1. Baloglou, G. and Helfgott, M., 2004. Finding Equations of

Cinco Directrices en la Enseñanza del Primer Curso de
Calculo*
Michel Helfgott, East Tennessee State University
Resumen
Analizamos el rol de las demostraciones, las aplicaciones, la historia y la
tecnología en un primer curso de Cálculo, enfatizando la necesidad de
presentar algunas veces múltiples formas para resolver un problema. El
Cálculo ofrece la oportunidad de poner a los estudiantes en contacto con
el método científico, mientras que una perspectiva histórica puede
frecuentemente ayudar en el proceso de aprendizaje. El desafío de la
tecnología es igualmente discutido, tomando en consideración la existencia de
calculadoras gráficas con capacidades simbólicas. Propugnamos un balance entre
cinco directrices básicas, tomando en consideración que muchos tópicos deben ser
tratados en el aula de clase en un corto período de tiempo.
Introducción
La enseñanza es más un arte que una ciencia, y no pretendo tener una curación para todos
los males que aquejan la educación matemática. Sin embargo, es mi creencia que algo se
puede ganar si prestamos especial atención a cinco directrices básicas cuando enseñamos
el primer curso de Cálculo. He aquí la lista:
1. Tratar de establecer un balance entre lo que debemos demostrar y aquello que
vamos a aceptar sin demostración.
2. Transmitir la idea que algunas veces existe más de una forma de resolver un
problema.
3. Discutir aplicaciones significativas en el aula de clase, no relegándolas al final
como material opcional.
4. Adoptar una perspectiva histórica cuando ello es factible.
5. Usar tecnología para suplementar el aprendizaje de la matemática, no para
suplantar dicho aprendizaje.
* Version en castellano, ligeramente editada, del trabajo presentado en el decimo Congreso Internacional de
Educación Matematica, Copenhagen, Dinamarca, 2004 http://www.icme-organisers.dk/tsg12/#papers.
1
En tiempos recientes la comunidad matemática ha afrontado el reto de cómo mejorar la
enseñanza y aprendizaje del Cálculo [14, 19, 20, 23] y la enseñanza de la matemática en
general [12], mostrando así su preocupación respecto a un complejo tema.
En éste trabajo el lector encontrará algunas veces aspectos con los que ya está
familiarizado. Mi intención es presentar una descripción completa esperando que todos,
no solamente profesores que recién comienzan a enseñar, encontrarán aquí nuevas ideas y
desarrollos.
Demostraciones
Debemos estar de acuerdo que en todo curso de Cálculo, especialmente a nivel
universitario, algunos hechos básicos deben ser demostrados. Por supuesto, no todo
requiere una demostración. Por ejemplo, en un primer semestre de Cálculo tres
proposiciones, todas ellas inesperadas, pueden ser demostradas en gran detalle asumiendo
propiedades básicas de límites, a saber:
a. La derivada del producto de dos funciones.
b. Un caso particular de la regla de la cadena, por ejemplo la derivada de la
composición de la función raíz cuadrada y una función derivable.
c. La derivada de la inversa de la función seno, haciendo uso de la regla de la cadena
una vez que aceptamos que la inversa de una función monótona derivable es
también derivable.
Los estudiantes saben que en todo examen una pregunta versará sobre variaciones de las
arriba mencionadas proposiciones; por ejemplo, la derivada del cociente de dos
funciones, la derivada de la composición de la función cuadrado y una función derivable,
o la derivada de la función coseno inverso. De esta manera espero fomentar comprensión
en lugar de reproducción mecánica de demostraciones.
2
Establecemos en forma precisa pero nos guiamos de nuestra intuición geométrica en el
caso del teorema del valor medio, la existencia del máximo o del mínimo valor de una
función, el teorema del valor intermedio, o el teorema del valor medio para integrales
(TVMI). Este último es algunas veces demostrado como un corolario del Teorema
Fundamental del Cálculo (TFC) y el Teorema del Valor Medio [21, p. 474], pero ello no
es realmente necesario porque representa la utilización de un teorema no evidente (TFC)
para probar un teorema evidente (TVMI). Por el contrario, la aceptación de TVMI sobre
la base de su interpretación geométrica para funciones positivas conduce, como veremos
más adelante, a la demostración de Cauchy de TFC. En todo caso, TVMI puede ser
demostrado rápidamente mediante el teorema de máximo/mínimo y el teorema del valor
intermedio.
