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EL MODO HELMHOLTZ DE DOS OSCILADORES
PARADIGMÁTICOS:
EL SISTEMA MASA RESORTE Y EL PÉNDULO
Dr. Reinaldo Welti – UNR - FCEIA
Material preparado para el Taller TA2 de REF 17 – Sept 2011
Modos de oscilación de una botella
L
Si la botella se comporta como un tubo cerrado abierto, la longitud de onda del
modo más bajo sería del orden de 4L,y su frecuencia f1 sería del orden de
c/4L,
donde c es la velocidad del sonido
Si la botella no tiene cuello = tubo abierto cerrado
y (unidades
arbitrias)
Los dos primeros
modos de un tubo
abierto – cerrado
f1 = c/4l
f2 = 3c/4l
x
L
O
-0.6
0
0.6
l
La frecuencia del modo más bajo de la botella con cuello es mucho
menor. Esto significa que la longitud de onda de este modo es mucho
mayor que la longitud característica de la botella
Si la longitud de onda es “grande”, las funciones que describen las
ondas de desplazamientos y de presión son “casi” rectas.
presión (línea cintinua) velocidad (línea a trazos)
15
Sólo energia
cinética
10
5
Sólo energia
potencial eléstica
0
-0.15
-0.1
-0.05
x (cm)
0
0.05
keq
m
Para el estudio de su primer modo la botella puede considerarse
como de “parámetros concentrados”
15
presión (línea continua) velocidad (línea a trazos)
[unidades arbitrarias]
primer modo
10
(a)
5
0
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
x (m)
10
segundo modo
5
(b)
0
-5
-10
-0.15
-0.1
-0.05
0
0.05
x (m)
Se observa que en el 2º modo las energías potencial y cinética se
distribuyen sobre toda la botella. El sistema debe ser analizado como
de parámetros distribuidos.
OSCILADOR MASA RESORTE
¿porqué en muchos libros al sistema masa resorte se lo pone sobre una superficie horizontal?
Un interesante problema de elasticidad
x
u ( x) 
mg
mg 2
x
x
kL
2kL2
L
mg
u ( x  L) 
2k
x
En ausencia de
campo gravitatorio
Estiramiento
producido por el
campo gravitatorio
posición de las espiras en el equilibrio
Si al sistema se lo
perturba se
generan ondas
Las ondas son análogas a las
que se excitan en un tubo
cerrado en un extremo y
abierto en el otro
1er.
modo
2do.
modo
desplazamiento longitudinal
Se comporta igual que la botella sin
el cuello
Resorte para mostrar las ondas longitudinales
Es un típico sistema de parámetros distribuidos
Cómo convertirlo en un sistema de parámetros concentrados
A la búsqueda de un “cuello” para el resorte
Se tiene que deformar poco
(módulo de Young grande)
La masa tiene que ser lo
suficientemente grande para
que su energía cinética sea
mayor que la del resorte
Efecto de la masa M sobre la forma de los
modos: el primer modo es casi rectilíneo.
m
La frecuencia del segundo modo es más de 10
veces más alta
Nueva
posición
de
equilibrio
M
Líneas continuas: primer modo
Líneas a rayas: segundo modo
O
O
L
x
-0.6
0
y (unidades arbitrias)
0.6
L
x
-0.6
0
0.6
y (unidades arbitrias)
Figura 3. Los dos primeros modos de oscilación de un sistema masa-resorte,
para m M  1 (gráfica de la izquierda) y para M  0 (gráfica de la derecha).
EL PÉNDULO
O
l
x
-1
0
1
y (unidades arbitrias)
Figura 5. Los dos primeros modos de oscilación de un
péndulo: línea continua (1º modo), línea a rayas (2º
modo).
Figura 6. La forma que toma el péndulo
durante una oscilación según Galileo.
En la Fig. 6 se muestra un dibujo de Galileo basado en observaciones
de las oscilaciones de un péndulo cuando la masa suspendida es
pequeña (del orden de la masa de la cuerda). Palmieri (2009) afirma
que Galileo conocía la existencia de los llamados modos de
oscilación (“modos latentes de oscilación”) y que el péndulo se mueve
en una superposición de sus diferentes modos. Si esto ocurre el
movimiento del péndulo deja de ser periódico.
Palmieri afirma que esta es la causa por la cual Galileo en sus
experimentos para demostrar el isocronismo insistía en utilizar hilos
delgados de masa despreciable comparada con la masa suspendida en
su extremo.
En este caso la frecuencia del segundo modo es muy grande (30 veces
más grande que la frecuencia fundamental) y, por lo tanto, oscila
solamente en su modo fundamental.
longitud del resorte
desolazamiento longitudinal del resorte