Cuadernillo de Ejercicios 1

Básico
Texto de
revisión
y práctica
María Teresa Dittborn Baeza
Profesora de Estado en Matemáticas, Educación Media,
Pontifica Universidad Católica de Chile.
Magdalena Goldenberg Cánepa
Profesora de Estado en Matemáticas, Educación Media,
Pontifica Universidad Católica de Chile.
Agnes Gatica Jofré
Profesora de Estado en Matemáticas, Universidad de Chile.
Verónica Araneda Aranda
Profesora de Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile.
Magíster en Educación. Universidad Internacional SEK.
Carolina Henríquez Rivas
Profesora de Matemática y Computación, Universidad de Santiago de Chile.
Magíster en Didáctica de la Matemática, Pontificia Universidad Católica de Valparaíso.
El Texto de revisión y práctica Matemática 8º básico, es una obra colectiva, creada y diseñada por el
departamento de Investigaciones Educativas de Editorial Santillana, bajo la dirección general de:
MANUEL JOSÉ ROJAS LEIVA
Coordinación de proyecto:
Eugenia Águila Garay
Coordinación área Matemática:
Viviana López Fuster
Edición:
Javiera Setz Mena
Felipe Márquez Salinas
María Andrea Canals Cifuentes
Alejandro Sepúlveda Peñaloza
Carmen Muñoz Correa
Autoras:
María Teresa Dittborn Baeza
Magdalena Goldenberg Cánepa
Agnes Gatica Jofré
Verónica Araneda Aranda
Carolina Henríquez Rivas
Corrección de estilo:
Lara Hübner González
Documentación:
Paulina Novoa Venturino
Cristián Bustos Chavarría
La realización gráfica ha sido efectuada bajo la coordinación de:
Xenia Venegas Zevallos
Jefa de diseño área Matemática:
Mariela Pineda Gálvez
Diagramación:
Mariela Pineda Gálvez
María Elena Nieto Flores
Producción:
Germán Urrutia Garín
Quedan rigurosamente prohibidas, sin la autorización escrita de los titulares del “Copyright”, bajo las sanciones
establecidas en las leyes, la reproducción total o parcial
de esta obra por cual quier medio o procedimiento, comprendidos la reprografía y el tratamiento informático, y
la distribución en ejemplares de ella mediante alquiler o
préstamo público.
© 2012, by Santillana del Pacífico S.A. de Ediciones
Dr. Aníbal Ariztía 1444, Providencia, Santiago (Chile)
PRINTED IN CHILE
Impreso en Chile por WorldColor Chile S.A.
ISBN: xxx-xxx-xx-xxxx-x
Inscripción N°: xxx.xxx
Se terminó de imprimir esta 1a edición de xxx.xxx
ejemplares, en el mes de _________ del año 2012.
www.santillana.cl
Unidad 1: Números•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 6
Números naturales•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 8
Descomposición en factores primos,
múltiplos y divisores•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 10
Operaciones con números naturales••••••••••••••••••••• 12
Fracciones•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 14
Adición y sustracción de fracciones••••••••••••••••••••••• 16
Multiplicación y división de fracciones••••••••••••••••••• 18
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 20
Números decimales•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 22
Operaciones con números decimales•••••••••••••••••••• 24
Operaciones con fracciones
y números decimales•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 26
Razones y porcentajes como una fracción
o un número decimal•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 28
Cálculo de porcentajes
y variaciones porcentuales•••••••••••••••••••••••••••••••••• 30
Proporciones••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 32
Números enteros•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 34
Operaciones con números enteros•••••••••••••••••••••••• 36
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 38
Evaluación de síntesis de la unidad 1••••••••••••••••••••40
Unidad 2: Números y álgebra••••••••••••••••••••••••••••42
Concepto de potencia••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 44
Descomposición de números utilizando
potencias de 10••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 46
Multiplicación y división por
potencias de 10••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 48
Potencias de 10 con exponente entero•••••••••••••••••• 50
Multiplicación y división de potencias
de igual base o de igual exponente••••••••••••••••••••••• 52
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 54
Potencias de base fraccionaria o decimal
positiva y exponente natural••••••••••••••••••••••••••••••• 56
Multiplicación y división de potencias de base fraccionaria
o decimal positiva y exponente natural•••••••••••••••••• 58
Potencias de base entera
y exponente natural•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 60
Raíces cuadradas y teorema de Pitágoras•••••••••••••••• 62
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 64
Generalización de propiedades y valor
numérico de expresiones algebraicas•••••••••••••••••••• 66
Reconocimiento y reducción de expresiones
con términos semejantes••••••••••••••••••••••••••••••••••• 68
Traducción de expresiones del lenguaje
natural al simbólico••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 70
Ecuaciones de primer grado•••••••••••••••••••••••••••••••• 72
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 74
Evaluación de síntesis de la unidad 2•••••••••••••••••••• 76
Unidad 3: Geometría•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••78
Ángulos opuestos por el vértice y entre
paralelas cortadas por una transversal•••••••••••••••••••• 80
Ángulos en polígonos••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 82
Triángulos y sus elementos••••••••••••••••••••••••••••••••• 84
Ángulos y segmentos•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 86
Transformaciones, reflexiones y rotaciones•••••••••••••• 88
Teselaciones•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 90
Áreas de triángulos y paralelogramos•••••••••••••••••••• 92
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 94
Teorema de Pitágoras y su recíproco•••••••••••••••••••••• 96
Área y volumen de prismas rectos••••••••••••••••••••••••• 98
Área y volumen de pirámides•••••••••••••••••••••••••••• 100
Longitud de la circunferencia
y área del círculo•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 102
Área y volumen de cilindros y de conos•••••••••••••••• 104
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 106
Evaluación de síntesis de la unidad 3•••••••••••••••••• 108
Unidad 4: Datos y azar••••••••••••••••••••••••••••••••••• 110
Gráficos de líneas y barras múltiples•••••••••••••••••••• 112
Gráficos circulares••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 114
Análisis e interpretación de gráficos•••••••••••••••••••• 116
Tablas de frecuencias••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 118
Medidas de tendencia central•••••••••••••••••••••••••••• 120
Poblaciones y muestras•••••••••••••••••••••••••••••••••••• 122
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 124
Espacios muestrales y sucesos••••••••••••••••••••••••••• 126
Probabilidad teórica de un suceso•••••••••••••••••••••• 128
Sucesos seguros, probables
e imposibles••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 130
Probabilidades a partir
de datos empíricos••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 132
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 134
Evaluación de síntesis de la unidad 4•••••••••••••••••• 136
Unidad 5: Álgebra••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 138
Relación entre dos variables•••••••••••••••••••••••••••••• 140
Funciones, variables dependientes
e independientes••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 142
Relación de proporcionalidad directa••••••••••••••••••• 144
Relación de proporcionalidad inversa•••••••••••••••••• 146
Preparando el SIMCE•••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 148
Evaluación de síntesis de la unidad 5•••••••••••••••••• 150
Índice
Índice
Solucionario•••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••••• 152
Índice
3
Estructura del Texto
Páginas de inicio
Habilidades
En esta sección podrás conocer las habilidades que
desarrollarás con los ejercicios y problemas propuestos.
3. En la siguiente tabla se muestran los porcentajes
de personas que respondieron la pregunta: “¿Ha
consumido alcohol o tabaco el último mes?”,
en los años 2000 a 2008.
Para recordar
2000
En esta sección te presentamos un resumen
2004 2006 2008
de los
principales contenidos de la unidad.
2002
Alcohol 54,4
59,6
57,9
58,1
49,8
Tabaco
43,6
43,6
42,4
41,2
44
Cada página de desarrollo
comienza por ejercicios resueltos
paso a paso, que te servirán
para recordar lo que sabes y
podrás usarlos como modelo
para desarrollar los ejercicios y
problemas propuestos.
Marca la opción correcta en los ítems 4 al 6.
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no se puede
obtener de la tabla anterior?
A. El consumo de alcohol presentó una mayor
disminución que el consumo de tabaco.
B. Más personas consumen alcohol que tabaco.
C. El consumo de alcohol aumentó el año 2002.
D. El año 2004 disminuyeron los porcentajes de
personas que consumieron tabaco y alcohol.
5. En el gráfico se muestran las ventas realizadas
en una casa comercial, durante los seis primeros
meses del año 2011. ¿Cuál de las siguientes
alternativas es correcta?
Ventas del primer semestre
o
li o
ni
Ju
Ju
r il
ay
o
M
zo
ar
0
–5 000
III
V
VIII
X
XI
–10 000
–15 000
Fuente: INE. Síntesis de resultados Censo 2002. Consultado
en junio de 2011. En www.ine.cl
A. En la Quinta región de Valparaíso se registraron
más inmigraciones que emigraciones.
B. En la Undécima región de Aysén del General
Carlos Ibáñez del Campo la cantidad de inmigraciones fue similar a la de emigraciones.
C. En la Décima región de Los Lagos inmigraron
más hombres que mujeres.
D. En la Tercera región de Atacama fueron más las
mujeres que emigraron que las que inmigraron.
7. En la tabla se muestra la cantidad de alumnos de
8º básico con notas bajo 4 en Matemática.
Nº de alumnos con notas bajo 4
8º A
8º B
1
3
1
2
0
1
3
0
1
4
1
2
5
2
0
a. Realiza un gráfico de barras múltiples que
represente esta información usando una
planilla de cálculo.
b. ¿En qué curso hay más alumnos con notas
bajo 4?
c. Si en el 8º A hay 36 alumnos y en el 8º B hay
29, ¿en qué curso es mayor el porcentaje de
alumnos con notas bajo 4?
d. ¿En qué curso hay más alumnos con más de
dos notas bajo 4?
Cada vez que encuentres este recuadro
en un ejercicio o problema, te indicará
que es un desafío.
Ab
M
ro
A.
B.
C.
D.
re
ro
En
e
Podrás encontrar una variedad de ejercicios y problemas
que te permitirán revisar lo que sabes y practicarlo.
Fe
b
Ejercicios y problemas propuestos
800 000
700 000
600 000
500 000
400 000
300 000
200 000
100 000
0
Hombres
Mujeres
5 000
a. Realiza un gráfico de líneas que represente
esta información.
b. Realiza un gráfico de barras múltiples que
represente esta información.
c. En general, ¿más personas consumen tabaco
o alcohol?
d. ¿Qué tendencia se observa en el consumo de
tabaco a lo largo de los años?
e. ¿En qué años aumentó el porcentaje de personas
que consumió alcohol el último mes?
Ejercicios resueltos
15 000
10 000
Fuente: CONACE. Consultado en junio de 2011.
En www.conace.cl.
Páginas de desarrollo
6. El saldo migratorio es la diferencia entre las
inmigraciones y las emigraciones en una región
determinada. En el siguiente gráfico se muestran
los valores del saldo migratorio de algunas regiones
de Chile. ¿Cuál de las siguientes conclusiones no
se puede deducir del gráfico?
Las ventas mejoraron en febrero.
Las ventas comenzaron a subir en marzo.
Las ventas serán mejores en agosto.
En febrero no hubo ventas.
Unidad 4 – Datos y azar
4
Estructura del Texto
113
Unidad 4
Al comienzo de cada unidad
encontrarás dos páginas que
incluyen un esquema que
te ayudará a organizar los
contenidos que revisarás
y practicarás.
Estructura delÍndice
Texto
Preparando el SIMCE
Incluimos algunas preguntas de
tipo SIMCE, que te ayudarán a
ejercitar más y prepararte mejor.
Páginas de cierre
Evaluación de síntesis
de la unidad
En cada unidad encontrarás
estas páginas en las que podrás
autoevaluar los aprendizajes que
lograste en cada unidad, a través
de diversos tipos de ejercicios
y problemas.
Solucionario
Al final de tu texto encontrarás el
solucionario que te permitirá revisar
si tus respuestas son correctas.
Estructura del Texto
5
Unidad
1
Números
Resolución
de problemas
Números
naturales
Descomposición en
factores primos
mcm y mcd
Múltiplos y divisores
Divisibilidad
Lectura y escritura
Números
Fracciones
y números
decimales
Números
enteros
Relaciones de orden
y representación en
la recta numérica
Operaciones
Porcentaje
Razones
Variaciones
porcentuales
Proporciones
Habilidades
• Leer y escribir números enteros, fracciones positivas y números decimales positivos.
• Interpretar y comunicar información relativa a números enteros, fracciones positivas, números decimales
•
•
•
•
•
•
•
•
positivos, razones y porcentajes, en contextos diversos.
Formular, verificar conjeturas y resolver problemas que implican descomposición en factores primos y
cálculo de múltiplos, factores y divisores de números naturales.
Comparar y ordenar números enteros, fracciones positivas y números decimales positivos, y ubicarlos en la
recta numérica.
Formular y utilizar procedimientos de cálculo mental, escrito y con herramientas tecnológicas con números
enteros, fracciones positivas y números decimales positivos.
Resolver problemas que involucran la operatoria con números enteros, fracciones positivas y números
decimales positivos.
Utilizar las razones para comparar cantidades, calcular porcentajes y variaciones porcentuales en diversos
contextos y usar las proporciones para resolver problemas de variación proporcional.
Realizar transformaciones entre fracciones positivas, decimales positivos y porcentajes.
Analizar si un problema tiene solución en el conjunto de los números naturales.
Establecer estrategias para resolver divisiones de números enteros, determinar y verificar la relación
entre los elementos de una división y extender el algoritmo de la división de los números naturales a los
números enteros.
P ara recordar
• Los números sirven para expresar distinto tipo
de información y pueden usarse para identificar,
ordenar o cuantificar.
• El conjunto de los números naturales tiene un
número infinito de elementos. Se simboliza por
N y se representa por: N = {1, 2, 3, 4, … }.
6
Unidad 1 – Números
• El conjunto de los números enteros está
compuesto por los números naturales, el cero
y los números negativos. Se simboliza por Z y se
representa por: Z = {… –3, –2, –1, 0, 1, 2, 3… }.
• En la recta numérica, un número natural, entero,
•
fracción o decimal, es mayor que todos los
números que están a su izquierda y es menor
que cualquier número que esté a su derecha.
Cuando se multiplica un número natural por
cada uno de los números naturales, se obtienen
los múltiplos del número.
Los divisores de un número natural son aquellos
que lo dividen en forma exacta. Aquellos números mayores que 1 que tienen solo 2 divisores
y distintos entre sí, el 1 y el mismo número, se
llaman números primos. Los que tienen más de
dos divisores se llaman números compuestos.
Todo número compuesto se puede escribir como
multiplicación de dos o más números primos,
esta se llama descomposición en factores primos.
El mínimo común múltiplo (mcm) es el menor de
los múltiplos comunes entre dos o más números.
El máximo común divisor (mcd) es el mayor de
los divisores comunes entre dos o más números.
Para ordenar fracciones, se puede utilizar la
relación
•
•
•
•
•
a < c si y solo si ad < bc.
b d
• Para sumar o restar fracciones se pueden
•
•
•
•
•
amplificar o simplificar para obtener fracciones
equivalentes que tengan igual denominador.
Luego se suman o restan los numeradores, según
corresponda, y se conserva el denominador.
El producto de dos o más fracciones es una fracción
cuyo denominador corresponde al producto
entre sus denominadores, y el numerador es el
producto entre sus numeradores.
Para dividir una fracción por otra fracción, se
multiplica la primera fracción por el recíproco
de la segunda.
Toda fracción se puede transformar en un
número decimal, calculando la división entre su
numerador y su denominador.
Para ordenar números decimales se compara
primero la parte entera de cada número decimal
y después uno a uno los dígitos decimales
correspondientes a cada posición, en la parte
decimal, comenzando por la de mayor valor
(décimos), hasta que una de ellas sea menor o
mayor que la otra.
Para sumar y restar números decimales, se
ordenan de manera que la coma decimal quede
en la misma posición. Luego, se suman o restan
como si fueran números naturales, escribiendo
posteriormente la coma donde corresponda en
el resultado.
• Para multiplicar números decimales, se deben
multiplicar como si fueran números naturales y
en el producto escribir la coma según la cantidad de cifras decimales que tengan en total
ambos factores.
• En la división de números decimales se puede
multiplicar el dividendo y el divisor por una
potencia de 10, de modo que se obtenga una
división equivalente a la original, la que tendrá
el mismo cociente.
• Se llama razón a la comparación por cociente
entre dos cantidades a y b cualesquiera. La razón
entre a y b se puede expresar como a : b o bien
a y se lee “a es a b”, donde a es el antecedente
b
y b, el consecuente.
• El valor de la razón es el cociente entre las
cantidades.
• El porcentaje es una comparación por cociente en
que se compara con 100, por lo que se representa
con una fracción cuyo denominador es 100.
• Una proporción es una igualdad entre dos o más
razones. La proporción entre las cantidades a, b, c y
d se puede expresar a : b = c : d, o bien, a = c
b d
y se lee “a es a b como c es a d”.
• En toda proporción se cumple que: a = c si y
b d
solo si a · d = b · c.
• Para sumar números enteros de igual signo, se
suman sus valores absolutos y se conserva el signo.
Si son de distinto signo, restamos sus valores
absolutos y, al resultado, le asignamos el signo
del número de mayor valor absoluto.
• Para restar dos números enteros, se suma al minuendo el opuesto del sustraendo. Por ejemplo:
–4 – (–1) = –4 + (+1) = –3.
• Para multiplicar o dividir números enteros, se
deben multiplicar o dividir sus valores absolutos
y al resultado anteponer el signo + si los factores tienen el mismo signo, o el signo – si tienen
distinto signo.
• Si la división entre dos números enteros es
inexacta se procede según el algoritmo de la
división: el dividendo es igual al divisor por el
cociente más el resto o residuo. El resto es mayor
que cero y menor que el valor absoluto del divisor.
Unidad 1 – Números
7
Números naturales
Ejercicios resueltos
1. El total recaudado en la Teletón del año 2008 fue $ 22 533 294 849. ¿Cómo se lee el número anterior?
El número se puede descomponer de la siguiente manera:
22 533 000 000 se lee veintidós mil quinientos treinta y tres millones.
294 000 se lee doscientos noventa y cuatro mil.
849 se lee ochocientos cuarenta y nueve.
Por lo tanto, el número 22 533 294 849 se lee veintidós mil quinientos treinta y tres millones doscientos noventa
y cuatro mil ochocientos cuarenta y nueve.
2. Escribe el número que corresponde a la siguiente descomposición:
8 UMi + 2 CM + 9 DM + 1 UM + 9 D + 5 U
Si escribimos el valor de cada número, según su posición, obtenemos:
8 000 000 + 200 000 + 90 000 + 1 000 + 90 + 5 = 8 291 095
3. Los radios aproximados de algunos planetas del sistema solar son: Tierra, 6 371 000 m; Venus, 6 051 800 m;
Mercurio, 2 439 700 m y Marte, 3 389 500 m. Ordena los planetas mencionados del más pequeño al más grande.
Si comparamos los números considerando el dígito de la unidad de millón, nos damos cuenta de que el número
más pequeño corresponde al radio de Mercurio, seguido de Marte, Venus y la Tierra.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Escribe con palabras los siguientes números.
a.
1 256 879
b.
3 709 023
c.
12 578 900
d.
134 612 004
e.
645 876 245
f.
2 502 003 603
g. 24 657 120 032
h. 176 890 116 754
2. Escribe el número que corresponda en cada caso.
a. Siete millones trescientos cincuenta y cuatro
mil doscientos nueve.
b. Nueve millones doscientos cuatro mil seis.
c. Ochocientos ochenta millones ochocientos
treinta mil quinientos noventa y seis.
d. Tres mil cuatrocientos noventa y cuatro
millones siete.
e. Mil veintinueve millones setecientos sesenta
y dos mil novecientos treinta y cinco.
f. Sesenta y tres mil doscientos ocho millones
cuatrocientos setenta y dos mil ochenta y siete.
g. Quinientos setenta y cinco mil trescientos
doce millones ciento sesenta y ocho mil
cuatrocientos cincuenta.
8
Unidad 1 – Números
3. Identifica el valor que representa el dígito 1 en
cada uno de los siguientes números.
a. 231 567
b. 1 006 435
c. 4 456 781
d. 83 457 914
e. 13 296 703
f. 215 369 802
4. ¿Cuál es el número cuya descomposición es:
3 UMi + 5 UM + 6 C + 4 D + 3 U? Marca la
opción correcta.
A. 3 050 643
B. 3 500 643
C. 3 005 643
D. 3 056 043
5. Escribe el número correspondiente a cada una de
las siguientes descomposiciones.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
1 UMi + 6 CM + 4 DM + 6 C + 3 U
3 UMi + 5 CM + 7 DM + 9 UM
8 UMi + 7 CM + 5 DM + 9 UM + 4 C + 2 U
9 DMi + 7 UMi + 8 DM + 4 UM + 3 D + 1 U
4 · 1 000 000 + 5 · 100 000 + 3 · 1 000 + 2 · 100
7 · 1 000 000 + 9 · 10 000 + 3 · 100 + 4 · 1
6. ¿Cuál de los siguientes números es mayor que
4 690 730? Marca la opción correcta.
A. 4 096 740
B. 4 690 703
C. 4 609 780
D. 4 906 700
a.
134 987
b.
2 347 098
c.
4 546 781
d.
546 908 213
e.
502 547 020
f.
1 024 684 213
g. 23 798 607 321
h. 156 847 820 001
123 988
3 247 098
4 456 799
54 698 213
547 502 020
1 024 684 213
23 798 670 321
156 847 001 820
8. Construye en cada caso una recta numérica y ubica
en ella los siguientes grupos de números.
a.
b.
c.
d.
1 000 000 – 5 000 000 – 7 000 000
2 100 000 – 2 300 000 – 2 400 000
41 250 000 – 41 500 000 – 41 650 000
14 600 000 – 15 000 000 – 15 100 000
9. Utilizando los dígitos 0, 1, 3, 4, 6, 7 y 9, sin
repetirlos, determina:
a. el número mayor que se puede formar.
b. el número menor que se puede formar.
c. el número menor de siete cifras que se
puede formar.
d. ¿Coinciden los resultados que obtuviste en
las preguntas b y c?, ¿por qué?
10.Utilizando los diez dígitos y sin repetirlos
determina el número mayor que se puede
formar. Luego, responde.
a. ¿Cómo se escribe el número que formaste,
usando cifras?
b. ¿Cómo se escribe con palabras el número
que formaste?
c. ¿Qué valor representa el dígito 5 en
este número?
d. ¿Qué dígito ocupa la posición de la unidad
de millón?
11.Utilizando los diez dígitos y sin repetirlos,
determina el menor número de diez cifras que
se puede formar. Luego, responde.
a. ¿Cómo se escribe el número que formaste,
usando cifras?
b. ¿Cómo se escribe con palabras el número
que formaste?
c. ¿Qué valor representa el dígito 8?
d. ¿Qué dígito ocupa la posición de la centena
de millón?
e. ¿Qué dígito ocupa la posición de la UMMi?
Unidad 1
7. Compara los números y completa usando los
signos >, < o =, según corresponda:
12.En una campaña de solidaridad, el colegio Santa
Teresa logró recaudar $ 3 567 231, mientras que
el colegio Los Alerces reunió $ 3 675 123.
a. ¿En qué colegio se reunió más dinero?
b. ¿Qué valor representa el dígito 6 en los
números anteriores?
13.La siguiente tabla muestra la superficie de
algunos países latinoamericanos.
País
Superficie (km2)
Perú
1 285 215
Argentina
2 780 400
Bolivia
1 098 581
a. Construye una recta numérica donde se
representen los números de la tabla,
redondeados a la centena de mil.
b. ¿Cuál de los tres países tiene la mayor superficie?,
¿cómo lo supiste?
14.La siguiente tabla muestra la distancia entre
algunos planetas y el Sol.
Planeta
Tierra
Mercurio
Distancia del Sol (km)
149 598 262
57 909 227
Marte
227 943 824
Júpiter
778 340 821
Venus
108 209 475
Fuente: NASA, en: http://solarsystem.nasa.gov/index.cfm.
Consultado en julio de 2011.
a. ¿Cuál es el planeta más lejano al Sol?, ¿y el
más cercano?
b. Ordena los nombres de los planetas de
acuerdo a su distancia del Sol, del más
cercano al más lejano.
15.Un número capicúa es aquel que se lee igual de
derecha a izquierda que de izquierda a derecha.
Por ejemplo, el 23 632 es un número capicúa.
a. Escribe 5 números capicúas de 7 cifras.
b. Joaquín piensa en un número capicúa de
7 cifras, menor que 2 000 000 y que cumple las
siguientes características: el dígito de las centenas es el triple que el de las decenas, el dígito
de las decenas es el doble que el de la unidad
de millón y el dígito de la unidad de mil es el
cuádruple que el de la centena de mil. ¿Cuál es
el número pensado por Joaquín?
Unidad 1 – Números
9
Descomposición en factores primos, múltiplos y divisores
Ejercicios resueltos
1. Determina el máximo común divisor (mcd) y el mínimo común múltiplo (mcm) entre los números 12, 18 y 30.
Una estrategia es descomponer los números en sus factores primos:
12
2
18
2
30
2
6
2
9
3
15
3
3
3
3
3
5
5
1
1
1
Luego, la descomposición en factores primos de los números 12, 18 y 30 es:
12 = 2 · 2 · 3
18 = 2 · 3 · 3
30 = 2 · 3 · 5
Para calcular el mcm entre los números 12, 18 y 30 consideramos todos los factores primos que estén en alguna
de las descomposiciones, en este caso el 2, el 3 y el 5. Además, nos fijamos en cuál descomposición se repite la
mayor cantidad de veces cada factor. En el ejercicio planteado, el 2 se repite dos veces, el 3 se repite dos veces y
el 5 se repite una vez. Lo que significa que: mcm(12, 18, 30) = 2 · 2 · 3 · 3 · 5 = 180.
Para calcular el mcd entre los números 12, 18 y 30 consideramos los factores primos que estén en todas
las descomposiciones, en este caso el 2 y el 3. Además, nos fijamos en cuál descomposición se repite la menor
cantidad de veces cada factor. En este caso, el 2 se repite una vez y el 3 se repite una vez. Lo que signifca que:
mcd(12, 18, 30) = 2 · 3 = 6.
2. Un comerciante debe viajar a una ciudad cada 6 días, otro lo hace cada 8 días y un tercer comerciante, cada
12 días. Si hoy los tres coincidieron en el terminal de buses, ¿dentro de cuántos días volverán a viajar los tres
a la misma ciudad?
Este problema equivale a hallar el mínimo común múltiplo entre los números 6, 8 y 12. Representamos los
múltiplos de dichas cantidades de la siguiente manera.
Los múltiplos de 6 son: 6, 12, 18, 24, 30, 36, …
Los múltiplos de 8 son: 8, 16, 24, 32, 40, 48, …
Los múltiplos de 12 son: 12, 24, 36, 48, 60,…
Observa que el múltiplo de menor valor que es común a 6, 8 y 12 es el 24, lo que significa que en 24 días más los
tres comerciantes volverán a viajar a la misma ciudad.
Ejercicios y problemas propuestos
1. ¿Cuál de los siguientes números no es divisor
de 84? Marca la opción correcta.
A. 14
B. 16
C. 21
D. 28
2. ¿Cuál de los siguientes números es múltiplo de
13? Marca la opción correcta.
A. 42
B. 91
C. 75
D. 69
3. Escribe, de todas las formas posibles, el número
144 como el producto de dos factores.
10
Unidad 1 – Números
4. Determina los siete primeros múltiplos de los
siguientes números.
a. 3
b. 8
c. 9
d. 12
e. 14
f. 17
5. Determina todos los divisores de cada uno de los
siguientes números.
a. 33
b. 27
c. 32
d. 65
e. 54
f. 72
7. Escribe, de todas las formas posibles, el número
210 como el producto de tres factores, distintos
de 1.
8. En la siguiente tabla marca con una X si los
números de la primera columna son divisibles
por 2, 5 o 9, según corresponda.
2
5
9
75
315
3 780
157 902
9. ¿Cuál de los siguientes números es primo? Marca
la opción correcta.
C. 21
D. 26
10.Escribe todos los números primos entre 20 y 40.
11.Escribe el número 14 como la suma de tres
números primos.
12.A excepción del 2, ¿por qué no existen otros números primos que sean pares? Justifica tu respuesta.
13.Escribe la descomposición en factores primos
de los siguientes números.
e.
f.
g.
h.
428
720
981
1 200
14.Determina el máximo común divisor entre los
siguientes números.
a.
b.
c.
d.
9 y 33
18 y 27
16, 32 y 72
12, 24 y 42
16.Un número se dice “perfecto” si la suma de todos
sus divisores es igual al doble de dicho número.
Por ejemplo, el número 6 es perfecto, pues
1 + 2 + 3 + 6 = 12. ¿Cuál de los siguientes
números es perfecto? Marca la opción correcta.
C. 36
D. 48
18.Resuelve los siguientes problemas.
26 876
12
85
200
584
d. 8, 18 y 36
e. 12, 15 y 18
f. 8, 10, 15 y 20
a. ¿cuál es el máximo número de arreglos que
Laura puede hacer, usando todas las flores?
b. ¿cuántas flores de cada tipo puede poner
Laura en cada arreglo?
180
a.
b.
c.
d.
a. 4 y 6
b. 8 y 12
c. 12, 16 y 24
17. Laura tiene 8 rosas, 12 tulipanes y 36 claveles.
Si desea hacer arreglos florales idénticos:
864
A. 15
B. 17
15.Determina el mínimo común múltiplo entre los
siguientes números.
A. 24
B. 28
49
Unidad 1
6. Escribe, de todas las formas posibles, el número
64 como el producto de dos factores distintos.
e.
f.
g.
h.
15, 40 y 65
24, 30 y 54
16, 18, 20 y 36
9, 12, 24 y 36
a. Daniel piensa embaldosar el piso de su cocina
que mide 250 cm por 350 cm. Para esto,
decide comprar baldosas cuadradas. ¿Cuál es
el área máxima de cada baldosa de modo que
se pueda cubrir totalmente el piso de la cocina
sin tener que cortar ninguna?
b. Los buses a Valparaíso salen de la estación
cada 15 minutos; los buses a Zapallar, cada
40 minutos, y los buses a La Calera, cada
20 minutos. Si los tres buses salen a las 21:00 h,
¿volverán a salir durante ese día los tres buses
a la misma hora? Justifica tu respuesta.
c. Maribel tiene dos tipos de perfumes: uno en
un frasco de 32 mL y el otro, en uno de 24 mL,
ambos llenos. Si decide combinar ambos
perfumes, vertiendo la misma cantidad de
cada uno en diferentes frascos, ¿en cuántos
frascos, como máximo, podría combinar
los perfumes?
19.El máximo común divisor de dos números
diferentes es 43. ¿Qué números son, si ambos
tienen dos cifras?
20.Determina dos números de tres cifras cuyo
producto es igual a 555 555.
21.¿Cuántos números positivos menores que
100 tienen solo tres divisores?, ¿cuáles son
esos números?, ¿qué tienen en común?
Unidad 1 – Números
11
Operaciones con números naturales
Ejercicios resueltos
1. Fernanda compró un departamento por $ 12 580 600. Si dio un pie de $ 3 850 000 y el resto lo pagará en
50 cuotas iguales, sin interés, ¿cuál será el valor de cada cuota?
Calculamos el total que Fernanda tendrá que pagar después de haber cancelado el pie:
12 580 600 – 3 850 000 = 8 730 600
Entonces, Fernanda deberá cancelar $ 8 730 600, en 50 cuotas iguales. Luego, el valor de cada cuota será:
8 730 600 : 50 = 174 612
Por lo tanto, cada cuota será de $ 174 612.
2. Según el último censo realizado en nuestro país, la Región de Valparaíso tenía 321 710 habitantes menos
que la del Biobío. Si la población total de la Región del Biobío era de 1 861 562 habitantes, ¿cuántas personas
vivían en la Región de Valparaíso?
Para calcular la cantidad de habitantes que vivía en la Región de Valparaíso calculamos:
1 861 562 – 321 710 = 1 539 852
Luego, en la Región de Valparaíso vivían 1 539 852 personas.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula en forma mental los siguientes ejercicios.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
1 500 000 + 2 300 000 =
2 350 000 + 13 700 000 =
6 850 000 – 2 150 000 =
12 560 000 – 6 110 000 =
1 500 ∙ 100 =
2 400 000 · 60 =
12 000 000 : 500 =
7 200 000 : 20 =
2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
378 654 + 1 789 341 =
23 574 560 + 3 670 234 =
6 113 027 – 569 974 =
7 219 989 – 5 639 946 =
4 113 650 + 483 722 – 3 493 751 =
2 942 652 – 1 009 450 + 496 005 =
3. Resuelve las siguientes multiplicaciones
y divisiones.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
12
233 008 ∙ 15 =
121 ∙ 2 100 =
7 120 472 ∙ 381 =
6 720 560 : 40 =
8 775 000 : 450 =
2 122 230 : 654 =
2 000 · 45 : 25 =
123 · 65 : 5 =
23 211 : 9 · 4 =
Unidad 1 – Números
4. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
(672 + 15) ∙ 200 =
536 341 – 265 · 14 =
12 · 64 + 388 : 4 =
32 · (326 – 121) + 5 865 =
12 487 + 15 543 ∙ 300 – 900 : 300 =
10 001 ∙ 200 – 600 ∙ 303 + 92 894 =
2 500 : 500 + 704 ∙ 100 – 10 000 : 100 =
5. ¿Qué número es cuatro unidades de millón mayor
que 450 050 400? Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
450 050 408
450 054 400
454 050 400
850 050 400
6. Si en una adición uno de los sumandos es
64 876 210 y la suma es 184 710 227, ¿cuál es
el valor del otro sumando? Marca la opción
correcta.
A. 119 834 017
B. 119 834 117
C. 249 586 347
D. 249 586 437
7. Si en una adición la suma es 6 987 456 y uno de
los sumandos es 1 667 892, ¿cuál es el
otro sumando?
8. Si en una sustracción la diferencia es 3 567 612 y
el sustraendo, 8 091 254, ¿cuál es el minuendo?
10.Resuelve las siguientes situaciones, utilizando
una calculadora.
a. Si en una multiplicación el producto es
128 773 120 y uno de los factores es 1 024,
¿cuál es el otro factor?
b. Si en una división exacta el cociente es 1 907
y el divisor 2 806, ¿cuál es el dividendo?
c. Si en una división exacta el cociente es 2 011
y el dividendo, 1 693 262, ¿cuál es el divisor?
11.Si el cociente de la división a : b es c y su resto es
d, ¿cuál de las siguientes igualdades es correcta?
Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
a = bc + d
a = cd + b
b = ad + c
b = ac + d
12.Si en una división el cociente es 290, el divisor es
38 y el resto es 24, ¿cuál es el dividendo?
13.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A. En una división inexacta el resto siempre es
distinto de cero.
B. El divisor es igual al producto entre el dividendo
y el cociente, más el resto.
C. Si el dividendo es mayor que el divisor, el resto
siempre es distinto de cero.
D. El dividendo es igual al producto entre el
divisor con el cociente, menos el resto.
14.¿Cuál de las siguientes expresiones tiene el mismo
resultado que: 365 214 · (214 874 + 2 654 875)?
A.
B.
C.
D.
365 214 · 214 874 + 2 654 875
365 214 · 2 654 875 + 214 874
365 214 · 214 874 + 365 214 · 2 654 875
365 214 + 214 874 · 2 654 875
15.¿Qué propiedad se puede utilizar para responder
la pregunta anterior sin hacer ningún cálculo?
A. Conmutativa de la adición.
B. Asociativa de la multiplicación.
C. Distributiva de la multiplicación respecto
de la adición.
D. Elemento neutro de la multiplicación.
16.Si en una multiplicación uno de los factores es
igual al producto, ¿cuál es el otro factor?
Unidad 1
9. Si en una sustracción el minuendo es 7 329 897 y
la diferencia, 3 189 675, ¿cuál es el sustraendo?
17. En la Teletón del año 2008 se reunió en total
$ 22 533 294 849, de los cuales $ 17 314 939 820
fueron aportes públicos y el resto, de empresas.
Usando tu calculadora, determina cuánto dinero
en total donaron las empresas.
18.En una empresa, 52 800 manzanas son almacenadas en cajas de 44 unidades.
a. ¿Cuántas cajas se necesitan para almacenar
todas las manzanas?
b. Si cada caja se vende a $ 1 200, ¿cuánto
dinero se obtiene al vender todas las cajas?
19.Don Raúl tiene un vehículo que gasta, en promedio,
1 L de combustible cada 12 km recorridos.
Si un día recorrió 60 km en su vehículo:
a. ¿cuántos litros de combustible utilizó?
b. ¿cuánto dinero aproximadamente gastó
en bencina, sabiendo que el valor del litro
es $ 702?
20.Resuelve los siguientes problemas.
a. Felipe dice que el resultado de la expresión
4 500 + 500 ∙ 500 es 2 500 000. Laura dice que
es 254 500. ¿Quién dice lo correcto? Explica.
b. María es capaz de leer 420 palabras por
minuto. Si un día leyó durante media hora en
la mañana y tres cuartos de hora en la tarde,
¿cuántas palabras pudo leer, en total, ese día?
c. En un almacén, 1 kg de pan cuesta $ 790
y 1 L de leche, $ 510. Si Ana compró 5 kg
de pan y 3 L de leche, ¿cuánto dinero
gastó, aproximadamente?
d. Si una máquina imprime 6 páginas por minuto,
¿cuántas horas se demoraría en imprimir
720 páginas?
e. Sara compró varias bebidas a $ 350 cada una.
Si pagó con un billete de $ 5 000 y recibió
$ 1 150 de vuelto, ¿cuántas bebidas compró?
f. Para atraer más clientes, una automotora
hace un descuento de $ 1 250 000 por cada
camioneta que se cancele al contado. ¿Cuál
es el precio que cancelaría Jorge si quisiera
comprar una camioneta de $ 8 230 650
al contado?
g. Para comprar un auto, Martín debe pagar un
pie de $ 3 555 800 y el resto, cancelarlo en
36 cuotas de $ 149 000. ¿Cuánto tiene que
pagar en total por el auto?
Unidad 1 – Números
13
Fracciones
Ejercicios resueltos
1. ¿Qué fracción del total de letras del abecedario son vocales?, ¿qué fracción son consonantes?
Consideramos las 27 letras del abecedario: A, B, C, D, E, F, G, H, I, J, K, L, M, N, Ñ, O, P, Q, R, S, T, U, V, W, X, Y, Z.
Del total de letras, solo 5 son vocales (A, E, I, O, U).
Por lo tanto, un 5 del abecedario son vocales.
27
Si hay 5 vocales, entonces hay 22 consonantes. Esto significa que un 22 del abecedario son consonantes.
27
2. Anita estudió para su prueba 1 1 h el día lunes, 1 3 h el martes y 1 5 h el miércoles. ¿Qué día estudió la
2
4
8
mayor cantidad de horas?
Para solucionar el problema necesitamos comparar las fracciones dadas. Una estrategia consiste en convertir
cada número mixto a fracción impropia, a continuación, buscar fracciones equivalentes a las dadas de modo
que todas queden con el mismo denominador y, finalmente, comparar los numeradores.
Al transformar los números mixtos 1 1 , 1 3 y 1 5 a fracción impropia se obtienen, respectivamente: 3 , 7 y
2 4
8
2 4
13 . Luego, podemos amplificar la primera fracción por 4 y la segunda, por 2. Así nos queda: 12 , 14 y 13 .
8
8 8
8
En consecuencia, el día que Anita estudió la mayor cantidad de horas fue el martes.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Escribe con palabras las siguientes fracciones.
a. 1 3
e. 12
100
b. 5 7
f. 1 6
9
c. 8 10
g. 5 35
42
d. 13 12
h. 3 18
19
2. ¿Cómo se escribe la fracción “doce séptimos”?
Marca la opción correcta.
A. 1 2 C. 12
7
7
1
12
B. 12 D.
7
17
3. Representa las siguientes fracciones en su
forma numérica.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
14
Tres octavos.
Siete sextos.
Doce séptimos.
Quince décimos.
Veintinueve diecinueveavos.
Tres enteros un cuarto.
Siete enteros quince dieciochoavos.
Dos enteros trece milésimos.
Unidad 1 – Números
4. Observa la figura y responde.
a. ¿Qué fracción del total de globos son azules?
Represéntalo con cifras.
b. ¿Qué fracción del total de globos son verdes?
Escríbelo con palabras.
5. Representa los siguientes números mixtos como
fracciones impropias.
a. 4 3 7
c. 13 1
4
b. 2 7 9
d. 7 18
19
6. En cada caso, determina 3 fracciones equivalentes
a cada fracción dada.
a. 5 9
c. 18
32
b. 14 21
d. 3 3
15
A. 73 54
B. 115 23
C. 37
111
D. 187
17
8. En cada caso, simplifica hasta obtener una
fracción irreductible.
a. 4 12
b. 18 24
c. 72 54
d. 56
49
e. 1 15
27
f. 2 3
15
a. Mónica y Eduardo fueron al almacén a
10.Compara las siguientes fracciones, utilizando los
signos >, < o =, según corresponda.
5
8
a. 1
g. 2 1
6
6
2
3
b. 4
7
3
7
h. 7
6
11
6
c. 4
3
4
9
i. 8
12
14
8
d. 1
8
1 7
j. 1 1
5
21
3
e. 3
4
4 3
k. 3 5
7
39
11
f. 11
4
15 6
l. 7 3
8
76
16
Marca la opción correcta en los ítems 11 y 12.
11.¿Qué fracción está representada por el punto P?
P
A. 3 4
B. 7 8
13.En cada caso, representa en una recta numérica
las fracciones dadas.
a. 3 , 5 y 7
8 8 8
b. 3 , 1 1 , 1 3 y 1
5 5 5 5
c. 2 , 5 , 5 y 1
3 6 3 6
d. 1 1 , 7 , 3 y 1 1
4 8 4
8
1
3
5
7
e.
, , y
3 4 6 12
14.Resuelve los siguientes problemas.
9. ¿Cuál de las siguientes fracciones es mayor
que 5 ? Marca la opción correcta.
6
1
A. C. 7
2
8
3
10
B. D.
4
12
2
Unidad 1
7. ¿Cuál de las siguientes fracciones es irreductible?
Marca la opción correcta.
3
C. 2 3
8
11
D.
4
12.¿Cuál de las siguientes fracciones se encuentra
ubicada entre 2 y 3, en la recta numérica?
A. 25 C. 35
17
11
B. 15 D. 13
8
5
comprar una bebida. Mónica compró una
botella de 2 1 L y Eduardo, una de 2 1 L.
2
4
¿Quién compró más bebida?, ¿por qué?
b. Florencia ha completado los 2 de su experi7
mento del laboratorio. Por otra parte, Sofía ha
completado 1 del mismo experimento.
5
¿A cuál de las dos le falta más para terminar
el experimento?
c. Mariana y Emilio caminan por la misma calle
para ir a la escuela. Si comenzaron en el mismo
punto y a Emilio le falta 1 del camino y a
4
Mariana, 1 , ¿a quién le falta menos para
5
llegar a la escuela?
d. La familia Rosales consume, en una semana,
1 1 kg de manzanas, 5 kg de plátanos,
2
3
1
5
1 kg de peras y kg de naranjas.
5
2
¿Cuál es la fruta que más consumen?,
¿cómo lo supiste?
15.¿Qué fracción de los números enteros positivos
menores que 30 son primos?
16.¿Qué fracción de los números enteros positivos
menores que 2 011 son divisibles por 2?
17. La fracción de los números enteros positivos
menores que 2 012 que son divisibles por 5,
¿es mayor o menor que 1 ? Justifica.
5
Unidad 1 – Números
15
Adición y sustracción de fracciones
Ejercicios resueltos
1. Resuelve: 7 + 9 – 1 .
4 6 5
Calculamos el mcm entre los denominadores y obtenemos: mcm(4, 6, 5) = 60.
Amplificamos cada fracción de modo que, en cada caso, se obtenga una fracción equivalente. Luego, nos queda:
7 · 15 + 9 · 10 – 1 · 12 = 105 + 90 – 12 = 183 = 61
4 · 15 6 · 10 5 · 12 60 60 60 60 20
2. Un periódico dedica 2 de su contenido a información, 3 a artículos de opinión y el resto a publicidad.
5
8
¿Qué fracción corresponde a publicidad?
Calculamos la fracción del diario dedicada a información y artículos de opinión:
2 + 3 = 2 · 8 + 3 · 5 = 16 + 15 = 31
5 8 5 · 8 8 · 5 40 40 40
Luego, la fracción del diario dedicada a publicidad corresponde a la diferencia entre la unidad y 31 , es decir:
40
1 – 31 = 40 – 31 = 9
40 40 40 40
Por lo tanto, un 9 del periódico está dedicado a publicidad.
40
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula mentalmente las siguientes adiciones y
sustracciones y escribe el resultado.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
1 + 3 =
5 5
3 – 2 =
7 7
7 + 9 + 1 =
13 13 13
5 – 2 + 4 =
7 7 7
3 + 8 =
5 10
12 – 1 =
9 3
1– 3 =
4
23 – 2 =
3
2. Resuelve las siguientes adiciones.
a. 4 + 3 =
7 5
b. 7 + 3 =
6 2
c. 1 + 1 + 5 =
3 4
d. 7 + 8 + 5 =
3 9 12
e. 2 6 + 5 =
7 12
f. 3 2 + 4 1 + 12 + 2 =
8
2
3
16
Unidad 1 – Números
3. Resuelve las siguientes sustracciones.
a. 2 – 5 =
9
9
b.
– 1 =
4 3
c. 18 – 2 – 2 =
5 3 10
1
d.
– 1 – 1 =
2 3 6
e. 3 7 – 1 5 =
12
6
1
1
f. 1 – – 5 =
4 6 18
4. Resuelve los siguientes ejercicios combinados.
a.
( 52 – 53 ) + 13 =
b. 3 + 3 – 5 =
7
4
1
7
c.
+
+11 =
16 16
2
d. 1 – 3 – 1 =
5 4
e. 1 1 – 5 + 1 =
4
8 4
2
1
f.
–
+ 1 + 1 =
3 2
4 6
g. 3 1 + 2 4 – 4 – 1 =
5
10
3
h. 3 6 + 5 1 – 2 3 + 1 =
7
2
8
(
(
(
)
) (
)
)
5. Si en una adición uno de los sumandos es 9 y la
5
suma es 13 , ¿cuál es el valor del otro sumando?
6
A. 9 C. 109
30
30
11
119
B.
D.
30
30
6. Si en una sustracción el sustraendo es 1 y la
2
diferencia es 1 , ¿cuál es el valor del minuendo?
16
A. 0
C. 7
16
2
B.
D. 9
18
16
7. Diego tomó 1 L de leche en la mañana, 3 L en
4
7
la tarde, y por la noche tomó 1 L. ¿Cuánta leche
2
tomó en total durante ese día?
La tercera parte de las flores son lilas.
Hay más rosas que claveles.
Hay más lilas que claveles.
Hay igual cantidad de lilas que de rosas.
9. Si con tres vasos de 1 L y dos de 1 L se llena una
5
4
botella hasta la mitad, ¿cuál es la capacidad de
la botella?
C. 11 L
5
11
D.
L
10
10.Al sumar dos fracciones propias, el resultado:
A.
B.
C.
D.
a. ¿Cuál es el día en que Verónica trabaja
más horas?
b. ¿Cuántas horas trabaja Verónica a la semana?
c. ¿Cuántas horas más trabaja el miércoles que
el jueves?
12.Resuelve los siguientes problemas.
a. Un CD tiene grabada una canción que dura
2 1 minutos, otra que dura 3 3 minutos, otra
2
4
de 4 1 minutos, y otra de 4 2 minutos. ¿Cuántos
6
3
minutos de música hay grabados en total en
el CD?
de hacer sus deberes a las 18:00 h?, ¿por qué?
8. Del total de flores que hay en un jardín, 1 son
6
rosas, 2 son claveles y el resto, lilas. ¿Cuál de las
3
siguientes afirmaciones es verdadera?
A. 5 L
9
10
B.
L
9
11.Verónica distribuye su horario de trabajo de la
siguiente manera: el lunes trabaja 6 1 h, el martes
4
trabaja 5 1 h, el miércoles, 4 3 h, el jueves, 3 1 h
2
4
3
y el viernes trabaja 4 h.
b. Sofía se demora 1 1 h en estudiar Matemática
3
y 3 h en hacer su tarea de Lenguaje.
4
Si comenzó a las 16:00 h, ¿habrá terminado
A. Menos que 1 L.
2
1
B. Entre L y 1 L.
2
C. Entre 1 L y 1 1 L.
2
1
D. Más que 1 L.
2
A.
B.
C.
D.
Unidad 1
Marca la opción correcta en los ítems 5 al 10.
es una fracción propia.
es una fracción impropia.
es un número natural.
no se puede inferir.
c. Ana María llega a su casa y lee durante 3 h,
4
2
utiliza h en realizar su tarea de Matemática y
3
dedica 1 h a escribir. ¿Cuánto tiempo empleó
2
en total?
d. Soledad recorre caminando 4 7 km el día
9
lunes y 2 3 km el martes. ¿Cuántos kilómetros
8
más recorrió el lunes que el martes?
e. En el interior de una bolsa hay 3 1 kg de peras,
2
2 1 kg de naranjas y 1 3 kg de duraznos. Si la
4
4
masa de la bolsa es de 1 kg, ¿cuál es la masa
12
total de la bolsa y las frutas?
f. En un programa de radio se ocupa 2 del
3
tiempo para transmitir música, 1 en la lectura
4
de noticias, 1 en llamados del público y el
18
resto en comerciales. ¿Qué fracción del tiempo
se usa en comerciales?
Unidad 1 – Números
17
Multiplicación y división de fracciones
Ejercicios resueltos
1. La distancia aproximada entre Santiago y Puerto Montt es 1 025 km. Si Pedro ha recorrido las 3 partes de
5
ese trayecto, ¿cuántos kilómetros le faltan para llegar?
Una estrategia para determinar la cantidad de kilómetros que faltan es calcular cuántos kilómetros ha avanzado
y luego restar ese valor al total. Observa.
Pedro ha recorrido 3 de 1 025, es decir: 3 · 1 025 = 3 · 1 025 = 3 075 = 615.
5
5
5
5
Lleva recorridos 615 km, por lo tanto le faltan 1 025 – 615 = 410.
A Pedro le faltan 410 km para llegar.
Otra estrategia para resolver el mismo problema consiste en determinar la fracción del camino que a Pedro le
falta por recorrer y luego calcular ese valor en kilómetros. Observa.
Pedro ha recorrido 3 del camino, lo que significa que aún le quedan 2 del camino por recorrer, o sea:
5
5
2 · 1 025 = 2 · 1 025 = 2 050 = 410
5
5
5
Luego, a Pedro le faltan 410 km para llegar.
2. ¿Cuántos vasos de 1 L de capacidad se pueden llenar completamente con 2 1 L de agua?
5
2
El número de vasos se puede calcular fácilmente dividiendo la cantidad de litros de agua por la capacidad
de los vasos. De este modo tenemos:
21 : 1
Transformamos el número mixto a fracción impropia.
2 5
5 : 1
Multiplicamos por el recíproco del segundo factor.
2 5
5 · 5 = 25 = 12 1
2 1
2
2
En consecuencia, se pueden llenar completamente 12 vasos y otro vaso quedaría con agua hasta la mitad.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Responde las siguientes preguntas, realizando los
cálculos en forma mental.
a. ¿Cuánto es 2 de 30?
5
b. ¿Cuánto es 1 de 36?
12
c. ¿Cuánto es 5 de 42?
6
d. ¿Cuánto es la tercera parte de 1 ?
3
3
e. ¿Cuánto es la mitad de ?
5
f. ¿Cuánto es el cuádruple de 7 ?
3
g. ¿Cuánto es el doble de 19 ?
4
2. ¿Cuánto es el triple de 5 ? Marca la opción correcta.
27
A. 15 C. 5
9
9
15
B.
D. 5
81
27
18
Unidad 1 – Números
3. ¿Cuánto es la cuarta parte de 8 ?
7
4. Resuelve cada multiplicación y escribe el resultado
como una fracción irreductible.
a. 4 · 6 =
7
b. 2 · 5 =
5 2
11
c.
· 10 =
6 4
d. 1 · 4 =
8 7
e. 2 · 10 · 3 =
5 6 8
f. 3 1 · 4 · 15 =
3 5 16
g. 2 · 1 · 3 · 1 =
3
2
h. 5 · 4 · 8 · 7 =
4 7 15 2
i. 2 1 · 1 · 3 =
2 10
7
j.
· 1 1 · 15 · 6 =
12
5 28
k. 1 · 8 · 1 1 =
48
5
l. 3 1 · 2 3 · 14 =
7
8 19
m. 1 1 · 1 1 · 78 =
12 13 91
n. 144 · 1 8 · 10 =
7
12 24
A. 15 L
2
11
B.
L
2
C. 5 L
D. 6 L
6. Resuelve las siguientes divisiones y escribe el
resultado como una fracción irreductible.
a. 2 : 1 =
2
3
b.
:3=
5
c. 4 : 3 =
11 8
d. 5 : 25 =
7 21
e. 1 7 : 9 1 =
12 2
f. 3 2 : 46 =
7 21
10.¿Cuántos minutos corresponden a 1 h más 3 h?
4
5
Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
41 minutos.
51 minutos.
56 minutos.
33 minutos.
11.Martín debe leer un libro de 360 páginas. Si ya ha
leído 4 del libro:
9
a. ¿cuántas páginas ha leído?
b. ¿cuántas páginas le faltan por leer?
12.Pamela se comió el día lunes 1 del total de galletas
4
que tenía y el martes se comió 1 de lo que le
2
quedaba en la caja.
7. ¿A qué fracción corresponde la mitad de 6 ?
5
Marca la opción correcta.
A. 2 5
12
B.
5
C. 3
10
D. 6
10
8. Resuelve las siguientes operaciones combinadas.
( 34 – 13 ) : (1 + 12 ) =
b. (2 + 1 ) · (1 + 2 )
5
3
1
1
1
c. ( – ) · (1 – 1 ) =
2 4
2 5
a.
d. 4 + 2 : 6 =
7 7
9
e.
· 2 3 –15 =
11
7
9
13
22
5
f.
·
+
=
6 39 13
(
Unidad 1
5. Si para el cumpleaños de José compraron 5 bebidas
de 1 1 L, ¿cuántos litros de bebida se compraron
2
en total? Marca la opción correcta.
)
9. Claudio se comió 1 de una pizza y le dará a
3
su hermana la mitad de lo que le sobró. ¿Qué
fracción de la pizza se comerá la hermana
de Claudio? Marca la opción correcta.
A. 1 C. 1
3
6
B. 1 D. 5
2
6
a. ¿Qué fracción de las galletas que tenía
inicialmente se comió Pamela el martes?
b. ¿Qué fracción de las galletas que tenía
inicialmente se comió en ambos días?
c. Si Pamela tenía inicialmente 32 galletas,
¿cuántas le quedan después del martes?
13.La capacidad total del estanque de combustible del
automóvil de Alejandro es de 35 L. Si solo tiene 2
5
del estanque lleno y decide cargar combustible:
a. ¿cuántos litros de bencina debe cargar para
llenar el estanque?
b. Si el litro de bencina está a $ 724, ¿cuánto
deberá pagar Alejandro?
14.Resuelve los siguientes problemas.
a. Luis reparte 20 kg de harina en bolsas de 2 kg
5
cada una. ¿Cuántas bolsas logra llenar?
b. Si 2 kg de pan valen $ 510, ¿cuánto cuestan 3 kg?
3
c. Miguel tiene una tabla de madera de 5 1 m
2
de largo y necesita cortar trozos de 1 3 m.
4
¿Cuántos trozos de esa medida puede cortar
como máximo?
d. Antonia gana $ 64 500 semanales, deposita
en el banco 1 del total, la tercera parte de su
4
sueldo lo ocupa para pagar cuentas y el resto
lo deja para gastar. ¿Cuánto dinero le queda
disponible para gastar?
Unidad 1 – Números
19
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 26.
1. ¿Qué número representa nueve millones
trescientos seis mil ochocientos nueve?
A.
B.
C.
D.
9 360 809
9 306 809
9 306 890
9 036 809
A.
B.
C.
D.
2. El número 6 040 602 escrito en palabras es:
A.
B.
C.
D.
seis millones cuatrocientos mil seiscientos dos.
seis millones cuarenta mil seiscientos veinte.
seis millones cuarenta mil seiscientos dos.
seiscientos millones cuarenta mil seiscientos dos.
3. 7 CM + 5 DM + 2 C + 4 D + 7 U equivale a:
A. 750 247
B.
75 247
C. 7 500 247
D. 752 470
4. 108 354 279 aumentado en 5 UMi es igual a:
A.
B.
C.
D.
108 354 284
108 359 279
113 354 279
158 354 279
5. ¿Cuáles son todos los divisores de 8?
A.
B.
C.
D.
1, 8
2, 4
1, 2, 4, 8
2, 4, 8
6. ¿Cuántos números primos hay entre 30 y 40?
A. 0
B. 1
C. 2
D. 3
7. ¿Qué número es divisible por 3, por 6 y por 9 a
la vez?
A. 27
B. 39
C. 54
D. 45
8. La descomposición prima del número 108 es:
A. 2 · 3 · 3 · 3
B. 2 · 2 · 3 · 3 · 3
C. 4 · 3 · 3 · 3
D. 3 · 4 · 9
9. Si un dólar se puede cambiar por $ 550, ¿cuántos
dólares se pueden comprar con $ 100 000?
A.
B.
C.
D.
20
Menos de 100 dólares.
Entre 100 y 200 dólares.
Entre 200 y 300 dólares.
Más de 300 dólares.
Unidad 1 – Números
10.Andrés quiere comprarse la camiseta de fútbol
de su equipo preferido. Si la camiseta cuesta
$ 16 080 y él ahorra $ 2 770 por semana, ¿en
cuántas semanas podrá comprarse la camiseta?
En 5 semanas.
En 6 semanas.
En 7 semanas.
En 9 semanas.
11.En un colegio deciden construir un gimnasio cuyo
costo es $ 15 396 200. La dirección del colegio
solo cuenta con $ 7 450 324. Si para financiar el
resto deciden hacer un bingo, ¿cuánto dinero
necesitan recaudar?
A.
B.
C.
D.
$ 7 945 876
$ 7 945 924
$ 8 946 876
$ 8 946 924
12.En una campaña de solidaridad el 8º A logra
recaudar $ 1 125 012, el 8º B reúne $ 1 649 003
y el 8º C, $ 987 524. ¿Cuánto dinero recaudaron
los tres cursos?
A.
B.
C.
D.
$ 2 112 536
$ 2 774 015
$ 3 761 539
$ 4 761 539
13.Dos canales de televisión comienzan a transmitir el
noticiero a las 21:00 h. Ambos canales transmiten
comerciales. Un canal lo hace cada 12 minutos
y el otro, cada 18 minutos. ¿A qué hora ambos
canales pasan a comerciales al mismo tiempo?
A.
B.
C.
D.
A las 21:36 h
A las 21:12 h
A las 21:18 h
A las 21:24 h
14.¿Cómo se representa la fracción dieciocho novenos?
A. 18 9
9
B.
18
C. 1 8
9
D. 18 1
9
15.¿Cuál de las siguientes fracciones es la menor?
A. 3 7
B. 6 17
C. 9
23
D. 8
17
I. r > p
II. r · p < q
III. p > r
q
A. I y II
B. I y III
C. II y III
D. I, II y III
17. Si el precio de 3 kg de almendras es $ 930,
4
el precio de un kilogramo es:
A. $ 310
B. $ 698
C. $ 1 240
D. $ 1 400
18.Sandra tiene $ 18 000. Si gasta $ 3 000, ¿qué parte
de su dinero gastó?
A. 1 C. 5
6
6
1
B. D. 8
9
9
19.El estanque de bencina de un automóvil tiene
capacidad para 50 L y está completamente lleno.
Si en un viaje se gastó 1 del estanque, ¿cuántos
5
litros de combustible le quedan?
A. 10 L
B. 20 L
C. 30 L
D. 40 L
20.Una torta es repartida de la siguiente manera:
1 para María y 1 para Sofía. ¿Qué parte de la
4
2
torta no ha sido repartida?
A. 1 C. 3
4
4
1
B. D. 8
2
9
21.Ana compró 3 1 L de aceite y 2 1 kg de pan.
2
2
El litro de aceite cuesta $ 650 y el kilogramo de
pan, $ 580. Si pagó su compra con un billete de
$ 5 000, ¿cuánto dinero recibió de vuelto?
A. $ 1 230
B. $ 1 275
C. $ 3 770
D. $ 3 725
22.Marcela gastó 3 de su dinero en comprar pan.
4
Si le quedan $ 650, ¿cuánto dinero tenía?
A. $ 2 600
B. $ 1 950
C. $ 1 300
D. $ 867
Unidad 1
16.Si p = 5 , q = 2 y r = 4 , ¿cuál o cuáles de las
9
3
5
afirmaciones son verdaderas?
23.En un curso, 5 de los estudiantes obtuvo nota
7
sobre 5,0 en la prueba de Matemática y 1 obtuvo
14
nota sobre 6,5. ¿Qué fracción del curso obtuvo
una nota mayor que 5,0 y menor o igual a 6,5?
A. 4 C. 9
7
14
6
B.
D. 11
21
14
24.¿Entre qué números se encuentra el producto de
dos fracciones propias?
A.
B.
C.
D.
Entre 0 y 1.
Entre 1 y 10.
Entre 10 y 100.
Depende de las fracciones.
25.Carlos realizó 5 de un trabajo y Andrés, 3 de
9
15
lo que hizo Carlos. ¿Qué parte del trabajo
realizó Andrés?
A. 15 24
B. 34 45
C. 1
5
D. 1
9
26.¿Cuál es el perímetro y el área de un cuadrado de
lado igual a 8 cm?
7
32
64
A.
cm y
cm2
7
7
B. 32 cm y 64 cm2
7
49
16
C.
cm y 64 cm2
7
7
16
64
D.
cm y
cm2
7
49
27.Eduardo se compró un automóvil que cuesta
$ 5 270 000. Para pagarlo, debe cancelar un pie
de $ 2 100 000 y 48 cuotas de $ 72 000.
a. ¿Cuánto debe pagar Eduardo por el automóvil,
en total?
b. ¿Cuánto es el interés que debe pagar?
28.Mario distribuyó su sueldo de la siguiente manera:
usó 1 para pagar las cuentas, 2 para locomo4
5
ción y alimentación, guardó 2 en el banco y el
10
resto lo dejó para gastar. Si le quedaron $ 32 100
para gastar, ¿cuál fue el sueldo de Mario?
Unidad 1 – Números
21
Números decimales
Ejercicios resueltos
1. En la siguiente tabla se muestra la estatura de 5 estudiantes de un curso.
Nombre
Estatura (en metros)
Josefa
Agustín
Tomás
Ana
Carmen
1,61
1,73
1,67
1,7
1,68
Si la profesora forma en una fila a los niños de menor a mayor estatura, ¿en qué orden deben ir?
Para ordenar números decimales lo hacemos comparando la parte entera de los números entre sí y luego las
cifras decimales según su posición de izquierda a derecha.
En este caso, la parte entera de todos los números decimales es 1, por lo que debemos comparar los dígitos de
las posiciones decimales.
Si comparamos el dígito de las décimas, notamos que Agustín y Ana tienen estaturas mayores que Josefa,
Agustín y Carmen.
Al comparar el dígito de las centésimas advertimos que Agustín es más alto que Ana, Carmen es más alta que
Tomás y este último es más alto que Josefa.
Luego, el orden de los niños de menor a mayor estatura es: Josefa, Tomás, Carmen, Ana y Agustín.
2. Graneros se encuentra a 12,53 km de Rancagua, Machalí a 8 770 m y Olivar Alto, a 12,08 km. ¿Cuál de las
comunas anteriores está más cerca de Rancagua?, ¿cuál está más lejos?
Debemos considerar que la distancia entre Rancagua y Machalí está expresada en metros, mientras que en los
otros casos, en kilómetros. Luego, la distancia entre Rancagua y Machalí es igual a 8,77 km.
Si comparamos la parte entera de los números decimales nos damos cuenta de que la de menor valor es la
correspondiente a 8,77, es decir, la comuna más cercana a Rancagua es Machalí.
Por otra parte, los números decimales correspondientes a las distancias entre Rancagua y Graneros y entre Rancagua y Olivar Alto, tienen igual parte entera, en este caso el 12, por lo que debemos comparar los dígitos de su parte
decimal, partiendo por el de las décimas. En este caso observamos que el dígito de las décimas es mayor en el
número 12,53. Por consiguiente, la comuna de Graneros es la que se encuentra más lejos de Rancagua.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Escribe con palabras cada uno de los siguientes
números decimales.
a.
b.
c.
d.
0,2
0,06
0,24
1,6
e.
f.
g.
h.
1,035
13,7
168,9
15,354
2. Representa los siguientes números decimales
en su forma numérica.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
22
Seis décimos.
Ocho centésimos.
Dos enteros cinco milésimos.
Trece enteros siete centésimos.
Diecinueve milésimos.
Tres enteros catorce centésimos.
Cinco enteros trescientos veinticuatro milésimos.
Unidad 1 – Números
Marca la opción correcta en los ítems 3 al 6.
3. ¿Cómo se escribe el número decimal tres décimos?
A. 3,10
B. 10,3
C. 0,3
D. 0,03
4. ¿Cuál de los siguientes números decimales es
menor que 1,09?
A. 1,9
B. 9,1
C. 9,01
D. 0,19
5. ¿Cuál de los siguientes números decimales se
ubica entre 3,4 y 3,63?
A. 3,12
B. 3,36
C. 3,49
D. 3,76
A. 1,025
B. 1,25
C. 1,205
D. 1,052
7. Compara los siguientes números decimales,
y escribe el signo >, < o =, según corresponda.
12.Redondea cada número decimal según el nivel de
aproximación dado.
a.
b.
c.
d.
e.
0,358 a la décima.
12,5874 a la milésima.
132,00685 a la centésima.
3 257,951 a la décima.
23 748,0991 a la milésima.
a.
0,2
0,6
b.
0,05
0,8
c.
0,0003
0,003
d.
1,23
0,24
Nombre
Estatura (en metros)
e.
3,56
3,560
Iván
1,51
f.
5,12
5,21
Adriana
1,43
g.
29,735
297,35
Marcelo
1,49
h.
90,901
90,9
Luciana
1,39
i. 2 031,265
13.Pablo midió a sus amigos y registró en la siguiente
tabla los valores obtenidos.
2 031,625
8. ¿Qué número decimal está representado por el
punto L? Marca la opción correcta.
12
L
A. 12,7
B. 13,2
C. 13,4
D. 13,7
14
9. En cada caso, representa en una recta numérica
los grupos de números dados.
a.
b.
c.
d.
0,1 – 0,3 – 0,4 – 0,7
3,2 – 3,6 – 2,7 – 2,3
1,02 – 1,06 – 1,1 – 1,03
5,5 – 10 – 8,5 – 6
10.Ordena los siguientes grupos de números
decimales de menor a mayor.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
0,25 – 2,205 – 1,52
1,578 – 5,187 – 8,175
0,1 – 0,001 – 0,01
1,994 – 1,94 – 1,949 – 1,499
0,251 – 0,2512 – 0,2509 – 0,25115
0,196 – 0,169 – 0,691 – 0,916 – 0,961
11.Determina el número que se obtiene al
aproximar el número decimal 2,34579:
a.
b.
c.
d.
e.
por truncamiento a la centésima.
redondeando a la centésima.
redondeando a la décima.
por truncamiento a la milésima.
redondeando a la diezmilésima.
Unidad 1
6. ¿Cuál de los siguientes números decimales es
el mayor?
a. ¿Quién es el más alto?, ¿y el más bajo?
b. Ordena los nombres de los niños y niñas de
acuerdo a su estatura, de mayor a menor.
c. Si los valores de la tabla se aproximan, redondeando a la décima, ¿quién tendrá la misma
estatura que Adriana?
d. Si los valores de la tabla se aproximan por
truncamiento a la décima, ¿quién tendrá la
misma estatura que Adriana?
e. Si Pablo mide 1,45 m, ¿es más alto o más bajo
que Marcelo? Justifica.
14.En una prueba de Matemática, Marcela se sacó
un 5,8, Roberto obtuvo un 6,3, Liliana, un 6,6 y
Martín un 5,7. ¿Quién obtuvo la nota más alta?
15.La siguiente tabla muestra las temperaturas
máximas registradas en algunas ciudades de
Chile un día de julio.
Ciudad
Temperatura (ºC)
Curicó
6,7
Chillán
6,4
Punta Arenas
4,8
Osorno
8,4
a. ¿En qué ciudad se registró la temperatura más
alta?, ¿y la más baja?
b. Ordena los nombres de las ciudades de acuerdo
a su temperatura, de la más baja a la más alta.
c. Representa en una recta numérica los números
de la tabla.
Unidad 1 – Números
23
Operaciones con números decimales
Ejercicios resueltos
1. Resuelve: 1,51 + 31,2 + 2,654 + 187.
Una estrategia para sumar números decimales consiste en escribir los números hacia abajo, alineándolos según
la coma decimal y luego sumar. Observa.
1,51
31,2
2,654
+ 187,0
222,364
2. Si el cabello de una persona crece alrededor de 1,25 cm en un mes, ¿cuánto crece en un año?
Si en un mes el cabello crece 1,25 cm, entonces, en un año crece: 1,25 · 12 = 15.
Luego, en un año el cabello crece 15 cm.
3. Si 1 kg de pan cuesta $ 890 y 1 kg de queso tiene un valor de $ 3 000, ¿cuánto pagó Javier si compró 1,5 kg
de pan y 0,75 kg de queso?
Si el kilogramo de pan cuesta $ 890 y Javier compró 1,5 kg, entonces pagó en total: 890 · 1,5 = 1 335.
Por el pan pagó $ 1 335.
A su vez, el kilogramo de queso cuesta $ 3 000 y Javier compró 0,75 kg, entonces, en total pagó:
3 000 · 0,75 = 2 250
Por el queso pagó $ 2 250.
Finalmente, para saber cuánto dinero gastó Javier, basta con sumar el dinero pagado por el queso y el pan:
1 335 + 2 250 = 3 585
Luego, Javier gastó $ 3 585 en total.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula mentalmente las siguientes operaciones
con números decimales.
a.
b.
c.
d.
32,5 + 54,5 =
120,8 – 73,4 =
1 235 · 0,1 =
36 874 : 0,01 =
e.
f.
g.
h.
1 000 · 3,452 =
2,213 : 10 =
120 · 0,5 + 60 : 0,5 =
0,1 · 4,5 + 100 · 4,51 =
2. Resuelve las siguientes adiciones y sustracciones
de números decimales.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
24
14,25 + 6,091 =
0,3 + 0,8 + 3 =
4 – 0,56 =
1 – 0,999 =
52,4 – 21,875 – 14,02 =
20,04 + 250,7 – 6,048 =
32,15 – 0,008 + 6,11 =
37,1 – (15,473 + 8,01) =
(18,1 + 0,05) – (0,002 – 0,00065) =
Unidad 1 – Números
3. ¿Cuál de las siguientes alternativas muestra el
valor de 0,4 · 0,004?
