución es una primitiva de la función de densidad f(x)
Media y varianza en variables continuas
Media:
b


x. f ( x)dx
a
Varianza
b
S 
2
x

( x   ) 2 f ( x)dx
a
Distribución Normal
La mayoría de las distribuciones en variable continua, al menos las más utilizadas (
pesos, estaturas, altura de árboles, etc....), presentan la característica común de que sus
valores se aproximan bastante a la media y además presentan poca dispersión, este
comportamiento es el que se considera NORMAL, de ahí el nombre de la distribución.
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14
Estadística Descriptiva
Una distribución se dice NORMAL si su función de densidad es :

1
f ( x) 
e
sx 2
( x )2
2 s x2
Gráficamente tiene forma de campana, se denomina campana de Gauss.
Para evitar problemas de cálculo y utilizar sólo una tabla recurriremos a la
distribución normal de parámetros cero y uno, es decir de media cero y desviación típica
uno.
x2
N(0,1) de función de densidad f ( x ) 
1 2
e
2
Para pasar de una normal N (  , ) a una normal N(0,1), se realiza el siguiente
cambio de variable, proceso que se denomina Tipificar, que es centrar la distribución y
reducirla a desviación típica uno.
z
x

la nueva variable z tiene de media cero y desviación típica uno.
Con la variable tipificada, se buscan los valores en la tabla N(0,1)
Binomial como aproximación de la Normal
En algunos casos, sobre todo si n es grande la B(n,p) puede ser aproximada por
una normal N (, ) siendo   np y   npq
La aproximación es buena si n>30 y p está próximo a 0,5
También es buena si npq>9
Al realizar el ajuste de binomial a normal, como en esta última P(X=x)=0, se
suele introducir un factor de corrección restando y sumando 0,5 en los extremos del
intervalo a considerar
P( x  0,5  z  x  0,5)
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Estadística Descriptiva
EJERCICIOS DISTRIBUCIÓN BINOMIAL Y NORMAL
1.-Se sabe por años anteriores que el 60% de los alumnos matriculados en
Matemáticas aprueban la asignatura, se espera que el próximo curso se matricules 400
alumnos. Se pide:




Número esperado de aprobados
Probabilidad de que aprueben más de 250
Probabilidad de que el número de aprobados esté entre 230 y 240 alumnos.
Probabilidad de que aprueben más de 300 alumnos.
2.- El dueño de un Kiosko tiene problemas a la hora de hacer el pedido de cierta
revista que se publica mensualmente, puesto que se la piden aleatoriamente entre 0 y
200, un economista, tras analizar las ventas durante algún tiempo observa que las ventas
siguen una variable especificada por la siguiente función de densidad donde x viene
expresada en cientos de unidades:
f(x) = K ( 2 – x ) si





0 < x < 2 y cero en otro caso.
Calcular el valor de K y representa la función de densidad
Función de distribución y gráfica
Media varianza y desviación típica
Percentil 25 y significado
Calcular P(0,5<x<1,5) y significado en el contexto del problema,
3.- La variable altura de los alumnos que estudian en el IES León Felipe sigue una
distribución normal de media 1´62 m y desviación típica 0´12 m .
1. ¿ Cuál es la probabilidad de que la media de una muestra aleatoria de 100
alumnos sea mayor de 1´60 m?.
2. ¿ Cuál es la probabilidad de que la media esté entre 1´59 y 1´65 m?
4.- Un buen día un profesor generoso de los que quedan muchos, hizo a sus
alumnos para calificarles un cuestionario de 8 preguntas, a las que había que responder
sí o no. Un alumno/a que no tenía ni idea, las contestó al azar ¿ Cuál es la probabilidad
de que acertara al menos 4 preguntas y por tanto aprobara sin saber nada?.
5.- La función de distribución de una variable aleatoria continua es :
0
si x  1

 ( x  1) 2
F ( x)  
si 1  x  3
4

si x  3
 1
Hallar la función de densidad y representar gráficamente ambas funciones.
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Estadística Descriptiva
6.- Supongamos que tiramos una moneda 100 veces.
a) ¿ Cuál es el número de caras esperado?
b) ¿ Cuál es la probabilidad de obtener más de 55 caras?
