Experimento con oscilaciones forzadas

OSCILACIONES FORZADAS
INTRODUCCIÓN TEÓRICA
Si un sistema oscilante se deja balancear libremente, en un momento dado deja de oscilar, a este movimiento
se denomina amortiguado. Sin embargo, un sistema puede tener una fuerza exterior aplicada a él que tiene su
propia frecuencia y entonces tenemos una oscilación forzada.
Una manera de suministrar energía a un sistema formado por un objeto que cuelga de un muelle vertical es
mover el punto del soporte hacia arriba y hacia abajo, con un movimiento armónico simple de frecuencia ð.
Al principio el movimiento es complicado, debido a que la frecuencia externa es diferente de la frecuencia
natural del sistema (ððð, que es la que tendría un oscilador si no estuviesen presentes ni el amortiguamiento
ni el sistema impulsor. Pero finalmente alcanzará un estado estacionario en el que el sistema oscila con la
misma frecuencia de la fuerza externa impulsora (ð ðððð y con amplitud constante y, por tanto, con energía
constante también. En el estado estacionario la energía introducida en el sistema por la fuerza impulsora
durante un ciclo es igual a la disipada en un ciclo debido al amortiguamiento. La amplitud y, por tanto, la
energía de un sistema en estado estacionario, depende no sólo de la amplitud del sistema impulsor sino
también de su frecuencia.
Si la frecuencia impulsora es igual (o aproximadamente igual) a la frecuencia natural del sistema, éste oscilará
con una amplitud mucho mayor que la propia amplitud de la fuerza impulsora. Este efecto se conoce como
resonancia. Cuando la frecuencia impulsora es igual a la frecuencia natural del oscilador (ððððð, la energía
absorbida por éste es máxima. Por ello, la frecuencia natural del sistema se denomina frecuencia de
resonancia (ðR) del mismo.
Se denominan curvas de resonancia a la representación de la amplitud alcanzada por el oscilador en el estado
estacionario en función de la frecuencia a la que es activado. Cuando el amortiguamiento es pequeño, el
oscilador absorbe mucha más energía que la fuerza impulsora a la frecuencia de resonancia (o próxima a ella),
lo cual no ocurre a cualquier otra frecuencia; en este caso, se dice que la resonancia es aguda, pues la curva de
la anchura es estrecha. Cuando el amortiguamiento es grande, la curva de resonancia es ancha.
Al estudiar matemáticamente el oscilador forzado suponemos que, además de estar sometido a una fuerza
restauradora (Fx = − kx, donde k es la constante del muelle) y a una fuerza de amortiguamiento (Fd = −
bv, donde b es una constante y como esta fuerza se opone a la dirección del movimiento, realiza un trabajo
negativo y es la causa de que la energía mecánica del sistema disminuya), está sujeto a una fuerza externa
(fuerza impulsora) que varía armónicamente con el tiempo:
Fext = F0 cos(ð t)
en donde ð es la frecuencia angular de la fuerza, que generalmente no está relacionada con la frecuencia
angular natural del sistema ð0:
ð0 = 2ð f0 = " (k /m)
La segunda ley de Newton aplicada a un objeto de masa m sujeto a una fuerza amortiguadora − bv y a una
fuerza externa F0 cos (ð t), nos da:
" F = ma = m(dv / dt) − kx − bv + F0 cos (ð t)
1
es decir,
m(d2x / dt2) + b(dx / dt) + m(ð0)2x = F0 cos (ð t)
en donde hemos utilizado k = m(ð0)2 y (dv / dt) = (d2x / dt2).
La solución de la ecuación consta de dos partes, la solución transitoria y la solución estacionaria. La parte
transitoria de la solución es idéntica a la de un oscilador amortiguado no forzado (− kx − bv). Las constantes
de esta ecuación dependen de las condiciones iniciales. Transcurrido un tiempo, esta parte de la solución se
hace despreciable porque la amplitud disminuye exponencialmente con el tiempo. De este modo sólo queda la
solución estacionaria, que puede escribirse en la forma:
x = A cos (ð t − )
donde el signo negativo de la fase en la ecuación anterior se ha introducido para que la constante de fase ð sea
positiva, la frecuencia angula ð es la misma que la fuerza impulsora y la amplitud A y la constante de fase ð
vienen dadas por:
A = F0 / [" (m2((ð0)2 − ð 2)2 + b2 ð 2]
Tg ð ð bð ð ðm((ð0)2 − ð 2)]
La solución estacionaria no depende de las condiciones iniciales. Cuando la frecuencia impulsora ð es mucho
menor que la frecuencia natural ð0, ð " ð como puede verse en la última ecuación. En la resonancia, ð = ð / 2.
