Secciones cónicas • Circunferencia: 1. Forma canónica de la ecuación de una circunferencia 2. Forma general de la ecuación de una circunferencia 3. Cálculo de los elemento de una circunferencia 4. Ecuación de la recta tangente a una circunferencia 5. Problemas relacionados con la geometría plana y espacial. Secciones cónicas: Circunferencia Definición: Conjunto de puntos en el plano cartesiano que se encuentran a una distancia fija r, de un punto fijo 𝑂 ℎ, 𝑘 . La distancia fija r es denominada longitud del radio y el punto fijo 𝑂 ℎ, 𝑘 es el centro de la circunferencia. 𝐶𝑖𝑟𝑐𝑢𝑛𝑓𝑒𝑟𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑑 𝑂, 𝑃 = 𝑟 Forma canónica de la ecuación de una circunferencia Recordatorio: Distancia entre dos puntos de un segmento de recta 𝑑 𝑃1, 𝑃2 = 𝑥1 − 𝑥2 2 + 𝑦1 − 𝑦2 2 Por definición de circunferencia 𝒅(𝑶, 𝑷) = 𝒓 La distancia del punto 𝑂(ℎ, 𝑘) al punto 𝑃(𝑥, 𝑦) se define como: 𝑑(𝑂, 𝑃) = 𝑥 − ℎ 2 + 𝑦 − 𝑘 𝑥−ℎ 2+ 𝑦−𝑘 2 =𝑟 𝒙 − 𝒉 𝟐 + 𝒚 − 𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐 2 • Forma general de la ecuación de una circunferencia Resolviendo la forma canónica 𝒙−𝒉 𝟐 + 𝒚−𝒌 𝟐 = 𝒓𝟐 Se obtiene la forma general de la ecuación de la circunferencia: 𝐴 𝑥 2 + 𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0; 𝐴, 𝐷, 𝐸, 𝐹 ∈ ℝ; 𝐴 ≠ 0 Ejemplos: • Ejemplo de la ecuación de una circunferencia 1) Determine la ecuación de la circunferencia centrada en el punto 𝑶 𝟓, −𝟐 y cuya longitud del radio es 3. 2) Determine la ecuación general de la circunferencia de centro 𝑶 𝟏, 𝟏 y que contiene 𝑷 −𝟐, 𝟑 3) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto 𝑶 𝟑, 𝟒 y es tangente a la recta 𝑳: 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎 2) Determine la ecuación general de la circunferencia de centro 𝑶 𝟏, 𝟏 y que contiene 𝑷 −𝟐, 𝟑 • 3) Determine a) La forma canónica de la ecuación de la circunferencia dada la forma general 𝐶: 𝑥 2 − 6𝑥 + 𝑦 2 + 14𝑥 − 6 = 0 b) La gráfica de la circunferencia • AUTOEVALUACIÓN ( CUADERNO) • Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada circunferencia dada en su forma general. Grafique cada circunferencia: • a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 12𝑦 − 29 = 0 • b) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 14𝑥 + 16𝑦 + 13 = 0 • c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 + 10𝑦 − 3 = 0 • d) 4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 12𝑥 − 20𝑦 − 66 = 0 • e) 𝑥 2 +𝑦 2 + 5𝑥 + 12𝑦 + 2 = 0 4) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto 𝑶 𝟑, 𝟒 y es tangente a la recta 𝑳: 𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟑 = 𝟎 AUTOEVALUACIÓN ( CUADERNO) a) Determine la ecuación de la circunferencia que tiene centro en el punto 𝑶 y es tangente a la recta 𝑳 • Autoevaluación (cuaderno) 5) Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada circunferencia dada en su forma