Olga Saiz Maregatti Viktor Blumenthal Gottlieb GUÍA dIdÁctIcA dEL docEntE Profesora de Matemática
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GUÍA dIdÁctIcA dEL docEntE
Olga Saiz Maregatti
Profesora de Matemática
Viktor Blumenthal Gottlieb
Licenciado en Ciencias, mención Matemática
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© Matemática 3º Medio
Autores Olga Saiz Maregatti
Profesora de Matemática. Pontificia Universidad Católica de Chile.
Viktor Blumenthal Gottlieb
Licenciado en Ciencias, mención Matemática. Pontificia Universidad Católica de Chile.
2012 Ediciones Cal y Canto
N˚ de Inscripción: 200.152
ISBN: 978-956-339-004-9
®
Director Editorial
Gerente Editorial
Editora a cargo
Colaboración
Corrector de pruebas y estilo
Diseño
Diagramación Digital
Fotografías
Jefe de Producción
Asistente de Producción
Jorge Muñoz Rau
Alicia Manonellas Balladares
Alicia Manonellas Balladares
Myriam Baeza Reyes
Alejandro Cisternas Ulloa
Vladimir Ferro González
María Jesús Moreno Guldman
David Maldonado Cid
Banco de Fotos de Ediciones Cal y Canto
Cecilia Muñoz Rau
Lorena Briceño González
Impreso en RR Donnelley.
El presente libro no puede ser reproducido ni en todo ni en parte, ni archivado, ni transmitido por
ningún medio mecánico, electrónico, de grabación, CD-Rom, fotocopia, microfilmación u otra forma,
sin la autorización escrita del editor.
Se terminó de reimprimir XXXXXX ejemplares en el mes de XXXXX de 20XX.
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Presentación de la Guía Didáctica
La presente Guía Didáctica pretende ser un elemento facilitador y un respaldo a su
labor docente. En esta guía usted podrá conocer y entender la estructura y la
propuesta didáctica por las que se optaron para organizar el conjunto de los OF/
CMO, y el tiempo previsto para el desarrollo de cada unidad. Además, le entregará
apoyo didáctico para que pueda desarrollar diversas técnicas, estrategias y
procedimientos que le permitan fomentar el trabajo autónomo de sus estudiantes.
Presenta información teórica para apoyar el desarrollo de contenidos curriculares
nuevos o de mayor complejidad; vincula, a través de una tabla, los contenidos y las
actividades propuestas en el Texto del Estudiante, en relación con los aprendizajes
que se espera logren los estudiantes; entrega sugerencias metodológicas que
permiten enriquecer los aprendizajes de sus estudiantes y que dan respuesta a la
diversidad y a distintos ritmos de aprendizaje. También podrá encontrar en ella
instrumentos que le ayudarán a reflexionar acerca de su labor docente.
En el inicio de cada unidad se presentan los objetivos fundamentales, verticales
y transversales que orientan el tratamiento de los contenidos. Luego, en el
desarrollo encontrará:
•Los aprendizajes esperados que lo orientan y los contenidos que se trabajan.
•Sugerencia del tiempo que se le puede asignar.
•Las conexiones con los contenidos de otros niveles.
•La secuencia que se utilizó para el tratamiento de los contenidos en el Texto del
Estudiante y una propuesta de secuencia alternativa con indicaciones generales.
•Mapas conceptuales para visualizar los conceptos fundamentales y sus relaciones.
•Comentarios respecto de los contenidos y actividades.
•Actividades propuestas para el tratamiento de los OFT.
•Los errores en que suelen incurrir los estudiantes, indicando el posible déficit y
proponiendo estrategias que permitan evitar o subsanar dichos errores.
•Actividades de refuerzo y descripción de lo que se pretende reforzar con cada una.
También se presentan actividades de profundización, ambas con sus respectivas
soluciones. Su propósito es dar respuesta a los distintos ritmos de aprendizaje de
los estudiantes, ya que han sido diseñadas para ser trabajadas en forma individual.
•Referencias a diferentes páginas web, algunas para que amplíe y actualice sus
conocimientos en relación con diferentes contenidos, y otras con ejercicios que
pueden ser utilizados para evaluar el aprendizaje de los estudiantes en los temas
que se indican.
•Bibliografía sugerida para el tratamiento de la unidad con diversas páginas web
como complemento al estudio y a la ejercitación, indicando los contenidos
correspondientes. Además de algunos textos que serán de utilidad para los
contenidos de la unidad.
Al final de esta guía encontrará, también, las respuestas a los ejercicios, problemas,
actividades y evaluaciones planteadas en la misma.
Estimado docente, hemos diseñado esta Guía Didáctica intentando dar respuesta a
todos sus requerimientos y necesidades dentro del aula, con el objetivo de que las
orientaciones que en ella se entregan le permitan abordar y utilizar adecuada y
creativamente el Texto del Estudiante como un recurso efectivo e indispensable en
su labor diaria.
Los editores.