A.
B.
C.
D.
0,016
0,0016
0,00016
0,000016
4. Resuelve las siguientes multiplicaciones y
divisiones de números decimales.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
3 · 1,28 =
0,03 ∙ 1,2 =
2,4 : 2 =
6,27 : 0,3 =
1,256 · 35,1
0,0032 : 0,16 =
2,7 ∙ 0,9 : 0,03 =
37,1 · (0,34 : 1,36) =
(0,136 · 2) : (1 : 0,25) =
(0,003 : 0,0005) · 0,46 =
27,81 : 3 · 5,1 =
a.
b.
c.
d.
e.
f.
(2 + 0,75) : 0,5 =
2,7 ∙ 9 : 0,03 =
(3,6 ∙ 0,01) : (0,2 ∙ 0,3) =
1 – 0,08 : 0,2 =
(2 ∙ 0,04 + 6) : 4 =
32,5 · 2,1 – 4,352 : 2,56 =
Marca la opción correcta en los ítems 6 al 9.
6. ¿Cuánto es el triple de 2,42?
A. 5,42
B. 6,42
C. 6,26
D. 7,26
7. Sin hacer ningún cálculo, determina qué expresión
es igual a 2,3 · 5,2 + 2,3 · 3,6.
A.
B.
C.
D.
(2,3 + 5,2) · 3,6
(5,2 + 3,6) · 2,3
2,3 · 5,2 · 3,6
2,3 · 2,3 + 5,2 + 3,6
8. Si el producto de dos números es 0,2 y uno de
sus factores es 10, ¿cuál es el otro factor?
A. 200
B. 20
C. 0,02
D. 0,2
9. Si una cuerda de 8,44 m se corta en 4 trozos
de igual medida, ¿cuánto mide cada trozo?
A. 2,10 m
B. 2,11 m
C. 2,15 m
D. 2,16 m
10.Francisca se demora, en promedio, 2,6 minutos
en realizar un ejercicio de Matemática y Salvador
tarda 2,9 minutos.
a. ¿Cuánto se demora Francisca en responder
una prueba de 24 ejercicios?
b. ¿Cuánto se demora Salvador en responder una
prueba de 18 ejercicios?
c. Si un día Francisca se demoró 41,6 minutos en
responder una prueba, ¿cuántas preguntas tenía?
d. Si un día Salvador se demoró 52,2 minutos en
responder una prueba, ¿cuántas preguntas tenía?
e. Otro día, Francisca y Salvador dieron un examen
de 20 preguntas. ¿Cuál fue la diferencia, en
minutos, entre lo que se demoró Francisca y lo
que tardó Salvador?
11.Si Valeria mide 1,67 m y José, 172 cm:
a. ¿quién es más alto?
b. ¿cuántos metros de diferencia tienen?
Unidad 1
5. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran
operaciones combinadas.
12.El ancho de un cabello humano mide aproximadamente 0,08 mm.
a. ¿Cuántos cabellos se necesitan para, que al
ponerlos uno al lado de otro, se ocupe un
ancho de 1 cm?
b. Si una persona tiene en su cabeza alrededor
de 200 000 cabellos, ¿qué ancho ocuparían si
se ponen todos uno al lado del otro? Expresa
tu respuesta en metros.
13.Resuelve los siguientes problemas.
a. El estanque de una estufa de parafina tiene
una capacidad de 5,75 L. Si después de llenarlo
se consumieron 2,5 L, ¿cuántos litros de parafina quedaron en el estanque?
b. ¿Cuál es el promedio de notas del primer
semestre que obtendrá José en Matemática si
sus notas son: 6,5; 6,8; 5,3; 6,4; 4,8; 6,2 y 7,0?
c. Una resma de papel mide 8 cm de alto. Si la
resma contiene 500 hojas, ¿cuál es el grosor de
cada hoja?
d. ¿Cuántas veces hay que sumarle 1,5 al número
0,04 para obtener 6,04?
e. Doña Anita tiene 14,9 kg de azúcar. Si usa 4,4 kg
y el resto lo envasa en bolsas de 0,5 kg, ¿cuántas
bolsas necesita?
f. Determina el perímetro y el área de un rectángulo de 3,5 cm de ancho y 7,26 cm de largo.
g. Si una pulgada es igual a 0,0254 m, ¿cuáles son
las dimensiones, en pulgadas, de un arco de
fútbol de 7,32 m de largo por 2,44 m de ancho?
h. El promedio de notas de Agustín en Matemática,
el primer semestre, fue un 6,3. ¿Qué nota se
sacó en la última prueba si sus tres notas
anteriores eran: 6,7, 6,8 y 5,5?
i. Un médico recetó a su paciente una dosis de
medicamento de un comprimido de 3,1 mg,
4 veces al día, durante 5 días. ¿Qué cantidad
de medicamento tomará el paciente en total?
j. Alejandra recorre diariamente 1,5 km desde
su casa al colegio, 1,9 km desde el colegio a la
casa de su abuela y 0,7 km desde la casa de su
abuela a la suya. ¿Cuántos kilómetros recorre
de lunes a viernes?
k. Si 8 panes tienen una masa de 0,86 kg, ¿qué
masa tienen 12 panes y medio?
l. El perímetro de una piscina rectangular es
igual a 38,28 m. Si su largo es 12,6 m, ¿cuál es
su ancho?
Unidad 1 – Números
25
Operaciones con fracciones y números decimales
Ejercicios resueltos
1. Escribe la fracción 17 en notación decimal.
25
Para escribir la fracción como un número decimal basta con dividir el numerador con el denominador. El cociente de esta división corresponde al número decimal buscado. En este caso:
17 : 25 = 0,68
–0
170
– 150
200
– 200
0
Luego, la fracción 17 escrita como número decimal es 0,68.
25
2. Escribe los números decimales 0,45 y 4,215 como una fracción irreductible.
En el primer caso, dado que el número decimal es finito, este se puede representar como una fracción cuyo
numerador es el número decimal, sin la coma, y cuyo denominador es un 1 seguido de tantos ceros como cifras
decimales tenga el número decimal. En este caso, el número 0,45 tiene 2 cifras decimales, de modo que en el
denominador debe ir el 100. Por lo tanto: 0,45 = 45 . Simplificando la fracción por 5, nos queda: 0,45 = 9 .
100
20
En el segundo caso, el número decimal es infinito periódico. Luego, este se puede representar como una fracción
cuyo numerador es la diferencia entre el número decimal, sin la coma, y la parte entera del número; y cuyo
denominador es el número formado con tantos nueves como cifras tenga el período. En este caso, nos queda:
4,215 = 4 215 – 4 = 4 211
999
999
Ejercicios y problemas propuestos
Marca la opción correcta en los ítems 1 y 2.
1. ¿A qué número decimal equivale la fracción 3 ?
5
A. 3,5
C. 0,35
B. 0,6
D. 0,06
2. ¿Cuál de las siguientes igualdades es falsa?
A. 11 = 0,11
10
B. 7 = 1,4
5
C. 5 = 0,625
8
D. 9 = 0,75
12
3. En cada caso, escribe las siguientes fracciones en
notación decimal.
a. 1 e. 13
5
6
b. 3 f. 27
8
7
7
19
c.
g.
10
12
12
d.
h. 3 1
25
6
26
Unidad 1 – Números
4. Representa los siguientes números decimales
como una fracción irreductible.
a. 0,2 f. 1,37
b. 0,45 g. 0,12
c. 1,9 h. 0,438
d. 0,3 i. 1,16
e. 0,18 j. 23,674
5. Remplaza los valores de x e y, realiza los cálculos
y, luego, completa la tabla.
x
y
0,7
1
5
1,21
3
8
0,6
3
5
x+y
x–y
x·y
A. 7 5
B. 7 10
C. 56
5
D. 711
1 125
7. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran
operaciones combinadas.
a. 1 – 0,25 + 1 =
3
b. 0,14 + 2 : 6 =
3 4
c. 0,7 + 4,3 – 12 =
5
d. 4 – 0,8 · 0,2 + 3 =
5
4
1
e. 5 – 1 + 2,6 =
2
2
f.
+ 1,5 : 0,3 =
3
8. En una carrera, Jorge se demoró 9,76 minutos en
llegar a la meta, Andrés se demoró 9 3 minutos,
4
Carolina, 9 28 minutos y Mariela, 9,72 minutos.
30
a. ¿Quién llegó primero a la meta?
b. ¿Quién llegó último a la meta?
c. Ordena los nombres de los niños de acuerdo a
su orden de llegada, del primer al último lugar.
d. ¿Cómo se representa el tiempo que se demoró
Jorge usando una fracción irreductible?
e. ¿Cómo se representa el tiempo que se demoró
Carolina, usando números decimales?
f. ¿Cuántos minutos más tarde llegó Jorge
que Andrés?
g. ¿Cuántos minutos antes llegó Mariela
que Andrés?
h. ¿Cuántos minutos de diferencia hubo entre la
persona que llegó primero y la última?
9. Responde las siguientes preguntas. Utiliza una
calculadora para realizar los cálculos.
a. ¿Entre qué números consecutivos se encuentra
el resultado de 0,9999 · 0,99999?
b. ¿Entre qué números consecutivos se encuentra
el resultado de 1,00001 · 1,00001?
c. ¿Entre qué números consecutivos se encuentra
el producto de dos números decimales positivos
menores que la unidad?
d. El producto de dos números decimales mayores
que la unidad, ¿siempre es mayor que 1?
Justifica tu respuesta.
Unidad 1
6. ¿Cuál es el valor de la expresión: 1 1 + 0,5 · 9 ?
5
25
Marca la opción correcta.
10.Realiza las siguientes actividades.
a. Usando tu calculadora, realiza los cálculos
y completa la siguiente tabla.
Cociente
2,5 : 100
2,5 : 10
2,5 : 1
10
2,5 : 1
100
b. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultado
1
de 2,5 :
?
1 000 000
c. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultado
de 2,5 : 100 000 000?
d. Usando tu calculadora, realiza los cálculos y
completa la siguiente tabla.
Producto
8,63 · 100
8,63 · 10
8,63 · 1
10
8,63 · 1
100
e. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultado
de 8,63 · 1 000 000?
f. Sin realizar ningún cálculo, ¿cuál es el resultado
1
de 8,63 ·
?
100 000 000
11.De acuerdo con lo observado en la pregunta
anterior, completa las siguientes afirmaciones.
a. Dividir un número por 10 000 es lo mismo que
multiplicarlo por la fracción
.
b. Dividir un número por 1 es lo mismo que
1 000
multiplicarlo por
.
c. Multiplicar un número por 1 es lo mismo
1 000
que dividirlo por
.
d. Multiplicar un número por 1 000 es lo mismo
que dividirlo por la fracción
.
Unidad 1 – Números
27
Razones y porcentajes como una fracción
o un número decimal
Ejercicios resueltos
1. Un maestro cocinero utiliza 2 tazas de arroz y 3 tazas de agua para preparar su receta de arroz graneado.
¿Cuál es la razón entre el agua y el arroz?, ¿cuál es el significado de la razón que escribiste?
Como el número asociado al agua es 3 y el del arroz es 2, la razón solicitada es 3 : 2. Esto significa que en la receta
de arroz graneado se utilizan 3 partes de agua por 2 partes de arroz.
2. En una bolsa hay 9 fichas rojas, 4 fichas azules, 3 blancas y 2 amarillas. ¿Cuál es la razón entre las fichas blancas
y el total de fichas?
En total hay 9 + 4 + 3 + 2 = 18 fichas. Luego, la razón entre las fichas blancas y el total es 3 : 18, o bien, 1 : 6.
3. Transforma a porcentaje las fracciones 2 , 3 y 5 .
6 6 6
Para realizar este cálculo podemos multiplicar cada fracción por 100 y calcular el cociente:
2 · 100 = 200 ≈ 33,33 %
3 · 100 = 300 = 50 %
5 · 100 = 500 ≈ 83,33 %
6
6
6
6
6
6
En resumen, tenemos:
Fracción
2 = 1
6 3
3 = 1
6 2
5
6
Decimal
Porcentaje
0,3
33,33 %
0,5
50 %
0,83
83,33 %
Ejercicios y problemas propuestos
1. En una razón, si el consecuente es 20 y el valor de
la razón es 8, ¿cuál es el antecedente? Marca la
opción correcta.
A. 0,4
B. 2,5
C. 20
D. 160
2. En una razón, si el antecedente es 3 y el valor de
7
la razón es 6 , ¿cuál es el consecuente?
11
3. En un canasto de frutas hay 3 plátanos, 2 manzanas, 6 naranjas y 1 pera.
a. ¿Cuál es la razón entre el número de manzanas
y el total de frutas?
b. ¿Qué significado le das a la razón anterior?
c. ¿Cuál es la razón entre el número de plátanos y
el de naranjas?
d. ¿Qué significado le das a la razón anterior?
e. Encuentra una razón cuyo valor sea igual al de la
razón entre la cantidad de peras y la de plátanos.
28
Unidad 1 – Números
4. Se organizó una fiesta en la que se ofrecieron
tres ambientes distintos: salsa, pop y rock.
Los asistentes se distribuyeron como se muestra
en la siguiente tabla:
Preferencia
Mujeres
Hombres
Salsa
55
43
Pop
34
45
Rock
25
37
Observa la tabla y escribe la razón entre:
a. el número de hombres que gustan de la salsa y el total de asistentes.
b. el número de personas que gustan del rock y los hombres que gustan del pop.
c. el número de mujeres que gustan del pop y
los hombres que gustan del rock o del pop.
a. el número de preguntas de la prueba y
las contestadas.
b. el número de preguntas de la prueba y
las correctas.
c. el número de preguntas correctas y
las incorrectas.
d. el número de preguntas contestadas y las
no contestadas.
e. el número de preguntas no contestadas y
las incorrectas.
6. Representa como porcentaje cada fracción.
a. 1 c. 5
4
7
3
b. d. 4
8
6
7. Representa como porcentaje cada número decimal.
a. 0,02
b. 0,9
c. 0,356
d. 0,28
e. 0,4
f. 2,0
8. Representa como un número decimal cada uno de
los siguientes porcentajes.
a. 75 %
b. 13 %
c. 5 %
d. 130 %
e. 2 %
f.
5,3 %
9. Convierte a fracción irreductible cada porcentaje.
a. 55 %
b. 45 %
c. 12 %
d. 17 %
e. 87 %
f. 110 %
Marca la opción correcta en los ítems 10 al 13.
10.¿Cuál es el porcentaje equivalente a la fracción 5 ?
8
A. 625 %
C. 62,5 %
B. 6,25 %
D. 0,625 %
11.¿Cuál de las alternativas muestra al número decimal
que corresponde al 35 %?
A. 35,0
B. 0,035
C. 0,35
D. 0,0035
12.¿Qué fracción irreductible es equivalente al 46 %?
A. 23 C. 50
50
23
B. 46 D. 100
50
46
Unidad 1
5. En una prueba de 40 preguntas, Marcelo respondió
36 y tuvo 16 correctas. Determina la razón entre:
13.¿Cuál es el número decimal correspondiente
al 0,2 %?
A. 0,2
B. 0,002
C. 0,0002
D. 2,0
14.¿Qué número decimal representa el 28 %?
15.Fabiola gana $ 400 000 al mes, y destina 2 de
5
su sueldo a pagar el arriendo de su casa.
a. ¿Qué porcentaje del sueldo lo utiliza en
el arriendo?
b. ¿Cuánto dinero le queda después de pagar
el arriendo?
c. ¿Qué número decimal representa la parte del
sueldo que le queda a Fabiola después de
pagar el arriendo?
16.Javier gana $ 250 000 al mes. Si ha decidido
ahorrar el 14 % de su sueldo, ¿qué fracción de
su sueldo ahorra?
17. Para comprar un departamento, se debe cancelar
como pie el 5 % del valor total. Sergio paga un
pie de $ 1 250 000.
a. ¿Cuál es la fracción del valor del departamento
que se ha cancelado?
b. ¿Qué parte queda por pagar? Exprésala como
un número decimal.
18.El número de árboles en una ciudad el 2009
era 18 504. El año 2010, para prevenir caídas
de árboles viejos, se cortó el 2 % de los árboles
y el 2011 se quemó en un incendio el 5 % de lo
que quedaba.
a. ¿Qué fracción de árboles que había
inicialmente queda en esta ciudad a fines
de 2011?
b. ¿En qué porcentaje disminuyó el número de
árboles del 2009 a 2011? Represéntalo como
número decimal.
19.En una liquidación se descuenta 1 del precio
10
en todos los productos si se cancela en efectivo.
En caso contrario, el descuento es de un 0,03 del
valor inicial.
a. ¿Qué porcentaje de descuento tiene, si se
cancela en efectivo?
b. ¿Qué porcentaje de descuento tiene, si se
utiliza otro medio de pago?
Unidad 1 – Números
29
Cálculo de porcentajes y variaciones porcentuales
Ejercicios resueltos
1. En un establecimiento educacional hay 6 478 alumnos de los cuales 1 560 son aficionados al tenis. ¿Cuál es el
porcentaje de alumnos aficionados al tenis?
Para obtener el porcentaje de alumnos aficionados al tenis calculamos:
1 560 = 0,2408 = 24,08 = 24,08
6 478
100
Es decir, el 24,08 % de los alumnos son aficionados al tenis.
2. Francisco vio un reloj que deseaba regalar a su padre, cuyo precio era $ 25 000. Cuando fue a comprarlo, su
precio era $ 27 000. ¿En qué porcentaje aumentó el precio del reloj?
La variación en el precio es $ 2 000, pues 27 000 – 25 000 = 2 000.
Entonces, para determinar qué porcentaje es 2 000 de 25 000, escribimos la razón 2 000 y luego la transformamos
25 000
a porcentaje: 2 000 · 100 = 200 000 = 200 = 8.
25 000
25 000
25
Luego, el reloj aumentó en un 8 % respecto del precio inicial.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Piensa y responde.
a.
b.
c.
d.
¿Cuál es el 12 % de 125?
¿Cuál es el 8 % de 45?
¿Cuál es el 40 % de 500?
¿Cuál es la cantidad total sabiendo que su 17 %
es 1 235?
Marca la opción correcta en los ítems 2 al 4.
2. ¿Cuál es el 2,4 % de 134?
A. 3,216
B. 32,16
C. 321
D. 321,6
3. ¿Qué número es el 120 % de 36?
A.
43,2
B.
432
C. 43 200
D. 432 000
4. ¿Cuál es el 135 % de 162 400?
A.
B.
C.
D.
120 296
122 456
219 240
381 640
5. Calcula qué porcentaje es:
a.
b.
c.
d.
30
67 de 450.
30 de 980.
20 de 4 000.
25 de 1 000.
Unidad 1 – Números
6. Ana ahorró $ 34 000 que le alcanzaba exactamente
para comprarse un par de botas. Si al llegar a
la tienda había un descuento del 23 %, ¿cuánto
gastó finalmente Ana en sus botas?
7. En el último mes, el precio de un litro de leche
ha subido $ 120. Si el precio del mes anterior era
$ 550, representa el alza del precio de la leche
como un porcentaje.
8. Arturo compró un automóvil nuevo y pagó
$ 5 500 000. Él sabe que el automóvil se devalúa
un 4,5 % anual.
a. ¿Cuánto se devalúa en un año el precio
del automóvil?
b. Al finalizar el primer año, ¿cuál es su precio?
9. A principios de un mes el precio de la gasolina de
95 octanos era de $ 755 el litro. Si aumentó en un
23 % el día 12 y luego disminuyó un 5 % el día 26,
¿cuál es el precio a fin de mes?
10.Una bicicleta se ofrece, con un descuento de un
13 %, al precio final de $ 85 000. ¿Cuánto era el
valor inicial de la bicicleta?
11.Aumenta cada uno de los siguientes valores
un 22 %.
a.
b.
c.
d.
700 35
270
1 500
e.
f.
g.
h.
25 600
4
1 245
135 789
a.
b.
c.
d.
e.
45
990
256
678
3 450
f.
g.
h.
i.
j.
450 000
34 679
524 645
852 420
1 247 567
13.La variación del precio de un artículo fue la
siguiente: en abril aumentó un 28 %, en mayo
disminuyó un 40 % y, finalmente, en junio
aumentó un 15 %. ¿En qué porcentaje varió el
precio de este artículo en los tres meses?
Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
11,68 %
3 %
84 %
30 %
14.Si Luis compra un automóvil en $ 2 500 000 para
venderlo con un 25 % de ganancia, ¿cuál sería el
precio de venta?
15.Sara quiere comprarse unos zapatos cuyo precio
es de $ 15 000, pero solo tiene $ 10 000. ¿Qué porcentaje del total representa el dinero que le falta?
16.El promedio de notas de Mabel el año pasado fue
de 5,5 y este año es de 6,5.
a. ¿Cuál es el porcentaje que representa el
aumento en el promedio de Mabel?
b. ¿Cuál es la fracción que representa esta
variación porcentual?
c. ¿Cuál es el número decimal que equivale a
la fracción anterior?
17. Si el lado de un cuadrado aumentó al triple,
¿su área aumentó al triple?, ¿en qué porcentaje
lo hizo?
18.Un par de lentes cuesta $ 35 000. Luego, se rebaja
su precio en un 25 %.
a. ¿Cuál es el precio actual de los lentes?
b. Si se vuelven a rebajar en un 5 % cuando se
paga en efectivo, ¿cuál será su precio?
c. Si una persona pagó $ 30 000 por los lentes,
¿en qué porcentaje disminuyó su valor respecto
del precio inicial?
Unidad 1
12.Disminuye en un 8 % los siguientes números.
19.Irene repartió algunos de sus 50 dulces entre
sus primos. A Gerardo le dio el 30 % del total y a
María, el 80 % del resto.
a. ¿Con cuántos dulces se quedó Irene?
b. ¿Cuál es la variación, en porcentaje, entre lo
que tenía y lo que se quedó?
c. ¿Qué porcentaje representa la cantidad de
dulces que tiene finalmente Irene respecto de
la cantidad inicial?
20.En una ciudad, la población en el año 2008 era de
65 342 habitantes y se estima que en los tres años
siguientes su población creció un 14 %. ¿Cuántos
habitantes tendría la ciudad el 2011?
21.El precio de una bicicleta era de $ 55 000 en
enero y de $ 67 000 en diciembre del mismo año.
¿En qué porcentaje aumentó su precio?
22.El bambú es la planta que crece más rápido;
algunas especies tienen una tasa de crecimiento
de hasta 1,2 m diarios.
a. Si la longitud inicial de un bambú es de 12 m,
¿cuál es la variación porcentual en la longitud
de un bambú diariamente?
b. Si han pasado 5 días desde la última vez que
se midió la longitud del bambú, ¿cuánto pudo
haber crecido?, ¿cuál es la variación porcentual
en la longitud en los últimos 5 días?
23.En un año, el precio del arroz aumentó un 25 %
en febrero, volvió a aumentar un 15 % en agosto
y bajó un 5 % en noviembre. Ese año, ¿en qué
porcentaje varió el precio del arroz?
24.En una ciudad, el costo del pasaje de bus subió
un 5 % en marzo y un 14 % en junio. ¿En qué
porcentaje subió el precio del pasaje de bus
entre febrero y julio?
25.Un rectángulo mide 10 cm de base y 7 cm de altura.
Si la base aumenta un 5 % y la altura disminuye
2 %, ¿en qué porcentaje varía su área?
26.Si el a % de a es igual a 9, ¿cuál es el valor de a?
27.Si el a % de b es c , ¿cuánto es el 1 % de b,
expresado en términos de a y c?
Unidad 1 – Números
31
Proporciones
Ejercicios resueltos
1. ¿Para qué valor de x las razones 36 y 24 forman una proporción?
x 8
Para que 36 y 24 formen una proporción, el valor de las razones debe ser el mismo número, es decir:
x 8
36 = 24
x 8
Además, la igualdad anterior se cumple si y solo si:
x · 24 = 36 · 8
Despejamos x y calculamos su valor.
x = 36 · 8 = 288 = 12
24
24
Por lo tanto, si x = 12, las razones 36 y 24 forman una proporción.
x 8
2. Dos números están en la razón 3 : 5 y suman 96. ¿Cuáles son los números?
Sean a y b los números que buscamos. En tal caso, se cumple que a + b = 96 y, además, a = 3 . Si aplicamos
b 5
propiedades de proporciones, nos queda:
a+b = 3+5
Remplazamos a + b y sumamos.
5
b
96 8
=
Despejamos b y calculamos su valor.
b 5
b = 5 · 96 = 60
Utilizamos el valor de b para calcular a.
8
a = 96 – 60 = 36
Por lo tanto, los números buscados son 36 y 60.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Determina en cada caso si las razones forman una
proporción. Explica cómo lo supiste.
a. 3 y 36 4 12
b. 5 y 6 7 8
c. 7 y 14
8 16
d. 3 y 9
17 51
x formen
2. ¿Cuánto debe valer x para que 30 y
20
2
una proporción?
3. Encuentra el valor de x, en cada caso, para que
las siguientes razones formen una proporción.
a. 5 y x c. 14 y 42
2 40
3
x
7
3
15
x
b.
y d.
y
x 9
12 90
20
4. ¿Cuánto debe valer x para que 2 y
formen
0,5 x
una proporción? Marca la opción correcta.
A. 80
B. 20
C. 5
D. 2,5
2
4
5
5. ¿Cuánto debe valer x para que
y 5 formen
3
x
una proporción?
4
32
Unidad 1 – Números
6. La edad de una madre y su hijo están en la razón
8 : 3. Si el hijo tiene 12 años, ¿cuántos años tiene
la madre? Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
45 años.
26 años.
24 años.
32 años.
7. La suma de dos números es 81 y están en la
razón 4 : 5. Calcula el valor de cada uno de
los números.
8. Pedro y Pablo acordaron repartirse el total de
$ 312 000, de modo que las partes estén a razón
8 : 12. ¿Cuánto dinero recibirá cada uno?
9. Pamela y Carlos reunieron $ 130 000. La cantidad
que aportó cada uno están en razón 7 : 3, respectivamente. ¿Cuánto aportó cada uno?
10.El perímetro de un rectángulo es 78 cm y la razón
entre las medidas de sus lados es 7 : 6. Calcula
su área.
11.Tres números están en la razón 2 : 5 : 3 y suman
80. ¿Cuáles son los números?
13.Las edades de cuatro primos: Camila, Javier, Luis
y Ana, están en la razón 2 : 4 : 5 : 6 y sus edades
suman 85 años. ¿Cuál es la edad de Ana? Marca
la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
20 años.
25 años.
30 años.
32 años.
14.Las medidas de los ángulos interiores de un
triángulo están en la razón 4 : 18 : 14.
a. ¿Cuáles son las medidas de los ángulos
interiores del triángulo?
b. ¿Qué tipo de triángulo es, según la medida
de sus ángulos?
c. ¿Qué tipo de triángulo es, según la medida
de sus lados?
15.Las medidas de los lados de un triángulo
rectángulo están en la razón 3 : 4 : 5. Si su
perímetro es 60 cm:
a. ¿cuáles son las medidas de los lados
del triángulo?
b. ¿cuál es el área del triángulo?
16.Un mapa se ha dibujado de tal manera que 20 km
en la realidad equivalen a 10 cm en el mapa.
a. Si la distancia entre dos estaciones de metro es
1 km, ¿a qué distancia están en el mapa?
b. Si en el mapa, dos ciudades están a 26 cm,
¿a que distancia se encuentran en realidad?
17. En una feria se vende una reproducción a escala
de una pintura en forma rectangular cuyas
dimensiones son 0,75 m de ancho y 1,2 m de largo.
El ancho de la reproducción mide 0,2 m.
a. ¿Cuánto mide el largo de la reproducción?
b. ¿En qué porcentaje se disminuyeron las
dimensiones de la pintura?
c. ¿Cuál es la razón entre el área de la pintura
original y la reproducción?
18.Un automóvil posee un rendimiento de 22,6 km/L.
¿Cuántos litros de bencina consumirá en 450 km?
19.Si 5 trabajadores cavan una zanja de 10 m en
3 horas, ¿cuántos metros cavarán en el mismo
tiempo 15 trabajadores si lo hacen al mismo ritmo?
Unidad 1
12.Tres amigos se reparten $ 74 800 en la razón
2 : 4 : 5. ¿Cuánto recibe cada uno?
20.Si 10 ingenieros en informática en 8 días de trabajo
producen 3 programas de animación, ¿cuántos
ingenieros se necesitan para producir en 4 días los
mismos 3 programas de animación, si trabajan al
mismo ritmo?
21.Si 7 trabajadores construyen una máquina en
30 días, ¿cuántos trabajadores se necesitarían
para construir esta máquina en 10 días, si trabajan
al mismo ritmo? Marca la opción correcta.
A. 43
B. 21
C. 3
D. 89
22.Si después de un recital se demora 3 días en
limpiar el estadio, con 60 personas trabajando,
¿cuántas personas habría que contratar para
que se demoren solo un día, si trabajan al
mismo ritmo?
23.Un barra de metal de 34,5 cm de alto proyecta
una sombra de 22,5 cm. ¿Qué altura tiene un
edificio que en ese mismo minuto proyecta una
sombra de 13,4 m?
24.La razón entre la masa de Pedro y la de Juan es de
5 : 3, y la diferencia entre sus masas es de 40 kg.
¿Cuál es la masa de Pedro?
25.Marcelo ha calculado que 10 caballos consumen
820 costales de alfalfa en 180 días. Si ahora debe
alimentar a 25 caballos en 60 días, ¿cuántos
costales de alfalfa requiere?
26.En una fábrica de tejidos, 12 operarias confeccionan
160 chalecos durante 25 días. Si para un pedido
se requiere confeccionar 320 chalecos en 15 días,
¿cuántas operarias más se necesitan?
27.Una modista cose 10 camisas en 8 h. ¿Cuántas
horas tardarán 4 modistas en coser 20 camisas?
28.Si 25 ampolletas originan un gasto de $ 3 000
al mes, estando encendidas 6 h diarias, ¿qué gasto
originarían 20 ampolletas durante 10 h diarias?
29.Para llenar un estanque de 6 000 L en 4 h se abren
5 llaves iguales.
a. ¿En cuántas horas llenarán un estanque de
9 000 L con 6 llaves en iguales condiciones?
b. ¿Cuántas llaves se necesitan para llenar ese
mismo estanque en 2 h?
Unidad 1 – Números
33
Números enteros
Ejercicio resuelto
1. Roberto registró las temperaturas mínimas de una semana de julio en su ciudad.
Día de la
semana
Temperatura
mínima (ºC)
Lunes
Martes
Miércoles
Jueves
Viernes
Sábado
Domingo
0
–3
–1
–6
–2
4
1
Observa los valores de la tabla, luego, ordénalos de menor a mayor y ubica estos números en una recta
numérica. Además, determina el inverso aditivo de cada número.
Los números, ordenados de menor a mayor son: –6, –3, –2, –1, 0, 1, 4.
Se representan en la recta numérica de la siguiente manera:
–6
–4 –3 –2 –1
0
1
4
El inverso aditivo de cada número se muestra en la siguiente tabla:
Número
0
–3
–1
–6
–2
4
1
Inverso aditivo
0
3
1
6
2
–4
–1
Ejercicios y problemas propuestos
1. Ordena de mayor a menor los siguientes números:
4, –12, 40, –101, –98, 1, 2, 23, –68.
2. Ubica en una recta numérica todos los números
enteros mayores que –10 y menores que 7.
3. ¿Cuál es el inverso aditivo de –20?
4. ¿Cuál es el inverso aditivo de 1 020?
5. ¿Todo número entero negativo es siempre mayor
que cero? Justifica.
6. ¿El cero es siempre menor que todo número entero
positivo? Justifica.
Marca la opción correcta en los ítems 7 al 12.
7. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
A. En la recta numérica, es mayor el número
ubicado más a la derecha.
B. En la recta numérica, los números más cercanos
a cero son menores que los más lejanos.
C. El inverso aditivo de un número entero x es
aquel que sumado con cero resulta el mismo x.
D. En la recta numérica, los números positivos
están a la izquierda de los negativos.
34
Unidad 1 – Números
8. ¿Qué números enteros se encuentran entre
–14 y –7?
A.
B.
C.
D.
–13, –12, –11, –10, –9, –8
8, 9, 10, 11, 12, 13
–6, –5, –4, –3, –2, –1
–15, –16, –17, –18, –19, –20
9. Si x, y, z son tres números enteros tales que
x < y, y > z y x > z, el orden de menor a mayor es:
A. x, y, z
B. z, y, x
C. z, x, y
D. y, x, z
10.¿Cuál de las siguientes ecuaciones no tiene solución
en los números naturales?
A. 1 – x = 3
B. 3 – 2x = 1
C. 3 – x = 1
D. 1 + 2x = 3
11.¿Cuál es el inverso aditivo del número entero
ubicado entre –5 y –3?
A. –6
B. –4
C. 6
D. 4
12.¿Cuál de los siguientes números no es mayor
que –11?
A. 0
C. –37
B. –1
D. 54
La ciudad de Calama se encuentra aproximadamente a 2 300 m por sobre el nivel del mar.
El mar Muerto se encuentra aproximadamente a
400 m bajo el nivel del mar.
a. Representa cada uno de los números de la
tabla, utilizando números enteros.
b. Ubica en la recta numérica los números
de los carteles anteriores.
c. ¿Cuál es la diferencia de altitud entre estos
dos lugares? Utiliza la recta numérica anterior
para responder.
14.En un concurso Manuel obtuvo –12 puntos,
Josefa, 2 puntos, Mario, –19 puntos y Agustín,
12 puntos.
a. ¿Quién obtuvo el puntaje más alto?
b. ¿Quién obtuvo el puntaje más bajo?
c. Representa los puntajes de todos los niños
y niñas en una recta numérica.
15.En El Salvador (Chile), la temperatura máxima en
un día de junio fue de 21 ºC. Ese día la amplitud
térmica fue de 24 ºC.
a. ¿Cuál fue la temperatura mínima que se
registró? Justifica.
b. Si a las 10:30 h la temperatura había aumentado
7 ºC respecto de la temperatura mínima, ¿cuántos grados Celsius se registraron a esa hora?
c. Si a las 22:00 h la temperatura había
descendido 15 ºC respecto de la máxima,
¿cuál fue la temperatura a esa hora?
16.Romina tenía una deuda de $ 68 500 con su
hermana. Ya le pagó $ 33 500 y después le
pagó $ 14 000.
a. ¿Cuánto le falta para cancelar el total de
su deuda?
b. Si decidiera cancelar el resto en tres cuotas
iguales, ¿cuánto pagaría en cada cuota?
17. Un buzo que realiza actividades de investigación
se encuentra a 75 m bajo el nivel del mar, luego
asciende 20 m y vuelve a descender 15 m.
a. ¿A qué profundidad se encuentra ahora?
b. Si finalmente remonta a la superficie, subiendo a
10 m/min, ¿cuánto tarda en llegar a la superficie?
c. Representa en la recta numérica la posición
inicial, los descensos y ascensos del buzo.
Unidad 1
13.Observa la información y luego responde.
18.El pronóstico de la temperatura para Cochrane,
el día 11 de junio de 2011, según la Dirección
Meteorológica de Chile, se muestra en la
siguiente tabla.
Domingo 12
mín. 0 ºC
máx. 2 ºC
Lunes 13
mín. –1 ºC
máx. 4 ºC
Martes 14
mín. 0 ºC
máx. 3 ºC
Miércoles 15
mín. 0 ºC
máx. 3 ºC
Jueves 16
mín. –5 ºC
máx. 0 ºC
a. Según la información de la tabla, ¿qué día
se pronosticó la temperatura más baja?, ¿y la
más alta?
b. ¿En qué día se pronosticó la mayor amplitud
térmica?
c. Ordena de mayor a menor los números
correspondientes a las temperaturas pronosticadas para Cochrane.
d. Ubica en una recta numérica los números de
la tabla.
19.Un termómetro marca –7 ºC a las 7 de la mañana.
Luego, la temperatura aumenta 3 ºC cada
45 minutos.
a. Completa la siguiente tabla, en que se muestra
la temperatura registrada por el termómetro a
la hora indicada.
Hora
Temperatura
(ºC)
7:45
8:30
9:15
10:00
10:45
b. ¿Qué temperatura había a las 12:15 h?
c. Si la temperatura máxima de ese día fue 26 º C,
¿a qué hora se registró?
d. Si la temperatura mínima se registró a las
7 de la mañana, ¿cuál fue la amplitud térmica
de ese día?
Unidad 1 – Números
35
Operaciones con números enteros
Ejercicios resueltos
1. Calcula el resultado de (–3) · 6 + 5 – (–20) : [2 · (–4) + 3]
Para resolver este tipo de ejercicios debemos operar respetando la prioridad en las operaciones: resolvemos
las multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha y luego, las adiciones y sustracciones de izquierda a
derecha. Si hay paréntesis, resolvemos primero las operaciones encerradas en ellas. Luego:
(–3) · 6 + 5 – (–20) : [2 · (–4) + 3]
Resolvemos lo que está dentro de los corchetes, respetando la prioridad
en las operaciones.
(–3) · 6 + 5 – (–20) : [–8 + 3]
(–3) · 6 + 5 – (–20) : [–5]
Resolvemos multiplicaciones y divisiones de izquierda a derecha.
–18 + 5 – (+4)
Resolvemos adiciones y sustracciones de izquierda a derecha.
–13 – (+4)
–17
2. Si la suma de tres números enteros consecutivos es –12, determina cuáles son los números y cuál es el mayor
de ellos.
Si representamos el primer número como x, podemos representar el segundo como: x + 1 y el tercer número
como: x + 2, ya que son números consecutivos.
Luego, la ecuación que representa la situación es:
x + (x + 1) + (x + 2) = –12
3x + 3 = –12
3x = –15
x = –5
Sumamos –3.
Dividimos por 3.
Entonces, los números son: –5, –4 y –3, ya que: x + 1 = –5 + 1 = –4 y x + 2 = –5 + 2 = –3.
El mayor de los números es –3, pues es el que está más a la derecha en la recta numérica.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula el valor de –7 + –2 : 2 – –8 – –9 – 5 · –1.
2. Calcula el inverso aditivo de la expresión:
–[–2 – (–3 + (–1 – (–1) + 2) – 1) – 3]
3. Remplaza los valores de x e y, realiza los cálculos
y, luego, completa la tabla.
x
y
x–y
–2
12
7
–8
–6
36
–3
–8
–2
Unidad 1 – Números
Marca la opción correcta en los ítems 5 al 8.
5. ¿Cuál es el resto de la división entre –9 y 5?
A. –4
B. –1
C. 1
D. 4
6. ¿Cuál o cuáles de las siguientes proposiciones
son verdaderas?
I. (–8) · (–2) = 16
II. (–18) : 9 > –1
–2
–14
(x – y) · (–3) x : 2 + y · –3
4. ¿Qué número multiplicado por el doble de –5 da
como resultado 20?
III. (–10) – (–2) · 3 < –2
A. Solo I
B. Solo II
C. I y II
D. I y III
A. 13
B. –13
C. –7
D. 7
8. Si la suma de tres números enteros consecutivos
es cero, ¿cuál es el mayor de los números?
A. –1
B. 0
13.En los cuadrados mágicos, la suma de los
números de cada fila, de cada columna y de
cada diagonal es la misma. Completa los
siguientes cuadrados mágicos y, luego,
responde considerando ambos resultados.
9
C. 2
D. 1
Dividendo
Divisor
–20
12
36
–7
–24
–5
–102
20
Cociente
Resto
10.El valor de las acciones de una empresa disminuyó
$ 60 diarios durante dos semanas. Inicialmente
tenían un valor de $ 1 650 cada una.
a. ¿Cuánto costó cada acción al final de la
primera semana?
b. ¿Cuánto costó cada una al final de la
segunda semana?
11.En un diario mural rectangular de medidas
24 cm y 42 cm, se desean pegar fotografías
cuadradas de igual tamaño, de manera que
se cubra completamente.
a. ¿Cuál es la mayor longitud que puede tener el
lado de cada fotografía para que cumpla con
esta condición?
b. ¿Con cuántas fotografías de este tamaño se
cubre todo el diario mural?
12.La tabla muestra las temperaturas mínimas registradas durante algunos días de julio en una ciudad.
Lunes
–4 ºC
Martes
0 ºC
Miércoles
–2 ºC
Jueves
–5 ºC
Viernes
1 ºC
5
2
–6
–3
9. Aplicando el algoritmo de la división, completa la
siguiente tabla.
¿Cuál fue el promedio de las temperaturas
mínimas registradas esos días?
Unidad 1
7. Si al número –6 se le resta el doble de –5 y al
resultado se le suma el triple de 3, se obtiene:
–11
0
6
–4
a.
b.
c.
¿Cuál es el mayor de los números presentes
en los cuadrados mágicos?
¿Cuál es el menor de ellos?
¿Cuál es el mayor de los números negativos
que se observa en los cuadrados mágicos?
d. ¿Cuál es la suma de todos los números que
aparecen en el cuadrado mágico de la izquierda?
e. ¿Cuál es el producto de todos los números que
aparecen en el cuadrado mágico de la derecha?
14.En un juego de conocimientos se asignan
20 puntos si la respuesta es correcta y se quitan
10 puntos si es incorrecta.
a. Si un participante respondió correctamente
7 preguntas y falló en 4, ¿qué puntaje obtuvo?
b. Carlos y Mónica están participando en el juego.
Si Carlos consiguió 3 respuestas correctas y
6 incorrectas; y Mónica, 2 respuestas correctas
y 5 incorrectas, ¿quién obtuvo más puntos?
c. Si Samuel consiguió 6 respuestas correctas y
sacó un puntaje final de –30 puntos, ¿cuántas
respuestas incorrectas tuvo?
d. Si Elena se equivocó en 8 respuestas y sacó un
puntaje final de 60 puntos, ¿cuántas respuestas
correctas tuvo?
15.¿Cuál es la suma de todos los números enteros
ubicados entre –2 012 y 2 012?, ¿cómo lo supiste?
16.¿Cuál es el producto de todos los números
enteros ubicados entre –2 012 y 2 012?, ¿cómo
lo supiste?
17. Observa la siguiente multiplicación.
1 · (–2) · 3 · (–4) · … · 2 011 · (–2 012)
El resultado de la multiplicación anterior, ¿es
mayor o menor que 0?, ¿qué estrategia utilizaste
para resolverla?
Unidad 1 – Números
37
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 26.
1. El precio de una camisa es $ 8 900. Si se aumenta
en un 20 %, ¿cuál será el nuevo valor?
A. $ 12 800
B. $ 1 780
C. $ 10 680
D. $ 7 120
2. Al resolver [(–14) : 2 – (–6) · (–3)] · (–2) se obtiene:
A. –50
B. 22
C. 50
D. –11
3. El resultado de –[–2 + (–4 – 3) – 1] es:
A. –9
B. 10
C. –4
D. –10
4. ¿En cuál de los siguientes grupos los números
están ordenados en forma decreciente?
A.
B.
C.
D.
13, 8, 1, –2, –6, –7, –11
13, 8, 1, –11, –7, –6, –2
–11, –7, –6, –2, 1, 8, 13
1, 8, 13, –2, –6, –7, –11
C. 30
D. 27
6. La fracción 3 expresada como porcentaje es:
4
A. 75 %
C. 0,75 %
B. 25 %
D. 2,5 %
7. Carlos compra 2 1 kg de carne para un asado.
2
Si gasta $ 11 400 en esta compra, ¿cuánto costará
0,75 kg de la misma carne?
A. $ 5 700
B. $ 4 275
C. $ 8 550
D. $ 3 420
8. Don Ramiro recibió $ 297 000 por un trabajo
realizado en 18 días. ¿Cuánto recibiría en total si
trabajara en las mismas condiciones 50 días?
A. $ 165 000
B. $ 1 480 000
C. $ 1 122 000
D. $ 825 000
9. Loreto invitó a 50 personas a su fiesta. Si asiste
el 58 % de sus invitados, ¿cuántas personas no
asistieron a la fiesta?
A. 8
B. 20
38
Unidad 1 – Números
A.
B.
C.
D.
$ 2 900
$ 3 040
$ 3 840
$ 9 120
11.Un kilogramo de peras cuesta $ 435. ¿Con cuál de
las siguientes expresiones se puede calcular el
valor de n kg de peras?
A. 435 + n
B. 435 C. 435 · n
n
D.
n
435
12.En la expresión –28 : x = –4, ¿cuál es el valor de x?
A. 7
B. –7
C.
4
D. –112
13.Leandro y Camila se reparten un total de
92 láminas en la razón 1 : 3. ¿Cuántas láminas le
corresponden a Camila?
5. ¿Cuál es el 30 % de 900?
A. 300
B. 270
10.En un supermercado se ofrecen tres paquetes de
tallarines por $ 1 140. ¿Cuánto cuestan 8 paquetes?
C. 21
D. 29
A. 23
B. 31
C. 72
D. 69
14.En la siguiente recta numérica están marcados los
números –8 y –2.
–8
P
R
–2
Si todos los intervalos tienen igual tamaño,
entonces P y R corresponden, respectivamente,
a los números:
A.
B.
C.
D.
–4 y –6
–6 y –4
6 y –4
6y4
15.El número decimal 0,8 expresado como
porcentaje es:
A.
B.
C.
D.
8 %
80 %
0,8 %
20 %
16.De un libro de 540 páginas, Laura ha leído 189.
¿Qué porcentaje del libro le queda por leer?
A.
B.
C.
D.
35 %
70 %
30 %
65 %
Lunes 13
mín. –9 ºC
máx. –5 ºC
Martes 14
mín. –11 ºC
máx. –9 ºC
Miércoles 15
mín. –12 ºC
máx. –11 ºC
Jueves 16
mín. –13 ºC
máx. –12 ºC
Según la información anterior, ¿qué día tendría la
temperatura más baja?
A. Lunes.
B. Martes.
C. Miércoles.
D. Jueves.
18.En la proporción 2p : 4 = p : x, ¿cuál es el valor
de x?
A. 2
C. 2p
B. 0,5
D. 1 p
2
19.¿Cómo se escribe el número decimal 2,04?
A.
B.
C.
D.
Dos enteros cuatro décimos.
Dos enteros cuatro centésimos.
Dos enteros cuatro milésimos.
Dos enteros cuarenta centésimos.
20.¿Cuál de las siguientes fracciones es equivalente a
un número decimal infinito semiperiódico?
A. 8 C. 7
27
36
4
B.
D. 55
25
15
21.Multiplicar un número por 0,025 es igual que:
A.
B.
C.
D.
23.Si Jaime redondeó el decimal 7,019 y obtuvo 7,02,
¿qué nivel de aproximación utilizó?
A.
B.
C.
D.
A la décima.
A la centésima.
A la milésima.
A la diezmilésima.
24.Si 1,5 kg de pan cuesta $ 1 320, ¿cuánto cuestan
5,5 kg?
A. $ 4 400
B. $ 4 840
C. $ 6 600
D. $ 7 260
25.Si se deja abierta completamente una llave por
2 h, se llena un recipiente de 18,5 L. ¿Cuántos litros
3
entrarían en el recipiente si se deja abierta la llave
por 5 minutos?
A. 2,31 L
B. 6,17 L
C. 12,3 L
D. 30,83 L
26.Si las notas de Martina son 6,5; 6,2; 5,6 y 5,8, ¿cuál
es su promedio?
A. 5,9
B. 6,0
C. 6,1
D. 6,2
27.Camilo rindió una prueba de 42 preguntas. A cada
respuesta correcta se le asignaban 3 puntos;
a cada incorrecta, –1 punto; y 0 puntos a cada
omitida. Si Camilo contestó 25 preguntas
correctamente y obtuvo 66 puntos en total:
a. ¿Cuántas respuestas incorrectas tuvo?
b. ¿Cuántos puntos le asignaron en total por las
respuestas que tuvo incorrectas?
c. ¿Cuántas preguntas omitió?
28.En un cuadrado cuya área es 64 cm2, la longitud
de un par de lados paralelos disminuye en un
60 %, ¿cuál es el área de esta nueva figura?
Para resolver este problema, Francisco dibuja
lo siguiente:
dividirlo por 25.
dividirlo por 40.
dividirlo por 125
dividirlo por 400.
4,8 cm
22.La cuarta parte de 4,52 es:
A. 1,12
B. 1,13
Unidad 1
17. En la siguiente tabla se muestra el pronóstico de
la temperatura para la Península Antártica, según
la Dirección Meteorológica de Chile, informado el
domingo 12 de junio de 2011.
C. 1,23
D. 1,42
8 cm
Luego, calcula: 8 · 4,8 = 38,4. Entonces,
el área del rectángulo es 38,4 cm2.
¿Estás de acuerdo con el procedimiento
realizado por Francisco?, ¿por qué?
Unidad 1 – Números
39
Evaluación de síntesis de la unidad 1
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 18.
1. ¿Cómo se escribe el número tres millones
seiscientos setenta y dos mil noventa y tres?
A. 3 762 093
B. 3 672 903
C. 3 672 093
D. 3 762 903
2. En el número 25 648 310, ¿qué valor representa
el dígito 2?
A. 20 000 000
B. 2 000 000
C. 20 000
D. 20
3. ¿Cuál de los siguientes números no es primo?
A. 143
B. 113
C. 163
D. 181
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A.
B.
C.
D.
9 368 412 es divisible por 6.
1 578 321 es divisible por 9.
5 739 064 es divisible por 4.
25 610 063 es divisible por 3.
5. Para su cumpleaños, Felipe compró 60 vasos
plásticos a $ 35 cada uno y 70 platos de torta a
$ 51 cada uno. Si pagó con un billete de $ 10 000,
¿cuánto vuelto recibió?
A. $ 4 230
B. $ 4 330
C. $ 5 670
D. $ 5 760
6. El pozo a repartir en un juego de azar fue de
$ 20 374 512. Si hubo 3 ganadores y todos recibieron la misma cantidad de dinero, ¿cuánto dinero
se ganó cada uno?
A. $ 679 154
B. $ 6 790 504
C. $ 6 791 504
D. $ 6 790 154
7. Un curso tiene 18 niñas y 27 niños. ¿Qué fracción
del curso son mujeres?
A. 3 C. 2
5
3
5
B. D. 2
3
5
2
8. Carla se comió los de los chocolates de una
5
caja. Si quedan 15 chocolates en la caja, ¿cuántos
había inicialmente?
A. 25 chocolates.
B. 30 chocolates.
9. La suma de 2 8 y 2 es:
9 3
A. 2 10 9
5
B. 3 9
40
Unidad 1 – Números
C. 50 chocolates.
D. 20 chocolates.
C. 2 10
12
D. 2 6
9
10.¿Cuál de los siguientes números decimales es
mayor que 32,7623?
A. 31,7622
B. 23,77
C. 32,763
D. 32,76229
11.Si 1 pulgada equivale a 2,54 cm, aproximadamente,
¿cuántos centímetros mide una barra de
15,24 pulgadas?
A. 6,0 cm
B. 12,7 cm
C. 17,78 cm
D. 38,7 cm
12.Si cinco de cada nueve personas tiene Internet en
su casa, ¿cuál es la razón entre las personas que
tienen este servicio y las que no lo tienen?
A. 5 : 9
B. 4 : 9
C. 4 : 5
D. 5 : 4
13.De un álbum con 360 láminas, Roberto ha
completado el 45 %. ¿Cuántas láminas le faltan
para completar el álbum?
A. 45 láminas.
B. 162 láminas.
C. 198 láminas.
D. 315 láminas.
14.Si x : y = 2 : 3 y x + y = 40, ¿cuánto es y – x?
A. 8
B. 16
C. 24
D. 32
15.¿Cuál es el valor de (–6) · 5 – (–4)?
A. –34
B. –26
C. 26
D. 34
16.Si a > 0 y b < 0, ¿cuál de las siguientes relaciones
siempre es correcta?
A.
B.
C.
D.
a + b > 0
a – b > 0
a·b>0
a:b>0
17. ¿Cuál es el inverso aditivo de –3?
A. –3
B. 0
C. 1
D. 3
18.Respecto del algoritmo de la división, ¿cuál de las
siguientes afirmaciones es correcta?
A. En cualquier división el resto es menor que el
valor absoluto del divisor.
B. En cualquier división el resto siempre es un
número positivo.
C. Si el dividendo es un número negativo, entonces el resto es menor que 0.
D. En cualquier división el dividendo es igual al
divisor por el cociente.
2
7
9
0
6
8
1
a. Usando los números de las tarjetas, y sin
repetirlos, escribe tres números mayores
que 8 500 000.
b. Usando los números de las tarjetas, y sin
repetirlos, escribe tres números de siete
cifras menores que 1 400 000.
c. Ordena de menor a mayor los números que
escribiste en a y b.
d. Representa en la recta numérica los números
que escribiste en a y b, redondeados a la
unidad de millón.
e. ¿Cuál es el número mayor que se puede
formar, utilizando todas las tarjetas y sin
repetirlas? Escríbelo con cifras.
f. ¿Qué dígito ocupa la posición de la CM en
el número anterior?
g. ¿Cuál es el número menor de siete cifras que
se puede formar, utilizando todas las tarjetas
y sin repetirlas? Escríbelo con palabras.
h. ¿Qué valor representa el dígito 6 en el
número anterior?
20.Obtén la descomposición prima de cada número.
a. 162 =
b. 360 =
c. 2 560 =
d. 18 900 =
21.Luis tiene 100 bolitas, Diego tiene las 2 partes
5
de las bolitas que tiene Luis y Juan tiene los 3 de
4
lo que tiene Diego.
a.
b.
c.
d.
¿Cuántas bolitas tiene Diego?
¿Cuántas bolitas tiene Juan?
¿Cuántas bolitas más tiene Luis que Juan?
¿Cuántas bolitas tienen entre los tres?
22.Un granjero decide cercar un potrero rectangular
que mide 53,60 m de largo por 42,80 m de ancho,
con una corrida de alambre.
a. ¿Cuántos metros de alambre necesita?
b. Si tenía 456,7 m de alambre, ¿cuánto le sobró
después de cercar el potrero?
Unidad 1
19.Observa los números de las tarjetas y realiza las
siguientes actividades.
24.Un curso tiene 24 estudiantes, de los cuales
un 75 % son mujeres.
a. ¿Cuál es la razón entre la cantidad de mujeres
y la de hombres del curso?
b. ¿Cuántas mujeres más que hombres hay en
el curso?
c. Si el año pasado el curso tenía 14 mujeres y
6 hombres, ¿en qué porcentaje aumentó el
número de estudiantes del curso este año
respecto del anterior?
25.El precio de un libro es de $ 8 600. En una oferta
se rebajó su precio en un 16 %.
a. ¿Cuál es el precio del libro con la rebaja?
b. Si Eliseo compró el libro en oferta y pagó con
un billete de $ 10 000, ¿cuánto vuelto recibió?
c. Un comerciante compró 12 libros en oferta
para luego venderlos en otro lado. Si después vendió cada libro a $ 7 500, ¿cuánta
ganancia obtuvo?
26.Las edades de Luis y Edgar están en la razón 7 : 2.
Si Luis tiene 28 años, ¿qué edad tendrá Edgar en
3 años más?
27.En cada caso, determina el valor de x de modo
que las razones formen una proporción.
a. 6 y x 12 5
b. x y 7 8 56
c. 6 y 18
4 x
d. 6 y 33
x 121
28.En el fútbol, la diferencia de goles corresponde al
valor obtenido al restar la cantidad de los goles
convertidos y los recibidos. Si en una temporada
un equipo convirtió 23 y recibió 41, ¿cuál fue su
diferencia de goles?
29.El refrigerador de Sebastián tenía una temperatura constante de 18 ºC bajo cero. Luego de un
corte de energía, la temperatura comenzó a subir
a razón de 3 ºC cada 20 minutos.
a. ¿Qué temperatura había en el refrigerador
después de 1 h del corte de energía?
b. ¿Cuántos minutos después del corte, la
temperatura del refrigerador era 0 ºC?
c. ¿Después de cuánto rato la variación en la
temperatura fue de 27 ºC?
23.¿Cuál es el perímetro de un rectángulo de 2,31 cm
de largo y 19 cm de ancho?
5
Unidad 1 – Números
41
Unidad
2
Números y álgebra
Base
Potencias
Exponente
Valor de la
potencia
Números
y álgebra
Coeficiente
Término
algebraico
Variable
Expresión
algebraica
Crecimiento
exponencial
Decrecimiento
exponencial
Términos
semejantes
Ecuación de
primer grado
Planteo
Resolución
Habilidades
• Comprender el concepto de potencia y aplicarlo en diversas situaciones.
• Identificar regularidades en la multiplicación y división de potencias.
• Verificar procedimientos para multiplicar y dividir potencias de base entera, fraccionaria o decimal positiva
•
•
•
•
•
•
•
•
•
y exponente natural.
Estimar mentalmente el valor de algunas potencias.
Interpretar información expresada en potencias.
Conjeturar, argumentar, verificar y aplicar propiedades de las potencias.
Establecer relaciones entre potencias y raíces cuadradas.
Resolver problemas que involucran crecimiento y decrecimiento exponencial, y potencias de base entera,
fraccionaria o decimal positiva y exponente natural.
Resolver ecuaciones de primer grado con una incógnita y coeficientes enteros.
Verificar las soluciones de una ecuación de primer grado con una incógnita.
Plantear ecuaciones de primer grado con una incógnita que representan distintas situaciones.
Representar, mediante expresiones algebraicas, situaciones numéricas y geométricas.
P ara recordar
• Una potencia es la multiplicación de un factor
repetidas veces por sí mismo. Al factor que se
repite le llamamos base, y al número de veces
que se repite dicho factor, exponente.
an
Exponente
Base
• El valor de la potencia es el producto total que
se obtiene al multiplicar la base por sí misma
tantas veces como lo indica el exponente. Por
convención, el valor de una potencia de base
42
Unidad 2 – Números y álgebra
distinta de cero y exponente cero es igual a 1.
Es decir, si a ≠ 0: a0 = 1. Además, se cumple que:
1n = 1; a1 = a (con a ≠ 0).
• Si la base de la potencia es 10 y el exponente es
positivo, el valor de la potencia queda expresado
con la cantidad de ceros que indica el exponente.
Si la base es 10 y el exponente es negativo, el
valor de la potencia queda expresado con tantas
cifras decimales como indica el valor absoluto
del exponente. Por ejemplo: 108 = 100 000 000,
10 –8 = 0,00000001.
• Esto nos permite expresar grandes cantidades
como un producto de un número natural y una
potencia de diez.
• Para multiplicar una potencia de base 10 y exponente natural:
– por un número natural, se agrega a la derecha
del número tantos ceros como indique el
exponente de la potencia.
– por un número decimal, se desplaza la coma
tantos lugares a la derecha como indique el
exponente de la potencia. Si no hay cifras
suficientes, se agregan ceros.
• Para calcular la raíz cuadrada de un número
positivo a, puedo buscar un número x cuyo
cuadrado sea a. Es decir, x 2 = a, entonces x = √a .
• Para calcular el valor de una potencia cuya base
es una fracción, se puede calcular el valor de la
potencia del numerador y del denominador.
( )
a n = an .
En general:
b
bn
• Para multiplicar potencias de igual base, se puede
•
•
•
•
•
conservar la base y sumar los exponentes.
En general: an · am = an + m.
Para multiplicar potencias con igual exponente,
se pueden multiplicar las bases y conservar el
exponente. En general: an · bn = (a · b)n.
En una potencia que tiene como base un
número entero positivo y como exponente un
número natural, el resultado es siempre positivo.
Ejemplo: 23 = 2 · 2 · 2 = 8.
En una potencia que tiene como base un número
entero negativo, el resultado es:
– positivo, si el exponente es un número
natural par. Ejemplo: (–2)2 = (–2) · (–2) = 4.
– negativo, si el exponente es un número
natural impar. Ejemplo:
(–2)3 = (–2) · (–2) · (–2) = –8.
Para calcular el valor de la potencia de una
potencia, basta con mantener la base y
multiplicar los exponentes. En general, si a es
un número entero, n y m son números naturales,
entonces: (an)m = an · m.
Un término algebraico es una expresión
matemática que tiene dos componentes:
el coeficiente (o factor numérico) y el factor
literal, compuesto por una o más letras con sus
respectivos exponentes. Es decir, corresponde
a un producto o cociente de números y letras.
• Una expresión algebraica es un conjunto de uno
•
•
•
•
•
•
•
•
•
o más términos algebraicos unidos mediante
operaciones de suma o resta.
Los términos semejantes de una expresión
algebraica son todos los que tienen el mismo
factor literal, es decir, tienen las mismas letras y
además, cuando incluyen potencias, el mismo
exponente para cada una.
Para reducir los términos semejantes de una
expresión algebraica, se asocian los términos
que son semejantes y luego se suman o restan,
según corresponda.
En el lenguaje algebraico, cuando se usa una
letra para representar una variable, significa que
esta puede tomar distintos valores numéricos.
Se debe usar la misma letra cada vez que se
refiere a esa variable.
Valorizar una expresión algebraica significa
remplazar las variables por valores numéricos
y luego calcular su resultado.
Si a los dos lados de una igualdad se suma o
resta un mismo número, la igualdad se mantiene.
Lo mismo ocurre si se multiplica o divide por un
mismo número, distinto de cero.
Una ecuación es una igualdad que contiene
un valor desconocido llamado incógnita.
Esta incógnita se puede representar mediante
una letra.
La solución de una ecuación es el valor que
debe tomar la incógnita para que la igualdad
sea cierta. Resolver una ecuación es encontrar
este valor.
Para facilitar la resolución de ecuaciones con
coeficientes fraccionarios, conviene amplificar
cada término de la ecuación por el mínimo común
múltiplo de los denominadores de las fracciones
presentes en la ecuación, y luego, resolverla.
Cuando los coeficientes son números decimales,
conviene amplificar cada término de la ecuación
por la potencia de 10 que transforme en número
natural al decimal con más cifras decimales,
y resolverla.
Unidad 2 – Números y álgebra
43
Concepto de potencia
Ejercicios resueltos
1. En un restaurante se ofrecen desayunos a elección. Las opciones son:
Para beber
Pan
Dulce
Leche
Jamón
Torta
Té
Queso
Kuchen
Café
Huevo
Galletas
¿Cuántos menús diferentes se pueden escoger?, ¿qué
expresión matemática permite calcularlo? ¿De qué otra
forma se podrían determinar todas las posibilidades
de menús?
Como para beber se tienen 3 opciones, para el pan
3 opciones y para el dulce 3 opciones, entonces la expresión
matemática que permite calcular todas las posibilidades
es 3 · 3 · 3, que escrito como potencia es 33 = 27. Por lo tanto,
existen 27 posibles menús.
Se podrían determinar mediante un diagrama de árbol.
En la figura, se muestra el diagrama de árbol, en el cual
se pueden representar las 27 posibilidades de menús.
2. ¿Se obtiene el mismo resultado al calcular 34 y (3 · 4)? Justifica tu respuesta.
No, pues al calcular la potencia, resulta 34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81.
Luego, (3 · 4), que también se puede escribir como (3 + 3 + 3 + 3), resulta 12.
Por lo tanto, 34 ≠ 3 · 4.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Escribe cada potencia como multiplicación de
factores iguales y, luego, calcula su valor.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
82 =
63 =
45 =
114 =
203 =
1006 =
25 =
h. 27 =
i. 35 =
j. 47 =
k. 65 =
l. 84 =
m. 503 =
n. 104 =
2. Escribe las siguientes expresiones utilizando
una potencia o una multiplicación y, luego,
calcula su valor.
a.
b.
c.
d.
44
2 · 2 · 2 =
5 + 5 + 5 + 5 =
10 · 10 · 10 · 10 =
3 + 3 =
Unidad 2 – Números y álgebra
e.
f.
g.
h.
3·3·3·3·3=
10 + 10 + 10 + 10 =
5·5·5·5=
2+2+2+2=
Marca la opción correcta en los ítems 3 al 6.
3. La potencia 26 tiene el mismo valor que:
I. 43
II. 23 · 82
III. 82
A. Solo II
B. Solo III
C. I y III
D. I, II y III
4. El área de un cuadrado de lado 24 cm es:
A. 48 cm2
B. 28 cm2
C. 216 cm2
D. 416 cm2
5. La arista de un cubo cuyo volumen es
36 cm3 mide:
A. 3 cm B. 32 cm C. 33 cm
D. 34 cm
I. n = 1
II. x = 1
III. n = 0, con x ≠ 0.
A.
B.
C.
D.
Solo I
Solo II
I y II
II y III
7. Carolina envió a tres compañeras de curso un
correo solidario, en el cual les pidió que cada
uno se lo mande a otras tres personas y cada
una de estas, a otras tres y así sucesivamente.
Si todas cumplieron y las últimas personas que
recibieron el correo fueron 6 561, ¿cómo representarías esta situación utilizando potencias?
Justifica tu respuesta.
8. En un supermercado se venden tres marcas
de alimentos para perros. Estos además,
pueden ser a base de verduras, carne o pollo,
y para cachorros, perros juveniles y adultos.
a. ¿Cuántas variedades de alimentos para
perros ofrece el supermercado? Explica.
b. ¿Cuál es la potencia que representa la
situación anterior?
c. Muestra en un diagrama de árbol todas
las posibilidades.
9. Bernardo va a asistir a una fiesta y no sabe
cómo vestirse. Tiene dos pantalones, uno negro
y uno azul, dos tipos de calzado, zapatillas y
zapatos, dos poleras, una blanca y una gris,
y dos tipos de chalecos, uno con y otro
sin botones.
a. ¿De cuántas maneras se podría vestir
Bernardo? Utiliza potencias para resolver.
b. Muestra en un diagrama de árbol todas
las posibilidades.
10.Una huerta de forma cuadrada, cuyos lados
miden 16 metros, se ha dividido en cuatro partes
iguales de forma cuadrada y, estos sectores a
su vez, se han subdividido de la misma manera.
¿Cuál es el área de los sectores más pequeños?
Muestra cómo lo calculaste.
Unidad 2
6. El valor de la potencia x n es igual a 1 si:
12.Una villa está formada por 12 manzanas y cada
manzana tiene 12 casas. ¿Cuántas casas hay en
12 villas como la descrita?
13.La señora Mónica hace almuerzos caseros para
oficinas. Para entregarlos, ella cuenta con cuatro
repartidores que llevan cuatro cajas cada uno,
dentro de las cuales van cuatro almuerzos. Para
cumplir con los pedidos, diariamente cada repartidor
debe realizar cuatro viajes. ¿Cuántos almuerzos
debe enviar diariamente la señora Mónica?
14.Don Omar ahorra de tal forma que el primer
mes ahorra $ 5 y luego cada mes ahorra 5 veces
lo ahorrado el mes anterior. ¿Cuánto ahorra el
séptimo mes?
15.Una tienda está liquidando sus productos por
el cierre de local, de forma que cada semana se
vende la mitad del stock, sin reponer ningún
artículo. ¿Cuántas semanas transcurren hasta que
se agotan todos los productos, si en un principio
había 512 artículos?
16.Si el crecimiento diario de cierta bacteria es en
base dos: es decir el día 0 hay 20 = 1 bacteria,
el día 1 hay 21 = 2 bacterias y el día 2 hay 22 = 4,
como lo muestra el siguiente diagrama.
a. ¿Cuántas bacterias hay después de 7 días?
b. ¿Cuántas bacterias hay después de 10 días?
c. ¿Cuál es la expresión matemática para conocer
el número de bacterias después de n días?
17. Un tipo de bacterias se duplica cada media hora.
Si a las 8:30 h hay una bacteria, ¿cuántas bacterias
habrá a las 14:00 h del mismo día?, ¿y a las 23:30 h?
Utiliza potencias para resolver.
11.Una caja contiene 9 rollos de género, cada uno
con 9 metros de género. Expresa la cantidad de
metros de género que hay en 9 cajas.
Unidad 2 – Números y álgebra
45
Descomposición de números utilizando potencias de 10
Ejercicios resueltos
1. Joaquín dice que su pueblo tiene un terreno cuya área es de 1 250 000 m2. Expresa su área utilizando una
potencia de diez.
Para expresar el área del pueblo de Joaquín podemos hacer la siguiente descomposición:
1 250 000 = 125 · 10 000 = 125 · 104
Por lo tanto, el área se puede expresar como 125 · 104 m2.
2. Iván ha comprado en el supermercado Cuentas Claras algunos productos. Si Iván va a pagar con billetes de
$ 10 000 y de $ 1 000, y monedas de $ 100, $ 10 y $ 1 utilizando la menor cantidad de billetes y monedas,
¿cómo debería cancelar para no recibir vuelto? Expresa este resultado utilizando potencias de base 10.
Para determinar exactamente con cuántos billetes y cuántas monedas
debe cancelar, vamos a descomponer el número 25 723 en términos
de 10 000, 1 000, 100, 10 y 1. Entonces, se obtiene:
Supermercado
Cuentas Claras
Boleta Nº 2 345
8 de agosto de 2011
18:36 h
25 723 = 20 000 + 5 000 + 700 + 20 + 3
= 2 · 10 000 + 5 · 1 000 + 7 · 100 + 2 · 10 + 3 · 1
Expresado con potencias de 10 es:
25 723 = 2 · 104 + 5 · 103 + 7 · 102 + 2 · 101 + 3 · 100
Luego, para no recibir vuelto, Iván debe cancelar con: 2 billetes de
$ 10 000, 5 billetes de $ 1 000, 7 monedas de $ 100, 2 monedas de
$ 10 y 3 monedas de $ 1.
5 · leche entera
3 · pasta dental
1 · detergente
4 · fideos
2 · salsa de tomates
7 · sémola con leche
1 · detergente 10 kg
$ 2 990
$ 1 200
$ 4 560
$ 14 200
$ 904
$ 2 317
$ 12 332
TOTAL
$ 25 723
Ejercicios y problemas propuestos
1. Escribe los siguientes números como un número
natural multiplicado por una potencia de 10.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
A.
B.
C.
D.
247 000
6 900 000
16 800 000
48 000 000 000
7 420 000 000 000
364 000 000 000 000
C.
700 000
D. 700 000 000
3. Descompón los siguientes números utilizando
potencias de 10.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
46
354
1 560
78 099
99 410
111 111
236 870
Unidad 2 – Números y álgebra
1 · 105 + 2 · 104 + 4 · 100
1 · 104 + 2 · 103 + 4 · 101
1 · 105 + 2 · 104 + 0 · 103 + 0 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100
1 · 104 + 2 · 103 + 0 · 102 + 0 · 101 + 4 · 100
5. Escribe el número correspondiente a
cada descomposición.
2. Si la descomposición de un número es 7 · 107,
¿cuál es el número? Marca la opción correcta.