general: • a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 2𝑥 − 4𝑦 − 20 = 0 • b) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 6𝑥 − 8𝑦 = 0 • c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 10𝑥 − 6𝑦 − 15 = 0 6) Determine la ecuación general de la circunferencia centrada en el punto 𝑶 y cuya longitud del radio r. Realizar la gráfica a) 𝑂 3, −2 ; 𝑟 = 3 b) 𝑂(−2, −5) ; 𝑟 = 5 4 c) 𝑂(0, ) ; 𝑟 = 9 d) 3 1 𝑂(− , 4) 4 ; 𝑟=4 Deber N°03 1) Determine la distancia entre los siguientes pares de rectas 𝑳𝟏: 𝟑𝒙 − 𝟐𝒚 + 𝟒 = 𝟎 𝑳𝟐: 𝟔𝒙 − 𝟒𝒚 − 𝟒 = 𝟎 𝑳𝟓: −𝟒𝒙 − 𝒚 − 𝟏𝟎 = 𝟎 c) 𝑳𝟔: 𝟖𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟔 = 𝟎 a) 𝑳𝟑: 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏𝟐 = 𝟎 𝑳𝟒: 𝟐𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟔 = 𝟎 𝑳𝟕: −𝒙 + 𝟑𝒚 − 𝟔 = 𝟎 d) 𝑳𝟖: 𝒙 − 𝟑𝒚 − 𝟏 = 𝟎 b) 2) Obtenga la forma canónica de la ecuación para cada circunferencia dada en su forma general. Grafique cada circunferencia: a) 𝑥 2 + 𝑦 2 − 8𝑥 + 12𝑦 − 29 = 0 b) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 14𝑥 + 16𝑦 + 13 = 0 c) 𝑥 2 + 𝑦 2 + 12𝑥 + 10𝑦 − 3 = 0 d) 4𝑥 2 + 4𝑦 2 + 12𝑥 − 20𝑦 − 66 = 0 e) 2𝑥 2 + 2𝑦 2 + 2𝑥 + 2𝑦 − 1 = 0 Recordatorio • Ecuación de la circunferencia en su forma general • 𝑪: 𝑨𝒙𝟐 + 𝑨𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎 • Si se divide todo para A • 𝑨 𝟐 𝒙 𝑨 𝟐 + 𝑨 𝟐 𝒚 𝑨 •𝒙 +𝒚 𝟐 𝑫 + 𝒙 𝑨 𝑫 + 𝒙 𝑨 𝑫′ 𝑬 + 𝒚 𝑨 + 𝑭 𝑨 + =𝟎 𝑬 𝒚 𝑨 𝑬′ 𝑭 + 𝑨 𝑭′ =𝟎 Resolución de problemas • 1) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos: 𝑷(𝟒, 𝟒) 𝑸(𝟖, 𝟐) 𝑹(𝟒, 𝟐) • 2) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos: 𝑷(𝟑, 𝟐) 𝑸(𝟐, 𝟒) 𝑹(−𝟏, 𝟏) • Autoevaluación en clase • 3) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos: 𝑷(−𝟐, 𝟏) 𝑸(−𝟐, −𝟏) 𝑹(𝟐, −𝟏) • 4) Determine la ecuación general de la circunferencia que contiene a la siguiente terna de puntos: 𝑷(𝟐, 𝟐) 𝑸(𝟖, 𝟐) 𝑹(𝟐, −𝟑) Ecuación de la recta a una circunferencia • Caso II : Fuera de la circunferencia Ecuación de la circunferencia cuyo centro se encuentra sobre una recta L Ejemplo: Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(0,6) y B(1,5) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta 𝐿: 𝑥 + 𝑦 = −1 Problemas en clase: • 1) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(-1,-3) y B(-5,3) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta 𝐿: 𝑥 − 2𝑦 + 2 = 0 2) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(0,0) y B(6,2) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta 𝐿: 2𝑥 − 𝑦 = 0 3) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(8,2) y B(12,-2) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta 𝐿: −𝑥 − 3𝑦 = −18 3) Determine la ecuación de la circunferencia que contiene a los puntos A(8,2) y B(12,-2) y cuyo centro se encuentra localizado sobre la recta 𝐿: −𝑥 − 3𝑦 = −18 Sección cónica: Parábola Definición: Parábola El conjunto de todos los puntos P(x,y) en el plano que equidistan de un punto fijo 𝐹𝑜 y de una recta fija L. El punto 𝐹𝑜 es denominado foco de la parábola; la recta L es la directriz de la parábola. 