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Índice
•Presentación de la Guía Didáctica................................................................................3
•Índice.......................................................................................................................................4
•Introducción.........................................................................................................................6
•Estructura del texto............................................................................................................8
•Resolución de problemas, eje transversal del subsector................................... 10
•Objetivos Fundamentales Transversales................................................................. 11
•Sugerencias para atender la diversidad y
distintos ritmos de aprendizaje.................................................................................. 12
•La informática educativa en el sector curricular de Matemática.................... 16
•Aplicación práctica de la informática educativa al sector matemático....... 18
Unidad 1: Raíces y función raíz cuadrada
Presentación de la Unidad.............................................................................................. 24
Planificación de la Unidad............................................................................................... 26
Desarrollo de la Unidad................................................................................................... 27
Errores frecuentes.............................................................................................................. 39
Síntesis de la Unidad......................................................................................................... 40
• Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)................................................ 41
• Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)............................................................ 43
• Actividades de profundización (Material fotocopiable).................................. 44
Instrumentos de evaluación........................................................................................... 45
Evaluaciones........................................................................................................................ 49
Solucionario de la Unidad............................................................................................... 54
Bibliografía y detalle de links de la Unidad............................................................... 56
Bibliografía temática......................................................................................................... 57
Sitios web sugeridos......................................................................................................... 57
Unidad 2: Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática
Presentación de la Unidad.............................................................................................. 58
Planificación de la Unidad............................................................................................... 60
Desarrollo de la Unidad................................................................................................... 62
Errores frecuentes.............................................................................................................. 85
Síntesis de la Unidad......................................................................................................... 86
• Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)................................................ 87
• Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)............................................................ 90
• Actividades de profundización (Material fotocopiable).................................. 91
Instrumentos de evaluación........................................................................................... 92
Evaluaciones........................................................................................................................ 95
Solucionario de la Unidad.............................................................................................101
Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................104
Bibliografía temática.......................................................................................................104
Sitios web sugeridos.......................................................................................................105
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Unidad 3: Desigualdades e inecuaciones
Presentación de la Unidad............................................................................................106
Planificación de la Unidad.............................................................................................109
Desarrollo de la Unidad.................................................................................................110
Síntesis de la Unidad.......................................................................................................124
• Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)..............................................125
• Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)..........................................................130
• Actividades de profundización (Material fotocopiable)................................131
Instrumentos de evaluación.........................................................................................132
Evaluaciones......................................................................................................................135
Solucionario de la Unidad.............................................................................................144
Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................148
Bibliografía temática.......................................................................................................149
Sitios web sugeridos.......................................................................................................149
Unidad 4: Algo más sobre triángulos rectángulos
Presentación de la Unidad............................................................................................150
Planificación de la Unidad.............................................................................................152
Desarrollo de la Unidad.................................................................................................153
Errores frecuentes............................................................................................................164
Síntesis de la Unidad.......................................................................................................165
• Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)..............................................166
• Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)..........................................................171
• Actividades de profundización (Material fotocopiable)................................172
Instrumentos de evaluación.........................................................................................173
Evaluaciones......................................................................................................................176
Solucionario de la Unidad.............................................................................................188
Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................192
Bibliografía temática.......................................................................................................193
Sitios web sugeridos.......................................................................................................193
Unidad 5: Probabilidades... un paso más
Presentación de la Unidad............................................................................................194
Planificación de la Unidad.............................................................................................196
Desarrollo de la Unidad.................................................................................................197
Errores frecuentes............................................................................................................215
Síntesis de la Unidad.......................................................................................................216
• Actividades de refuerzo (Material fotocopiable)..............................................217
• Ficha de refuerzo (Material fotocopiable)..........................................................226
• Actividades de profundización (Material fotocopiable)................................227
Instrumentos de evaluación.........................................................................................228
Evaluaciones......................................................................................................................231
Solucionario de la Unidad.............................................................................................247
Bibliografía y detalle de links de la Unidad.............................................................251
Bibliografía temática.......................................................................................................253
Sitios web sugeridos.......................................................................................................253
Bibliografía temática...............................................................................254
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Introducción
Para todos a quienes nos ha tocado la misión de educar, se hace imprescindible durante
el ejercicio de nuestra profesión cuestionarse cuál es la mejor manera de conducir a
nuestros estudiantes para que logren aprender lo que les queremos enseñar. Entonces,
y como escucháramos tantas veces en las aulas de las universidades que nos formaron,
vuelven a surgir aquellas preguntas fundamentales: ¿para qué enseñamos?, ¿qué
enseñamos?, ¿cuál es la mejor forma de entregar aquello que sabemos y que queremos
que otros aprendan?, ¿quiénes son aquellos que tenemos frente a nosotros en la sala de
clases?, etc.
Sin duda, cada una de las respuestas a estas preguntas tendrán similitudes y diferencias
dependiendo del profesor que las conteste, del área que se enseñe, del tipo colegio en
el que se trabaje y, sin duda, de cada estudiante que se nos haya encargado conducir,
sabiendo que cada uno de ellos es una persona única e irrepetible que se nos
ha encomendado.
Desde este punto de vista, pretender escribir un libro que reúna las respuestas de todos
los profesores de Matemática de Chile sería una idea ambiciosa e imposible. Por tanto,
pretendemos ser sólo una ayuda para su trabajo en el aula, una guía de trabajo donde se
oriente a los estudiantes en el desarrollo de ciertos temas y su aplicación a la vida diaria,
una propuesta que comparte la experiencia educativa de años de trabajo en el aula.
Bajo esta perspectiva, debemos destacar algunas directrices que han guiado nuestro
trabajo y que son el fundamento que lo ha iluminado:
•El acto educativo debe tratar a cada uno según sus aptitudes. No hay aprendizaje
efectivo que no parta de alguna necesidad o interés del alumno. (Paradigma “La escuela
nueva”, Odisea. (Revista electrónica de pedagogía. Artículo: “Corrientes pedagógicas
contemporáneas”Autor: MC. Héctor Cerezo Huerta).
Desde esta arista, el libro pretende situar a los estudiantes en problemas cotidianos
que puedan ser de su interés para generar la necesidad de los nuevos conocimientos.
Cada sección del libro está introducida por un problema al que se da solución más
adelante, cuando ya se han adquirido los conocimientos necesarios. Las actividades
están desarrolladas de manera de respetar el ritmo de aprendizaje de los estudiantes;
existen actividades de refuerzo; de trabajo; de profundización. Actividades individuales y
grupales. El trabajo grupal da la posibilidad de contribuir al aprendizaje de los pares, de
recrear en una escala menor el escenario en que se encontrarán a futuro. Es importante
que experimenten que las habilidades y aptitudes de cada uno aportan a que el trabajo
grupal sea eficiente y eficaz.
•Lo que se genera en la cognición humana es producto de una combinación de
sentimientos, prejuicios y juicios, procesos inductivos y deductivos, esquemas y asociaciones,
representaciones mentales, que juntos nos dan elementos para resolver nuestros problemas.
(Enfoque constructivista, Tecnológico de Monterrey, Campus Ciudad Juárez, Chihuahua.
México, Universidad Pedagógica Nacional - Unidad 082).
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•El conocimiento sobre la propia cognición implica ser capaz de tomar conciencia del
funcionamiento de nuestra manera de aprender y comprender los factores que explican
el porqué los resultados de una actividad puedan ser positivos o negativos (Aprender a
aprender, Carles Dorado P., Universidad Autónoma de Barcelona).