Como es de esperar, una parte considerable de nuestro trabajo en el primer semestre de
Cálculo esta dedicado a calcular derivadas y en resolver ejemplos de aplicación en lugar
de construir una base rigurosa del Cálculo.
En el segundo semestre demostramos sólo cinco proposiciones:
1. El teorema fundamental del cálculo, es decir
d x
 f (t )dt = f (x) para cualquier
dx a
función continua f (t ) y, como un corolario de TFC, el hecho que
b
 f (t )dt  F (b)  F (a)
donde F (t ) es cualquier antiderivada de la función f (t )
a
(éste corolario es algunas veces denominado “Teorema de Evaluación”).
2. La fórmula de integración por partes.
3. La fórmula de cambio de variables.
4. El criterio de comparación para series de números positivos.
5. El criterio de la razón.
La experiencia nos ha demostrado que no hay mucho tiempo disponible, en un semestre
recargado con muchas técnicas nuevas, ideas matemáticas, y aplicaciones, para demostrar
3
proposiciones adicionales. No obstante ello, debemos establecer cuidadosamente y hacer
plausible todos los otros resultados necesarios en el cálculo de una variable.
Tres décadas atrás R.P. Boas se preocupó por discutir qué demostrar y no demostrar
cuando escribió [3]:
En todo caso, sólo disponemos de un tiempo limitado. Para hacer un mejor uso del
tiempo, afirmo que el profesor de cálculo haría bien en seguir el camino del científico
experimental: dar pruebas cuando son sencillas y justifican cosas inesperadas; omitir
pruebas difíciles y tediosas, especialmente de cosas plausibles. Ofrecer pruebas sencillas
bajo supuestos simplificados en lugar de pruebas complicadas bajo hipótesis generales.
El profesor de todas maneras debe siempre brindar enunciados correctos, pero no
necesariamente los más generales que él conoce.
En la década del setenta existía la tendencia de probar demasiadas cosas en el primer
curso de Cálculo. En la actualidad parece haber una creciente tendencia de no presentar
demostraciones, aún cuando varias valiosas ideas han salido a luz para traer algunas
demostraciones de vuelta al aula de clase [16, 24, 25].
Más De Un Camino
Muchos estudiantes llegan a la universidad con la idea que para todo problema
matemático existe un único camino para la solución. Esta creencia impide la búsqueda de
su propio camino y transmite un mensaje equivocado. El Cálculo ofrece muchas
oportunidades para disipar cualquier noción acerca de caminos únicos para todos los
problemas. Por ejemplo, cuando debemos calcular
 x x 1
o

dx
(x  1) 2
2
es posible
encontrar la respuesta usando el método de cambio de variable o integración por partes.
4
Un área fértil para la visualización de múltiples caminos para resolver problemas es la
teoría de series. Por ejemplo, se puede determinar la convergencia de la serie
comparación con


1
n2
por
1
o utilizando el criterio de la integral.
n(n  1)
Algunas demostraciones se pueden presentar utilizando enfoques diferentes. Por ejemplo,
el Teorema de Evaluación puede ser demostrado independientemente de TFC [21, p. 370]
o como corolario de TFC [6, p. 358], un hecho que frecuentemente no es enfatizado.
En lo que concierne a problemas de aplicación, una visión dual puede ser utilizada
algunas veces. La ley de Newton del enfriamiento establece que T (t )  k (T (t )  Tm ) ,
donde Tm es la temperatura constante del gas o liquido refrigerante. La ecuación
diferencial puede ser resuelta de dos maneras distintas, ya sea como una ecuación en
variables separables o como una ecuación lineal de primer grado. De otro lado, los
estudiantes deben ser conscientes que muchas ecuaciones diferenciales de primer orden
no pueden ser resueltas por ambos métodos: LI (t )  RI (t )  Eo coswt (circuito RL
impulsado por una fuerza electromotriz Eo coswt ) es lineal pero no separable, mientras
que P (t )  kP 
k 2
P (ecuación de crecimiento logístico) es del tipo separable, pero
K
evidentemente no lineal.