𝑃𝑎𝑟á𝑏𝑜𝑙𝑎 = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑑 𝑃, 𝐹𝑜 = 𝑑 𝑃, 𝐿 Elementos de la parábola: - Vértice - Recta directriz - Parámetro p - Lado recto =4p Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso I) • i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia arriba 𝑥 2 = 4𝑝𝑦 Datos 𝑢 = 𝑤 V(0,0) F(0,p) Recta directriz: 𝐿: 𝑦 = −𝑝 Lado recto 𝐿𝑅: 4𝑝 Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso II) • i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia abajo 𝑥 2 = −4𝑝𝑦 Datos 𝑢 = 𝑤 V(0,0) F(0,-p) Recta directriz: 𝐿: 𝑦 = 𝑝 Lado recto 𝐿𝑅: 4𝑝 Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso III) • i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia abajo 𝑦 2 = 4𝑝𝑥 Datos 𝑢 = 𝑤 V(0,0) F(p,0) Recta directriz: 𝐿: 𝑥 = −𝑝 Lado recto 𝐿𝑅: 4𝑝 Forma canónica de la ecuación de una parábola (Caso IV) • i) Parábola centrada en el origen dirigida hacia abajo 𝑦 2 = −4𝑝𝑥 Datos 𝑢 = 𝑤 V(0,0) F(-p,0) Recta directriz: 𝐿: 𝑥 = 𝑝 Lado recto 𝐿𝑅: 4𝑝 Ejemplo: • 1) Determine la ecuación en la forma canónica de una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo foco es 𝑭(𝟑, 𝟎) 2) Determine la ecuación en la forma canónica de una parábola cuyo vértice está en el origen y cuyo foco es 𝑭(𝟎, −𝟒) Autoevaluación (en el cuaderno) • Para cada literal encuentra la ecuación en su forma canónica de una parábola con vértice en el origen de coordenadas y con foco 𝐹. • 𝑎) 𝐹0 −2,0 • b) • • 3 𝐹1 0, 2 4 c) 𝐹2 0, − 3 7 d) 𝐹3 , 0 3 Problema 3: Determine las coordenadas del foco, y obtenga la ecuación de la recta directriz de la parábola con vértice en el origen y que pasa por los puntos P −3,3 y Q 3,3 Problema 4: Determine las coordenadas del foco, y obtenga la ecuación de la recta directriz de la parábola con vértice en el origen y que pasa por los puntos P 4, −5 y Q 4,5 Problema 5: Encontrar la ecuación en su forma canónica de una parábola cuyo vértice V 3,4 y cuyo foco es 𝐹(−1,4). Problema 6: Encontrar la ecuación en su forma canónica de una parábola cuyo vértice V −3, −2 y cuyo foco es 𝐹(−3, −4). Autoevaluación en clase • Para cada literal, encontrar la ecuación general de la parábola dado su vértice y foco a) 𝑉 −4,5 𝐹 −2,5 b) 𝑉 −4,3 c) 𝑉 d) 𝑉 4 , −1 3 3 ,2 4 3 −4, 2 𝐹 𝐹 6, −1 𝐹 5 − ,2 4 Ecuación en la forma canónica de la parábola con vértice cualquiera Caso I • Parábola dirigida hacia arriba 𝑥 − ℎ 2 = 4𝑝 𝑦 − 𝑘 Caso II • Parábola dirigida hacia abajo 𝑥 − ℎ 2 = −4𝑝 𝑦 − 𝑘 Caso III • Parábola dirigida hacia arriba 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ Caso IV • Parábola dirigida hacia arriba 𝑦 − 𝑘 2 = 4𝑝 𝑥 − ℎ Problema 1: Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica cuyo 3 vértice es 𝑉 