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El desarrollo de cada contenido en el Texto del Estudiante y en la Guía Didáctica del
Docente está trabajado en forma deductiva, tratando de dar las herramientas para
que exista desarrollo del pensamiento lógico, que hagan las asociaciones necesarias y
logren resolver los problemas que allí se plantean. Los estudiantes son constructores de
su futuro y lo harán en la medida en que puedan resolver problemas de manera libre,
analizando todos los factores posibles y ponderando las consecuencias de
sus decisiones.
El desarrollo de este texto ha privilegiado un espacio donde cada estudiante pueda
reflexionar acerca de su propio aprendizaje. Al final de cada sección, el estudiante tiene la
posibilidad de contestar algunas preguntas donde revisa su aprendizaje y el proceso que
ha realizado para adquirirlo. También es importante que cada vez que haya tenido dudas,
vuelva a revisar, repasar y preguntar lo que no ha aprendido bien.
•Las TIC pueden usarse como herramienta de trabajo intelectual por parte del estudiante;
le sirven para expresarse, para explorar y para comunicarse. (Ferrán Ruiz Tarragó,
“Necesidades docentes en el uso de TIC en el aula”, Mayo 2008, Fundación Chile).
"Ningún sistema educacional escapa de las influencias y nuevas tendencias digitales y de las
comunicaciones" (Mario Leyton, Premio Nacional de Educación 2009).
Teniendo en cuenta los avances tecnológicos, se hace necesario que se incorporen las
nuevas tecnologías en los laboratorios de computación y se trabaje con herramientas
como programas computacionales, planillas electrónicas, calculadoras, sitios de Internet,
etc. Nuestro proyecto propone el uso de estas TIC para el trabajo de las unidades; es
bueno que cada estudiante tenga acceso a varias fuentes de información.
•La matemática es el alfabeto con el que Dios ha escrito el universo. (Galileo Galilei).
La matemática no solo es una ciencia exacta que desarrolla el pensamiento lógico de
los estudiantes. No solo es el “estudio de las relaciones entre cantidades, magnitudes y
propiedades, y de las operaciones lógicas utilizadas para deducir cantidades, magnitudes
y propiedades desconocidas”. El prisma con el que se quiere mirar el estudio de esta
área, en este libro, es aquel que hace que la matemática explique el mundo que rodea
a nuestros estudiantes y dé también la posibilidad de que cada uno de ellos se interese
por estudiarla y verla como una ciencia. La matemática es una disciplina que puede ser
alcanzada por todos.
La educación es un acto de amor hacia los estudiantes, donde ambos actores aprenden
no sólo la disciplina que se estudia. Invitamos a cada uno de los profesores y profesoras a
trabajar con este libro, a creer y crear en y con sus estudiantes, a reflexionar, pensar, jugar
y aprender.
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Resolución de problemas, eje transversal del subsector
Matemáticas que sí pueden ser entretenidas
Dentro del “Proyecto de mejoramiento de la enseñanza de Matemática con
asistencia técnica de Japón”(CPEIP), Chile recibió a tres académicos nipones,
quienes han mostrado sus métodos de enseñanza a profesores de nuestro país.
Testimonio pedagógico
Profesores japoneses ofrecen didáctica clase de
matemáticas en U. Católica de Valparaíso
Alumnos de séptimo básico de la Escuela Gaspar Cabrales de Valparaíso participaron de la clase
que ofreció el investigador en didáctica de la Universidad de Tsukuba, Takao Seiyama.
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abía que romper la barrera del
idioma y crear un ambiente de
confianza. Para eso, el profesor
Seiyama inició la clase con un juego: un
entretenido desafío matemático donde
el maestro y los alumnos competirían por
quién se quedaba con el último de los trece
“dulces”dibujados en la pizarra.
Imposible para la audiencia, más de
30 alumnos y 200 profesores básicos,
mantenerse ajena a la lúdica lección con que
el experto en didáctica inauguraba
la jornada en la Pontificia Universidad
Católica de Valparaíso.
Fue la clase demostrativa impartida por el
profesor Takao Seiyama, investigador de
la universidad japonesa de Tsukuba, quien
se reunió con un grupo de estudiantes de
séptimo básico de la Escuela Gaspar
Cabrales de Valparaíso, y presentó ante
docentes de la región las estrategias
aplicadas en el aula para un mejor
aprendizaje de las matemáticas.
Dispuestos en grupos de cuatro, los niños
resolvieron junto al académico una serie de
problemas matemáticos, específicamente
fracciones. En el transcurso del taller,
los escolares y el educador descubrieron
diferencias en las formas de resolver los
planteamientos y buscaron formas comunes
para llegar a la solución.
La sesión fue presenciada por más de
doscientos profesores y estudiantes de
pedagogía de distintos puntos del país,
quienes se reunieron el 9 de octubre en el
Aula Media de la Facultad de Ingeniería de
la Católica de Valparaíso.
Sieyama afirmó que, aunque no ha podido
asistir a una clase de matemáticas en Chile,
sabe que es un sistema tradicional en el que
el educador explica los contenidos a los niños
y casi no existe interacción con ellos.
“Para mejorar la enseñanza es necesario
construir las lecciones junto con los alumnos,
para que ellos participen, y más importante
aún es que los estudiantes puedan explicarse
entre ellos, utilizando su propio lenguaje”,
dijo el docente.
Métodos para imitar
“Fue entretenida y dinámica. Aprendí hartas
cosas que en el colegio me costaban”. Así
describió su experiencia Camila March,
alumna de la Escuela Gaspar Cabrales,
quien asistió a la clase demostrativa de
matemáticas que dictó el profesor Seiyama.
“La capacidad de aprender y el entusiasmo
es el mismo en todo el mundo”, manifestó el
investigador japonés al término de la clase y
afirmó que el único obstáculo para enseñar a
niños chilenos es la diferencia de idioma.
Consultas entre los compañeros, el profesor
desplazándose por la sala de clases,
un ayudante apoyando el trabajo del
maestro, humor, ensayo y error, contacto
visual. Eso es parte de lo que se vio en la
clase demostrativa. La concentración y el
entusiasmo se extendieron hasta después
de finalizada la clase, porque los estudiantes
continuaron consultando a los profesores
japoneses nuevos ejercicios. No hubo espacio
para la timidez.
http://www.latercera.cl/contenido/28_61332_9.shtml
Reconocemos esta propuesta como la tendencia pedagógica que nos convoca y
desde la cual queremos invitar a los docentes y a la comunidad escolar en general
a descubrirla y aplicarla. Tanto la metodología propuesta en el Texto del Estudiante,
como el tratamiento didáctico de esta Guía para el Docente, apuntan en esta
dirección y será un buen complemento en pos de la consecución de esta nueva
mirada que hoy permite a los estudiantes ser actores reales de sus aprendizajes.