7.- En un test realizado a 1000 alumnos, las puntuaciones se distribuyen
normalmente con media 100 y desviación típica 6. Calcular el porcentaje de alumnos
con puntuaciones superiores a 112 puntos.
Supóngase en las condiciones anteriores que conocemos la media 100 pero
desconocemos la desviación típica. Si se sabe que 719 de los 1000 alumnos han
obtenido puntuaciones inferiores a 129puntos¿Cuál sería la desviación típica?
8.- El temario de una oposición consta de 100 temas. Un opositor sólo sabe 40.
Se sortean 3 temas de los 100.



Calcula la probabilidad de que ignore los tres
Probabilidad de que sepa al menos uno de los tres.
Probabilidad de que sólo sepa uno de los tres.
9.- A 500 alumnos se les ha hecho una prueba resultando que las calificaciones
se distribuyen normalmente con media 45 y varianza 225.
Se pide:
a) ¿ Cuántos alumnos han obtenido una calificación inferior a 24?
b) ¿ Cuántos alumnos han obtenido una calificación entre 27 y 57?
c) Si se sabe que un alumno ha obtenido más de 60 puntos¿ cual es la
probabilidad de que haya obtenido más de 66?
d) ¿ Cuál debe ser la puntuación para obtener mejor nota que el 30% de los
alumnos?
e) Si hay que seleccionar sólo 100 alumnos ¿cual sería la puntuación mínima
necesaria?
10 .- Se sabe que una moneda está trucada de modo que la probabilidad de sacar
cara es 5/11. Se lanza la moneda 8 veces. Hallar:
a) Probabilidad de sacar 5 caras
c) Probabilidad de sacar al menos una cruz.
11.- Un agente de seguros vende pólizas a ocho personas de la misma edad y que
disfrutan de buena salud ( no fuman, no beben,…….) Según las tablas de que dispone, la
probabilidad de que una persona en esas condiciones viva 30 años más es 2/5. Hallar la
probabilidad de que transcurridos 30 años:
a.- Vivan los ocho
b.- Vivan al menos cinco
c.- Exactamente vivan tres.
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Estadística Descriptiva
12.- Sea f(x) la función de densidad de una variable aleatoria X, definida de la
siguiente forma:
a si 2  x  7
f ( x)  
 0 en otro caso
Hallar el valor de a y representarla gráficamente. Halla su función de distribución
y gráfica.
13.- La probabilidad de que un estudiante que ingrese en la Universidad se
licencie es 0´4. Hallar la probabilidad de que en un grupo de 6 estudiantes elegidos al
azar:
a.- Ninguno se licencie.
b.- Al menos uno se licencie.
c.- Todos se licencien.
d.- Exactamente se licencien dos.
14.- El peso de una pieza fabricada en serie se distribuye según una normal de
media 52 y desviación típica 6´5. Se pide:
a.- Probabilidad de que una pieza fabricada pese más de 58 gramos.
b.- Si el 30% pesa más que una pieza dada ¿ Cuánto pesa esta última?.
15.- La estancia en el hospital de los enfermos sigue una distribución normal de
media 8 días y desviación típica 2 días. Se pide:
a.- Probabilidad de que un determinado enfermo permanezca en el hospital
entre 7 y 10 días.
b.- Si en el hospital hay 200 enfermos ¿Cuántos cabe esperar que
permanezcan en el hospital menos de 5 días?.
16.- Sabemos por estudios estadísticos que, cada 5 personas accidentadas, hay 2
mujeres. Se pide la probabilidad de que en los 100 próximos accidentes automovilísticos
sean:
a.- Hombres menos del 20% de los accidentados
b.- Hombres más del 70% de los accidentados
c.- El número de hombres accidentados esté entre el 40% y el 60%.
17.- En una gran ciudad española , la altura media de sus habitantes tiene una
desviación típica de 8 cms. Se pide:
a) Si la altura media de dichos habitantes fuera de 175 cms. ¿cuál sería la
probabilidad de que la altura media de una muestra de 100 individuos tomada
al azar fuera superior a 176 cms?
b) Si la muestra tomada anteriormente tiene una altura media de 178cms.