3, − y la recta directriz es 𝐿: 𝑦 = 1 4 4 Problema 2: Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica cuyo 5 vértice es 𝑉 −3, y la recta directriz es 𝐿: 𝑥 = 1 − 2 3 Problema 3: Encontrar la ecuación de la parábola en su forma canónica cuyo foco es F −5,2 y la recta directriz es 𝐿: 𝑥 − 1 =0 Autoevaluación en clase • 1) Para cada literal, determine la gráfica y ecuación de la parábola en su forma canónica dado el valor del vértice y la recta directriz a) 𝑉 3 −2, 4 b) 𝑉 7, −1 𝐿: 𝑦 = −4 𝐿: 𝑥 = 5 2 • 2) Para cada literal, determine la gráfica y ecuación de la parábola en su forma canónica dado el valor del foco y la recta directriz a) F 9,1 𝐿: 𝑦 = 6 b) F −2, −5 𝐿: 𝑥 = −4 • Reconociendo los elementos de la parábola, complete la tabla a continuación: VÉRTICE FOCO RECTA DIRECTRIZ 𝑉(−2,3) 𝐹(−2,5) L:y=1 3 𝐹(−1, −5) 𝐿: 𝑥 − 4 = 0 𝑉 , −5 2 3 𝑉 −2, 4 V(3,-4) 9 −2, 2 F(3,-1) 𝐿: 𝑦 + 3 = 0 ECUACIÓN DE LA PARABOLA EN SU FORMA CANÓNICA 𝑥+2 2 =8 𝑦−3 (𝑦 + 5)2 3 = −10 𝑥 − 2 𝑥+2 2 3 = 15 𝑦 − 4 L:y=-7 𝑥−3 2 = 12(𝑦 + 4) 𝑦+2 2 = 10(𝑥 − 5) Ecuación de la parábola en su forma general • Caso I y II 𝐴𝑥 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Caso III y IV 𝐵𝑦 2 + 𝐷𝑥 + 𝐸𝑦 + 𝐹 = 0 Problema 1: Determine la ecuación de la parábola en su forma general, dada la ecuación en su forma canónica 2 𝑥 − 3 = 12 𝑦 + 2 Problema 2: Determine la ecuación de la parábola en su forma general, dada la ecuación en su forma canónica 2 𝑦 + 2 = 12 𝑥 − 6 Problema 3: Determine la ecuación de la parábola en su forma canónica dada la ecuación en su forma general 𝑥 2 + 10𝑥 + 3𝑦 + 31 = 0 Problema 4: Dada la ecuación de la parábola en su forma general 𝑦 2 + 5𝑥 − 12𝑦 + 76 = 0 Determine: a) La ecuación de la parábola en su forma canónica b) Vértice c) Distancia del vértice al foco d) Foco e) Recta directriz f) Valor del lado recto Autoevaluación en clase Dada la ecuación de la parábola en su forma general, determine la ecuación en su forma canónica, vértice, foco, lado recto y la ecuación de la directriz a)𝒚𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟐𝒚 − 𝟏𝟑 = 𝟎 b) 𝒚𝟐 − 𝟖𝒙 + 𝟐𝒚 − 𝟏𝟗 = 𝟎 c) 𝒙𝟐 + 𝟒𝒙 − 𝟔𝒚 − 𝟑 = 𝟎 d) 𝒙𝟐 − 𝟏𝟐𝒙 − 𝟏𝟐𝒚 + 𝟏𝟎𝟖 = 𝟎 Secciones cónicas: Elipse Definición. Conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano, tales que la suma de sus distancia a dos puntos fijos, denominados focos 𝐹1 𝑦 𝐹2 , es una constante. 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Elementos de la elipse Elementos de la elipse • • • • • • • • • Vértices V1 y V2 Focos F1 y F2 Centro de la elipse 𝑂(ℎ, 𝑘) Eje menor: 2b Eje mayor: 2a Distancia focal: 2c Semieje menor: b Semieje mayor: a Semidistancia focal: c • Cálculo de la longitud del eje menor 2𝑏 • 𝑃𝐹1 = 𝑏 2 + 𝑐 2 • 𝑃𝐹2 = 𝑏 2 + 𝑐 2 𝐸𝑙𝑖𝑝𝑠𝑒 = 𝑃 𝑥, 𝑦 ∈ ℝ2 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎 𝑃𝐹1 + 𝑃𝐹2 = 2𝑎 𝑏 2 + 𝑐 2 + 𝑏 2 + 𝑐 2 = 2𝑎 → 2 𝑏 2 + 𝑐 2 = 2𝑎 𝑏2 + 𝑐 2 = 𝑎 → 𝑏2 + 𝑐 2 = 𝑎2 → 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐 2 𝑏 = 𝑎2 − 𝑐 2 ( semieje menor) Forma canónica de la ecuación de una elipse (demostración) 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 2𝑎 • Ecuación de la elipse en su forma canónica con centro en el origen (horizontal) Vértices 𝑉1 −𝑎, 0 𝑉2 (𝑎, 0) Focos 𝐹1 −𝑐, 0 𝐹2 (𝑐, 0) 𝑏= 𝑎2 − 𝑐 2 𝑥2 𝑎2 + 𝑦2 𝑏2 =1 • Ecuación de la elipse en su forma canónica con centro en el origen (vertical) Vértices 𝑉1 0, −𝑎 𝑉2 (0, 𝑎) Focos 𝐹1 0, −𝑐 𝐹2 (0, 𝑐) 𝑏= 𝑎2 − 𝑐 2 𝑥2 𝑏2 + 𝑦2 𝑎2 =1 Problema 1: Dada la ecuación de la elipse en su 𝑥2 36 𝑦2 9 forma canónica + = 1. Determine: a) Vértices b) Focos c) Gráfica de la elipse Problema 2: Dada la ecuación de la elipse en su forma canónica 𝑥2 49 𝑦2 100 + = 1. Determine: a) Los vértices b) Focos c) La gráfica de la elipse Problema 3: Dado el foco 𝐹1 −3,0 y el vértice 𝑉1 −5,0 de una elipse centrada en el origen. Determine la ecuación de la elipse en su forma canónica Problema 4: Dado el foco 𝐹1 0, 5 y el vértice 𝑉1 0,4 de una elipse centrada en el origen. Determine la ecuación de la elipse en su forma canónica Autoevaluación • Para cada literal, encuentre los vértices, focos, distancia focal, longitud del eje mayor y menor de las ecuaciones de las elipses en su forma canónica. Grafique: • a) 𝑥2 𝑦2 + = 1. 25 11 2 𝑥 𝑦2 + = 1. 15 49 • b) Para cada literal, encuentre la ecuación de la elipse en su forma canónica. Dado uno de sus vértices y focos. Grafique: a) 𝑉1 0,7 𝑦 𝐹1 0, 8 b) 𝑉1 8,0 𝑦 𝐹1 10, 0 Ecuación de la elipse en su forma canónica cuando el centro no es el origen de coordenadas Caso I (Elipse horizontal) Ecuación de la elipse horizontal con centro en 𝑂(ℎ, 𝑘) • 𝑥−ℎ 2 𝑎2 + 𝑦−𝑘 2 𝑏2 =1 ; 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐 2 Elementos de la elipse 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐: 𝑂 ℎ, 𝑘 Vértices: 𝑉1 ℎ − 𝑎, 𝑘 𝑦 𝑉2 ℎ + 𝑎, 𝑘 Focos: 𝐹1 ℎ − 𝑐, 𝑘 𝑦 𝐹2 (ℎ + 𝑐, 𝑘) Semieje mayor: a Semieje menor: b Semidistancia focal: c Ecuación de la elipse en su forma canónica cuando el centro no es el origen de coordenadas Caso II (Elipse vertical) Ecuación de la elipse vertical con centro en 𝑂(ℎ, 𝑘) • 𝑥−ℎ 2 𝑏2 + 𝑦−𝑘 2 𝑎2 =1 ; 𝑏2 = 𝑎2 − 𝑐 2 Elementos de la elipse 𝑪𝒆𝒏𝒕𝒓𝒐: 𝑂 ℎ, 𝑘 Vértices: 𝑉1 ℎ, 𝑘 + 𝑎 𝑦 𝑉2 ℎ, 𝑘 − 𝑎 Focos: 𝐹1 ℎ, 𝑘 + 𝑐 𝑦 𝐹2 (ℎ, 𝑘 − 𝑐) Semieje mayor: a Semieje menor: b Semidistancia focal: c Problema 5: Dada la ecuación de la elipse en su forma canónica 𝑥−3 2 36 𝑦−5 2 9 + =1 Determine: a) Centro b) Vértices c) Semieje menor c) Focos d) Distancia focal e) Gráfica de la elipse Problema 6: Dada la ecuación de la elipse en su forma canónica 𝑥+4 2 49 𝑦+1 2 25 + =1 Determine: a) Centro b) Vértices c) Semieje menor d) Focos e) Distancia focal f) Gráfica de la elipse • Autoevaluación Para cada literal, determine la gráfica de la elipse dada su