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Los Objetivos Fundamentales Transversales (OFT) definen finalidades generales
de la educación referidas al desarrollo personal y a la formación ética e
intelectual de los estudiantes.
Cada sector o subsector de aprendizaje, en su propósito de contribuir a la formación
para la vida, conjuga en un todo integrado e indisoluble el desarrollo intelectual
con la formación ético-social de los estudiantes. De esta forma se busca superar la
separación que en ocasiones se establece entre la dimensión formativa y
la instructiva.
Los programas están construidos sobre la base de contenidos programáticos
significativos que tienen una carga formativa muy importante, ya que en el proceso
de adquisición de estos conocimientos y habilidades, los estudiantes establecen
jerarquías valóricas, formulan juicios morales, asumen posturas éticas y desarrollan
compromisos sociales.
Los Objetivos Fundamentales Transversales definidos en el marco curricular nacional
(Decreto Nº 220) corresponden a una explicitación ordenada de los propósitos
formativos de la Educación Media en cuatro ámbitos:
•Crecimiento y Autoafirmación Personal.
•Desarrollo del Pensamiento.
•Formación Ética.
•Persona y Entorno.
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Objetivos Fundamentales Transversales
•Los OFT del ámbito Crecimiento y Autoafirmación Personal referidos al interés y
capacidad de conocer la realidad y utilizar el conocimiento y la información.
•Los OFT del ámbito Desarrollo del Pensamiento, en especial los relativos a
habilidades de investigación y de modelamiento matemático de situaciones y
fenómenos, a través de las actividades que suponen selección y organización de
información y datos; las de resolución de problemas y de pensamiento lógico,
a través del conjunto de contenidos y actividades orientados al aprendizaje
de algoritmos o procedimientos rutinarios, así como a la aplicación de leyes y
principios, por un lado, y de generalización a partir de relaciones observadas, por
otro. El desarrollo del pensamiento probabilístico contribuye a tomar decisiones
fundamentadas en situaciones sociales.
•Los OFT del ámbito Persona y su Entorno referidos al trabajo, y que plantean
el desarrollo de actitudes de rigor y perseverancia, así como de flexibilidad,
originalidad y asunción del riesgo, y las capacidades de recibir y aceptar
consejos y críticas.
•A través de los problemas por resolver matemáticamente, es posible ampliar el
trabajo de los OFT con los estudiantes para el desarrollo de su capacidad de juicio, y
la aplicación de criterios morales a problemas del medio ambiente, económicos
y sociales.
Junto a lo señalado, el programa invita al desarrollo de actividades pedagógicas
que ponen en práctica los valores y orientaciones éticas de los OFT, así como sus
definiciones sobre habilidades intelectuales y comunicativas.
Además, el programa se hace cargo de los OFT de Informática, incorporando en
diversas actividades y tareas la búsqueda de información a través de redes de
comunicación, empleo de softwares y la selección de sitios en Internet.
Fuente: Extraído del Programa de Estudio, Tercer Año Medio, Formación General Educación Media, Unidad
de Curriculum y Evaluación.
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Sugerencias para atender la diversidad y
distintos ritmos de aprendizaje
Como bien sabemos, los estudiantes son diferentes en sus ritmos de trabajo,
estilo de aprendizaje, conocimientos previos, experiencias, etc., lo que
condiciona todo proceso de enseñanza-aprendizaje. Esto lo sitúa, como docente,
en la necesidad de educar en y para la diversidad.
La respuesta a la diversidad de los estudiantes debe garantizarse desde el
mismo proceso de planificación educativa, ya que es el profesor o la profesora,
en cada caso particular, quien debe plasmarla en estrategias concretas, vista la
realidad de los estudiantes que tiene en cada grupo-curso.
En este sentido, se han de diseñar actividades de enseñanza/aprendizaje de
diferente grado de dificultad, de manera que pueda existir una cierta adaptación
a las diferencias individuales respecto del aprendizaje.
El Marco Curricular nos presenta los Objetivos Fundamentales y Contenidos
Mínimos Obligatorios, que corresponden a cada nivel de enseñanza; los Programas
de Estudio nos presentan las orientaciones para la enseñanza de cada sector de
aprendizaje, pero nos dan la flexibilidad de adaptar o modificar algunos elementos,
siempre que se logre alcanzar las metas propuestas. A continuación se proponen
algunas medidas relacionadas con la planificación que sirven para atender las
diferencias que pueden presentar los estudiantes por diversas circunstancias.
La adaptación curricular consiste en la modificación de algunos o de todos los
elementos del currículo. Los estudiantes alcanzarán las capacidades previstas
para su etapa educativa aunque se modifique el resto de los elementos
curriculares: contenidos, metodología, recursos didácticos o evaluación. Se
cambian los caminos, pero se alcanza la meta propuesta.
Objetivos y contenidos
Según los objetivos que se pretenden, se seleccionan y jerarquizan los
contenidos más apropiados. A través de objetivos y de contenidos, se podrá
favorecer el desarrollo individual de cada estudiante en función de sus
características personales, y ofrecerles la atención educativa más conveniente.
Por esto es importante considerar, respecto de los objetivos:
•Que posibiliten el desarrollo de todo tipo de capacidades (cognitivas, motrices, de
equilibrio personal, de relación interpersonal y de actuación e inserción social...)
en similar medida y se valore equilibradamente el desarrollo de todas ellas.
•Que posibiliten diferentes niveles de logro de los aprendizajes y que sean
adecuados para todos los estudiantes del aula.
•Que se definan con claridad y precisión los objetivos mínimos de cada una de
las Unidades Didácticas y los criterios de evaluación.
Respecto de los contenidos seleccionados:
•Que sirvan a todos los estudiantes del grupo para alcanzar los
objetivos propuestos.
•Que sean significativos y que conciernan a su realidad.
•Que se definan con claridad y precisión los contenidos mínimos para cada una
de las Unidades Didácticas.