Varios problemas simples acerca de máximos y mínimos pueden ser resueltos a través del
Cálculo y también utilizando exclusivamente álgebra: Un granjero, quien tiene b metros
de alambre, desea construir un campo rectangular con un río como frontera, sin cerca de
alambre a lo largo de éste último. El granjero desea obtener el mayor área. Si x e y
denotan las dimensiones del campo, obtendremos la ecuación 2 x  y  b .
Consecuentemente A( x)  x(b  2 x) , donde A(x) es la función área. El proceso usual
consiste en tomar la primera derivada y hacerla igual a cero. Otro camino es evitar
5
Cálculo y resolver el problema a través de álgebra. Así, “completando cuadrados”
tenemos A( x)  2 x 2  bx  2( x 2 
b
b
b2
b
b2
.
x)  2((x  ) 2  )  2( x  ) 2  2 
2
4
16
4
16
Es claro que seleccionando x  b 4 la función área adoptara su máximo. Problemas
acerca de ecuaciones de tangentes a cónicas también pueden ser resueltos con y sin la
maquinaria del Cálculo [1].
No quisiéramos dar la impresión que para todo problema estándar de Cálculo existe un
enfoque que no utiliza Cálculo y es de similar dificultad, mas bien deberíamos enfatizar
que para muchos problemas la maquinaria del Cálculo es la mejor opción disponible. Por
ejemplo, si aceptamos el principio de Fermat del menor tiempo entonces la ley de Snell
de la refracción de la luz tiene que ser verdadera; utilizando Cálculo ésta implicación
puede ser demostrada sin mayores dificultades. El enfoque que no utiliza Cálculo tiene
méritos desde una perspectiva histórica, pero requiere considerable trabajo [9].
Más aún, a menudo Cálculo es indispensable por cuanto la mayor parte de la mecánica,
electricidad, y magnetismo dependen del Cálculo, al igual que muchas otras áreas de
dentro y fuera de la matemática.
Aplicaciones
La mayor parte de los libros de texto proporcionan diversas aplicaciones al mundo real.
Además de problemas simples acerca de cinemática, optimización, trabajo, fuerza
hidrostática, desintegración radioactiva, y similares, parte del tiempo debería separarse
para una discusión a fondo de una o más aplicaciones cada semestre, donde el modelo es
construido utilizando principios de la física y una clara distinción es realizada entre las
ideas físicas y los desarrollos matemáticos. Buenos ejemplos de esta naturaleza son la
forma como funcionan los espejos parabólicos [11, p. 88], puentes colgantes [8, p. 257],
la ley de Torricelli para flujos de agua [4, p. 59] y el problema de la catenaria [18, p.
716]. Este último fue uno de los primeros importantes problemas abiertos que fueron
resueltos con la ayuda del Cálculo.
6
Más aún, una breve introducción a la cinética química puede proporcionar un marco
adecuado para la discusión del método científico, un concepto importante que debemos
impartir a nuestros estudiantes tan pronto como sea posible. Este método, en su
formulación moderna, puede remontarse a Galileo Galilei a comienzos del siglo 17. Los
científicos frecuentemente trabajan en tres etapas [7, p. 142]:
1. Estableciendo principios
2. Efectuando conclusiones lógicas de estos principios para derivar hechos
observables acerca de ellos
3. Comprobando experimentalmente estos hechos observables.
Por ejemplo, consideremos una reacción química A  B  productos, con k como el
parámetro de la reacción. Basados en la ley de acción de masas, los químicos plantearían
un modelo gobernado por las ecuaciones diferenciales
A(t )  kA(t ) B(t ) ,
B(t )  kA(t ) B(t )
con condiciones iniciales A(0)  a , B(0)  b (a  b) . En un comienzo no se sabe si éste
es un modelo válido. Podría ser el caso que A' (t )  kA2 (t )B(t ) o alguna otra ecuación
diferencial. Tenemos que obtener consecuencias matemáticas que puedan ser comparadas
con una tabla de valores de A(t ) o B(t ) obtenidos a través de experimentos. Como
A(t )  B (t ) podemos afirmar que A(t )  C  B(t ) para una cierta constante C. En
particular A(0)  C  B(0) , de ahí que C  b  a . Por consiguiente
A(t )
 k
A(t )(b  a  A(t ))
Usando fracciones parciales y un simple proceso de integración arribamos a la expresión
1
bA(t )
ln
 kt
a  b a( A(t )  b  a)
7
Por tanto, si colocamos el lado izquierdo de esta igualdad sobre el eje vertical y la
variable tiempo sobre el eje horizontal, los pares ordenados estarán distribuidos alrededor
de una recta que pasa por el origen. Otorgaremos validez al modelo si ésta predicción está
en consonancia con los datos experimentales. A continuación el valor de k es calculado
como la pendiente de la recta de regresión. Podríamos obtener la solución explicita de la
ecuación diferencial, a saber
A(t ) 
a(b  a)e k (ba)t
b  aek (ba )t
,
pero ello es de poco uso en el proceso de validación; después de todo, es mucho más fácil
trabajar con una recta en lugar de una expresión que involucra exponenciales. Si a  b ,
es decir A(0)  a  b  B(0) , obtenemos 1 A(t )  kt  1 a sin mucho esfuerzo, y un
proceso de validación puede ser realizado con 1 A(t ) sobre el eje vertical y la variable
tiempo sobre el eje horizontal.
La física es la mayor fuente de aplicaciones del Cálculo, pero no olvidemos que la
química es particularmente adecuada para el trabajo con datos, en el sentido que entre
varios modelos competitivos debemos escoger aquel que concuerda mejor con los
resultados experimentales. P. Lax aseveraba hace mucho tiempo [13]:
Me parecía entonces, y aún me parece ahora, que la enseñanza del Cálculo es el
vehiculo natural para introducir aplicaciones, y que las aplicaciones brindan un marco
adecuado al Cálculo; muestran como, y con que finalidad, el Cálculo es utilizado.
Historia
Podríamos desarrollar un curso desde una perspectiva histórica sistemática, pero ello no
siempre lograría suscitar el interés de todos los estudiantes. Es más realista usar la
historia como una herramienta pedagógica aquí y allá, empleando notaciones modernas y
el método genético [15], para proporcionar un contexto cultural y para que los estudiantes
entiendan que avances significativos tienen lugar en etapas sucesivas. Un ejemplo de
ésta última aseveración nos lleva de regreso a los comienzos del siglo 17 cuando
8
matemáticos trataron de calcular el área bajo la curva definida por la ecuación y  x k , k
cualquier numero natural mayor que uno, entre 0 y b  0 . Ellos sabían que
n
i2 
i 1
n
(n  1)(2n  1) , por tanto
6
ib 2 b b 3
3 1
(
 )  (2   2 ) . Esta es una
n 6
n n
i 1 n
n
aproximación al área bajo la parábola, donde hemos sumado las áreas de n rectángulos
de ancho b n y altura (ib n) 2 . Incrementando n nos acercaremos al numero b 3 3 , que
puede ser adoptado como el valor del área. Un procedimiento similar les permitió
resolver el caso k  3 y subsecuentemente para los números naturales k  4,...,9 . Esta
n
fue una hazaña notable porque no es fácil encontrar formulas para
ik
cuando k  3 .
i 1
Fermat, alrededor de 1650, resolvió el problema para y  x r , r cualquier número
racional positivo, usando una estrategia distinta y muy ingeniosa [22, p. 53] que
involucraba dividir el intervalo [0, b] en subintervalos de distinta longitud. Finalmente, el
problema resultó ser sencillo después que Newton y Leibniz crearon lo que conocemos
como Cálculo a fines del siglo 17:
x k 1 b
b k
x dx  [
]0
0
k 1

b k 1
d x k 1
por cuanto

 xk .
k 1
dx k  1
La historia es una guía que nos recuerda que frecuentemente los matemáticos proceden
desde lo particular a lo general, como en el desarrollo del Teorema Fundamental del
Cálculo. Este teorema fue primero entendido para funciones continuas monótonas [22, p.