Cuando ð es mucho mayor que ð0, ð " ð. Cuanto menor es el amortiguamiento, más rápida es la transición
entre los estados de fase y oposición de fase.
La velocidad del objeto en estado estacionario se obtiene derivando x respecto a t:
v = dx / dt = − Að sen (ð t − )
En la resonancia la velocidad está en fase con la fuerza impulsora:
v = −Að sen (ð t − (ð / 2)) = + A cos (ð t)
Así pues, en la resonancia, el objeto siempre se está moviendo en el sentido en que actúa la fuerza impulsora,
para que se consiguiese el máximo aporte de energía. La velocidad es máxima para ððððð
EXPERIMENTO
En el montaje experimental la salida del generador de potencia (que es la máquina encargada de producir
energía eléctrica) AC (U") se conecta a la entrada superior del motor (sólo se utiliza el oscilador forzado),
mientras que la salida DC(U_) proporciona la corriente de la bobina situada bajo el oscilador, leyéndose en el
amperímetro (aparato que mide la intensidad de la corriente eléctrica que circula por un circuito) la intensidad
de la corriente suministrada IB = 0'2 A, realizando los pasos siguientes:
• Activar el motor que realiza el momento externo. Para ello situar el control de la salida AC del generador
en la posición 15 V e ir variando la frecuencia del momento externo mediante el potenciómetro (dispositivo
para medir diferencias de potencial) derecho del motor. Para cada frecuencia seleccionada hay que
determinar el valor de dicha frecuencia externa (ðð y la amplitud ðð(ððð del estado estacionario (cuando la
amplitud alcance un valor constante). Seleccionar en primer lugar una frecuencia baja y medir el tiempo por
vuelta del motor (midiendo el tiempo de n−vueltas)el cual coincide con el período del momento externo
2
aplicado al oscilador. Calcular la frecuencia y anotar los valores en la tabla, así como la amplitud alcanzada
tras un tiempo suficiente como para que esta se mantenga constante. Repetir este procedimiento para un
buen número de frecuencias cuidando que los datos obtenidos abarquen el rango antes y después de la
amplitud máxima (de resonancia). Asimismo, es preciso incrementar el número de experiencias en la
proximidad del máximo con objeto de asegurar una correcta determinación de su posición.
Ib = 0.2 A
T (s)
ð (s−1)
A (ð) (cm)
1
4,680
0,214
0,600
2
4,400
0,227
0,600
3
4,250
0,235
0,600
4
4,160
0,240
0,650
5
4,090
0,244
0,650
6
3,870
0,258
0,650
7
3,840
0,260
0,675
8
3,690
0,271
0,700
9
3,570
0,280
0,700
10
3,500
0,286
0,725
11
3,470
0,288
0,725
12
3,310
0,302
0,775
13
3,190
0,313
0,775
14
2,970
0,337
0,800
15
2,690
0,372
0,900
16
2,650
0,377
1,050
17
2,370
0,422
1,250
18
1,900
0,526
5,480
19
1,630
0,613
1,400
20
1,530
0,654
0,650
21
1,310
0,763
0,400
22
1,090
0,917
0,300
23
1,030
0,971
0,200
24
0,850
1,176
0,200
25
0,940
1,064
0,150
• Representar gráficamente las amplitudes medidas frente a la frecuencia para obtener las curvas de
resonancia correspondientes a los dos grados de amortiguamiento. Estimar las frecuencias de resonancia a
partir de la posición del máximo.
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El valor de la frecuencia de resonancia corresponde al valor de la frecuencia donde la amplitud alcanza el
máximo, es decir en R = 0.526 s−1. La resonancia es aguda, puesto que la anchura del pico de la curva de
resonancia, , es estrecha; dicha curva viene dada por la mitad del máximo de amplitud y la frecuencia .
−4−
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