A. 7 000 000
B. 70 000 000
4. ¿Cuál es la descomposición en potencias de base
10 del número 12 004? Marca la opción correcta.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
5 608 122
1 200 500
17 630 043
223 505 600
8 000 000 450
8 360 004 001
a. 3 · 103 + 5 · 102 + 2 · 100
b. 4 · 106 + 3 · 105 + 6 · 101
c. 5 · 104 + 5 · 102 + 5 · 100
d. 9 · 106 + 8 · 105 + 1 · 101
e. 6 · 109 + 1 · 102 + 2 · 100
f. 7 · 106 + 3 · 104 + 6 · 103 + 5 · 102 + 2 · 100
g. 3 · 109 + 2 · 107 + 5 · 105 + 1 · 102 + 8 · 100
h. 7 · 1010 + 5 · 108 + 6 · 104 + 1 · 102
i. 1 · 104 + 3 · 103 + 9 · 102 + 7 · 101 + 9 · 100
j. 3 · 105 + 3 · 104 + 2 · 103 + 1 · 102 + 1 · 100
k. 8 · 107 + 5 · 105 + 6 · 104 + 1 · 102 + 9 · 100
l. 8 · 107 + 5 · 106 + 3 · 105 + 3 · 102 + 1 · 101
m. 9 · 107 + 4 · 106 + 1 · 103 + 7 · 102 + 6 · 100
n. 1 · 108 + 9 · 106 + 9 · 105 + 9 · 102 + 9 · 100
a. Tres millones doscientos mil.
b. Quinientos cuarenta y cinco mil nueve.
c. Quince millones trescientos cuarenta y tres mil
doscientos cuatro.
d. Novecientos millones.
e. Cuarenta y seis mil quinientos ochenta y siete.
f. Ochenta millones.
7. Si a = 5 000, b = 100 y c = 60 000, calcula el valor
de las siguientes expresiones y escríbelo usando
potencias de 10.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
a+b+c
a∙b+c
a∙b–c
(a ∙ b) + (c : b)
c–a+b
b ∙ b + c + a + (c : b)
13.Compara y completa con los signos <, > o =,
según corresponda.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
12 · 104
12 567
14
38 · 10
38 · 1012
98 000 000 000
98 · 106
15
525 · 10
5 250 · 1016
423 · 1012
4 · 1015
22
67 · 10
6 700 · 1019
14.La superficie de Bolivia es aproximadamente
11 · 105 km2 y la de Perú es 1,3 · 106 km2.
a. Compara las superficies de Perú y Bolivia.
¿Cuál es mayor?
b. Escribe los números correspondientes a
cada superficie.
15.Averigua cuál es el área de la Luna (en km2)
y, luego, expresa este número como una
descomposición utilizando potencias de 10.
8. La población de Chile es aproximadamente
17 000 000 de habitantes.
a. Expresa la cantidad de habitantes de Chile con
potencias de 10.
b. Si la población mundial es aproximadamente
400 veces más grande, escríbela usando
potencias de 10.
9. Las estrellas son enormes bolas de plasma
brillantes y muy calientes. La estrella roja Próxima
Centauri se encuentra a unos 40 billones de kilómetros de la Tierra aproximadamente. ¿Cómo se
expresa esta distancia usando potencias de 10?
16.La masa de la Tierra es aproximadamente
6 cuatrillones de kilogramos, es decir,
6 000 000 000 000 000 000 000 000 kilogramos.
Expresa esta cantidad utilizando potencias de 10.
17. La distancia que nos separa de la galaxia
Andrómeda es 24 000 000 000 000 000 000 km,
aproximadamente. Expresa esta distancia
utilizando potencias de 10.
Marca la opción correcta en los ítems 10 al 12.
18.La distancia a los confines observables
del universo es aproximadamente
460 000 000 000 000 000 000 000 km.
Expresa esta distancia utilizando potencias
de 10.
10.¿Qué número equivale a la descomposición
2 · 105 + 5 · 106 + 1 · 103 + 1 · 104 + 9 · 101?
19.Al ordenar de menor a mayor los números 4 · 103,
3 · 104, 4 · 102, 402, 30 212, se obtiene:
A.
B.
C.
D.
5 211 090
2 511 009
5 211 009
5 121 090
11.¿Cuál es el dígito que está en la posición de las
centenas en 5 · 10 5 + 8 · 10 4 + 6 · 10 3 + 2 · 100?
A. 2
B. 8
C. 6
D. 0
12.¿Cuál es el dígito de la decena de mil en la descomposición 3 · 106 + 6 · 105 + 1 · 104 + 1 · 102 + 8 · 100?
A. 3
B. 6
Unidad 2
6. Descompón los siguientes números utilizando
potencias de 10.
C. 0
D. 1
A.
B.
C.
D.
402, 4 · 102, 30 212, 4 · 103, 3 · 104.
4 · 102, 402, 3 · 104, 30 212, 4 · 103.
4 · 102, 402, 4 · 103, 3 · 104, 30 212.
402, 4 · 102, 4 · 103, 3 · 104, 30 212.
20.En al año 2010 la fundación Teletón organizó
el evento “Chile ayuda a Chile” para construir
veinte mil viviendas de emergencia e ir en ayuda
de la gente afectada por el terremoto del 27 de
febrero de ese mismo año. La meta era reunir
quince mil millones de pesos. Escribe, usando
potencias de 10, la cantidad de viviendas que
se querían construir y la meta de dinero a reunir.
Unidad 2 – Números y álgebra
47
Multiplicación y división por potencias de 10
Ejercicios resueltos
1. ¿Cuál es el resultado de (2,53 · 104) : 107?
Primero, debemos resolver el paréntesis, es decir, (2,53 · 104). En este caso, debemos desplazar la coma 4 lugares a la
derecha del número 2,53 (pues el exponente de la potencia es 4) y añadir los ceros que falten. Con esto se obtiene:
(2,53 · 104) = 25 300
Luego, debemos dividir 25 300 por 107, entonces desplazamos la coma 7 lugares a la izquierda, pues el exponente
de la potencia es 7. Esto resulta:
25 300 : 107 = 0,00253
Finalmente, (2,53 · 104) : 107 = 0,00253.
2. La rapidez de la luz es aproximadamente 300 000 km/s. Escribe en notación científica la distancia que
recorre la luz en una hora.
Primero calculamos cuántos segundos tiene una hora.
1 h = 60 min = 60 · 60 s = 3 600 s
Hacemos una proporción para calcular los kilómetros que recorre en 3 600 s.
x = 300 000 = 300 000
3 600
1
x = 3 600 · 300 000 = 3,6 · 103 · 3 · 105 = 1,08 · 109
Por lo tanto, la luz recorre 1,08 · 109 km en una hora.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula los productos o cocientes.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
10 · 10
85 · 106
100 · 103
294 · 102
354 · 104
4 562 · 108
0,003 · 104
0,0025 · 1010
1,26 · 107
32,45 · 104
9
k. 5 : 10
l. 10 : 103
m. 784 : 102
n. 2 366 : 102
ñ. 35 498,456 : 103
o. 0,9 : 105
p. 0,5 : 108
q. 35,87 : 103
r. 456,1 : 103
s. 0,00059 : 106
1
2. Compara los resultados en cada caso y completa
con los signos <, > o =, según corresponda.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
0,55 ∙ 104
55 000 : 102
2
2,5 ∙ 10
0,002 ∙ 105
3
0,0047 ∙ 10
4 : 101
88 000 : 104
0,88 ∙ 101
5
0,2 ∙ 10
2 000 : 105
6
999 : 10
0,0098 ∙ 109
3. Calcula y ordena los productos de mayor a menor.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
48
2 · 103; 25 · 102; 0,2 · 105
1 · 106; 0,01 · 104; 0,0001 · 108
0,25 · 104; 0,26 · 103; 25 · 101
0,536 · 106; 0,526 · 106; 536 · 106
3 · 105; 3,5 · 105; 0,3 · 107
0,999 · 105; 999 · 101; 9,99 · 102
Unidad 2 – Números y álgebra
4. Resuelve las siguientes operaciones.
a. (65 · 103) : 105
b. (8,5 · 106) : 102
c. (1 200 : 102) · 106
d. (62 000 : 103) : 102
e. (2 · 102) · (3,5 · 104)
f. (3,6 · 105) : (0,2 · 102)
Marca la opción correcta en los ítems 5 al 11.
5. El resultado de (2,8 · 106) : (0,7 · 103) es igual a:
I. 4 · 102
II. 0,4 · 103
III. 0,04 · 105
A. Solo I B. Solo III
C. Solo II y III
D. I, II y III
6. ¿Cuál es el dígito de la unidad de mil al calcular
(0,2356 · 103) · 105?
A. 0
B. 6
C. 5
D. 2
7. Para realizar una cirugía, un médico necesita una
aguja de 0,3 mm de diámetro. Esta medida escrita
en metros es:
A. 0,3 · 103 m
B. 0,3 · 104 m
C. 0,3 : 103 m
D. 0,3 : 104 m
A. 3 · 104 cm3
B. 3 · 105 cm3
C. 3 · 106 cm3
D. 3 · 107 cm3
9. El valor de la expresión (1 · 10m) : (0,1 · 10n) es
igual a 1 si:
I. m = 4, n = 5
II. m = 3, n = 1
III. m = 6, n = 5
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo III
D. I y III
10.¿Cuál de las siguientes expresiones es menor que
0,02 : 103?
A.
B.
C.
D.
4 : 105
70 : 106
6 : 106
0,5 : 103
11.Al dividir 3,6 · 1024 por 108, se obtiene:
A.
B.
C.
D.
3,6 · 103
3,6 · 1016
3,6 · 1032
3,6 · 1012
12.Rodrigo quiere saber la cantidad de hojas que
hay en un tipo de árbol. Si por cada rama hay
102 hojas y el árbol tiene alrededor de 102 ramas:
a. ¿cuántas hojas hay en el árbol?
b. Nicolás, el hermano de Rodrigo, dice que en
otro tipo de árbol hay en total 105 hojas y
103 ramas, ¿cuántas hojas tiene cada rama?
c. Si en la plaza donde juegan Rodrigo y Nicolás
hay 10 árboles de cada tipo con una cantidad
de hojas similares, ¿cuántas hojas de árbol
habría en la plaza?
13.Las ganancias que una empresa recibió en el
2009 ascienden a $ 2,5 · 107.
a. Si el año 2010 las ganancias fueron de un 15 %
más que el año 2009, ¿cuánto dinero obtuvieron
de ganancias entre el 2009 y 2010? Expresa el
resultado como un número natural.
b. Si el año 2011 la empresa obtuvo ganancias
correspondientes al 90 % de lo recibido en el
2010, ¿cuánto dinero obtuvo de utilidad la
empresa ese año? Expresa el resultado
utilizando potencias de 10.
Unidad 2
8. El volumen de una piscina es 30 000 L.
Si 1 L = 1 000 cm3, entonces el volumen de la
piscina escrito en centímetros cúbicos es:
14.Se estima que cada habitante produce en
promedio 0,5 kg de basura al día. Si se estima
que los habitantes en Chile en el año 2012 son
1,75 · 107, calcula:
a. ¿cuántos kilogramos de basura producen los
habitantes chilenos en un día?
b. ¿cuántos kilogramos de basura producen en
un mes (30 días) los chilenos?
c. ¿cuántos kilogramos de basura producirán los
chilenos en el 2012?
15.Dado un cubo de 20 cm de arista, calcula:
a. su área total y expresa el resultado utilizando
potencias de diez.
b. su volumen y expresa el resultado utilizando
potencias de diez.
16.Lucía observa un prisma recto de base cuadrada.
Si su arista basal mide 100 cm y su altura mide
500 cm, calcula:
a. el área total del prisma y expresa el resultado
utilizando números naturales y potencias
de 10.
b. el volumen del prisma y expresa el resultado
utilizando números naturales y potencias
de 10.
17. Las hormigas son insectos pequeños que habitan
en casi todo tipo de medioambiente. Se estima
que su número es 10 000 billones viviendo sobre
la Tierra. Además, su tamaño varía entre 0,75
y 52 mm.
a. Expresa el número estimado de hormigas
usando números naturales y potencias de 10.
b. Expresa el menor tamaño que pueden tener
las hormigas usando números naturales y
potencias de 10.
18.Ignacia compró 650 m de cordón rojo, 820 m
de cordón verde y 940 m de cordón amarillo.
El cordón rojo lo cortó en 10 trozos iguales,
el verde en 100 trozos iguales y el amarillo en
1 000 trozos iguales.
a. ¿Cuánto medirá cada trozo de cordón rojo,
de cordón verde y de cordón amarillo?
b. Si quisiera cortar el cordón amarillo en
105 trozos iguales, ¿cuánto mediría cada trozo?
c. ¿Cómo dividirías rápidamente un número por
una potencia de base 10?
Unidad 2 – Números y álgebra
49
Potencias de 10 con exponente entero
Ejercicios resueltos
1. Calcula la expresión (2 ∙ 10 –3) : (4 ∙ 104) y luego expresa el resultado como un producto de un número natural
por una potencia de 10.
Primero resolvemos (2 ∙ 10 –3) = 2 ∙ 1 3 = 2 : 103 = 0,002.
10
Luego, (4 ∙ 104) = 4 ∙ 10 000 = 40 000.
Entonces, 0,002 : 40 000 = 0,00000005.
Finalmente, el resultado expresado como producto de un número natural por una potencia de 10 es:
0,00000005 = 5 ∙ 10 –8
2. Un micrómetro equivale a una millonésima parte de un metro, o sea, 1 μm = 10 –6 m. Si una bacteria mide
1 μm, ¿cuántas bacterias podemos alinear en un centímetro? Escribe el resultado, usando potencias de 10.
Para encontrar la cantidad de bacterias que se pueden alinear en un centímetro, debemos dividir un centímetro
en micrómetros. Para esto expresamos ambas unidades en metros de la siguiente manera:
1 μm = 10 –6 m
1 cm = 10 –2 m
Realizamos la división
10–2 = 0,01 : 0,000001 = 10 000 = 104
10–6
Por lo tanto, podemos alinear 10 000 bacterias en un centímetro.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula los siguientes productos o cocientes.
a. 2 · 10
5
–4
b. 82 · 10 –3
n. 100 · 10 –2
c. 92 · 10 –7 ñ. 504 · 10 –3
d. 605 · 10 –6 o. 951 · 10 –3
e. 132 · 105 p. 1 354 · 10 –5
2
f. 125 10
q. 856 324 · 10 –6
3
g. 503 10
r.
82
10–5
2
h. 4 4 10
s.
74
10–3
3
i. 60–4 10
2
t. 80–5
10
152 10–5
2
u. 32–4
10
j.
2
k. 700–6 10
2
800
l.
10–5
50
m. 33 · 10
3
Unidad 2 – Números y álgebra
3
v. 600–2
10
2
100
w.
10–3
2. Representa los siguientes números como el
producto de un número natural por una potencia
de 10.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k. 123,4
l. 324,25
m. 455,70
n. 860,45
ñ. 1 000,456
o. 1 235,147
p. 2 652,3254
q. 5 354,3654
r. 23 654,628
s. 123 895,6584
2,5 4,123 5,58 65,23 0,5 0,8 0,01 0,002 0,000001 0,00009 3. Remplaza los valores de a y b, realiza los cálculos
y, luego, completa la tabla.
a
b
64
10
9
10 –6
162
10 –2
303
10 –7
602
10 –4
204
10 –5
–3
a∙b
a:b
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
El área del triángulo EFG.
Expresa el área en m2.
El perímetro del triángulo EFG.
Expresa el perímetro en m.
(108 ) =
2
–3
A.
B.
C.
D.
52
10–4
33 ∙ 10 –3
122 ∙ 10 –5
(1 ∙ 104) ∙ (4 ∙ 10 –2)
(8 ∙ 10 –2) : (2 ∙ 10 –3)
(25 ∙ 10 –4) : (2 ∙ 10 –2)
(4 · 103) · (6 · 10–6)
8 · 10–3
64 · 102
64 · 10 –3
64 · 103
64 · 106
10.Si a = 2 · 10 –1 y b = 3 · 10 –2, se puede afirmar que:
a + b = 0,23
II. a – b = 0,17
III. a + b = 23 · 10 –2
I.
5. En el triángulo EFG, rectángulo en F, que se
observa en la figura, sus catetos miden 30 cm y
40 cm. Calcula, expresando los resultados como
producto de un número natural por una potencia
de 10.
E
a.
b.
c.
d.
9.
Unidad 2
4. Calcula y expresa el resultado como producto de
un número natural por una potencia de 10.
A.
B.
C.
D.
Solo I
Solo II
I y III
I, II y III
11.Observa y, luego, responde:
1 km = 1 000 m, 1 m = 100 cm
F
6. La distancia aproximada desde Puerto Montt a
Iquique es de 2 814 km. ¿Cómo se expresa esta
distancia en centímetros? Expresa el resultado
como producto de un número natural por una
potencia de 10.
Marca la opción correcta en los ítems 7 al 10.
G
a. ¿Cuál es la potencia de base 10 que permite
convertir de kilómetros a metros?, ¿cómo
lo harías?
b. ¿Cuál es la potencia de base 10 que permite
convertir de centímetros a kilómetros?,
¿cómo lo harías?
12.El lado del cuadrado EFGH mide 3,5 m. Si la
medida del lado del cuadrado ABCD es el doble
que la del más pequeño, responde:
D
7. La potencia 23 tiene el mismo valor que la o
las expresiones:
23
10–1
II. (23 · 102) · 10 –2
C
H
G
E
F
I.
III. 80 · 10 –1
A.
B.
C.
D.
Solo I
Solo II
I y II
II y III
8. El número decimal 0,0000007 es igual a:
A. 7 · 10 –7
B. 7 · 107
C. 7 · 10 –6
D. 7–7
10
A
B
a. ¿Cuánto mide el área sombreada? Expresa el
resultado utilizando potencias de 10.
b. Si expresaras las medidas en cm2, ¿qué potencia de 10 permite realizar el procedimiento?
Muestra cómo quedaría el resultado que
obtuviste en a en cm2.
13.Una bacteria de 1 μm de longitud se reproduce
dividiéndose en diez cada diez horas. ¿Cuántas
horas deben pasar para tener una cantidad de
bacterias que puedan alinearse en 1 cm?
Unidad 2 – Números y álgebra
51
Multiplicación y división de potencias de igual base
o de igual exponente
Ejercicios resueltos
1. Rosario tiene 8 poleras, 4 pantalones y 2 pares de zapatos. ¿De cuántas formas diferentes se puede vestir?
Si lo expresamos como potencias, Rosario tiene 2 3 poleras, 2 2 pantalones y 21 pares de zapatos. Para calcular
todas las combinaciones posibles, podemos multiplicar 2 3 · 2 2 · 21 y obtenemos 2 3 + 2 + 1 = 2 6.
Luego, Rosario tiene 2 6 formas diferentes para vestirse, que corresponde a 64 tenidas distintas.
2. Nicolás construyó una maqueta para presentar su proyecto y le explica a su profesor que 1 cm en la maqueta corresponde a 22 m en la construcción. Si en su maqueta hay un cubo cuya arista mide 49 cm, ¿cuál sería el
volumen del edificio representado por este cubo?
La arista del cubo en la maqueta mide 49 cm, lo que se puede representar como 72 cm.
Si cada centímetro en la maqueta corresponde a 22 m en la construcción, entonces la arista en el edificio se
puede calcular multiplicando 7 2 · 22, obteniendo: (7 · 2)2 = 14 2. Lo que significa que mide 14 2 m.
Para calcular el volumen del edificio se puede multiplicar 14 2 ∙ 14 2 ∙ 14 2 = 14 6, entonces el volumen es 14 6 m3.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Escribe como multiplicación de factores iguales
cada potencia y calcula su valor.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
a.
b.
c.
d.
e.
34 · 3 =
46 · 42 =
65 · 62 =
135 : 134 =
68 : 38 =
87 : 27 =
453 : 153 =
b
3
2
5
9
3
11
2
5
a2 b2 a2 · b2
(a · b)2
3. Calcula mentalmente el valor de cada potencia
y escribe el resultado.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
52
24 · 2 =
52 : 5 =
33 · 32 =
133 : 13 =
26 · 36 =
53 : 53 =
44 · 44 =
1010 : 107 =
Unidad 2 – Números y álgebra
(56 : 52) · 5 =
46 : 42 =
74 · 73 =
(86 : 83) · 82 =
(32 : 33) · 39 =
5. Compara los resultados en cada caso y completa
con el signo <, > o =, según corresponda.
2. Completa la siguiente tabla.
a
4. Escribe las siguientes expresiones utilizando una
sola potencia.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
100 ∙ 10
22 : 2
43 : 42
300
17 5 : 174
55 ∙ 5
50 ∙ 52
2 ∙2
64 : 24
2
1
172
3 125
6. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a.
b.
c.
d.
e.
(23)2 =
(32)2 =
(52)3 =
(123)2 =
(76)1 =
7. ¿A qué potencia equivale la expresión:
23 + 53 + 62? Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
132
135
138
605
a. 100 · 25 · 16 = b. 15 · 75 · 27 = c. 18 · 72 · 6 =
d. 21 · 49 · 28 · 9 =
9. Resuelve utilizando potencias. Guíate por
el ejemplo.
16 · 25 · 9 = 42 · 52 · 32 = (4 · 5 · 3)2 = 602 = 3 600
a. 49 · 25 · 4 = b. 216 · 125 =
c. 32 · 243 =
d. 27 · 8 · 64 =
10.Si la arista de un cubo mide 33 cm, expresa
como potencia:
a. el área de cada cara del cubo.
b. el área total del cubo.
c. el volumen del cubo.
Marca la opción correcta en los ítems 11 y 12.
11.¿A qué expresión es equivalente el producto
de 3 · 2 · 81 · 4?
A. 23 · 35
B. 24 · 35
C. 23 · 34
D. 2 · 35
12.¿Cuál de las siguientes expresiones no es
equivalente a 604?
A. 3602
B. (4 · 3 · 5)4
C. (62 · 100)2
D. 12 960 000
13.La piscina de un estadio tiene 2 m de profundidad, 50 m de largo y 21 m de ancho. Si Felipe
tiene una piscina de 3 m de ancho, 10 m de largo
y 2 m de profundidad, ¿cuántas veces más grande
es la piscina del estadio que la de Felipe?
14.Emiliano puede tomar dos caminos distintos para
llegar al colegio. Después de su jornada escolar
tiene cuatro rutas diferentes para llegar al departamento de su tía Catalina. En la noche, puede
escoger entre ocho caminos para volver a su casa.
¿De cuántas maneras distintas puede realizar el
recorrido completo del día? Usa las potencias
para resolver.
15.El casino de una empresa ofrece para la hora de
almuerzo 3 platos distintos, con 3 opciones de
postre y 9 sabores de jugos. ¿De cuántas maneras
puedes pedir tu almuerzo en este casino? Usa las
potencias para resolver.
Unidad 2
8. Para multiplicar 6 · 4 · 24, se puede descomponer
cada factor en factores primos. Así, queda
(3 · 2) · (22) · (23 · 3) y, utilizando las propiedades
de potencias, obtienes 26 · 32 = 64 · 9 = 576.
Usando este procedimiento, calcula:
16.Calcula el área de un cuadrado de lado 24 cm.
Luego multiplica por 23 cada lado. ¿Cuánto mide
el área de este nuevo cuadrado? Expresa el
resultado utilizando potencias de base 2.
17. El lado de un triángulo equilátero mide 3 cm.
Si cada lado aumenta 33 veces, ¿cuánto mide el
perímetro de este nuevo triángulo en potencias
de base 3?
18.El equipo de gimnasia rítmica de un colegio debe
elegir su uniforme deportivo para el próximo año.
Como propuesta llegaron 2 tipos de zapatillas,
8 mallas y 4 faldas. ¿Cuántas combinaciones
de ropa pueden formar? Usa las potencias
para resolver.
19.Calcula el volumen de un prisma de base
rectangular de altura 43 cm, ancho 27 cm y
largo 48 cm.
20.La arista de un cubo mide 25 cm. Si se quintuplica,
¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado en
potencias de 5?
21.El largo de un un prisma de base rectangular
mide 43 cm, el alto 42 cm y el ancho 4 cm.
a. ¿Cuánto mide el volumen del prisma
expresado en potencias de 4?
b. ¿Cuánto aumenta el volumen del prisma, si
cada una de sus aristas aumenta cuatro veces?
c. ¿Cuánto disminuye el volumen del prisma si
cada arista se divide en 4?
22.En un restaurante de comida saludable el menú
consta de 3 tipos diferentes de entradas, 9 tipos
de platos de fondo y un número desconocido de
postres. Si en total se pueden formar 81 diferentes
menús, ¿cuántos diferentes postres existen en el
menú? Utiliza potencias para resolver.
23.Responde y observa lo que sucede al multiplicar
sucesivamente 2.
a. Calcula 21, 22, 23, 24, 25, 26, 27, 28.
b. Observa el dígito que se ubica en la posición
de las unidades, ¿qué puedes concluir?
c. Explica cómo puedes calcular el dígito que se
encuentra en la posición de las unidades de 217.
d. Calcula el dígito de las unidades de los números
219, 221, 230 y 232.
Unidad 2 – Números y álgebra
53
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 25.
1. El valor de la potencia 26 es igual a:
I.
62
II. 43
9. El área del cuadrado de la figura es:
A.
B.
C.
D.
26 cm2
29 cm2
46 cm2
62 cm2
D
C
III. 82
A.
B.
C.
D.
A
Solo III
I y II
II y III
I, II y III
A. –5
B. 45
C. 5
D. –8
3. La expresión 210 : 27 se puede expresar como:
35
65
62
151
5. El resultado de (2 500 : 102) : (0,05 · 102) es:
A.
B.
C.
D.
25
5
50
125
6. El valor de (0,7) es:
A. 0,00343
B. 0,343
C. 343
D. 0,0343
7. El producto de (45 000 : 102) por 105 es:
45 · 107
45 · 103
45 · 106
45 · 105
8. El valor de x en la expresión (0,001)x = 1 es:
A.
B.
C.
D.
54
42 240 200
42 024 200
42 024 020
42 204 200
11.¿Cuál es el largo de un rectángulo si su área es
25 cm2 y su ancho es 22 cm?
27 cm
22 cm
23 cm
210 cm
12.¿Cuál es el área de una región rectangular si su
largo es 35 cm y su ancho corresponde a un tercio
de la medida anterior?
A.
B.
C.
D.
34 cm2
310 cm2
38 cm2
39 cm2
13.¿Cuál es el dígito de las centenas en la descomposición 3 · 107 + 4 · 104 + 1 · 105 + 2 · 103 + 7 · 101?
3
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
217
23
270
43
4. La expresión 32 + 33 es igual a:
A.
B.
C.
D.
B
10.¿A qué número corresponde la descomposición
4 · 107 + 2 · 106 + 4 · 103 + 2 · 104 + 2 · 102?
2. 32 + 23 – 40 – 52 + 22 =
A.
B.
C.
D.
23 cm
0
1
2
3
Unidad 2 – Números y álgebra
A.
B.
C.
D.
2
0
7
4
14.Una bacteria se reproduce dividiéndose en 2.
Si la división se produce cada 1 hora e inicialmente
había una sola bacteria, ¿cuál de las siguientes
expresiones representa la cantidad de bacterias
al término de 6 horas?
A.
B.
C.
D.
2 · 12
2·6
26
212
A.
B.
C.
D.
(3 · 3 · 4)2 cm3
(9 · 9 · 16)2 cm3
(92 · 92 · 162) cm3
(3 · 3 · 4)3 cm3
16.Un tipo de bacteria se duplica cada 6 minutos.
¿Cuántas habrá luego de una hora si en un
comienzo había 3 bacterias?
A. 512
B. 1 024
C. 1 536
D. 3 072
17. Para hacer su árbol familiar, Lucas parte por él,
luego sus padres, sus abuelos, bisabuelos y
tatarabuelos. ¿Qué potencia representa la
cantidad de tatarabuelos de Lucas?
A.
B.
C.
D.
24 25
44
23
18.La expresión 32 · 42 · 52 es equivalente a:
A.
B.
C.
D.
6 · 8 · 10
3·4·5·2
(3 · 4 · 5)2
(3 + 4 + 5)2
19.El valor de la potencia 28 es:
A.
B.
C.
D.
16
64
128
256
20.El volumen de un cubo, cuya arista mide
128 cm, es:
A.
B.
C.
D.
27 cm3
214 cm3
218 cm3
221 cm3
21.¿Cuál es el área de un rectángulo cuyo largo mide
44 cm y su ancho es 24 cm?
A.
B.
C.
D.
Unidad 2
15.El ancho y largo de un envase de jugo con forma
de prisma de base rectangular mide 9 cm y su
alto es 16 cm. ¿Cuál de las siguientes expresiones
representa la capacidad total del envase?
22.El número 124 es:
A.
B.
C.
D.
Menor que 100.
Mayor que 100 y menor que 1 000.
Mayor que 1 000 y menor que 10 000.
Mayor que 10 000.
23.La relación incorrecta es:
A.
B.
C.
D.
(a : b)n = (an : bn)
an · bn = (a · b)n
an + bn = (a + b)n
an · am = a(n + m)
24.¿Cuál de las siguientes afirmaciones es falsa?
A. El valor de una potencia de base 10 y cuyo
exponente es un número natural, es siempre
mayor que 1.
B. Para multiplicar potencias con igual
exponente, se pueden multiplicar las bases
y conservar el exponente.
C. En una potencia de base 10 con exponente
negativo, el exponente indica la cantidad de
ceros que acompañan a la unidad.
D. Para calcular la potencia de una potencia,
se puede conservar la base y multiplicar
los exponentes.
25.La arista de un cubo mide 27 cm. Si se triplica,
¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado
como potencia de base 3?
A.
B.
C.
D.
36 cm3
39 cm3
310 cm3
312 cm3
26.Una compañía vende cajas de lápices de colores
con 6 unidades. Las cajas vienen agrupadas en
bolsas de 6. En las repisas donde se guardan, se
pueden almacenar 36 bolsas.
a. ¿Qué potencia expresa la cantidad de lápices
que hay en una repisa? ¿Cuántos lápices hay?
b. Si en una ciudad hay 216 repisas de la compañía que almacenan la misma cantidad de
bolsas, ¿cuántos lápices hay en la ciudad?
c. Si en el país hay 6 ciudades, con 216 repisas
cada una que almacenan lápices de colores,
¿cuántos lápices hay en el país?
27 cm2
88 cm2
212 cm2
64 cm2
Unidad 2 – Números y álgebra
55
Potencias de base fraccionaria o decimal positiva
y exponente natural
Ejercicios resueltos
( )
6
1. Calcula el valor de 4 .
7
4 6 = 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 4 096
7
7 7 7 7 7 7 117 649
()
( )
n
2. Un grupo de investigación determinó que una clase de bambú crecía, en metros, según la función f(n) = 5 ,
4
donde n representa los días trascurridos. Si han pasado 3 días, ¿cuántos metros mide el bambú? Si han pasado
5 días, ¿cuántos metros aproximadamente mide el bambú?
3
Si han pasado tres días entonces f (3) = 5 = 5 · 5 · 5 = 1,953125. Lo que significa que el bambú mide
4
4 4 4
1,95 m aproximadamente.
5
Si han pasado 5 días entonces f (5) = 5 = 5 · 5 · 5 · 5 · 5 = 3,051758. Lo que significa que el bambú mide
4
4 4 4 4 4
3,05 m aproximadamente.
()
()
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =
3 3 3 3 3
b. 7 · 7 · 7 · 7 =
5 5 5 5
c. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 =
9 9 9 9 9
d. 13 · 13 · 13 · 13 · 13 =
3 3 3 3 3
e. 4,3 · 4,3 · 4,3 · 4,3 · 4,3 =
a. 1 ·
5
b. 3 ·
7
c. 2 ·
5
1 · 1 · 1 =
5 5 5
3 · 3 · 3 · 3 =
7 7 7 7
2 · 2 · 2 =
5 5 5
4. Calcula las siguientes potencias.
g. 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 · 1,2 =
( 12 ) = b. ( 2 ) = 3
h. 4,94 =
c. (0,1)5 = h. (0,8)2 =
d. (0,5)2 = i. (0,4)3 =
e. (0,3)3 =
j.
a.
f. 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 · 5,1 =
i.
( 67 ) =
5
j. 7,46 =
()
3
k. 5 =
2
2. Completa la siguiente tabla, escribiendo
el resultado en cada casillero como una
sola potencia.
56
3. Calcula las siguientes potencias.
a
b
0,125
0,5
0,0625
0,25
0,04
0,2
(0,5)5
(0,25)2
a·b
Unidad 2 – Números y álgebra
a:b
2
3
f. (0,7)2 =
g. (0,8)6 =
( 12 ) =
5
5. ¿Cómo se representa el valor de la expresión
0,5 · 0,25 · 0,0625 escrita como una sola
potencia? Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
(0,5)7
(0,5)6
56
(0,25)7
6. Si el diámetro de un átomo de hidrógeno mide
0,0000000106 cm, ¿cuántos metros mide su
radio? Exprésalo como una multiplicación
entre un número natural y una potencia de 10.
a.
()
1
9
0
(1,5)
( 23 )
( 92 )
2
b. (3,2)2
3
c. (4,5)3
d. (5,3)1
e.
0
(2,3)2
( 17 )
( 17 )
5
f. (2,1)4
2
(1,9)3
8. En un experimento, se pudo observar que una
población de bacterias (P) después de aplicar
el antídoto decrecía según la expresión
n
P = 1 · M, donde M es la población inicial y
4
n representa los días transcurridos desde que se
( )
aplicó el antídoto. ¿Cuántos días deberían pasar
para que la población llegue a ser 0,0625M?
9. La arista de un cubo mide 5 cm. Si las aristas
3
2
aumentan 5 veces, ¿cuál es el volumen del nuevo
3
cubo expresado en una potencia de base 5 ?
3
10.En un prisma de base rectangular, el largo mide
1,23 m, el alto mide 1,22 m y el ancho, 1,2 m.
()
a. ¿Cuánto mide el volumen del prisma expresado
en una potencia de base 1,2?
b. ¿Cuánto mide el área total del prisma expresado
en una potencia de base 1,2?
c. ¿Cuánto aumenta el volumen del prisma, si
cada una de sus aristas aumenta cuatro veces?
d. ¿Qué sucede con el volumen del prisma si
cada arista se divide por 0,2?
e. ¿Qué sucede con el volumen del prisma si
cada arista se divide por 0,4?
Marca la opción correcta en los ítems 11 al 13.
11.¿Cuál de las siguientes expresiones no es
4
equivalente a 3 ?
10
A. 0,0081
B. 81
10 000
C. 81
1 000
2
D. 9
100
( )
Unidad 2
7. Compara y completa con el signo <, > o =,
según corresponda.
12.¿Cuál es el valor de la potencia (2,22)3?
A.
B.
C.
D.
6,66
8,88
4,9284
10,941048
13.La cuarta parte de la cuarta parte de la cuarta
parte de 40 es:
A.
B.
C.
D.
2,5
0,25
0,625
0,015625
14.En una tienda se necesita calcular el 50 % del
50 % del 50 % del 50 % de $ 20 000.
a. Escribe una expresión en la cual uses fracciones
para realizar el cálculo.
b. Escribe una expresión en la cual uses decimales
para realizar el cálculo.
c. ¿Cuál es el resultado buscado?
15.A una fiesta asisten 125 personas, de las cuales
el 60 % son mujeres. Del total de las mujeres, tres
quintos usa zapatillas y de estas el 60 % baila.
a. Escribe una expresión con decimales que te
permita calcular la cantidad de mujeres que
está bailando. ¿Cuántas son?
b. Si de los hombres que hay en la fiesta, la mitad
tiene el pelo ondulado, y de estos solo
el 20 % está sentado, ¿cuántos hombres de
pelo ondulado están de pie?
16.Observa la siguiente secuencia y responde.
( 35 ) , ( 35 ) , ( 35 ) , ( 35 ) , ...
1
2
3
4
a. ¿Cuál es el sexto término de la secuencia?
Escríbelo como potencia.
b. Calcula el valor del quinto término de
la secuencia.
c. Escribe como números decimales los cinco
primeros términos de la secuencia.
d. ¿En qué término el número de la secuencia es
menor que 0,05?
e. ¿Qué pasará si sigues haciendo este proceso
sucesivamente? Usa una calculadora para
obtener más términos de la secuencia.
f. Inventa otra secuencia donde ocurra la mismo.
g. ¿En qué te fijaste para crear otra secuencia?
( )
Unidad 2 – Números y álgebra
57
Multiplicación y división de potencias de base
fraccionaria o decimal positiva y exponente natural
Ejercicios resueltos
1. En un experimento Francisco observó que al dejar caer una pelota de tenis desde una altura de 100 m,
n
cada rebote alcanzaba una altura aproximada de H = 1 · 100 metros, donde n representa el número
4
de rebote, ¿cuántos metros de altura alcanza el tercer rebote?
3
Debemos evaluar la expresión para n = 3, es decir, 1 · 100 = 1,5625. Lo que significa que el tercer rebote tiene
4
1,5625 m de altura.
( )
( )
2. Simplifica de dos maneras distintas la siguiente expresión:
2 3· 1 3· 3 4· 1
3
2
2
3
Podemos aplicar la propiedad de potencias de igual exponente:
2 3 · 1 3 · 3 4 · 1 4 = 2 · 1 3· 3 · 1 4
2 3
3
3 2
2
2
3
3
4
= 1 · 1 = 1 · 1 = 1
3
2
27 16 432
( )( )( )( )
( )( )( )( ) ( )(
( )( )
4
)
Otra manera de calcular el resultado es aplicando la propiedad de división de potencias:
2 3 · 1 3 · 3 4 · 1 4 = 23 · 1 · 34 · 1
3
2
2
3
33 23 24 34
3
4
= 23 · 13 · 34 · 14 = 4 1 3
3 ·2 ·2 ·3
2 ·3
1
1
=
=
16 · 27 432
( )( )( )( )
Ejercicios y problemas propuestos
1. Escribe como multiplicación o división de factores
iguales cada potencia y calcula su valor.
( 25 ) · 25 =
b. ( 5 ) · ( 5 ) =
7
6
c. ( 4 ) · ( 4 ) =
3
3
3
a.
2
e. 0,39 : 0,35 =
f. 0,6 : 0,3 =
8
6
d. 0,53 · 0,53 =
8
58
b
0,3
2,4
7,3
5,2
2
4
4
6
5
2
3
4
a2
b2
Unidad 2 – Números y álgebra
c.
( 34 ) · ( 34 ) =
3
2
g. 0,87 : 0,27 =
d. 13,23 : 13,2 =
h. 0,93 : 0,33 =
e.
2. Calcula y completa la siguiente tabla.
a
a. (0,1)4 ∙ 0,1 =
b. (5,3)2 : 5,3 =
3
2
3. Calcula el valor de cada potencia, resuelve las
operaciones y escribe el resultado.
a 2 · b2
(a · b)2
( 104 ) · ( 52 ) =
6
6
f. (0,8)7 : (0,2)7 =
g.
h.
[( ) ]
[( ) ]
3
5
4
7
3 2
2 4
=
=
4. Escribe cada expresión como una sola potencia
y calcula su valor.
( )
b. ( ) ( )
c. ( )
[ ]
a.
2 3· 8 =
5 125
6 4 : 64 3 =
8
36
4 33=
5
a. 10,30 ∙ 5,2
(5,2)0 ∙ (56,2)2
b. 2,25 : 2,2
2,28 ∙ 2,2
c. (0,4)5 : (0,4)4
d. 30,30
e.
(0,6)5 : (0,3)4
1
( 35 ) : ( 35 )
5
4
(17,4)2
f. (0,5)3 ∙ (0,5)
0,0625
6. Calcula el valor de cada potencia de una potencia:
[( ) ]
2 33=
7
b. ((0,8)2)5 =
a.
[( ) ]
3 32=
4
d. ([0,2]5)1 =
c.
e.
f.
[( 27 ) ] =
[( 47 ) ] =
6 1
3 2
7. Resuelve las siguientes operaciones.
(
b. (
c. (
d. (
a.
e.
)
)
)
)
(
(
(
(
)
)
)
)
Marca la opción correcta en los ítems 8 y 9.
8. La expresión (1,1)2 · 102 es igual a:
C. 10
D. 100
9. ¿Cuál o cuáles de las siguientes expresiones no es
2
3
equivalente a 0,6 ·23 · 10 ?
10 · 27
2
I. 6 3
10
2
II. 0,63
10
III. 0,62 · 0,1
A. Solo I
B. Solo II
( )
( )
12.Marcela ahorra dinero en el banco y el primer
mes depositó $ 30 000. Durante 5 meses el banco
aumentó, mensualmente, el 10 % de lo que había
en la cuenta.
13.Calcula el volumen de un prisma de base rectangular cuya altura mide 0,93 cm, su ancho 0,92 cm y
su largo 0,812 cm.
f. (0,6)2 : 0,6 =
(
( )
2
10.En un triángulo equilátero cada lado mide 1 m.
3
a. Si cada lado se multiplica por 1 , ¿cuánto mide
3
el perímetro del nuevo triangulo en potencias
de base 1 ?
3
3
b. Si cada lado se multiplica por 1 , ¿cuánto
3
mide el perímetro del nuevo triángulo en
potencias de base 1 ?
3
5
c. Si cada lado se multiplica por 1 , ¿cuánto
3
mide el perímetro del nuevo triángulo en
potencias de base 1 ?
3
11.En un programa de erradicación de pulgones se
utilizan chinitas, por ser su depredador natural.
Si inicialmente había 1 000 pulgones y cada día
sobrevive el 90 %, ¿cuántos pulgones hay en el
día 3, desde que se comenzó la erradicación?
a. Calcula cuánto dinero tiene ahorrado Marcela
al término del primer mes.
b. Calcula cuánto dinero tiene ahorrado Marcela
al término del segundo mes.
c. ¿Cuánto dinero tiene Marcela en su cuenta al
término de los 5 meses?
7 2· 7 3=
2
2
1 3: 1 3=
3
3
3 9: 3 6=
7
7
7
2 : 2 5=
5
5
2
(0,4) : (0,4) =
A. 11
B. 121
Unidad 2
5. Compara los resultados en cada caso y completa
con el signo <, > o =, según corresponda.
)
14.¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente
3
3
3
a 1 · 3 · 5 ? Marca la opción correcta.
3
10
7
3
3
A. 15
C. 3
70
21
3
27
B. 1
D. 15
14
210
( ) ( ) ( )
( )
( )
( )
( )
15.La arista de un cubo mide 1,2 cm. Si aumenta
1,44 veces, ¿cuál es el volumen del nuevo cubo
expresado en potencia de 1,2?
C. II y III
D. I y III
Unidad 2 – Números y álgebra
59
Potencias de base entera y exponente natural
Ejercicios resueltos
1. Calcula las siguientes potencias 30, 33, (–3)3, –33, 34, (–3)4, –34.
30 = 1
33 = 3 · 3 · 3 = 27
(–3)3 = (–3) · (–3) · (–3) = –27
–33 = – 3 · 3 · 3 = –27
34 = 3 · 3 · 3 · 3 = 81
(–3)4 = (–3) · (–3) · (–3) · (–3) = 81
–34 = – 3 · 3 · 3 · 3 = –81
( 3 ) · (–7) .
2. Calcula el valor de la expresión 4
(23 ) · 14
2
3
3
2
Aplicamos la propiedad de división de potencias y calculamos.
3 2 · (–7)3
2
3
4
· 26
= 3 2· (–7)
3
3
3 · 14
4 · 3 · 14
22
2
3
· 26 = –72 · 2
= 34 · –7
3
2 ·3 ·2·7
3
–49
·
2
–98
=
=
3
3
( )
( )
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula el valor de cada potencia.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
4. Compara los resultados en cada caso y completa
con el signo <, > o =, según corresponda.
6 =
153 =
(−4)6 =
(−8)7 =
(−13)5 =
45 =
−34 =
8
a.
b.
c.
d.
e.
f.
2. Completa la siguiente tabla.
a
b
2
–1
4
–3
–6
7
9
–1
a2
b2 a2 · b2
60
24 =
53 =
133 =
(−3)3 =
(−5)2 =
(−13)3 =
Unidad 2 – Números y álgebra
24
172
1
(−10)0
22
3 125
5. Calcula el valor de cada potencia de una potencia.
(a · b)2
3. Calcula mentalmente el valor de cada potencia
y escribe el resultado.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
43
175
(−30)0
100
−2
(−5)5
a.
b.
c.
d.
e.
(23)2 =
((−3)2)2 =
[(−5)2]3 =
([−1]2)25 =
([−7]6)1 =
6. Javier tiene ahorros que llamaremos $ x, pero
desea conseguir un crédito para comprar un
automóvil. Él calcula que cada día tiene que
pagar su deuda en potencias de 2, es decir el
día inicial cancela 21 = $ 2, el segundo día 22 = $ 4,
el tercer día 23 = $ 8 y así sucesivamente. Si el
cálculo lo lleva a darse cuenta de que el día 22 ya
no tendría ahorros, ¿cuál es una aproximación
de los ahorros de Javier?
8. Escribe como multiplicación de factores iguales
cada potencia y calcula su valor.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
−54 ∙ −5 =
(−4)2 ∙ (−2)2 =
(−4)5 ∙ (−4)2 =
(9)5 : 35 =
(−6)8 : (−3)8 =
(−8)7 : 27 =
454 : 154 =
4 años.
24 ∙ 25 =
(−3)3 ∙ (−3)2 =
(−13)3 : (−13) =
53 : 53 =
(−5)2 : (−5) =
133 : 13 =
a. 70 ∙ (−7)
(−8)0 ∙ 10
b. −22 : (−2)
22 ∙ 2
d. (−30)
64 : 24
e. 17 : 17
5
4
f. (−25)5 ∙ (−5)
172
3 125
11.Calcula el valor de las siguientes expresiones.
a.
b.
c.
d.
e.
(23)2 : 4 =
93 : ((−3)2)2 =
[252] ∙ [(−5)2]3 =
([−1]2)25 : (−1)12 =
(−75) ∙ ([−7]6)1 =
12.Escribe las siguientes expresiones como una
sola potencia.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
(56) ∙ 56 =
((2)3)2 =
(62) : 6 =
(−5)16 ∙ (−5)4 =
(−4)6 : (−4)2 =
(−7)2 ∙ (−73) =
15.En la secuencia 30, −31, 32, −33, 34… el valor del
octavo término es:
−35
(−3)7
38
36
16.¿Cuál es el valor de [(−12)3 : 43] ∙ (−3)2?
A.
B.
C.
D.
(−3)2
−30
3
(−3)5
17. ¿Cuál es el resultado de la expresión: 2 3 · 2 ?
2 :2
A. 2
B. 4
C. 16
D. 32
4
1
0
Marca la opción correcta en los ítems 15 al 18.
A.
B.
C.
D.
10.Compara los resultados en cada caso y completa
con el signo <, > o =, según corresponda.
c. 43 : 42
13.El directorio de un equipo de fútbol desea
construir un estante para presentar sus premios,
pero tienen solo un espacio cuyo volumen es de
8 388 608 cm3 para instalar el estante. Si la altura
de este estante es de 256 cm y el ancho mide
64 cm, ¿cuánto mide el largo? Realiza los cálculos
utilizando potencias.
14.La depreciación anual de un computador es de
1 de su valor. Si el precio inicial del computador
10
es de $ 300 000, determina su valor al cabo de
9. Calcula mentalmente el valor de cada potencia y
escribe el resultado.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Unidad 2
7. La arista de un cubo mide 9 cm. Si se triplica,
¿cuál es el volumen del nuevo cubo expresado
como una potencia de base 3?
2
18.¿Cuál de las siguientes expresiones es igual a 1?
2
I. 3
3·3
II. 10 · 10 · 10 · 10 –3
3
III. (–5) 4 · 5
5
A. Solo I
B. Solo II
C. Solo I y II
D. I, II y III
Unidad 2 – Números y álgebra
61
Raíces cuadradas y teorema de Pitágoras
Ejercicios resueltos
1. Calcula √16 y justifica.
Buscamos un número positivo que elevado a 2 sea 16. Como 42 = 4 · 4 = 16, entonces √16 = 4.
2. Calcula la medida de la diagonal de un cuadrado sabiendo que su perímetro es 4 cm. Utiliza una calculadora.
Como el perímetro mide 4 cm, entonces la medida de sus lados es 1 cm, pues 4 : 4 = 1. Para calcular su diagonal,
usamos el teorema de Pitágoras, es decir, en un triángulo de catetos a y b e hipotenusa c, se cumple que
a2 + b2 = c 2. En este caso tenemos que:
12 + 12 = x 2
1 + 1 = x2
x
2 = x2
1 cm
√2 = x
x ≈ 1,41
1 cm
Por lo tanto, la diagonal x mide aproximadamente 1,41 cm.
3. Calcula la hipotenusa x del triángulo rectángulo dibujado.
Como el triángulo ABC es rectángulo, podemos aplicar el teorema de Pitágoras, es decir:
(BC )2 = (AC )2 + (AB)2
x =6 +8
x 2 = 36 + 64
x 2 = 100
x = √100
x = 10
BC = 10 cm
2
2
B
2
8 cm
A
x
6 cm
C
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula mentalmente las siguientes raíces
cuadradas y escribe el resultado.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
62
√1 =
√4 =
√9 =
√25 =
√49 =
√81 =
√121 =
√144 =
√400 =
√900 =
√1 000 000 =
√10 000 =
Unidad 2 – Números y álgebra
2. Si a, b y c son tres números naturales tales que
a 2 + b 2 = c 2, determina el número x que falta
para que se cumpla la igualdad.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
a = 30, b = 40, c = x
a = 60, b = x, c = 100
a = x, b = 12, c = 15
a = 9, b = x, c = 15
a = 25, b = 60, c = x
a = 15, b = 36, c = x
a = 12, b = x, c = 20
a = 27, b = 36, c = x
a = 50, b = 120, c = x
a = x, b = 72, c = 78
a.
b.
c.
d.
II. x = 4
III. x = √16
A.
B.
C.
D.
Solo I
Solo II
I y II
II y III
4. Usando calculadora, determina el valor
aproximado a las centésimas por redondeo
de las siguientes raíces cuadradas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
√5
√10
√42
√12
√7
√30
√2 · √3 · √5
2 · √2 + 3 · √3 + 5 · √5
√2 + √3 + √2 + 3
√5 – 2 – √5 – 3 + √5 + √3
12.Determina si las siguientes igualdades son
verdaderas o falsas. Justifica cada caso, realizando
la operación correspondiente.
a.
b.
c.
d.
e.
√2 + √3 = √2 + 3
√9 + 16 = √9 + √16
√169 – 144 = √169 – √144
√4 · √9 = √4 · 9
√81 · √121 = √81 · 121
f. √256 = 256
64
√64
g. √4 · √4 = √4 · 4 = √42
√
5. El largo de un rectángulo es el doble del ancho
y su perímetro mide 24 cm. ¿Cuánto mide su
diagonal? Utiliza calculadora para responder.
6. Don Sergio está diseñando el portón rectangular
de una parcela. Para su construcción necesita
6 tablones de madera, como se muestra en el
dibujo. Si los tablones verticales están a una
distancia de 4 metros, ¿cuánto deben medir los
tablones diagonales?
3 metros
Unidad 2
11.Considera que √2 ≈ 1,41, √3 ≈ 1,73, √5 ≈ 2,24
y calcula.
3. Al calcular √16 el resultado es 1 si:
x
I. x = 1
3 metros
7. Si el lado de un cuadrado mide 2 cm, ¿cuánto
mide su diagonal? Utiliza calculadora.
8. En un rectángulo de ancho 12 cm y diagonal
20 cm, calcula:
a. la longitud del largo.
b. el perímetro.
c. el área.
9. Utilizando calculadora, responde: ¿resulta lo
mismo calcular √50 y 5√2 ?, ¿por qué crees
que ocurrirá?
10.Sin utilizar calculadora, responde: ¿es cierto que
√6 es un número entre 2 y 3? Justifica.
13.A partir de la pregunta anterior, ¿qué propiedad
puedes concluir?
14.Leonardo y Joaquín se encuentran en las esquinas
opuestas de una plaza rectangular. El ancho de la
plaza mide 8 m y el largo, 15 m. Si Joaquín quiere
ir a saludar a Leonardo, ¿cuánto mide el camino
más corto que puede tomar para ir a saludarlo?
Marca la opción correcta.
Leonardo
A.
B.
C.
D.
8m
15 m
17 m
23 m
Joaquín
15.Paulina quiere poner cerámicas en su pieza rectangular. El largo de la pieza mide 3 m y el ancho, 2 m.
a. Calcula el área de la pieza de Paulina.
b. En el lugar donde Paulina quiere comprar las
cerámicas, solo venden baldosas cuadradas.
¿Cuántas cerámicas necesita Paulina si compra
cerámicas para cubrir 2 500 cm2 de área?
c. ¿Cuánto mide el lado de cada cerámica
del ejercicio anterior?
d. Si finalmente Paulina decide comprar
96 cerámicas iguales, las cuales cubren
exactamente toda el área de la pieza, ¿cuántos
centímetros miden los lados de estas cerámicas?
Unidad 2 – Números y álgebra
63
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 23.
1. El número decimal 0,00009 es igual a:
A.
B.
C.
D.
9 · 105
9 · 10 –5
9 · 10 –4
9 · 10 –6
2. (–2) – 2 + 3 – (–4) =
3
A.
B.
C.
D.
3.
2
3
2
1
7
–1
39
( ) ( )
2 2· 2 5=
3
3
A. 32
243
B. 8
27
C. 1 024
59 049
D. 128
2 187
2
4. Al calcular la expresión 90–3 se obtiene:
10
A. 81 · 105
B. 8,1 · 105
C. 81 · 10 –5
D. 81 · 10 –1
5. 27 – 23 es equivalente a:
A.
B.
C.
D.
12 · 10
12 · 101
1,6 · 101
3,2 · 101
–1
4
A.
10 000 000
B.
–10
C. 1 000 000 000 000
D.
–10 000 000
7. (0,2) · (0,2) · 0,2 =
2
A.
B.
C.
D.
64
9. Al calcular la expresión 122 · 10 –3 se obtiene:
A. 144
B. 1,44
C. 0,144
D. 14,4
10.√169 · √16 =
A. 7,2
B. 52
C. 17
D. 208
11.Si en un triángulo rectángulo, uno de los catetos
mide 10 cm y la hipotenusa mide 26 cm, entonces
el perímetro del triángulo es:
A.
60 cm
B.
24 cm
C. 6 240 cm
D.
64 cm
12.En un terreno de forma rectangular, el largo mide
1,255 m y el ancho mide 1,252 m. ¿Cuál es el área
del terreno?
A.
B.
C.
D.
1,253 m2
1,2510 m2
1,257 m2
1,252 m2
13.Para convertir 2 cm en kilómetros se debe calcular:
6. (–10) · (–10) =
3
17
8. (–5)14 =
(–5)
A.
125
B.
1
C. –1 250
D. –125
2
0,0032
0,00032
0,0016
0,000064
Unidad 2 – Números y álgebra
A.
B.
C.
D.
2 · 105
2 · 10 –3
2 · 10 –5
2 · 10 –2
14.Para convertir 2 m2 en centímetros cuadrados se
debe calcular:
A.
B.
C.
D.
2 · 104
2 · 102
2 · 10 –4
2 · 10 –2
A.
B.
C.
D.
1,210 mm
1,2 · 10 mm
2 · 1,210 mm
1,2 + 10 mm
16.¿Cuál es el volumen de un cubo cuya arista mide
23 cm?
A.
B.
C.
D.
26 cm3
49 cm3
46 cm3
29 cm3
A partir de la siguiente situación, responde los
ítems 17 al 20.
Un trozo de cordel de 5 m se dividió en 2 trozos iguales.
Cada trozo se dividió en 2, luego cada trozo se dividió
nuevamente en 2 y cada uno de estos en 2.
17. ¿Cuál expresión indica la cantidad de trozos en
que se dividió el cordel?
A.
B.
C.
D.
24
25
5 · 24
2 · 54
18.¿En cuántas partes se dividió el trozo de cordel?
A.
B.
C.
D.
4
5
8
16
19.Si todos los trozos del cordel obtenidos son de
igual tamaño, ¿cuál es la expresión que indica la
longitud de cada trozo?
A. 15
2
B. 14
2
C. 14
5
D. 54
2
Unidad 2
15.En una selva, un tipo de planta crece 1,2 mm
diariamente. ¿Cuánto crece al cabo de 10 días?
A partir de la siguiente situación, responde los ítems
21 al 23.
Un cuadrado de 16 cm2 es dividido en 16 partes iguales.
En el primer cuadrado se pone una lenteja, en el
segundo dos lentejas, en el tercero cuatro lentejas, y
así sucesivamente.
21.¿Cuál es la medida del área de cada cuadradito?
A.
B.
C.
D.
1 cm
1 cm2
4 cm2
16 cm
22.¿Cuántas lentejas se deberían poner en el
sexto cuadrado?
A.
B.
C.
D.
6 lentejas.
12 lentejas.
32 lentejas.
64 lentejas.
23.¿Qué expresión indica la cantidad de lentejas que
se deberían poner en el último cuadrado?
A.
B.
C.
D.
2·4
2 · 15
24
215
24.En un centro de investigación, se estudió el rebote
de una pelota y, concluyeron que la altura del
rebote decrecía según potencias de 0,9, es decir,
el primer rebote medía 0,9 m de alto, el segundo
medía (0,9)2 m, y así sucesivamente. Responde.
a. Calcula la medida de la altura que alcanzó la
pelota en el tercer rebote.
b. ¿Cuántos rebotes debe dar la pelota para
que la altura que alcanza sea menor que 0,5 m?
c. Calcula la altura que alcanza la pelota en
el cuarto rebote. Escribe tu resultado en
centímetros y en milímetros.
d. Escribe los resultados obtenidos en c usando
notación científica.
20.¿Cuál es la longitud de cada trozo de cordel?
A. 1 m
32
B. 1 m
16
C. 5 m
16
D. 2 m
625
Unidad 2 – Números y álgebra
65
Generalización de propiedades y valor numérico
de expresiones algebraicas
Ejercicios resueltos
1. Calcula el valor de la expresión 2x2 + 3y sabiendo que x = 0,3 e y = 1 .
4
Remplazamos los valores en las variables:
2 · (0,3)2 + 3 · 1
Calculamos.
4
2 · 0,09 + 3 = 0,18 + 3
4
4
Expresamos todos los números usando una misma forma, en este caso, en números decimales: 0,18 + 0,75 = 0,93.
Concluimos que el valor de la expresión 2x2 + 3y cuando x = 0,3 e y = 1 es 0,93.
4
2. Calcula el valor de la expresión x2 – 3y sabiendo que x = –4 e y = –8.
Remplazamos los valores en las variables:
(–4)2 – 3 · (–8)
Calculamos.
16 – –24 = 16 + 24 = 40
Concluimos que el valor de la expresión x2 – 3y cuando x = –4 e y = –8 es 40.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Completa las siguientes tablas y determina, en
cada caso, la propiedad que se muestra en ella.
d.
a.
a
b
3
5
2
10
a ·b
b·a
b.
5
3
10
a+b
5
7
6
10
2
(a · b) · c
muestra la propiedad
b+a
a
b
c
3
5
7
4
10
2
a·b+a·c=
a+b=
muestra la propiedad
.
c.
a
b
c
3
5
7
1
10
2
a + (b + c)
a + (b + c) =
66
3
a · (b · c)
e.
.
3
c
.
muestra la propiedad
b
b
a · (b · c) =
a·b=
a
a
Unidad 2 – Números y álgebra
(a + b) + c
muestra la propiedad
.
a · (b + c)
a·b+a·c
muestra la propiedad
.
2. ¿Cuál de las siguientes expresiones representa
la propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la adición? Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
(a · b) + (c · b) = (c · b) + (a · b)
a + (b · c) = (c · b) + a
a + (b · c) = (a · b) + (c · b)
a · (b + c) = ab + ac
a
b
3
1
0
10
1
5
8
0
a+b
b+a
b.
b
3
1
1
10
0
2
8
0
a·b
b·a
¿Por qué el 1 es el elemento neutro de la
multiplicación?
c. ¿Por qué el 0 es el elemento absorbente de
la multiplicación?
Marca la opción correcta en los ítems 4 al 6.
4. El elemento neutro de la adición es el:
A. 0
B. 1
C. a
D. n
5. Si a + b = 0 podemos afirmar que:
A.
B.
C.
D.
8. Calcula el valor de las siguientes multiplicaciones
aplicando la propiedad distributiva de la
multiplicación respecto de la adición. Guíate
por el ejemplo.
23 · 5 = (20 + 3) · 5 = 20 · 5 + 3 · 5 = 80 + 15 = 95
¿Por qué el 0 es el elemento neutro de la
adición?
a
Unidad 2
3. Calcula, completa y responde.
a.
a y b son negativos.
a y b son opuestos.
a y b son positivos.
a y b son números primos.
6. Si calculamos 3 · 53 como 3 · 50 + 3 · 3 = 159,
estamos aplicando:
A. La propiedad conmutativa de la multiplicación.
B. La propiedad conmutativa de la adición.
C. La propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la adición.
D. La propiedad asociativa de la multiplicación
y de la división.
a.
b.
c.
d.
e.
4 · 63
58 · 6
18 · 7
120 · 5
71 · 8
9. Calcula el valor de las siguientes expresiones
algebraicas, si a = 5, b = 3 y c = 12.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
b + 1
c + 15
6 + a
a + b
c + a
4c
ba
2ac
5b3
j. c2 : 4
k. 3 : b
l. 5c : b
m. 3a + 8
n. 12 – 3a
ñ. a2 + 7b
o. 5a – 3b + 5
p. 12 – 4c + 2a
q. 3a + b – abc
10.Calcula el valor de las expresiones anteriores, si
a = –2, b = –1 y c = 4.
11.Calcula el valor de las expresiones anteriores, si
a=12,b= 1 yc= 2.
3
2
5
12.Calcula el valor de las expresiones anteriores, si
a = 0,2, b = 1,3 y c = 2,2.
13.Calcula el valor de las expresiones anteriores, si
a = 2,3, b = 3 y c = 2.
4
14.Evalúa la expresión a2 + 2ab + b2 con los valores
que se indican.
a. a = 1, b = 2
b. a = 2, b = 3
c. a = –2, b = 4
d. a = –4, b = 2
e. a = 10, b = –6
f. a = 12, b = –9
15.Evalúa la expresión (a + b)2 con los valores de la
pregunta anterior.
16.A partir de las preguntas 14 y 15, ¿qué propiedad
podrías conjeturar?
7. Calcula las siguientes expresiones y determina
qué propiedad puedes ocupar para llegar al
mismo resultado.
a. 4 + 100
b. 3 · 45
c. (32 + 45) + 45
d. (3 · 9) · 10
e. 45 · (2 + 3)
f. 150 · 4 + 150 · 5
Unidad 2 – Números y álgebra
67
Reconocimiento y reducción de expresiones
con términos semejantes
Ejercicios resueltos
1. Reduce la siguiente expresión: 3a – 5a + 2a + a – 2
Para reducir los términos semejantes, asociamos los términos que tienen el mismo factor literal. En este caso, todos
los que tienen a, obteniendo:
3a – 5a + 2a + a – 2 = (3a – 5a + 2a + a) – 2
=a–2
2. Escribe una expresión equivalente a: –2a (3 + a), sin utilizar paréntesis:
Aplicamos la distributividad de la multiplicación respecto de la adición, teniendo especial cuidado con los signos:
(–2a) · 3 + (–2a) · a
Efectuamos las multiplicaciones.
–6a + –2a
2
–6a – 2a2
Recuerda que siempre que multipliques una adición o sustracción por un número negativo, los signos de cada
uno de los términos de estas operaciones cambiarán.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula el valor de las siguientes expresiones,
considerando el valor que se asigna a la variable:
a. 5a y a + a + a + a + a, si a = 3
5
b. 2m + 3n y m + m + n + n + n, si m = 4 y n = 2
c. ab 2 + ab 2 + a + a + a + a y 2ab 2 + 4a, si a = 1
y b = 0,3
d. a – b – b y a – 2b, si a = 6 y b = 3
e. c 4 y c · c · c · c, si c = –2
f. 4ab y ab + ab + ab + ab, si a = 2 y b = 5
2. Reduce los términos semejantes en las
siguientes expresiones:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
68
d+d+d+d+d+d=
b+b+b+b+b=
x+x+x+x–x–x–x=
ab + ab + ab + ab =
cd – cd – cd =
xyz + xyz =
5a + 6a =
7b – 2b – b =
12x + 5x + 9x – 2x =
y + 3y – 3y =
3f + 12f – 7f + 16f =
15h – 10h – 5h =
Unidad 2 – Números y álgebra
3. Desarrolla cada expresión algebraica. Guíate por
el ejemplo.
4a + a = a + a + a + a + a
a.
b.
c.
d.
e.
5s – s =
2d – 3d =
4x + 2y =
3h – 4j =
3a – 2c + a =
4. Elimina los paréntesis de las siguientes expresiones algebraicas.
a. –(x + y) =
g. a (m + n) =
b. –(x – y) =
c. –2(x + y) =
h. 3 (a + 5) =
4
i. a (3a – 2b + c) =
d. –2(x – y) =
j. –12 (t – 2s) =
e. 6 – 2(x + y) =
k. –4 (4x + 3y) =
f. 6 – 2(x – y) =
l. –5(2s – 3k) =
5. Identifica los términos que son semejantes en
cada caso (si existen).
a. 2x, 5y, 5x, y, 5
b. 4xy, 7yx, 6xy
c. 3ab, 2a 2, 4ba, 3b
d. a 3, a 2, 3a, 3
e. a, 2a 2, 2a, a4
f. tr, t 2r, tr 2, rt
b
b. 3a y 3a : b
b
b
c. + 4 y b + 4 : 2
2
d. b + 4 y (b + 4) : 2
2
e. (b – 5) · 4 y b – 5 · 4
f. (b – 5) · 4 y 4 · b – 4 · 5
g. (b – 5) · 4 y 4 · (b – 5)
h. 30 – 2a y 28a
i. 30 – 2a y 30 – a – a
j. 30 – 2a y 30 – a + a
k. 4a – a y 4
l. 4a – a y 3a
7. Indica en cada caso si los términos se pueden
reducir a uno solo (sin realizar transformación
de unidades).
a.
b.
c.
d.
e.
4 cm2 y 2 cm
0,5 mm2 y 2 mm2
17 m2 y 3 m2
4 cm2 y 2 mm2
2 km2 y 1 000 km2
8. Describe qué cambio le harías al primer término
(si lo requiere) para que sea semejante al segundo.
a. –3a y 4ab 2
b. 11 14 y xy
2x y
c. 7abc y –abc 2
d. 5ts 2 y –4t 2s
e. 0,32x 5y y 2yx 5
9. Reduce los términos semejantes en las siguientes
expresiones algebraicas.
a. 3a + 3a + 4b =
b. 12d – 6d + 18b =
c. 4h + 5h – 3t + h – 8 =
d. b + 3b + 2b 2 =
Unidad 2
6. Verifica, remplazando a por 12 y b por 2, si las
siguientes expresiones son o no equivalentes:
10
a.
y 10 : b
i. 2ab + 7ab – 2ab + 2 =
j. 4xy – 2yx + 3x + y =
k. 6ab 2 + 3ab – 2a 2b =
l. c 3b + 3c 3 + b 3c – c 3 =
m. 1 a – 0,5a + 2b – 4 a =
2
5
n. 8h + 2h 2 – 3h + 4h 2 =
ñ. 2,5ab 2 – 3a 2b + 7b 2a =
o. df + 0,7 + 5fd + 2 =
p. 2 x – 2y + 2 =
5
q. k – 1 – 1 k – 3h =
3
10.Escribe una expresión equivalente en cada caso.
a.
b.
c.
d.
3a + 9a =
4z – 8 =
2a + 2b – 2c =
st + sr + sv =
Marca la opción correcta en los ítems 11 al 14.
11.¿Cuál de los siguientes términos es semejante
a –3x 2y?
A.
B.
C.
D.
–3xy
–xy 2
x 2y
y 2x
12.Al reducir la expresión 5a2 – a 2 se obtiene:
A.
B.
C.
D.
5
5a
4
4a2
13.Una expresión equivalente a 5x – 3x 2 – (5x – 3x 2) es:
A.
B.
C.
D.
0
–6x 2
10x
10x – 6x 2
14.Al reducir la siguiente expresión 4a – 5b – 7a + 5,
se obtiene:
A.
B.
C.
D.
–3a – b
–3a 2 – 5b + 5
–3a 2 – b
–3a – 5b + 5
e. 15a 2 + 2a + 7a + 12a 2 =
f. h 5 + 15h + 5h =
g. a + 2b – b + 6a + 4b =
h. 6s – s + 7t – 3s + 12t =
Unidad 2 – Números y álgebra
69
Traducción de expresiones del lenguaje natural
al simbólico
Ejercicios resueltos
1. Determina la expresión algebraica que se describe: el doble de un número aumentado en quince veces la
suma del mismo con otro número es igual a la tercera parte de la diferencia de los dos números.
“El doble de un número” lo denotamos por 2x.
Cuando se dice “aumentado” lo relacionamos con una adición (+).
“Quince veces”, quiere decir que hay que multiplicar por 15.
“La suma del mismo número con otro”, la escribimos x + y.
“Quince veces la suma del mismo con otro número” lo escribimos como 15 · (x + y).
“La diferencia entre los dos números” la escribimos como x – y.
“La tercera parte de la diferencia entre dos números” la escribimos como x – y .
3
Ahora escribimos todo en una sola expresión algebraica: 2x + 15(x + y) = x – y .
3
2. Plantea en forma algebraica el siguiente problema: una herencia es dividida entre tres hijos; el mayor recibió
la tercera parte de la herencia; el segundo hijo, la cuarta parte; el menor, la quinta parte; y el resto de la herencia, que son $ 100 000, lo recibió una institución de caridad.
Podemos llamar h a la herencia, la tercera parte de la herencia la escribimos como h , la cuarta parte como h y la
3
4
quinta parte como h . Como las partes en que se dividió la herencia deben sumar el total de la herencia, escribimos
5
algebraicamente: h = h + h + h + 100 000.
3 4 5
Ejercicios y problemas propuestos
1. Expresa en lenguaje algebraico cada oración.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
a disminuido en el triple de 5.
El doble de la suma de a y 8.
Un número aumentado en 17.
Un número disminuido en su cuarta parte.
El doble de un número.
El triple de un número.
El doble de un número aumentado en 10.
El triple de un número disminuido en 4.
La quinta parte del triple del número.
La cuarta parte de la suma entre el doble
de x y 80.
k. La diferencia entre la suma del triple de
x y 15, y el doble de x.
2. El doble de un número, disminuido en 4, se puede
representar como:
A.
B.
C.
D.
70
2x + 4
2x – 4
2 · (x + 4)
2 · (x – 4)
Unidad 2 – Números y álgebra
3. Gabriel compró cuatro helados iguales para
compartir con sus primos. Además, llevó un
paquete de galletas para la once por $ 480.
Llevaba $ 2 000 y recibió $ 200 de vuelto.
a. Escribe una ecuación que te permita calcular
cuánto costaba un helado.
b. ¿Qué representa la incógnita de esta ecuación?
