REALES: Ejercicios Resueltos I - Matemáticas en el IES Valle del Oja

Departamento de Matemáticas
1. NUMEROS REALES
1
Calcula la forma fraccionaria o decimal (identificando cada una de sus partes), según corresponda de:
28
a) 9,2777..
c)
160
63
b) 14,371717...
d)
22
Solución:
927  92
90
a)
Parte entera 9, anteperiodo 2, periodo 7
14371 143
9900
b)
Parte entera 14, anteperiodo 3, periodo 71
c) 0,175
No es un número periódico
d) 2,863636… Parte entera 2, anteperiodo 8, periodo 36
2
Calcula las siguientes operaciones:
a)  3   2 :  6   2   3   2 4  10 :  2 


b)  100  :  4    3   3
c) 2   3   4   5  :  6   2 2
Solución:
a)  3   2 :  6  
 2   3   2
  1   5  16  5   25
4

 10 :  2    1 
 2   3   2
4

 10 :  2  
b)  100  :  4    3   3  25   3   3   75  3   72
c) 2   3   4   5  :  6   2 2  120 :  6   4   20  4   16
3
Calcula, pasando a fracción, las operaciones:
a) 0,333... + 0,525252...
b) 5,2333... - 1,3222...
Suma luego, directamente, los números decimales, pásalos a fracciones y comprueba que se obtiene el mismo
resultado.
Solución:
a) 0,333... 0,525252..
.
3 52 3·11  52 85



9 99
99
99
0,33333333
33333333..
.....  0,52525252
52525252..
.....  0,85858585
85858585..
.
85
99
523 52 13213 471119 352



90
90
90
90
391 39 352
5,2333... 1,3222... 3,91111...

90
90
b) 5,2333... 1,3222...
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4
Realiza las siguientes operaciones
1 1 2 3
   
2 4 6 8
a)
2 3 1 1
   
5 4 2 5
b)
4 1 2 3
:    
3 3 6 4
c)
Solución:
a) 1/24
5
b) 1/5
c) 5/4
Realiza las siguientes operaciones:
2
3 3  1
9
   

2 4 3
16
a)
6 2 4 4 1 3 3
:     : 
10 3 5 3 3 4 7
b)
Solución:
a) -1/6
6
b) -19/12
En una prueba de maratón se inscriben 9000 personas. Indica cuál de los siguientes resultados expresa el número
de atletas que llegó a meta.
a) 0,2365781…
b) 0,243243243…
c) 0,2436666…
d) 1,98236587...
Solución:
Las soluciones a) y d) no pueden ser ya que son números irracionales y no se pueden escribir en forma de fracción.
Las soluciones b) y c) son números periódicos que si pueden representarse en forma de fracción, de modo
que hay que elegir de estos dos el que tenga 9000 por denominador.
243
0,243243... 
999
2436  243 2193
0,2436666... 

9000
9000
El resultado correcto es el c) y el número de atletas es 2193.
7
Dado el número 3,23233233323333233333... ¿Es racional?
La suma de dos números que no son racionales ¿puede ser racional?
Solución:
El número 3,23233233323333233333... no es racional, ya que no es un número decimal periódico (entendiendo que los
números exactos son periódicos de periodo 0).
Si sumamos 3,23233233323333233333... que no es racional con 7,32322322232222... que tampoco es racional
obtenemos 10,555... que es un periódico puro y por tanto racional.
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8
Realiza las siguientes operaciones:
4 2 4 2 5 1 3
:     : 
10 3 5 3 3 4 5
a)
2
1 
 2 7 5 1   4 2

       
62 
 3 2 6 4   3 3
b)
Solución:
a) 121/60
1
b) -49/18
Factoriza los radicandos y calcula las raíces siguientes:
7
128
3
116
5
1020
4
6561
a)
b)
c)
d)
Solución:
7
a)
128  2 7  2 7  2
11 
5
10 20  10
b)
c)
6
3
11
3
6
 112  121
20
5
 10 4  10000
8
d)
2
6561  3 8  3 8  3
Efectúa los siguientes productos:
a)
1
3
7
4
5
7
;
9
b) 2 7
4
5
2
.
Solución:
1 4