96]; por tanto, en un comienzo ésta versión simplificada debe ser aprendida por los
estudiantes. La condición de monotonicidad fue dejada de lado más adelante. En realidad
de verdad, una demostración aceptable de TFC no apareció publicada hasta 1823, en los
trabajos de Cauchy [5, p. 570], más de un siglo después de la invención del Cálculo. Esta
es una demostración que podríamos aceptar hoy en día con algunas modificaciones al
final, reemplazando “incrementos infinitesimalmente pequeños” por un proceso de límite:
Fijemos cualquier x , a  x  b . Para todo h  0 tenemos F ( x  h)  F ( x) 
9
xh

f  f 
x
xh
a
a
x
xh
f
 f . Gracias al teorema del valor medio para integrales se desprende que
 f (c ( h)) h para un cierto numero c(h) , donde x  c(h)  x  h . Luego
x
F ( x  h)  F ( x )
 f (c(h)) . Por tanto
h
lim h0
F ( x  h)  F ( x )
 lim h0 f (c(h))  f (lim h0 c(h))  f ( x)
h
(observar que hemos utilizado la continuidad de f en x y el hecho que x  c(h)  x  h
implica limh0 c(h)  x ). En resumen, hemos demostrado que F' ( x)  f ( x) . De una
manera análoga podemos demostrar que lim h0
F ( x  h)  F ( x )
 f ( x) , luego
h
F' ( x)  f ( x) . Como las derivadas a la izquierda y a la derecha de F son iguales a f (x)
podemos concluir que F ( x)  f ( x) . Esta demostración puede ser comparada
favorablemente con demostraciones más usuales [21, p. 385].
Una visión histórica es muy útil para mostrar a los estudiantes cuanto se ha ganado desde
que el Cálculo fue desarrollado por primera vez a fines del siglo 17. El problema de la
clepsidra, un instrumento para medir el tiempo mediante el flujo de agua, es un ejemplo
particularmente relevante [17] por cuanto el enfoque Euclidiano es bastante complicado
mientras que el enfoque que utiliza Cálculo es simple.
Más importante aún, una perspectiva histórica permite hacer la enseñanza más animada y
ayuda a evitar la trampa de borrar la distinción entre Cálculo y Análisis Real,
proporcionando un marco adecuado para desarrollar muchas ideas del Cálculo a través de
una comprensión intuitiva de límites con ocasionales presentaciones más rigurosas. Así,
las técnicas  /  no son necesarias en un primer curso de Cálculo; pueden esperar hasta
un curso de Análisis Real. Recordemos que el Cálculo se desarrolló con éxito por casi
200 años (aproximadamente 1670-1870), antes que Weierstrass y sus discípulos
introdujeran las técnicas arriba mencionadas. Sin embargo, es nuestra responsabilidad
10
como maestros evitar cualquier peligro inherente en un enfoque sin  /  ; es decir, los
estudiantes deben entender la diferencia entre un argumento plausible y una demostración
matemática.
Tecnología
Cuando mencionamos la palabra tecnología tenemos en mente el uso de calculadoras
gráficas que pueden realizar operaciones simbólicas, la herramienta tecnológica más
común en las clases de Cálculo. Es de notar que durante la última década varios
interesantes proyectos acerca del uso de las computadoras en la enseñanza del Cálculo se
han convertido en libros (por ejemplo [2]).
En primer lugar deseo enfatizar que en mi opinión los estudiantes deben aprender a
derivar e integrar expresiones simples con lápiz y papel, usando para tal propósito
herramientas clásicas como la regla de la cadena, integración por partes, integración por
sustitución, o fracciones parciales. Para problemas más complicados, especialmente
aquellos que aparecen en las aplicaciones, la tecnología puede encargarse de una parte
considerable del trabajo una vez que los estudiantes son capaces de transformar un
problema en palabras en un problema matemático coherente.