Estrategias metodológicas
La metodología ha de ser coherente con los objetivos que se pretenden y con
los contenidos que se trabajen. Esta debe ser variada, combinar la exposición
del docente (cuando se estime necesaria) con la actividad individual del
estudiante y con las tareas en equipo, además debe utilizar distintos recursos
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Respecto de la metodología, se debe procurar:
•Planificar actividades para determinar cuáles son los conocimientos
previos de todos los estudiantes antes de iniciar un nuevo proceso de
enseñanza- aprendizaje.
•Tener en cuenta los intereses de los estudiantes en la planificación y desarrollo
de la propuesta de enseñanza-aprendizaje y la funcionalidad de los aprendizajes.
•Ir cambiando las situaciones y actividades o, en una misma situación, plantear
diferentes tipos de actividades para hacer lo posible por adaptarse a los
distintos estilos y motivaciones de los estudiantes.
•Propiciar la actividad externa (manipulación, juego, experimentación,
verbalización, etc.) y la actividad interna de reflexión sobre lo realizado
(confrontación de los conceptos previos con lo que sucede en la realidad
conocida, elaboración de conclusiones, recopilación de lo aprendido, análisis
del avance producido desde las ideas previas, etc.).
•Plantear aprendizajes interactivos que permitan establecer relaciones de
comunicación eficaces en el seno del grupo y entre estudiantes y docente.
•Crear un clima de respeto, tolerancia y valoración entre los estudiantes, donde
la cooperación destaque sobre la competitividad.
•Llevar a cabo en un mismo tiempo actividades distintas dentro de un aula y
planificar y desarrollar actividades para realizar en gran grupo, grupo pequeño,
por parejas, individualmente, etc.
•Cuidar que todos y cada uno de los estudiantes avance y experimente éxitos.
•Utilizar en el aula refuerzos diversos y adecuados para los estudiantes.
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que contemplen y que tengan en cuenta los diferentes estilos de aprendizaje.
Difícilmente los estudiantes pueden trabajar a distinto ritmo y con diferente
estilo cognitivo si deben hacer todos las mismas cosas, en el mismo tiempo y de
la misma manera. Hay que favorecer la realización de un mayor número, de más
fáciles o más complejas actividades por parte del estudiantado de acuerdo con
las diferencias que presente.
Respecto de los recursos:
•Seleccionar materiales considerando las posibilidades de adaptación y
tratamiento de la diversidad que ofrecen.
•Usar materiales atractivos y motivadores, que fomenten el aprendizaje activo,
la investigación y la autonomía en todos los estudiantes.
•Utilizar materiales que posibiliten ser trabajados en distintos tipos
de agrupamientos.
Hay que mencionar la importancia que tienen, desde el punto de vista
metodológico y didáctico, aspectos como la utilización del tiempo, del espacio y
del agrupamiento flexible de estudiantes, entre otros.
•En la utilización del tiempo, el docente debe tratar de distribuirlo entre los
distintos tipos de tareas que los estudiantes van a realizar con intervenciones
del docente, diálogos abiertos, trabajo individual, trabajo en grupo,
exposiciones de estudiantes, debates, etc.
•El espacio físico es un elemento muy importante en los procesos de
enseñanza-aprendizaje. Hay que tener en cuenta, por ejemplo, la distribución
de las mesas según sea el tipo de trabajo que se vaya a realizar (individual, en
grupo, exposición, etc.); como también tener a mano los recursos materiales
que sean necesarios en cada momento de la Unidad Didáctica, etc.
•El agrupamiento de los estudiantes debe ser flexible, es decir, tener respuesta
puntual en función de sus diferencias en niveles de conocimiento, ritmos de
aprendizaje, interés y motivación, etc. También se diferencian los agrupamientos
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en la realización de trabajos en pequeños grupos, refuerzos para estudiantes con
un ritmo de aprendizaje más lento, ampliación para los que presenten un ritmo
más rápido, realización de talleres, utilización de diversos recursos materiales
(computador, libros de consulta, etc.) y, en general, en función de la naturaleza de
las diferentes actividades que se realicen.
Evaluación
La evaluación constituye uno de los factores condicionantes de todas las
prácticas educativas. Un modelo de evaluación continua y formativa presupone
evaluar procesos y no solo resultados; por lo tanto, debe incorporarse desde
el comienzo del trabajo y servir para ofrecer datos permanentes acerca del
desarrollo del aprendizaje. Hace posible graduar el ritmo de enseñanza,
ajustándolo con el ritmo y el estilo de aprendizaje de cada niño o joven.
Sería interesante que pudiera complementarse cada calificación con una
evaluación descriptiva que exprese con palabras los logros que va alcanzando
el estudiante y las dificultades que presenta. Hay que ser más explícitos para
el estudiante y las dificultades que presenta. Hay que ser más explícitos para
favorecer la autoevaluación del alumnado y su evaluación formativa.
En la evaluación es importante:
•Proponer actividades de evaluación intercaladas en las actividades de
enseñanza aprendizaje que sirvan para reorientar y ajustar el aprendizaje de
los estudiantes y la práctica docente.
•Plantear diferentes actividades y en distintas situaciones para evaluar un
mismo contenido.
•Tomar conciencia de las implicaciones positivas de las actividades
coevaluadoras y autoevaluadoras, y practicarlas cuando la situación lo permita.
•Proponer diversos procedimientos, técnicas e instrumentos en las actividades
de evaluación.
•Plantear actividades de evaluación acordes con los criterios establecidos.
Para detectar qué modificaciones podría hacer en su planificación, le
presentamos algunas interrogantes que le servirán como orientación.
1. ¿Qué es exactamente lo que el estudiante no consigue hacer y usted quisiera que
lograra?, esto es, ¿cómo detectar qué objetivo debería trabajar el estudiante?
2. ¿Cuáles son los contenidos (conceptos, procedimientos y actitudes) que, siendo
necesarios para alcanzar ese objetivo, ya posee el estudiante?, esto es, ¿cuál es el
punto de partida para la ayuda?
3. ¿Cuál es el primer paso en la secuencia de los aprendizajes que conducen hacia la
consecución del objetivo?
4. ¿Cuáles son las decisiones metodológicas más adecuadas al estudiante para
ayudarle a dar ese paso?
5. La ayuda que se le ha dado ¿ha permitido al estudiante dar ese paso hacia
el objetivo?