Determina un intervalo de confianza del 98% para la altura media de los
habitantes de esta ciudad
Dpto Matemáticas
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18
Estadística Descriptiva
18.- Para saber el nivel cultural de los habitantes de una ciudad, se realiza en su
centro cultural un test, las puntuaciones obtenidas, siguen una distribución normal de
media 68 y desviación típica 18. Se desea clasificar a los habitantes en tres grupos ( baja
cultura, aceptable y excelente ) de forma que el primer grupo abarque el 20% de la
población, el segundo el 65% y el tercero el 15% restante ¿Cuáles son las puntuaciones
que marcan el paso de un grupo a otro?
.
19 .- Se sabe que una moneda está trucada de modo que la probabilidad de sacar
cara es 5/11. Se lanza la moneda 8 veces. Hallar:
a) Probabilidad de sacar 5 caras
b) Probabilidad de sacar al menos una cruz.
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19
Estadística Descriptiva
EJERCICIOS ESTIMACIÓN E INFERENCIA
1.- Un dentista afirma que el 40% de los niños de 10 años presentan indicios de
caries dental. Tomada una muestra de 100 niños, se observó que 30 presentaban indicios
de caries. Comprueba si el resultado proporciona evidencia al nivel de significación del
5% que permita rechazar la afirmación del dentista.
2 - Se realizó una encuesta a 350 familias de Benavente preguntando si tenían
ordenador en casa, encontrándose que 75 de ellas lo poseían. Estima el intervalo en que
se moverá la proporción de familias que disponen de ordenador con nivel de confianza
del 95%.
3 .- El peso de las bolsas de azúcar fabricadas en la Azucarera de Benavente
sigue una distribución normal de media 800 gramos y desviación típica 120 gramos, un
consumidor habitual sospecha que el peso medio es menor, para tomar una decisión
compra un lote de 50 bolsas y comprueba que el peso medio es de 750 gramos.
Plantea el contraste para tomar una decisión.
1. Se rechazaría lo que dice el fabricante a un nivel de significación del 1%.
2. Qué tamaño habría de tener la muestra para que se acepte lo dicho por el
fabricante con una confianza del 95%.
4.- Se sabe que 25 de cada 100 objetos elaborados por una empresa son
defectuosos ¿ De qué tamaño conviene tomar una muestra para que la proporción
estimada de defectuosos no difiera de la verdadera en más de un 5% con un nivel de
confianza de un:
1. 95%
2. 99%.
5.- En una ciudad se toma una muestra al azar de 256 personas. De esta muestra,
el 20% lleva gafas graduadas y el resto no.
Calcula el intervalo de confianza aproximado para la proporción poblacional de
las personas que llevan gafas graduadas para un nivel de confianza del 95%.
6.- Se sabe que en un estudio sobre 40 aviones comerciales, la antigüedad media
de éstos es de 13´41 años con una desviación típica muestral de 8´28 años. Se pide:
1. Entre qué valores, con una confianza del 90% , se encuentra la antigüedad
media de la flota comercial.
2. Si se quisiera obtener un nivel de confianza del 95% cometiendo el mismo
error de estimación que en el apartado anterior y suponiendo la misma
desviación típica¿cuántos aviones deberán componer la muestra?
7.- Se desea hacer un estudio de mercado para conocer el precio medio de los
libros de matemáticas. Para ello, se elige una muestra aleatoria formada por 34 libros y se
determina que la media muestral es de 3490 pesetas con una desviación típica de 450
pesetas.
Halla el intervalo de confianza para el precio medio de los libros de matemáticas
al nivel del 99%.
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20
Estadística Descriptiva
8.- Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media de éstos sigue una
ley normal de media 100 meses y desviación típica 12 meses.
Hallar el mínimo tamaño de la muestra que garantiza, con una probabilidad de
0´98, que la vida media de los electrodomésticos en dicha muestra e encuentra entre 90 y
110 meses.
9- La desviación típica de la altura de los habitantes de un país es de 10 cm.
Calcular el tamaño mínimo de una muestra para que el error cometido al estimar la altura
media sea inferior a 1 cm con un nivel de confianza del 99%.
10.- Las diferentes encuestas que se realizan con motivo de una campaña electoral,
revelan que la nota media que otorgan al candidato ALNAR es de 5´7 puntos con una
desviación típica de 0´5.
Posteriormente se realiza un muestreo a 100 personas de la zona de Benavente, y a
49 personas de la zona de Zamora, obteniéndose puntuaciones medias de 5´6 y 5´85
respectivamente.