ecuación en su forma canónica a) b) c) d) 𝑥−8 2 𝑦−5 2 + = 49 100 𝑥−1 2 𝑦+9 2 + = 25 8 𝑥+3 2 𝑦 2 + =1 50 36 𝑥 2 𝑦+6 2 + =1 144 44 1 1 Ecuación de la elipse en su forma general • 𝑨𝒙𝟐 + 𝑩𝒚𝟐 + 𝑫𝒙 + 𝑬𝒚 + 𝑭 = 𝟎, donde A y B tienen el mismo signo, además 𝐴, 𝐵, 𝐷, 𝐸, 𝐹 ∈ ℝ, siendo 𝐴 ≠ 0, 𝐵 ≠ 0, ésta puede transformarse en otra del tipo 𝑥−ℎ 2 𝑎2 + 𝑦−𝑘 2 𝑏2 = 1. • 𝐴 ≠ 𝐵 Condición importante para que sea elipse EJEMPLO: TRANSFORME LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE DADA EN SU FORMA CANÓNICA A LA FORMA 𝑥+4 2 𝑦+1 2 GENERAL. + =1 49 25 EJEMPLO 1: Transformar la ecuación de la elipse dada en su forma general a la forma canónica 16𝑥 2 + 25𝑦 2 − 224𝑥 + 100𝑦 + 484 = 0 Ejemplo 2: Dada la ecuación de la elipse en su forma general 2𝑥 2 + 𝑦 2 + 8𝑥 − 4𝑦 − 20 = 0 • Determine: • a) La ecuación de la elipse en su forma canónica • b) La gráfica de la elipse indicando todos sus elementos. Autoevaluación • Para cada literal transforme la ecuación de la elipse dada en su forma general a la forma canónica y grafique. • a) 25𝑥² + 40𝑦² − 240𝑦 − 640 = 0 • b) 36𝑥² + 25𝑦² + +432𝑥 − 50𝑦 + 421 = 0 • C) 64𝑥² + 49𝑦² + 128𝑥 − 784𝑦 + 64 = 0 • D) 2𝑥² + 3𝑦² + 12𝑥 − 12𝑦 − 20 = 0 • E) 80𝑥² + 180𝑦² + 400𝑥 − 720𝑦 = −320 Resolución de problemas de referentes a elipses • Problema 1: Calcular las coordenadas de los vértices 𝑽𝟏 𝒚 𝑽𝟐 los focos 𝑭𝟏 𝒚 𝑭𝟐 • A) 4𝑥 2 + 9𝑦 2 = 36 • B) 16𝑥 2 + 9𝑦 2 = 144 • C)16𝑥 2 + 9𝑦 2 = 144 • D) 9𝑥 2 + 25𝑦 2 = 225 Problema 2: Obtener la ecuación de la elipse en su forma canónica cuyas características se dan a continuación a) Centro 𝑂 0,0 ejes sobre los ejes coordenados y para por los puntos 𝐴 1,3 𝑦 𝐵 4,2 b) Centro 𝑂(0,0) ejes sobre los ejes coordenados y pasa por los puntos 𝑆 4,3 𝑦 𝑇 6,2 c) Focos 𝐹1 4,0 𝑦 𝐹2 −4,0 y pasa por el punto 12 𝑃 3, 5 d) Centro 𝑂 0,0 , el eje principal es el eje y, la distancia que separa a los focos es 24 y pasa por el 60 punto 𝑃 ,5 13 Problema 3: Emplear la definición de elipse para obtener una ecuación en la forma canónica de la elipse cuyos focos 𝑭𝟏 𝒚 𝑭𝟐 están dados y para la cual está dada la suma de la distancias que separan a un punto de la elipse de los focos • • • • a) 𝐹1 2,4 , b) 𝐹1 3,2 , c) 𝐹1 6,1 , d) 𝐹1 −2,4 𝐹2 (−2,4); 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 6 𝐹2 (−3,2); 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 8 𝐹2 (6, −1); 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 4 , 𝐹2 (−2, −4); 𝑑 𝑃, 𝐹1 + 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 12 Problema 4: Dada la gráfica a continuación. Determine: a)La ecuación de la elipse en su forma canónica b)La ecuación de la circunferencia en su forma general c)La ecuación de las parábolas cuyos focos es el mismo foco de la elipse F1 ¿ Fin ? II Quinquemestre: III Bimestre Secciones Cónicas: Hipérbola • Definición: Conjunto de todos los puntos en el plano cartesiano, tales que el valor absoluto de la diferencia de sus distancias a dos puntos fijos, denominados focos 𝐹1 y 𝐹2 , es una constante. • 𝐻𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 = 𝑃(𝑥, 𝑦) ∈ ℝ2 𝑑 𝑃, 𝐹1 − 𝑑 𝑃, 𝐹2 = 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 Elementos de la hipérbola 1. 