La primera interrogante apunta, pues, al “qué enseñar”, a un objetivo concreto de
aprendizaje y a los contenidos que con él se relacionan.
La segunda tiene que ver con la evaluación inicial y trata de saber cuál es la base
de conocimientos del estudiante en relación con los objetivos y contenidos
programados antes de planificar las acciones oportunas.
La tercera dice relación con la secuencia de tareas más apropiada para acortar
la distancia que separa ambos puntos, el de partida y el de llegada. Exige, por
tanto, una cuidadosa labor de planificación de estas tareas en orden a conseguir
el progreso adecuado.
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El refuerzo educativo
Una medida más específica que apunta directamente a ayudar a superar las
dificultades de aprendizaje es el refuerzo educativo.
Este supone el menor grado de modificación curricular y organizativa para que
un estudiante supere una dificultad de aprendizaje. Se pretende que si este, por
motivos circunstanciales, presenta un problema puntual relativo a determinado
contenido, debe recibir el apoyo específico del docente para superarlo y
continuar el aprendizaje con su ritmo habitual.
Int rod u cc i ón
La cuarta interrogante se refiere a las estrategias metodológicas acordes con
su peculiar estilo de aprendizaje y sus expectativas ante el aprendizaje. Apunta,
por consiguiente, no ya a la secuencia de actividades, sino a la naturaleza de
las mismas, así como a los recursos didácticos y a las condiciones de espacio y
tiempo más oportunas.
La quinta intenta conocer si se ha modificado el punto de partida de los
estudiantes, y puede ahora hacer, por sí mismo, lo que inicialmente no podía sin
la ayuda del docente.
Algunas características del refuerzo educativo son las siguientes:
•Se produce cuando se detecta una dificultad en el aprendizaje que impide una
evolución favorable del proceso educativo de un estudiante o de un grupo.
•Trata de consolidar los contenidos básicos de un área o áreas determinadas
que son claves para aprendizajes posteriores.
•Parte de la consideración del punto en que se encuentra el estudiante
para determinar qué es lo básico que necesita adquirir para conseguir una
evolución favorable.
•Pretende que los estudiantes adquieran los conocimientos considerados
básicos o claves para seguir el programa del grupo.
•No sólo se puede plantear al comenzar el año escolar, sino que puede surgir a
lo largo del curso.
En resumen, podemos decir que para atender la diversidad de sus estudiantes
dentro de su clase, respetando las diferencias individuales, considerando los
conocimientos previos que ellos presentan y respetando los distintos estilos
cognitivos y ritmos de aprendizaje, puede:
•Adecuar los objetivos generales de la etapa y de las áreas secuenciándolos
y temporalizándolos.
•Seleccionar los contenidos de acuerdo con los objetivos, secuenciándolos,
jerarquizándolos y temporalizándolos.
•Aceptar opciones metodológicas para las distintas etapas y para las diferentes
áreas curriculares.
•Decidir el o los modelos de evaluación que se llevarán a cabo, tanto en los
procesos de enseñanza-aprendizaje como en la evaluación institucional del
propio establecimiento.
Fuentes:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/publicaciones/55331/libeso09.pdf
http://www.isei-ivei.net/datos/DIVERSIDAD.pdf
http://centros6.pntic.mec.es/ies.carlos.haya/departamento.html
http://www.campus-oei.org/revista/rie31a04.htm
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0045-01/secciones/metodologia.html
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La informática educativa en el sector
curricular de Matemática
En términos generales, la enseñanza apoyada con los medios tecnológicos
actuales ofrece grandes posibilidades al mundo de la educación. Estos pueden
facilitar el aprendizaje de conceptos y materias, ayudar a resolver problemas y
contribuir a desarrollar las habilidades cognitivas.
En el sector de Matemática, en todos sus niveles, es factible hacer uso de las
herramientas que proporciona la tecnología, en particular la tecnología informática,
con el objetivo de lograr un mejoramiento integral de la docencia en Matemática y,
como resultado de esto, en la calidad de los aprendizajes de los estudiantes.
Hay que entender desde el comienzo que la informática no es solo un
instrumento técnico para resolver problemas, sino también un modelo
de razonamiento.
En ello, la informática encuentra su verdadera identidad, tanto por las cuestiones
a las que trata de dar respuesta como por el método que aplica para resolver
problemas. Luego, la relación matemática e informática es natural y está dada
desde el inicio de la computación, y su uso favorece la comprensión de los
conceptos insertos en ella.
La tecnología informática y de comunicaciones provee de diferentes recursos
agrupados básicamente en tres líneas: paquete integrado, software educativo
e Internet. Estos recursos constituyen valiosas herramientas para apoyar el
proceso de enseñanza aprendizaje de los estudiantes, produciendo cambios
significativos en las prácticas pedagógicas, metodologías de enseñanza y la
forma en que los estudiantes acceden a los conocimientos e interactúan con los
conceptos matemáticos presentes en ellos.
Además de los recursos existentes y mencionados anteriormente, se pueden
agregar otras herramientas ampliamente utilizadas en experiencias nacionales
e internacionales de la inserción de la tecnología informática al vitae en el área
matemática, como lo son los lenguajes de programación (Basic, Pascal, etc.), los
micromundos (LOGO, etc.), los procesadores simbólicos (Maple, Matcad, etc.) y
los procesadores geométricos (Cabri-Géomètre, El Geómetra).
Las computadoras producen imágenes fantásticas, estáticas o animadas. En la
circunstancia apropiada “vale más una imagen que mil palabras”. En Matemática,
el factor imagen cobra un valor muy importante, pues permite acercar al
estudiante los conceptos, los saca de un plano abstracto para llevarlos a un
plano natural, donde los objetos se mueven, transforman, etc. de acuerdo con las
variaciones de valores o aplicación de reglas específicas.
Por otra parte, la informática, apoyada en las comunicaciones, proporciona
entornos de trabajo nuevos. Los entornos tienden a ser cooperativos, de forma
que el trabajo ya no tiene que ser exclusivamente individual, sino que está
integrado por la cooperación de muchos agentes.
Como se puede observar, la tecnología ofrece a los profesores(as) de
Matemática, y al mundo educativo en general, buenas posibilidades de producir
cambios valiosos y significativos en la forma en que los profesores(as) enseñan
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y los estudiantes aprenden. Luego, es nuestra responsabilidad como formadores
de los jóvenes del futuro aprovechar la tecnología para crear situaciones de
aprendizaje y enseñanza nuevas.