Con una confianza del 95% ¿ Se puede afirmar que las diferencias entre las
medias de cada muestra y de la población son debidas al azar, o se puede afirmar que son
diferentes la nota media de la población y de cada muestra?
11.- Las tensiones de ruptura de los cables fabricados por una empresa , tiene
media de 1800 Nw y una desviación típica de 100 Nw.
Se desea comprobar si un nuevo proceso modifica dicha tensión de ruptura. Para
ello se toman una muestra de 50 cables y se encuentra que su tensión media de ruptura es
de 1850 Nw.
¿ Se puede afirmar que el nuevo proceso ha modificado la tensión media de
ruptura con un nivel de significación del 5%?.
12.- Un experto, basado en anteriores comicios, sostiene que en las próximas
elecciones generales, tan sólo acudirán a votar el 48% de la población. No obstante, en un
sondeo electoral realizado recientemente entre 1500 personas, 800 tienen intención de
votar.¿ Supone esto con un nivel de confianza del 99%, que el experto se equivoca y la
intención de votar es mayor?.
13.- Se ha llevado a cabo un estudio en diferentes países de la Unión Europea del
porcentaje de la población que accede a estudios superiores.
En los países escogidos, se han obtenido los siguientes valores en tanto por ciento:
23´5, 35´0, 29´5, 31´0, 23´0, 27´0, 28´0, 30´5, 23´0.
Se supone que estos porcentajes siguen una distribución normal con desviación típica el
5%.
Se desea contrastar con un nivel de significación del 5% si los datos anteriores son
compatibles con un valor medio del porcentaje de la población que cursa estudios
superiores igual al 28%.
a) Plantéense el contraste diciendo hipótesis nula y alternativa.
b) Determínese la región crítica del contraste.
c) Es posible aceptar ¿ la hipótesis con el nivel de significación indicado?.
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Estadística Descriptiva
14.- En los últimos tiempos, las ventas medias de un comercio rondaban las
120000pts diarias. Sin embargo, hace unos meses se abrió una superficie comercial cerca
del comercio. El establecimiento defiende que las ventas medias se mantienen o, incluso,
han aumentado, pero que no han disminuido.
Para contrastar esto se selecciona una muestra de las ventas diarias realizadas después de
la apertura de la superficie comercial.
a) Establecer la hipótesis nula y la alternativa.
b) ¿ Qué nombre recibe la probabilidad de que el establecimiento, concluya
erróneamente que las ventas medias han disminuido?. Explica cómo se
denomina y en qué consiste el otro error posible.
15.- Una muestra aleatoria de 100 alumnos que se presentan a las PAU, revela que
la media de edad es 18´1 años. Hallar el intervalo de confianza al 90% para la edad media
de todos los estudiantes que se presenten, sabiendo que la desviación típica de la
población es 0´4.
16.- El salario medio correspondiente a una muestra de 1600 personas de
Benavente es de 93.500 pesetas. Se sabe que la desviación típica de los salarios de la
población es de 20.000 pesetas. ¿ Se puede afirmar con un nivel de significación del 1%
que el salario medio en Benavente es de 95.000 pesetas?.
59.- El tiempo necesario para armar una pieza es una variable aleatoria normal de media
desconocida y desviación típica 0´6 minutos. Se toma una muestra de 20 piezas, dado el
tiempo medio para armar cada una de ellas de 10´2 minutos. El fabricante asegura que el
tiempo medio de armarlas es 10 minutos. Se sospecha que el tiempo medio es mayor. Se
pide:
a.- Plantear el contraste
b.- Tomar una decisión para nivel de significación 0´05.
17.- En los folletos de propaganda de una empresa ubicada en el centro de
transportes de la misma ciudad anterior, se asegura que los carteles publicitarios que
coloca tienen una duración media de 1600 días. Un cliente sospecha que es menor y toma
una muestra aleatoria de 49 carteles, preguntando cuando fueron puestos, obteniendo una
duración media de 1570 días, con una desviación tìpica de 120 días. ¿Puede aceptarse la
información de los folletos con un nivel de confianza del 96%?