𝐸𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = 2𝑎 2. 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 = 2𝑏 3. 𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 4. 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠 5. Focos 6. 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 = 2𝑐 2𝑏 2 7. 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 𝑎 HIPÉRBOLA Ecuación de la hipérbola en su forma canónica con centro en el origen Caso 1: Eje transverso horizontal Ecuación de la hipérbola 𝑥2 𝑦2 − 2=1 2 𝑎 𝑏 Caso 1: Elementos de la hipérbola • 1. 𝐸𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = 2𝑎 • 2. 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 = 2𝑏 • 3.𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 O(o,o) • 4. 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑉1 −𝑎, 0 𝑦 𝑉2 (𝑎, 0) • 5. Focos: 𝐹1 −𝑐, 0 𝑦 𝐹2 (𝑐, 0) • 6. 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 = 2𝑐 • 7. 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 2𝑏 2 𝑎 • 8. Semieje transverso: 𝑎 • 9. Semieje conjugado: 𝑏 = 𝑐 2 − 𝑎2 Caso 2: Eje transverso vertical Ecuación de la hipérbola 𝑦2 𝑥2 − 2=1 2 𝑎 𝑏 Caso 2 : Elementos de la hipérbola • 1. 𝐸𝑗𝑒 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑣𝑒𝑟𝑠𝑜 = 2𝑎 • 2. 𝐸𝑗𝑒 𝑐𝑜𝑛𝑗𝑢𝑔𝑎𝑑𝑜 = 2𝑏 • 3.𝐶𝑒𝑛𝑡𝑟𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑎 ℎ𝑖𝑝é𝑟𝑏𝑜𝑙𝑎 O(o,o) • 4. 𝑉é𝑟𝑡𝑖𝑐𝑒𝑠: 𝑉1 −𝑎, 0 𝑦 𝑉2 (𝑎, 0) • 5. Focos: 𝐹1 −𝑐, 0 𝑦 𝐹2 (𝑐, 0) • 6. 𝐷𝑖𝑠𝑡𝑎𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑓𝑜𝑐𝑎𝑙 = 2𝑐 • 7. 𝐿𝑎𝑑𝑜 𝑟𝑒𝑐𝑡𝑜 = 2𝑏 2 𝑎 • 8. Semieje transverso: 𝑎 • 9. Semieje conjugado: 𝑏 = 𝑐 2 − 𝑎2 Actividad en clase N° 01 • Obtenga la ecuación de la hipérbola cuyos focos 𝑭𝟏 𝒚 𝑭𝟐 y cuyos vértices 𝑽𝟏 𝒚 𝑽𝟐 se dan. Trace una gráfica de la ecuación 1. 2. 3. 4. 𝐹1 5,0 , 𝐹2 −5,0 𝑉1 3,0 , 𝑉2 (−3,0) 𝐹1 13, 0 , 𝐹2 − 13, 0 𝑉1 3,0 , 𝑉2 (−3,0) 𝐹1 0,5 , 𝐹2 0, −5 𝑉1 0,4 , 𝑉2 (0, −4) 𝐹1 0, 7 , 𝐹2 0, − 7 𝑉1 0, 3 , 𝑉2 (0, − 3) Autoevaluación en clase N° 01 • Obtenga la ecuación de la hipérbola cuyos focos 𝑭𝟏 𝒚 𝑭𝟐 y cuyos vértices 𝑽𝟏 𝒚 𝑽𝟐 se dan. Trace una gráfica de la ecuación 1. 𝐹1 5,0 , 𝐹2 −5,0 𝑉1 4,0 , 𝑉2 (−4,0) 2. 𝐹1 5, 0 , 𝐹2 − 5, 0 𝑉1 3, 0 , 𝑉2 (− 3, 0) 3. 𝐹1 0,5 , 𝐹2 0, −5 𝑉1 0,3 , 𝑉2 (0, −3) 4. 𝐹1 0, 21 , 𝐹2 0, − 21 𝑉1 0, 5 , 𝑉2 (0, − 5) Actividad en clase N° 02 • Calcule las coordenadas de los vértices y los focos de la hipérbola cuya ecuación se da. 1. 𝐹1 5,0 , 𝐹2 −5,0 𝑉1 4,0 , 𝑉2 (−4,0) 2. 𝐹1 5, 0 , 𝐹2 − 5, 0 𝑉1 3, 0 , 𝑉2 (− 3, 0) 3. 𝐹1 0,5 , 𝐹2 0, −5 𝑉1 0,3 , 𝑉2 (0, −3) 4. 𝐹1 0, 21 , 𝐹2 0, − 21 𝑉1 0, 5 , 𝑉2 (0, − 5)