5
a) 7 3
3
7
512
15
17
9 4

5
 7 15 ; b) 2 7
2
45  28
35
73
 2 35 .
Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras
decimales:
a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107)
b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3)
c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103)
d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3)
Solución:
a) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 107) = 3,57 · 10-2
b) (6,0 · 10-4) : ( 1,5 · 10-3) = 4 · 10-1
c) (2,37 · 1012) · ( 3,97 · 103) = 9,4 · 1015
d) (4,5 · 109) : ( 2,5 · 10-3) = 1,8 · 1012
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4
Realiza las siguientes operaciones, sin calculadora, redondeando los números en notación científica a dos cifras
decimales:
a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7)
b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3)
c) (4,1 · 102) · 103
d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7)
Solución:
a) (3,72 · 1011) · ( 1,43 · 10-7) = 5,32 · 104
b) (2,9 · 10-5) · ( 3,1 · 10-3) = 8,99 · 10-8
c) (4,1 · 102) · 103 = 4,1 · 105
d) (1,7 · 10-9) · ( 2,1 · 10-7) = 3,57 · 10-2
5
Realiza las siguientes operaciones:
4
a)
50  7 2  3 8 ; b) 113 81  123 24 .
5
Solución:
a) 50  2  5 2  5 2 ;
8  23  2 2 
4
4
50  7 2  3 8   5 2  7 2  3  2 2 
5
5
 4 2 7 2 6 2 5 2 .
3
b) 3 81  3 4  33 3 ;
3
3
24  2 3  3  23 3  113 81  123 24  11  33 3  12  23 3  333 3  223 3 
 113 3 .
6
Considerando que los átomos tienen forma esférica, calcula el volumen de uno de ellos en m 3 tomando su radio
como 10-10m. ¿ Cuantos átomos se necesitan para juntar un volumen de un litro.
Solución:
Aplicamos la fórmula del volumen de una esfera:
3
4
4
V  πR3  π 1010  4,19·1030 m3
3
3


Los que se necesitan para formar un litro:
103 m3 /litro
 2,39·1026 átomos/litro
4,19·1030 m3 /átomo
7
Expresa como radical:
a) 5 7
2
; b) 3 11 7 ; c) 13
11
7
; d)
29
48
15 .
Solución:
a) 35
2
7
; b) 33 7 ; c) 26
;
11
29
d) 64 15 .
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8
Expresa como radical:
a)
3
 1 7
 5 12 




5

 4  3
; b)   
 7 

4
1
3
1 3
2 4
 15



 2  2 
 5  7 
 ; c)     ; d)     .

 3  
  11  





Solución:
a)
1
3
5 84

1
5 28
20

28
4
 4  45  4  9 9  4 
5 ; b)  
    
7
7
7
4
1
26
; c)   
3
6
6
2
;
3
3
3
 5  28  5  14 14  5 
d)  
     .
 11 
 11 
 11 
Racionaliza:
1 2
1 3
a)
9
5 7
b)
5 6
2 6
c)
Solución:
1 2 1 3
    1 
1  3 1  3 
a)

9 5 7

 5  7  5  7 
b)

 5  6  2  6  
 2  6  2  6 
3 2 6
1 3  2  6

1 3
2



9 5 7
9 5 7

57
2

10  30  12  6
10  30  12  6

26
4
c)
log3  0,477
log2  0,301
2
Sabiendo que
log 6
a)
log30
b)
1
log
3
c)
y
, halla:
Solución:
log 3  log 2  0,778
a)
log 3  log10  1,477
b)
 log 3  0,477
c)
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3
a
Calcula utilizando la definición de logaritmo:
loga 256  8
a)
loga 0,125  3
b)
loga 0,001  3
c)
Solución: a) a = 2
4
Calcula
b) a = ½
c) a = 10
a
utilizando la definición de logaritmo:
3
loga 125 
2
a)
b)
log8 4 2  a
log2
3
81
a
16
c)
Solución:
a) a = 25
3
4
b) a =
c) a = -4
5
Racionaliza:
2 3
2
a)
6 2
5 3
b)
3 2 5 3
2 7
c)
Solución:
2 3