4. En una caja hay 51 duraznos distribuidos en
3 bolsas. La primera tiene 9 duraznos más que
la tercera, y la segunda bolsa tiene 6 menos que
la tercera.
a. Si la tercera bolsa tiene x duraznos, ¿cómo
representarías los duraznos que hay en la
primera bolsa?, ¿y los de la segunda?
b. ¿Qué ecuación te permitiría calcular cuántos
duraznos hay en la tercera bolsa?
5. La oración: “la diferencia entre un número
aumentado en quince y su doble es 10” se
puede expresar como:
A. x – 15 – 2x = 10
B. x + 15 – 2x = 10
C. x + 15 + 2x = 10
D. 2x – 15 – x = 10
a. El doble de un número aumentado en la tercera
parte del mismo número es igual a diez.
b. Un número aumentado en seis es igual
a siete veces otro número.
c. Cuatro veces un número disminuido en la
quinta parte del mismo número disminuido
en 3 es igual a la cuarta parte de la suma del
número y cuatro.
d. El cociente de mil con un número es igual al
cociente del número con siete.
7. Si al quíntuplo de un número se resta el doble del
mismo número, se obtiene 105. ¿Qué expresión
algebraica representa el problema?
8. Laura hace 8 años tenía x años. En 6 años más tendrá:
A. x – 8 + 6
B. x + 8 + 6
C. 8 + 6 – x
D. 8 – x – 6
9. Escribe el perímetro de las siguientes figuras
usando lenguaje algebraico.
a.
a
d
b
c
x
b.
y
y
y
y
x
10.Observa la siguiente secuencia.
1
2
Unidad 2
6. Escribe, usando el lenguaje algebraico, los
siguientes enunciados.
11.Plantea una ecuación que permita resolver
cada situación.
a. Ximena fue a comprar 1 kg de pan y 1 kg de
2
4
jamón. Gastó en total $ 1 190. Si el kilogramo
de pan cuesta $ 820, ¿cuánto cuesta 1 kg
de jamón?
b. En un supermercado se ofrece el choclo
congelado en dos paquetes de distintas masas.
El de 0,5 kg cuesta $ 599 y el de 1,5 kg $ 1 399.
Patricia revisó los precios y decidió que si
escogía llevar los paquetes grandes se ahorraba
$ 796 respecto de lo que gastaría llevando
los paquetes chicos. ¿Cuántos kilogramos de
choclo congelado llevó?
c. Marcelo le da a su hermano Nicolás la mitad
de las naranjas que tiene y media naranja más.
Luego, le da a su hermana Paula la mitad de las
naranjas que le quedan y media naranja más.
Si él se queda con una sola naranja, ¿cuántas
naranjas tenía?
d. En un rectángulo, la medida del ancho disminuido en 5 cm es igual a la mitad del largo
disminuido en 3 cm. Si el largo mide 12 cm,
¿cuál es la medida del ancho del rectángulo?
e. El doble de la cantidad de dinero que tiene
Pablo disminuida en $ 1 500 es igual a la misma
cantidad de dinero aumentada en $ 1 000.
¿Cuánto dinero tiene Pablo?
f. El veterinario Miguel está a cargo de gatos y
perros. Debe darles vitaminas todos los días:
dos tabletas a cada gato y tres a cada perro.
Si reparte en total veintiuna tabletas de
vitaminas y tiene el doble de gatos que de
perros, ¿cuántos perros tiene a cargo Miguel?
g. Andrea, Alejandra y Francisca son tres hermanas. Andrea tiene 3 años más que Alejandra,
y Alejandra tiene 1 año más que Francisca.
Si la suma de las edades de las tres hermanas
es 100, ¿cuántos años tiene Andrea?
3
a. Dibuja dos figuras más de la secuencia.
b. Completa la siguiente tabla.
Figura
1
2
3
Cantidad de
segmentos
7
12
17
Fórmula
7
7+5
7 + 10
4
5
Unidad 2 – Números y álgebra
71
Ecuaciones de primer grado
Ejercicios resueltos
1. Resuelve la siguiente ecuación y luego comprueba si es correcta la solución encontrada.
5x – 12 = 18
Aplicando propiedades de las operaciones, podemos obtener el valor de x aplicando una misma operación a
ambos lados de la igualdad.
5x – 12 = 18 / + 12
Sumamos 12 a ambos lados de la igualdad.
5x = 30
x=6
Comprobamos:
5 · 6 – 12 = 18
Dividimos por 5 a ambos lados de la igualdad.
/:5
2. Resuelve la siguiente ecuación y luego comprueba si el valor encontrado es la solución.
6 – (x + 2) = 2(x + 1)
6 – x – 2 = 2x + 2
Eliminamos paréntesis.
6 – x – 2 = 2x + 2
/ + –2x – 6 + 2
De este modo, todos los términos que contienen incógnitas quedan al mismo lado de la igualdad.
– x – 2x = 2 – 4
–3x = –2
/:3
x= 2
3
Comprobamos:
6 – 2 + 2 = 18 – 2 + 6 = 10
3
3
3 3
3
2 2 + 1 = 4 + 6 = 10 3
3
3 3
(
( )
)
(
Dividimos por 3 a ambos lados de la igualdad.
)
Ejercicios y problemas propuestos
1. Determina cuál o cuáles de las siguientes
expresiones es una ecuación, y determina la
cantidad de incógnitas que tiene.
a. 2x – 3 + 4x
b. x = 3 + 4
c. 7 = 2 · 8 – 9
d. 3(y – 2x) + 8
e. 2x + 4x – 3 = 21 – x
f. x + y = 38 + 2y
2. Para cada una de las siguientes ecuaciones
determina su grado e identifica la incógnita.
a. x 2 + 3 = 11
b. 2z + 3 = 11
c. 1 y 4 – 5 = 3 – y
2
2
d. x – 5 = 3
2
e. 26 = 20 + 3j
f. 2j + 3j = 25 + 10j
3. Encuentra el valor de a en cada una de las
siguientes ecuaciones.
a. 2a = 0
b. 4 + a = 4
c. a – 7 = 0
72
Unidad 2 – Números y álgebra
d. t + 2a = t
e. 5 – 3a = 5
f. a + b = b
4. Calcula mentalmente el valor de la incógnita
de cada ecuación. Verifica si tu respuesta
es correcta.
a. t + 5 = 45
e. 5 – t = 45
b. 5t = 45
f.
c. –t = 45 + 5
t = 45
5
g. 5t = 0
d. 45 + 5 = t
h. 5t = 5
5. Determina si cada valor es solución de la
ecuación que se indica a su derecha.
a. x = –0,3
1 – x = 0,7
b. x = 5 3x – 7 = 2x – 9
8
12 – x + 7x = 8 + 4x
c. x = –2 d. x = 12 2+x =7
6
e. x = 3 2
f. x = 1
4(x – 3) = 2x
6 – (x + 1) = 3x – 1
a. x = 8
b. x = –8
c. x = –1
d. x = 0,5
e. x = 0
f. x = 5
2
7. Resuelve las siguientes ecuaciones.
a. x – 8 = 12
b. 7 + t = 22
c. 30 = 12 + h
d. 2 – x = 48
e. 100 = 5 – h
f. 6x = 72
g. 24 = 2x
h. 0 = 5x
i. x – 2x = 58
j. 4x – 6x + 7 = 33
k. 50 = 44x – 85 + x
l. h – 20 = 6h – 50 – 2h
m. 3 + 5(5 + x) = 43
n. 4(d – 7) + 2d = 32
ñ. 40 = 6(12 – 4r) + 2(r – 3)
o.
p.
q.
r.
s.
t.
u.
v.
w.
38 – (x + 7) = 17
10 = 26 – 2(p + 8)
– 4(5 – y) = 0
2x + (x + 1) = (12 + x) – 1
2(d – 6) = 4(4 – 2d )
5 – (x + 4) = 2 – (x + 1)
3 + 2x – (x + 7) = x + 2(x – 7)
2 + (p – 4) = 5p – (10 + 2p)
–(x + 4) + 2(x – 5) = 3(x – 6)
8. Escribe en lenguaje algebraico los siguientes
enunciados y calcula el valor desconocido en
cada caso.
a. Un número aumentado en su mitad menos
su doble aumentado en 8, es igual a 0.
b. El doble de un número menos su mitad es
igual a nueve sextos.
c. Un número aumentado en su tercera parte
más su doble aumentado en su quinta parte
es igual a 0.
d. El triple de un número aumentado en cinco
veces el mismo número y disminuido dos
veces el número es igual a veinticuatro.
e. Un número natural aumentado en su sucesor
es igual a treinta y cinco.
Unidad 2
6. Completa la ecuación 2x – 4 =
para que su
solución sea la indicada en cada caso.
9. Resuelve los siguientes problemas.
a. Para colgar afiches, la profesora calcula el
número de chinches que necesita según la
expresión: T = 4a, donde a es el número de
afiches que va a colgar. ¿Cuántos chinches
necesita para colgar 120 afiches?
b. Para calcular el precio del pan el vendedor
utiliza la siguiente fórmula T = 980P, siendo
P la masa del pan (kilogramos) y T el precio
que se paga por él. ¿Cuánto debe pagar una
persona que compra 1,5 kg de pan?
c. Sabemos que el área de un triángulo se calcula
A = b · h , donde A es el área, b la base y h la
2
altura. Calcula el área de un triángulo de base
4,5 cm y altura 6,2 cm.
d. Si el área de un círculo se calcula según la
siguiente expresión: A = 3,14r 2, donde A es el
área y r el radio del círculo, calcula el área de
un círculo de radio 28 cm.
e. A una reunión asistieron 42 personas. Si el
número de mujeres era el doble que el de
hombres y el número de niños, el triple que
el de hombres, ¿cuántas mujeres, hombres y
niños había?
f. En dos salas de reunión se encuentran en total
74 personas. De la primera sala salen once
personas que entran a la segunda. Ahora, en la
segunda sala hay dos personas más que en la
primera. ¿Cuántas personas había al principio
en cada sala?
Marca la opción correcta en los ítems 10 al 12.
10.La solución de la ecuación
3x + 6 – 3x + 4 · (2x – 1) = 10 es:
A. 0
C. 2
B. 1
D. 4
11.Se tiene la ecuación 4x + 8 = 20. Entonces, el valor
de 2x – 6 es:
A. 0
B. 2
C. 8
D. 20
12.Al resolver la ecuación x + 4 = 2(x – 13) + 1 se
obtiene el valor de x:
A. 9 12
23
B.
2
C. 29
D. 31
Unidad 2 – Números y álgebra
73
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 28.
1. Si a = –3, ¿qué valor toma la expresión a – 3?
A. 0
B. 6
C. –6
D. 9
2. Si a · b · c = 0, ¿qué valor tiene b cuando a = –1
y c = 1?
A.
B.
C.
D.
–1
0
1
2
3. ¿Qué valor tiene a si se cumple que 4a = 0,12?
A.
B.
C.
D.
0,003
0,03
0,3
3
4. Si a = 0,2 y b = –2, ¿cuánto es a 2 + b 2?
A.
B.
C.
D.
4,4
4,04
–3,6
–3,06
5. ¿Cuál de los siguientes términos es semejante
a 5x 2y?
A.
B.
C.
D.
5xy 2
2x 5y
2x 2y
2xy 5
6. Una expresión equivalente a 2ab – 2 es:
A.
B.
C.
D.
ab
ab + ab – 2
2a + b – 2
2 – ab
7. Al reducir la expresión 3xy – 2xy + 2y se obtiene:
A.
B.
C.
D.
xy + 2y
xy – 2y
3xy – x
3xy + x
8. ¿Cuál de las siguientes expresiones es equivalente
a: –2a – (3b – 7)?
A.
B.
C.
D.
74
2a – 3b + 7
2a – 3b – 7
–2a – 3b + 7
–2a – 3b – 7
Unidad 2 – Números y álgebra
9. El costo de un paquete de cabritas es $ p y el costo
de una bebida es $ c. ¿Cuánto se debe pagar por
comprar 6 paquetes de cabritas y 5 bebidas?
A.
B.
C.
D.
c + p
6(p + 5c)
5c + p
6p + 5c
10.En un estacionamiento cobran $ a por cada
15 minutos o fracción. ¿Cuál de las siguientes
expresiones representa lo que pagará una persona
cuyo vehículo estuvo 4 horas estacionado?
A.
B.
C.
D.
4a
8a
15a
16a
11.Vicente es 4 años menor que Samuel. Si Samuel
tiene x años, ¿cuál de las siguientes expresiones
representa la edad de Vicente hace 4 años?
A.
B.
C.
D.
x
x + 4
x–4
x–8
12.Una secuencia se forma restando 5 al doble del
número anterior. Si uno de sus términos es 3,
el término siguiente es:
A.
B.
C.
D.
–5
1
4
6
13.El cuadrado de la figura se ha dividido en
4 cuadrados iguales. Si el área del cuadrado
grande mide 4a2 cm2, entonces el lado del
cuadrado pequeño mide:
A. 2a cm
B. a cm
2
C. a cm
D. a cm
4
14.¿Cuál de las siguientes expresiones representa el
área del triángulo de la figura?
A.
B.
C.
D.
5x 2
6x 2
7x 2
12x 2
2x
6x
A. n 4
B. (n – 4)
C. n + n + n + n
D. n + 4
A.
B.
C.
D.
a ¥ e = 0
e ¥ a = 1
e¥a=a
e¥a=e
17. Si el lado de un cuadrado se triplica, entonces el
área del cuadrado mayor es:
A.
B.
C.
D.
tres veces el área del cuadrado menor.
seis veces el área del cuadrado menor.
nueve veces el área del cuadrado menor.
doce veces el área del cuadrado menor.
18.Si a b lápices cuestan $ x, ¿cuánto cuesta un lápiz
del mismo tipo?
A. x – ab
C. ab · x
x
a
b
B. a D. xb
19.Si n = 8, el antecesor de (n – 6) es:
A. 0
B. 1
C. 2
D. 14
20.Si 2x = 10, entonces 3x – 5 es igual a:
A. 5
B. 10
C. 15
D. 20
21.Si a es la edad de Alejandra, su edad hace
8 años era:
A. 8a
B. 8 – a
C. a + 8
D. a – 8
22.La diferencia entre el doble de un número y
1 es 19. ¿Cuál es el número?
A. 20
B. 21 2
23.¿Cuál de las siguientes ecuaciones tiene como
solución x = 2?
A. 2x – 4 = 0
B. 2x + 4 = 0
C. 5x + 5 = 5
D. 5x – 5 = 0
24.Si se resta 20 al triple de un número se obtiene 7.
¿Cuál es el número?
A. 73
B. 6
16.Considerando que ¥ es una operación matemática,
que a es distinto de 0 y de 1 y que e es el elemento
neutro de la operación ¥, ¿cuál de las siguientes
expresiones es verdadera?
C. 10
D. 9
Unidad 2
15.Un cuaderno que contiene n páginas se dividirá
en 4 secciones de igual número de páginas
cada una. ¿Cuál de las siguientes expresiones
representa el número de páginas que contendrá
cada sección?
C. 9
D. 27
25.En dos salas de un cine ingresan 155 personas.
Las que entran a la primera sala corresponden
a cinco más dos tercios de las que entran a la
segunda sala. Una ecuación que nos permite
seber cuántas personas entraron a la segunda
sala es:
A. 2 x + x = 5
3
B. 2 x + 5 + x = 155
3
C. 5 + 2 x = 155
3
D. 5 + 2 + x = 155
3
26.La frase “La diferencia entre un número
aumentado en quince y su doble es 10” se
puede expresar como:
A. x – 15 – 2x = 10
C. x + 15 + 2x = 10
B. x + 15 – 2x = 10
D. 2x – 15 – x = 10
27.La medida del largo de un rectángulo es el doble
de la medida de su ancho. Si su perímetro es
120 cm, ¿cuánto mide el largo del rectángulo?
A. 10 cm
C. 40 cm
B. 20 cm
D. 60 cm
28.Un cuaderno cuesta $ 690 y una caja de lápices
$ 1 100. ¿Cuánto cuestan ocho cuadernos y dos
cajas de lápices?
A. $ 5 520
B. $ 8 800
C. $ 7 720
D. $ 10 180
29.La siguiente expresión representa el valor de
X: la diferencia entre la tercera parte de 3n + 3 y la
mitad de 2n + 2.
a. ¿Cuál es la expresión en términos de potencias
que representa a X?
b. ¿Cuál es el valor numérico de X para n = 1,
n = 2 y n = 3?
Fundamenta tus respuestas mostrando todos
los pasos y cálculos realizados.
Unidad 2 – Números y álgebra
75
Evaluación de síntesis de la unidad 2
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 13.
1. (3,7)6 =
6
A. 36 7
6
37
B.
706
6
C. 376
10
D. 22,2
2. El casino de una empresa ofrece para la hora de
almuerzo 2 platos distintos, con 4 opciones de
agregado, 2 opciones de postre y 4 tipos distintos
de jugos. ¿De cuántas maneras se puede pedir el
almuerzo en este casino?
A.
B.
C.
D.
23
24
25
26
3. Al descomponer el número 202 202 con potencias
de 10 se obtiene:
A.
B.
C.
D.
2 · 105 + 2 · 104 + 2 · 103 + 2 · 102
2 · 105 + 2 · 103 + 2 · 101 + 2 · 100
2 · 105 + 2 · 103 + 2 · 102 + 2 · 100
2 · 106 + 2 · 104 + 2 · 103 + 2 · 100
A partir de la siguiente situación responde los
ítems 4 y 5.
Macarena observa un prisma recto de base cuadrada.
Su arista basal mide 500 cm y su altura mide 800 cm.
4. El área total del prisma, expresando el resultado
con números naturales y potencias de 10, es:
A.
B.
C.
D.
4 · 104 cm2
5 · 105 cm2
16 · 105 cm2
21 · 105 cm2
5. El volumen del prisma, expresando el resultado
con números naturales y potencias de 10, es:
A.
B.
C.
D.
2 · 107 cm3
32 · 107 cm3
2 · 108 cm3
32 · 108 cm3
6. Si 1 micrómetro es igual a 10 –6 m, 3 m es igual a:
A.
B.
C.
D.
76
3 · 106 micrómetros.
3 · 105 micrómetros.
3 · 10 –5 micrómetros.
3 · 10 –6 micrómetros.
Unidad 2 – Números y álgebra
7. Al calcular (4,9)3 : (0,7)3 se obtiene:
C. 0,343
A. 343
B. 1 343
D. 3,43
8. El valor de √16 + √36 – √81 + √169 – 144 es
igual a:
C. 5
D. 6
A. 1
B. 2
9. Si x = 4 e y = 1 , entonces el valor de la
5
expresión x + x – y – y – y – y – y es:
C. 7
D. 21
5
A. 9
B. 8
10.Al reducir la expresión cb 4 + 3c 4 + b 4 c – c 4,
se obtiene:
A.
B.
C.
D.
cb 4 + 3c 4 + b 4c – c 4
2cb 4 + 2c 4
4cb 4 + 4c 4
2cb 4 + 4c 4
11.La expresión algebraica que representa “el doble
de un número aumentado en su quinta parte es
igual a 35” es:
A. 2x + x = 35
5
B. 2 x + x = 35
5
2
x
+
x
C.
= 35
5
D. 2x + x = 35
5
12.Álvaro comió 100 galletas en cinco días. Cada día
comió 6 más que el día anterior. ¿Cuántas galletas
comió el segundo día?
(
A.
B.
C.
D.
)
26
20
14
8
13.Dos hermanos tienen un negocio y reparten las
ganancias de la siguiente manera: el mayor recibe
un 40 %, el menor recibe la cuarta parte y el resto
de la ganancia, que corresponden a $ 35 000, se
vuelve a invertir en el negocio. ¿Cuánto dinero
recibe el hermano menor?
A.
B.
C.
D.
$ 25 000
$ 40 000
$ 80 000
$ 100 000
a. (2,3)3 =
c. (5,4)4 =
()
5
d. 5 =
3
()
4
b. 4 =
5
15.Escribe el número correspondiente a
cada descomposición.
a.
b.
c.
d.
8 · 104 + 6 · 103 + 4 · 101
7 · 105 + 5 · 104 + 2 · 103
3 · 106 + 4 · 105 + 1 · 103 + 6 · 102 + 8 · 100
2 · 105 + 8 · 104 + 3 · 103 + 1 · 102 + 4 · 100
16.Descompón los siguientes números utilizando
potencias de 10.
a. 57 830
b. 6 120 080
c. 903 472
d.1 003 785
c. (3 400 : 103) · 105
d. (25 000 : 102) : 103
18.Representa los siguientes números como el
producto de un número natural por una potencia
de 10.
a. 1,25
b. 5,823
c. 0,0007
d. 0,04
e. 0,00034
f. 0,000009
( 67 ) · 67 =
b. ( 2 ) · ( 2 ) =
5
5
4
c. ( ) · ( 4 ) =
9
9
3
6
3
2
5
d. (0,8)9 : (0,8)5 =
e. (1,6)8 : (0,4)8 =
f. (2,7) : (0,3) =
7
a = 5, b = 12, c = x
a = 15, b = x, c = 25
a = x, b = 24, c = 30
a = 6, b = x, c = 10
22.Beatriz compró una planta cuando solo había
crecido el tallo. Al año siguiente, del tallo brotaron
tres ramitas, cada una con una flor. Un año después,
de cada ramita brotaron otras tres ramitas, cada
una con una flor, y así siguió cada año. ¿Cuántas
flores brotaron al séptimo año?
a. El valor de 5a2 es
a = 8.
, si sabemos que
b. Si sabemos que 5m = 0, entonces el valor de
m es
.
c. Al sumar 5z y 8z obtenemos la expresión
.
d. Al aplicar la propiedad distributiva a la expresión
5(m + 5 – 3) obtenemos
.
e. Al escribir 5d como una adición de sumandos
iguales obtenemos
19.Escribe como multiplicación o división de factores
iguales cada potencia y calcula su valor.
a.
a.
b.
c.
d.
23.Completa cada una de las siguientes oraciones:
17. Resuelve los siguientes ejercicios.
a. (82 · 104) : 103
b. (7,2 · 106) : 104
Unidad 2
21.Si a, b, c, son tres números naturales tales que
a 2 + b 2 = c 2, determina el número que falta x para
que se cumpla la igualdad.
14.Calcula el valor de cada potencia.
7
20.Eva compró 10 paquetes de caramelos de
anís, 100 paquetes de caramelos de miel y
1 000 paquetes de caramelos de frutas. Cada
paquete de caramelos cuesta $ 234. También
compró 10 bolsas de 0,25 kg de coco rallado,
100 sobres de 0,125 kg de chocolate en polvo y
1 000 sobres de 0,015 kg de canela molida.
a. ¿Cuánto debe pagar por los caramelos de anís?,
¿cuánto por los de miel?, ¿y por los de frutas?
b. En total, ¿cuántos kilogramos de coco rallado
obtiene?, ¿cuántos kilogramos de chocolate en
polvo?, ¿y cuántos de canela molida?
f. Al escribir d 4 como una multiplicación de
factores iguales obtenemos
24.Reduce los términos semejantes en las siguientes
expresiones algebraicas.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
3a + 4a + 4b 7d – 3d + 8b
6h + 3h – 7t + 2h – 5
6b + 4b 2 + 5b 2
10a 2 + 4a + 3a + 2a 2
6xy – 3yx + 6x + 3y
25.Plantea una ecuación que permita resolver
cada situación. Resuélvela y verifica el
resultado obtenido.
a. En una caja hay el doble de caramelos de menta
que de miel. Si en total hay 48 caramelos,
¿cuántos hay de cada sabor?
b. La suma de tres números consecutivos es 75.
¿Cuáles son los números?
Unidad 2 – Números y álgebra
77
Unidad
3
Geometría
Paralelas
Rectas
Perpendiculares
Ángulos
Opuestos por
el vértice
En rectas paralelas cortadas
por una transversal
Circunferencia
Longitud
Elementos
Geometría
El número π
Círculo
Triángulos
Teorema de
Pitágoras
Elementos
secundarios
Polígonos
Transformaciones
isométricas
Habilidades
78
Calcular áreas de triángulos, cuadriláteros y otras figuras compuestas por estas.
Utilizar y elaborar estrategias para resolver problemas que involucren áreas.
Resolver problemas relativos a cálculo de ángulos en polígonos.
Resolver problemas relativos a ángulos entre paralelas cortadas por una transversal.
Efectuar construcciones de triángulos según lados y ángulos dados.
Caracterizar los elementos lineales de triángulos.
Resolver problemas utilizando el teorema de Pitágoras y su recíproco.
Construir transformaciones isométricas.
Realizar teselaciones.
Comprender el número π.
Caracterizar la circunferencia y el círculo como lugares geométricos.
Calcular la longitud de la circunferencia.
Utilizar estrategias para calcular volúmenes de prismas rectos, pirámides, cilindros y conos.
Calcular área del círculo y de la superficie de prismas, conos, cilindros y pirámides.
Unidad 3 – Geometría
Área
Teselaciones
Cuerpos
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Perímetro
Volumen
P ara recordar
• Cuando una recta transversal corta dos rectas
paralelas se forman ángulos congruentes,
marcados con el mismo color en la figura.
L1
L2
L3
• El área de una figura es la medida de su superficie. El área de un cuadrado de lado a es A = a2,
de un rectángulo de lados a y b es A = a · b, y de
un triángulo de base b y altura h es A = b · h .
2
• El área de un paralelogramo de altura h y base b
es: A = b · h.
• Se puede construir un único triángulo si se
•
•
•
•
•
•
conocen las medidas de: sus tres lados (LLL),
o un lado y los ángulos contiguos a él (ALA), o
bien, dos lados y el ángulo comprendido entre
ellos (LAL).
Las alturas de un triángulo son segmentos
perpendiculares trazados desde un vértice al
lado opuesto o a una prolongación de este. Las
tres alturas (o sus prolongaciones) se intersecan
en un punto llamado ortocentro (H ).
Las bisectrices dividen cada ángulo interior del
triángulo en dos ángulos de igual medida. Estas
se intersecan en un punto llamado incentro (I ).
Las simetrales de un triángulo son rectas perpendiculares a los lados del triángulo que pasan
por el punto medio del lado. Se intersecan en
un punto llamado circuncentro (C ).
Las transversales de gravedad son segmentos
que unen cada vértice con el punto medio de
su lado opuesto. Se cortan en un punto llamado
centro de gravedad o baricentro (G).
El teorema de Pitágoras dice: “En todo triángulo
rectángulo, la suma de los cuadrados de las
medidas de los catetos es igual a la medida de
la hipotenusa al cuadrado”.
El recíproco del teorema de Pitágoras dice: “si en
un triángulo la suma de los cuadrados de dos de
los lados es igual al cuadrado del tercero, entonces el triángulo es rectángulo”.
• Una circunferencia es el lugar geométrico de
•
•
•
•
•
•
los puntos del plano que están a igual distancia
de un punto fijo, llamado centro.
El círculo es el lugar geométrico de los puntos
del plano cuya distancia al centro es menor o
igual que la longitud del radio.
El número π es la razón entre la longitud de una
circunferencia y su diámetro. Este número es
decimal infinito no periódico, que truncado a
sus primeras cifras decimales es 3,1415926535.
La longitud de una circunferencia, de radio r,
es: l = 2 · π · r.
El área de un círculo de radio r es: A = π · r 2.
Si r es el radio de la base y h la altura, el área de
un cilindro está dada por:
Acilindro = 2 · π · r · h + 2 · π · r 2.
Si g es la generatriz y r el radio de un cono, el
área del cono es: Acono = π · r 2 + π · r · g.
• El volumen de un cilindro, de altura h y radio r,
es Vcilindro = π · r 2 · h.
• El volumen del cono, de altura h y radio r, es:
2
V =π·r ·h.
cono
3
• El volumen del prisma recto, de altura h y área
de la base b, es: Vprisma = b · h.
• El volumen de la pirámide, de altura h y área de
la base b, es: V
= b·h.
prisma
3
• Una transformación isométrica, aplicada a una
•
•
•
•
figura u objeto, modifica su posición sin alterar
su tamaño ni su forma.
En una traslación se desplazan todos los puntos
de la figura, en la misma magnitud, dirección
y sentido.
En una reflexión se asocia a cada punto de una
figura otro que está a la misma distancia del eje
de simetría.
En una rotación se mueven todos los puntos de
una figura en un ángulo dado, respecto de un
punto fijo, llamado centro de rotación.
Una teselación es una regularidad o patrón
de figuras que cubre completamente una
superficie plana y que cumple con dos requisitos:
que no queden espacios y que no se sobrepongan
o traslapen las figuras. En esta unidad, en las
teselaciones regulares y semirregulares,
los polígonos utilizados son todos regulares,
y coincide la medida de sus lados.
Unidad 3 – Geometría
79
Ángulos opuestos por el vértice y entre paralelas cortadas por una transversal
Ejercicios resueltos
1. Encuentra la medida del ángulo α, de la figura 1, si se sabe que el triángulo es equilátero y CF // AB.
Podemos prolongar uno de los lados del triángulo convirtiendo la figura 1 en la figura 2.
• El ángulo α está formado por los ángulos ECD y el
ángulo DCF.
• El ángulo ECD mide 60º porque es opuesto por el vértice
del ángulo ACB.
• El ángulo DCF mide 60º porque es correspondiente entre
paralelas al ángulo CAB.
• Por lo tanto, la medida del ángulo α es 120º.
Figura 1
C
Figura 2
α
D
E
F
C
A
B
A
F
B
2. Encuentra las medidas de los ángulos α, β y γ de la figura, considerando que L1 // L2 // L3.
El triángulo de la figura es rectángulo porque la suma de los
otros dos ángulos del triángulo es 90º.
L1
γ
β
α
• La suma de las medidas α y β es 90º porque es
L2
suplementario a un ángulo recto.
• La medida del ángulo β es 40º por ser correspondiente
L3
a un ángulo de esa medida.
• La medida de α es 50º por ser complementario a β.
• La medida de γ es 40º por ser un ángulo alterno interno de β.
40º
50º
La respuesta del problema es: α = 50º, β = 40º y γ = 40º.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Usando la figura responde.
τ
γ
ε
α
2. Encuentra la medida de los ángulos indicados en
cada caso.
a. El triángulo de la figura es isósceles.
β
L1
λ
α
σ
L2
δ
L1 // L2
a. Nombra 2 pares de ángulos que tengan
igual medida.
b. Nombra 2 pares de ángulos que sean opuestos
por el vértice.
c. Los ángulos α y ε, ¿miden lo mismo?, ¿cómo
se llaman?
d. Si α = 110º, ¿cuánto mide λ?
e. Nombra otro ángulo que mida 110º.
f. Considera ahora que el ángulo β mide la
mitad de la medida del ángulo δ. ¿Cuánto
mide cada uno?
80
Unidad 3 – Geometría
95º
β
L1 // L2
L1
L2
b.
85º
L1 // L2
x
70º
L2
L1
c.
L1 // L2
L3 // L4
x
y
L1
40º
L2
L3
L4
a.
L1
β
L1 // L2
L3 // L4
65º
L3
b.
L2
L4
α
L1
55º
L1 // L2
45º
L4
c.
50º
α
L1
d.
β
L2
L1
L2
L3
50º
L4
a. Encuentra la medida
de los ángulos β y δ,
sabiendo que:
) )
ED // CB .
C
E 85º
115º
δ
L1 // L2
L2
D
β
B
α 2x + 60º
x + 70º
3x – 40º
x
L1 // L2
L1
L2
45º
L2
L1 // L2
L1 // L2
α
L2
L1
40º
L1 // L2
α
L2
150º
Marca la opción correcta en los ítems 4 y 5.
4. ¿Cuál es la medida del ángulo α de la figura?
L4
29º
α
L1
x
6. Resuelve los siguientes problemas.
L1 // L2
L3 // L4
L1
125º
4x – 50º
3x – 40º
d. ¿Qué tipo de triángulo
muestra la figura?
35º
L1 // L2
L3 // L4
2x
c. Encuentra la medida de
los ángulos marcados
en la figura.
e.
A. 29º
B. 65º
C. 66º
D. 144º
27º
45º
90º
270º
L2
α
f.
A.
B.
C.
D.
b. Determina la medida
L1
del ángulo α.
L1 // L2
L3 // L4
L3
β
Unidad 3
5. ¿Cuál es el valor de x según la figura?
3. Resuelve los siguientes ejercicios.
L3
85º
L2
135º
L1
e. Una persona que está mirando al oeste gira
en un ángulo de 82º para observar un edificio.
Si sigue girando en el mismo sentido, ¿cuánto
debe girar para mirar directamente al este?
f. Pedro camina por la calle Los Abetos, dobla
por Los Pinos, con un ángulo de giro de 50º,
camina por Los Pinos hasta que llega a la
esquina de Los Sauces, que es perpendicular
a Los Abetos, ¿con qué ángulo de giro debe
doblar ahora para seguir por Los Sauces?
g. Don Julio dice que construirá una reja con
cuatro fierros, formando un paralelogramo.
Si con dos de ellos forma un ángulo de 72º
y el siguiente fierro lo pone formando un
ángulo de 85º con el anterior, ¿está don Julio
haciendo bien su reja? Justifica tu respuesta.
Unidad 3 – Geometría
81
Ángulos en polígonos
Ejercicios resueltos
1. En la figura, AE es bisectriz del B CAB. Además, DE // AB. Encuentra la
medida del B DEA.
A
• La medida del ángulo CAB es 80º, por la suma de ángulos interiores
D
28º
del triángulo.
• La medida del ángulo EAB es 40º, ya que AE es bisectriz. Como los
ángulos EAB y DEA son alternos internos, la medida del B DEA es 40º.
72º
F
B
2. En el triángulo ABC, ED es simetral del lado BC. Encuentra la medida
del ángulo α.
C
G
E
C
Recuerda que la simetral es perpendicular al lado, por lo tanto, el ángulo EDB
es un ángulo recto.
• Así se sabe que el B DEB mide 45º (suma de ángulos internos del triángulo).
• Luego, la medida de α es 135º (el ángulo α es suplementario con el B DEB).
D
A
45º
α
E
B
Ejercicios y problemas propuestos
1. Encuentra la medida de los ángulos marcados con
letras. Verifica tus resultados con un transportador.
130º
a.
50º
α
2. En la figura, BE y CD son bisectrices. La medida
del ángulo x es:
C
A. 25º
B. 30º
C. 65º
D. 125º
E
x
120º
D
b.
50º
60º
AB // DC
AD // BC
85º
A
β
α
c.
γ
B
110º
β
135º
ε
γ 120º
25º
α
d.
α
β
60º
50º
82
A
C
Unidad 3 – Geometría
30º
δ
70º
D
25º
B
3. Resuelve los siguientes ejercicios.
a. ¿Cuánto es la suma de los ángulos interiores de
un hexágono?
b. ¿Cuánto mide un ángulo interior de un
octágono regular?
c. Si un ángulo interior de un polígono regular
mide 140º, ¿cuántos lados tiene ese polígono?
d. Si la suma de los ángulos interiores de un
polígono regular es 1 800º, ¿cuántos lados
tiene ese polígono?
e. ¿Cuántos lados tiene un polígono regular
si la suma de todos sus ángulos interiores
es 1 980º?
f. ¿Cuánto mide cada ángulo interior de un
pentágono regular?
140º – x
Unidad 3
4. En cada uno de los siguientes problemas
encuentra el valor de x.
a.
x
7. Paula dice que dibujó un polígono regular de
tal manera que la suma de las medidas de los
ángulos interiores es 450º.
a. ¿Es eso posible? Justifica tu respuesta.
b. ¿Qué polígono tiene la suma de sus ángulos
interiores más cercana a 450º?
8. Resuelve los siguientes problemas.
b.
a. Eugenio está construyendo una repisa con el
modelo que muestra la figura, donde
AB // CD. Si las medidas de B DCB y B ADC
son iguales, encuentra las medidas de todos
los ángulos de la repisa.
x + 50º
6x + 30º
4x
c.
D
C
x
125º
A
2x
2x
d.
2x
2x
4x
4x
5x
5x
6x
6x
5. Resuelve los siguientes problemas que involucran
ángulos exteriores de un polígono.
a. Si la suma de los ángulos interiores de
un polígono regular es 900º, ¿cuánto mide
cada ángulo exterior?
b. Según la información del dibujo, ¿cuál es el
valor de x?
x + 30º
x + 70º
x + 50º
3x + 90º
c. Con la información del problema anterior,
encuentra la medida de cada ángulo exterior
del cuadrilátero.
B
b. Javiera quiere construir el modelo de un
polígono regular, para ello clava dos trozos de
madera iguales formando un ángulo de 108º.
¿Cuántos trozos más de madera necesita?
c. Don Juan está diseñando una ventana, quiere
que sea un paralelogramo pero no rectangular.
Si dibujó uno de los ángulos con una medida
de 75º, ¿cuánto miden los otros ángulos?
d. Se tiene un triángulo isósceles con ángulos
basales de 80º. ¿Cuánto mide el ángulo formado
por la prolongación de un lado del triángulo y
la altura trazada a la base del triángulo?
e. Al trazar dos alturas en un triángulo
acutángulo, una de las figuras que se forma
dentro del triángulo es un cuadrilátero. Dibuja
la situación y determina una posible medida
de los dos ángulos que no son rectos en
el cuadrilátero.
f. Julio quiere construir un triángulo isósceles, de
base SR, que cumpla la siguiente condición.
La medida del ángulo β debe ser tres veces la
medida del ángulo α. ¿Cuánto deben medir
α y β?
T
36º
6. Si un ángulo exterior de un polígono regular
mide 45º, ¿cuántos lados tiene el polígono?
Marca la opción correcta.
A. 3 B. 4 C. 6
D. 8
S
β α
R
Unidad 3 – Geometría
83
Triángulos y sus elementos
Ejercicios resueltos
1. Construye un triángulo con dos lados dados de manera que el ángulo comprendido entre ellos mida 45º.
• A los extremos de los segmentos dados se los llama A, B, C y D.
• Se mide con el compás el segmento AB y se prolonga en la misma medida, el otro extremo se llamará E. Ahora se tiene un segmento EB, sobre
C
ese segmento se construye una simetral, de manera que se tendrá una
45º
perpendicular que pasa por A.
E
A
• Se biseca el ángulo recto que construiste, y se tiene un ángulo de 45º con
vértice en A.
• Sobre el rayo del ángulo de 45º se copia el segmento CD, de tal manera
que el punto D coincida con el punto A.
• Se une el punto C con el punto B. Con este último paso se tiene el triángulo ABC construido.
B
2. En el triángulo construido en el ejercicio 1, construye la altura desde el vértice C al lado AB.
• Con el compás se dibuja un círculo con centro en C que corte el lado AB en los
puntos A’ y B’.
• Con el compás y vértice en A’ se traza un círculo de manera que pase por C. Se repite
este paso pero ahora con el compás en B’.
• Se dibuja un segmento desde C hasta el otro punto donde se intersecaron los círculos.
Ese segmento cortará el lado AB en un punto, D. El segmento CD es la altura pedida.
C
A
A’
D
B’
B
Ejercicios y problemas propuestos
1. Construye los siguientes triángulos con las
condiciones dadas en cada caso.
a. Construye un triángulo con estos tres
segmentos que serán sus lados.
b. Construye un triángulo equilátero. Elige tú la
longitud de los lados.
c. Construye un triángulo isósceles con los lados
congruentes de 3,5 cm cada uno y la base
de 5 cm.
d. Dados estos tres segmentos, ¿puedes
construir un triángulo? Justifica tu respuesta.
2. Resuelve los siguientes problemas.
a. En el ejercicio 1 a construiste un triángulo con
los tres lados dados, ¿puedes construir otro
triángulo, con los mismos lados? Justifica
tu respuesta.
b. Con un transportador construye un triángulo
cuyos ángulos midan 30º, 70º y 80º.
c. ¿Es posible construir un triángulo diferente
al construido en b pero con los mismos
ángulos?, ¿por qué?
d. Escribe una conclusión respecto de la cantidad
de triángulos que es posible construir dados
tres lados y dados tres ángulos.
e. Construye un triángulo copiando el lado y los
ángulos contiguos a él, dados a continuación.
2 cm
e. ¿Cuáles son las condiciones que deben cumplir
tres segmentos, para que se pueda construir
un triángulo con ellos?
f. Describe tres segmentos con los que no se
pueda construir un triángulo. Explica por qué
no se puede.
30º
50º
f. Construye un triángulo copiando los dos lados
y el ángulo comprendido entre ellos, que se
muestran en las siguientes figuras.
2 cm
30º
4 cm
84
Unidad 3 – Geometría
a. Dibuja un triángulo acutángulo y construye
las bisectrices de los tres ángulos interiores.
¿Qué propiedad tiene el punto donde se
cortan las bisectrices de un triángulo?
Aplica esa propiedad en este dibujo.
b. Construye un triángulo ABC con lados que
midan 4 cm, 5 cm y 6 cm y luego construye
las alturas desde cada vértice. ¿Cómo se llama
el punto donde se cortaron las tres alturas
del triángulo?
c. Construye un triángulo obtusángulo y dos de
sus alturas. Con respecto al triángulo, ¿dónde
está ubicado el punto en que se intersecan
las alturas?
d. Dibuja un triángulo ABC acutángulo escaleno
y construye las simetrales de los tres lados.
¿Qué particularidad tiene el punto donde se
cortaron las tres simetrales? Compruébalo con
tu compás.
e. Dibuja un triángulo acutángulo escaleno y
construye sus tres transversales de gravedad.
¿Cómo se llama el punto donde cortaron las
tres transversales de gravedad?
4. Construye un triángulo equilátero cuyos lados
midan 8 cm y realiza los siguientes pasos.
a. Construye dos bisectrices, dos alturas y dos
simetrales. Describe qué ocurrió.
b. Si dibujas dos transversales de gravedad en
el mismo triángulo, ¿qué crees que sucede?
Compruébalo construyéndolas.
c. Construye un triángulo isósceles y además
la altura, bisectriz, transversal de gravedad y
simetral correspondientes a la base y al ángulo
opuesto. ¿Qué sucede? ¿Crees que sucede lo
mismo con los otros lados? Compruébalo.
6. Marca la opción que muestra las medidas de
3 segmentos con los que no se puede construir
un triángulo.
A.
B.
C.
D.
8 cm, 10 cm y 13 cm
5 cm, 7 cm y 9 cm
3 cm, 4 cm y 5 cm
1 cm, 3 cm y 5 cm
7. ¿Cuál de las siguientes opciones corresponde
al nombre del punto donde se intersecan las
bisectrices de un triángulo?
A.
B.
C.
D.
Incentro.
Baricentro.
Ortocentro.
Circuncentro.
8. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si se considera la ubicación de tres poblados
como puntos en un mapa, estos forman un
triángulo. ¿En qué punto se debe construir
un hospital para que quede exactamente a
la misma distancia de los tres poblados?
b. Raúl recortó un cartón en forma triangular.
¿En qué punto exacto del triángulo debe
colocar la punta de un palillo para equilibrarlo?
c. Las ciudades A, B y C están unidas por los
caminos a, b y c, como se muestra en la figura.
Se quiere construir un museo de tal manera
que los caminos que vayan desde él a los
otros caminos sean lo más cortos posible.
¿Qué punto cumple esa condición?
C
a
b
B
5. Dibuja un triángulo escaleno.
a. Usando el procedimiento de división de trazos,
divide el lado mayor en 3 partes iguales y une
los puntos en que quedó dividido ese lado con
el vértice opuesto.
b. ¿Cuántos triángulos tiene tu figura en total?
Unidad 3
3. Construye los siguientes triángulos con los
elementos secundarios indicados.
c
A
Unidad 3 – Geometría
85
Ángulos y segmentos
Ejercicio resuelto
Para este ejercicio y los siguientes necesitas regla, compás y transportador.
1. Dado un segmento L, construye la simetral.
• En el segmento rotula los puntos A y B.
• Abre el compás con la medida de A hasta B y con esta abertura dibuja
arcos con vértice en A, por sobre y por debajo del segmento.
• Con la misma abertura del compás pero con centro en B, repite el
paso anterior, determinando los puntos C y D.
• Une con una recta los puntos C y D. Esa es la simetral, lo puedes
comprobar con un transportador.
C
A
L
B
D
Ejercicios y problemas propuestos
1. Realiza las siguientes construcciones que
involucran ángulos.
a. Dibuja un ángulo de 50º usando un
transportador, luego, cópialo usando regla
y compás.
b. Con el transportador dibuja un ángulo de
108º, copiando este ángulo y con segmentos
que midan 5 cm cada uno construye un
pentágono regular.
c. Dibuja un ángulo agudo y construye su
bisectriz. Comprueba con la ayuda de un
transportador que los dos ángulos midan
lo mismo.
d. Construye un ángulo de 90º y a partir de ese
ángulo construye uno de 45º.
e. Construye un ángulo de 135º usando regla
y compás.
f. Copiando el ángulo de 135º construye un
polígono regular. ¿Cuántos lados tiene?
g. ¿Cómo podrías construir un ángulo de 22,5º?
Construye un ángulo con esa medida.
h. Construye un cuadrilátero cuyos ángulos
contiguos midan 135º y 45º.
i. Construye un triángulo isósceles cuyos ángulos
basales midan 22,5º cada uno. ¿Cuánto mide
el tercer ángulo?
j. Construye un triángulo rectángulo isósceles.
¿Cuánto miden los otros ángulos?
k. Construye un cuadrilátero, utilizando un
ángulo de 135º y segmentos de 4 cm.
¿Qué tipo de cuadrilátero es?
86
Unidad 3 – Geometría
2. Realiza las siguientes construcciones que
involucran rectas.
a. Dibuja una recta que esté orientada en
forma oblicua y construye una recta que sea
perpendicular a ella en cualquier punto que no
sea el punto medio.
b. Dada una recta cualquiera, construye una
recta que sea paralela a esta recta. Escribe los
pasos a seguir.
c. Dada una recta cualquiera, construye una
paralela a ella que esté a 4 cm de distancia.
d. Dibuja un trazo de 10 cm y divídelo en cinco
trazos iguales. Comprueba con la regla que
los trazos midan lo mismo.
e. Dibuja un trazo de 8 cm y luego construye la
simetral de ese trazo.
f. Dibuja un par de rectas paralelas y luego un
par de rectas perpendiculares a las primeras.
¿Qué figura obtuviste?
g. Sobre una recta construye, con una distancia de
5 cm, un ángulo de 45º y otro de 135º, ambos en
sentido antihorario, y luego una recta paralela a
la primera. ¿Qué figura obtuviste?
h. Dibuja un rectángulo de 8 cm de largo y 4 cm de
ancho. Sobre uno de los segmentos de 8 cm
construye la simetral. ¿Qué figuras obtuviste?
i. Dibuja un segmento, divídelo en tres
segmentos congruentes y sobre los puntos
determinados construye rectas paralelas que
sean perpendiculares al primer segmento.
a. Construye un paralelogramo que tenga dos
lados de 2 cm y dos lados de 5 cm.
b. Construye un paralelogramo que tenga dos
ángulos contiguos de 40º y 140º y el lado
común a ellos de 5 cm.
c. Construye un paralelogramo sabiendo
que sus diagonales miden 8 cm y 5 cm
respectivamente y que forman un ángulo de
40º entre ellas.
d. Construye un rombo cuyos lados midan 5 cm
cada uno y dos de sus ángulos sean de 40º.
¿Cuál es la medida de los otros dos ángulos?
e. Construye un cuadrado sabiendo que sus
diagonales miden 10 cm cada una.
f. Construye un rombo cuyas diagonales midan
8 cm y 6 cm respectivamente.
g. Construye un trapecio isósceles cuya altura sea
3 cm y la base de mayor longitud mida 5 cm.
h. Construye un paralelogramo que tenga lados
contiguos de 3 cm y 4 cm y el ángulo entre
ellos sea de 60º.
i. Construye un trapecio rectángulo cuyas bases
midan 5 cm y 2 cm y cuya altura sea 4,5 cm.
j. Construye un trapecio de tal manera que una
de sus bases mida la mitad de la otra.
k. ¿Podrías construir un paralelogramo cuyos
ángulos contiguos midan 40º y 80º? Justifica
tu respuesta.
l. ¿Cómo puedes construir un ángulo de 60º sin
usar transportador? Constrúyelo y utilízalo para
construir un hexágono regular de lado 5 cm.
m. Construye un paralelogramo cuyos ángulos
sean 60º y 120º, su largo sea 8 cm y su altura
4 cm.
n. Construye un triángulo equilátero de lado
6 cm, luego construye una paralela a uno de los
lados que se interseque con los otros dos lados
en su punto medio. ¿Qué figuras obtuviste?
ñ. Construye un cuadrado de lado 3 cm. Sobre
la base de este cuadrado, construye otro cuyo
lado mida 6 cm. Compara sus perímetros y
sus áreas.
Unidad 3
3. Con lo practicado hasta ahora construye las
siguientes figuras.
4. En la antigua Grecia había tres construcciones
que no pudieron realizar solo con regla y compás.
a. Averigua cuáles eran esas construcciones.
b. Averigua si se han podido realizar en
la actualidad.
c. Comparte con tus compañeros la información
que obtuviste y compárala con la de ellos.
5. Resuelve los siguientes problemas.
a. Silvia quiere hacer un poncho con cuatro
cuadrados de tela, cuyos lados midan
60 cm, pero no sabe cómo dibujar en la
tela el cuadrado para poder cortarlo.
Indica los pasos que debe realizar.
b. El alcalde de un pueblo quiere construir una
piscina para la comunidad, que tenga forma
de rombo de 15 m de lado y en que la
distancia de un vértice al opuesto sea de
18 m. ¿Cómo podría hacer el dibujo para
entregárselo a los constructores?
c. Felipe tiene un terreno rectangular que
destinará para hacer una chacra. Sin tener que
medir su largo, lo quiere dividir en tres partes
de igual longitud. Explica los pasos que puede
seguir para realizar la tarea.
d. Con lo que has practicado en esta sección,
¿podrías explicar cómo construir un triángulo
isósceles? Escribe todos los pasos.
e. Don Fernando es un mueblista al que le han
encargado una mesa cuya cubierta es un
hexágono regular. Explica los pasos que debe
seguir para construirla.
f. Un jardinero quiere diseñar espacios en su
jardín, que tengan forma de paralelogramos,
para poder poner flores. Explica cómo lo
puede hacer.
g. Tomás es un artesano que tiene unas
láminas de cobre, y quiere recortar triángulos
equiláteros y cuadrados para hacer aros, como
muestra la figura. Explica cómo puede hacer
el molde.
Unidad 3 – Geometría
87
Transformaciones, reflexiones y rotaciones
Ejercicio resuelto
B
1. Aplica una reflexión, respecto del eje de simetría destacado con color
rojo, a la figura que se muestra a continuación.
C
Paso 1:utilizando la escuadra, traza una recta perpendicular al eje de
simetría, de manera que pase por el vértice que vas a reflejar.
Paso 2:con el compás, copia la distancia entre el vértice y el eje, en la recta
trazada, pero al otro lado del eje, y obtén así la imagen del vértice.
A
D
Paso 3:repite los pasos 1 y 2 para cada vértice de la figura.
Paso 4:une las imágenes de los vértices para formar la imagen de la
figura inicial.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Copia estas figuras en papel y, usando regla y
compás, traslada cada figura según el vector
dado para cada una.
a.
b.
3. Aplica las transformaciones isométricas.
a. Dibuja un triángulo ABC y un punto O,
ubicado fuera del triángulo. Usando el punto
O como centro, aplica una rotación con un
ángulo de 60º en sentido antihorario.
b. Dibuja un rectángulo ABCD y un punto P
fuera de él. Usando el punto P como centro
de rotación, gira el rectángulo ABCD en un
ángulo de 90º en sentido horario.
c. Construye un triángulo que tenga dos lados
de medidas 4 cm y 7 cm y que el ángulo
formado por ellos mida 36º. Luego aplícale una
reflexión, usando regla y compás, respecto del
lado cuya medida es 7 cm.
Marca la opción correcta en los ítems 4 a 7.
2. Copia las figuras en papel y, usando regla y
compás, aplica la reflexión según el eje de
simetría dado.
a.
b.
4. Si el centro de rotación coincide con uno de los
vértices de una figura, ¿qué ocurre al aplicar una
rotación en 180º?
A.
B.
C.
D.
Ningún punto de la figura queda fijo.
Un punto de la figura queda fijo.
Los vértices de la figura cambian de posición.
Todos los puntos de la figura cambian
de posición.
5. La imagen de una circunferencia coincide
exactamente con la circunferencia original
al aplicar:
A. una traslación cuyo vector de traslación
tiene la misma magnitud que el radio de
la circunferencia.
B. una rotación cuyo centro de rotación coincida
con el centro de la circunferencia.
C. una reflexión cuyo eje de simetría no pase por
el centro de la circunferencia.
D. todas las anteriores.
88
Unidad 3 – Geometría
A. Se desplazan todos los puntos de una figura
respecto de un eje de simetría.
B. Cambia la posición y forma de la figura inicial.
C. Se desplazan todos los puntos de una figura
según un vector de traslación.
D. Se mueven todos los puntos de una figura en
un ángulo determinado.
Unidad 3
6. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta
respecto de una traslación?
d. A un cuadrilátero se le aplica una rotación, en
sentido horario, de 45º. A la imagen obtenida
se le aplica una rotación en 60º, utilizando el
mismo centro en sentido antihorario. ¿Qué
transformación tiene el mismo efecto sobre
el cuadrilátero?
10.En cada uno de los siguientes ejercicios,
determina el tipo de transformación efectuada.
C C'
a.
7. La imagen de una figura coincide exactamente
con la figura original, si se rotó en:
A.
B.
C.
D.
90º, en sentido horario.
180º, en sentido antihorario.
360º, en sentido horario.
540º, en sentido antihorario.
B'
B
A
C'
C
b.
A'
8. Determina si las siguientes expresiones son
verdaderas o falsas. Justifica las falsas.
a. Para reflejar una figura, es necesario conocer el
vector que determina la reflexión.
b. Para rotar un triángulo, solo es necesario
conocer el ángulo de rotación.
c. Al aplicar una transformación isométrica a una
figura, puede cambiar el tamaño de la figura,
pero no su forma.
d. Para trasladar una figura, es necesario conocer
el vector de traslación.
e. Rotar una figura en 180º en sentido antihorario
es equivalente a rotar la misma figura en 180º
en sentido horario.
f. La distancia desde cualquier punto de una
figura al eje de simetría es igual a la distancia
desde cualquier punto de su imagen al eje.
9. Resuelve los siguientes problemas.
a. Dibuja un triángulo ABC, aplícale una rotación
de 180º en sentido horario, con centro en el
vértice A, y luego una reflexión cuyo eje de
simetría coincida con el lado B’C’.
b. El triángulo ABC se refleja sobre un eje, resultando que el punto A’ permanece en la misma
posición que A. ¿Cómo se interpreta eso de
acuerdo a la ubicación del eje de simetría?
c. El triángulo ABC se refleja sobre un eje L1 y
su imagen, el triángulo A’B’C’, se refleja nuevamente, ahora sobre un eje L2 resultando el
triángulo A’’B’’C’’. Si L1 y L2 son líneas paralelas,
¿qué transformación convierte directamente
el triángulo ABC en el triángulo A’’B’’C’’ ?
B'
B
A
A'
C
c.
A
B
C'
A'
B'
11.Resuelve el siguiente problema.
a. Construye un triángulo cualquiera ABC y
trasládalo según el vector de traslación que
se muestra a continuación, obteniendo el
triángulo A’B’C’.
b. Copia el triángulo obtenido en el ejercicio
anterior y trasládalo nuevamente según el
vector dado, obteniendo el triángulo A’’B’’C’’.
c. ¿Qué transformación lleva al triángulo ABC
al triángulo A’’B’’C’’, sin necesidad del paso
por el triángulo A’B’C’ ? Si tu respuesta es una
traslación, dibuja el vector correspondiente.
Unidad 3 – Geometría
89
Teselaciones
Ejercicios resueltos
1. Diseña una figura que sirva como una base para generar una teselación.
• Como un rectángulo puede ser base para una teselación, puedes comenzar
con un rectángulo cualquiera.
• Copia una semicircunferencia de diámetro igual al ancho del rectángulo a
ambos lados del rectángulo.
• Traza dos segmentos en uno de los lados largos del rectángulo y copia
los trazos en el lado opuesto.
• De esta manera, obtienes una figura irregular que también sirve como
base para generar una teselación.
2. ¿Se puede realizar una teselación semirregular con un triángulo
equilátero y un hexágono regular?
• Cada ángulo interior de un triángulo equilátero mide 60º.
• Cada ángulo interior de un hexágono regular mide 120º.
• Si yuxtaponemos el hexágono y el triángulo, los ángulos suman 180º, si los reflejamos sobre un eje horizontal
se reproduce la figura sumando 360º, por lo tanto, se puede teselar el plano.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Decide si es posible realizar una teselación con
cada una de las siguientes figuras. Justifica
tu respuesta.
a. c.
b. 3. Pedro dice que usando dos octágonos regulares
y un cuadrado puede teselar el plano.
a. ¿Estás de acuerdo con él? Justifica tu respuesta.
b. Si ahora deja el mismo octágono, pero el
cuadrado lo remplaza por un rectángulo,
¿puede teselar el plano? Justifica tu respuesta.
4. Se ha teselado un plano con triángulos y hexágonos. Describe cómo se genera la teselación
utilizando las trasformaciones dadas, partiendo
del hexágono y del triángulo pintado.
d.
a. Reflexiones y traslaciones.
b. Rotaciones y traslaciones.
c. Rotaciones y reflexiones.
2. ¿Con cuál de estos polígonos regulares no se
puede teselar un plano, usando solo uno de
ellos a la vez? Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
90
Triángulo.
Cuadrado.
Pentágono.
Hexágono.
Unidad 3 – Geometría
a. b.
6. La siguiente figura está formada por un
hexágono regular, un triángulo equilátero y dos
cuadrados. ¿Se puede utilizar esta figura como
base para teselar el plano? Justifica tu respuesta.
9. Resuelve los siguientes problemas que
involucran teselaciones.
a. Paula quiere formar una teselación
semirregular con dodecágonos regulares,
cuadrados y un tercer tipo de figura. ¿Cuál
puede ser esa figura?
b. ¿Cuántas teselaciones puedes formar con
triángulos y cuadrados? Dibújalas.
c. Luisa quiere embaldosar la cocina de
su casa usando baldosas en forma de
pentágonos regulares. ¿Puede hacerlo?
Justifica tu respuesta.
d. Determina las medidas de los ángulos
interiores de un cuadrado, de un hexágono
regular y de un dodecágono. ¿Se puede teselar
el plano combinando esos tres polígonos?
Justifica tu respuesta.
e. Felipe dijo que utilizó estos pentágonos no
regulares, que tienen cuatro lados de igual
medida y con ángulos cuyas medidas están
indicadas y que logró teselar el plano. ¿Está en
lo correcto? Justifica tu respuesta.
14 4º
7. En la casa de Tomás están embaldosando una
terraza como muestra la figura.
90 º
90 º
108º
a. Si en el ancho de la terraza se pueden poner
7 de las baldosas verdes, ¿cuántas baldosas
grises se necesitan?
b. Si se ocuparon 22 baldosas grises, ¿cuántas
baldosas verdes se usaron?
c. Si en el ancho se ocupan x baldosas verdes,
¿cuántas baldosas grises se necesitan?
8. Marca la opción que nombra una figura que no
puede teselar el plano cuando se la combina
con triángulos.
A.
B.
C.
D.
Unidad 3
5. Determina el tipo de teselación en cada caso.
108º
f. Lucía quiere empapelar una de las murallas de
su pieza combinando los dos cuadriláteros que
se muestran a continuación. ¿Lo puede hacer?
Justifica tu respuesta.
72º
36º
72º
144º
144º
36º
72º
72º
Cuadrados.
Dodecágonos regulares.
Hexágonos regulares.
Octágonos regulares.
Unidad 3 – Geometría
91
Áreas de triángulos y paralelogramos
Ejercicios resueltos
1. Encuentra el área de la figura. Las medidas son: AC = 8 cm, BF = 8 cm,
DC = 6 cm, ED = 2 cm y HG = 2 cm.
En la figura podemos distinguir un triángulo sobre un rectángulo.
F
H
G
E
D
• Área del rectángulo: 8 · 6 = 48 cm
• Área del triángulo, base: 8 – 2 – 2 = 4 cm y altura: 8 – 6 = 2 cm
2
Área del triángulo: 4 · 2 = 4 cm2
2
• Área total: 48 + 4 = 52 cm2
A
B
2. Encuentra una expresión que represente el área pintada del rectángulo.
Una posible estrategia es encontrar una expresión del área del rectángulo
mayor, otra para el rectángulo menor y luego encontrar la diferencia
entre ellas.
• Área del rectángulo mayor: 9x · 5 = 45x
• Área del rectángulo menor: (9x – 6x) · x = 3x 2
• Área pintada: 45x – 3x 2
C
6x
x
5
9x
Ejercicios y problemas propuestos
1. Encuentra el área de un rectángulo cuyo largo es
12,5 cm y su ancho es 6 cm.
2. Completa, considerando que l es el largo, a es el
ancho y A el área de un rectángulo.
a. l = 8 cm; a =
; A = 72 cm2
b. l = 0,8 m; a = 2,4 m; A =
c. l =
; a = 9 cm; A = 36 cm2
3. Calcula el área de los siguientes cuadriláteros.
a. Rectángulo de lado 5 cm y altura 2,4 cm.
b. Rombo de lado 12 cm y altura igual a un tercio
de la base.
c. Paralelogramo de base 6 cm y altura 3,6 cm.
d. Trapecio de bases 11,8 cm y 15,2 cm y altura
6,5 cm.
4. Sobre la base de un cuadrado de lado 3 cm, se
construye otro más grande. Los lados del primer
y segundo cuadrado están en la razón 2 : 5.
a. ¿Cuál es el área de cada cuadrado?
b. ¿En qué razón están sus áreas?
c. ¿Cómo se relacionan la razón entre los lados y
la razón entre las áreas?
92
Unidad 3 – Geometría
5. Resuelve los siguientes problemas.
a. Si el largo de un rectángulo es 18 cm y su área
es 225 cm2, ¿cuál es su ancho?
b. Dibuja un rectángulo y un paralelogramo
que tengan bases y altura de igual medida.
¿Qué puedes decir de sus áreas?
c. Dibuja un rectángulo y un triángulo que
tengan bases y alturas de igual medidas.
¿Qué puedes decir de sus áreas?
d. Si un rectángulo tiene el doble del área que
otro, y ambos tienen el mismo ancho, ¿qué
sucede con los largos de ambos rectángulos?
e. El lado de un cuadrado mide el doble que
el lado de otro cuadrado. Encuentra la razón
entre sus áreas.
f. ¿Cuáles podrían ser las longitudes de las bases
de un trapecio, si se sabe que la altura mide
20 cm y su área es 220 cm2?
g. ¿Cuáles podrían ser las medidas de las
diagonales de un rombo si se sabe que su
área mide 18 cm2?
a. 3 cm
10.¿Cuál es el área sombreada de la figura? Marca la
opción correcta.
b. 5 cm
A.
B.
C.
D.
2 cm
2 cm
4 cm
3 cm
2 cm
5 cm
6 cm
2 cm
7 cm
c. La figura exterior es un rombo de lado 7,5 cm,
los trapecios son congruentes y de altura
1 cm. El rombo interior tiene lados que miden
5 cm y altura 4 cm. ¿Cuál es el área del rombo
más grande?
7. Encuentra la expresión que representa el área de
estas figuras.
a. 13x
b.
x
15x
4
8x
Unidad 3
6. Encuentra el área de las siguientes figuras.
108 cm2
238 cm2
538 cm2
700 cm2
9 cm
18 cm
35 cm
20 cm
11.Resuelve los siguientes problemas.
a. Un terreno rectangular tiene un perímetro de
70 m. Si el largo del terreno es de 15 m, ¿cuál
es su área?
b. Una alfombra que mide 2,8 m de largo por
1,5 m de ancho está puesta en una pieza de
3,5 m de largo por 2 m de ancho. ¿Qué área de
la pieza no queda cubierta por la alfombra?
c. ¿Cuántas cartulinas de 80 cm por 40 cm
cubren un diario mural de 1,2 m por 80 cm?
d. Se quiere construir una muralla de ladrillos que
mida 6,3 m de largo y que tenga 15 ladrillos
de altura. Si cada ladrillo mide 18 cm de largo,
¿cuántos ladrillos se necesitan?
12.Si ABCD es un rectángulo cuyo largo y
ancho miden 15 cm y 10 cm, respectivamente,
determina el área de la región pintada.
D
C
7
6x
8. ¿Cuál es el área total de la figura formada por
los dos romboides y dos trapecios isósceles
idénticos que se muestran en la imagen?
Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
84 cm
96 cm2
168 cm2
104 cm2
2
5 cm
8 cm
9. Encuentra el área del hexágono sombreado que
es parte del rectángulo de la figura.
3 cm
1 cm
3 cm
3 cm
7 cm
B
13.Un pedazo de alambre de 384 cm de largo se
corta en trozos iguales y con cada trozo se hace
un cuadrado de 4 cm de lado.
12 cm
2 cm
A
a. ¿Cuántos cuadrados se pueden hacer
como máximo?
b. ¿Qué área cubren todos estos cuadrados
si se ponen uno al lado de otro?
14.Con un trozo de cordel de 20 cm se construyen
diferentes paralelogramos.
a. Uno de esos paralelogramos es un cuadrado,
¿cuánto mide su lado?, ¿y su área?
b. Nombra dos rectángulos cuyo ancho sea
menor al lado del cuadrado del ejercicio anterior
y cuyo perímetro sea el dado. Calcula sus áreas y
compáralas con el área del cuadrado.
Unidad 3 – Geometría
93
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 20.
7. ¿Qué transformación isométrica o combinación
de ellas convierten la figura A en la figura B?
1. ¿Cuál es la medida del ángulo x?
A.
B.
C.
D.
52º
62º
128º
138º
A
x
38º
2. ¿Cuál es la medida del ángulo ECD?
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
E
D
50º
85º
90º
95º
C
A
35º
130º
B
3. La figura muestra un trapecio. ¿Cuáles son las
medidas de los ángulos α y β?
A.
B.
C.
D.
α = 37º, β = 20º
α = 53º, β = 70º
α = 123º, β = 57º
α = 127º, β = 110º
70º
53º
β
α
4. En la figura, MNQS es un trapecio isósceles
y PQSR es un cuadrado. ¿Cuánto mide el
ángulo MSQ?
R
A. 125º
B. 135º
S
M
P
C. 145º
D. 155º
N
Q
5. La medida del ángulo interior de un polígono
regular es 11 veces la medida del ángulo exterior.
¿Cuántos lados tiene el polígono?
A.
B.
C.
D.
10
11
12
15
6. Las medidas de los ángulos interiores de un
triángulo son tres números consecutivos.
¿Cuáles son esas tres medidas?
A.
B.
C.
D.
94
60º, 61º, 62º
62º, 63º, 64º
58º, 60º, 61º
59º, 60º, 61º
Unidad 3 – Geometría
B
Una rotación.
Dos reflexiones.
Una traslación y una reflexión.
Una rotación y una traslación.
8. El área de un triángulo es 15,5 cm2. ¿Cuál es el
área de otro triángulo si tiene la misma base
y el doble de la altura del triángulo anterior?
A. 7,25 cm2
B. 15,5 cm2
C. 31 cm2
D. 62 cm2
9. ¿Qué se obtiene al aplicar una transformación
isométrica a una figura?
A. Una figura cuya posición es similar a la
figura original.
B. Una figura que mantiene el tamaño original
y varía su forma y posición.
C. Una figura que mantiene la forma, tamaño
y posición original.
D. Una figura cuya forma y tamaño son idénticos
al original, solo varía su posición.
10.¿Cuál de las siguientes proposiciones es falsa?
A. El eje de simetría es una recta perpendicular
a los trazos que unen cada par de
puntos correspondientes.
B. Al aplicar una rotación, todos los puntos de
la figura se mueven en torno a un punto fijo.
C. No es posible teselar una superficie plana
utilizando un romboide.
D. Al aplicar una traslación, todos los puntos
de la figura se mueven según un vector.
11.Se tiene un rombo cuyas diagonales miden 12 cm
y 8 cm. ¿Cuál es el área del rombo?
A.
B.
C.
D.
20 cm2
24 cm2
40 cm2
48 cm2
A.
B.
C.
D.
18.Las bases de un trapecio miden 18 cm y 24 cm y
su área es 4,2 cm2. ¿Cuánto mide su altura?
10 cm
130 cm
200 cm2
300 cm2
400 cm2
2
A.
B.
C.
D.
10 cm
30 cm
13.El largo de un rectángulo es 5 cm más que el
ancho. Si su perímetro es 26 cm, ¿cuál es su área?
A.
B.
C.
D.
4 cm
9 cm2
13 cm2
36 cm2
2
14.En el dibujo, si L1 // L2, ¿cuál es la medida del
ángulo α?
α
A. 50º
115º
L1
B. 55º
130º
C. 60º
D. 65º
0,1 cm
0,2 cm
1 cm
2 cm
19.¿Cuál es el área del rombo de la figura?
A.
B.
C.
D.
7,5 cm2
15 cm2
27 cm2
54 cm2
6 cm
9 cm
L2
15.¿Cuál es el área de un rectángulo si su largo es
60 cm y su ancho es un tercio del largo?
A.
B.
C.
D.
Unidad 3
12.¿Cuál es el área del trapecio isósceles dibujado?
80 cm2
180 cm2
1 200 cm2
3 600 cm2
20.El ancho y el largo de un rectángulo miden 8x
y 12x y se sabe que x = 3 cm. ¿Cuál es el área
del rectángulo?
A.
B.
C.
D.
60 cm2
96 cm2
288 cm2
864 cm2
21.Observa la figura y responde.
16.La figura ABCD es un rectángulo cuyo largo
AB mide 20 cm y su ancho AD mide 16 cm. Los
puntos P y Q se ubican en la mitad de cada lado.
El área del trapecio escaleno PQBD mide:
A.
80 cm2
B. 100 cm2
C. 120 cm2
D. 1 600 cm2
D
C
P
Q
A
B
17. El lado del cuadrado mide 3 cm. Además se
cumple que los segmentos DE, EF, GH, JK
y KC miden lo mismo. ¿Cuál es el área de la
región sombreada?
D
C
A. 4 cm2
B. 5 cm2
C. 6 cm2
D. 9 cm2
E
F
J
K
A
G
H
B
a. ¿De qué figuras está compuesta esta teselación?
b. ¿Esta teselación es regular?, ¿es semirregular?
Justifica tu respuesta.
c. ¿Es simétrica? Entonces, ¿cuál o cuáles serían
sus ejes de simetría?
d. ¿Tiene simetría rotacional? Si es así, identifica
cuál sería el centro y el menor ángulo de
la rotación.
Unidad 3 – Geometría
95
Teorema de Pitágoras y su recíproco
Ejercicios resueltos
1. Las diagonales de un rombo miden 6 cm y 8 cm. ¿Cuál es su área?
Se sabe que las diagonales del rombo son perpendiculares y se dimidian
(cada una es la simetral de la otra).