Int rod u cc i ón
El material trató de ampliar al máximo las posibilidades en términos de recursos
y contenidos. Sin embargo, quizás algunas actividades no podrán realizarlas por
la falta del software.
En la sección Montegrande de la página web del Centro Zonal usted podrá
encontrar otras actividades que hacen uso de estos mismos u otros recursos, así
como respaldo de los softwares que se han bajado de Internet; la dirección es
www.comenius.usach.cl
Mapa de la Informática Educativa en el Sector de Matemática
La siguiente tabla especifica los recursos posibles de utilizar frente a contenidos
matemáticos mínimos de enseñanza media. Se han considerado, como base,
todos aquellos contenidos mínimos que hacen mención explícita al uso del
recurso informático, y se ha ampliado a otros contenidos del sector en las tres
áreas temáticas que lo componen, a saber, Álgebra y funciones, Geometría y
Estadísticas y probabilidades.
Contenidos
Álgebra y funciones: Uso de algún programa
computacional de manipulación algebraica
y gráfica.
Geometría: Uso de algún
programa computacional
geométrico que permita
medir ángulos y ampliar y
reducir figuras.
Recursos
Procesador
simbólico
Planilla de
cálculo
Software
“El Graficador”
Procesador
geométrico
(Cabri
Geométrico)
El Geómetra
Planilla de
cálculo
Estadística y probabilidades:
Variable aleatoria: estudio
y experimentación en casos
concretos. Gráfico de frecuencia
de una variable aleatoria a partir
de un experimento estadístico.
Los procesadores simbólicos son grandes
herramientas para manipular elementos
algebraicos, definir funciones que posteriormente
pueden evaluarse y graficarse, entre otras. Una
alternativa más sencilla son las planillas de cálculo
y el programa “El Graficador”. En efecto, la primera
puede realizar todo lo relacionado con los cálculos
y tablas de valores y “El Graficador”puede graficar
esas funciones.
Los procesadores geométricos
permiten trabajar y manipular
elementos de geometría.
Cuentan con las herramientas
adecuadas para trazar,
transformar, rotar y, en general,
modificar figuras geométricas.
La planilla de cálculo provee de
funciones estadísticas que hacen
posible realizar experimentos
estadísticos, tabular información
y graficarla.
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Aplicación práctica de la informática
educativa al sector matemático
Como se observó en la tabla anterior, las posibilidades de la informática
educativa en el nuevo currículum de enseñanza media, al menos teóricamente,
son muchas. Como una forma de “probar” las posibilidades reales se ha optado
por ofrecer a continuación un conjunto de actividades prácticas muy realistas,
donde se introducen explícita y detalladamente los recursos educativos
informáticos en el sector de Matemática.
Al momento de revisar las actividades, es probable que se le presenten muy
tecnológicamente centradas, y en cierta medida así es. Pero no ha sido por
desear transmitir la idea de que todos los contenidos deben ser cubiertos con
recursos educativos informáticos, de ningún modo; sólo son ejemplos concretos
lo más contextualizados posible a la realidad educativa de la enseñanza media.
Es muy importante tener en mente que estas actividades están inmersas en un
contexto de enseñanza de larga duración y, por lo tanto, el esfuerzo más valioso
será insertarlas en la práctica diaria. Si por algún motivo se observa que son
lejanas, perfectamente pueden ser adaptadas a la propia realidad.
Función lineal y otras funciones
Objetivo:
Analizar situaciones y/o fenómenos que se pueden modelar utilizando la
función lineal.
Establecer la dependencia entre las variables y expresarla gráfica y
algebraicamente.
Identificar e interpretar parámetros de pendiente e intersección con el eje de las
coordenadas en la forma y = mx + n de la ecuación de la recta. Reconocer estos
parámetros en las respectivas gráficas.
Contenido: Función lineal, ecuación de la recta.
Interpretación de la pendiente y de la intersección con el eje de las ordenadas.
Condición de paralelismo y de perpendicularidad.
Uso de la planilla de cálculo Excel para la manipulación algebraica y gráfica.
Actividad propuesta:
Por medio de dos herramientas de software (“El Graficador” y el programa Excel
de Office), se proponen dos alternativas para abordar la actividad siguiente:
estudiar y graficar diversas expresiones de la forma “y = mx + n”. La actividad
considerará estudiar distintos valores para m (enteros, fraccionarios y decimales,
mayores y menores que cero) y analizar casos con n = 0 y con n = / 0. Se espera
a través de esta experiencia práctica de usar software para el estudio de la
recta, que los estudiantes junto a su profesor(a) puedan descubrir y expresar las
relaciones específicas de paralelismo, perpendicularidad, rectas paralelas a los
ejes, recta que pasa por el origen y puntos de intersección de rectas con los ejes.
Recursos:
Software “El Graficador” o Software Microsoft Excel.
Acciones:
Usando el software “El Graficador”
En esta versión de la actividad se propone usar el software “El Graficador”, contenido
en el CD-Recursos Educativos 1999, como herramienta de cálculo y análisis.
Las acciones propuestas para los estudiantes, y que se desarrollan a
continuación, son más útiles cuando se convierten en una guía de aprendizaje
que acompaña al estudiante. Esta guía puede ser desarrollada por el estudiante
en varias sesiones, acompañado del profesor(a) o en forma autónoma.
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Llena los recuadros correspondientes a los coeficientes (Figura 2).
Luego selecciona un color de tiza con un clic (Figura 3).
¡Muy bien!, ya debes tener en pantalla la gráfica de la función, ¿no es cierto?
Tal como se muestra en la figura siguiente (Figura 4).
Primera parte
Gráfica de rectas de pendientes opuestas
Ahora, grafica en el mismo sistema de coordenadas las funciones que se
indican; para ello, basta que sigas el mismo procedimiento anterior para
cada función, pero usa distinto color para cada una.
Figura 1
Figura 2
Figura 3
Int rod u cc i ón
Guía de aprendizaje sobre rectas
Apresto
Ingresa al software “El Graficador”y grafica la función de primer grado y = 2x
realizando los siguientes pasos:
Haz clic en el botón “Funciones de 1er grado”(Figura 1).
a. y = x + 4
b. y = –x + 4
Verifica que la gráfica de
a. tiene pendiente 1 y constante 4. Verifica que
b. tiene pendiente –1 y constante 4.