 22
2 2
2 6
2
a)
6 2 3
5 3 3
b)
3

6 6 2 6

15
5

2 5 3 7
2 7 7

3

2 5 3 7
14
c)
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6
Razona el siguiente enunciado: si log b = log a + log (1/3), entonces
a
 3.
b
Solución:
logb  log
7
a
a
a
b  3
3
3
b
Si log3 a =x, expresa como función de x:
log3 27a
log3
a
81
log9 a
log3
27
a
Solución:
log3 27  log3 a  3  x
log3 a log3 81  x  4
x
log 3 a
x
 2 
log 3 9
2 4
log3 27  log3 a  3  x
8
Racionaliza:
25 3
4
6
4 2
3
16
5 3
3
6
Solución:
2  5 3  6
4
4
6 4 63
3
4 2 16 2
3
3

3
16 16 2
 5  3 6
3
3
3
6 62

2  5 3  6
4
3
6
4 2·22 3 4
 2·3 4
16
2

 5  3 6
3
2
6
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1
Da las aproximaciones por defecto por exceso y por redondeo con 1, 2, 3 y 4 cifras de:
3
2
=1,732058… y π = 9.869604…
Solución:
3
2
Defecto
Exceso
Redondeo
1
1,7
1,73
1,732
2
1,8
1,74
1,733
2
1,7
1,73
1,732
π2
Defecto
Exceso
Redondeo
9
9,8
9,86
9,869
10
9,9
9,87
9,870
10
9,9
9,87
9,870
Escribe y dibuja y nombra los siguientes intervalos:
a) - 3  x  0
b) - 4  x  -1
c) 0  x  3
d) - 1  x  2
Solución:
a) Abierto (-3,0)
b) Abierto por la izquierda (-4,-1]
c) Abierto por la derecha [0,3)
d) Cerrado [-1,2]
3
13
Expresa
, con 0, 1, 2, 3 y 4 cifras decimales:
a) Por defecto. ¿Qué error máximo se comete en cada término?
b) Por exceso. ¿Qué error máximo se comete en cada término?
Solución:
13  3,60555127...
a) Los términos y el error máximo que se comete al elegir cada término por defecto, se indican en la siguiente tabla:
Términos
3
3,6
3,60
3,605
3,6055
Error
unidad
décima
centésima
milésima
diezmilésima
b) Los términos y el error máximo que se comete al elegir cada término por exceso, se indican en la siguiente tabla:
Términos
4
3,7
3,61
3,606
3,6056
Error
unidad
décima
centésima
milésima
diezmilésima
4
Escribe y dibuja los siguientes intervalos:
a) x  1
b) - 1  x
c) 0  x
Solución:
 ,1
a)
 ,1
0,
 1,
b)
d) x  1
c)
d)
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5
8
En el diseño de un ingeniero aparece un triángulo equilátero cuyo lado mide
. Indica un procedimiento para
que el ingeniero pueda tomar la medida de la longitud de dicho lado y pintar el triángulo.
Solución:
Sobre la recta real se construye un triángulo rectángulo con dos unidades por longitud de cada uno de sus catetos, en el
que se puede comprobar que la hipotenusa mide
cortando la misma en dicha posición.
6
φ
8
. Se toma esta medida con un compás y se lleva sobre la recta real
1 5
2
El número áureo
, representa la relación entre la diagonal de un pentágono y su lado. Si el lado del
pentágono mide 5 cm. ¿Cuánto vale su diagonal?. Expresa el resultado por defecto, por exceso, y por redondeo
con 3 cifras decimales.
Solución:
Si llamamos “d” a la diagonal, se tiene:
d 1 5

5
2
 d
1  5 ·5  8,0901699...
Aproximación
3 cifras
7
2
Por defecto
8,090
Por exceso
8,091
Redondeo
8,090
Indica el intervalo que expresa el resultado de las siguientes operaciones:
a) - ,0  0,   
b) - ,0  0,   
c) - ,0  0,   
d) - ,-3   7  4  
Solución:
a) - ,0  0,     ,    0
b) - ,0  0,    0
c) - ,0  0,    0
d) - ,-3   7  4    ,3 
8
Calcula la longitud del ecuador sabiendo que el radio de la Tierra es 6370 km. Indica que aproximación tomarías
como correcta y el error absoluto y relativo que cometes.
Solución:
Aplicando la fórmula de la longitud de la circunferencia se tiene: L = 2 · π · r = 40.023.890 m
Aproximando el resultado en km. se tiene: 40.024 km.
Podemos despreciar 24 kilómetros frente a cuarenta mil, por tanto el resultado aproximado final sería 40.000 km.
El error absoluto cometido es 23,890 m y el relativo es 0,000597 = 0,0597%
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