• Como se muestra en la imagen, se forman 4 triángulos rectángulos cuyos
catetos miden 3 cm y 4 cm.
• Para obtener el área de cada triángulo, calculamos: (3 · 4) : 2 = 6. Esto significa
que el área de cada uno es 6 cm2.
• El área total del rombo será 24 cm2.
• En general, el área de un rombo es el semiproducto de sus diagonales.
2. Calcula el perímetro del mismo rombo del problema 1.
Como se vio en el problema anterior, el rombo se ha dividido en cuatro triángulos rectángulos congruentes.
Para calcular el perímetro necesitamos calcular la hipotenusa (h) de uno de esos triángulos.
• Por el teorema de Pitágoras sabemos que h2 = 32 + 42.
• Entonces h2 = 25, extrayendo raíz cuadrada a ambos miembros de la igualdad: h = 5.
• Por lo tanto, el perímetro es cuatro veces la hipotenusa que se encontró, es decir:
P = 4 · 5 = 20. Luego, el perímetro del rombo es de 20 cm.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Completa las medidas de la hipotenusa
(h) o cateto (c) en los siguientes triángulos
rectángulos. Las medidas están en metros.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
c1 = 3; c2 = 4
c1 = 7; c2 = 12
h = 5; c2 = 2
h = 5; c2 = 1
c1 = 3; c2 = 5
h = 10; c2 = 8
c1 = 5; c2 = 12
h = 8; c2 = 4
2. Comprueba si los triángulos, cuyas medidas se
entregan en metros, son rectángulos.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
96
9, 12 y 15
7, 24 y 25
17, 19 y 26
10, 24 y 36
4,5; 6 y 7,5
1,5; 2 y 2,5
1,8; 2,4 y 3
12,6; 16,8 y 21
Unidad 3 – Geometría
3. Un cateto y la hipotenusa de un triángulo
rectángulo miden 8 m y 10 m, respectivamente.
¿Cuál es el área del triángulo?
4. Resuelve los siguientes problemas.
a. ¿Cuánto mide la diagonal de un cuadrado
cuyo lado mide 5 cm?
b. Los lados de un rectángulo son 12 cm y 15 cm,
¿cuánto mide la diagonal?
c. Los lados de un triángulo isósceles miden
8 cm y la base 10 cm. ¿Cuánto mide la altura
correspondiente a la base del triángulo?
d. El perímetro de un cuadrado mide 20 cm.
¿Cuánto mide su diagonal?
e. En un triángulo rectángulo la razón entre sus
lados es 3 : 4 : 5, y la hipotenusa mide 20 cm,
¿cuál es la medida del perímetro?
5. Marca la opción que muestra la medida,
en centímetros, de los lados de un triángulo
rectángulo.
A.
B.
C.
D.
1, 2 y 3
9, 16 y 25
2, 4 y 16
9, 12 y 15
a. Un potrero mide 100 m de largo por 50 m
de ancho. Pedro recorre el ancho y el largo y
Juan cruza por la diagonal. Aproximadamente,
¿cuántos metros de caminata se ahorra Juan?
b. Un auto A se dirigió 80 km al norte de un
pueblo. Desde el mismo pueblo otro auto
B avanzó 60 km al este. ¿A qué distancia
quedaron los autos entre sí?
c. ¿Cuál es el área de un triángulo equilátero
de lado 6 cm? Deja tu resultado con raíces y
luego generaliza tu resultado a un triángulo
equilátero de lado a.
d. Una escalera de 6 m de largo se apoya en una
muralla a una altura de 5 m desde el suelo.
¿A qué distancia desde la base de la muralla
se encuentra el pie de la escalera?
e. Un poste de 10 m de altura se afirmará
mediante cables desde la parte más alta hasta
dos puntos ubicados en el suelo, a 3 m y 4 m
del poste. Aproximadamente, ¿cuánto cable
se necesita?
f. Para tejer chales a telar, Eugenia está
construyendo un bastidor de madera, en
forma de triángulo isósceles. Si la base debe
medir 120 cm y la altura 80 cm, ¿cuánta
madera necesita para hacer el triángulo?
g. Juan dice que el cateto de un triángulo
rectángulo mide 10 cm y que el otro mide
4 cm menos que la hipotenusa. María dice
que eso es imposible. ¿Quién tiene razón?
Justifica tu respuesta.
7. El frente de una carpa tiene forma de triángulo
isósceles, cuya altura es de 1,5 m y su base de
2 m. ¿Cuántos metros cuadrados de lona se
necesitan para cubrir el frente de la carpa? Marca
la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
3 m2
1,5 m2
15 m2
7,5 m2
8. ¿Qué polígono regular se puede dividir en
triángulos equiláteros? Si el lado de ese polígono
mide 5 cm, ¿cuál es su área?
Unidad 3
6. Resuelve los siguientes problemas. Utiliza una
calculadora para realizar los cálculos.
9. Calcula el área de las siguientes figuras.
a. 18 cm
c.
6 cm
24 cm
2m
24 cm
b. 3m
2m
6 cm
d.
5 cm
5m
2m
1m
12 cm 3 m
1 cm
1 cm
3 cm
2 cm
2 cm
1 cm
1 cm
4 cm
10.Resuelve los siguientes problemas.
a. Determina el área del siguiente triángulo.
20 cm
29 cm
12 cm
b. Calcula el perímetro del siguiente rectángulo.
17 cm
8 cm
c. Determina el perímetro de la siguiente figura
formada por un cuadrado y un triángulo
rectángulo isósceles.
3 cm
d. Si cada lado de un hexágono regular mide
2 cm, calcula su área. Considera que √3 ≈ 1,73.
Unidad 3 – Geometría
97
Área y volumen de prismas rectos
Ejercicios resueltos
1. Encuentra el volumen de un prisma recto de base rectangular que tiene 15 cm de largo, 9,6 cm de ancho y
4 cm de alto.
El volumen de un prisma siempre se puede calcular multiplicando el área de la base por la altura.
• En este caso, el área de la base es: 15 · 9,6 = 144 cm2.
• Luego multiplicamos el área obtenida por la altura: 144 · 4 = 576 cm3.
• El volumen del prisma es 576 cm3.
2. Un prisma tiene por base un triángulo equilátero cuyo lado mide 7,44 cm, y la altura del prisma mide 10 cm.
¿Cuál es el área total del prisma?
La superficie total se calcula sumando las áreas de todas las caras del prisma.
2
• Primero calculamos el área del triángulo, como es equilátero es: 7,44 · √3 ≈ 24 cm2.
2
• Luego calculamos el área de una de las caras rectangulares: 7,44 · 10 = 74,4 cm2.
( )
• Como son 2 caras triangulares y 3 caras rectangulares, tenemos: 2 · 24 + 3 · 74,4 = 271,2.
• La superficie total del prisma mide 271,2 cm2.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Resuelve los siguientes ejercicios.
a. La base de un prisma es un pentágono de
área 90 cm2 y la altura mide 15 cm. ¿Cuál es el
volumen del prisma?
b. El volumen de un prisma de base rectangular
es 24 m3. Si el largo de la base es 4 m y su
ancho es 3 m, ¿cuál es la altura del prisma?
c. Un cubo cuya arista mide 1 m tiene un
volumen de 1 m3. ¿Cuál es su volumen
expresado en cm3?
d. ¿Cuántos cubitos de 1 cm de lado caben en
un prisma de base cuadrada, si la arista de la
base mide 5 cm y la altura mide 10 cm?
e. Las dimensiones de un prisma de base
rectangular son 3 m, 6 m y 5 m. ¿Cuál es
su volumen?
f. La altura de un prisma mide 10 cm y su base es
un triángulo rectángulo, cuyos catetos miden
5 cm y 8 cm. ¿Cuál es su volumen?
2. ¿Qué opción muestra la equivalencia de un
centímetro cúbico?
A.
10 mm3
B.
100 mm3
C. 1 000 mm3
D. 10 000 mm3
98
Unidad 3 – Geometría
3. Una caja de 20 cm de altura tiene como base
un pentágono regular, como el que se muestra
en la figura.
8 cm
5,5 cm
a. Calcula el área del pentágono.
b. Calcula el volumen de la caja.
c. La caja se llena de chocolates logrando
ocupar el 90 % del espacio interior. ¿Cuál es el
volumen de los chocolates?
d. Si 1 cm3 de los chocolates tiene una masa de
3,5 g, ¿cuál es la masa total de los chocolates
que están en la caja?
e. Si la caja está forrada en papel de regalo, ¿cuál
es la cantidad mínima de papel que se necesita
para forrarla?
a. Uno de los primeros computadores electrónicos
medía 15 m de largo, 4 m de ancho y 3 m de
alto. Actualmente, un notebook puede medir
30 cm de largo, 20 cm de ancho y 2 cm de alto.
¿Cuántas veces mayor es el volumen del antiguo
computador respecto del notebook actual?
b. Alejandro debe construir un estanque
con forma de prisma rectangular para que
contenga 48 m3 de agua. Ha destinado para
ello un espacio de 6 m de largo por 2 m de
ancho. ¿Qué altura debería tener el estanque?
c. Un carpintero necesita cortar dados de
madera de 3 cm de arista y dispone de una
pieza de madera de 12 cm de largo, 9 cm
de ancho y 15 cm de alto. ¿Cuántos de esos
dados puede obtener como máximo?
d. Una sala de un hospital mide 8 m de largo,
5 m de ancho y 4 m de alto. Si se le cambia el
aire cada 15 minutos, ¿cuántos metros cúbicos
de aire se mueven en una hora?
5. Un cubo tiene un volumen de 64 cm3. ¿Cuál es
el área del cubo? Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
4 cm2
10,7 cm2
16 cm2
96 cm2
6. Resuelve los siguientes ejercicios que involucran
área y volumen de prismas.
a. Un prisma de base rectangular mide 3 cm de
ancho, 5 cm de largo y su altura mide 10 cm.
¿Cuál es su área total?
b. La base de un prisma es un triángulo
rectángulo, de catetos 3 cm y 4 cm y la altura
del prisma es el doble de la hipotenusa del
triángulo basal. ¿Cuál es su área total?
c. ¿Cuál es la área total de un prisma de altura
5 cm y cuya base es un hexágono de lado
4 cm y apotema aproximado de 3,5 cm?
d. El volumen de un prisma de base rectangular
es 28 m3. Si su altura mide 5 m, ¿cuál es el área
de su base?
e. Un prisma tiene una altura de 8 cm y una base
cuadrada de lado x cm. Si su volumen es de
288 cm3, ¿cuál es el valor de x?
Unidad 3
4. Resuelve los siguientes problemas que involucran
volúmenes de prismas.
7. Resuelve los siguientes problemas.
a. ¿Cuál es la área total de un dormitorio de
3 m de largo, 1,5 m de ancho y altura 2 m?
b. El rendimiento de un frasco de pintura
corresponde a una superficie de 2 m2. Si se van
a pintar cubos cuya arista es de 6 cm, ¿cuántos
cubos se alcanzan a pintar con un solo frasco
de pintura?
c. Laura quiere forrar una caja de zapatos con
papel, sin la tapa, donde guarda sus materiales.
Si las dimensiones de la caja son 20 cm de
ancho, 10 cm de alto y 30 cm de largo, ¿cuál es
el área de papel que Laura necesita?
d. Un prisma de base cuadrada, cuyas dimensiones
son 9 cm de arista basal y 15 cm de altura,
se corta de tal manera que se obtienen dos
prismas idénticos de base triangular. ¿Cuál es el
volumen de cada uno de los prismas nuevos?
e. Con el mínimo de papel que se necesita para
envolver una caja de 10 cm por 8 cm por 4 cm,
¿se puede envolver un cubo de arista 9 cm?
Calcula cuánto falta o cuánto sobra.
f. Jorge está construyendo un modelo de cubo
con láminas de acrílico, el cubo tiene aristas de
15 cm. La lámina de acrílico mide 1 m de largo
y 50 cm de ancho. ¿Cuánto acrílico le sobra?
g. Las dimensiones de un pliego de papel que
cuesta $ 600 son 1 m y 60 cm. Si los pliegos de
papel solo se venden completos, ¿cuánto se
gasta en envolver 12 cubos de 20 cm de arista?
h. Una pequeña piscina tiene una superficie basal
de 0,6 m2; cuando se sumerge una pelota, la
altura del agua sube 2 cm. ¿Cuál es el volumen
de la pelota?
i. La figura muestra el corte transversal y las
dimensiones de un abrevadero para animales.
Si su largo es 5 m y su profundidad es 80 cm,
¿cuántos litros de agua puede contener?
1m
60 cm
j. Si la arista de cada cubo mide 3 cm, ¿cuál es
el volumen del cuerpo que se muestra en la
figura?, ¿y cuál su área?
Unidad 3 – Geometría
99
Área y volumen de pirámides
Ejercicio resuelto
1. Calcula el volumen de una pirámide que está construida sobre una base
hexagonal con altura de 7 cm, como se muestra en la figura.
• El hexágono está formado por 6 triángulos de base 4 cm y altura 3,46 cm.
(
)
El área de cada triángulo es: 4 · 3,46 = 6,92 y el área total del hexágono
2
basal es: 41,52 cm2.
• Luego, multiplicamos el área obtenida por la altura: 41,52 · 7 = 290,64,
dividimos este valor por 3 y obtenemos: 96,88 cm3 que corresponde al
volumen de la pirámide.
7 cm
8,53 cm
3,46 cm
2. Calcula el área total de la pirámide del problema anterior.
• El área del hexágono es 41,52 cm2, que ya se calculó en el problema anterior.
• Cada cara es un triángulo isósceles de base 4 cm y altura 8,53 cm. Luego
(
)
4 cm
el área de cada cara sería: 4 · 8,53 = 17,06 cm2.
2
• Multiplicamos por 6 para obtener el área de todas las caras laterales, de
este modo obtenemos: 102,36 cm2.
• Una vez que sumamos el área del hexágono, obtenemos que el área total
es 143,88 cm2.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula el volumen de cada pirámide.
a. Base cuadrada de lado 6 cm y altura 4 cm.
b. Base hexagonal de área 30 cm2 y altura de la
pirámide 1 m.
c. Base en forma de triángulo equilátero de lado
6 m y altura de la pirámide 8 m.
d. Base en forma de pentágono regular de lado
8 cm, apotema de 5,5 cm y altura 10 cm.
e. Base en forma de triángulo rectángulo, cuyos
catetos miden 6 cm y 8 cm, y altura 10 cm.
4. La red, que se muestra en la figura siguiente,
corresponde a una pirámide de base cuadrada.
Cada lado del cuadrado mide 24 cm y los lados de
los triángulos isósceles que no coinciden con los
del cuadrado miden 36 cm.
2. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de base
cuadrada de 6 cm de lado y altura de 10 cm?
Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
40 cm3
120 cm3
360 cm3
600 cm3
3. La pirámide de Keops, en Egipto, tiene 145 m de
altura, su base es cuadrada con arista basal de
231 m y su apotema lateral mide 186 m.
a. Calcula el volumen de la pirámide.
b. Calcula el área de la pirámide.
100
Unidad 3 – Geometría
a. Calcula la altura que tendrá la pirámide una vez
que esté construida.
b. Encuentra el volumen de la pirámide.
c. Encuentra el área total de la pirámide.
5. Una pirámide de base cuadrada tiene un volumen
de 120 cm3. Si su altura mide 10 cm, ¿cuánto mide
la arista basal?
8. Resuelve los siguientes problemas.
a. Una pirámide tiene 16 cm como área de la
base y su volumen es de 32 cm3. Determina
su altura.
b. La base de una pirámide es un triángulo
equilátero de lado 4 cm y de altura 3,5 cm,
y su volumen es 21 cm3. ¿Cuál es la altura de
la pirámide?
c. ¿Cuál es el área total de la siguiente pirámide
de base cuadrada? Puedes usar calculadora.
2
14 cm
5 cm
d. Si la altura de la pirámide de la figura es de
10 cm, ¿cuál es su volumen?
5,2 cm
6 cm
e. El volumen de un cubo es 64 cm3. ¿Cuál debe
ser la altura de una pirámide de igual base e
igual volumen?
7. Dos pirámides A y B tienen base cuadrada. Las
medidas de la base y la altura de la pirámide B
son el doble de las correspondientes medidas
de la pirámide A. ¿Cuál es la relación entre el
volumen de la pirámide B y el de la pirámide A?
Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
Es el doble.
Es el triple.
Es cuatro veces mayor.
Es ocho veces mayor.
Unidad 3
6. Resuelve los siguientes ejercicios.
a. Un pisapapeles, hecho de bronce, tiene forma
de pirámide de base cuadrada, de 5 cm de
lado, y su altura es 6 cm. Si cada centímetro
cúbico de bronce tiene 8,9 g de masa, ¿cuál es
la masa del pisapapeles?
b. ¿Cuánto papel se necesita para cubrir una
pirámide de 10 cm de apotema, cuya base es
un cuadrado de 8 cm de lado?
c. ¿Cuál es el volumen de una pirámide de base
cuadrada de lado 16 cm y apotema lateral
10 cm?
d. Un cubo metálico de arista 6 cm se funde y
con todo el material se construye una pirámide
de base cuadrada de 9 cm. ¿Cuál es la altura
de la pirámide?
e. Juan está haciendo una escultura de cobre,
que consiste en un cubo de 50 cm de arista,
sobre el cual se soldará una pirámide de base
igual a una cara del cubo y altura 20 cm.
¿Cuánto cobre necesita Juan?
f. Si la pirámide A tiene la misma base que
la pirámide B, pero tiene el triple de su
altura, ¿qué puedes decir del volumen de la
pirámide A respecto del volumen de
la pirámide B?
g. Ema guarda su plasticina formando un cubo
de 6 cm de arista, y ahora quiere moldear
pirámides de base cuadrada, de modo que la
arista basal y la altura de cada pirámide midan
3 cm. ¿Cuántas pirámides puede moldear con
la plasticina del cubo?
h. Se quiere transportar una pirámide de vidrio,
de base cuadrada de lado 18 cm y altura
de 25 cm, en una caja de igual base y altura.
El espacio entre la caja y la pirámide se llenará
de algodón. ¿Qué volumen de algodón
se necesita?
i. Camila quiere construir una pirámide con
alambres y luego forrarla con papel de
volantín. Si la base es un cuadrado de lado
12 cm y la altura de cada cara es de 8 cm,
¿cuánto alambre necesita?, ¿y cuánto papel?
Unidad 3 – Geometría
101
Longitud de la circunferencia y área del círculo
Ejercicios resueltos
1. Encuentra el perímetro de un semicírculo de diámetro 40 cm.
• El radio del círculo mide 20 cm, utilizando π ≈ 3,14, se obtiene P = π · 2 · 20 ≈ 125,6 cm.
• Como se refiere al semicírculo, se divide por 2, 125,6 : 2 = 62,8 cm, y, para completar el perímetro hay que sumarle el diámetro de 40 cm.
• El perímetro total es 62,8 + 40 = 102,8 cm.
2. Encuentra el área de un sector circular cuyo ángulo del centro mide 60º y su radio mide 6 cm.
• El área del círculo completo es A = π · r 2, en este caso se obtendría A ≈ 113 cm2.
• Como el ángulo del centro es de 60º, ya que es la sexta parte de 360º, el sector circular pedido es la sexta
parte del área del círculo. Luego, el área final es A = 113 ≈ 18,83 cm2.
6
Ejercicios y problemas propuestos
1. En una parcela, una cabra está amarrada a
un árbol con una cuerda de modo que puede
alcanzar, como máximo, 4 metros a su alrededor.
a. Si la cabra camina alrededor del árbol con
la cuerda siempre tensa, ¿qué forma tiene el
camino que recorre?
b. ¿Qué nombre geométrico recibe la región que
dispone la cabra para comer?
2. ¿Cuál es el nombre del segmento que une
dos puntos de la circunferencia? Marca la
opción correcta.
A.
B.
C.
D.
a. Radio: 6 cm
b. Diámetro: 20 cm
Radio.
Secante.
Cuerda.
Tangente.
6. Considera un círculo de radio r.
C
F
G
H
A
E
I
O
B
102
A. entre la longitud de una circunferencia y
su diámetro.
B. entre la longitud de una circunferencia y
su radio.
C. entre el diámetro de una circunferencia y
su longitud.
D. entre el radio de una circunferencia y
su diámetro.
5. Calcula la longitud de la circunferencia en cada
caso. Usa π aproximado a 3,14.
3. Observa la siguiente figura y da un ejemplo para
cada elemento que se indica.
a.
b.
c.
d.
e.
f.
4. El número π se define como la razón:
Cuerda.
Diámetro.
Radio.
Arco.
Tangente a la circunferencia.
Secante a la circunferencia.
Unidad 3 – Geometría
D
a. ¿Cómo varía su perímetro si su radio aumenta
al doble?
b. ¿Cómo varía su perímetro si su radio disminuye
a la mitad?
7. En la siguiente figura, los cuatro sectores
circulares son idénticos y los centros de las
circunferencias son vértices de un cuadrado de
lado 8 cm. Calcula el área de la figura.
a. 270º
b. 120º
c. 45º
9. Encuentra el área aproximada de cada círculo.
Usa π aproximado a 3,14.
a.
b.
c.
d.
Radio: 5 cm.
Diámetro: 30 m.
Radio: 3,8 cm.
Diámetro: 14 m.
13.¿Cuál es el área de la siguiente figura formada por
un triángulo isósceles y un semicírculo? Usa π ≈ 3
y marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
238,5 cm2
355,5 cm2
360 cm2
477 cm2
13 cm
18 cm
14.Resuelve los siguientes problemas. Usa π ≈ 3.
10.Responde las siguientes preguntas.
a. Si el diámetro de un círculo aumenta al doble,
¿en cuánto aumenta su área?
b. Si el radio de un círculo aumenta al triple,
¿en cuánto aumenta su área?
11.Encuentra el radio aproximado de cada
circunferencia, dada el área que encierra cada una.
Usa π aproximado a 3,14. Puedes usar calculadora.
a.
b.
c.
d.
Unidad 3
8. Calcula la longitud de los arcos correspondientes
a los siguientes ángulos del centro, si el radio de
la circunferencia mide 6 m. Usa π aproximado
a 3,14.
80 cm2
2 m2
201 cm2
4,5 m2
12.En cada caso, calcula el área que se encuentra
entre las dos figuras. Usa π aproximado a 3,14.
a. 8 cm
10 cm
a. En una pizzería se fabrican pizzas redondas
chicas y grandes, de igual espesor. La superficie
de la pizza grande es el doble de la chica.
Si el diámetro de la pizza chica es de 24 cm,
¿cuál es el diámetro de la pizza grande?
b. La cubierta de una mesa redonda tiene un
área aproximada de 2 m2. La señora Teresa
quiere tejer un mantel circular que sobresalga
20 cm del borde de la mesa. ¿Cuánto
debe medir el diámetro de este mantel,
aproximado al centímetro?
c. Un abanico está formado solo por palitos en
los primeros 15 cm (desde el centro) y en los
siguientes 10 cm los palitos sostienen una tela
de encaje. Si el abanico se abre en 120º, ¿cuál
es el área de la tela?
d. Un regador está fijo en la tierra y esparce agua
en el círculo que lo rodea en un radio de 4,6 m.
¿Cuál es el área que riega?
e. Calcula el área sombreada de la figura que está
entre dos arcos de circunferencia cuyos centros
son vértices opuestos de un cuadrado de lado
10 cm.
16 cm
b.
4 cm
8 cm
c.
70 m
60 m
100 m
f. La longitud de una circunferencia aumentó
de 40π cm a 80π cm. ¿En cuántos centímetros
aumentó su radio?
g. Un cuadrado cuyo perímetro es 16 cm tiene
sus cuatro vértices en una circunferencia. ¿Cuál
es el área encerrada por esa circunferencia?
190 m
Unidad 3 – Geometría
103
Área y volumen de cilindros y de conos
Ejercicios resueltos
1. Calcula el volumen de un cilindro de diámetro basal 4 cm y altura 6 cm.
• El radio de la base mide 2 cm, luego, el área basal es: π · 22 ≈ 3,14 · 22 = 12,56 cm2.
• Se multiplica el área basal por la altura: 12,56 · 6 = 75,36. Es decir, el volumen pedido es 75,36 cm3.
2. Calcula el volumen de un cono de radio basal 6 m y altura igual al doble del diámetro basal.
• En este caso, la altura es igual a 24 m, porque es el doble del diámetro.
• El área basal es: π · 62 ≈ 3,14 · 62 = 113,04 m2.
• El producto del área basal por la altura es: 113,04 · 24 = 2 712,96 y al dividir por 3, ya que se trata de un cono,
se obtiene: 904,32. Es decir, el volumen del cono es 904,32 m3.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Calcula el resultado de los siguientes ejercicios.
Usa π ≈ 3,14.
a. Si el radio del cilindro A tiene el doble de la
medida del radio del cilindro B, ¿en qué razón
están sus volúmenes si tienen igual altura?
b. Encuentra el volumen aproximado del cuerpo
representado en la siguiente figura.
18 cm
4. Resuelve los siguientes ejercicios.
a. Las siguientes figuras representan las
caras de un cilindro. ¿Cuánto mide el largo
del rectángulo?
20 cm
8 cm
8 cm
10 cm
4 cm
c. El radio de la base de un cono mide 4 cm y la
altura del cono es 3 cm. Calcula su área total.
d. ¿Cuál es el volumen de un cono si su generatriz
mide 13 cm y su altura, 12 cm?
2. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si su radio
basal mide a y su altura, el doble de su radio
basal? Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
πa3
2πa3
4πa3
8πa3
3. El volumen de una esfera de radio 3 cm es 113 cm3,
aproximadamente. Tres de estas esferas se ponen
dentro de un cilindro de diámetro basal 6 cm y
altura 18 cm. Usa π ≈ 3, 14 y responde.
a. Calcula el volumen del cilindro.
b. ¿Cuál es el volumen que queda sin ocupar por
las esferas dentro del cilindro?
c. En ese espacio, ¿cabría otra esfera si esta se
pudiera derretir?
104
Unidad 3 – Geometría
b. Un cilindro de metal de 40 cm de diámetro y
10 cm de altura se funde para hacer un cono
del mismo diámetro basal. ¿Cuál será la altura
del cono?
c. Una torta de novios tiene tres pisos, cada uno
en forma de cilindro. El primer cilindro tiene
40 cm de diámetro, el segundo, 30 cm y el
tercero, 20 cm. Todos tienen una altura de
12 cm. Encuentra el volumen total de la torta.
Usa π ≈ 3,14.
d. ¿Cuánto mide la generatriz de un cono que
tiene radio basal 5 cm y volumen 300π cm3?
e. ¿Cuántos vasos cilíndricos de 12 cm de alto y
diámetro interno de 6 cm se pueden llenar
con 3,5 litros de agua? Usa π ≈ 3,14.
5. Cuando se saca la etiqueta que cubre la cara
curva de un tarro de conservas y se estira, se
obtiene un rectángulo. Si la altura del tarro es
h y su radio basal es r, escribe la relación que
hay entre:
a. el largo del rectángulo y el radio de la base.
b. el ancho del rectángulo y la altura del tarro.
A.
B.
C.
D.
4 cm
8 cm
16 cm
20 cm
7. Determina si las siguientes expresiones son
verdaderas o falsas. Justifica tus respuestas.
a. La superficie de un cono es un tercio de la
superficie del cilindro que tiene igual base
y altura.
b. Se llama generatriz a la altura del cono.
c. Un cilindro puede contener el volumen de
tres conos de igual base y altura.
d. El largo del manto de un cilindro es igual al
diámetro de la base.
e. El manto de un cono es un triángulo isósceles
de lado igual a la generatriz.
f. Si la altura de un cono diminuye a la mitad,
su volumen también disminuye a la mitad.
g. Si el radio basal de un cilindro aumenta al
doble, su volumen también aumenta al doble.
8. Completa la información requerida para cada
cono. Aproxima π a 3.
a. El radio mide 4 cm, la altura 3 cm. Encuentra
la medida de la generatriz, área del manto, área
total y volumen.
b. El radio mide 7 cm, la generatriz 25 cm.
Encuentra la altura, área del manto, área total
y volumen.
c. La altura mide 15 cm, la generatriz mide 18 cm.
Encuentra el radio, área del manto, área total
y volumen.
d. El radio mide 5 cm y el volumen es de 300 cm3.
Encuentra la altura, generatriz, área del manto
y área total.
e. El radio mide 8 cm, la altura 6 cm. Encuentra
la generatriz, área del manto, área total
y volumen.
f. La altura mide 2 cm, la generatriz 6 cm.
Encuentra el radio, área del manto, área total
y volumen.
Unidad 3
6. ¿Cuánto mide el radio basal de un cilindro, si su
volumen es 80π cm3 y su altura es 5 cm? Marca la
opción correcta.
9. Resuelve los siguientes problemas. Aproxima π
a 3,14.
a. Se necesita poner etiquetas en la cara curva de
tarros de conserva de 8 cm de diámetro y 15 cm
de altura. Se debe disponer de 2 cm de largo
extra para poder pegar cada etiqueta. ¿Cuántos
cm2 de papel se necesita para cada etiqueta?
b. ¿Cuántos litros de pintura se necesitan para
pintar por fuera todas las caras de un estanque
cilíndrico de 10 m de diámetro y 15 m de
altura, si cada litro de pintura cubre 4,5 m2?
c. En una amasandería, al cernir harina sobre el
mesón se formó un cono de 1,8 m de diámetro
y 65 cm de altura. ¿Cuál es el volumen de la
harina cernida?
d. Si 1 m3 puede contener 850 kg de harina,
¿cuántos kilogramos de harina hay en el cono
del problema anterior?
e. Rosa y Luisa fabrican velas de cera. Rosa usa
un molde cilíndrico de 5 cm de radio y 20 cm
de altura y Luisa usa un molde con forma de
prisma de base cuadrada de 10 cm por lado y
20 cm de altura. ¿Quién usa menos cera para
cada vela? ¿Cuánto menos?
f. Una pirámide de base cuadrada de 4 cm de
arista basal está inscrita dentro de un cono
de 6 cm de altura, tal como se muestra en la
figura. Calcula el volumen del cono.
g. Un fabricante de conservas necesita decidir
qué envase cilíndrico es mejor para su
producto. Si un cilindro es el doble de ancho
que el otro pero la mitad del alto, ¿cuál de los
dos envases tiene mayor capacidad? Explica.
Unidad 3 – Geometría
105
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 20.
1. La figura está hecha con tres sectores circulares,
cada uno igual a un cuarto de círculo. ¿Cuál es el
área de la figura, si se aproxima a un decimal?
Usa π ≈ 3,14.
A.
B.
C.
D.
78,5 cm2
157,5 cm2
235,5 cm2
314,5 cm2
10 cm
2. La siguiente figura está formada por un semicírculo
de 21 cm de radio y un triángulo equilátero. ¿Cuál
es el perímetro de la figura? Usa π ≈ 22 .
7
A. 108 cm
B. 132 cm
C. 140 cm
D. 150 cm
3. ¿Cuál es el área total de este cilindro? Usa π ≈ 3.
A.
B.
C.
D.
4 500 cm2
6 660 cm2
13 140 cm2
52 020 cm2
12 cm
119 cm
4. Se tienen 8 cubitos de 3 cm de arista. ¿Cuántos
cubitos más se necesitan para formar un cubo de
9 cm de arista?
A.
B.
C.
D.
8
18
19
27
5. A un cubo de 6 cm de arista se le cortó, desde
un vértice, un cubito, de modo que el volumen
del cuerpo es de 189 cm3. ¿Cuánto mide la arista
del cubito?
A.
B.
C.
D.
106
1 cm
3 cm
9 cm
27 cm
Unidad 3 – Geometría
6. La figura está compuesta por dos cuartos de
círculo, de 14 cm de radio y otro cuarto de círculo
de 21 cm de radio. ¿Cuál es el perímetro de
figura? Usa π ≈ 22 .
7
A. 60,5 cm
B. 77 cm
C. 102,5 cm
D. 119 cm
7. ¿Cuál es el volumen de esta figura, compuesta
por un cilindro y un cono, ambos de 20 cm de
diámetro y de 10 cm de altura? Usa π ≈ 3.
A.
B.
C.
D.
2 000 cm3
3 000 cm3
4 000 cm3
16 000 cm3
8. Un estanque de base cuadrada de 20 cm de
arista basal tiene agua. Si se agregan 4,2 L,
el agua llega a una altura de 12 cm en el
estanque. ¿Cuánta agua había antes?
A. 350 mL
B. 600 mL
C. 3 800 mL
D. 4 800 mL
9. La razón entre los volúmenes de los cubos A
y B es 27 : 8. El volumen del cubo B es 64 cm3.
¿Cuánto mide la arista del cubo A?
A. 6 cm
B. 8 cm
C. 72 cm
D. 243 cm
10.Un octágono regular tiene 96 cm de perímetro.
Si la apotema mide 14,5 cm, ¿cuál es el área
del octágono?
A.
B.
C.
D.
696 cm2
348 cm2
174 cm2
87 cm2
A.
B.
C.
D.
17. Dado el cubo de 4 cm de arista, de la figura,
¿cuánto mide AC, aproximado al centímetro?
A.
B.
C.
D.
31,4 cm
62,8 cm
78,5 cm
125,6 cm
Unidad 3
11.¿Cuál es el perímetro de la parte sombreada?
Usa π ≈ 3,14.
6 cm
7 cm
8 cm
9 cm
C
20 cm
A
12.Si un cuadrado mide 400 cm de perímetro, ¿cuál
es su área?
A.
B.
C.
D.
1 000 cm
1 600 cm2
10 000 cm2
16 000 cm2
2
13.Se recortó un cartón rectangular según se
muestra en la figura. ¿Qué área se le recortó
al cartón? Usa π ≈ 3,14.
A.
B.
C.
D.
122,5 cm2
299 cm2
269,5 cm2
322 cm2
28 cm
18.¿Cuál es el área de la región pintada?
A.
B.
C.
D.
16π cm2
2π cm2
4π cm2
8π cm2
8 cm
45º
19.¿Cuál es el área de la figura, si cada arco es un
cuarto de circunferencia? Usa π ≈ 3,14.
A.
B.
C.
D.
0,785 cm2
1 cm2
3,14 cm2
6,28 cm2
1 cm
14 cm
14.¿Cuál es el volumen de una pirámide de base
cuadrada de 12 cm de arista basal y 7 cm de altura?
A.
B.
C.
D.
222 cm3
228 cm3
336 cm3
344 cm3
15.¿Cuál es el área de un círculo si su diámetro mide
12 cm? Usa π ≈ 3,14.
A.
B.
C.
D.
28,3 cm2
113,04 cm2
37,7 cm2
452 cm2
16.¿Cuál es el volumen de un cilindro de radio 3 cm
y altura 7 cm? Usa π ≈ 3,14.
A.
B.
C.
D.
2 cm
20.¿Qué largo debe tener un estanque con forma de
prisma de base rectangular, cuyas dimensiones
son 3 m de ancho y 1,5 m de alto, para que pueda
contener 45 000 L?
C. 100 m
D.1 000 m
A. 1 m B. 10 m
21.La figura representa un poste (CD) sujeto por dos
cables, AD y DB. Con la información entregada,
responde las siguientes preguntas.
a. Aproximadamente, ¿a qué distancia se
encuentran los extremos inferiores de
los cables?
b. ¿Cuánto cable se utilizó para sujetar el poste?
D
126 cm3
147 cm3
198 cm3
252 cm3
8,49 m
6m
A
C
8m
B
Unidad 3 – Geometría
107
Evaluación de síntesis de la unidad 3
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 9.
1. La figura consta de cuatro cuartos de círculo, de
radio 5 cm. ¿Cuál es la expresión que representa
el perímetro de la figura, en función de π?
A.
B.
C.
D.
(10 π + 5) cm
(10 π + 10) cm
(20 π + 5) cm
(20 π + 10) cm
32 cm2
64 cm2
128 cm2
196 cm2
14 cm
4. ¿Cuánto mide la base x del trapecio isósceles de
la figura?
12 cm
18 cm
20 cm
28 cm
A.
B.
C.
D.
22 cm
28 cm
36 cm
44 cm
236 cm3
1 413 cm3
2 120 cm3
8 478 cm3
8. ¿Cuál de estas figuras no tiene simetría rotacional?
A.
B.
C.
D.
3. Los arcos de la figura son dos cuartos de
circunferencia idénticos. ¿Cuál es el perímetro
de la parte sombreada? Usa π ≈ 22 .
7
A. 44 cm
B. 72 cm
C. 88 cm
D. 154 cm
A.
B.
C.
D.
A.
B.
C.
D.
7. ¿Cuál es el volumen de un cono si el diámetro
basal mide 18 cm y su altura 25 cm? Usa π ≈ 3,14.
2. La siguiente figura está delimitada por cuatro
cuartos de círculos idénticos, cuyo radio es 8 cm.
¿Cuál es el área sombreada? Usa π ≈ 3.
A.
B.
C.
D.
6. El largo de un rectángulo es 2 cm más que el
ancho. La diagonal del rectángulo mide 10 cm.
¿Cuál es el perímetro del rectángulo?
Un triángulo equilátero.
Un eneágono regular.
Un trapecio isósceles.
Un pentágono regular.
9. Al aplicar una traslación, se puede hacer
que coincida exactamente sobre el original
si se aplica a:
A.
B.
C.
D.
una circunferencia.
un triángulo equilátero.
una recta.
un pentágono.
10.Resuelve los siguientes ejercicios.
a. Si los catetos de un triángulo rectángulo
miden 12 cm y 16 cm, ¿cuánto mide
la hipotenusa?
b. Calcula el área sombreada en el
siguiente rectángulo, al que se le
recortó un paralelogramo.
10 cm
7,5 cm
15 cm
4 cm
12 cm
x
5. El perímetro de un rombo es 40 cm y una de sus
diagonales mide 12 cm. ¿Cuál es la medida de la
otra diagonal?
A.
B.
C.
D.
108
6 cm
8 cm
10 cm
16 cm
Unidad 3 – Geometría
15 cm
8 cm
c. Encuentra las medidas de los ángulos α y β en
el siguiente triángulo.
80º
α
50º
β
β
78º
Unidad 3
d. Si la siguiente figura corresponde a un
paralelogramo, ¿cuál es la medida de los
ángulos α y β?
d. El dibujo muestra las calles A1, A2 y A3
paralelas, y las calles B1 y B2 también paralelas.
Si Pedro va por B1 y dobla por A3, el ángulo en
que dobla mide 110º. ¿Cuál es la medida del
ángulo de giro desde A2 a B2?
A3
α
B1
e. Determina el valor de los cuatro ángulos,
utilizando la información de la figura.
A2
x – 20
50 – x
f. El radio de una circunferencia es 5 cm. Calcula
la longitud de la circunferencia y el área del
círculo correspondiente, si se aproxima π a 3,14.
g. Una pirámide tiene una base cuadrada cuya
arista mide 12 cm y su altura es 8 cm, ¿cuál es
su volumen?
h. ¿Cuál es el volumen de un cilindro si el
diámetro de su base es 4 cm y su altura
10 cm? Usa π ≈ 3,14.
i. Un prisma tiene por base un triángulo
equilátero cuyos lados miden 4 cm y su altura
6 cm. Calcula el área total.
11.Resuelve los siguientes problemas.
a. Juanita está entrenándose para correr en
patines en una pista circular de 20 m de
diámetro. Si ella dio 20 vueltas a la pista,
¿qué distancia recorrió? Usa π ≈ 3,14
b. Un cono de metal de radio 4 cm y altura 12 cm,
se fundió para hacer un cilindro del mismo
radio, usando todo el metal. ¿Cuál es la altura
del cilindro?
c. Las medidas de una pecera con forma de
prisma de base rectangular son: 80 cm de
largo, 60 cm de ancho y 30 cm de alto. ¿En
cuánto tiempo se llena de agua, si el caudal
de la llave es 5,5 L por minuto?
B2
A1
e. Con 8 listones de madera, todos de igual
longitud, se quiere hacer un marco octogonal.
¿Cuánto debe medir el ángulo entre dos
listones contiguos?
f. Se dispone de una escalera para alcanzar una
ventana de un edificio que está a 6 m del
suelo. ¿A qué distancia del edificio, en el suelo,
debo ubicar la escalera que mide 6,5 m?
g. En un casino, usan un dispensador de jugo
con forma de prisma de base rectangular
que mide 30 cm de largo y 20 cm de ancho,
el que ahora está a 4 de su capacidad total.
5
Para limpiarlo, decidieron trasladar el jugo a
otro dispensador, de 40 cm de largo, 20 cm de
ancho y 15 cm de alto, que quedó lleno hasta el
borde. ¿Cuál es la altura del primer dispensador?
h. Para poner la bandera en el patio del colegio,
se utilizará un cubo de cemento de 20 cm
de arista al que se extrae un cilindro de radio
4 cm y una altura de 12 cm, para poner el
mástil en él. ¿Cuál es el volumen de hormigón
que se necesita?
i. Un CD mide 12 cm de diámetro y el diámetro
de la zona transparente es de 5 cm, ¿cuál es el
área de la zona no transparente?
Unidad 3 – Geometría
109
Unidad
4
Datos y azar
Análisis de
datos
Obtención de
información
Muestreo
Gráficos
Tablas de frecuencia
Medidas de tendencia central
Datos y azar
Espacio muestral
Experimentos
aleatorios
Sucesos
Teóricas
Probabilidades
Empíricas
Habilidades
• Extraer información de datos organizados en tablas, gráficos de barras múltiples, gráficos de líneas
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
y gráficos circulares.
Representar un conjunto de datos con tablas o gráficos.
Resolver problemas utilizando datos organizados en tablas o en gráficos de distinto tipo.
Construir distintos tipos de gráficos, en forma manual y con herramientas tecnológicas.
Comparar información proveniente de distintos tipos de gráficos.
Construir tablas de frecuencia con datos no agrupados y agrupados en intervalos.
Resolver problemas interpretando información a partir de tablas de frecuencia con datos agrupados
en intervalos.
Analizar las características de distintas muestras para inferir las características de una población.
Calcular medidas de tendencia central en forma manual y con herramientas tecnológicas, obtenidas
a partir de datos no agrupados y agrupados en intervalos, e interpretar sus valores.
Identificar el espacio muestral de experimentos aleatorios simples, y encontrar su tamaño.
Utilizar el principio multiplicativo para obtener la cardinalidad del espacio muestral y de distintos sucesos.
Asignar en forma teórica la probabilidad de ocurrencia de un evento utilizando la regla de Laplace.
Obtener probabilidades de sucesos a partir de datos empíricos.
P ara recordar
110
• El gráfico de barras múltiples nos permite
• Un gráfico circular consiste en un círculo dividido
relacionar y comparar las frecuencias de dos o
más categorías de datos similares.
• El gráfico de líneas se utiliza para mostrar la
tendencia de una variable en un determinado
período de tiempo.
en sectores que representan el porcentaje de
cada categoría de una variable.
• La frecuencia absoluta (f i) representa el número
de veces que se repite el i-ésimo valor, o i-ésimo
intervalo, de la variable en estudio.
Unidad 4 – Datos y azar
• La frecuencia absoluta acumulada (Fi) es la suma
•
•
•
•
de las frecuencias absolutas observadas hasta el
i-ésimo valor de la variable, o hasta el intervalo i.
La frecuencia relativa (hi) del i-ésimo valor de
la variable, o del i-ésimo intervalo, corresponde
a la razón entre la frecuencia absoluta y el total
de datos de la muestra (n). La frecuencia relativa
porcentual es la frecuencia relativa expresada
en porcentaje.
La frecuencia relativa acumulada (Hi ) se obtiene
calculando la suma de las frecuencias relativas
observadas hasta el i-ésimo valor de la variable,
o hasta el intervalo i.
La marca de clase corresponde al promedio de
los extremos del intervalo.
La media aritmética para datos agrupados se
puede calcular de la siguiente forma:
x = suma (marca de clase por la frecuencia absoluta)
n
• La moda (Mo) corresponde al valor que tiene
una mayor frecuencia absoluta.
Para datos agrupados:
fi – fi – 1
Mo = Li +
·t
( fi – fi – 1) + ( fi – fi + 1)
Li: extremo inferior del intervalo modal (inter-
valo que tiene la mayor frecuencia absoluta).
fi: frecuencia absoluta del intervalo modal.
fi – 1: frecuencia absoluta del intervalo anterior
al modal.
fi + 1: frecuencia absoluta del intervalo posterior
al modal.
t: amplitud de los intervalos.
• La mediana (Me) de un grupo de datos corresponde al valor bajo el cual se encuentra el 50 %
de los datos. Con los datos ordenados de forma
creciente o decreciente, si el total de datos es
impar, la mediana será el valor central de los
datos, mientras que si el total de datos es par,
la mediana será el promedio de los dos
valores centrales.
Para datos agrupados:
n –F
i–1
Me = Li + 2
·t
fi
Li: extremo inferior del intervalo mediano
(primer intervalo en el cual la frecuencia
fi:
absoluta acumulada es mayor a n ).
2
frecuencia absoluta del intervalo mediano.
•
•
•
•
•
•
•
•
•
•
Fi – 1: frecuencia absoluta acumulada del intervalo anterior al mediano.
Población es el conjunto de todos los individuos,
objetos u observaciones que poseen al menos
una característica en común.
Una muestra es un subconjunto de la población.
Si los individuos que componen la población
son muy distintos entre ellos se debe tomar una
muestra de tamaño más grande que en el caso
de que los individuos que componen la población sean similares.
La representatividad de una muestra se refiere a
la capacidad de reproducir a pequeña escala las
características de la población.
El Censo es un estudio en el que se incluye a
toda la población y que permite conocer la
cantidad de habitantes y sus características.
El conjunto formado por todos los posibles
resultados de un experimento se llama espacio
muestral (Ω).
La cardinalidad del espacio muestral corresponde
a la cantidad de elementos contenidos en él.
Un evento o suceso es un subconjunto del espacio
muestral. Si ocurre siempre, se dice que es un
suceso seguro, mientras que si no ocurre nunca,
se dice que es un suceso imposible. Se dice probable o posible, cuando existe la probabilidad
de que ocurra.
La probabilidad de un suceso o evento se refiere
a la posibilidad de que este ocurra.
Si en un experimento todos los sucesos tienen la
misma probabilidad de ocurrencia, se dice que
los sucesos son equiprobables.
Regla de Laplace: si en un experimento aleatorio
los sucesos son equiprobables, la probabilidad
de un suceso A se calcula de la forma siguiente:
P(A) = número de casos favorables al suceso A
número de casos totales
• El principio multiplicativo señala que si un evento
A puede ocurrir de m maneras distintas y un
evento B de n maneras distintas, entonces hay
m · n maneras de que ocurra A y a continuación B.
• La frecuencia relativa de un evento es la razón
entre el número de veces que ocurrió y el
número de veces que se realizó el experimento.
A medida que aumenta el número de repeticiones
del experimento, la frecuencia relativa de un
evento se aproxima al valor de su probabilidad.
Unidad 4 – Datos y azar
111
Gráficos de líneas y barras múltiples
Ejercicios resueltos
El siguiente gráfico muestra el número de hijos que tienen las familias de los estudiantes de 5º y de 7º básico de
un colegio. Responde a partir de la información del gráfico.
1. ¿En qué curso no hay familias con 6 hijos?
Número de hijos
Las barras de color anaranjado corresponden
a los estudiantes de 5º básico, y como no
hay barra de este color en el caso de los
6 hijos, entonces no hay familias con 6 hijos
en los estudiantes de 5º básico.
10
Nº de familias
2. ¿Cuál es el total de familias encuestadas en
7º básico?
5º básico
7º básico
8
6
4
2
0
1
2
Sumando el número de familias de 7º básico
correspondiente a cada barra se obtiene:
3
4
5
6
Nº de hijos
6 + 3 + 8 + 5 + 4 + 3 = 29. Luego, el total de familias encuestadas en 7º básico es 29.
3. ¿Qué cantidad de hijos fue la que más se obtuvo como respuesta a la encuesta?
Para obtener el total de familias por cada cantidad de hijos, se deben sumar las familias de 5º y las de 7º.
Luego se obtiene:
Cantidad de hijos
Familias
1
2
3
8 + 6 = 14
5+3=8
4
3 + 8 = 11 5 + 5 = 10
5
6
4+4=8
3
Finalmente, la cantidad de hijos con mayor frecuencia fue 1. Es decir, 14 familias tienen solo un hijo.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Observa el siguiente gráfico:
Deportes que practican los alumnos en el colegio
50
45
40
35
30
25
20
15
10
5
Alumnos que realizan deporte
o
un
ol
is
ng
Ni
Te
n
tb
ol
ue
Bá
sq
e ib
Vo
l
Fú
t
bo
l
Hombres
Unidad 4 – Datos y azar
350
300
250
200
150
100
50
0
Niños
Niñas
2000
2001
2002
2003
2004
2005
2006
2007
2008
2009
2010
Mujeres
a. ¿Cuántos hombres practican básquetbol?
b. ¿Cuántas mujeres no practican ningún deporte?
c. ¿Cuál es el deporte que más practican las
mujeres de este colegio?
d. ¿Cuál es el que menos practican los hombres?
e. ¿Hay más hombres o mujeres que practican
deportes en este colegio?
f. ¿Tienen los hombres y mujeres encuestados
preferencias similares acerca de los deportes?
112
2. En el siguiente gráfico se muestra la cantidad de
alumnos de 5º a 8º básico de un colegio, que
realizan algún deporte.
Año
a. ¿Qué ocurrió en los años 2003 y 2004 en
relación con los hombres?
b. ¿Qué ocurrió entre los años 2001 y 2002 en
relación con las mujeres?
c. ¿Cuál ha sido la tendencia a lo largo de los
años en ambos sexos?
d. ¿Quiénes son más constantes en la práctica de
algún deporte?
e. ¿Qué tipo de información puedes obtener de
este gráfico?
2000
2002
2004
2006
2008
Alcohol 54,4
59,6
57,9
58,1
49,8
Tabaco
43,6
43,6
42,4
41,2
44
Marca la opción correcta en los ítems 4 al 6.
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones no se puede
obtener de la tabla anterior?
A. El consumo de alcohol presentó una mayor
disminución que el consumo de tabaco.
B. Más personas consumen alcohol que tabaco.
C. El consumo de alcohol aumentó el año 2002.
D. El año 2004 disminuyeron los porcentajes de
personas que consumieron tabaco y alcohol.
5. En el gráfico se muestran las ventas realizadas
en una casa comercial, durante los seis primeros
meses del año 2011. ¿Cuál de las siguientes
alternativas es correcta?
Ventas del primer semestre
lio
Ju
o
ni
Ju
ay
o
M
r il
Ab
zo
ar
M
re
ro
Fe
b
ro
800 000
700 000
600 000
500 000
400 000
300 000
200 000
100 000
0
En
e
15 000
Hombres
Mujeres
5 000
a. Realiza un gráfico de líneas que represente
esta información.
b. Realiza un gráfico de barras múltiples que
represente esta información.
c. En general, ¿más personas consumen tabaco
o alcohol?
d. ¿Qué tendencia se observa en el consumo de
tabaco a lo largo de los años?
e. ¿En qué años aumentó el porcentaje de personas
que consumió alcohol el último mes?
A.
B.
C.
D.
6. El saldo migratorio es la diferencia entre las
inmigraciones y las emigraciones en una región
determinada. En el siguiente gráfico se muestran
los valores del saldo migratorio de algunas regiones
de Chile. ¿Cuál de las siguientes conclusiones no
se puede deducir del gráfico?
10 000
Fuente: CONACE. Consultado en junio de 2011.
En www.conace.cl.
Unidad 4
3. En la siguiente tabla se muestran los porcentajes
de personas que respondieron la pregunta: “¿Ha
consumido alcohol o tabaco el último mes?”,
en los años 2000 a 2008.
Las ventas mejoraron en febrero.
Las ventas comenzaron a subir en marzo.
Las ventas serán mejores en agosto.
En febrero no hubo ventas.
0
–5 000
III
V
VIII
X
XI
–10 000
–15 000
Fuente: INE. Síntesis de resultados Censo 2002. Consultado
en junio de 2011. En www.ine.cl
A. En la Quinta región de Valparaíso se registraron
más inmigraciones que emigraciones.
B. En la Undécima región de Aysén del General
Carlos Ibáñez del Campo la cantidad de inmigraciones fue similar a la de emigraciones.
C. En la Décima región de Los Lagos inmigraron
más hombres que mujeres.
D. En la Tercera región de Atacama fueron más las
mujeres que emigraron que las que inmigraron.
7. En la tabla se muestra la cantidad de alumnos de
8º básico con notas bajo 4 en Matemática.
Nº de alumnos con notas bajo 4
8º A
8º B
1
3
1
2
0
1
3
0
1
4
1
2
5
2
0
a. Realiza un gráfico de barras múltiples que
represente esta información usando una
planilla de cálculo.
b. ¿En qué curso hay más alumnos con notas
bajo 4?
c. Si en el 8º A hay 36 alumnos y en el 8º B hay
29, ¿en qué curso es mayor el porcentaje de
alumnos con notas bajo 4?
d. ¿En qué curso hay más alumnos con más de
dos notas bajo 4?
Unidad 4 – Datos y azar
113
Gráficos circulares
Ejercicio resuelto
En un examen de Lenguaje, 110 estudiantes aprobaron el ramo y 10 lo reprobaron. Representa estos resultados
en un gráfico circular, indicando los porcentajes correspondientes.
Para encontrar el ángulo del sector circular correspondiente a los que aprobaron, construimos una proporción
comparando el total de estudiantes con el ángulo del centro de la circunferencia completa (360º), y el total de
estudiantes que aprobaron con su respectivo ángulo x.
110
(110 · 360)
x
Luego
=
. De aquí se obtiene que x =
= 330.
120 360
120
Entonces el ángulo correspondiente a los que aprobaron mide 330º y el correspondiente a los que reprobaron mide
(360º – 330º) = 30º. Luego se construye una circunferencia y se determinan los sectores circulares correspondientes a
los ángulos encontrados, con la ayuda de un transportador.
Ahora, para obtener los porcentajes correspondientes a
los estudiantes que aprobaron y a los que reprobaron,
Alumnos que aprobaron
construimos una proporción comparando el total de
91,7 %
estudiantes con el 100 % y el total de estudiantes que
Alumnos que reprobaron
aprobaron con x %.
8,3 %
110
x
Esto es,
=
. De aquí se obtiene que
120 100
(110 · 100)
x=
. 91,7, por lo tanto el porcentaje
120
de estudiantes que aprobó el ramo es 91,7 % y el porcentaje que reprobó es de (100 – 91,7) = 8,3 %.
Ejercicios y problemas propuestos
1. En el siguiente gráfico se muestran los resultados
de una prueba de Inglés. Observa y responde
las preguntas.
2. De acuerdo con el siguiente gráfico, responde
las preguntas.
Resultados de la votación
23 %
Resultados prueba de Inglés 8º básico
25
Partido A
Partido B
Aprobados
Reprobados
Partido C
12 %
30 %
Partido D
95
35 %
a. ¿Cuántos alumnos y alumnas rindieron la
prueba de Inglés?
b. ¿Cuántos alumnos y alumnas reprobaron la
prueba de Inglés?
c. ¿Qué porcentaje de estudiantes aprobó la
prueba de Inglés?
d. ¿Qué porcentaje de estudiantes reprobó?
e. ¿Cuánto debe medir el ángulo del sector que
corresponde a los reprobados?
a. ¿Qué partido ganó?
b. Considera un total de votantes de 600 personas
y completa los datos de la tabla.
Partido Nº de votos Porcentaje
A
B
C
D
114
Unidad 4 – Datos y azar
Grados
Unidad 4
3. En un colegio se realizó una encuesta respecto del
tipo de comida que consumen los jóvenes de
7º básico a 4º medio.
7. Realiza una encuesta en tu curso acerca del medio
de transporte utilizado para llegar al colegio.
a. Completa la siguiente tabla.
a. Completa la siguiente tabla.
Medio de transporte
Tipo de comida
Porcentaje
Rápida
49 %
Vegetariana
23 %
Casera
28 %
Ángulo
Caminando
Transporte escolar
4. El último censo, realizado el año 2002, arrojó los
siguientes resultados respecto de la población
por grupos de edad:
Porcentaje
0 – 14 años
25,7 %
15 – 59 años
62,9 %
60 años y más
11,4 %
Ángulo
Fuente: INE. Síntesis de resultados Censo 2002.
Consultado en junio de 2011. En www.ine.cl
a. Completa la tabla anterior.
b. En una planilla de cálculo copia los datos
obtenidos y realiza un gráfico circular.
5. En el siguiente gráfico se muestra la aprobación
de los estudiantes al uso del uniforme escolar.
¿Cuál es el total de encuestados?
36
Aprueban
Desaprueban
141
A. 36
B. 141
C. 177
D. 100
6. Respecto del gráfico anterior, el porcentaje de
alumnos que desaprueba el uniforme escolar es:
A. 100 %
B. 36 %
Público
Automóvil
b. Realiza un gráfico circular para representar la
información anterior.
Grupo de edad
Total estudiantes
C. 79,66 %
D. 20,34 %
Otros
b. Construye un gráfico circular que represente
los resultados que obtuviste.
c. ¿Qué medio de transporte es el más utilizado?
d. ¿Qué medio de transporte es el menos utilizado?
8. En la tabla se muestran los deportes que practican
los alumnos y alumnas de los octavos básicos de
un colegio.
Mujeres
Hombres
Fútbol
10
47
Voleibol
20
38
Básquetbol
11
30
Tenis
8
18
23
10
Ninguno
a. Realiza un gráfico circular que represente la
relación que existe entre las mujeres y hombres
que no practican ningún deporte.
b. Realiza un gráfico circular que represente
la relación entre mujeres y hombres que
practican fútbol.
c. ¿Puedes representar en un solo gráfico circular
la tendencia que existe para cada deporte en
hombres y mujeres? Justifica tu respuesta.
d. ¿Qué tipo de gráfico sería el más apropiado
para representar la información de la tabla?
e. ¿Qué otras relaciones entre las variables de
este gráfico se pueden representar en un
gráfico circular?
f. Realiza un gráfico que represente los porcentajes
de mujeres y hombres en los octavos básicos.
Unidad 4 – Datos y azar
115
Análisis e interpretación de gráficos
Ejercicios resueltos
1. Los alumnos de 8º básico han votado para elegir el color del polerón de curso que mandarán a hacer. Un 50 %
votó por el color azul, un 30 % por el rojo y un 20 % por el verde. ¿Qué gráfico elegirías para representar los
resultados de esta votación?
Como en esta situación lo que se busca es comparar los porcentajes de preferencia de cada color, sería adecuado utilizar un gráfico circular.
2. Indica las variables y las relaciones que se analizan en cada gráfico.
Obesidad en jóvenes mayores
de 15 años
Número de casos de virus respiratorio
sincicial detectados por semana
50 %
40 %
Hombres
30 %
Mujeres
20 %
100
50
10 %
Ob
br
ep
So
Ob
m esid
ór a
bi d
da
es
id
ad
o
0
es
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9 10 11 12
En el primer gráfico se observan dos variables: el sexo (hombres, mujeres) y el grado de sobrepeso de la persona
(sobrepeso, obesidad y obesidad mórbida). Es decir, se analiza la relación entre el sexo y el grado de sobrepeso
comparando los porcentajes de hombres y mujeres para cada categoría de sobrepeso.
En el segundo gráfico se observan 2 variables: las semanas, y los casos de virus respiratorio sincicial. Por lo tanto, se
busca analizar si existe una relación entre la semana del año y el número de personas afectadas por el virus.
Ejercicios y problemas propuestos
1. En la siguiente tabla se muestran las temperaturas
máximas y mínimas de un día en 6 ciudades.
Ciudad
Tº máxima
Tº mínima
Iquique
21,4 ºC
16,2 ºC
Antofagasta
18,2 ºC
14,9 ºC
La Serena
17 ºC
7,9 ºC
Valparaíso
18 ºC
10,1 ºC
Concepción
15,6 ºC
Punta Arenas
7,7 ºC
2,7 ºC
2 ºC
a. ¿Qué tipo de gráfico utilizarías para representar
de la mejor forma la información de la tabla?,
¿por qué?
b. ¿Qué variables se desean representar?
c. ¿Cuáles son las variables independientes y
cuáles las dependientes?
116
Unidad 4 – Datos y azar
d. ¿Qué se desea comparar entre estas variables?
e. En una planilla de cálculo construye el gráfico
que elegiste.
f. ¿Podrías utilizar un gráfico circular para representar la temperatura máxima y mínima de las
seis ciudades? Justifica tu respuesta.
g. ¿En qué ciudad se registró la temperatura
más baja?
h. ¿En qué ciudad se registró la temperatura
más alta?
i. ¿En qué ciudad existe una mayor variación en
la temperatura?
j. ¿En qué ciudad existe una menor variación en
la temperatura?
k. Escribe tres conclusiones que se puedan obtener de la información representada en la tabla
y en el gráfico que realizaste.
l. Realiza un gráfico que represente la variación
de temperaturas en cada una de las ciudades.
¿Qué gráfico elegiste?, ¿por qué?
2. Pedro, Juan y Diego están en un tratamiento por
sobrepeso. ¿Cuál de las siguientes alternativas
representaría mejor la variación del peso de cada
uno en los seis meses de tratamiento?
A.
B.
C.
D.
Gráfico de barras.
Gráfico de barras agrupadas.
Gráfico de líneas.
Gráfico circular.
3. Carolina tiene una tienda de artesanías. Si quiere
graficar las ventas realizadas en los últimos 6 meses
del año, ¿qué tipo de gráfico sería más adecuado?
A.
B.
C.
D.
Gráfico de barras.
Gráfico de barras agrupadas.
Gráfico de líneas.
Gráfico circular.
12
16
Alumnos y alumnas por curso
Hombres
Mujeres
20 %
0%
80 %
3º
4º
5º
6º
7º
8º
Alumnos y alumnas por curso
60 %
Hombres
Mujeres
40 %
Marzo Abril Mayo Junio Julio
7
7. Observa los siguientes gráficos.
40 %
5. La profesora de un curso registró el número de
inasistencias de sus alumnos y alumnas durante
el primer semestre.
Inasistencias
A. Cantidad de alumnos que se inscriben cada
mes del año en un curso de manejo.
B. Número de personas que mueren por cierta
enfermedad entre los años 2003 y 2011.
C. Porcentaje de alumnos con y sin promedio
bajo 5 en un curso.
D. Cantidad de accidentes de tránsito por mes
del año.
60 %
Gráfico de barras.
Gráfico de barras agrupadas.
Gráfico de líneas.
Gráfico circular.
Mes
6. ¿Para cuál de los siguientes datos no es el
gráfico de línea el más apropiado? Marca la
opción correcta.
80 %
4. La profesora de un curso decide realizar un gráfico
con el porcentaje de estudiantes que tienen su
promedio de notas en distintos intervalos. ¿Qué
tipo de gráfico sería más adecuado?
A.
B.
C.
D.
Unidad 4
Marca la opción correcta en los ítems 2 al 4.
19
20 %
0%
3º
4º
5º
6º
7º
8º
Alumnos y alumnas de 4º básico
24
a. ¿Qué relación crees que quiere analizar la
profesora con estos datos?
b. ¿Qué gráfico crees que es el más adecuado
para analizar estos datos?
c. Construye el gráfico que elegiste en b.
d. ¿Qué podrías concluir a partir de los datos y del
gráfico que construiste?
e. ¿A qué crees que se debe la tendencia que se
presenta en los datos?
f. ¿Cuántas inasistencias hubo entre marzo
y julio?
g. Si en el segundo semestre la cantidad de
inasistencias fue la mitad que las del primer
semestre, ¿cuántas inasistencias hubo el
segundo semestre?
Hombres
Mujeres
45 %
55 %
a. ¿Qué variables se observan en los gráficos?
b. ¿En la mayoría de los cursos hay más hombres
o mujeres?
c. ¿Cuál de los gráficos no representa la misma
información que los otros dos?
d. ¿Cuál de los tres gráficos representa mejor la
información que se quiere mostrar?
e. Si en el 3º básico hay 36 estudiantes, ¿cuántas
mujeres hay?, ¿cuántos hombres?
f. Si en el 4º básico hay 40 estudiantes, ¿cuántos
hombres hay en el curso?, ¿y cuántas mujeres?
Unidad 4 – Datos y azar
117
Tablas de frecuencias
Ejercicio resuelto
Los siguientes datos corresponden a las edades de un grupo de personas. Construye una tabla de frecuencias con
5 intervalos a partir de los datos.
4
16
10
32
15
48
41
38
22
47
27
39
37
34
32
35
28
26
31
44
36
39
7
17
25
29
34
36
38
43
42
35
33
28
24
34
39
45
48
34
Como las edades van desde los 4 hasta los 48 años, podemos tomar 5 intervalos de tamaño 10, partiendo desde los
0 años hasta los 50. La marca de clase de cada intervalo corresponde al promedio entre el límite inferior y el
superior de cada intervalo.
Para calcular la frecuencia absoluta se cuentan los datos que se encuentran en cada intervalo, y luego se suman las
de cada intervalo y anteriores para calcular la frecuencia absoluta acumulada.
Las frecuencias relativas corresponden al cociente entre la frecuencia absoluta y el total de datos, en cada caso,
y luego se suman las de cada intervalo y anteriores para calcular la frecuencia relativa acumulada.
Edad
Marca de clase
F. absoluta
F. absoluta acumulada
F. relativa
F. relativa acumulada
[0, 10)
5
2
2
0,05
0,05
[10, 20)
15
4
6
0,1
0,15
[20, 30)
25
8
14
0,2
0,35
[30, 40)
35
18
32
0,45
0,8
[40, 50)
45
8
40
0,2
1
Ejercicios y problemas propuestos
1. En el cuadro se muestra la cantidad de mascotas
que tienen 14 compañeros de curso.
2
2
3
4
1
4
1
Inasistencias
1
2
3
4
5
6
1
2
2
4
4
4
4
Estudiantes
0
2
3
10
12
5
a. Construye una tabla de frecuencias que incluya
frecuencia absoluta, frecuencia absoluta
acumulada, frecuencia relativa y frecuencia
relativa acumulada.
b. ¿Qué porcentaje de este grupo de estudiantes
tiene 2 mascotas?
c. ¿Qué porcentaje de este grupo de estudiantes
tiene más de 2 mascotas?
d. ¿Qué porcentaje de este grupo de estudiantes
tiene a lo más 3 mascotas?
e. ¿Cuál es el promedio de mascotas de este
grupo de compañeros y compañeras?
f. ¿Cuál valor se repite más en las respuestas de
los 14 niños y niñas?
118
2. En la siguiente tabla se muestra el recuento de las
inasistencias de los estudiantes de un curso.
Unidad 4 – Datos y azar
a. De los estudiantes que han faltado a clases,
¿cuántos tienen menos de cuatro inasistencias?
b. ¿Cuántos estudiantes tienen cinco inasistencias
o más?
c. ¿Cuántos alumnos y alumnas han faltado a
clases seis veces o más?
d. ¿Cuántos estudiantes han faltado a clases?
e. ¿Cuál es la frecuencia relativa que corresponde
a 4 inasistencias?
f. ¿Cuál es la frecuencia relativa acumulada que
corresponde a 5 inasistencias?
g. Si en el curso hay 36 estudiantes, ¿cuántos
nunca han faltado a clases?
h. Si la frecuencia relativa acumulada
correspondiente a 3 inasistencias es 0,16,
¿cómo interpretarías este valor?
Nota
Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
absoluta acumulada relativa acumulada
[1, 2)
1
[2, 3)
5
[3, 4)
21
[4, 5)
33
[5, 6)
25
[6, 7]
12
a. Completa la tabla de frecuencias.
b. ¿Cuántos estudiantes tienen promedio menor
que 4?
c. ¿Cuántos estudiantes tienen promedio menor
que 5?
d. ¿Cuántos estudiantes tienen promedio mayor
o igual a 6?
e. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene promedio
bajo 6?
f. ¿Qué porcentaje de estudiantes tiene
promedio mayor o igual a 4?
g. Hay tres octavos básicos en el colegio. El 8º A
y el 8º B tienen igual cantidad de estudiantes,
y el 8º C tiene un alumno más que el 8º A.
¿Cuántos estudiantes tiene cada curso?
5. Una tabla de frecuencias con datos agrupados
representa:
A. todos los datos en forma ordenada de mayor
a menor.
B. un gran número de datos que se encuentran
en intervalos de la misma amplitud.
C. todos los datos en forma aleatoria.
D. las frecuencias de los distintos intervalos de
valores que toma una variable.
6. Se realizó una encuesta a un grupo de personas y
se les preguntó cuánto calzaban. Las respuestas
fueron las siguientes:
34
35
37
35
37
32
38
38
36
39
32
33
39
35
35
a. Calcula el promedio de estos datos.
b. Agrupa estos datos en intervalos de igual
amplitud, considerando que el primer intervalo
es [31, 34), y construye una tabla de frecuencias
con estos datos.
c. ¿Cuántas personas calzan menos de 37?
d. ¿Cuántas personas calzan 37 o más?
e. ¿Qué porcentaje de estas personas calza 35?
f. ¿Qué porcentaje de estas personas calza
38 o menos?
7. Los siguientes datos indican la estatura, en
centímetros, de un grupo de estudiantes.
Marca la opción correcta en los ítems 4 y 5.
149
152
160
158
160
158
162
156
4. ¿Cuál o cuáles de las siguientes afirmaciones
son correctas?
155
156
154
158
152
152
157
157
143
147
150
152
155
155
149
154
150
146
159
152
152
144
158
158
I. Los intervalos de una tabla de frecuencias
deben tener la misma marca de clase.
II. Los intervalos de una tabla de frecuencias
deben tener la misma amplitud.
III. El valor de la frecuencia absoluta de cada
intervalo es mayor que la frecuencia absoluta
del intervalo anterior.
IV. La frecuencia relativa del último intervalo es
siempre igual a 1 o a 100 %.
A.
B.
C.
D.
Solo II
II y IV
III y IV
I y II
Unidad 4
3. En la siguiente tabla de frecuencias se presentan
los promedios de notas de los estudiantes de
8º básico de un colegio.
a. Organiza estos datos en una tabla de frecuencias,
en intervalos de tamaño 5. Considera el primer
intervalo [143, 148).
b. ¿Qué intervalo tiene mayor frecuencia?
c. ¿Cuántos estudiantes miden de 153 a
157 centímetros?
d. ¿Cuántos alumnos y alumnas miden hasta
152 centímetros?
e. ¿Qué porcentaje de los estudiantes mide
de 143 a 147 centímetros?
f. ¿Qué porcentaje de los alumnos y alumnas
mide de 148 a 157 centímetros?
Unidad 4 – Datos y azar
119
Medidas de tendencia central
Ejercicios resueltos
1. En la siguiente tabla se muestra el tiempo en minutos que seis alumnos han utilizado Internet durante tres
días de la semana.