18.- Un dentista afirma que el 40% de los niños presentan indicios de caries
dental. Tomada una muestra de 100 niños se observó que 30 presentaban indicios de
caries. Utilizando la aproximación por la normal, comprueba a nivel de significación del
5%, si el resultado proporciona evidencia que permita rechazar la afirmación del dentista.
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Estadística Descriptiva
IES LEÓN FELIPE
Dpto Matemáticas
Examen Estadística Matemática
20 de Mayo 2005
1.- Sean A y B dos sucesos aleatorios, de los que se sabe que p ( A ) = 0´4 y p ( A U B ) = 0´7.
a.- Calcular la probabilidad de B para que A y B sean incompatibles. (0´5 puntos)
b.- Calcular la probabilidad de B para que A y B sean independientes. (0´5 puntos)
2.- En una empresa muy grande los ascensos son muy solicitados. La probabilidad de ascender por
oposición es 0´2, la de ascender por méritos es 0´8, y la de ascender por enchufe es 1. Si los
presentados para un posible ascenso el 70% lo hace por oposición, el 25% por méritos y el resto
son enchufados, se pregunta:
¿ Si una persona ascendió porqué método es más probable que lo consiguiera?. (2 puntos)
 c.x 2

si 0  x  6
3.- Una variable aleatoria tiene por función de densidad f ( x)   36
 0 en otro caso
a.- Hallar c para que sea una función de densidad. (0´5 puntos)
b.- Hallar la función de distribución de esta variable. (0´5 puntos)
c.- Calcula p(0  x  1),
p( x  3). (0´5 puntos)
d.- Calcular la esperanza y la mediana. (0´5 puntos)
4.- El Ayuntamiento de una ciudad muy noble trata de investigar el grado de aceptación que tiene
la instalación de un parking. Para ello toma una muestra de 100 individuos y obtiene que hay 76
en contra.
a.- Calcula el error de muestreo y el error máximo admisible con una confianza del 96%.
(1 punto)
b.- Da una estimación por intervalo con nivel de confianza 0´99, e interprétalo. ( 1 punto )
c.- Encuentra el tamaño de la muestra necesario para que con un nivel 0´99 el error sea
menor que 0´02. ( 0´5 puntos)
5.- Los resultados de una prueba de una población estudiantil determinan una variable aleatoria
que se supone distribuida normalmente con desviación típica 5. Un sociólogo afirma que la
puntuación media de esta población es 79, mientras que un compañero cree que es inferior.
a.- Plantea el contraste, si tomada muestra de tamaño 40 la media es 78. ( 1 punto)
b.- Define el error de tipo I en esta situación. (0´5 puntos)
c.- Toma una decisión para nivel de significación 0´1. (1 punto)
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Estadística Descriptiva
IES LEÓN FELIPE
Dpto Matemáticas
Examen Estadística Matemática
20 de Mayo 2005
1.- Dados los sucesos A y B de un mismo espacio muestral, se sabe que:
P ( A)  0,4 ; P ( A  B )  0,8 y P( A  B)  0,7
a) Comprobar si los sucesos A y B son independientes
b) Calcular la probabilidad de que sólo se verifique uno de los dos
sucesos
2.- Un dentista afirma que el 40% de los niños presentan indicios de
caries dental. Tomada una muestra de 100 niños se observó que 30
presentaban indicios de caries. Plantea razonadamente un contraste para esta
situación. Encuentra el p valor. Toma una decisión con nivel de significación del
8%. Define e interpreta en este caso el error de tipo I.
3.- Se sabe que una moneda está trucada de modo que la probabilidad
de sacar cara es 3/5. Se lanza la moneda 8 veces. Hallar:
a) Probabilidad de sacar 5 caras
b) Probabilidad de sacar al menos una cruz.
4.- El 60% de los habitantes jubilados de la muy noble villa de Benavente
están satisfechos con los jardines de la Mota, y el 70% de estos habitantes
pasean diariamente por ellos. De los no satisfechos sólo el 20% pasean
diariamente.
a) ¿Qué tanto por ciento pasean diariamente por la Mota?
b) ¿Qué porcentaje de los que pasearán el 31 de Marzo, están
satisfechos con los jardines de la Mota?