En lo que se refiere a evaluación, podríamos dividir los exámenes de Cálculo en dos
partes. En la primera parte los estudiantes no tienen acceso a tecnología, mientras que en
la segunda parte les es permitido su uso; las preguntas deben ser construidas reflejando
ambas circunstancias. Esta es una disposición sujeta a debate, no esencial para el éxito de
un curso de Cálculo.
Entre los muchos y variados temas introducidos por la tecnología permítaseme decir algo
acerca de programación, un tópico que no ha recibido la importancia que merece. Se
espera que los alumnos aprendan a construir programas simples y cortos utilizando sus
calculadoras gráficas, especialmente cuando un sistema recursivo está involucrado, en
lugar de copiarlos de un manual o libro. El método de aproximación de Euler para la
solución de un problema de valor inicial y   F ( x, y) , y( xo )  yo en un punto fijo
11
(cercano a xo ) es un ejemplo típico. La aproximación de las raíces de ecuaciones a
través del método de Newton es otro ejemplo que ofrece la oportunidad de construir un
breve programa. Efectivamente, la formula de recurrencia xi  xi 1 
f ( xi 1 )
,
f ( xi 1 )
i  1,...,n , obtenida a través de un enfoque gráfico del problema, es fácil de programar;
escogiendo adecuadamente xo y n podemos obtener una aproximación muy precisa de
una raíz de la función y  f (x) .
Existen muchas otras oportunidades para usar tecnología de una manera ventajosa. Por
b
ejemplo, un simple programa puede ser construido para aproximar

f mediante los
a
métodos trapezoidal (t), punto medio (m), y una versión del método de Simpson con
s
t  2m
[10, p. 324]. Si los estudiantes entienden las ideas matemáticas subyacentes,
3
ellos serán capaces de escribir el siguiente programa para una función dada y1 ( x) ,
definida sobre [a, b] :
Prgm
Input " n", n
a  (i  1)  (b  a) / n  p
a  i  (b  a) / n  q
a  (i  1 / 2)  (b  a) / n  u
(b  a) / n   ( y1 ( p),i,1, n)  l
(b  a) / n   ( y1 (q),i,1, n)  r
(b  a) / n   ( y1 (u),i,1, n)  m
Disp l
Disp r
Disp (l  r ) / 2
Disp m
Disp (2m  (l  r ) / 2) / 3
EndPrgm
Una vez que se hace funcionar el programa, cinco números aparecerán sobre la pantalla
de la calculadora gráfica: el primero corresponde a la aproximación por la izquierda, el
segundo es la aproximación por la derecha, el tercero es la aproximación trapezoidal,
12
mientras que el cuarto es la aproximación del punto medio. El último número
corresponde a la aproximación que se obtiene cuando se utiliza una versión del método
de Simpson.
Los programas desarrollados por los estudiantes funcionarán adecuadamente si ellos
entienden a cabalidad las ideas matemáticas involucradas. Por consiguiente, si es usada
apropiadamente, la tecnología puede convertirse en un incentivo para el aprendizaje de la
matemática.
Conclusiones
La principal meta de un primer curso de Cálculo es aprender a utilizar los conceptos de
derivada e integral, no olvidando que la derivada en un punto c del dominio de una
b
función f es la pendiente de la tangente que pasa por (c, f (c)) , mientras que

f
a
puede ser interpretada como un área, o algunas veces como un volumen, una fuerza o
alguna otra idea física; se espera que los estudiantes apliquen, en diversos contextos, las
técnicas aprendidas en clase. Las cinco directrices mencionadas en un inicio nos ayudan a
no perder de vista la meta principal y proporcionan un marco adecuado para la enseñanza
del primer curso de Cálculo. El énfasis que será puesto en cada una de las directrices
dependerá de la audiencia a la cual está destinado el curso.
Referencias
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