Alumnos
Julio
Felipe
Mario
Carlos
Antonio
Tomás
Lunes
60
50
20
45
30
55
Miércoles
45
30
50
50
45
50
Viernes
15
10
15
25
30
20
¿Cuál es la moda del día miércoles?
El día miércoles, la cantidad de minutos que más se observa es 50, por lo tanto esta es la moda.
2. Encuentra la mediana de la cantidad de minutos que ocuparon los alumnos entre el lunes y el miércoles
e interprétala.
Para calcular la mediana, primero se deben ordenar todos los datos. Se obtiene:
10
15
15
20
20
25
30
30
30
45
45
45
50
50
50
50
55
60
Luego, como el total de datos es par, la mediana corresponderá al promedio entre los dos valores centrales, es
30 + 45
decir, entre 30 y 45. Luego nos queda:
= 37,5. Finalmente, la mediana de la cantidad de minutos es 37,5.
2
Es decir, el 50 % de las veces que los alumnos se conectaron a Internet ocuparon un tiempo menor a
37,5 minutos.
Ejercicios y problemas propuestos
1. El tiempo en minutos que demoraron en dar
3 vueltas a la cancha 28 estudiantes se registró
en el siguiente cuadro.
8
12
6
20
15
17
19
6
14
17
19
16
10
11
11
8
9
8
13
15
12
7
8
14
13
11
10
10
a.
b.
c.
d.
¿Cuál es la moda de estos datos?
¿Cuál es la mediana de estos datos?
¿Cuál es la media de estos datos?
Escribe estos datos en la columna A de una
planilla Excel y calcula la media, escribiendo en
una celda “=promedio(a1:a28)”.
e. Calcula la mediana, escribiendo en una celda
“=mediana(a1:a28)”.
f. Calcula la moda, escribiendo en una celda
“=moda(a1:a28)”.
120
Unidad 4 – Datos y azar
2. En una competencia de básquetbol, en que se
jugaron 7 partidos, el entrenador registró cada
vez que encestaron Jorge y Raúl. La siguiente
tabla muestra estos datos.
Partido
1
2
3
4
5
6
7
Jorge
3
4
4
3
4
5
12
Raúl
5
4
6
11
5
4
6
a. ¿Cuántas veces, en promedio, encesta Jorge
por partido?
b. ¿Cuántas veces encesta Raúl por partido,
en promedio?
c. ¿Cuál es la mediana de la cantidad de veces
que encesta Jorge por partido?
d. ¿Cuál es la mediana de la cantidad de veces
que encesta Raúl por partido?
e. Si queremos decidir quién es mejor jugador,
¿qué medida es la más adecuada; la media,
la moda, o la mediana?, ¿por qué?
f. ¿Quién crees tú que es el mejor jugador?
751
660
570
760
714
793
815
800
670
790
490
530
670
660
750
751
560
560
800
830
760
751
760
450
470
455
540
750
660
650
550
655
800
750
670
5. Bruno tiene 5 notas en Matemática, y su
promedio es 5,8. Si obtiene un 4,8 y un 6,8:
a. ¿cuál es el promedio de este nuevo conjunto
de notas?
b. ¿existe diferencia entre este nuevo promedio
y el anterior?, ¿a qué crees que se debe?
6. El promedio de notas de un examen de Lenguaje
de un grupo de 15 alumnos fue 5,8, pero faltaron
3 estudiantes. Luego ellos rindieron este examen
y el promedio de todos los alumnos subió a 6.
a.
b.
c.
d.
Calcula la media de estos datos.
Determina la mediana de los datos.
Encuentra la moda de estos datos.
Construye una tabla de frecuencias con los
siguientes intervalos: (400, 500], (500, 600],
(600, 700], (700, 800] y (800, 900].
e. Calcula la media del puntaje en la PSU con los
datos de la tabla de frecuencias.
f. Calcula la mediana de los puntajes en la PSU
con los datos de la tabla de frecuencias.
g. Calcula la moda de los puntajes en la PSU con
los datos de la tabla de frecuencias.
4. A partir de una encuesta realizada a un grupo
de alumnos y alumnas acerca del mes de su
nacimiento, se obtuvieron los siguientes datos.
Mes
Ene. Feb. Mar. Abr. May. Jun.
a. ¿Qué nota, en promedio, obtuvieron los
estudiantes que faltaron?
b. ¿Qué nota debe haber recibido cada uno de
los 3 estudiantes para que el promedio entre
los tres sea el que obtuviste en a?
7. En el gráfico se muestran las edades de un grupo
de personas. Construye la tabla de frecuencias
correspondiente a la información presentada
en el gráfico.
Frecuencia
14
12
10
8
6
4
Hombres
5
8
4
9
10
2
2
Mujeres
13
8
8
2
5
13
0
Mes
[0, 10)
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
Hombres
7
12
11
17
13
7
Mujeres
11
7
9
5
3
2
[40, 50)
Edad
Jul. Ago. Sep. Oct. Nov. Dic.
a. ¿Cuántos hombres fueron entrevistados?
b. ¿Cuántas mujeres fueron entrevistadas?
c. ¿Cuál es el promedio de mujeres nacidas
cada mes?
d. ¿Cuál es el promedio de hombres nacidos
cada mes?
e. ¿Cuál es la mediana de personas nacidas
por mes?
f. Construye una tabla de frecuencias para el
total de personas nacidas por mes, con
los intervalos: [8, 11), [11, 14), [14, 17), [17, 20)
y [20, 23).
Unidad 4
3. Los siguientes datos son los resultados de la PSU
de los estudiantes de un colegio.
A partir de la información del gráfico y de la tabla de
frecuencias que construiste, marca la opción correcta
en los ítems 8 al 10.
8. ¿Cuál es la media de estas edades?
A. 16,5
B. 27,4
C. 17,5
D. 26,9
9. ¿Cuál es la mediana de las edades?
A. 25
B. 29,2
C. 29,3
D. 29,6
10.¿Cuál es la moda de las edades del grupo
de personas?
A. 38,2
B. 36,4
C. 31,7
D. 33,6
Unidad 4 – Datos y azar
121
Poblaciones y muestras
Ejercicios resueltos
Para cada una de las siguientes situaciones, indica si se debe considerar una población o una muestra.
1. Se realiza una investigación para encontrar el número de personas infectadas con cierto virus en Valdivia.
Como en este caso se quiere encontrar el número exacto de personas infectadas con el virus, será necesario
considerar a toda la población, ya que en el caso de tomar una muestra podrían existir personas infectadas que
queden fuera de ella.
2. Se realiza una investigación sobre los equipos de fútbol que tienen más aceptación entre las mujeres de
15 a 50 años en Chile.
Para esta investigación basta con tomar una muestra aleatoria y representativa de todas las mujeres de 15 a 50 años
de la población chilena, para luego hacer una estimación a partir de los resultados obtenidos en la muestra.
Estudios como este, en que la población que se quiere investigar es muy extensa, resultan muy costosos y
tomaría mucho tiempo acceder a todas las personas de la población. Es por esto que se debe seleccionar una
muestra que represente de la mejor manera posible a la población.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Para las siguientes situaciones indica si se debe
considerar a toda la población o solo una muestra.
a. Se quiere estudiar el uso de cierto bloqueador
solar en la población chilena.
b. En un 8º básico se quiere saber cuáles son las
asignaturas favoritas de los estudiantes.
c. Para elegir al presidente de un país, se quiere
saber qué candidato es preferido por cada uno
de los habitantes.
d. Los alumnos de un curso realizarán una
votación para elegir el regalo de cumpleaños
para su profesora jefe.
2. Para las siguientes situaciones indica si se ha
considerado una población o una muestra.
a. Se realiza una encuesta telefónica acerca de
las marcas favoritas de pasta de dientes.
b. Se encuesta a todos los estudiantes de un
colegio para saber si prefieren al candidato A
o B como presidente del centro de alumnos.
c. Se encuesta a un grupo de personas de
distintas regiones del país para saber qué
marcas de chocolate prefieren.
d. Se realiza una votación en un curso para elegir
al presidente o presidenta de curso.
e. Se encuesta a un grupo de personas de una
ciudad para saber qué medio de locomoción
pública prefieren.
f. Se realiza una encuesta telefónica acerca del
lugar preferido para vacacionar.
122
Unidad 4 – Datos y azar
3. A partir de las siguientes muestras indica
cuáles serían las causas por las que no son
representativas para un estudio.
a. Una encuesta telefónica el sábado en la
mañana para saber qué canal de televisión
es el favorito.
b. Una encuesta en una estación de trenes para
saber qué medio de transporte interurbano
es el más utilizado.
c. Una encuesta a los estudiantes de 8º básico de
un colegio para conocer la aprobación de los
alumnos y alumnas respecto de la gestión
del director.
d. Una encuesta a 20 mujeres chilenas para
conocer cuáles son los equipos de fútbol
favoritos de los chilenos.
e. Una encuesta a niños, niñas y jóvenes hasta
18 años para conocer la opinión de los chilenos
y chilenas acerca de distintas marcas de
automóviles.
f. Una encuesta a niños y niñas hasta 12 años
para conocer las preferencias laborales de
los chilenos.
4. Indica una muestra representativa para las
siguientes situaciones.
a. Se quiere saber la opinión de los alumnos
acerca del nuevo himno del colegio.
b. Se quiere estimar el porcentaje de la población
chilena que utiliza el transporte público.
Unidad 4
5. De un curso de 20 alumnos se obtuvieron los
siguientes datos.
8. Considera la muestra que incluye solo a Carla
y Esteban.
Nombre Estatura Masa Nombre Estatura Masa
(cm)
(kg)
(cm)
(kg)
Carla
148
55
Esteban
167
69
Marcela
152
68
Pedro
168
66
Eva
155
52 Gonzalo
168
67
María
155
60
Mateo
168
84
Valeria
157
62
Jorge
170
75
Mónica
158
52
Manuel
172
72
Emilia
160
58
Ricardo
175
75
Javiera
160
65
José
178
78
Irene
164
70
Roberto
178
70
Isidora
167
66
Rubén
180
90
a. Calcula la media de la masa de los alumnos y
alumnas del curso.
b. Calcula la media de la estatura de los alumnos
y alumnas del curso.
c. Calcula la mediana de la masa de los alumnos
y alumnas del curso.
d. Calcula la mediana de la estatura de los alumnos
y alumnas del curso.
6. Considera ahora la muestra que corresponde a
todos los estudiantes en posiciones impares en
la tabla.
a. Encuentra el promedio de la masa de los
alumnos y alumnas de la muestra.
b. ¿Se parece el promedio de la muestra al
promedio del curso completo? ¿Crees que es
una muestra representativa?, ¿por qué?
7. Considera la muestra que corresponde solo a las
mujeres del curso.
a. Encuentra el promedio de la estatura de las
alumnas de la muestra.
b. ¿Se parece el promedio de la muestra al
promedio del curso completo? ¿Crees que
es una muestra representativa?, ¿por qué?
a. Encuentra el promedio de la estatura de los
estudiantes de la muestra.
b. Encuentra el promedio de la masa de los
estudiantes de la muestra.
c. ¿Se parecen los promedios de la muestra a
los del curso completo? ¿Crees que es una
muestra representativa?, ¿por qué?
9. Considera ahora la muestra que incluye solo a
Isidora y Rubén.
a. Encuentra el promedio de la estatura de los
estudiantes de la muestra.
b. Encuentra el promedio de la masa de los
estudiantes de la muestra.
c. ¿Se parecen los promedios de la muestra a
los del curso completo? ¿Crees que es una
muestra representativa?, ¿por qué?
d. ¿Crees que importa el tamaño de la muestra
a la hora de inferir acerca de una población?
Justifica tu respuesta.
Marca la opción correcta en los ítems 10 y 11.
10.¿Cuál de las siguientes alternativas es la más
indicada para recolectar información acerca
del consumo de drogas en Chile, en jóvenes de
15 a 25 años?
A. Una encuesta a todos los alumnos de un
colegio en Santiago.
B. Seleccionar una muestra aleatoria de jóvenes
de 15 a 25 años de toda la población chilena.
C. Una encuesta a toda la población chilena.
D. Una muestra aleatoria de todos los habitantes
de Chile.
11.¿En cuál de los casos siguientes se requiere
considerar la población para realizar la
investigación solicitada?
A. Una investigación sobre el auto más vendido
en Santiago.
B. Una investigación sobre el canal de televisión
favorito de los habitantes de Valparaíso.
C. Una investigación sobre la aceptación que
tiene el entrenador de la selección chilena.
D. Se quiere conocer la cantidad de estudiantes
de los octavos básicos de un colegio, que
tienen dos promedios insuficientes.
Unidad 4 – Datos y azar
123
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 19.
Responde los ítems 1 al 3 a partir de la siguiente tabla.
5. Observa el gráfico en el que se muestra la relación
entre la hora y la temperatura en Santiago un día
de otoño.
Porcentaje de la población por sexo según
estado civil o situación conyugal actual.
Censo 2002.
Estado civil o
situación conyugal
Total
Casado(a)
46,2
Hombres Mujeres
20
0,4
0,3
0,6
Separado(a)
4,7
3,9
5,5
Viudo(a)
5,2
2,2
8,1
100,0
100,0
100,0
Total
Fuente: INE. Síntesis de resultados Censo 2002. Consultado en
junio de 2011. En www.ine.cl
1. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A. Existe un mayor porcentaje de mujeres solteras
que de hombres solteros.
B. El 46,2 % de los hombres está casado.
C. El 47,5 % de las personas casadas son hombres.
D. El 55,2 % de las mujeres no está casada.
2. ¿Cuál de las siguientes conclusiones no se puede
obtener de la tabla?
A.
B.
C.
D.
El 4,7 % de la población es separada.
El 9 % de los hombres son convivientes.
El 32,2 % de las mujeres están solteras.
El 3,9 % de las personas separadas son hombres.
19:00
Anulado(a)
17:00
0
18:00
32,2
16:00
37,1
15:00
34,6
14:00
Soltero(a)
13:00
5
12:00
8,8
11:00
9,0
10:00
10
8:00
44,8
9:00
47,5
7:00
15
8,9
Conviviente
Temperatura
25
¿Cuál de las siguientes conclusiones no se
puede obtener del gráfico?
A. La temperatura más baja se presentó a las
7:00 horas.
B. Durante el día la temperatura presentó una
amplitud térmica de 15 grados.
C. La temperatura fue aumentando con cada
hora del día.
D. El mayor cambio de temperatura se observó
entre las 9 y las 10, y entre las 18 y las 19 horas.
6. Consuelo recuerda que su promedio de notas es
5,1 y que tiene: 3,3; 4,0; 6,0; 5,5 y 5,8. Sabe que le
falta recordar una nota, ¿qué nota es?
A. 5,6
B. 5,4
C. 6,5
D. 6,0
Responde los ítems 7 al 9 a partir de la tabla.
Notas
[2, 3)
[3, 4)
[4, 5)
[5, 6)
[6, 7]
fi
5
15
20
6
4
3. ¿Qué porcentaje de mujeres no están separadas?
A. 5,5 %
B. 94,5 %
C. 95,3 %
D. 96,1 %
4. Si se quiere representar la mortalidad infantil de
los años 2005 a 2010, ¿qué tipo de gráfico
es el más adecuado?
A.
B.
C.
D.
124
Gráfico de barras.
Gráfico circular.
Gráfico de líneas.
Gráfico de barras agrupadas.
Unidad 4 – Datos y azar
7. ¿Cuál de las siguientes alternativas es la frecuencia
relativa acumulada del intervalo [5, 6)?
A. 0,12
B. 0,8
C. 0,92
D. 1
8. ¿Cuál es el promedio de notas?
A. 5
B. 4,28
C. 3,78
D. 4,73
A. representa la cantidad de alumnos con notas
entre 3 y 4.
B. es 0,3.
C. es 0,04.
D. representa la cantidad de alumnos con notas
menores a 4.
10.Dos estudiantes quieren investigar sobre la
relación entre el número de calzado de una
persona y su estatura. Si deciden recolectar
información en su curso, ¿cuál de las siguientes
alternativas es correcta?
A. La muestra que ellos quieren tomar no es
suficiente para su investigación.
B. La muestra no es suficiente ni aleatoria para
esta investigación.
C. La muestra es aleatoria.
D. La muestra no es suficiente pero es aleatoria.
Responde los ítems 11 al 15 a partir de la siguiente
tabla, que representa la cantidad de pan que compra
diariamente un grupo de familias.
Pan (kg)
[1, 2)
[2, 3)
[3, 4)
[4, 5)
[5, 6)
fi
10
15
6
3
1
11.¿Cuál es la frecuencia absoluta acumulada del
intervalo [4, 5)?
A. 3
B. 34
C. 31
D. 4
12.¿Cuál es la media de la cantidad de pan?
A. 1,5 kg
B. 1,85 kg
16.El bibliotecario de un colegio registró el número
de libros prestados a 30 personas que visitaron
la biblioteca.
0
0
2
4
5
3
2
2
2
0
3
1
6
1
1
1
1
2
3
4
5
0
0
0
2
2
1
1
2
7
¿Cuál es el promedio de libros prestados por
persona que visita la biblioteca?
A. 2,625
B. 2
17. ¿Cuál es el promedio de libros prestados por
persona, considerando solo a las personas que sí
piden libros prestados?
A. 2,625
B. 2
A. 0
B. 1
A. 2
B. 2,5
A. El total de familias que compra menos de 4 kg.
B. El total de familias que compra 3 kg.
C. El porcentaje de familias que compra menos
de 4 kg.
D. El porcentaje de familias que compra 3 kg.
C. 3
D. 3,5
20.Esteban anotó en la siguiente tabla las edades de
un grupo de personas.
Intervalo de edades
Frecuencia absoluta
[0, 10)
8
[10, 20)
11
[20, 30)
7
[30, 40)
3
[40, 50)
1
C. 2,71 kg
D. 2,36 kg
15.¿Qué representa la frecuencia relativa acumulada
de [3, 4)?
C. 2
D. 3
19.¿Cuál es la mediana de libros prestados?
C. 2,36 kg
D. 2,64 kg
C. 2,6 kg
D. 2,36 kg
C. 2,1
D. 3
18.¿Cuál es la moda de libros prestados?
14.¿Cuál es la moda de la cantidad de pan?
A. 2,5 kg
B. 2,64 kg
C. 2,1
D. 3
Responde los ítems 17 al 19 a partir de los datos del
problema anterior.
13.¿Cuál es la mediana de la cantidad de pan?
A. 2,5 kg
B. 2,17 kg
Unidad 4
9. La frecuencia absoluta acumulada correspondiente
al intervalo [3, 4):
a.
b.
c.
d.
e.
Completa la tabla de frecuencias.
¿Cuál es la moda de las edades?
¿Cuál es la mediana de las edades?
¿Cuál es el promedio de las edades?
Construye un gráfico de barras que represente
las frecuencias de cada intervalo de edad.
f. Construye un gráfico circular que represente
las frecuencias de cada intervalo de edad.
Unidad 4 – Datos y azar
125
Espacios muestrales y sucesos
Ejercicios resueltos
1. En una heladería hay 3 tipos de helados: de manjar, frutilla y vainilla. Además, se pueden combinar con una
de las 5 siguientes frutas: piña, plátano, durazno, mango y frambuesa. Si se quiere elegir un helado con
frutas, ¿cuántas posibilidades existen?
Se tienen 3 posibles sabores de helado para elegir y 5 frutas. Para obtener el total de posibilidades multiplicamos
3 · 5 = 15. En total hay 15 posibilidades de elección.
2. Ricardo, Isidora, Martín, Esteban y Natalia van a una fiesta. ¿Cuántas parejas de baile, de un niño con una
niña, se pueden formar entre ellos? Describe el espacio muestral.
Con un diagrama de árbol podemos representar las posibles parejas.
Isidora
Ricardo
Martín
Natalia
Esteban
Ricardo
Martín
Esteban
Como hay 2 mujeres y 3 hombres, calculamos la cantidad de parejas posibles multiplicando 2 · 3. Finalmente,
son 6 las posibles parejas que se pueden formar para bailar.
Ejercicios y problemas propuestos
1. Describe el espacio muestral de los siguientes
experimentos y encuentra su cardinalidad.
a. Se lanzan dos monedas.
b. A partir de los dígitos 2, 5 y 8 se forman todos
los números de dos dígitos posibles.
c. Se debe elegir entre los colores rojo, verde,
amarillo y azul, para combinarlos con el blanco
o el negro.
d. Para un menú se forman todas las combinaciones de carne, pescado y cerdo con los
acompañamientos: arroz, puré, tallarines
o papas fritas.
e. De una caja con bolitas azules, blancas y rojas
se extraen dos bolitas con reposición.
f. Se lanza un dado y una moneda.
d. Experimento: se eligen al azar una consonante
y una vocal del abecedario.
Suceso: se extrae la letra P.
e. Experimento: se lanzan 3 monedas.
Suceso: sale al menos un sello.
f. Experimento: se eligen al azar dos números
del 1 al 10, con reposición.
Suceso: los números suman 6.
3. Al tirar una moneda y un dado se obtienen los
siguientes resultados:
1
2
3
4
5
6
Sello
(S, 1)
(S, 2)
(S, 3)
(S, 4)
(S, 5)
(S, 6)
Cara
(C, 1) (C, 2) (C, 3) (C, 4) (C, 5) (C, 6)
2. Determina los elementos de cada suceso.
a. Experimento: lanzamiento de 2 dados.
Suceso: la suma de los valores es par.
b. Experimento: lanzamiento de un dado y una
moneda.
Suceso: se obtiene una cara y un número
impar, respectivamente.
c. Experimento: se extraen dos bolitas de una
caja con 7 bolitas azules, 4 verdes, 5 blancas
y 1 roja.
Suceso: la segunda bolita es roja.
126
Unidad 4 – Datos y azar
a. ¿Cuál es la cardinalidad del espacio muestral?
b. Escribe los elementos del suceso “obtener una
cara y un número par”.
c. Escribe los elementos del suceso “obtener un
sello y un número menor que 4”.
d. Escribe los elementos del suceso “obtener un
número mayor que 2”.
e. Describe un suceso que tenga un elemento.
f. Describe un suceso seguro.
g. Describe un suceso imposible.
a. Si se debe elegir una de las carnes, una de las
ensaladas y un acompañamiento, ¿cuál es la
cardinalidad del espacio muestral?
b. Escribe los elementos del suceso A: se elige
ensalada de zanahoria.
c. Escribe los elementos del suceso B: se elige
ensalada de zanahoria y pescado.
d. Escribe todos los elementos del suceso “ocurre
A o B”.
e. Escribe todos los elementos del suceso “ocurre
A y B”.
f. Escribe todos los elementos del suceso “no
ocurre ni A ni B”.
g. Escribe los elementos del suceso C: se elige
pescado o pollo.
5. Considera el experimento de lanzar dos dados
simultáneamente. Escribe el espacio muestral
correspondiente en cada caso.
a. Interesa la suma de los valores obtenidos.
b. Interesa el producto de los valores obtenidos.
c. Interesa si la suma de los valores es par o impar.
Marca la opción correcta en los ítems 6 al 10.
6. Para un experimento con espacio muestral
Ω = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} se define el suceso
A = {2, 4, 6, 8, 9}. ¿Cuáles son los elementos del
suceso “no ocurre A”?
A.
B.
C.
D.
{2, 4, 6, 8, 9}
{0, 1, 3, 5, 7}
{0, 1, 3, 5, 7, 9}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
7. Considera el experimento del problema anterior.
¿Cuáles son los elementos del suceso “ocurre A
o no ocurre A”?
A.
B.
C.
D.
{2, 4, 6, 8, 9}
{0, 1, 3, 5, 7}
{0, 1, 3, 5, 7, 9}
{0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
8. ¿Cuántos números de dos dígitos se pueden
formar con los dígitos 4, 7, 9, 2 y 3 si se
pueden repetir?
A. 5
B. 25
C. 10
D. 16
Unidad 4
4. En el casino de un colegio los alumnos pueden
elegir ensalada de tomate, de zanahoria o
lechuga, carne de vacuno, pescado o pollo
y, de acompañamiento, arroz o puré.
9. ¿Cuántos números de dos dígitos se pueden
formar con los números del 0 al 6, si no se
pueden repetir?
A. 42
B. 36
C. 49
D. 30
10.Se extraen al azar 2 cartas de una baraja de naipe
inglés. Indica en cuál de las siguientes situaciones
el espacio muestral del experimento es:
Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, J, Q, K, A}
A. Interesa la pinta de ambas cartas.
B. Interesa el número o figura que aparece en
cada carta.
C. Interesa si sale o no una figura en cada carta.
D. Interesa si la carta es o no un rey.
11.Un grupo de 3 mujeres (Javiera, Consuelo y
Constanza) y 2 hombres (Gabriel y Santiago)
quieren ser los delegados de pastoral del curso.
Si se debe elegir a dos estudiantes al azar:
a. ¿cuál es el tamaño del espacio muestral
del experimento?
b. ¿cuáles son los elementos del espacio
muestral del experimento?
c. ¿cuáles son los elementos del suceso
“Constanza es elegida delegada de pastoral”?
d. ¿cuáles son los elementos del evento “ni
Constanza ni Gabriel son elegidos delegados
de pastoral”?
e. ¿a qué evento corresponde el conjunto
{(Gabriel, Santiago)}?
f. ¿a qué evento corresponde el conjunto
{(Javiera, Gabriel), (Javiera, Santiago)}?
12.Considera la situación del ejercicio anterior.
Si se debe elegir a un hombre y a una mujer al
azar como delegados de pastoral:
a. ¿cuál es el tamaño del espacio muestral
del experimento?
b. escribe los elementos del espacio muestral.
c. ¿cuáles son los elementos del evento “Gabriel
es elegido delegado de pastoral”?
d. ¿cuáles son los elementos del suceso “Javiera
no es elegida delegada de pastoral”?
e. ¿a qué evento corresponde el conjunto {(Javiera,
Santiago), (Constanza, Santiago), (Consuelo,
Santiago)}?
f. ¿a qué evento corresponde el conjunto
{(Consuelo, Santiago), (Consuelo, Gabriel)?
Unidad 4 – Datos y azar
127
Probabilidad teórica de un suceso
Ejercicios resueltos
1. Si hacemos girar la flecha de la figura, ¿cuál es la probabilidad de que se detenga en el color rojo?
El círculo de la imagen está dividido en 8 sectores de
igual tamaño, de los cuales solo uno está pintado de
color rojo.
Luego la probabilidad de que salga rojo es:
1
= 0,125 = 12,5 %
8
2. Si se lanza un dado de 8 caras con los números del 1 al 8 en sus caras, ¿cuál es la probabilidad de que salga
un número primo?
Los números primos que se encuentran entre el 1 y el 8 son: 2, 3, 5, 7. En total son 4 números, es decir, tenemos
4 casos favorables.
Al lanzar el dado tenemos 8 posibles resultados, es decir, los casos totales son 8.
4
Luego, la probabilidad de que salga un número primo es: = 0,5 = 50 %.
8
Ejercicios y problemas propuestos
1. Se realiza el experimento de lanzar dos dados de
forma simultánea.
a. ¿De cuántas formas se puede obtener un 2
y un 4? ¿Cuál es la probabilidad de que este
suceso ocurra?
b. Se define el suceso A: la suma de los valores
es 5. ¿Cuáles son los elementos de A?, ¿cuál es
la probabilidad de que ocurra?
c. Se define el suceso B: la suma de los valores es
menor que 7. ¿Cuáles son los elementos de B?,
¿cuál es la probabilidad de que ocurra?
d. Se define el suceso C: la suma de los valores es
impar. ¿Cuáles son los elementos de C ?, ¿cuál
es la probabilidad de que ocurra?
e. Se define el suceso D: la suma de los valores es
mayor que 3. ¿Cuáles son los elementos de D?,
¿cuál es la probabilidad de que ocurra?
f. Se define el suceso E: el producto de los valores obtenidos es múltiplo de 3. ¿Cuáles son los
elementos de E?, ¿cuál es la probabilidad de
que ocurra?
2. Considera el experimento de lanzar 4 monedas
de forma simultánea.
a. Si interesa la sucesión de caras y sellos
obtenida, ¿cuál es el espacio muestral de
este experimento?
128
Unidad 4 – Datos y azar
b. Calcula la probabilidad de cada elemento del
espacio muestral.
c. ¿Este espacio muestral es equiprobable?,
¿por qué?
d. Si interesa la cantidad de sellos obtenidos,
¿cuál es el espacio muestral del experimento?
e. Calcula la probabilidad de cada elemento de
este nuevo espacio muestral.
f. ¿Este nuevo espacio muestral es equiprobable?,
¿por qué?
g. ¿Cuál es la probabilidad de obtener más de
un sello?
h. ¿Cuál es la probabilidad de obtener menos de
tres sellos?
3. En una caja hay igual cantidad de bolitas blancas,
negras, verdes y azules. Se realiza el experimento
de extraer una bolita, devolverla a la caja y luego
extraer una segunda bolita.
a. Representa en un diagrama de árbol el espacio
muestral de este experimento.
b. ¿Cuál es la probabilidad de extraer primero una
bolita azul y luego una verde?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera
bolita sea negra?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos bolitas
extraídas sean del mismo color?
a. Si interesa la pinta de la carta extraída, ¿cuál
es el espacio muestral de este experimento?
Represéntalo en un diagrama de árbol.
b. ¿Cuál es la probabilidad de obtener 2 cartas
de trébol?
c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener solo una
carta de corazones?
d. ¿Cuál es la probabilidad de que la primera
carta sea de diamantes?
5. Camila tiene 5 poleras y 4 pantalones, todos de
distinto color y 2 pares de zapatillas, unas verdes
y otras negras.
a. ¿Cuántas opciones de vestimenta tiene?
b. Si una de las poleras es roja, ¿cuál es la
probabilidad de que elija la polera roja y
las zapatillas verdes?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que no elija la
polera roja?
6. Teresa tiene en una bolsa 7 bolitas blancas y
13 negras, y Jorge tiene en otra bolsa 8 bolitas
blancas y 14 negras. ¿Cuál de las siguientes
afirmaciones es verdadera?
A. La probabilidad de extraer una bolita negra
7
de la bolsa de Teresa es .
20
B. La probabilidad de obtener una bolita negra
8
de la bolsa de Jorge es .
22
C. Es más probable obtener una bolita negra de
la bolsa de Teresa que de la de Jorge.
D. Es más probable obtener una bolita blanca de
la bolsa de Teresa que de la de Jorge.
7. En una caja se tienen bolitas con los números del
0 al 9. Si se extrae al azar una bolita y sin devolverla
se extrae otra, ¿cuál es la probabilidad de que con
los números de las bolitas se forme un número
par y múltiplo de 9?
8. Si sacamos una ficha de una bolsa que contiene
los números del 1 al 20, ¿cuál es la probabilidad
de que salga un número menor que 9?
9
2
A. C.
20
5
B.
11
20
D.
Unidad 4
4. Se extraen dos cartas de una baraja de naipe
inglés, con reposición.
9. Pedro tiene 15 pares de calcetines en su cajón,
de los cuales 8 son azules y 3 negros. Si saca del
cajón un par de calcetines sin mirar, ¿cuál es la
probabilidad de que no sea negro?
8
12
A. C.
15
15
11
4
B. D.
15
5
10.Angélica tiene 10 cartas enumeradas del 1 al 10.
Si la primera carta que saca sin mirar es un 6 y sin
devolverla saca otra, ¿cuál es la probabilidad de
que la siguiente carta sea mayor que 6?
4
5
A. C.
10
9
5
4
B. D.
10
9
11.En un curso de 36 alumnos y alumnas, 25 de
ellos tienen 13 años y el resto 14. Además, hay
19 mujeres, de las cuales 9 tienen 14 años. Si se
elige un estudiante al azar:
a. ¿cuál es la probabilidad de que sea hombre?
b. ¿cuál es la probabilidad de que tenga 14 años?
c. ¿cuál es la probabilidad de que sea un hombre
de 13 años?
d. ¿cuál es la probabilidad de que no sea una
mujer de 13 años?
e. ¿cuál es la probabilidad de que no sea un
hombre de 14 años?
12.Carolina, Marcela, Diego, Bernardo, Javier y Romina
preparan una fiesta sorpresa para un amigo, y
deciden elegir al azar a 2 personas para que
compren las cosas para comer.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que Marcela y
Javier sean elegidos?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que Romina
sea elegida?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que Diego no
sea elegido?
d. Si se eligen una mujer y un hombre al azar,
¿cuántos elementos tiene el espacio muestral?
e. Si se eligen una mujer y un hombre al azar,
¿cuál es la probabilidad de que Bernardo
sea elegido?
f. Si se eligen dos hombres al azar, ¿cuál es la
probabilidad de que Javier no sea elegido?
3
5
Unidad 4 – Datos y azar
129
Sucesos seguros, probables e imposibles
Ejercicios resueltos
1. Para el experimento aleatorio de lanzar un dado y una moneda, define un suceso seguro, un suceso probable
y un suceso imposible.
Sean los eventos A: “se obtiene un 7 y una cara”, B: “se obtiene un número par y un sello” y C: “se obtiene un
número menor que 10”.
El evento A no puede ocurrir, ya que en el dado no aparece el número 7, por lo tanto, su probabilidad es 0 y es
un suceso imposible.
El evento B sí puede ocurrir, ya que el dado incluye números pares y en la moneda sí aparece un sello. Es decir,
es un suceso probable.
El evento C siempre ocurre, ya que todos los valores que aparecen en un dado son menores que 10. Por lo tanto,
es un suceso seguro y su probabilidad es 1.
2. Se tienen en una bolsa cinco papeles con las vocales escritas. ¿Cuál es la probabilidad de extraer la vocal E?
1
Como tenemos cinco vocales y una sola vocal E en la bolsa, la probabilidad es = 0,2.
5
Ejercicios y problemas propuestos
1. Describe las siguientes situaciones utilizando las
palabras “seguro”, “probable” e “imposible”.
a. Habrá un feriado el 25 de diciembre.
b. Camila da 5 vueltas a la cancha en
media hora.
c. Una persona no puede vivir 200 años.
d. Juan se saca un 7 en la prueba de Matemática.
e. Las vacaciones serán en enero y febrero.
2. Indica si los siguientes sucesos son seguros,
probables o imposibles.
a. Sale un 3 al lanzar un dado.
b. Se lanzan dos dados y la suma de los valores
obtenidos es 15.
c. Se lanza una moneda y sale cara.
d. Se saca una bolita negra de una bolsa que
tiene 49 bolitas blancas y 1 negra.
e. Se saca una bolita roja de una bolsa que tiene
10 bolitas rojas.
f. Se lanza un dado y una moneda y salen
dos caras.
g. Se extrae una carta de naipe inglés y sale
una carta de trébol roja.
3. Nombra 2 ejemplos de sucesos seguros.
4. Nombra 2 ejemplos de sucesos probables.
5. Nombra 2 ejemplos de sucesos imposibles.
130
Unidad 4 – Datos y azar
6. Para cada una de las siguientes situaciones define
un suceso seguro, uno probable y uno imposible.
a. Camila va al colegio y rinde una prueba
de Matemática.
b. Se lanza un dado no cargado.
c. Se lanza una moneda.
d. Se lanzan dos dados no cargados.
e. Se lanzan tres monedas.
f. De una caja con 10 bolitas, de las cuales 1
es negra, 2 son blancas, 3 son verdes y 4 son
rojas, se extrae una bolita al azar.
g. Se lanzan dos dados y una moneda.
h. De un grupo de 5 personas, de las cuales
3 son mujeres, se eligen 3 al azar.
i. Se elige uno de los 3 colores primarios.
j. Se eligen dos letras del abecedario al azar
y sin reposición.
k. Se lanzan dos dados de 6 caras, con los
números 2, 2, 4, 6, 8 y 9 en sus caras.
7. María tiene 5 cartas de corazón con números entre
5 y 9 (ambos incluidos) boca abajo sobre una
mesa. Luego toma una de estas cartas al azar sin
mirarla. Indica si los siguientes sucesos son seguros, probables o imposibles.
a.
b.
c.
d.
María saca una carta menor que 10.
María extrae una carta con un número par.
María saca una carta con el número 10.
María extrae una carta con un número menor
que 9.
e. María extrae una carta con un número menor
que 5.
poco probables, probables, muy probables o
13.En el siguiente gráfico se representan las edades
de un grupo de personas.
seguros. Considera como poco probable a un
suceso con probabilidad menor a 1 , y como
4
muy probable a un suceso con probabilidad
mayor a 3 .
4
a. Al lanzar dos dados la suma de los valores
obtenidos es par.
b. Se extrae al azar una letra del abecedario y sale
una vocal.
c. De una bolsa con 40 bolitas negras se extrae
una bolita roja.
d. De una caja con 20 fichas negras y 4 blancas se
extrae una ficha blanca.
e. De una bolsa con 10 fichas verdes y 10 rojas se
extrae una ficha verde.
f. Se lanzan tres monedas y se obtiene al menos
una cara.
g. De un estuche con cinco lápices azules, uno
rojo y uno verde, se extrae al azar un lápiz verde.
h. De un curso de 33 estudiantes de los cuales
17 son hombres, se elige al azar a un encargado
de pastoral que es una mujer.
i. Se lanzan dos dados y la suma de los valores es
menor que 14.
9. Para el experimento de lanzar 4 monedas al azar,
indica cuál de los siguientes sucesos es más
probable que ocurra. Marca la opción correcta.
A. Salen 4 caras.
B. Salen 3 sellos.
C. Salen 4 sellos.
D. Salen 2 caras.
10.Cristina tiene en su bolsillo cinco monedas de
$ 100, tres de $ 500 y dos de $ 50. Determina qué
tipo de suceso es el que corresponde a elegir una
moneda de $ 100.
A. Imposible.
B. Probable.
C. Seguro.
D. Poco probable.
11.Indica qué tipo de suceso es el que corresponde a
elegir una moneda de $ 10 del bolsillo de Cristina.
A. Imposible.
B. Probable.
C. Seguro.
D. Poco probable.
12.Considerando la situación anterior, ¿qué tipo de
suceso es el que corresponde a extraer 3 monedas
que sumen $ 150?
A. Imposible.
B. Probable.
C. Seguro.
D. Poco probable.
Unidad 4
8. Indica si los siguientes sucesos son imposibles,
2%
13 %
0%
30 %
22 %
(0, 10]
(10, 20]
(20, 30]
(30, 40]
(40, 50]
(50, 60]
33 %
Si se elige una persona al azar, indica la probabilidad de cada situación utilizando la misma
clasificación que en el ejercicio 8.
a.
b.
c.
d.
La persona elegida tiene menos de 10 años.
La persona elegida tiene más de 10 años.
La persona elegida tiene 45 años.
La persona elegida tiene una edad menor o
igual a 30, pero mayor que 20.
e. La persona elegida tiene más de 40 años.
14.En una caja de 40 bombones, un cuarto son de
chocolate amargo y el resto de chocolate dulce.
De los dulces hay igual cantidad con relleno de
frutilla, manjar y menta. En total, hay 16 rellenos
de manjar y 2 bombones de chocolate amargo
con relleno de menta.
a. Construye una tabla de doble entrada que
represente la situación.
b. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un bombón
de chocolate amargo relleno de manjar?
c. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un bombón
con relleno sabor a frutilla?
d. ¿Cuál es la probabilidad de extraer un bombón
de chocolate dulce relleno de manjar?
15.A partir de la situación anterior, ¿cuál de los
siguientes sucesos es más probable?
A. Extraer un bombón con relleno de frutilla.
B. Extraer un bombón amargo con relleno
de menta.
C. Extraer un bombón dulce con relleno
de menta.
D. Extraer un bombón de chocolate dulce.
Unidad 4 – Datos y azar
131
Probabilidades a partir de datos empíricos
Ejercicios resueltos
1. Al tirar dos dados 300 veces, uno rojo y el otro azul, se obtuvieron los siguientes resultados. ¿Cuál es la
probabilidad de que en un próximo lanzamiento la suma de los valores obtenidos sea 5?
Los posibles resultados en los que se obtiene una suma igual
a 5 son: (1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1).
1
2
3
4
5
6
Los casos favorables serán la cantidad de veces que se
obtuvieron estos resultados, es decir:
1
5
8
10
6
3
9
2
5
4
13
13
5
8
6 + 13 + 16 + 9 = 44
3
8
16
9
9
7
12
Los casos totales son la cantidad de lanzamientos realizados,
es decir, 300. Luego, la probabilidad de que en el próximo
lanzamiento la suma de los valores sea 5 es:
44
= 0,147 = 14,7 %
300
4
9
5
7
11
4
11
5
10
8
15
6
5
5
6
12
6
11
9
8
8
2. Emilia le ha pedido a 20 amigos y amigas que elijan un color entre el rojo, azul, verde y amarillo. ¿Cuál es la
probabilidad de que el próximo amigo al que le pregunte prefiera el color rojo?
Ingresa los siguientes datos en una planilla de cálculo.
Escribe en A7 “=contar.si(A1:D5;”Rojo”)” y aparecerá en la celda el total de veces que se obtuvo el color rojo.
5
Luego en la celda A8 escribe “=A7/20” y presiona enter. El resultado será
= 0,25.
20
Ejercicios y problemas propuestos
1. Indica si los elementos de cada espacio muestral
son o no equiprobables.
a. Lanzamiento de una moneda.
b. Lanzamiento de dos dados. Interesa si la suma
de los valores obtenidos en los dados es par
o impar.
c. Se extrae una carta de un naipe inglés de
52 cartas. Interesa si la carta es o no de trébol.
d. Se extrae una bolita al azar de una bolsa con
10 bolitas amarillas y 5 verdes. Interesa el color
de la bolita extraída.
e. Se elige una carta de naipe inglés. Interesa si la
carta es o no una figura.
f. Lanzamiento de 3 monedas. Interesa la cantidad de sellos obtenida.
g. De un curso con 38 estudiantes, de los cuales
19 son hombres, se elige uno al azar. Interesa
saber si la persona elegida es hombre o mujer.
132
Unidad 4 – Datos y azar
2. Lanza un dado la cantidad de veces que
indica la tabla y completa con la cantidad de
veces que se obtuvo cada resultado.
1
2
3
4
5
6
10 veces
20 veces
40 veces
50 veces
a. ¿Para qué cantidad de lanzamientos las
frecuencias relativas de cada valor son
más parecidas?
b. A partir de los resultados de los 10 lanzamientos,
¿cuál es la probabilidad de obtener un 3?
c. A partir de los resultados de los 50 lanzamientos,
¿cuál es la probabilidad de obtener un número
menor que 5?
Resultado
Frecuencia
relativa
Frecuencia relativa
acumulada
5. Ignacio tiene 50 dulces en una bolsa y saca uno
sin mirar. Luego anota en una tabla el tipo de
dulce que sacó y lo vuelve a poner en la bolsa.
Él repite esto 100 veces y obtiene la siguiente tabla.
Menta
40
1
Frambuesa
23
2
Limón
23
Naranja
14
3
4
5
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es correcta?
6
A. Hay 40 dulces de menta en la bolsa.
B. Es probable que haya menos dulces de naranja
en la bolsa que de los otros sabores.
C. Solo hay cuatro tipos de dulces dentro de
la bolsa.
D. La cantidad de dulces de limón que hay en la
bolsa es la misma que la cantidad de dulces
de frambuesa.
a. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un 4 al
lanzar este mismo dado?
b. Si vuelves a lanzar el mismo dado, ¿cuál es la
probabilidad de obtener un 6? ¿Qué valor de la
tabla te entrega esta probabilidad?
c. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor
menor que 4? ¿Qué valor de la tabla te entrega
esta probabilidad?
d. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor
menor o igual a 4? ¿Qué valor de la tabla te
entrega esta probabilidad?
e. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor
mayor que 1 y menor que 5?
f. ¿Cuál es la probabilidad de obtener un valor
mayor que 2?
4. Simula 30 lanzamientos de un dado en una planilla
de cálculo de la siguiente forma:
Escribe en la celda A1 “=aleatorio.entre(1;6)” y copia
la instrucción en toda la columna hasta la celda
A30. Los números que aparezcan en las celdas
serán los resultados obtenidos por el dado.
a. Calcula la probabilidad de obtener un 6, usando
la planilla de cálculo, escribiendo en la celda
B1 “contar.si(A1:A30;6)” y luego dividiendo este
valor por el total de datos.
b. Calcula de esta misma forma la probabilidad
de obtener un 4.
c. Calcula de esta misma forma la probabilidad
de obtener un 1.
d. Calcula la probabilidad de sacar un número
menor que 3 de la siguiente forma: en las
celdas B6 y B7 obtén la cantidad de veces que
salió un 1 y un 2, luego en la celda B8 escribe
“=suma(B6;B7)” y divide la cantidad obtenida
por el total de datos.
Unidad 4
3. A partir de los resultados que obtuviste al realizar
50 lanzamientos de un dado, completa la siguiente
tabla. Luego, responde.
6. Si Juan ha lanzado una moneda 50 veces y ha
salido sello 22 veces, ¿cuál es la probabilidad de
que salga cara? Marca la opción correcta.
A. 0,22
B. 0,5
C. 0,56
D. 0,44
7. En la siguiente tabla se muestra la cantidad de
nacimientos de un país en un año, según la
edad de la madre y el sexo del recién nacido.
Edad de la
madre
< 15
Hombres
Mujeres
510
600
15 - 19
24 001
23 419
20 - 24
32 519
30 956
25 - 29
33 219
35 007
30 - 34
23 419
24 312
35 - 39
15 619
16 998
40 - 44
5 015
5 120
45 - 49
207
207
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la madre del
próximo niño o niña que nazca en este país
tenga menos de 15 años?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el próximo
recién nacido sea mujer?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la madre del
próximo recién nacido hombre tenga más de
39 años?
Unidad 4 – Datos y azar
133
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 20.
1. ¿Cuál de los siguientes es un evento seguro?
A. Al lanzar un dado sale un número menor
que 6.
B. Al lanzar una moneda sale una cara.
C. Al lanzar dos dados el producto de los valores
es menor que 30.
D. Al lanzar dos dados la suma de los valores es
mayor que 1.
2. ¿Cuál de los siguientes es un evento imposible?
A. Al lanzar dos dados la suma de los valores
obtenidos es mayor o igual a 12.
B. Al lanzar dos monedas salen 2 caras.
C. Al lanzar dos dados el producto de los valores
obtenidos es 27.
D. Al lanzar dos dados el producto de los valores
obtenidos es 18.
3. Se lanzan 3 dados. Si interesa la cantidad de
números pares obtenidos, ¿cuál es el espacio
muestral del experimento?
A. Ω = {0, 1, 2, 3}
B. Ω = {2, 4, 6}
C. Ω = {222, 224, 226, 242, 244, 246, 262, 264, 266, 444, 442, 446, 424, 424, 426, 462, 464, 466, 666, 662, 664, 622, 624, 626, 642, 644, 646}
D. Ω = {1, 2, 3}
4. Se lanzan 2 monedas. ¿Para cuál de las siguientes
situaciones el espacio muestral es Ω = {0, 1, 2}?
A. Interesa la sucesión de caras y sellos.
B. Interesa el total de sellos obtenidos.
C. Interesa si la cantidad de sellos es o no igual a
la de caras.
D. Interesa si el total de caras es o no mayor
que 2.
5. Si la probabilidad de que un evento ocurra es
0,38, ¿cuál es la probabilidad de que este evento
no ocurra?
A. 38 %
B. 62 %
C. 72 %
D. 50 %
6. En un ramo hay 14 flores: 4 rojas, 8 amarillas
y 2 blancas. ¿Cuál es la probabilidad de no sacar
una flor roja?
A. 28,6 %
B. 40 %
134
Unidad 4 – Datos y azar
C. 57,1 %
D. 71,4 %
7. Se extrajo 20 veces una bolita de una bolsa
con bolitas rojas y verdes. Los siguientes son
los resultados:
RRVVRVRRRRVVRRRVVVVR
¿Cuál es la probabilidad empírica de que la
próxima bolita sea verde?
11
20
9
B.
19
A.
9
20
11
D.
19
C.
8. Si en una caja hay 5 cubos negros, 3 blancos y
2 verdes, ¿cuál es la probabilidad de que al
extraer uno al azar no sea verde?
A. 80 %
B. 20 %
C. 8 %
D. 70 %
9. Joaquín y Sergio juegan a las cartas. Si Sergio
gana 12 veces, pierde 25 y empata 13, ¿cuál es la
probabilidad de que gane el próximo juego?
A. 12 %
B. 24 %
C. 25 %
D. 75 %
10.Si se lanzan dos dados, ¿cuál es la probabilidad
de que al sumar los puntos se obtenga un
número primo?
4
9
5
B.
12
A.
7
36
11
D.
36
C.
11.Entre los estudiantes de un curso se sortea un
libro de astronomía. Si en este curso hay 19 niñas
y 21 niños, ¿cuál es la probabilidad de que se lo
gane una niña?
A. 0,525
B. 0,19
C. 0,21
D. 0,475
12.Si elegimos al azar un número del 1 al 20, ¿cuál
es la probabilidad de que salga un número par
menor que 12?
4
11
A. C.
9
20
1
3
B.
D.
4
10
13.¿Cuántos números pares de 3 dígitos, con
repetición, se pueden formar con los números
6, 7, 2, 4 y 1?
A. 15
B. 75
C. 125
D. 36
Azul
Amarillo
Verde
Rojo
Naranjo
7
3
11
4
5
20.¿En cuál de las siguientes cajas existe mayor
probabilidad de sacar al azar una bola roja?
¿Cuál de las siguientes afirmaciones es verdadera?
A.
B.
C.
D.
Hay solo 11 cubos verdes en la caja.
Es imposible que haya cubos negros en la caja.
No se sabe si hay cubos blancos en la caja.
Es muy probable que haya más cubos
amarillos que verdes en la caja.
15.En una bolsa hay fichas con todas las vocales y
en otra bolsa hay fichas con los números del 1 al
15. Si se saca una ficha de cada bolsa, ¿cuál es el
tamaño muestral del experimento?
A.
B.
C.
D.
20
75
15
35
16.En el experimento anterior, la probabilidad de
sacar la vocal E y un número par es:
A.
B.
C.
D.
9 %
29 %
20 %
7%
17.¿Cuántos elementos tiene el suceso del
ejercicio anterior?
A.
B.
C.
D.
9
15
7
5
18.En el experimento del ítem 15, ¿cuál es la
probabilidad de extraer una A o una E y un
número primo?
A.
B.
C.
D.
0,133
0,187
0,16
0,213
19.¿Cuál es la probabilidad de que al lanzar 2 dados
el producto de los valores sea múltiplo de 4?
A.
B.
C.
D.
0,194
0,306
0,417
0,333
Unidad 4
14.Se tienen varios cubos en una caja y se extraen
30 cubos, de a uno, con reposición. Se obtuvieron
los siguientes resultados.
Caja A
Caja C
Caja B
Caja D
A. Caja A
B. Caja B
C. Caja C
D. Caja D
21.Alejandro puede elegir entre los autobuses A, B
y C para ir desde el colegio a la casa de Paulina.
Para ir desde la casa de Paulina hasta su casa,
puede elegir entre D, E, F y G. Si un día Alejandro
decide ir a la casa de Paulina después de clases
y luego volver a su casa:
a. ¿de cuántas formas puede hacerlo?
b. ¿cuál es la probabilidad de que tome el
autobús B o el C ?
c. ¿cuál es la probabilidad de que tome el
autobús B y el F ?
d. ¿cuál es la probabilidad de que no tome el
autobús E?
e. ¿cuál es la probabilidad de que no tome el
autobús C ni el E?
22.Andrea clasificó sus películas en la siguiente
tabla. Si elige una de sus películas al azar:
Drama
Comedia
Terror
Acción
DVD
10
15
17
6
VHS
3
7
5
1
a. ¿cuál es la probabilidad de que sea en VHS?
b. ¿cuál es la probabilidad de que sea de terror?
c. ¿cuál es la probabilidad de que sea de comedia
y esté en VHS?
d. ¿cuál es la probabilidad de que no sea de
acción ni esté en VHS?
e. ¿cuál es la probabilidad de que no sea ni de
drama ni de acción?
f. ¿cuál es la probabilidad de que no sea un DVD
de comedia?
Unidad 4 – Datos y azar
135
Evaluación de síntesis de la unidad 4
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 9.
1. En el siguiente gráfico se muestran los medios de
transporte que utilizan los estudiantes para ir
al colegio. ¿Cuál de las siguientes alternativas
es correcta?
Transporte al colegio
Bus
Auto
A pie
Bicicleta
20 %
40 %
10 %
30 %
A. El porcentaje de estudiantes que no utilizan la
bicicleta para ir al colegio es de un 60 %.
B. La mayoría de los alumnos y alumnas llegan al
colegio a pie.
C. Un 20 % de los estudiantes se va en bicicleta
al colegio.
D. Más de la mitad de los alumnos y alumnas se
van al colegio en automóvil o en bus.
2. Isidora quiere representar en un gráfico la
relación que existe entre la cantidad de hombres
y mujeres que visitan el museo Bellas Artes cada
día de la semana. ¿Cuál de los siguientes gráficos
representaría mejor los datos de Isidora?
A.
B.
C.
D.
Gráfico circular.
Gráfico de línea.
Gráfico de barras múltiples.
Gráfico de barras.
Notas
[2, 3)
[3, 4)
[4, 5)
[5, 6)
[6, 7]
fi
7
12
13
9
15
C. 6,8
D. 6,29
4. ¿Cuál es la mediana de los datos de la
tabla anterior?
A. 4,5
B. 4,69
136
Unidad 4 – Datos y azar
C. 5,38
D. 4,28
A. El promedio de las edades es 32 años.
B. La persona de mayor edad en el grupo tiene
32 años.
C. El 50 % de las personas del grupo tienen
32 años o menos.
D. La edad que más se repite es 32 años.
6. Se requiere hacer un estudio para averiguar
cuál es el automóvil más vendido en Chile.
¿Cuál es la mejor alternativa para obtener la
información necesaria?
A. Una encuesta a las distribuidoras de automóviles de la I, III y X región.
B. Una encuesta a una muestra aleatoria de distribuidoras de automóviles de todas las regiones
de Chile.
C. Una encuesta a toda la población de Chile.
D. Una encuesta telefónica a habitantes
de Santiago.
7. Si se extrae una carta de una baraja de naipe
inglés de 52 cartas, ¿cuál es la probabilidad de
sacar una reina?
4
52
13
B.
52
A.
48
52
1
D.
2
C.
8. ¿Cuántos elementos tiene el espacio muestral
del experimento de lanzar dos dados y
una moneda?
A. 14
B. 72
3. Dada la siguiente tabla de datos agrupados, ¿cuál
es la moda de los datos?
A. 6,5
B. 6
5. Si la mediana de las edades de un grupo de
personas es 32, ¿cuál de las siguientes alternativas
es correcta?
C. 24
D. 36
9. ¿Cuál de los siguientes datos es apropiado
representar en un gráfico de barras múltiples?
A. Relación que existe entre el peso y la estatura
de los jóvenes entre 20 y 25 años.
B. Cantidad de partidos ganados por los tres
mejores tenistas en Chile.
C. Mortalidad por enfermedades infecciosas en
Chile de los años 2005 a 2010.
D. Porcentajes de alumnos que prefieren las
asignaturas de Matemática, Lenguaje, Ciencias
Naturales, Ciencias Sociales, Arte u otra, en
3 cursos distintos.
12 %
Acuerdo
Desacuerdo
No sabe
33 %
55 %
a. ¿Qué opina la mayoría de las personas
en Chile?
b. ¿A quiénes crees tú que se hizo la encuesta?
¿A toda la población o solo a una muestra?,
¿por qué?
11.Para investigar sobre la relación que existe entre
el peso y la estatura de jóvenes de 18 a 29 años
en Chile, ¿cómo obtendrías la información?
12.La siguiente tabla muestra las masas de un grupo
de mujeres de 20 a 30 años.
Frecuencia
absoluta
[40, 50) [50, 60) [60, 70) [70, 80) [80, 90)
4
16
32
13.Para cada experimento indica un evento seguro
y uno imposible.
a. De una bolsa con bolitas rojas, azules y verdes,
se extrae una al azar.
b. Se extraen dos cartas de un naipe inglés sin
reposición.
c. De una caja con bolitas numeradas del 1 al 20,
se extraen dos al azar, con reposición.
14.En una bolsa hay 7 bolitas verdes y 4 amarillas.
¿Cuántas bolitas amarillas debemos agregar para
que la probabilidad de sacar una bolita amarilla
sea el doble que la de sacar una bolita verde?
15.Se van a marcar los libros de una biblioteca
utilizando una de las 10 primeras letras del
abecedario seguida de uno de los números
del 12 al 50.
Fuente: CERC. Consultado en junio de 2011.
En www.cerc.cl
Masa (kg)
Unidad 4
10.En el siguiente gráfico se muestra la opinión de
los chilenos sobre exhibir los partidos de campeonato nacional de fútbol solo por un canal de
señal abierta.
8
3
a. Construye una tabla con las frecuencias
absolutas acumuladas, frecuencias relativas
y frecuencias relativas acumuladas.
b. ¿Cuántas mujeres pesan 70 kilogramos o más?
c. ¿Cuántas mujeres participaron en la encuesta?
d. ¿Qué porcentaje de mujeres pesa de 50 a
60 kilogramos?
e. ¿Qué porcentaje de mujeres pesa menos de
70 kilogramos?
f. ¿Qué porcentaje de mujeres pesa de 50 a
80 kilogramos?
g. Calcula el promedio de la masa de estas mujeres.
h. Calcula la moda de la masa de este grupo
de mujeres.
i. Calcula la mediana de la masa de las mujeres.
a. Si cada libro se marca con un código distinto,
¿cuántos libros se pueden marcar?
b. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un libro
de la biblioteca que tenga la letra B y un
número par?
c. ¿Cuál es la probabilidad de sacar un libro con
el número 23 y una vocal?
16.José lanza dos dados 150 veces y obtiene los
siguientes resultados:
Suma de
los valores
[2, 4)
[4, 6)
[6, 8)
Frecuencia
37
37
20
[8, 10) [10, 12]
18
38
a. ¿Cuál es el espacio muestral del experimento
de lanzar 2 dados y calcular la suma de
los valores?
b. ¿Cuál es el tamaño muestral del experimento?
c. ¿De qué posibles resultados se obtiene una
suma perteneciente al primer intervalo de
la tabla?
d. Si José vuelve a lanzar los mismos dados, ¿cuál
es la probabilidad de que la suma de los valores
obtenidos sea mayor o igual 8?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los
valores obtenidos sea menor que 10?
f. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma de los
valores obtenidos no sea mayor o igual que 6
y menor que 8?
g. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma sea
mayor o igual que 4?
Unidad 4 – Datos y azar
137
Unidad
5
Álgebra
Dominio
Recorrido
Funciones
Variables
dependientes
Variables
independientes
Variaciones no
proporcionales
Variaciones
proporcionales
Proporcionalidad
directa
y = kx
Proporcionalidad
inversa
y= k
x
Habilidades
• Identificar situaciones de variación proporcional y no proporcional.
•
•
•
•
•
•
•
Usar las proporciones para resolver problemas de variación proporcional.
Discriminar entre las relaciones proporcionales directas e inversas.
Resolver problemas que involucran variación proporcional directa.
Resolver problemas que involucran variación proporcional inversa.
Reconocer funciones en diversos contextos.
Identificar dominio y recorrido de funciones en diversos contextos.
Resolver problemas que involucran funciones en diversos contextos.
P ara recordar
138
• Una ecuación de primer grado con una incógnita
• Una variable es un elemento que puede tomar
es una igualdad que contiene un valor desconocido. Su solución corresponde al valor de la
incógnita para que la igualdad sea verdadera.
Resolver una ecuación es encontrar este valor.
• Para determinar si la solución de una ecuación
es correcta se remplaza ese número por la
incógnita, todas las veces que esté en la ecuación.
Si se obtiene una igualdad, la solución es
correcta; pero se debe verificar si es pertinente
al contexto del problema.
• Una ecuación de primer grado con dos incógnitas se puede interpretar como una relación
entre dos variables.
cualquier valor de los comprendidos en un conjunto. Se utilizan letras distintas para representar
variables distintas.
• Una relación entre dos variables x e y se puede
representar o modelar por una igualdad tal que
a cada valor de x le corresponde un único valor
de y. Como el valor de y depende del valor de x,
se dice que y es la variable dependiente y x la
variable independiente.
• Podemos analizar el comportamiento entre dos
variables por medio de diversos registros, como
una tabla o un gráfico.
Unidad 5 – Álgebra
• Una función es una relación entre dos variables
x e y, de manera que a cada valor de x le corresponde un único valor de y.
• Una función se puede representar o modelar de
•
•
•
•
•
•
•
diversas formas; por ejemplo, con una ecuación,
una tabla de valores o un gráfico.
Para representar una función en un gráfico,
los valores de la variable independiente se
representan sobre el eje horizontal o de las
abscisas, y los valores de la variable dependiente
se representan sobre el eje vertical o de
las ordenadas.
La variable y puede también escribirse como
f (x ) donde x es la otra variable, y se lee “f de x”.
Se llama dominio de una función al conjunto de
valores que la variable independiente x puede
tomar en la función f. Se expresa por Dom(f ).
Se llama recorrido de una función al conjunto de
valores que toma la variable dependiente y, es
decir, todos los valores que resultan al remplazar
los valores del dominio en la función f. Se expresa
por Rec(f ).
Un valor constante es una cantidad que tiene un
valor fijo, que no se modifica en una situación dada.
Una razón es una comparación entre dos cantidades que se realiza por medio de una división.
El valor de la razón es el cociente entre las cantidades. Dos razones son equivalentes si su valor
es el mismo.
• Una proporción es una igualdad entre dos o más
razones. La proporción entre las cantidades a, b,
c y d se puede expresar a : b = c : d, o bien a = c
b d
y se lee “a es a b, como c es a d”.
• En toda proporción se cumple que a = c , si y
b d
solo si a · d = b · c.
• Un porcentaje se escribe, por ejemplo, a %, y
se lee “a por ciento”. El porcentaje es una razón
• Una relación de proporcionalidad directa se puede representar como una función de la forma
y = kx. La representación gráfica de esta función
son puntos que pertenecen a una misma recta
que pasa por el origen en un sistema de coordenadas cartesianas. Por ejemplo, el gráfico de la
función y = x es:
• En una función de proporcionalidad directa,
si una de las variables aumenta, la otra también
aumenta en un mismo factor; y si una de las
variables disminuye, la otra también disminuye
en un mismo factor.
• Dos variables, una independiente x y la otra
dependiente y, son inversamente proporcionales
si el producto entre ellas se mantiene constante,
es decir, x · y = k, donde k es la constante de
proporcionalidad.
• Una relación de proporcionalidad inversa se
puede representar como una función de la
forma y = k . La representación gráfica de
x
esta función son puntos que forman una curva
llamada hipérbola. Por ejemplo, el gráfico de la
función y = 1 es:
x
cuyo consecuente es 100.
• Si el valor de la razón entre dos variables se
mantiene constante (no cambia) estas variables
son proporcionales.
• Dos variables, una independiente x y la otra
dependiente y, son directamente proporcionales si
el valor de la razón y es constante, es decir, y = k,
x
x
donde k es la constante de proporcionalidad.
• En una relación de proporcionalidad inversa, si
una de las variables aumenta, la otra disminuye
en un mismo factor; y si una de las variables
disminuye, la otra aumenta en un mismo factor.
Unidad 5 – Álgebra
139
Relación entre dos variables
Ejercicios resueltos
1. Pablo camina desde su casa al colegio y avanza 2 cuadras cada 5 minutos. Si el colegio queda a 8 cuadras y
Pablo camina manteniendo el mismo ritmo, ¿cuánto demora en llegar?
Podemos hacer una tabla que relacione las cuadras (c) que avanza y el tiempo (t) que
demora en llegar a su colegio.
En la tabla observamos que Pablo tarda 15 minutos en llegar.
2. En la pregunta anterior, escribe una ecuación que relacione las variables.
Como Pablo avanza 2 cuadras en 5 minutos, tarda 2,5 minutos en caminar 1 cuadra.
Si llamamos c a las cuadras y t al tiempo, la ecuación que relaciona las cuadras que
recorre Pablo y el tiempo que tarda es t = 2,5c.
c
t
2
5
4
10
8
15
3. En la ecuación 3x + 2y = 4, encuentra los valores de x cuando y vale 1 y 2, y los valores de y cuando x vale 0
y 1. Realiza una tabla que registre los valores que obtuviste.
Si y = 1, remplazamos 3x + 2 · 1 = 4. Luego, despejamos x :
3x = 4 – 2 = 2, entonces x = 2 .
3
Si y = 2, remplazamos 3x + 2 · 2 = 4. Luego, despejamos x :
3x = 4 – 4 = 0, entonces x = 0.
Si x = 0, remplazamos 3 · 0 + 2y = 4. Luego, despejamos y:
2y = 4, entonces y = 4 = 2.
2
Si x = 1, remplazamos 3 · 1 + 2y = 4. Luego, despejamos y:
2y = 4 – 3 = 1, entonces y = 1 .
2
x
y
2
3
1
0
2
0
2
1
1
2
Ejercicios y problemas propuestos
1. Cada una de las siguientes tablas muestra la
relación entre dos variables. Identifica cuáles son
esas variables y determina la unidad en la que se
encuentran definidas, si corresponde.
a. c.
Días de
marzo
Ventas
($)
Pan
(kg)
Dinero
($)
1
412 000
1
5 000
2
320 000
2
8 200
3
120 000
3
5 600
b. d.
Tiempo
(h)
Velocidad
(km/h)
X
Y
2
–5
5
100
3
4
6
120
7
2
12
50
2. Si a = 2b:
a. completa la tabla.
b. despeja b en la ecuación.
c. inventa una relación entre dos
variables que pueda cumplir
con la ecuación a = 2b.
Unidad 5 – Álgebra
b
–8
0,5
13
7
3. Si y = x – 3:
a. elabora una tabla donde x tome los valores
{2, 4, 7, 10}
b. despeja x en la ecuación.
c. encuentra el valor de x si y = 12.
4. Encuentra cada uno de los valores señalados en
las siguientes ecuaciones con dos variables.
a. 5y = 3x
• Si x = 0,2 encuentra el valor de y.
•
Si y = 15 encuentra el valor de x.
b. 3x – 2 = y
• Si x = –8 encuentra el valor de y.
•
140
a
Si y = 27 encuentra el valor de x.
A. y = 4
B. y = 8
C. y = 9
D. y = 10
6. Despeja en las ecuaciones la variable indicada.
a. Despeja y en x = –2y.
b. Despeja x en y = 7 + x.
c. Despeja x en y = 12 – x.
d. Despeja y en 2x = 3y.
e. Despeja y en x = y .
2
x
f. Despeja x en = y .
8 3
g. Despeja x en x + 5 – y = 0.
7. Al despejar la variable x en la ecuación
5x + 2y = 2, se obtiene:
A. x = 2 + 2y 5
B. x = 7 – 2y
C. x = 2 – 2y
5
2
y
–2
D. x =
5
8. La edad de Alejandro (a) y la edad de su hermano
Andrés (h) se relacionan mediante la ecuación
a – h = 1,5.
a. ¿Cómo interpretas esta ecuación?
b. Realiza una tabla con las edades de los
hermanos en cuatro años distintos.
9. Si Andrea es 3 años mayor que Javier, ¿cuál es
la ecuación que relaciona sus edades? Marca la
opción correcta.
A. a – j = 3
B. a – j = 4,5
C. 3a – j = 1,5
D. a – 3j = 1,5
10.La relación que se da entre los asistentes (a) a
una obra de teatro y los ingresos de dinero (i)
es i = 3 500a.
a. Calcula los ingresos si asisten 280 espectadores
a la obra.
b. Calcula cuántos espectadores asistieron si los
ingresos fueron $ 770 000.
c. ¿Qué significa el número 3 500 en la ecuación?
11.En la pregunta anterior, si el precio de las entradas
baja un 50 %, los ingresos que se obtienen si
asisten 280 personas son:
A. $ 350 000
B. $ 490 000
12.El perímetro de un cuadrado se calcula a partir de
la fórmula P = 4a, donde P es el perímetro y a la
medida del lado.
a. Despeja el valor de a.
b. Calcula el perímetro de un cuadrado cuyo
lado mide 7 cm.
c. ¿Cuál es la medida del lado de un cuadrado
cuyo perímetro es 36 cm?
Unidad 5
5. Si 4x + 2y = 17, el valor de y si x = 1 es:
4
13.La cantidad de diagonales que se pueden trazar
desde un vértice de un polígono de n lados se
calcula restando 3 al número de lados del polígono.
a. Completa la afirmación:
El número de lados de un polígono se puede
calcular sumando 3 al
.
b. Escribe una ecuación que te permita calcular
el número de diagonales (d ) por vértice, conociendo el número (n ) de lados de un polígono.
c. Escribe una ecuación que te permita calcular el
número de lados de un polígono, conociendo
las diagonales que se pueden trazar desde
un vértice.
14.¿Cuántas diagonales se pueden trazar desde un
vértice, en un polígono de 7 lados?
A. 7 diagonales.
B. 4 diagonales.
C. 10 diagonales.
D. 9 diagonales.
15.En la sala de clases de 8º básico se realiza una
prueba. Hay 3 profesores de pie cuidando y en
cada banco se sientan 2 alumnos.
a. Si hay 11 bancos ocupados completamente,
¿cuántas personas hay en la sala de clases?
b. Realiza una tabla que relacione la cantidad de
bancos que están ocupados completamente
en la sala si hay 7, 9 y 11 personas en la sala.
c. Escribe una ecuación que relacione la cantidad de personas (p) que hay en la sala con el
número de bancos (b).
16.Si en la situación anterior se cambia a 4 el
número de personas sentadas en cada banco,
la ecuación que relaciona la cantidad de
personas (p) con el número de bancos (b) es:
A. p = 4b + 3
B. p = 2b + 4
C. p = 2b + 7
D. b = 4p + 3
C. $ 420 000
D. $ 500 000
Unidad 5 – Álgebra
141
Funciones, variables dependientes e independientes
Ejercicios resueltos
1. Paulina quiere contratar un plan para su teléfono celular. Con el plan que le interesa puede hablar 90 minutos
por un cargo fijo de $ 12 990. Además, por cada minuto adicional se cobra un valor de $ 150. Realiza una
tabla con lo que tiene que pagar Paulina si habla 1, 2, 3, 4, 5 y 6 minutos adicionales.
Minutos
1
2
3
4
5
6
Total a pagar
13 140
13 290
13 440
13 590
13 740
13 890
2. En el problema anterior, ¿cuál es la variable independiente y cuál, la dependiente?
Como el total a pagar cambia según los minutos adicionales que se hablen, los minutos corresponden a la variable
independiente y el total a pagar a la variable dependiente.