5.- Sea una variable aleatoria continua de función de densidad:
Calcular:
Dpto Matemáticas
mx si 0  x  2
f ( x)  
 0 en otros casos
a) el valor de m
b) función de distribución
c) P (1  x  1,5)
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Estadística Descriptiva
IES LEÓN FELIPE
Dpto Matemáticas
Examen Estadística Matemática
20 de Mayo 2005
1.- Sean A y B dos sucesos aleatorios. Supóngase que p(A) = 0’4 y p(A U B) = 0’7. Sea
p(B) = p.
¿Para qué valor de p son A y B sucesos incompatibles?. ¿Para qué valor de p son A y B
sucesos independientes?
2.- En nuestro instituto se imparten sólo dos idiomas inglés y francés. El 90 por ciento
de los alumnos estudian inglés y el resto francés. El 30 por ciento de los alumnos que
estudian inglés pertenecen a la asociación de alumnos, y de los que estudian francés son
socios el 40 por ciento. Se elige un alumno al azar.
A) Hallar la probabilidad de que pertenezca a la asociación de alumnos.
B) Si pertenece a la asociación de alumnos, cuál es la probabilidad de que
estudie francés.
3.- Con motivo del año cultural de Benavente y comarca, se han programado conciertos
en el Teatro Reina Sofía el 80 por ciento de los sábados. Del total de conciertos, un 25
por ciento son de piano, un 15 por ciento de orquesta y un 60 por ciento de rock. Un
joven benaventano que estudia en Salamanca, que desconoce el programa de conciertos,
acude a Benavente un sábado cualquiera.
¿ Cuál es la probabilidad de que pueda asistir a un concierto de rock?
4.- De una baraja española de 40 cartas se extraen simultáneamente 3. Hallar la
probabilidad de que sean:
A) Las tres oros
B)Al menos una oros
C)Primero un oro y luego dos copas
5.- Una encuesta revela que el 30 por ciento de los alumnos de 2º de Bachillerato
C.C.S.S. son partidarios de las Pruebas de Acceso a la Universidad y el resto están en
contra. En nuestra clase se eligen dos al azar. Calcula la probabilidad de que:
A) Los dos sean partidarios de dichas pruebas
B) Uno esté a favor y el otro en contra
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Estadística Descriptiva
IES LEÓN FELIPE
Dpto Matemáticas
Examen Estadística Matemática
20 de Mayo 2005
1,. Dado un experimento aleatorio y el espacio muestral asociado a él, se conoce
que p(A) = 0,3 p(B) =0,4 y p(AUB) = 0,5. Se pide calcular:
 Probabilidad de que sólo ocurra A
 Probabilidad de que no ocurra ninguno de los dos
 Probabilidad de que si no ha ocurrido A ocurra B.
 Son incompatibles A y B, son independientes?
2.- Se sabe que el 5% de los hombres son daltónicos y el 25 de cada 10.000 mujeres lo
son, se elige al azar una persona de una población que tiene el doble de mujeres que de
hombres y resultó ser daltónica ¿ Cuál es la probabilidad de que la persona elegida sea
mujer?.
3,- La longitud de la ballena azul se distribuye según una ley normal con desviación
típica 7,5 m. En un estudio estadístico realizado a 25 ejemplares se ha obtenido un
intervalo de confianza (21,06; 26,94) para la longitud media .
 Calcula la longitud media de los 25 ejemplares de la muestra
 Calcula el nivel de confianza con el que se ha construido dicho intervalo.
4.- El 25% de las viviendas de una determinada región están conectadas a Internet . Se
eligen 80 viviendas de esa región, se pide:
 Probabilidad de que al menos 20 viviendas estén conectadas a Internet
 Número esperado de viviendas no conectadas a Internet
 Probabilidad de que el número de viviendas conectadas a Internet esté entre 10 y
30.
5.- Un fabricante de electrodomésticos sabe que la vida media en meses de éstos sigue
una ley N(100, 12). Determínese el tamaño de la muestra que garantiza, con una
probabilidad de 0,98, que la vida media de los electrodomésticos está entre 90 y 110
meses.
6.- La publicidad de una determinada marca de productos lácteos dice que su duración
es como máximo 15 días después de la fecha de fabricación. Se toma una muestra de 64
envases y se observa que la duración media ha sido 16 días con una desviación típica de
2 días .
 Se puede decir que la publicidad es correcta con un nivel de significación del
5%?
 Se llegaría a la misma conclusión si la desviación típica fuera 4 días y el nivel de
confianza el 99%?
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