3. Escribe una función que exprese el dinero que debe pagar Paulina según los minutos adicionales que hable.
Primero designamos variables. A los minutos adicionales que hable los llamaremos m y al total que debe pagar
lo designamos por p. Como p es la variable dependiente y m la independiente, escribimos p (m).
p (1) = 13 140 = 12 990 + 150 · 1
p (2) = 13 290 = 13 990 + 150 · 2
p (3) = 13 440 = 12 990 + 150 · 3
p (4) = 13 590 = 12 990 + 150 · 4
p (5) = 13 740 = 12 990 + 150 · 5
p (6) = 13 890 = 12 990 + 150 · 6
Podemos deducir que la función buscada es p(m) = 12 990 + 150 · m
Ejercicios y problemas propuestos
1. Considera la ecuación a = –2b + 1 y responde:
a. ¿Cuántas variables tiene?, ¿cuáles son?
b. ¿Cuál es la variable dependiente?, ¿por qué?
c. ¿Cuál es la variable que está descrita en
función de otra?
2. Considera la función de la tabla y responde.
x
y
1
3
2
5
3
7
4
5
a. ¿Cuáles son los elementos que forman el
dominio de esta función?
b. ¿Cuáles son los elementos que forman el
recorrido de esta función?
c. ¿Cuál es la imagen de 3?
d. ¿Hay algún elemento en el dominio que tenga
dos imágenes?, ¿cuál?
142
Unidad 5 – Álgebra
3. Determina si las siguientes relaciones son o
no funciones.
a. x
y
2
b.
x
y
3
1
2
2
4
2
3
3
5
3
3
4
6
4
5
4. Relaciona y completa. Guíate por el ejemplo.
Si a = 2b + 7 decimos que a está en función de b.
En símbolos: a = f (b), o f (b) = 2b + 7
a. Si c = d – 21 decimos que
está en función
de
. En símbolos:
= f( ) o
f( ) =
.
b. Si x = 3y – 15 decimos que
está en función
de
. En símbolos:
= f( ) o
f( ) =
.
c. Si z = 9v decimos que
está en función de
. En símbolos:
= f( ) o f( ) =
.
a. r = 2t – 5
b. v = 3(x + 8)
c. z = 5 – w
d. 3m = 5(n – 1)
e. 4x + 5y = 2y – 2
f. 4 + a = 2b + 5
6. Sobre la expresión y = 5x + 2, ¿cuál es la afirmación
falsa? Marca la opción correcta.
A.
B.
C.
D.
Esta relación no es función.
La variable dependiente es y.
La variable independiente es x.
y está en función de x.
7. Determina si las siguientes relaciones son o
no funciones.
a. El volumen de un cubo y la longitud de una
de sus aristas.
b. Un número y su antecesor.
c. La edad que cumple una persona en cierto año.
d. El tamaño del ser humano y su edad.
8. Determina el recorrido de las siguientes funciones,
sabiendo que su dominio es el conjunto {0, 1 ,3 ,7 ,9}.
a. f (x) = 7x
b. f (x) = –2x + 3
c. f (x) = 8
d. f (x) = 3(x – 5)
9. A
ndrea tiene para vender 70 chocolates.
La ganancia que obtiene se puede calcular
mediante la función g (c) = 150c – 300, donde c
representa la cantidad de chocolates vendidos.
a. ¿Cuál es el dominio de la función?
b. ¿Cuál es el recorrido de la función?
c. ¿Cuántos chocolates debe vender Andrea
como mínimo para obtener ganancias?
d. ¿Qué puede significar el número 300 en la
función que representa la ganancia?
10.En la pregunta anterior, si Andrea vende todos
los chocolates, ¿cuánto dinero gana? Marca la
opción correcta.
A. $ 45 000
B. $ 21 000
C. $ 10 500
D. $ 10 200
11.Determina el recorrido de cada función.
a. El recorrido de la función f (x) = x + 8, sabiendo
que su dominio son los números pares mayores que 5 y menores que 15.
b. El recorrido de la función f (x) = x + 6, sabiendo
3
que el dominio está formado por los múltiplos
de 3 menores que 30 y mayores o iguales que 15.
12.¿Cuál de las siguientes funciones puede tener
como dominio el conjunto {0, 1, 2 , 3, 4} y como
recorrido el conjunto {3, 5, 7 , 9, 11}?
A. f (x) = 2x + 3
C.
B. f (x) = x – 3 2 2
D.
Unidad 5
5. Escribe en notación de funciones cada una de las
siguientes expresiones con dos variables.
f (x) = 11 – x
f (x) = – x + 11
2
2
13.En una piscina hay 36 000 L de agua y se empieza
a vaciar a razón de 10 litros por minuto.
a. Escribe una función que relacione la
cantidad (c) de agua que se evacua y el
tiempo (t) que se demora en hacerlo.
b. ¿Cuál es el dominio y recorrido de la función?
14.Con la información del problema anterior, ¿cuántos
litros se vaciaron en 15 horas?
A. 9 000 litros.
B. 150 litros.
C. 900 litros.
D. 1 500 litros.
15.A partir de los datos del problema 13, ¿cuánto
tiempo debe pasar para que quede la mitad de
agua en la piscina?
A. 1 200 minutos.
B. 1 800 minutos.
C. 3 600 minutos.
D. 4 800 minutos.
16.Una secuencia de números se forma considerando
la relación N = 2P + 7, donde P es la posición que
tiene el número en la secuencia y N es el número.
a. ¿Cuál es el número que se encuentra en el
lugar 12?
b. ¿En qué posición de la secuencia se encuentra
el número 43?
c. Escribe los primeros 5 números de la sucesión.
17. A partir del ejercicio anterior, ¿cuál es la expresión
que representa a los números que se encuentran
en las posiciones pares de la secuencia?
A. 2N = 2P + 7
B. N = 4P + 7
C. N = 2P + 9
D. N = 4P + 9
18.En la asignatura de Matemática, el profesor divide
un trabajo en dos partes: una prueba y una tarea
grupal. La nota que va al libro se calcula con el
promedio de la nota de la prueba y la tarea grupal.
a. ¿Cuántas variables puedes ver en esta
situación? Identifica y escribe las variables, indicando si son dependientes o independientes.
b. Escribe una función que permita calcular la
nota que puede obtener un alumno en el
trabajo de Matemática.
c. ¿Qué puedes concluir respecto de la cantidad
de variables en una función?
Unidad 5 – Álgebra
143
Relación de proporcionalidad directa
Ejercicios resueltos
1. Si x e y varían en forma directamente proporcional y x = 3 cuando y = 8, encuentra el valor de y si x = 9.
Podemos calcular la constante de proporcionalidad:
k= 8
Escribimos la función de proporcionalidad directa.
3
y= 8 x
Remplazamos el valor de x y simplificamos.
3
y = 8 · 9 = 24
3
Otra manera de resolverlo es igualando las razones:
y=8=y
Usamos la propiedad fundamental de las proporciones.
x 3 9
3y = 8 · 9
Despejamos el valor de y.
8
·
9
y=
Simplificamos.
3
y = 24
2. En un pueblo hay 3 hombres por cada 4 mujeres. Escribe la función que permite determinar la cantidad de
hombres en función de la cantidad de mujeres.
El dato del problema indica que la razón entre hombres y mujeres es 3 : 4, por lo tanto, podemos usar una función
de proporcionalidad directa para saber la cantidad de hombres (y) en función de la cantidad de mujeres (x).
Sabemos que y = 3 , entonces y (x) = 3 x es la función buscada.
4
x 4
Ejercicios y problemas propuestos
1. Cristián tiene $ 400 y su hermana Belén, $ 200.
Su madre empieza a darles $ 200 mensuales a
cada uno.
a. Completa la tabla con la cantidad de dinero
que llevan ahorrado Cristián y Belén.
Mes
1
2
Cristián
600
800
Belén
400
3
4
5
b. La cantidad de dinero que tiene Cristián, ¿es
proporcional a la que tiene Belén? Justifica.
2. ¿Qué situación no corresponde a una relación de
proporcionalidad directa? Marca la opción correcta.
A. La distancia que recorre un auto en un cierto
tiempo cuando va a 60 km/h.
B. La diferencia de edad de dos hermanos es
cinco años.
C. Para preparar una taza de arroz se necesitan
tres tazas de agua.
D. Realizar la maqueta de una casa, usando
medidas a escala.
144
Unidad 5 – Álgebra
3. Si y es 12 cuando x es 6 y x es directamente
proporcional a y, ¿cuál es el valor de x si y es 6?
Marca la opción correcta.
A. 24
B. 12
C. 4
D. 3
4. Si y = 4 calcula el valor de x en cada caso.
a. x = 5 d. 115 = x
49
y 3
y
b. x = y e. 164 = y
78
4 9
x
76
y
x
y
c.
= f.
=
y x
8 6
5. Si x varía de manera directamente proporcional
a y, calcula los valores pedidos, considerando que
si y es 15 entonces x es 6.
a.
b.
c.
d.
Calcula x si y es 5.
Calcula y si x es 3.
Calcula x si y es 15.
Calcula y si x es 1.
e.
f.
g.
h.
Calcula y si x es 4.
Calcula x si y es 20.
Calcula y si x es 30.
Calcula x si y es 69.
A. 75 fardos.
B. 27 fardos.
C. 9 fardos.
D. 3 fardos.
7. Escribe una función que relacione las variables en
cada caso.
a. a varía directamente con b. Cuando a es 4,
b es 5.
b. z es directamente proporcional a x. Cuando
z es 18, x es igual a 12.
c. r y s son directamente proporcionales y el valor
de su razón es 36.
8. En un estudio se obtuvo que 1 de cada 3 niños
es obeso, una función de proporcionalidad que
relaciona la cantidad de niños (n) con la cantidad
de niños obesos (o) es:
A. n = o
C. n = o
3
B. o = 3n
D. o = n
3
9. Don Pedro vende huevos a $ 110 cada uno y a
$ 600 la caja de 6. Sigue los pasos para graficar,
usando un computador, la función que modela
la ganancia ( g) que tiene don Pedro al vender
una cantidad (n) de huevos.
1º En un computador, abre una planilla de cálculo
y en la celda “A1” escribe “ganancia”.
2º En la primera columna, bajo la celda “ganancia”,
escribe los valores correspondientes a la venta
de los huevos. Esto se puede realizar fácilmente, escribiendo 110 en la celda “A2”, el número
220 en la celda “A3”; luego, selecciona ambas
celdas y con el cursor en la esquina inferior derecha de la celda “A3” lo arrastras hasta llegar a
la celda “A61”.
3º Selecciona las celdas escritas y ubica la pestaña
“Insertar”, opción gráfico. En las opciones de
gráficos, busca “Línea”.
a. Sigue los mismos pasos para realizar un gráfico
a partir de la venta de 10 cajas de 6 huevos
(60 huevos). Para ello calcula el valor de cada
huevo al vender una caja de 6 huevos.
b. Compara la inclinación de ambos gráficos y
relaciónala con las ganancias que se obtienen.
10.El rendimiento de cierto auto en carretera es 11 km
por litro, lo que se refleja en la siguiente tabla.
b (L)
Unidad 5
6. En un establo, 3 caballos comen 5 fardos de
alfalfa. Si cada caballo come la misma cantidad,
¿cuántos fardos de alfalfa comerán 45 caballos?
Marca la opción correcta.
d (km)
1
11
5
55
10
110
a. Identifica las variables de la situación.
b. Determina cuál es la variable independiente
y cuál es la dependiente.
c. ¿Cuál es la constante de proporcionalidad?
d. Escribe una función que relacione las variables
del problema.
e. Calcula la distancia que puede recorrer
el auto con 2, 11, 30 y 50 litros de bencina.
f. Calcula cuántos litros de bencina necesita
para recorrer:
• 11 km
• 220 km
• 1 km
• 7 km
11.En la pregunta anterior, si el litro de bencina
cuesta $ 700, ¿qué costo en bencina tiene viajar
154 km? Marca la opción correcta.
A. $ 9 600
B. $ 9 800
C. $ 10 000
D. $ 10 700
12.A partir de las preguntas anteriores, ¿cuál es el
costo aproximado de viajar desde Osorno hasta
Puerto Montt si la distancia entre estas ciudades
es de 109 km? Marca la opción correcta.
A. $ 4 900
B. $ 6 300
C. $ 7 000
D. $ 7 700
13.Juan vende helados y gana $ 150 por cada helado
que vende.
a. Completa la siguiente tabla:
Helados vendidos
Ganancia ($)
10
15
20
30
b. Escribe la función de proporcionalidad
correspondiente a la situación.
c. Calcula el valor de la constante de proporcionalidad k.
d. Interpreta el significado de la constante k.
e. Si Juan ganó $ 24 000, ¿cuántos helados vendió?
Unidad 5 – Álgebra
145
Relación de proporcionalidad inversa
Ejercicios resueltos
1. Si x e y varían en forma inversamente proporcional y x = 3 cuando y = 8, encuentra el valor de y si x = 9.
Podemos calcular la constante de proporcionalidad:
k = 8 · 3 = 24
Remplazamos en la función de proporcionalidad.
24
y= x
Remplazamos x = 9 y simplificamos.
y = 24 = 8
9
3
Otra manera de resolverlo es igualando los productos:
9·y=8·3
Calculamos.
9y = 24
y = 24 = 8
9
3
Despejamos y y simplificamos.
2. Don Fermín quiere hacer una huerta rectangular de 720 m2. Escribe tres posibles dimensiones de la huerta
de don Fermín.
Como la huerta debe ser rectangular y su área será de 720 m2, el producto de las medidas
a (m)
l (m)
1
720
dar valores del ancho, que permitirán encontrar valores del largo. Por ejemplo:
2
360
Si a = 1, entonces l = 720.
3
240
del largo (l ) por el ancho (a) debe ser igual a 720, o sea, l · a = 720, lo que podemos
escribir como la función l(a) = 720 . Para encontrar 3 posibles dimensiones, podemos
a
Si a = 2, entonces l = 360.
Si a = 3, entonces l = 240.
Finalmente, podemos registrar los valores en una tabla.
Ejercicios y problemas propuestos
1. ¿Cuál de las siguientes situaciones corresponde a
una relación de proporcionalidad inversa?
A. La diferencia de estatura de dos amigos al
ir creciendo.
B. Comer dos frutas al día.
C. Mientras más rápido camino de mi casa al
colegio, menos tiempo me demoro.
D. La cantidad de partes de una torta que se
obtiene al dividirla por la mitad, luego, cada
pedazo por la mitad, y así sucesivamente.
2. Si x varía de manera inversamente proporcional
a y, calcula los valores pedidos, utilizando alguna
estrategia aprendida. Considera que si y es
12 entonces x es 6.
a.
b.
c.
d.
146
Calcula x si y es 5.
Calcula y si x es 3.
Calcula x si y es 15.
Calcula y si x es 1.
Unidad 5 – Álgebra
e.
f.
g.
h.
Calcula x si y es 20.
Calcula y si x es 75.
Calcula x si y es 90.
Calcula y si x es 1 035.
3. Dos variables son inversamente proporcionales si:
A.
B.
C.
D.
su cociente es constante.
su diferencia es constante.
su producto es constante.
su suma es constante.
4. Si x = 7 calcula el valor de y en cada caso.
a. x · y = 8
c. 3y = 49
b. 3x = 4 y
x
d. 81 = 9
xy
5. Calcula mentalmente cada valor, sabiendo que v
es inversamente proporcional a t, y que v es 22
cuando t es 10.
a. Calcula t si v es 11. d. Calcula v si t es 20.
b. Calcula v si t es 24. e. Calcula t si v es 55.
c. Calcula t si v es 2,2. f. Calcula v si t es 110.
A. 1 h
B. 2 h
C. 3 h
D. 4 h
7. Escribe la función que relaciona las variables en
cada caso.
a. Si a varía inversamente respecto de b, y a = 4
cuando b = 5.
b. Si z es inversamente proporcional a x, y x = 12
cuando z = 18.
c. Si y es inversamente proporcional a x, y su
constante de proporcionalidad es 100.
d. Si m y n son inversamente proporcionales y su
constante de proporcionalidad es 36.
8. Completa la tabla sabiendo que las variables x e
y son inversamente proporcionales, y su constante de proporcionalidad es 2 .
3
x
4
8
y
7
32
15
9. C
onsidera que la cantidad de baldosas (b) para
cubrir el piso de un casino depende del tamaño
de las baldosas, es decir, del área (a) que cubre
cada una de ellas.
a. Completa la siguiente tabla:
b
1 600
a (m2)
0,25
0,1
1
10.Un auto de carrera demora 3 horas en recorrer
600 km. Si su velocidad disminuye a la cuarta parte,
¿cuánto demora en recorrer la misma distancia?
Marca la opción correcta.
A. 150 h
B. 200 h C. 12 h
D. 14 h
11.Se requiere organizar 600 sillas en un salón
de eventos.
a. Si se forman 20 filas con igual cantidad de sillas
cada una, ¿cuántas sillas hay en cada fila?
b. Si las filas tienen 12 sillas cada una, ¿cuántas
filas se pueden formar?
c. Escribe la función que relaciona la cantidad
de sillas por filas y la cantidad de filas.
12.Gabriel, Daniela y Alejandro trabajan cortando el
pasto. Cada uno realiza la misma cantidad de trabajo. Los tres juntos demoran 4 horas en el jardín
de doña Alicia. Si cierto día Alejandro se ausenta,
¿cuánto demoran Daniela y Gabriel en cortar el
pasto del jardín de doña Alicia?
13.Escribe dos ejemplos de variables que se relacionen
de manera:
a. directamente proporcional.
b. inversamente proporcional.
c. no proporcional.
14.Enrique tiene que envasar su producción de jugo
de manzana. Si lo hace en envases de 1 litro
2
necesita 120 envases.
a. ¿Cómo varía la cantidad de envases que
necesitará si varía la capacidad de ellos?
b. Completa la siguiente tabla.
Capacidad del
envase (cm3)
2
b. Escribe una función que relacione las variables
del problema.
c. ¿Cuántas baldosas cuadradas de lado 20 cm
se requieren para cubrir el casino?
d. Si se utiliza un tipo de baldosa que cubre
0,16 m2 y cuyo costo unitario es de $ 300,
¿cuánto habrá que pagar por las baldosas
necesarias para cubrir el casino?
Unidad 5
6. Dos caballos tardan 3 horas en comer unos fardos
de alfalfa. Si llegara otro caballo y se les diera
de comer la misma cantidad de alfalfa, ¿cuánto
tiempo demorarán los caballos si todos comen
lo mismo? Marca la opción correcta.
Cantidad de
envases
120
250
240
300
c. Calcula el valor de la constante k.
d. Interpreta el significado del valor de la
constante k.
e. ¿Cuántos envases de 100 cm3 necesitará
Enrique para envasar su producción?
f. Si la producción se distribuyó en 50 envases
iguales, ¿cuál es su capacidad?
Unidad 5 – Álgebra
147
Preparando el SIMCE
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 21.
1. En la ecuación x + 3y = 8, ¿cuál es el valor de x
si y = 2?
A. 2
B. 4
C. 5
D. 6
2. Pedro relaciona la cantidad (x) de páginas que lee
de un libro durante una cantidad (y) de minutos,
mediante la expresión x = 3y + 2. ¿Qué tabla
cumple con esta relación?
A. B. x
y
0
C.
x
y
2
2
0
1
5
5
1
2
8
8
2
x
y
x
y
8
2
5
1
11
3
8
2
4
4
D.
10
3
3. Juan tiene ahorrado $ 2 500 pesos y cada mes su
madre le regala $ 500. Si m representa la cantidad
de meses que su madre le ha dado dinero y a
representa el dinero que tiene ahorrado Juan,
entonces la ecuación que relaciona m y a es:
A. m = 2 500a
B. m = 500a
C. m = 2 500 + 500a
D. a = 2 500 + 500m
4. La fórmula para calcular la longitud de una
circunferencia está dada por P = 2πr. Si el radio
de la circunferencia es 8 cm, ¿cuál de los siguientes
valores representa su longitud considerando
π = 3?
A. 96 cm
B. 48 cm
C. 24 cm
D. 6 cm
A partir de la siguiente situación responde los ítems
5 al 7.
Para una exhibición de cine hay 3 500 entradas
disponibles y cada una vale $ 2 500.
5. La función que entrega las ganancias ( g) por
número (x) de entradas vendidas es:
A. g (x) = 3 500x
B. g (x) = 2 500x
148
Unidad 5 – Álgebra
C. g (x) = 6 000x
D. g (x) = x
6. El dominio de la función anterior es el conjunto
de los números enteros que están entre:
A. 0 y 2 500
B. 0 y 3 500
C. 0 y 6 000
D. 0 y 1 000
7. El recorrido de la función de las ganancias son
números enteros que están entre:
A. 0 y 2 500
B. 0 y 3 500
C. 0 y 6 000
D. 0 y 8 750 000
8. Considerando que una impresora imprime
12 páginas por minuto, entonces se puede
afirmar que en una hora imprimirá:
A. 600 páginas.
B. 720 páginas.
C. 100 páginas.
D. 120 páginas.
9. En promedio, el corazón de un adulto palpita
8 veces en 6 segundos. La expresión que permite
calcular la cantidad de palpitaciones de un adulto
en m segundos es:
A. 8m 6
C.
B. 6m 8
D.
6
8m
8
6m
A partir de la siguiente situación, responde los
ítems 10 y 11.
Para regular el calor, una estufa dispone de los tres
niveles de consumo de gas que se muestran en
la tabla.
Máximo
Mediano
Mínimo
300 g/h
220 g/h
130 g/h
10.¿Cuánto tiempo puede estar encendida la estufa
con 500 g de gas en el máximo nivel?
A.
B.
C.
D.
Entre 40 y 50 minutos.
Entre 50 y 70 minutos.
Entre 70 y 90 minutos.
Entre 90 y 110 minutos.
11.¿Cuántos gramos de gas consume la estufa
encendida en el nivel mínimo durante 8 horas?
A.
B.
C.
D.
Entre 700 y 800 gramos.
Entre 800 y 900 gramos.
Entre 900 y 1 000 gramos.
Entre 1 000 y 1 100 gramos.
A. c = n – 2
B. c = 300 – n
C. c = 300 – 2n
D. c = 2 + 300n
13.Si la cantidad de arroz que consume una familia al
mes es proporcional al número de sus integrantes,
¿cuánto consume una familia de 5 personas al
mes, si una de 3 personas consume 1,5 kg?
A. 5 kg
B. 4 kg
C. 3,5 kg
D. 2,5 kg
14.El gráfico muestra cómo varían dos magnitudes
x e y. ¿En cuál de los tramos se produce una
variación directamente proporcional entre
las variables?
Unidad 5
12.Fabiola tiene 300 dulces para regalar. ¿Qué función
determina la cantidad (c) de dulces que le quedan
a Fabiola si regala 2 a cada niño (n) que encuentra?
18.Si los lados de un rectángulo aumentan
proporcionalmente en un factor k, ¿en qué
factor aumenta el área del rectángulo?
A. k
B. k 2
C. 2k
D. k
2
19.¿Cómo se mantiene constante el área de un
triángulo rectángulo si la medida de uno de sus
catetos disminuye un 50 %?
A.
B.
C.
D.
Aumentando el otro cateto en un 50 %.
Aumentando el otro cateto en un 100 %.
Aumentando el otro cateto en un 150 %.
Aumentando el otro cateto en un 200 %.
20.Dos variables son inversamente proporcionales y
su producto es 5. Si una variable toma el valor 8,
la otra toma el valor:
A. 5 8
B. 8 5
C. 40
D. No se puede determinar.
21.Dos variables son directamente proporcionales y
su cociente es 10. Si la primera toma el valor 4, la
segunda toma el valor:
A. 10 C. 40
4
B. 4 D. No se puede determinar.
10
A. Entre 0 y 1.
B. Entre 1 y 2.
C. Entre 2 y 3.
D. Entre 3 y 4.
15.Cinco albañiles construyen una obra en 30 días.
¿Cuánto hubiera demorado la construcción de la
misma obra con dos albañiles menos, al mismo
ritmo de trabajo?
A. 50 días.
B. 12 días.
22.En el siguiente gráfico se muestra la variación de
las medidas de los lados de un rectángulo,
considerando que su área permanece constante.
C. 14 días.
D. 18 días.
16.Con $ p se compran 8 volantines. ¿Qué expresión
permite calcular la cantidad de volantines que se
pueden comprar con $ r?
A. r · 8
p
p
B.
· 8
r
C. r
8
D. p
8
17. ¿Qué nombre recibe la gráfica que se relaciona
con una proporcionalidad inversa?
A. Parábola.
B. Hipérbola.
C. Recta.
D. Catenaria.
a. Si el largo del rectángulo es 12 cm, ¿cuál es la
medida de su ancho?
b. ¿Qué tipo de proporcionalidad se da entre
estas variables?
c. Calcula la constante de proporcionalidad y
explica su significado en la situación.
Unidad 5 – Álgebra
149
Evaluación de síntesis de la unidad 5
Marca la opción correcta en los ítems 1 al 13.
1. Se relaciona el perímetro de un triángulo equilátero
con la medida de uno de sus lados, mediante
la ecuación P = 3a, donde P es el perímetro del
triángulo y a la medida del lado. ¿Cuánto mide el
lado del triángulo si su perímetro es 54 cm?
A. 18 m
B. 162 m
C. 18 cm
D. 162 cm
A. 3 días.
B. 6 días.
C. {5, 9, 11, 17}
D. {7, 9, 11, 13}
4. Fabián es 5 años mayor que su hermano José. Si
denotamos por f la edad de Fabián y por j la de
José, la relación de las edades de los hermanos se
puede escribir como:
C. f = j + 5
D. j = f + 5
5. ¿Cuál de las siguientes relaciones, cuyo dominio es
el conjunto de los números naturales, corresponde
a una función?
A. A cada número del dominio se le asocian dos
números mayores que él.
B. A cada número del dominio se le asocian
todos los números menores que él.
C. A cada número del dominio se le asocian su
antecesor y sucesor.
D. A cada número del dominio se le asocia
su sucesor.
6. La tabla muestra una relación entre dos variables.
¿De qué tipo es?
A.
B.
C.
D.
150
Directamente proporcional.
Inversamente proporcional.
No proporcional.
Decrecimiento exponencial.
Unidad 5 – Álgebra
C. 18 manzanas.
D. 19 manzanas.
9. Una bandeja de huevos dura 20 días si comen
3 personas diariamente la misma cantidad cada
uno. ¿Cuántos días dura la bandeja si comen
6 personas la misma cantidad de huevos?
3. Si el dominio de la función g(x) = 2x – 1
es {3, 5, 6, 9}, su recorrido es:
A. 5f = j
B. f = 5j
20 cm de ancho y 70 cm de largo.
60 cm de ancho y 160 cm de largo.
15 cm de ancho y 40 cm de largo.
6 cm de largo y 16 cm de ancho.
A. 16 manzanas.
B. 17 manzanas.
La variable dependiente es x.
La variable independiente es y.
y está en función de x.
f es la variable independiente.
A. {1, 3, 5, 7}
B. {3, 5, 7, 9}
A.
B.
C.
D.
8. Mauricio come dos manzanas cada día. ¿Cuántas
manzanas come en 9 días?
2. En la función y = f (x) = 4x + 1, la afirmación
correcta es:
A.
B.
C.
D.
7. Felipe mandó a imprimir un dibujo de 30 cm de
ancho y 80 cm de largo. ¿Cuál de las siguientes
medidas corresponde a una reducción proporcional del dibujo?
r
s
2
1
4
2
8
4
C. 10 días.
D. 15 días.
10.Una fábrica produce juguetes en serie. Si cada
4 horas elabora 7 juguetes, ¿cuántos juguetes
puede producir en 12 horas?
A.
B.
C.
D.
28 juguetes.
21 juguetes.
Aproximadamente 20 juguetes.
14 juguetes.
11.En la pregunta anterior, si llamamos h a las horas
y j a los juguetes, la ecuación que modela la
situación es:
A. h = 7 j
4
B. 28 = j · h
C. 4h = 7j
D. 4j = 7h
12.La expresión x · y = 3 indica que:
A.
B.
C.
D.
x e y no son proporcionales.
x es directamente proporcional a y.
y es directamente proporcional a x.
x e y son inversamente proporcionales.
13.¿Qué tipo de relación muestra el gráfico?
A. Directamente
proporcional.
B. Inversamente
proporcional.
C. No proporcional.
D. De crecimiento
exponencial.
a.
b.
c.
d.
f (3) =
f( ) = 9
f (21) =
f( ) = 6
f (s)
3
4
p
10
5
b
8
6
a
10
9
q
4
0,2
1
15.A partir de la pregunta anterior, determina:
a. El dominio de la función f (s).
b. El recorrido de la función f (s).
1
2
3
Término (t)
22
24
26
4
5
a. ¿Por qué esta relación es una función?
b. Determina la variable independiente y la
variable dependiente.
c. Completa la tabla.
d. Encuentra los números de las posiciones 15,
25 y x, considerando que f (n) = 20 + 2n.
17. ¿Cuál es el dominio de la función f (x) = 5x + 1,
sabiendo que su recorrido es el conjunto
{1, 11, 21, 31}?
18.Determina para cada caso si la afirmación es
verdadera o falsa. Justifica las falsas.
a.
El tiempo que me demoro en digitar
un trabajo es inversamente proporcional a la
cantidad de páginas que se requiere digitar.
b.
El monto de la cuenta de luz es inversamente proporcional a la cantidad de energía
que se consume.
c.
El tiempo que demora un bus en hacer
su recorrido es inversamente proporcional a la
cantidad de pasajeros que transporta.
d.
20.Determina en cada caso si las variables son
inversamente proporcionales, directamente
proporcionales o si no son proporcionales.
a. 16.Considera la siguiente secuencia: 22, 24, 26, 28,
30, 32… La tabla muestra la relación entre un
término de la secuencia y el lugar que ocupa.
Ubicación en la
secuencia (n)
19.En la siguiente tabla, los valores de p y q son
inversamente proporcionales. ¿Cuál es el valor
de a + b?
s
21
La distancia que recorre un auto, a una
velocidad constante, es directamente proporcional al tiempo que se demora en recorrerla.
Unidad 5
14.Completa las siguientes igualdades considerando
los valores de la tabla:
x
y
2
c.
x
y
4
2
3
4
16
4
5
6
36
6
7
8
64
8
9
b. x
y
x
y
2
18
2
12
4
16
4
6
6
14
6
4
8
12
8
3
d.
21.Escribe, en cada caso, la ecuación que representa
la relación entre las variables. Da un ejemplo
donde podrías ocupar esta función.
a. Si a varía inversamente con b, y a = 7 cuando
b = 49.
b. Si z es directamente proporcional a x, y z = 14
cuando x = 16.
c. Si x varía inversamente con z, y x = 181 cuando
z = 9.
22.Considera que x e y son magnitudes directamente
proporcionales y responde.
a. Respecto de la tabla de valores siguiente, ¿cuál
es la constante de proporcionalidad?
x
2
6
18
y
4
12
36
b. Ahora, respecto de la siguiente tabla de valores,
¿cuáles son los valores de r y q?
x
20
45
q
y
r
7
2
Unidad 5 – Álgebra
151
Solucionario
Unidad 1 Números
Páginas 8 y 9
1. a. Un millón doscientos cincuenta y seis mil ochocientos setenta y nueve.
b. Tres millones setecientos nueve mil veintitrés.
c. Doce millones quinientos setenta y ocho mil
novecientos.
d. Ciento treinta y cuatro millones seiscientos
doce mil cuatro.
e. Seiscientos cuarenta y cinco millones
ochocientos setenta y seis mil doscientos
cuarenta y cinco.
f. Dos mil quinientos dos millones tres mil
seiscientos tres.
g. Veinticuatro mil seiscientos cincuenta y siete
millones ciento veinte mil treinta y dos.
h. Ciento setenta y seis mil ochocientos noventa
millones ciento dieciséis mil setecientos cincuenta y cuatro.
2. a. 7 354 209
e. 1 029 762 935
b. 9 204 006
f. 63 208 472 087
c. 880 830 596
g. 575 312 168 450
d. 3 494 000 007
3. a. 1 000
d. 10
b. 1 000 000
e. 10 000 000
c. 1
f. 10 000 000
4. C
5. a. 1 640 603
d. 97 084 031
b. 3 579 000
e. 4 503 200
c. 8 759 402
f. 7 090 304
6. D
7. a. >
e. <
b. <
f. =
c. >
g. <
d. >
h. >
8. a.
7 000 000
1 000 000
0
5 000 000
b.
8 000 000
2 100 000
2 000 000
2 400 000
2 300 000
2 500 000
c.
41 250 000
41 200 000
41 500 000
41 650 000
d.
14 600 000
14 500 000
152
Solucionario
15 100 000
15 000 000
15 200 000
9. a.
b.
c.
d.
10.a.
b.
c.
d.
11.a.
b.
c.
d.
e.
12.a.
b.
9 764 310
0 134 679
1 034 679
No, el resultado en d es un número de 7 cifras
mientras que el de c es de 6.
9 876 543 210
Nueve mil ochocientos setenta y seis millones
quinientos cuarenta y tres mil doscientos diez.
500 000
El 6.
1 023 456 789
Mil veintitrés millones cuatrocientos cincuenta
y seis mil setecientos ochenta y nueve.
80
El 0.
El 1.
En el Colegio Los Alerces.
En el primer número representa 60 000 y en el
segundo, 600 000.
13.a.
1 100 000
1 300 000
2 800 000
b. Argentina tiene la mayor superficie ya que al
comparar las cifras de la unidad de millón tiene
el valor más alto.
14.a. De los planetas mencionados el más lejano al Sol es Júpiter y el más cercano es Mercurio.
b. Mercurio, Venus, Tierra, Marte, Júpiter.
15.a. Por ejemplo: 1 675 761, 3 804 083, 5 976 795,
7 104 017 y 9 856 589.
b. El número pensado por Joaquín es el 1 268 621.
Páginas 10 y 11
1. B
2. B
3. 1 · 144, 2 · 72, 3 · 48, 4 · 36, 6 · 24, 8 · 18, 9 · 16, 12 · 12
4. a. 3, 6, 9, 12, 15, 18, 21
b. 8, 16, 24, 32, 40, 48, 56
c. 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63
d. 12, 24, 36, 48, 60, 72, 84
e. 14, 28, 42, 56, 70, 84, 98
f. 17, 34, 51, 68, 85, 102, 119
5. a. 1, 3, 11 y 33
b. 1, 3, 9 y 27
c. 1, 2, 4, 8, 16 y 32
d. 1, 5, 13 y 65
e. 1, 2, 3, 6, 9, 18, 27 y 54
f. 1, 2, 3, 4, 6, 8, 9, 12, 18, 24, 36 y 72
6. 1 · 64, 2 · 32, 4 · 16
2
5
9
49
75
X
864
X
180
X
315
3 780
X
26 876
X
157 902
X
X
X
X
X
X
X
X
9. B
10.23, 29, 31, 37
11.14 = 2 + 5 + 7
12.Porque todos los números pares son divisibles por 2, por lo tanto, no pueden ser números primos.
13.a. 2 · 2 · 3
e. 2 · 2 · 107
b. 5 · 17
f. 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
c. 2 · 2 · 2 · 5 · 5
g. 3 · 3 · 109
d. 2 · 2 · 2 · 73
h. 2 · 2 · 2 · 2 · 3 · 5 · 5
14.a. 3
e. 5
b. 9
f. 6
c. 8
g. 2
d. 6
h. 3
15.a. 12
d. 72
b. 24
e. 180
c. 48
f. 120
16.B
17. a. 4 arreglos florales.
b. 2 rosas, 3 tulipanes y 9 claveles.
18.a. El área máxima de cada baldosa es 2 500 cm2.
b. Sí, volverán a salir tres buses simultáneamente
a las 23:00 h.
c. 8 frascos.
19.43 y 86
20.715 y 777
21.Cuatro números menores que 100 tienen tres divisores, estos son: 4, 9, 25 y 49. Todos estos números
son cuadrados de números primos.
Páginas 12 y 13
1. a. 3 800 000
b. 16 050 000
c. 4 700 000
d. 6 450 000
2. a. 2 167 995
b. 27 244 794
c. 5 543 053
e.
f.
g.
h.
d.
e.
f.
150 000
144 000 000
24 000
360 000
1 580 043
1 103 621
2 429 207
3. a. 3 495 120
f. 3 245
b. 254 100
g. 3 600
c. 2 712 899 832
h. 1 599
d. 168 014
i. 10 316
e. 19 500
4. a. 137 400
e. 4 675 384
b. 532 631
f. 1 911 294
c. 865
g. 70 305
d. 12 425
5. C
6. A
7. 5 319 564
8. 11 658 866
9. 4 140 222
10.a. 125 755
b. 5 351 042
c. 842
11.A
12.11 044
13.A
14.C
15.C
16.1
17. Las empresas aportaron $ 5 218 355 029.
18.a. 1 200 cajas.
b. $ 1 440 000
19.a. Consumió 5 L de combustible.
b. Gastó $ 3 510 en combustible.
20.a. Laura tiene la razón ya que al considerar la prioridad en las operaciones, se obtiene el valor dicho por ella.
b. Leyó 31 500 palabras.
c. Aproximando a la centena, gastó $ 5 500.
d. 2 horas.
e. Compró 11 bebidas.
f. $ 6 980 650
g. Debe pagar $ 8 919 800.
Solucionario
7. 2 · 3 · 35, 2 · 5 · 21, 2 · 7 · 15, 3 · 5 · 14, 3 · 7 · 10, 5 · 7 · 6
8.
Páginas 14 y 15
1. a. Un tercio.
b. Cinco séptimos.
c. Ocho décimos.
d. Trece doceavos.
e. Doce centésimos.
f. Un entero seis novenos.
g. Cinco enteros treinta y cinco cuarentaidosavos.
h. Tres enteros dieciocho diecinueveavos.
2. C
Solucionario
153
Solucionario
3. a. 3 8
b. 7 6
12
c.
7
d. 15 10
4. a. 3
8
b. Dos octavos.
5. a. 31 7
25
b.
9
14.a. Mónica compró más porque la fracción 2 1
2
es mayor que 2 1 .
4
b. A Sofía le falta más.
c. A Mariana le falta menos.
d. Consumen más naranjas pues la fracción 5 es
2
mayor que las otras.
15.El 10 de los números son números primos.
29
16.El 1 de los números son divisibles por 2.
2
17. El 402 de los números son divisibles por 5. Esta
2 011
fracción es menor que 1 .
5
Páginas 16 y 17
1. a. 4 e. 7
5
5
1
b. f. 1
7
c. 17 g. 1
13
4
17
d. 1
h.
3
41
131
2. a.
d.
35
36
8
275
b. e.
3
84
c. 67 f. 55
12
4
13
3. a.
d. 0
9
b. 23 e. 7
12
4
c. 41 f. 29
15
36
e. 29
19
f. 3 1
4
15
g. 7
18
h. 2 13
1 000
c. 53
4
151
d.
19
10
15
20
Por ejemplo: ,
y .
18 27 36
Por ejemplo: 28 , 42 y 56 .
42 63 84
36
Por ejemplo: , 54 y 72 .
64 96 128
Por ejemplo: 96 , 144 y 192 .
30 45 60
6. a.
b.
c.
d.
7. A
8. a. 1 3
b. 3 4
9. C
10.a. <
b. >
c. >
d. <
11.D
12.D
13.a.
0
c. 4 3
d. 8 7
e. 14
9
11
f.
5
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
<
>
<
=
3
8
<
<
<
=
5
8
7
8
1
b.
0
1
5
11
5
3
5
13
5
2
c.
0
1
6
2
3
5
6
5
3
1
d.
0
3 7
4 8
e.
0
154
Solucionario
1
3
11 11
8 4
7
12
2
3
4
5
6
1
4. a. 7 6
61
b.
28
c. 2
d. 13 20
5. B
6. D
7. C
8. D
9. C
10.D
11.a. El lunes.
e. 3
8
f. 7
12
g. 19
15
447
h.
56
b. En total trabaja 23 5 h.
6
Solucionario
c. Verónica trabaja 17 h más el miércoles que
12
el jueves.
12.a. Hay 15 1 minutos grabados.
12
b. No, porque se demora en total 2 1 h, que es
12
mayor que 2 h.
c. En total se demoró 1 11 h.
12
d. Recorrió 2 29 km más el lunes que el martes.
72
e. La masa de la bolsa y las frutas es 7 7 kg.
12
f. Se usa 1 del tiempo en comerciales.
36
Páginas 18 y 19
1. a. 12
e. 3
10
b. 3
f. 28
3
19
c. 35
g.
2
1
d.
9
2. C
3. 2
7
4. a. 24 h. 4
7
3
b. 1
i. 3
4
55
c.
j. 9
12
4
1
d.
k. 1
14
5
1
11
e.
l.
4
2
5
f.
m. 1
2
g. 1
n. 100
7
5. A
6. a. 4
d. 3
5
1
b. e. 1
5
6
32
c.
f. 1 1
33
2
7. D
8. a. 5 d. 13
18
3
11
5
b.
e.
3
7
13
188
c.
f.
40
117
9. A
10.B
11.a. Ha leído 160 páginas.
b. Le faltan 200 páginas.
12.a. 3
8
b. 5
8
c. Le quedan 12 galletas.
13.a. Debe poner 21 L para llenar el estanque.
b. Deberá pagar $ 15 204.
14.a. 50 bolsas.
b. Tres kilogramos de pan cuestan $ 2 295.
c. Puede cortar tres trozos como máximo.
d. Le quedan $ 26 875 para gastar.
Páginas 20 y 21
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
B
C
A
C
C
C
C
8. B
9. B
10.B
11.A
12.C
13.A
14.A
15.B
16.D
17.C
18.A
19.D
20.A
21.B
22.A
23.C
24.A
25.D
26.B
27.a. Debe pagar $ 5 556 000.
b. Debe pagar $ 286 000 de interés.
28.El sueldo de Mario fue $ 214 000.
Páginas 22 y 23
1. a Dos décimos.
b. Seis centésimos.
c. Veinticuatro centésimos.
d. Un entero seis décimos.
e. Un entero treinta cinco milésimos.
f. Trece enteros siete décimos.
g. Ciento sesenta y ocho enteros nueve décimos.
h. Quince enteros trescientos cincuenta y cuatro
milésimos.
2. a. 0,6
e. 0,019
b. 0,08
f. 3,14
c. 2,005
g. 5,324
d. 13,07
3. C
4. D
5. C
6. B
7. a. <
f. <
b. <
g. <
c. <
h. >
d. >
i. <
e. =
8. C
Solucionario
155
Solucionario
9. a.
0,1
0
0,2
0,3
0,4
0,5
0,6
0,7
b.
2,3
2,7
3
3,2
3,6
c.
1
1,02 1,03
1,06
1,1
d.
5,5
6
8,5
10
10.a.
b.
c.
d.
e.
f.
11.a.
b.
c.
12.a.
b.
c.
13.a.
b.
c.
d.
e.
0,25 < 1,52 < 2,205
1,578 < 5,187 < 8,175
0,001 < 0,01 < 0,1
1,499 < 1,94 < 1,949 < 1,994
0,2509 < 0,251 < 0,25115 < 0,2512
0,169 < 0,196 < 0,691 < 0,916 < 0,961
2,34
d. 2,345
2,35
e. 2,3458
2,3
0,4
d. 3 258,0
12,587
e. 23 748,099
132,01
El más alto es Iván, y la más baja, Luciana.
Iván, Marcelo, Adriana y Luciana.
Luciana.
Marcelo.
Pablo es más bajo, ya que la parte decimal de
Pablo es 0,45 que es menor que 0,49.
14.Liliana obtuvo la nota más alta.
15.a. La mayor temperatura se registró en Osorno y la más baja fue en Punta Arenas.
b. Punta Arenas, Chillán, Curicó, Osorno.
c.
4,8
4,5
Páginas 24 y 25
1. a. 87
b. 47,4
c. 123,5
d. 3 687 400
2. a. 20,341
b. 4,1
c. 3,44
d. 0,001
e. 16,505
156
Solucionario
6,4
8,4
6,7
e.
f.
g.
h.
f.
g.
h.
i.
8,5
3 452
0,2213
180
451,45
264,692
38,252
13,617
18,14865
3. B
4. a.
b.
c.
d.
e.
f.
5. a.
b.
6. D
7. B
8. C
9. B
10.a
b.
c.
11.a.
12.a.
13.a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
3,84
0,036
1,2
20,9
44,0856
0,02
5,5
810
g.
h.
i.
j.
k.
c. 0,6
d. 0,6
81
9,275
0,068
2,76
47,277
e. 1,52
f. 66,55
62,4 minutos.
d. 18 preguntas.
52,2 minutos.
e. 6 minutos.
16 preguntas.
José es más alto.
b. 0,05 m
125 cabellos.
b. 16 m
Quedaron 3,25 L.
El promedio será 6,1.
El grosor de cada hoja es de 0,016 cm.
4 veces.
Necesita 21 bolsas.
El perímetro es 21,52 cm y el área es 25,41 cm2.
Aproximadamente 288,2 pulgadas de largo por
96,1 pulgadas de ancho.
Si se saca un 6,2 obtiene como promedio un
6,3, pero si las notas se redondean a la décima
también podría sacarse un 6,0; 6,1; 6,3 o 6,4.
Tomará 62 mg de medicamento.
Recorre 20,5 km.
1,34375 kg
6,54 m
Páginas 26 y 27
1. B
2. A
3. a. 0,2
b. 0,375
c. 0,7
d. 0,48
4. a. 1 5
b. 9 20
c. 19 10
d. 1 3
e. 2 11
e.
f.
g.
h.
f.
g.
h.
i.
j.
2,16
3,857142
1,583
3,16
136
99
4
33
217
495
7
6
11 719
495
Solucionario
Páginas 28 y 29
5.
x+y
x–y
0,9
0,5
1,585
0,835
1,26
0,06
x·y
0,14
0,45375
0,4
6. A
7. a.
b.
c.
8. a.
b.
c.
1,083
d. 1,39
0,58
e. 6,1
2,67
f. 5,3
Mariela.
Carolina.
Mariela, Andrés, Jorge, Carolina.
d. 244
25
e.
f.
g.
h.
9. a.
b.
10.a.
9,93
Jorge llegó 0,01 minutos más tarde que Andrés.
Mariela llegó 0,03 minutos antes que Andrés.
Hubo 0,213 minutos de diferencia.
Entre 0 y 1.
c. Entre 0 y 1.
Entre 1 y 2.
d. Sí.
Cociente
0,025
e.
4. a.
b.
c.
5. a.
b.
c.
6. a.
b.
c.
d.
7. a.
b.
c.
8. a.
b.
c.
9. a.
0,25
25
b.
250
c.
Producto
863
86,3
0,863
0,0863
e. 8 630 000
f. 0,0000000863
1 10 000
b. 1 000
1:6
Por cada 6 frutas en el canasto hay 1 manzana.
1:2
Por cada 2 naranjas en el canasto hay
1 plátano.
La razón entre las manzanas y naranjas.
43 : 239
62 : 45
17 : 41
10 : 9
d. 9 : 1
5 : 2
e. 1 : 5
4:5
25 %
37,5 %
Aproximadamente 71,4 %.
Aproximadamente 66,7 %.
2 %
d. 28 %
90 %
e. 40 %
35,6 %
f. 200 %
0,75
d. 1,3
0,13
e. 0,02
0,05
f. 0,053
11 d. 17
20
100
9
e. 87
20
100
3
11
f.
25
10
10.C
11.C
12.A
13.B
14.0,28
15.a. 40 %
b. $ 240 000
c. 0,6
16. 7
50
17.a. 1
20
b. 0,95
b. 2 500 000
c. 0,000000025
d.
11.a.
1. D
2. 11
14
3. a.
b.
c.
d.
c. 1 000
d.
1
1 000
18.a. 931
1 000
b. 0,069
19.a. 10 %
b. 3 %
Solucionario
157
Solucionario
Páginas 30 y 31
1. a. 15
b. 3,6
c. 200
d. Aproximadamente 7 265.
2. A
3. A
4. C
5. a. Aproximadamente 14,9 %.
b. Aproximadamente 3,06 %.
c. 0,5 %
d. 2,5 %
6. $ 26 180
7. Aproximadamente 21,8 %.
8. a. $ 247 500
b. $ 5 252 500
9. Aproximadamente $ 882.
10.Aproximadamente $ 97 701.
11.a. 854
e. 31 232
b. 42,7
f. 4,88
c. 329,4
g. 1 518,9
d. 1 830
h. 165 662,58
12.a. 41,4
f. 414 000
b. 910,8
g. 31 904,68
c. 235,52
h. 482 673,4
d. 623,76
i. 784 226,4
e. 3 174
j. 1 147 761,64
13.A
14.$ 3 125 000
15.33,3 %
16.a. 18,18 %
b. 2
11
c. 0,18
17. No, aumenta 9 veces, es decir, un 900 %.
18.a. $ 26 250
b. $ 24 938
c. Aproximadamente disminuyó un 14,3 %.
19.a. 7 dulces.
b. 86 %
c. 14 %
20.Tenía 74 490 habitantes.
21.Aproximadamente 21,8 %.
22.a. 10 %
b. Creció 6 m; aumentó un 50 %.
23.Aproximadamente aumentó un 36,56 %.
24.19,7 %
25.Aumenta un 2,9 %.
26.30
27. c
a
158
Solucionario
Páginas 32 y 33
1. a. No, los productos cruzados no son iguales.
b. No, los productos cruzados no son iguales.
c. Sí, los productos cruzados son iguales.
d. Sí, los productos cruzados son iguales.
2. x = 300
3. a. x = 100
c. x = 9
b. x = 21
d. x = 2
4. C
5. x = 3
2
6. D
7. 36 y 45
8. $ 124 800 y $ 187 200
9. Pamela aportó $ 91 000 y Carlos, $ 39 000.
10.378 cm2
11.16, 40 y 24
12.$ 13 600, $ 27 200 y $ 34 000
13.C
14.a. 20º, 90º, 70º
b. Triángulo rectángulo.
c. Triángulo escaleno.
15.a. 15 cm, 20 cm y 25 cm
b. 150 cm2
16.a. 0,5 cm
b. 52 km
17.a. 32 cm
b. Aproximadamente 73 %.
c. 225
16
18.Aproximadamente 19,9 L.
19.30 m
20.20 ingenieros.
21.B
22.180 personas.
23.Aproximadamente 20,55 m.
24.100 kg
25.684 costales.
26.Se necesitan 28 operarias más.
27.4 horas.
28.$ 4 000
29.a. 5 h
b. 10 llaves.
Páginas 34 y 35
1. 40, 23, 4, 2, 1, –12, –68, –98, –101
2.
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0 1 2 3 4 5 6
3. 20
–400
–500
2 300
0
500
1 000 1 500 2 000 2 500
c. 2 700 m
14.a. Agustín.
b. Mario.
c.
–19
2
–20
15.a.
b.
c.
16.a.
b.
17. a.
b.
c.
–75
18.a.
b.
c.
d.
–12
12
–70
–65
–60
–55
–50
–45
–40
El jueves 16 se pronosticó la temperatura más baja y el lunes 13, la más alta.
Lunes y jueves.
4, 3, 2, 0, –1, –5
–5
Páginas 36 y 37
1. 14
2. –3
3.
x
y
x–y
–2
–9
7
–21
26
12
–8
20
–60
30
–1
0
3
2
4
–6
–4
–2
6
9
–3
–11
33
2
–8
–2
–6
18
2
4.
5.
6.
7.
8.
9.
El –2.
C
D
A
D
Dividendo
Divisor
Cociente
Resto
–20
12
–2
4
36
–7
–5
1
–24
–5
5
1
–102
20
–6
18
10.a. Al final de la primera semana cada acción costó $ 1 230.
b. Luego de dos semanas, el valor de cada acción
fue de $ 810.
11.a. Cada fotografía cuadrada debe tener 6 cm
de lado.
b. El diario mural se cubre completamente con
28 fotografías.
12.El promedio de temperaturas fue de –2 ºC.
13.
2
4
–6
9
5
–23
–35
–3
29
–8
0
8
17
–11
–15
6
–4
–2
19.a.
Hora
Temperatura (ºC)
7:45
–4
8:30
–1
9:15
2
10:00
5
10:45
8
b. A las 12:15 h la temperatura era 14 ºC.
c. La temperatura máxima se registró a las 15:15 h.
d. La amplitud térmica fue de 33 ºC.
(x – y) · (–3) x : 2 + y · – 3
–14
0
–3 ºC
4 ºC
6 ºC
$ 21 000
$ 7 000
70 m bajo el nivel del mar.
7 minutos.
Solucionario
4. –1 020
5. No, todo número negativo es menor que cero.
6. Verdadero, está a la izquierda de todos ellos en la
recta numérica.
7. A
8. A
9. C
10.A
11.D
12.C
13.a. En el primer caso es 2 300, y en el segundo–400.
b.
a.
b.
c.
d.
e.
14.a.
b.
c.
d.
El número mayor es el 29.
El número menor es el –35.
El mayor número negativo es el –2.
La suma de los números del cuadrado mágico
de la izquierda es –27.
El producto de los números del cuadrado
mágico de la derecha es 0.
Obtuvo 100 puntos.
Carlos.
Tuvo 15 respuestas incorrectas.
Tuvo 7 respuestas correctas.
Solucionario
159
Solucionario
15.La suma es 0, se puede resolver sumando cada
número con su inverso aditivo hasta el 2 012.
16.El producto de los números es 0, pues el 0 se
encuentra entre –2 012 y 2 012 y todo número
multiplicado por 0, da como resultado 0.
17. El resultado es mayor que 0. Una estrategia para resolver el problema consiste en agrupar los factores
en grupos de 4 números consecutivos, partiendo
por el 1. El producto de estos 4 valores es positivo
pues en cada grupo hay 2 números negativos
y 2 positivos. Además, se cumple que el último
número de cada grupo es un múltiplo de 4. De
este modo podemos afirmar que 2 012 es el último
número de un grupo, pues 2 012 es múltiplo de 4.
Luego, al multiplicar los números de cada grupo
quedan únicamente números positivos. Por lo que
el producto final es positivo.
Páginas 38 y 39
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
C
C
B
A
B
A
D
D
C
10.B
11.C
12.A
13.D
14.B
15.B
16.D
17. D
18.A
19.B
20.C
21.B
22.B
23.B
24.B
25.A
26.B
27.a. Tuvo 9 respuestas incorrectas.
b. Obtuvo en total –9 puntos debido a
respuestas incorrectas.
c. Omitió 8 preguntas.
28.Francisco respondió incorrectamente pues al disminuir la medida del lado, lo hizo en un 40 %.
Para disminuir en un 60 % debe considerar que la
longitud final del lado está dada por: 8 – 60 · 8,
100
que es igual a 3,2. Luego, la medida del lado disminuido es 3,2 cm y el área del rectángulo es: Páginas 40 y 41
160
C
A
A
D
B
C
Solucionario
7. D
8. A
9. B
10.C
11.D
12.D
0
10 000 000
1 000 000
9 000 000
e. 9 876 210
f. El 8.
g. Un millón veintiséis mil setecientos ochenta
y nueve.
h. Representa el 6 000.
20.a. 2 · 3 · 3 · 3 · 3
b. 2 · 2 · 2 · 3 · 3 · 5
c. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 5
d. 2 · 2 · 3 · 3 · 3 · 5 · 5 · 7
21.a. Diego tiene 40 bolitas.
b. Juan tiene 30 bolitas.
c. Luis tiene 70 bolitas más que Juan.
d. Entre los tres suman 170 bolitas.
22.a. Necesita 192,8 m de alambre.
b. Le sobró 263,9 m de alambre.
23.El perímetro del rectángulo es 12,22 cm.
24.a. La razón entre mujeres y hombres es 3 : 1.
b. Hay 12 mujeres más que hombres en el curso.
c. El número de estudiantes aumentó en un 20 %
respecto del año anterior.
25.a. El precio del libro en oferta es $ 7 224.
b. Recibió $ 2 776 de vuelto.
c. Su ganancia es de $ 3 312.
26.Edgar tendrá 11 años.
27.a. 5 b. 1
c. 12
d. 22
2
28.La diferencia de goles fue de –18.
29.a. Luego de 1 h, la temperatura era –9 ºC.
b. Luego de 120 minutos, la temperatura era 0 ºC.
c. Luego de 3 h, la variación fue de 27 ºC.
Unidad 2 Números y álgebra
3,2 cm · 8 cm = 25,6 cm2.
1.
2.
3.
4.
5.
6.
19.a. Por ejemplo: 8 610 972, 9 721 068 y 9 061 872.
b. Por ejemplo: 1 207 986, 1 079 268, 1 276 809.
c. En el primer caso sería: 8 610 972 < 9 061 872
< 9 721 068.
En el segundo caso sería: 1 079 268 < 1 207 986
< 1 276 809.
d. Por ejemplo:
13.C
14.A
15.B
16.B
17.D
18.A
Páginas 44 y 45
1. a. 8 · 8 = 64
b. 6 · 6 · 6 = 216
c. 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 1 024
d. 11 · 11 · 11 · 11 = 14 641
e. 20 · 20 · 20 = 8 000
f. 100 · 100 · 100 · 100 · 100 · 100 = 1 000 000 000 000
g. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 32
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
C = Carne, P = Pollo, V = Verduras, A = Adultos, J = Juveniles, C = Cachorros
Marca 1
V
A
J
C
C
A
J
P
C
A
J
C
Marca 2
V
A
J
C
C
A
J
P
C
A
J
C
Marca 3
V
A
J
C
C
A
J
P
C
A
J
C
Solucionario
h. 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 · 2 = 128
i. 3 · 3 · 3 · 3 · 3 = 243
j. 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 · 4 = 16 384
k. 6 · 6 · 6 · 6 · 6 = 7 776
l. 8 · 8 · 8 · 8 = 4 096
m. 50 · 50 · 50 = 125 000
n. 10 · 10 · 10 · 10 = 10 000
a. 23 = 8
e. 35 = 243
b. 4 · 5 = 20
f. 4 · 10 = 40
c. 104 = 10 000
g. 54 = 625
d. 2 · 3 = 6
h. 4 · 2 = 8
C
B
B
D
30 + 31 + 32 + 33 + 34 + 35 + 36 + 37 + 38 + 39
a. 27
b. 33
c.
9. a. De 24 maneras, es decir, de 16 maneras.
b.
Pa = Pantalón azul, Pn = Pantalón negro, Zp = Zapatillas,
Z = Zapatos, Pb = Polera blanca, Pg = Polera gris, Cb = Chaleco con botones, Cs = Chaleco sin botones.
Pb
Zp
Pg
Pa
Pb
Z
Pg
Pb
Zp
Pg
Pn
Pb
Z
Pg
Cb
Cs
Cb
Cs
Cb
Cs
Cb
Cs
Cb
Cs
Cb
Cs
Cb
Cs
Cb
Cs
10.42 = 16 m2
11.93 = 729
12.1 728 casas.
13.256 almuerzos.
14.$ 78 125
15.Transcurren 10 semanas.
16.a. 128 bacterias.
c. 2n
b. 1 024 bacterias.
17. 2 048, a las 14:00 h y 1 073 741 824 a las 23:30 h.
Páginas 46 y 47
1. a. 247 · 103
d. 48 · 109
5
b. 69 · 10
e. 742 · 1010
5
c. 168 · 10
f.
364 · 1012
2. B
3. a. 3 · 102 + 5 · 101 + 4 · 100
b. 1 · 103 + 5 · 102 + 6 · 101
c. 7 · 104 + 8 · 103 + 9 · 101 + 9 · 100
d. 9 · 104 + 9 · 103 + 4 · 102 + 1 · 101
e. 1 · 105 + 1 · 104 + 1 · 103 + 1 · 102 + 1 · 101 + 1 · 100
f. 2 · 105 + 3 · 104 + 6 · 103 + 8 · 102 + 7 · 101
g. 5 · 106 + 6 · 105 + 8 · 103 + 1 · 102 + 2 · 101 + 2 · 100
h. 1 · 106 + 2 · 105 + 5 · 102
i. 1 · 107 + 7 · 106 + 6 · 105 + 3 · 104 + 4 · 101 + 3 · 100
j. 2 · 108 + 2 · 107 + 3 · 106 + 5 · 105 + 5 · 103 + 6 · 102
k. 8 · 109 + 4 · 102 + 5 · 101
l. 8 · 109 + 3 · 108 + 6 · 107 + 4 · 103 + 1 · 100
4. D
Solucionario
161
Solucionario
5. a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
6. a.
b.
c.
3 502
h. 70 500 060 100
4 300 060
i. 13 979
50 505
j. 332 101
9 800 010
k. 80 560 109
6 000 000 102
l. 85 300 310
7 036 502
m. 94 001 706
3 020 500 108
n. 109 900 909
3 · 106 + 2 · 105
5 · 105 + 4 · 104 + 5 · 103 + 9 · 100
1 · 107 + 5 · 106 + 3 · 105 + 4 · 104 + 3 · 103 + 2 ·
102 + 4 · 100
d. 9 · 108
e. 4 · 104 + 6 · 103 + 5 · 102 + 8 · 101 + 7 · 100
f. 8 · 107
7. a. 6 · 104 + 5 · 103 + 1 · 102
b. 5 · 105 + 6 · 104
c. 4 · 105 + 4 · 104
d. 5 · 105 + 6 · 102
e. 5 · 104 + 5 · 103 + 1 · 102
f. 7 · 104 + 5 · 103 + 6 · 102
8. a. 1 · 107 + 7 · 106
b. 6 · 109 + 8 · 108
9. 4 · 1013
10.A
11.D
12.D
13.a. >
c. >
e. <
b. >
d. <
f. >
14.a. La de Perú.
b. 1 100 000, 1 300 000.
15.Aproximadamente 3 · 107 + 7 · 106 + 9 · 105 + 3 · 104
+ 6 · 103 + 6 · 102 + 9 · 101 + 5 · 100 km2.
16.6 · 1024
17. 24 · 1018
18.46 · 1022
19.C
20.2 · 104 y 15 · 109, respectivamente.
3. a.
b.
c.
d.
e.
f.
4. a.
b.
c.
5. B
6. A
7. C
8. D
9. A
10.C
11.B
12.a.
b.
c.
Páginas 48 y 49
Páginas 50 y 51
1. a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
2. a.
b.
162
10 000 000 000
85 000 000
100 000
29 400
3 540 000
456 200 000 000
30
25 000 000
12 600 000
324 500
>
c. >
>
d. =
Solucionario
k. 0,5
l. 0,01
m. 7,84
n. 23,66
ñ. 35,498456
o. 0,000009
p. 0,000000005
q. 0,03587
r. 0,4561
s. 0,00000000059
e. >
f. <
13.a.
b.
14.a.
b.
c.
15.a.
b.
16.a.
b.
17. a.
b.
18.a.
b.
c.
1. a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
k.
l.
20 000 > 2 500 > 2 000
1 000 000 > 10 000 > 100
2 500 > 260 > 250
536 000 000 > 536 000 > 526 000
3 000 000 > 350 000 > 300 000
99 900 > 9 990 > 999
0,65
d. 0,62
85 000
e. 7 000 000
12 000 000
f. 18 000
10 000
100
100 000 del primer tipo de árbol y 1 000 000
del segundo. En total hay 1 100 000 hojas.
$ 53 750 000
2 · 107 + 5 · 106 + 8 · 105 + 7 · 104 + 5 · 103
8 750 000 kg
262 500 000 kg
3 202 500 000 kg, ya que 2012 es un año bisiesto.
2 · 103 + 4 · 102 cm2 = 2 400 cm2
8 · 103 cm3 = 8 000 cm3
(2 · 105 + 2 · 104) cm2 = 220 000 cm2
5 · 106 cm3 = 5 000 000 cm3
1 · 1016 = 10 000 000 000 000 000 hormigas.
75 : 102 = 0,75 mm
Los trozos de cordón rojo miden 65 m, los de cor-
dón verde 8,2 m, y los de cordón amarillo 0,94 m.
0,0094 m
Se traslada la coma a la izquierda la cantidad
de veces que indica el exponente de la potencia
de 10.
0,0032
0,064
0,0000092
0,000605
13 200 000
0,00144
125
0,0016
2 160 000 000
22 500 000
490 000 000 000
64 000 000 000
m. 33 000
n. 1
ñ. 0,504
o. 0,951
p. 0,01354
q. 0,856324
r. 6 400 000
s. 2 401 000
t. 640 000 000
u. 10 240 000
v. 21 600 000 000
w. 10 000 000
k. 1 234 · 10 –1
l. 32 425 · 10 –2
m. 4 557 · 10 –1
n. 86 045 · 10 –2
ñ. 1 000 456 · 10 –3
o. 1 235 147 · 10–3
p. 26 523 254 · 10 –4
q. 53 543 654 · 10 –4
r. 23 654 628 · 10 –3
s. 1 238 956 584 · 10 –4
25 · 10 –1
4 123 · 10 –3
558 · 10 –2
6 523 · 10 –2
5 · 10 –1
8 · 10 –1
1 · 10 –2
2 · 10 –3
1 · 10 –6
9 · 10 –5
a
b
64
10 –3
0,064
9
10 –6
0,000009
9 000 000
162
10 –2
2,56
25 600
303
10 –7
0,0027
270 000 000 000
602
10 –4
0,36
36 000 000
204
10 –5
1,6
16 000 000 000
a·b
a:b
64 000
4. a. 25 · 104
e. 4 · 101
–3
b. 27 · 10
f. 125 · 10 –3
–5
c. 144 · 10
g. 3 · 100
2
d. 4 · 10
5. a. 6 · 102 cm2
c. 12 · 101 cm
–2
2
b. 6 · 10 m
d. 12 · 10 –1 m
5
6. 2 814 · 10 cm
7. D
8. A
9. C
10.D
11.a. Para convertir kilómetros a metros se multiplica el total de kilómetros por 103.
b. Para convertir centímetros a kilómetros se
multiplica el total de centímetros por 10 –5.
12.a. 3 675 · 10 –2 m2
b. 104, el resultado quedaría como 3 675 · 10 2 cm2.
13.40 horas.
Páginas 52 y 53
1. a. 35 = 243
b. 48 = 65 536
c. 67 = 279 936
d. 131 = 13
e. 28 = 256
f. 47 = 16 384
g. 33 = 27
Solucionario
2. a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
3.
2.
a
b
a2
b2
a2 · b2 (a · b)2
3
2
9
4
36
36
5
9
25
81
2 025
2 025
3
11
9
121
1 089
1 089
2
5
4
25
100
100
3. a. 32
c. 243
e. 46 656
g. 65 536
b. 5
d. 169
f. 1
h. 1 000
5
7
4. a. 5
c. 7
e. 38
4
5
b. 4
d. 8
5. a. <
c. <
e. <
b. <
d. =
f. >
6. a. 64
c. 15 625
e. 117 649
b. 81
d. 2 985 984
7. A
8. a. 40 000
c. 7 776
b. 30 375
d. 259 308
9. a. 4 900
c. 7 776
b. 27 000
d. 13 824
10.a. 36 cm2 b. 6 · 36 cm2
c. 39 cm3
11.A
12.A
13.35 veces.
14.De 26 maneras, es decir, de 64 maneras.
15.De 34 maneras, es decir, de 81 maneras.
16.214 cm2
17. 35 cm
18.26 combinaciones, es decir, 64 combinaciones.
19.229 = 536 870 912 cm3
20.59 cm3
21.a. 4 096 cm3 = 46 cm3
b. Aumenta 43 veces.
c. Disminuye 43 veces..
22.3
23.a. 21 es 2, 22 es 4, 23 es 8, 24 es 16, 25 es 32, 26 es 64, 27 es 128 y 28 es 256.
b. Se repite la secuencia 2, 4, 8, 6 para los dígitos
de las unidades.
c. El dígito de las unidades de 217 es 2, porque 17
es 4 · 4 + 1, así que 217 tiene el mismo dígito de
las unidades que 21.
d. La unidad de 219 es 8. La unidad de 221 es 2.
La unidad de 230 es 4. La unidad de 232 es 6.
Solucionario
163
Solucionario
Páginas 54 y 55
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. A
9. A
10.B
11.C
12.D
13.B
14.C
C
A
B
C
B
B
C
15.A
16.D
17. A
18.C
19.D
20.D
21.C
22.D
23.C
24.C
25.D
26.a. 64 = 1 296 lápices.
b. 67 = 279 936 lápices.
c. 68 = 1 679 616 lápices.
Páginas 56 y 57
1. a. 32 243
b. 2 401 625
32 c.
59 049
d. 371 293 243
( )( )( )( )( )
h. 576,4801
i. 7 776
16 807
k. 125
8
e. 0,34 = 0,0081
f. 28 = 256
( )
2.
g. 47 = 16 384
a
b
a·b
a:b
0,125
0,5
0,54
0,52
0,0625
0,25
0,253
0,251
a
b
a2
b2
a2 · b 2
(a · b)2
0,3
2,4
0,09
5,76
0,5184
0,5184
0,04
0,2
0,2
0,2
7,3
5,2
53,29
27,04 1 440,9616 1 440,9616
(0,5)5
(0,25)2
0,59
0,51
2
4
5
2
4
6
3
4
1
4
25
4
3. a.
4. a.
b.
c.
d.
1 625
1
4
8
27
0,00001
0,25
3
243 16 807
( )
Solucionario
1
c.
16
625
e. 0,027
i.
0,064
f. 0,49
j.
1
32
b.
g. 0,262144
h. 0,64
5. A
6. 53 · 10 –12 m
7. a. =
c. =
e.
b. >
d. >
f.
8. 2 días.
9
9. 5 cm3
3
10.a. 1,26 m3
4
5
b. 2 · 1,2 + 2 · 1,2 + 2 · 1,23 m2
c. Aumenta 64 veces.
164
Páginas 58 y 59
4
1. a. 2 = 16 5
625
5
5
b. 2 3 = 3 125 7 · 6 10 584
8
c. 4 = 65 536 3
6 561
d. 0,56 = 0,015625
2.
( )
j. 164 206,4902
f. 457 679,4457
( )
( )
g. 2,48832
e. 1 470,08443
d. Aumenta 125 veces.
e. Aumenta 15,625 veces.
11.C
12.D
13.C
4
14.a. 1 · 20 000
c. $ 1 250
2
b. (0,5)4 · 20 000
15.a. (0,6)3 · 125 = 27 mujeres.
b. 20 hombres.
6
16.a. 3
5
b. 0,07776
c. 0,6, 0,36, 0,216, 0,1296, 0,07776
d. En el sexto término.
e. Los números seguirán disminuyendo.
1
2
3
4
5
f. Por ejemplo: 2 , 2 , 2 , 2 , 2 ...
3 3 3 3 3
g. Que la base de las potencias fuera menor que 1.
3. a. 0,00001
b. 5,3
c.
<
>
5. a.
b.
6. a.
b.
4
9
9
16
1
9
225
64
1
9
225
64
729
15 625
h. 65 536
5 764 801
d. 174,24
g.
e. 1
243 f. 16 384
1 024
9
2 6 = 64 c. 4 = 262 144
5
15 625
5
1 953 125
10
3 = 59 049
4
1 048 576
<
c. <
e. <
<
d. =
f. =
512
729
64
c.
e.
40 353 607
4 096
117 649
4 096
0,107
d. 0,00032
f.
117 649
( )
b. ( )
4. a.
h. 33 = 27
( )
27 343
d. 4 25
c.
( )
f. 0,6
( )
Páginas 60 y 61
1. a. 1 679 616
b. 3 375
c. 4 096
2.
c.
d. –2 097 152
e. –371 293
a
b
a2
b2
2
–1
4
1
16.D
17. C
18.C
e. 0,4
b. 1
8. B
9. B
2
4
10.a. 1 cm
b. 1 cm
3
3
11.Quedan 729 pulgones.
12.a. Tiene $ 33 000.
b. Tiene $ 36 300.
c. Tiene $ 48 315.
13.0,99 c 0,387 cm3
14.B
15.1,29 cm3
( 13 ) cm
6
f. 1 024
g. –81
a2 · b2 (a · b)2
4
4
4
–3
16
9
144
144
–6
7
36
49
1 764
1 764
9
–1
81
1
81
81
3. a. 16
c.
b. 125
d.
4. a. >
c.
b. >
d.
5. a. 64
c.
b. 81
d.
6. $ 8 388 606
7. 39 cm3
8. a. 55 = 3 125
b. 26 = 64
c. (–4)7 = –16 384
d. 35 = 243
9. a. 512
b. –243
c. 169
10.a. <
c.
b. <
d.
11.a. 16
b. 9
c. 9 765 625
12.a. 512
c.
6
b. 2
d.
13.29 cm
14.$ 196 830
15.B
2 197
–27
=
=
15 625
1
e.
f.
e.
f.
e.
25
–2 197
<
<
117 649
e. 28 = 256
f. –214 = –16 384
g. 34 = 81
d. 1
e. –5
f. 169
<
e. <
=
f. >
d. 1
e. –1 977 326 743
61
(–5)20
Solucionario
7. a. 16 807 32
e. (–4)4
f. (–7)5
Páginas 62 y 63
1. a. 1
e. 7
i. 20
b. 2
f. 9
j. 30
c. 3
g. 11
k. 1 000
d. 5
h. 12
l. 100
2. a. 50
e. 65
i. 130
b. 80
f. 39
j. 30
c. 9
g. 16
d. 12
h. 45
3. D
4. a. 2,24
c. 6,48
e. 2,65
b. 3,16
d. 3,46
f. 5,48
5. Aproximadamente 8,94 cm.
6. 5 m cada uno.
7. 2,82 cm
8. a. 16 cm
c. 192 cm2
b. 56 cm
9. Sí, en ambos casos el resultado es igual a 7,071,
aproximadamente.
10.Sí, como 4 < 6 < 9, se tiene que: √4 < √6 < √9,
luego 2 < √6 < 3.
11.a. 5,464
c. 5,38
b. 19,21
d. 4,29
12.a. F
d. V
f. V
b. F
e. V
g. V
c. F
13.√a · b = √a · √b
14.C
15.a. Área 6 m2
b. Necesita 24 cerámicas.
c. Cada cerámica tiene 50 cm de lado.
d. Miden 25 cm.
Páginas 64 y 65
1.
2.
3.
4.
5.
B
C
D
A
B
6. D
7. B
8. D
9. C
10.B
11.A
12.C
13.C
14.A
15.B
16.D
17. A
18.D
19.D
20.C
21.B
22.C
23.D
24.a. Alcanzó (0,9)3 m.
b. 7 saltos. En el séptimo salto la altura del rebote
es 0,97 = 0,478 m.
c. Alcanza 65,61 cm, es decir 656,1 mm.
d. 6,551 · 101 cm
6,561 · 102 mm
Solucionario
165
Solucionario
Páginas 66 y 67
1. a.
Porque al multiplicar un número por 1 se obtiene
el mismo número.
a
b
a·b
b·a
3
5
15
15
2
10
20
20
b · a, conmutativa de la multiplicación.
b.
a
b
a+b b+a
3
5
8
8
3
10
13
13
b + a, conmutativa de la adición.
c.
a
b
c
a + (b + c) (a + b) + c
3
5
7
15
15
1
10
2
13
13
(a + b) + c, asociativa de la adición.
d.
a
b
c
a · (b · c) (a · b) · c
3
5
7
105
105
6
10
2
120
120
(a · b) · c, asociativa de la multiplicación.
e.
a
b
c
a · (b+ c)
a·b+a·c
3
5
7
36
36
4
10
2
48
48
a · (b + c), distributiva de la multiplicación respecto
de la adición.
2. D
3. a.
a
b
a+b
b+a
3
1
4
4
0
10
10
10
1
5
6
6
8
0
8
8
Porque al sumar 0 a un número se obtiene el mismo número.
b.
166
a
b
a·b
b·a
3
1
3
3
1
10
10
10
0
2
0
0
8
0
0
0
Solucionario
c. Porque al multiplicar un número por 0 se
obtiene 0.
4. A
5. B
6. C
7. a. 104, propiedad conmutativa de la adición.
b. 135, propiedad conmutativa de la multiplicación.
c. 122, propiedad asociativa de la adición.
d. 270, propiedad asociativa de la multiplicación.
e. 225, propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la adición.
f. 1 350, propiedad distributiva de la multiplicación
respecto de la adición.
8. a. 4 · (60 + 3) = 4 · 60 + 4 · 3 = 240 + 12 = 252
b. (50 + 8) · 6 = 50 · 6 + 8 · 6 = 300 + 48 = 348
c. (10 + 8) · 7 = 10 · 7 + 8 · 7 = 70 + 56 = 126
d. (100 + 20) · 5 = 100 · 5 + 20 · 5 = 500 + 100 = 600
e. (70 + 1) · 8 = 70 · 8 + 1 · 8 = 560 + 8 = 568
9. a. 4
g. 15
m. 23
b. 27
h. 120
n. –3
c. 11
i. 135
ñ. 46
d. 8
j. 36
o. 21
e. 17
k. 1
p. –26
f. 48
l. 20
q –162
10.a. 0
g. 2
m. 2
b. 19
h. –16
n. 18
c. 4
i. –5
ñ. –3
d. –3
j. 4
o. –2
e. 2
k. –3
p. –8
f. 16
l. –20
q. –15
11.a. 3 g. 5 m. 13
2
6
b. 77 h. 4 n. 7
5
3
c. 23 i. 5 ñ. 113
3
8
18
13
1
71
d.
j.
o.
6
25
6
31
206
e.
k. 6
p.
15
15
8
31
f.
l. 4
q.
5
6
12.a. 2,3
g. 0,26
m. 8,6
b. 17,2
h. 0,88
n. 11,4
c. 6,2
i. 10,985
ñ. 9,14
d. 1,5
j. 1,21
o. 2,1
e. 2,4
k. 2,308
p. 3,6
f. 8,8
l. 8,462
q. 1,328
Páginas 68 y 69
1. a. 3
c. 4,18
e. 16
b. 14
d. 0
f. 40
2. a. 6d
e. –cd
i. 24x
b. 5b
f. 2xyz
j. y
c. x
g. 11a
k. 24f
d. 4ab
h. 4b
l. 0
3. a. s + s + s + s + s – s
b. d + d – d – d – d
c. x + x + x + x + y + y
d. h + h + h – j – j – j – j
e. a + a + a – c – c + a
4. a. –x – y
g. am + an
b. –x + y
h. 3a + 15
4
4
c. –2x – 2y
i. 3a2 – 2ab + ac
d. –2x + 2y
j. –12t + 24s
e. 6 – 2x – 2y
k. –16x – 12y
f. 6 – 2x + 2y
l. –10s + 15k
5. a. 2x, 5y, 5x, y, 5
d. a3, a 2, 3a, 3
b. 4xy, 7yx, 6xy
e. a , 2a 2, 2a , a 4
2
c. 3ab, 2a , 4ba, 3b
f. tr, t 2r, tr 2, rt
6. a. Son equivalentes. g. Son equivalentes.
b. Son equivalentes. h. No son equivalentes.
c. No son equivalentes. i. Son equivalentes.
d. Son equivalentes. j. No son equivalentes.
e. No son equivalentes. k. No son equivalentes.
f. Son equivalentes. l. Son equivalentes.
7. a. No se puede.
d. No se puede.
b. Se puede.
e. Se puede.
c. Se puede.
8. a. Multiplicarlo por b2.
b. Multiplicarlo por x 5y2.
c. Multiplicarlo por c.
9. a. 6a + 4b
Solucionario
13.a. 1,75
g. 1,725
m. 14,9
b. 17
h. 9,2
n. 5,1
c. 8,3
i. 2,109375
ñ. 10,54
d. 3,05
j. 1
o. 14,25
e. 4,3
k. 4
p. 8,6
f. 8
l. 13,3
q. 4,2
14.a. 9
c. 4
e. 16
b. 25
d. 4
f. 9
15.Se obtienen los mismos resultados que en el ejercicio 14.
16.(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
j. 2xy + 3x + y
b. 6d + 18b
k. 6ab 2 + 3ab – 2a 2b
c. 10h – 3t – 8
e. 27a 2 + 9a
l. c 3b + 2c 3 + b 3c
m. 2b – 4a
5
n. –2,2h + 6h2
f. h5 + 20h
ñ. 9,5ab 2 – 3a 2b
d. 4b + 2b 2
g. 7a + 5b
h.
i.
10.a.
b.
11.C
12.D
13.A
14.D
o. 6df – 2,7
2s + 19t
p. – 2x –2y + 2
5
7ab + 2
q. 2k –3h – 1
3
Por ejemplo: 12a.
c. Por ejemplo: 2(a + b – c).
Por ejemplo: 4(z – 2). d. Por ejemplo: s(t + r + v).
Páginas 70 y 71
1. a. a – 3 · 5
e. 2x
b. 2(a + 8)
f. 3x
c. x + 17
g. 2x + 10
d. x – x 2. B
3. a.
b.
4. a.
b.
5. B
6. a.
4
i. 3x
5
2
j. x + 80
4
k. (3x + 15) – 2x
h. 3x – 4
4x + 480 + 200 = 2 000
El precio de un helado.
x + 9, x – 6.
x + 9 + x – 6 + x = 51
2x + x = 10
3
b. x + 6 = 7y
c. 4x – x – 3 = x + 4
5
4
1
000
x
d.
=
x
7
7. 5x – 2x = 105
8. B
9. a. a + b + c + d
10.a.
b. 2x + 4y
d. Multiplicarlo por t .
s
e. No es necesario hacerle ningún cambio.
Solucionario
167
Solucionario
b.
Figura
1
2
3
4
5
Cantidad de
segmentos
7
12
17
22
27
Fórmula
7
7+5
7 + 10 7 + 15 7 + 20
11.a. x + 820 = 1 190
2
4
b. 599x = 1 399x + 796
0,5
1,5
1
1
n
c.
+ +
n– n + 1 + 1 +1=n
2
2 2 2
2 2
12
d. a – 5 =
–3
2
e. 2p – 1 500 = p + 1 000
f. g = 2p, 21 = 2g + 3p (o bien 21 = 4p + 3p)
g. a + (a – 3) + (a – 3 – 1) = 100
( (
))
Páginas 72 y 73
1. a. No es una ecuación.
b. Es una ecuación y tiene una incógnita.
c. No es una ecuación.
d. No es una ecuación.
e. Es una ecuación y tiene una incógnita.
f. Es una ecuación y tiene dos incógnitas.
2. a. Grado: 2, incógnita: x.
b. Grado: 1, incógnita: z.
c. Grado: 4, incógnita: y.
d. Grado: 2, incógnita: x.
e. Grado: 1, incógnita: j.
f. Grado: 1, incógnita: j.
3. a. 0
c. 7
e. 0
b. 0
d. 0
f. 0
4. a. 40
d. 50
g. 0
b. 9
e. –40
h. 1
c. –50
f. 225
5. a. No es solución.
d. No es solución.
b. Es solución.
e. No es solución.
c. Es solución.
f. No es solución.
6. a. 12
c. –6
e. –4
b. –20
d. –3
f. 1
7. a. 20
m. 3
b. 15
n. 10
c. 18
ñ. 13
11
d. –46
o. 14
e. –95
p. 0
f. 12
q. 5
g. 12
r. 5
h. 0
s. 14
5
168
Solucionario
i.
j.
k.
l.
t.
u.
v.
w.
–58
–13
3
– 70 3
Se cumple para
cualquier valor de x.
5
4
2
8. a. x + x – (2x + 8) = 0 d. 3x + 5x – 2x = 24
2
x = –16
x=4
9
x
b. 2x – = e. n + n + 1 = 35
2 6
x = 1
n = 17
c. x + x – 2x + 1 = 0
3
5
x = –3
10
9. a. 480
b. $ 1 470
c. 13,95 cm2
d. 2 461,76 cm2
e. 14 mujeres, 7 hombres y 21 niños.
f. En la primera sala había 47 personas y en la
segunda, 27.
10.B
11.A
12.C
(
Páginas 74 y 75
1. C
7. A
2. B
8. C
3. B
9. D
4. B
10.D
5. C
11.D
6. B
12.B
)
13.C
14.B
15.A
16.C
17. C
18.D
19.B
20.B
21.D
22.C
23.A
24.C
25.B
26.B
27.C
28.C
7. A
8. D
9. C
10.B
11.A
12.C
13.A
29.a. 3n + 2 – 2n + 1
b. 23, 73, 227
Páginas 76 y 77
1. C
2. D
3. C
4. D
5. C
6. A
14.a. 12,167
c. 850,3056
256
b.
d. 3 125
625
243
15.a. 86 040
c. 3 401 608
b. 752 000
d. 283 104
16.a. 5 · 104 + 7 · 103 + 8 · 102 + 3 · 101
b. 6 · 106 + 1 · 105 + 2 · 104 + 8 · 101
c. 9 · 105 + 3 · 103 + 4 · 102 + 7 · 101 + 2 · 100
d. 1 · 106 + 3 · 103 + 7 · 102 + 8 · 101 + 5 · 100
17.a. 820
c. 340 000
b. 720
d. 0,25
Solucionario
18.a. 125 · 10 –2 c. 7 · 10–4
e. 34 · 10–5
b. 5 823 · 10–3 d. 4 · 10–2
f. 9 · 10–6
4
19.a. 64 = 1 296 d. 0,84 = 0,4096
7
2 401
9
b. 29 = 512 e. 48 = 65 536
5
1 953 125
7
c. 47 = 16 384 f. 97 = 4 782 979
9
4 782 969
20.a. Por los caramelos de anís debe pagar $ 2 340, $ 23 400 por los de miel y $ 234 000 por los de fruta.
b. Obtiene 2,5 kg de coco rallado, 12,5 kg de
chocolate y 15 kg de canela molida.
21.a. c = 13
c. a = 18
b. b = 20
d. b = 8
7
22.Hubo 3 flores, o sea, 2 187.
23.a. 320
d. 5m + 25 – 15
b. 0
e. d + d + d + d + d
c. 13z
f. d · d · d · d
24.a. 7a + 4b
d. 6b + 9b 2
b. 4d + 8b
e. 12a 2 + 7a
c. 11h – 7t – 5
f. 3xy + 6x + 3y
25.a. Hay 16 caramelos de miel y 32 de menta.
b. Los números son 24, 25 y 26.
Páginas 82 y 83
1. a. α = 60º
b. α = 35º; β = 130º; γ = 85º
c. α = γ = б = 35º; β = 25º; ε = 155º
d. α = 40º; β = 80º
2. D
3. a. 720º
c. 9 lados.
e. 13 lados.
b. 135º
d. 12 lados.
f. 108º
4. a. x = 70º
c. x = 60º
b. x = 20º
d. x = 24º
5. a. Aproximadamente 51,4º.
b. 20º
c. 50º, 70º, 90º y 150º
6. D
7. a. No, porque no resulta un número entero para el número de lados.
b. Un cuadrilátero o un pentágono.
8. a. Los ángulos superiores miden 125º y los
inferiores 55º.
b. Tres trozos más.
c. 105º, 105º y 75º
d. 170º
e. Uno de los ángulos es del triángulo y el otro, su
suplemento, por ejemplo: 50º y 130º.
Unidad 3 Geometría
Páginas 80 y 81
1. a. Por ejemplo: α y λ; β y γ.
b. Por ejemplo: α y λ; ε y δ.
c. Sí, son ángulos correspondientes entre paralelas.
d. λ = 110º
e. Por ejemplo: δ
f. β = 60º y δ = 120º
2. a. α = β = 42,5º
b. x = 25º
c. x = y = 140º
3. a. β = 115º
d. α = 40º; β = 140º
b. α = 135º
e. α = 90º
c. α = 50º; β = 40º
f. α = 70º
4. C
5. B
6. a. β = δ = 30º
b. α = 100º
c. 55º y 125º
d. Rectángulo isósceles.
e. 98º
f. 40º o 140º
g. No es correcto, el 2º ángulo debe medir 108º.
f.
α = 18º, β = 54º
Páginas 84 y 85
1. a.
3 cm
4 cm
5 cm
b.
c.
3,5 cm
3,5 cm
5 cm
Solucionario
169
Solucionario
d. No, porque para poder construir un triángulo
la suma de las longitudes de los lados menores
debe ser mayor al lado de mayor longitud y
eso no se cumple con los segmentos dados.
e. La suma de las longitudes de dos de los segmentos debe ser siempre mayor a la longitud
del tercero.
f. 2 cm, 3 cm y 5 cm, no se puede porque el
triángulo no tendría superficie.
2. a. No, con esos segmentos solo se puede dibujar un triángulo.
b.
b. El punto de intersección de las alturas
se llama ortocentro.
C
H
4 cm
A
5 cm
B
6 cm
80º
c. El punto de intersección se encuentra fuera
del triángulo.
70º
C
30º
c. Sí, por ejemplo uno que tenga los mismos
ángulos pero los lados más pequeños.
B
A
80º
H
70º
d. El punto de intersección es el centro de la
circunferencia circunscrita al triángulo.
30º
d. Con tres lados dados se puede construir un
solo triángulo o ninguno, con tres ángulos
dados, que sumen 180º, se pueden construir
infinitos triángulos.
2 cm
e.
A
30º
50º
C
O
C
C
f.
2 cm
A
30º
B
4 cm
e. El punto de intersección de las transversales de
gravedad se llama baricentro.
C
3. a. El punto de intersección es el centro de la
circunferencia inscrita en el triángulo.
G
C
A
I
A
170
B
A
B
Solucionario
B
B
Solucionario
4. a. y b.En un triángulo equilátero todos sus
elementos secundarios coinciden.
b.
B
C
O
A
108º
A
5 cm
B
c.
c. En el primer caso los elementos secundarios
coinciden, pero si se usan los otros lados los
elementos no coinciden.
5. a.
A
B
d.
45º
C
b. 6 triángulos.
6. D
7. A
e.
8. a. En el punto de intersección de las simetrales del triángulo, cuyos vértices son los poblados.
b. En el punto de intersección de las transversales
de gravedad del triángulo.
c. El punto de intersección de las bisectrices
del triángulo.
f. 8 lados.
135º
Páginas 86 y 87
1. a.
B’
B
B
135º
O
50º
O
A
O’
A
A’
g. Bisecando primero un ángulo de 90º y luego
uno de los de 45º.
B’
O’
A’
22,5º
Solucionario
171
Solucionario
D
h.
A
i.
C
arcos con centro en B y C, y radio AB para
determinar el punto D. La recta que contiene a
B y D es paralela a la dada.
135º
45º
B
B
A
C
c. Igual a la construcción anterior, pero el punto
B debe estar a 4 cm de la recta que pasa por el
punto A.
C
135º
D
d. A
j.
22,5º
22,5º
B
A
45º
e.
45º
4 cm
B
4 cm
B
A
C
45º
f. Se obtiene un rectángulo.
k. Es un rombo.
4 cm
4 cm
4 cm
4 cm
135º
2. a.
g. Se obtiene un trapecio.
B
135º
A
45º
5 cm
h. Dos cuadrados de lado 4 cm.
b. Dada una recta cualquiera, se dibujan los
puntos A y B, uno perteneciente a la recta y el
otro no. Luego, con el compás centrado en A,
se traza un arco de circunferencia que contenga a B. La intersección entre el arco y la recta
corresponde al punto C. Finalmente, se trazan
172
Solucionario
D
E
C
A
F
B
Solucionario
i.
g. Por ejemplo.
A
B
C
D
D
C
3 cm
3. a. Por ejemplo:
A
B
A
B
AB = 5 cm
2 cm
h.
D
E
5 cm
b.
D
40º
A
3 cm
C
60º
140º
B
5 cm
4 cm
C
c.
8 cm
D
40º
5 cm
B
B
i.
A
40º
C
4,5 cm
d. Los otros ángulos miden 140º.
D
2 cm
C
A
D
AD = 5 cm
A
40º
5 cm
j. Por ejemplo.
B
D
B
2,5 cm C
e. 10 cm
A
C
A
D
A
D
k. No, para que sea un paralelogramo sus
ángulos contiguos deben sumar 180º.
B
f.
5 cm
8 cm
6 cm
C
B
Solucionario
173
Solucionario
l.
Podría ser construyendo un
triángulo equilátero.
D
E
60º
C
F
60º
60º
A
5 cm
B
D
m.
C
ED = 4 cm
A
60º
E
120º
b. Podría dibujar un segmento que represente los
18 m y construir la simetral, que determinará
dos puntos, uno sobre y uno bajo el segmento
y a la misma distancia de él, puntos que representan los otros vértices del rombo.
c. Trazar el segmento AC, formando un ángulo
agudo con AB, que corresponde al largo del
terreno. Luego, en el segmento AC realizar tres
divisiones iguales, con una longitud arbitraria.
De este modo se forman los puntos D, E y F.
Unir el punto F con el extremo B del largo del
terreno y, a partir del segmento FB, trazar dos
rectas paralelas que contengan a D y E.
La intersección de estas paralelas con el largo
(los puntos G y H ) forman puntos que dividen
el largo en tres partes iguales.
B
AB = 8 cm
60º
60º
6 cm
ñ. El perímetro aumenta al doble y el área
aumenta al cuádruple.
174
Solucionario
E
F
C
d. Se dibuja un segmento y su simetral. Se escoge
un punto C en la simetral y se trazan rectas
desde los extremos del segmento hasta el
punto C.
e. Construyendo seis triángulos equilateros
congruentes.
f. Con un compás hecho con un cordel puede
construir dos pares de segmentos paralelos,
formando un paralelogramo.
g. La construcción del triángulo y el cuadrado se
muestra en la siguiente figura:
3 cm
6 cm
4. a. La cuadratura del círculo, la duplicación del cubo y la trisección de un ángulo.
b. Está matemáticamente demostrado que no
pueden construirse con regla y compás.
5. a. Primero traza un segmento de 60 cm. Luego, en un extremo dibuja una perpendicular, puede usar un compás de pizarra, sobre ella copia los 60 cm. Repite estos pasos al otro extremo del segmento.
B
H
D
n. Otro triángulo equilátero, de lado 3 cm y un
trapecio isósceles.
60º
G
A
Páginas 88 y 89
1. a.
2. a.
Solucionario
b.
7. C
8. a. Falso, se requiere un eje de simetría.
b. Falso, se requiere conocer también el centro
de rotación.
c. Falso, se mantiene forma y tamaño.
d. Verdadero.
e. Verdadero.
f. Falso. La distancia desde cualquier punto de una
figura al eje de simetría es igual a la distancia
desde la imagen de ese punto al eje.
C
9. a.
B’
B
b.
A
C’
3. a.
A’
O
C’
C
A’
A
B
B’
b .
D
C
A
B
P
A’
b. El eje de simetría es una recta que contiene al
punto A.
c. Una traslación cuyo vector es perpendicular
a las rectas L1 y L2 y cuyo tamaño es el doble
que la distancia entre L1 y L2.
d. Una rotación en 15º en sentido antihorario con
el mismo centro.
10.a. Una reflexión.
b. Una rotación.
c. Una traslación.
C'
11.a.
A'
D’
B
A
B’
c.
C’
C’
b.
4 cm
36º
A’
7 cm
B’
C
B
4. B
5. B
6. C
B'
C
A
A’’
C’’
B’’
Solucionario
175
Solucionario
c. Una traslación.
c. No, porque sus ángulos interiores no son
divisores de 360º.
d. Sí, porque al yuxtaponerlos la suma de los
ángulos que concurren a un vértice es 360º.
e. Sí, la teselación que se forma es la siguiente.
Páginas 90 y 91
1. Las figuras a. y c. no pueden teselar el plano porque
quedan espacios sin cubrir. En el caso de las figuras
b. y d., utilizando transformaciones isométricas, se
pueden forman figuras que teselan.
2. C
3. a. Sí, porque cada ángulo interior del octágono mide 135º de modo que con 2 octágonos y un cuadrado que concurran a un vértice se obtienen 360º.
b. No, porque no se podría construir un octágono
regular que combinara con los lados del rectángulo.
4. a. La figura pintada se refleja, considerando como eje de simetría una recta horizontal que contenga al vértice inferior del triángulo. Luego, la imagen resultante se traslada hacia la derecha y hacia abajo, cubriendo el plano.
b. La figura pintada se rota en 60º, en sentido
horario considerando como centro de rotación
el centro del hexágono. Luego, la imagen
resultante se traslada hacia la derecha y hacia
abajo, cubriendo el plano.
c. La figura pintada se rota en 180º y con centro
de rotación en el vértice derecho del hexágono.
Luego, se refleja tomando como eje la recta
vertical que pasa por el centro del hexágono.
Finalmente se refleja, tomando como eje de
simetría el lado inferior de cada hexágono,
cubriendo así el plano.
5. a. Semirregular.
b. Regular.
6. Sí, si se traslada la figura, la suma de los ángulos
que concurren a un vértice es 360º.
7. a. 30 baldosas grises.
b. 5 baldosas verdes.
c. Se necesitan 4x + 2 baldosas grises.
8. D
9. a. Un hexágono regular.
b. Dos.
f. Sí, porque con las dos figuras se puede formar
un romboide y con él se puede teselar el plano.
B’
A’
C
A
Páginas 92 y 93
1. 75 cm2
2. a. a = 9 cm
b. A = 1,92 m2
c. l = 4 cm
3. a. 12 cm2
c. 21,6 cm2
2
b. 48 cm
d. 87,75 cm2
2
2
4. a. 9 cm y 56,25 cm
b. 1 : 6,25
c. La razón entre las áreas es el cuadrado de la
razón entre los lados.
5. a. 12,5 cm
b. Las áreas son iguales.
D
C
A
B
D
A
176
Solucionario
108º
B
72º
C’
D’
B’
A’
c. El área del triángulo es la mitad del área
del rectángulo.
R
C
B
P
Q
Páginas 94 y 95
1. A
6. D
2. D
7. C
3. D
8. C
4. B
9. D
5. D
10.C
11.D
12.B
13.D
14.D
15.C
16.C
17. B
18.B
19.D
20.D
21.a. Dodecaedros regulares, hexágonos regulares
y cuadrados.
b. Semirregular, porque está compuesta por más
de un polígono regular.
c. Sí, la figura muestra aquellos ejes de simetría
representativos.
d. Sí, por ejemplo, el centro del dodecaedro como centro de rotación y un ángulo de 60º.
Páginas 96 y 97
1. a. h = 5 m
b. h = √193 m
c. c1 = √21 m
d. c1 = √24 m
e.
f.
g.
h.
Solucionario
d. El largo del rectángulo de mayor área es el
doble que el largo del otro.
e. Las áreas entre el cuadrado menor y mayor
están en la razón 1 : 4.
f. Cualquier par de números positivos tales que
su suma sea 22, por ejemplo: 10 cm y 12 cm.
g. Cualquier par de números positivos tales que su
producto sea 36, por ejemplo: 9 cm y 4 cm.
6. a. 18 cm2
c. 45 cm2
b. 28 cm2
7. a. 114,5x 2
b. 5,5x
8. B
9. 44 cm2
10.C
11.a. 300 m2
c. 3 cartulinas.
b. 2,8 m2
d. 525 ladrillos.
12.75 cm2
13.a. 24 cuadrados.
b. 384 cm2
14.a. Su lado mide 5 cm y su área, 25 cm2.
b. Por ejemplo: uno de 3 cm de ancho y 7 cm
de largo. Su área es 21 cm2, y otro de 4 cm de
ancho y 6 cm de largo. Su área es 24 cm2. Las
áreas de los rectángulos son menores que la
del cuadrado.
h = √34 m
c1 = 6 m
h = 13 m
c1 = √48 m
2. a. Sí
e. Sí
b. Sí
f. Sí
c. No
g. Sí
d. No
h. Sí
3. A = 24 m2
4. a. √50 cm
d. √50 cm
b. √369 cm
e. 48 cm
c. √39 cm
5. D
6. a. Camina aproximadamente 38 m menos.
b. A 100 km.
2
c. A = 3 · √27 cm; A = a · 3 · a cm
2
4
d. Aproximadamente a 3,3 m.
e. Aproximadamente 21,2 m.
f. 320 cm
g. Juan tiene razón si el otro cateto mide 10,5 cm.
7. B
8. El hexágono regular. Su área sería de 75 √3 cm2.
2
9. a. 486 cm2
c. 22 m2
b. 9 cm2
d. 21 cm2
2
10.a. 330 cm
b. 46 cm
c. 12 + √18 cm
d. Aproximadamente 10,38 cm2.
√
Páginas 98 y 99
1. a. 1 350 cm3
b. 2 m
c. 1 000 000 cm3
d. 250 cubos.
e. 90 m3
f. 200 cm3
2. C
3. a. 110 cm2
b. 2 200 cm3
c. 1 980 cm3
4. a. 150 000 veces.
b. 4 m
5. D
6. a. 190 cm2
b. 132 cm2
c. 204 cm2
7. a. 27 m2
b. 92 cubos.
d. 6 930 g
e. 1 020 cm2
c. 60 dados.
d. 640 m3
d. 5,6 m2
e. 6 cm
Solucionario
177
Solucionario
c.
d.
e.
f.
g.
h.
i.
j.
1 600 cm2
607,5 cm3
No, faltan 182 cm2.
3 650 cm2
$ 3 000
12 000 cm3
3 200 L
V = 351 cm3, A = 414 cm2
Páginas 100 y 101
1. a. 48 cm3
b. 1 000 cm3
c. Aproximadamente 41,6 m3.
d. Aproximadamente 366,7 cm3.
e. 80 cm3
2. B
3. a. 2 579 115 m3
b. 139 293 m2
4. a. Aproximadamente 32 cm.
b. Aproximadamente 6 144 cm3.
c. Aproximadamente 2 208 cm2.
5. 6 cm
6. a. 6 cm
b. 9 cm
c. Aproximadamente 167,2 cm2.
d. 52 cm3
e. 12 cm
7. D
8. a. 200 g
b. 224 cm2
c. 512 cm3
d. 8 cm
e. Aproximadamente 141 667 cm3.
f. Es el triple.
g. 24 pirámides.
h. 5 400 cm3
i. 88 cm de alambre y 336 cm2 de papel.
Páginas 102 y 103
1. a. Una circunferencia.
b. Círculo.
2. C
3. a. El segmento GF.
d.
b. El segmento HI.
e.
c. El segmento EO.
f.
4. A
5. a. 37,68 cm
b.
6. a. Aumenta al doble.
b. Disminuye a la mitad.
7. 214,72 cm2
178
Solucionario
=
El arco FG.
La recta CD.
La recta AB.
62,8 cm
8. a.
b.
9. a.
b.
10.a.
b.
11.a.
b.
c.
d.
12.a.
b.
13.A
14.a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
28,26 m
c. 4,71 m
12,56 m
78,5 cm2
c. 45,3416 cm2
2
706,5 m
d. 153,86 m2
Es 4 veces mayor.
Es 9 veces mayor.
Aproximadamente 5,05 cm.
Aproximadamente 0,798 m.
Aproximadamente 8 cm.
Aproximadamente 1,2 m.
109,76 cm2
c. 3 420,5 m2
2
150,72 cm
Aproximadamente 34 cm.
Aproximadamente 200 cm.
418,7 cm2
66,4424 m2
57 cm2
20 cm
Aproximadamente 25,12 cm2.
Páginas 104 y 105
1. a. Los volúmenes están en la razón 4 : 1.
b. 636,4 cm3
c. 113,04 cm2
d. 314 cm3
2. B
3. a. 508,68 cm3
c. Sí, una.
b. 169,68 cm3
4. a. 16π cm
b. 30 cm
c. Aproximadamente 27 318 cm3.
d. Aproximadamente 36,3 cm.
e. 10 vasos.
5. a. largo = 2πr
b. ancho = h
6. A
7. a. Falso, esta relación se cumple para el volumen del cono.
b. Falso, la generatriz es el radio del manto.
c. Verdadero.
d. Falso, es igual a longitud de la
circunferencia basal.
e. Falso, es un sector circular cuyo radio es
la generatriz.
f. Verdadero.
g. Falso, se cuadriplica.
8. a. generatriz = 5 cm, área del manto = 60 cm2, área total = 108 cm2 y volumen = 48 cm3.
b. altura = 24 cm, área del manto = 525 cm2,
área total = 672 cm2 y volumen = 1 176 cm3.
Páginas 106 y 107
1. C
9. A
2. D
10.A
3. A
11.B
4. C
12.C
5. B
13.A
6. D
14.C
7. C
15.B
8. B
16.C
21.a. 14 m
17. B
18.D
19.B
20.B
1. B
2. C
3. B
c. Ha aumentado la cantidad de mujeres y de
hombres que realizan deporte.
d. Las mujeres.
e. Se observa la tendencia de la cantidad de
hombres y de mujeres que realizan deporte a lo largo de los años.
3. a.
Consumo de alcohol y tabaco
el último mes
70,0 %
60,0 %
50,0 %
40,0 %
30,0 %
20,0 %
10,0 %
Alcohol
Tabaco
7. C
8. C
9. C
20 cm
f. 31,4 cm, 78,5 cm2
90 cm2
g. 384 cm3
α = 80º y β = 50º
h. 125,6 cm3
α = 102º y β = 78º i. 72 + 8 · √3 cm2
Los ángulos son 15º, 15º, 165º y 165º.
1 256 m
4 cm
.26 minutos
70º o 110º
135º
f.
g.
h.
i.
Unidad 4 Datos y azar
Páginas 112 y 113
1. a. 30
b. 25
c. Voleibol.
2,5 m
25 cm
7 397 cm3
93,4 cm2
2004
Año
2006
2008
b.
Consumo de alcohol y tabaco
el último mes
80,0 %
60,0 %
40,0 %
Alcohol
20,0 %
Tabaco
2000
11.a.
b.
c.
d.
e.
2002
b. 18,49 m
4. D
5. D
6. B
10.a.
b.
c.
d.
e.
d. Tenis.
e. Hombres.
f. No, los hombres prefieren el fútbol mientras
que las mujeres prefieren el voleibol.
2. a. Disminuyó la cantidad de hombres que
realizan deporte.
b. Aumentó la cantidad de mujeres que
realizan deporte.
2000
Páginas 108 y 109
Solucionario
c. radio = √99 cm, área del manto = 54 · √99 cm2, área
total = 297 + 54√99 cm2 y volumen = 1 485 cm3.
d. altura = 12 cm, generatriz = 13 cm, área del
manto = 195 cm2 y área total = 270 cm2.
e. generatriz = 10 cm, área del manto = 240 cm2,
área total = 432 cm2 y volumen = 384 cm3.
f. radio = √32 cm, área del manto = 18 · √32 cm2,
área total = 96 + 18 · √32 cm2 y volumen = 64 cm3.
9. a. Aproximadamente 406,8 cm2.
b. Se necesitan 140 litros de pintura.
c. 0,55107 m3
d. Aproximadamente 468,4 kg.
e. Rosa usa 430 cm3 menos de cera.
f. 50,24 cm3
g. El que tiene el doble del ancho.
2002
2004
Año
2006
2008
c. Alcohol.
d. Ha disminuido el porcentaje de personas
que consumen tabaco.
e. Entre el año 2000 y 2002, y entre el 2004
y 2006.
4. D
5. B
6. C
Solucionario
179
Solucionario
7. a.
b.
Preferencias de comida
Cantidad de alumnos
Notas bajo 4 en los cursos
8º A y 8º B
4
3
2
Rápida
8º A
0
Vegetariana
23 %
1
Casera
8º B
1
2
3
4
Notas bajo 4
5
4. a.
Grupo de edad
Porcentaje
Ángulo
0 – 14 años
25,7 %
92,52°
15 – 59 años
62,9 %
226,44°
60 años y más
11,4 %
41,04°
b. En el 8° A.
c. En el 8° B.
d. En ambos cursos hay igual cantidad de
alumnos con más de dos notas bajo 4.
Páginas 114 y 115
1. a. 120
b. 25
c. 79,17 %
d. 20,83 %
e. 75°
2. a. El partido B.
b.
Partido
b.
Población por grupos de edad, Censo 2002
11,40 %
25,70 %
0 - 14 años
Votos
Porcentaje
Grados
A
180
30 %
108°
B
210
35 %
126°
C
72
12 %
43,2°
D
138
23 %
82,8°
3. a.
180
49 %
28 %
15 - 59 años
62,90 %
60 años y más
5. C
6. D
7. a. Por ejemplo:
Medio de transporte Total estudiantes
Tipo de comida
Porcentaje
Ángulo
Rápida
49 %
176,4°
Vegetariana
23 %
82,8°
Casera
28 %
100,8°
Solucionario
Público
11
Automóvil
14
Caminando
4
Transporte escolar
2
Otros
1
Solucionario
f.
b.
Alumnos y alumnas de 8º básico
Transporte utilizado por los estudiantes
3%
6%
33 %
34 %
Público
13 %
Automóvil
Mujeres
67 %
Hombres
Caminando
44 %
Transporte
escolar
Otros
c. Automóvil.
d. Transporte escolar.
8. a.
Estudiantes que no realizan deporte
70 %
Páginas 116 y 117
1. a. Un gráfico de barras múltiples, porque se podrían representar las temperaturas máximas y mínimas a la vez, para cada ciudad.
b. La temperatura máxima, la temperatura
mínima y la ciudad.
c. La variable independiente es la ciudad y las
variables dependientes son la temperatura
máxima y la temperatura mínima.
d. Se quiere observar la relación entre las
temperaturas máximas y mínimas, y la ciudad.
e.
Hombres
Mujeres
30 %
ºC
25
Temperaturas máximas y mínimas
registradas en distintas ciudades
20
15
10
b.
Estudiantes que practican fútbol
5
Iq
ui
qu
e
An
to
fa
ga
s ta
La
Se
re
na
Va
lp
ar
aís
Co
o
nc
ep
ció
Pu
n
nt
aA
re
na
s
0
18 %
Mujeres
82 %
Hombres
c. No, porque el gráfico circular solo permite
graficar los porcentajes de las categorías de
una variable, y en este caso se quieren graficar
dos; las preferencias de los hombres y las
preferencias de las mujeres.
d. Un gráfico de barras múltiples.
e. Los estudiantes que realizan básquetbol, tenis,
voleibol, etc.
Tº máxima
Tº mínima
f. No, porque un grafico circular se utiliza para
representar los porcentajes correspondientes
a las distintas categorías de una variable, y en
este caso hay más de una.
g. En Punta Arenas.
h. En Iquique.
i. En Concepción.
j. En Antofagasta.
k. Por ejemplo: en Concepción y Punta Arenas se
registró una temperatura mínima menor a 5 °C.
Solo en Iquique se registró una temperatura
superior a los 20 °C.
La temperatura mínima registrada en La Serena
es superior a la temperatura máxima registrada
en Punta Arenas.
Solucionario
181
Solucionario
l. Un gráfico de líneas, porque permite analizar
cómo cambia la temperatura en las distintas
ciudades.
Variación de temperatura
Iq
ui
qu
e
An
to
fa
ga
s ta
La
Se
re
na
Va
lp
ar
aís
o
Co
nc
ep
ció
Pu
n
nt
aA
re
na
s
14
12
10
8
6
4
2
0
ºC
2.
3.
4.
5.
B
C
D
a. Quiere analizar cómo cambia la cantidad de inasistencias según el mes del año.
b. Un gráfico de líneas.
c.
Cantidad de inasistencias
Inasistencias del primer semestre
Cantidad de Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
mascotas absoluta acumulada relativa acumulada
1
3
3
0,214
0,214
2
4
7
0,286
0,5
3
1
8
0,071
0,571
4
6
14
0,429
b.
c.
d.
e.
f.
2. a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
h.
30
20
Nota
15
10
5
0
Solucionario
1
28,6 %
50 %
57,1 %
2,71
4
5
17
5
32
0,3125
0,8438
4
El 16 % de los alumnos que faltaron a clases
tuvieron a lo más 3 inasistencias.
3. a.
25
Marzo
Abril
Mayo
Junio
Julio
d. A medida que avanza el semestre se producen
más inasistencias.
e. Por ejemplo, a que en el invierno se dan
enfermedades respiratorias que generalmente
afectan más a los niños, y por esta razón podrían producirse más inasistencias.
f. 78
g. 39
6. C
7. a. El sexo y el curso.
b. Mujeres.
c. El tercer gráfico.
d. El gráfico de barras múltiples.
e. Hay 18 mujeres y 18 hombres.
f. Hay 22 hombres y 18 mujeres.
182
Páginas 118 y 119
1. a.
Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
absoluta acumulada relativa acumulada
[1, 2)
1
1
0,010
0,010
[2, 3)
5
6
0,052
0,062
[3, 4)
21
27
0,216
0,278
[4, 5)
33
60
0,340
0,618
[5, 6)
25
85
0,258
0,876
[6, 7]
12
97
0,124
b.
c.
d.
e.
f.
g.
1
27
60
12
87,6 %
72,16 %
EL 8º A y el 8º B tienen 32 alumnos, y el 8º C
tiene 33.
4. A
5. D
6. a. 35,7
d.
Nº de Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
calzado absoluta acumulada relativa acumulada
[31, 34)
3
3
0,2
0,2
[34, 37)
6
9
0,4
0,6
[37, 40)
6
15
0,4
c. 9
d. 6
7. a.
1
e. 26,7 %
f. 86,7 %
Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
absoluta acumulada relativa acumulada
Altura
[143, 148)
4
4
0,125
0,125
[148, 153)
10
14
0,313
0,438
[153, 158)
9
23
0,281
0,719
[158, 163)
9
32
0,281
1
b. [148, 153)
c. 9
d. 14
e. 12,5 %
f. 59,4 %
Páginas 120 y 121
1. a.
b.
c.
2. a.
b.
c.
d.
e.
f.
3. a.
b.
c.
8
d. 12,1
11,5
e. 11,5
12,1
f. 8
5
5,86
4
5
La mediana, ya que el promedio se ve muy
afectado por valores extremos, y en el caso de
Jorge se observa que un día encestó 12 veces,
mientras que el resto de los días no encestó
más de 5 veces.
Raúl, porque Jorge encestó 4 veces o menos el
50 % de las veces, mientras que Raúl encestó
hasta 5 veces el 50 % de las veces. Además, el
promedio de veces que encestó Raúl fue 5,86,
mientras que el promedio de veces que encestó Jorge fue 5.
674,14
670
751
Puntaje Marca Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
PSU
de clase absoluta acumulada relativa acumulada
(400, 500]
450
4
4
0,114
0,114
(500, 600]
550
6
10
0,171
0,285
(600, 700]
650
8
18
0,229
0,514
(700, 800]
750
15
33
0,429
0,943
(800, 900]
850
2
35
0,057
e.
f.
g.
4. a.
b.
c.
d.
e.
1
664,29
693,75
735
105
86
7,17
8,75
Por ejemplo:
Personas
Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
nacidas
absoluta acumulada relativa acumulada
por mes
[8, 11)
1
1
0,083
0,083
[11, 14)
2
3
0,167
0,25
[14, 17)
4
7
0,333
0,583
[17, 20)
3
10
0,25
0,833
[20, 23)
2
12
0,167
1
f. 16
5. a. 5,8
b. No, se debe a que el promedio de las dos
notas nuevas también es 5,8.
6. a. 7
b. 7
7.
Edad
Marca Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
de clase absoluta acumulada relativa acumulada
[0, 10)
5
3
3
0,097
0,097
[10, 20)
15
6
9
0,194
0,291
[20, 30)
25
7
16
0,225
0,516
[30, 40)
35
12
28
0,387
0,903
[40, 50)
45
3
31
0,097
1
8. D
9. C
10.D
Solucionario
183
Solucionario
b.
Solucionario
184
Solucionario
c. No se parecen a los promedios del curso
completo. La muestra no es representativa ya
que incluye al hombre y a la mujer con mayor
estatura del curso, por lo que el promedio será
mucho mayor que el del curso entero.
d. Sí importa. Si el tamaño de la muestra es muy
pequeño es poco probable que contenga a
individuos con todas las características que
incluye la población. Por ejemplo, en esta situación una muestra muy pequeña puede que no
incluya a todas las masas y estaturas que hay en
el curso.
10.B
11.D
Páginas 124 y 125
1.
2.
3.
4.
5.
6. D
7. C
8. B
9. D
10.B
D
D
B
C
C
11.B
12.D
13.A
14.D
15.C
16.C
17. A
18.C
19.A
20.a.
Intervalo Marca Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
de edades de clase absoluta acumulada relativa acumulada
[0, 10)
5
8
8
0,267
0,267
[10, 20)
15
11
19
0,367
0,634
[20, 30)
25
7
26
0,233
0,867
[30, 40)
35
3
29
0,1
0,967
[40, 50)
45
1
30
0,033
1
b. 14,29
c. 16,36
d. 17,7
e.
Cantidad de personas por grupo de edad
12
Frecuencia absoluta
Páginas 122 y 123
1. a. Muestra.
c. Población.
b. Población.
d. Población.
2. a. Muestra.
d. Población.
b. Población.
e. Muestra.
c. Muestra.
f. Muestra.
3. a. La hora de la llamada no es la más adecuada, ya que se perdería información de las personas que no contesten el teléfono.
b. La muestra no es representativa ya que la
mayoría de las personas que se encuentran en
la estación de trenes probablemente usan ese
transporte con mayor frecuencia.
c. La muestra no es representativa ya que se debieran considerar alumnos de todos los cursos.
d. La muestra no es representativa ya que también
se debieran considerar hombres en la muestra.
e. Se debieran considerar personas de edades
mayores ya que la mayoría de los jóvenes no
tienen mucho conocimiento de automóviles.
f. Se debiera considerar una muestra de personas
de mayor edad, ya que la mayoría de los niños
no sabe en qué le gustaría trabajar en el futuro.
4. a. En la muestra se debieran considerar las
mismas cantidades de estudiantes de cada curso del colegio.
b. La muestra debiera incluir a personas de
ambos sexos, de todas las edades y de todas
las regiones del país.
5. a. 67,7 kg
c. 67,5 kg
b. 165 cm
d. 167 cm
6. a. 65,3 kg
b. Sí, es cercano al promedio del curso completo.
Es representativa la muestra ya que incluye a
hombres y mujeres, de distintas masas y estaturas.
7. a. 157,6 cm
b. No, no se parece al promedio del curso completo. La muestra no es representativa ya que
no incluye hombres, y la estatura cambia entre
hombres y mujeres.
8. a. 157,5 cm
b. 62 kg
c. No se parecen a los promedios del curso
completo. La muestra no es representativa ya
que incluye al hombre y a la mujer con menor
estatura del curso, por lo que el promedio será
mucho menor que el del curso entero.
9. a. 173,5 cm
b. 78 kg
10
8
6
4
2
0
Edad
[0, 10) [10, 20) [20, 30) [30, 40) [40, 50)
Porcentajes de personas según grupos de edad
10,0 %
23,3 %
3,3 %
e.
f.
g.
4. a.
b.
26,7 %
[0, 10)
36,7 %
[10, 20)
[20, 30)
[30, 40)
c.
d.
[40, 50)
Páginas 126 y 127
1. a. Ω = {CC, CS, SC, SS}
#Ω = 4
b. Ω = {22, 25, 28, 52, 55, 58, 82, 85, 88}
#Ω = 9
c. Ω = {(blanco, rojo), (blanco, verde), (blanco,
amarillo), (blanco, azul), (negro, rojo), (negro,
verde), (negro, amarillo), (negro, azul)}
#Ω = 8
d. Ω = {(carne, arroz), (carne, puré), (carne, tallarines),
(carne, papas fritas), (pescado, arroz), (pescado,
puré), (pescado, tallarines), (pescado, papas fritas), (cerdo, arroz), (cerdo, puré), (cerdo, tallarines),
(cerdo, papas fritas)}
#Ω = 12
e. Ω = {(azul, azul), (azul, blanca), (azul, roja), (blanca,
azul), (blanca, blanca), (blanca, roja), (roja, azul),
(roja, blanca), (roja, roja)}
#Ω = 9
f. Ω = {(1, C), (2, C), (3, C), (4, C), (5, C), (6, C), (1, S),
(2, S), (3, S), (4, S), (5, S), (6, S)}
#Ω = 12
2. a. {(1, 1), (1, 3), (1, 5), (2, 2), (2, 4), (2, 6), (3, 1), (3, 3), (3, 5), (4, 2), (4, 4), (4, 6), (5, 1), (5, 3), (5, 5), (6, 2), (6, 4), (6, 6)}
b. {(C, 1), (C, 3), (C, 5)}
c. {(azul, roja), (verde, roja), (blanca, roja)}
d. {(p, a), (p, e), (p, i), (p, o), (p, u)}
e. {(S, S, S), (S, S, C), (S, C, S), (C, S, S), (S, C, C),
(C, S, C), (C, C, S)}
f. {(1, 5), (2, 4), (3, 3), (4, 2), (5, 1)}
3. a. 12
b. {(C, 2), (C, 4), (C, 6)}
c. {(S, 1), (S, 2), (S, 3)}
d. {(C, 3), (C, 4), (C, 5), (C, 6), (S, 3), (S, 4), (S, 5), (S, 6)}
e.
f.
g.
5. a.
b.
Solucionario
f.
Obtener un sello y un número menor que 2.
Obtener un número menor que 7.
Obtener 2 sellos.
18
{(zanahoria, carne de vacuno, arroz), (zanahoria, pescado, arroz), (zanahoria, pollo, arroz),
(zanahoria, carne de vacuno, puré), (zanahoria,
pescado, puré), (zanahoria, pollo, puré)}
{(zanahoria, pescado, arroz), (zanahoria,
pescado, puré)}
{(zanahoria, carne de vacuno, arroz), (zanahoria, pescado, arroz), (zanahoria, pollo, arroz),
(zanahoria, carne de vacuno, puré), (zanahoria,
pescado, puré), (zanahoria, pollo, puré)}
{(zanahoria, pescado, arroz), (zanahoria,
pescado, puré)}
{(tomate, carne de vacuno, arroz), (tomate,
pescado, arroz), (tomate, pollo, arroz), (tomate,
carne de vacuno, puré), (tomate, pescado,
puré), (tomate, pollo, puré), (lechuga, carne de
vacuno, arroz), (lechuga, pescado, arroz), (lechuga,
pollo, arroz), (lechuga, carne de vacuno, puré),
(lechuga, pescado, puré), (lechuga, pollo, puré)}
{(tomate, pescado, arroz), (tomate, pollo, arroz),
(tomate, pescado, puré), (tomate, pollo, puré),
(lechuga, pescado, arroz), (lechuga, pollo,
arroz), (lechuga, pescado, puré), (lechuga, pollo,
puré), (zanahoria, pescado, arroz), (zanahoria,
pollo, arroz), (zanahoria, pescado, puré), (zanahoria, pollo, puré)}
{2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
{1, 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, 12, 15, 16, 18, 20, 24, 25, 30,
36}
{par, impar}
c.
6. B
7. D
8. B
9. B
10.B
11.a. 10
b. {(Javiera, Consuelo), (Javiera, Constanza),
(Javiera, Gabriel), (Javiera, Santiago), (Consuelo,
Constanza), (Consuelo, Gabriel), (Consuelo,
Santiago), (Constanza, Gabriel), (Constanza,
Santiago), (Gabriel, Santiago)}
c. {(Javiera, Constanza), (Consuelo, Constanza),
(Constanza, Santiago), (Constanza, Gabriel)}
d. {(Javiera, Consuelo), (Javiera, Santiago),
(Consuelo, Santiago)}
Solucionario
185
Solucionario
e.
f.
12.a.
b.
c.
d.
e.
f.
Los delegados elegidos son hombres.
Salen elegidos Javiera y un hombre.
6
{(Javiera, Gabriel), (Javiera, Santiago),
(Consuelo, Gabriel), (Consuelo, Santiago),
(Constanza, Gabriel), (Constanza, Santiago)}
{(Javiera, Gabriel), (Consuelo, Gabriel),
(Constanza, Gabriel)}
{(Consuelo, Gabriel), (Consuelo, Santiago),
(Constanza, Gabriel), (Constanza, Santiago)}
Santiago es elegido delegado de pastoral.
Consuelo es elegida delegada de pastoral.
Páginas 128 y 129
1. a. De dos formas; (2, 4) y (4, 2). Su probabilidad es 0,06.
b. {(1, 4), (2, 3), (3, 2), (4, 1)}
0,11
c. {(1, 1), (1, 2), (1, 3), (1, 4), (1, 5), (2, 1), (2, 2), (2, 3),
(2, 4), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (4, 1), (4, 2), (5, 1)}
0,417
d. {(1, 2), (1, 4), (1, 6), (2, 1), (2, 3), (2, 5),(3, 2), (3, 4),
(3, 6), (4, 1), (4, 3), (4, 5), (5, 2), (5, 4), (5, 6), (6, 1), (6, 3), (6, 5)}
0,5
e. {(1, 3), (1, 4), (1, 5), (1, 6), (2, 2), (2, 3), (2, 4), (2, 5),
(2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4), (3, 5), (3, 6), (4, 1), (4, 2), (4, 3), (4, 4), (4, 5), (4, 6), (5, 1), (5, 2), (5, 3), (5, 4), (5, 5), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
0,917
f. {(1, 3), (1, 6), (2, 3), (2, 6), (3, 1), (3, 2), (3, 3), (3, 4),
(3, 5), (3, 6), (4, 3), (4, 6), (5, 3), (5, 6), (6, 1), (6, 2), (6, 3), (6, 4), (6, 5), (6, 6)}
0,556
2. a. Ω = {CCCC, CCCS, CCSC, CSCC, SCCC, CCSS, CSCS, CSSC, SCSC, SCCS, SSCC, CSSS, SCSS, SSCS, SSSC, SSSS}
b. 0,0625
c. Sí, porque todos los elementos tienen igual
probabilidad.
d. Ω = {0, 1, 2, 3, 4}
e. P (0) = 0,0625, P (1) = 0,25, P (2) = 0,375,
P (3) = 0,25, P (4) = 0,0625.
f. No, porque los elementos tienen distintas
probabilidades.
g. 0,6875
h. 0,6875
186
Solucionario
3. a. Blanca
Blanca Negra Verde
Negra
Azul
Blanca Negra Verde
Verde
Blanca Negra Verde
Azul
Azul
Azul
Blanca Negra Verde
Azul
b. 0,0625
c. 0,25
d. 0,25
4. a.
Picas
Corazones
Picas Corazones Diamantes Tréboles
Picas Corazones Diamantes Tréboles
Diamantes
Tréboles
Picas Corazones Diamantes Tréboles
b. 0,0625
c. 0,375
5. a. 40
b. 0,1
6. C
7. 0,055
8. C
9. C
10.B
11.a. 0,47
b. 0,306
12.a. 0,07
b. 0,33
c. 0,67
Picas Corazones Diamantes Tréboles
d. 0,23
c. 0,8
c. 0,417
e. 0,944
d. 0,722
d. 9
e. 0,33
f. 0,33
Páginas 130 y 131
1. a. Seguro.
b. Probable.
c. Seguro.
d. Probable.
e. Probable.
2. a. Probable.
e. Seguro.
b. Imposible.
f. Imposible.
c. Probable.
g. Imposible.
d. Probable.
3. Por ejemplo: en el lanzamiento de una moneda,
salen menos de dos caras.
En el lanzamiento de un dado sale un número
mayor que 0.
Solucionario
4. Por ejemplo: en el lanzamiento de una moneda,
sale un sello.
En el lanzamiento de un dado sale un número
mayor que 2.
5. Por ejemplo: en el lanzamiento de una moneda,
salen tres caras.
En el lanzamiento de un dado sale un número
mayor que 17.
6. a. Por ejemplo: suceso seguro: Camila obtiene una nota inferior a 8.
Suceso probable: Camila obtiene más de 4 en la prueba.
Suceso imposible: Camila obtiene una nota
negativa.
b. Por ejemplo: suceso seguro: se obtiene un
número de un dígito.
Suceso probable: se obtiene un 2.
Suceso imposible: se obtiene un 27.
c. Por ejemplo: suceso seguro: se obtiene una
cara o un sello.
Suceso probable: se obtiene una cara.
Suceso imposible: se obtienen 3 sellos.
d. Por ejemplo: suceso seguro: la suma de los
valores obtenidos es mayor que 1.
Suceso probable: la suma de los valores obtenidos es 2.
Suceso imposible: el producto de los valores
obtenidos es 32.
e. Por ejemplo: suceso seguro: se obtienen
menos de 4 caras.
Suceso probable: se obtienen 2 caras.
Suceso imposible: se obtienen más de 4 sellos.
f. Por ejemplo: suceso seguro: no se extrae una bolita amarilla.
Suceso probable: no se extrae una bolita verde.
Suceso imposible: se extrae una bolita azul.
g. Por ejemplo: suceso seguro: se obtiene a lo
más un sello.
Suceso probable: se obtiene un 3 y un sello.
Suceso imposible: se obtienen 2 sellos.
h. Por ejemplo: suceso seguro: se elige al menos
una mujer.
Suceso probable: se eligen 2 mujeres y un hombre.
Suceso imposible: se eligen 3 hombres.
i. Por ejemplo: suceso seguro: no se elige el negro.
Suceso probable: se elige el rojo.
Suceso imposible: se elige el verde.
j. Por ejemplo: suceso seguro: no se eligen
2 letras iguales.
Suceso probable: se elige una L y una O.
Suceso imposible: se eligen 2 letras S.
k. Por ejemplo: suceso seguro: la suma de los
valores obtenidos es mayor que 3.
Suceso probable: la suma de los valores obtenidos es 11.
Suceso imposible: la suma de los valores obtenidos es 7.
7. a. Seguro.
d. Probable.
b. Probable.
e. Imposible.
c. Imposible.
8. a. Probable.
f. Muy probable.
b. Poco probable.
g. Poco probable.
c. Imposible.
h. Probable.
d. Poco probable.
i. Seguro.
e. Probable.
9. D
10.B
11.A
12.A
13.a. Poco probable.
d. Probable.
b. Muy probable.
e. Poco probable.
c. Imposible.
14.a. Relleno
Relleno
Relleno
Total
de manjar de frutilla de menta
Chocolate
amargo
6
2
2
10
Chocolate
dulce
10
10
10
30
Total
16
12
12
40
b. 0,15
c. 0,3
d. 0,25
15.D
Páginas 132 y 133
1. a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
Equiprobables.
Equiprobables.
No equiprobables.
No equiprobables.
No equiprobables.
No equiprobables.
Equiprobables.
Solucionario
187
Solucionario
2. Por ejemplo:
1
2
3
4
5
6
10 veces
2
2
1
1
1
3
20 veces
3
2
2
4
5
4
40 veces
8
6
6
7
5
8
50 veces
9
8
9
7
8
9
a. Para los 50 lanzamientos.
b. 0,1
c. 0,66
3. A partir de la solución del ejercicio anterior:
Resultado
4.
5.
6.
7.
Frecuencia Frecuencia relativa
relativa
acumulada
1
0,18
0,18
2
0,16
0,34
3
0,18
0,52
4
0,14
0,66
5
0,16
0,82
6
0,18
1
a. 0,14
b. 0,18, la frecuencia relativa del resultado 6.
c. 0,52, la frecuencia relativa acumulada del
resultado 3.
d. 0,66, la frecuencia relativa acumulada del
resultado 4.
e. 0,48
f. 0,66
Por ejemplo:
a. 0,1
c. 0,1
b. 0,33
d. 0,2
B
C
a. 0,00409
b. 0,50389
c. 0,03882
Páginas 134 y 135
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
188
D
C
A
B
B
D
C
A
Solucionario
9. B
10.B
11.D
12.D
13.B
14.C
15.B
16.A
17. C
18.C
19.C
20.D
21.a.
b.
c.
22.a.
b.
c.
d. 0,75
e. 0,5
12
0,667
0,083
0,25
0,344
0,109
d. 0,656
e. 0,688
f. 0,766
Páginas 136 y 137
1. A
2. C
3. D
4. B
5. C
6. B
7. A
8. B
9. D
10.a.
b.
La mayoría está en desacuerdo con que los partidos del campeonato nacional se transmitan
por un solo canal de señal abierta.
A solo una muestra de la población, ya que es
muy costoso acceder a todas las personas de
un país.
11.Obtendría una muestra de jóvenes con edades
entre 18 y 29 años, de todas las regiones de Chile.
12.a.
Masa
Marca Frecuencia F. absoluta Frecuencia F. relativa
de clase absoluta acumulada relativa acumulada
[40, 50)
45
4
4
0,0635
0,0635
[50, 60)
55
16
20
0,2540
0,3175
[60, 70)
65
32
52
0,5079
0,8254
[70, 80)
75
8
60
0,1270
0,9524
[80, 90)
85
3
63
0,0476
b.
c.
d.
e.
13.a.
1
11
f. 88,89 %
63
g. 63,4 kg
25,4 %
h. 64 kg
82,54 %
i. 63,59 kg
Por ejemplo:
Seguro: no se extrae una bolita negra.
Imposible: se extrae una bolita amarilla.
b. Por ejemplo:
Seguro: no se extrae una carta de trébol roja.
Imposible: se extraen dos reyes de corazones.
c. Por ejemplo: seguro: la suma de los valores de
las bolitas es menor que 41.
Imposible: la suma de los valores de las bolitas
es 53.
14.10 bolitas amarillas.
15.a. 390
c. 0,0077
b. 0,051
Ω = {2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12}
11
(1, 1), (1, 2), (2, 1).
0,3733
0,7467
0,8667
0,7533
Unidad 5 Álgebra
Páginas 140 y 141
1. a. Variables: días de marzo y ventas. Sus unidades son los días y pesos, respectivamente.
b. Variables: tiempo y velocidad. Sus unidades
son las horas (h) y kilómetros por hora (km/h),
respectivamente.
c. Variables: pan y dinero. Sus unidades son los
kilogramos (kg) y los pesos ($), respectivamente.
d. Variables: X e Y.
2. a.
a
–8
0,5
b
–4
0,25
13
6,5
14
7
b. b = a
2
c. Por ejemplo, se puede relacionar los lados de
una cancha de juegos, donde un lado mida la
mitad del otro.
3. a.
x
y
2
–1
4
1
7
4
10
7
b. x = y + 3
c. x = 15
4. a. • y = 3
25
• x = 25
b. • y = –26
• x = 29
3
5. B
6. a. y = – x 2
b. x = y – 7
Solucionario
16.a.
b.
c.
d.
e.
f.
g.
e. y = 2x
f. x = 8y
3
g. x = y – 5
c. x = 12 – y
d. y = 2x 3
7. C
8. a. Que Alejandro tiene un año y medio más de edad que Andrés.
b. Por ejemplo:
a
h
25
23,5
30,5
29
42,5
41
50
9. A
10.a.
b.
c.
11.B
12.a.
48,5
Los ingresos son $ 980 000.
Asistieron 220 espectadores.
El precio de la entrada a la obra de teatro.
a = P
c. 9 cm
4
28 cm.
Número de diagonales.
d=n–3
n=d+3
b.
13.a.
b.
c.
14.B
15.a. 25 personas.
b. Personas Bancos
7
2
9
3
11
4
c. p = 3 + 2b
16.A
Páginas 142 y 143
1. a. Dos; a y b.
b. a es la variable dependiente, ya que su valor
cambia según el valor que tome b.
c. La variable a está en función de la variable b.
2. a. Los valores de x, es decir: 1, 2, 3 y 4.
b. Los valores de y, es decir: 3, 5 y 7.
c. 7
d. No.
Solucionario
189
Solucionario
3. a.
b.
4. a.
b.
No es función.
Sí es función.
Si c = d – 21 decimos que c está en función de d, en símbolos c = f (d ) o f (d ) = d – 21.
Si x = 3y – 15 decimos que x está en función
de y, en símbolos x = f (y) o f (y) = 3y – 15.
c. Si z = 9v decimos que z está en función de v,
en símbolos z = f (v) o f (v) = 9v.
5. a. r = f (t) = 2t – 5
b. v = f (x) = 3x + 24
c. z = f (w) = 5 – w
Páginas 144 y 145
1. a.
2.
3.
4.
d. m = f (n) = 5(n – 1)
3
8.
9.
Hay tres variables: las variables independientes son las notas en la prueba (np) y en la tarea grupal (nt), y la variable dependiente es la nota final (nf ).
Solucionario
1
2
Cristián
600
800
1 000 1 200 1 400
Belén
400
600
800 1 000 1 200
3
4
5
b. No, porque la razón entre el dinero que llevan
cada mes no es constante.
B
D
a. 20 d. 460
3
49
b. 16 e. 78
9
41
c. 3
f. 4
19
a. 2
e. 10
b. 7,5
f. 8
c. 6
g. 75
d. 2,5
h. 138
5
A
a. Se puede escribir a = 4 b o b = 5 a.
5
4
3
2
b. Se puede escribir z = x o x = z.
2
3
c. Se puede escribir r = 36s o s = 1 r.
36
D
Ganancias de don Pedro por huevos a $ 110
7 000
6 000
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58
Cantidad de huevos
31
18
9, 11, 13, 15, 17
b. nf = np + nt
2
190
6.
7.
7 000
Ganancias de don Pedro por huevos a $ 100
6 000
Pesos
15.B
16.a.
b.
c.
17. B
18.a.
5.
Pesos
e. x = f (y) = –3y – 2
4
f. a = f (b) = 2b + 1
6. A
7. a. Es función.
c. No es función.
b. Es función.
d. No es función.
8. a. {0, 7, 21, 49, 63}
c. {8}
b. {3, 1, –3, –11, –15}
d. {–15, –12, –6, 6, 12}
9. a. El conjunto de los números enteros entre
0 y 70, ambos incluidos.
b. {–300, –150, 0, 150, 300, ... , 10 200}
c. 3 chocolates.
d. El dinero que gastó Andrea en hacer los
chocolates.
10.D
11.a. {14, 16, 18, 20, 22}
b. {7, 8, 9, 10, 11}
12.A
13.a. c = f (t) = 10t
b. El dominio es el conjunto de los números que
están entre 0 y 3 600, ambos incluidos.
El recorrido es el conjunto de los números que
están entre 0 y 36 000, ambos incluidos.
14.A
Mes
5 000
4 000
3 000
2 000
1 000
0
1 4 7 10 13 16 19 22 25 28 31 34 37 40 43 46 49 52 55 58
Cantidad de huevos
10.a. Las variables son los litros de bencina y la distancia.
b. La variable independiente es la bencina (b) y la
variable dependiente es la distancia (d ).
c. La constante es 11.
d. d = 11b
e. 22 km, 121 km, 330 km y 550 km,
respectivamente.
f. • 1 L
• 20 L
• 1 L
• 7 L
11
11
11.B
12.C
13.a.
b
a
b. z =
216
x
ox=
216
c. y =
100
x
o x =
100
36
on=
36
d. m =
8.
n
z
y
m
x
4
2
21
8
2
45
32
y
1
6
7
1
12
15
1
48
9. a.
b
t(m2)
1 600
0,25
4 000
0,1
Ganancia
10
1 500
15
2 250
400
1
20
3 000
200
2
30
4 500
e. Juan vendió 160 helados.
Páginas 146 y 147
1. C
2. a. 72 5
b. 24
c. 24 5
d. 72
3. C
4. a. 8 7
b. 4 21
5. a. 20
b. 55 6
c. 100
6. B
7. a. a = 20 o b = 20
Helados vendidos
b. Si denotamos por g a las ganancias y por h a
los helados obtenemos la función g = 150h.
c. 150
d. k es el precio de cada helado.
e. 3,6
f. 0,96
g. 0,8
h.
8
115
c. 7
3
d. 1
63
d. 11
e. 4
f. 2
Solucionario
b. ��������������������������������������������
Se obtienen más ganancias al vender los huevos de $ 110, por ende, la inclinación es mayor.
b. b =
c.
d.
10.C
11.a.
b.
c.
400
t
10 000 baldosas.
$ 750 000
30 sillas.
50 filas.
Si llamamos s a la cantidad de sillas en cada
fila y f a la cantidad de filas, una función que
relaciona las variables es s = 600 .
f
12.6 horas.
13.a. Por ejemplo, kilómetros recorridos y horas manejando, a una rapidez constante.
b. Por ejemplo, cantidad de obreros y horas que
se demoran en terminar un mismo trabajo.
c. Por ejemplo, la masa de una persona y
su edad.
14.a. Varía de manera inversamente proporcional.
b.
Capacidad del
envase (cm3)
Cantidad de
envases
50
1 200
500
120
250
240
10
6 000
Solucionario
191
Solucionario
c. 60 000
d. k son los litros de jugo de manzana que se
produjeron.
e. 600 envases.
f. 1 200 cm3
c. F, esta relación no es proporcional ya que la
cantidad de pasajeros no debiera afectar al
tiempo que se demore el recorrido.
d. V
19.12
20.a. No proporcional.
b. No proporcional.
c. No proporcional.
d. Inversamente proporcional.
21.a. a · b = 343. Por ejemplo: Si una persona quiere repartir 343 frutas, se puede relacionar la cantidad de personas a las que se le reparte la fruta y cantidad de fruta que le toca a cada persona.
b. 14x = 16z. Por ejemplo: Si se necesitan 7 kg de
8
harina para hacer un pastel, se puede relacionar
Páginas 148 y 149
1.
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8. B
9. A
10.D
11.D
12.C
13.D
14.A
A
C
D
B
B
B
D
15.A
16.A
17. B
18.B
19.B
20.A
21.B
22.a. 2 cm
b. Proporcionalidad inversa.
c. La constante es 24 y se refiere al área
del rectángulo.
la cantidad de harina que se necesita para
hacer una cierta cantidad de pasteles.
c. xz = 1 629. Por ejemplo, se pueden relacionar
las medidas de los lados de un rectángulo de
área igual a 1 629 cm2.
Páginas 150 y 151
1.
2.
3.
4.
5.
6. A
7. C
8. C
9. C
10.B
C
C
C
C
D
14.a.
b.
15.a.
b.
16.a.
b.
11.D
12.D
13.A
22.a. 1
2
b. r = 28 , q = 90
9
7
4
c. 1
0,2
d. 8
{0,2, 3, 8, 21}
{1, 4, 6, 9}
Por que cada elemento del dominio tiene una sola imagen.
La variable dependiente es t, y la independiente
es n.
c.
Ubicación en la
secuencia (n)
1
2
3
4
5
6
Término (t)
22
24
26
28
30
32
d. f (15) = 50, f (25) = 70, f (x) = 20 + 2x.
17. {0, 2, 4, 6}
18.a. F, es directamente proporcional, ya que mientras más páginas haya que digitar, más tiempo tomará hacerlo.
b. F, es directamente proporcional, ya que mientras
más energía se consuma, más cara será la cuenta.
192
Solucionario