Figura 4
Grafica también las siguientes funciones:
a. y = 2x + 4
b. y = –2x + 4
Los resultados de los gráficos debiesen ser los que se muestran en la Figura 5.
¿Qué podrías concluir con relación al gráfico de funciones ax + b, –ax + b, es
decir, de pendientes opuestas y constantes?
R: Las rectas de pendientes opuestas e igual valor constante son simétricas.
Figura 5
Comprueba con otros ejemplos creados por ti.
Segunda parte
Gráfica de funciones constantes
Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican.
Estas rectas tienen la forma y = mx + n, con m = 0 (Ver Figura 6).
a. y = –3,5
b. y = 1
c. y = –5,5
Figura 6
Si se observa la Figura 6, se concluye que para cualquier punto de x el valor
de y en cualquiera de las funciones es el mismo.
Luego se puede deducir que cuando m = 0, es decir, la pendiente es 0, la
función es CONSTANTE.
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Tercera parte
Gráfica de funciones paralelas
Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican.
Ver Figura 7.
c. x + 2y = 6
a. y = –x/2
b. 2x + 4y = 5
d. x + 2y = 2
Figura 7
¿Qué podrías concluir en relación con el gráfico de funciones de igual
pendiente? ¿Cómo son, paralelas o perpendiculares?
R: Para las funciones que tienen pendientes similares sus gráficas
corresponden a rectas paralelas.
Crea otras funciones y grafícalas para comprobarlo.
Cuarta parte
Gráfica de funciones perpendiculares
Grafica en un mismo sistema de coordenadas las funciones que se indican.
a. y = –3x + 2
b. y = x/3 – 5
Figura 8
Cambia de color y grafica las funciones siguientes. Ver Figura 8.
c. 3x + y = 0
d. x – 3y = 4
Observa que las dos primeras funciones que graficaste tienen pendientes –3
y 1/3, respectivamente. Observa además que el producto de ambas es –1.
En las segundas funciones ocurre también lo mismo.
¿Qué podrías concluir en relación con el gráfico de funciones cuyo
producto de la pendientes es –1?
R: Para las funciones cuyo producto de pendientes es –1 sus gráficas
corresponden a rectas perpendiculares.
Crea otras funciones que cumplan estas condiciones y grafícalas
para comprobarlo.
Anexos
Anexo: Usando el software Microsoft Excel
En esta versión de la actividad se propone usar la planilla de cálculo Excel,
contenida en el paquete Office, como una herramienta de cálculo y análisis.
Acciones:
Guía de aprendizaje sobre rectas
Apresto
Dadas las siguientes funciones,
y = x + 4,
y = 2x + 4,
y = –x + 4,
y = –2x + 4
escríbelas como expresiones de la forma y = mx + n. Así te será más fácil
establecer algunas relaciones específicas.
Figura 9
•Abre una nueva hoja de trabajo en Excel y crea allí una tabla de valores
como la que se muestra a continuación (ver Figura 9), que permita más
tarde graficar dichas expresiones. Toma valores para x entre –8 y 8 y
sigue el procedimiento que se indica.
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Observa el gráfico que obtuviste y confirma las siguientes aseveraciones:
•Las rectas y1 e y2 tienen pendiente positiva, y las rectas y3 e y4 tienen
pendiente negativa.
•Las rectas y1 e y3 son perpendiculares porque tienen igual inclinación,
pero sus pendientes son opuestas. Lo mismo ocurre con y2 e y4.
•Las cuatro rectas intersectan al eje y en el 4, que es el valor de n en las
cuatro expresiones.
Relación entre las gráficas de
4 rectas dadas
8 y
6
4
x
-8
2
-6
-4
-2
0
-2
-4
-6
-8
y1 = x + 4
y2 = 2x + 4
y3 = -x + 4
y4 = -2x + 4
Figura 10
2
4
6
8
Int rod u cc i ón
•Ingresa las expresiones señaladas en las celdas A1..E1
•Para ingresar las fórmulas, simplemente digita la expresión. Por ejemplo,
en B2, escribe x + 4, luego copia esta fórmula al resto del rango B3..B18.
•Repite el proceso anterior en el resto de las expresiones.
•Este mecanismo permite definir fórmulas dependientes de variables;
entre ellas, funciones lineales, funciones cuadráticas, funciones
trigonométricas, etc.
•Diseña el gráfico de las expresiones (Figura 10). Para crear el gráfico,
selecciona el rango que contiene la tabla (A1: E14) y luego utiliza el
“Asistente para gráficos”. Utiliza un gráfico tipo XY (Dispersión) con puntos
de datos conectados por líneas sin marcadores de datos.
Anexo: “Tablas y gráficos en Excel”
Para graficar datos en Excel es necesario crear antes una tabla para los
datos donde estos se ingresarán. Luego seleccionar el rango para obtener el
gráfico requerido.
1.Crear la tabla de valores
•Ingresa los encabezados en la primera fila.
•En las filas siguientes, ingresa los valores o funciones por graficar.
•Ejemplo: se desea ingresar valores consecutivos para una variable, por
ejemplo, valores para x entre –3 y 3:
•Ingresa –3 en la celda A2.
Figura 11
•De la barra de menú, selecciona “Edición”, “Rellenar”, “Series”. Aparecerá la
ventana (de la Figura 11).
•Elige en “Series en”la alternativa columnas, para que los valores aparezcan
hacia abajo.
•El “Incremento”se refiere a la diferencia entre los valores que desea obtener,
por ejemplo 1.
•En Límite ingresa 3. Presiona Aceptar.
Figura 12
Para copiar el contenido de una celda en otras celdas consecutivas:
•Selecciona la celda que deseas copiar.
•Sitúa el cursor del mouse en la esquina inferior derecha de dicha celda.
•Cuando el cursor cambie de forma a una cruz, haz clic y sin soltar el botón
del mouse, arrástralo, marcando las celdas en las que deseas copiar
el contenido.
Para definir una variable que se usará posteriormente en una fórmula:
•Selecciona las celdas que contienen el nombre de la variable y el valor que
se asignará.
•De la barra de menú selecciona “Insertar”, “Nombre”, “Crear”. Aparecerá la
ventana de la Figura 12.
•Selecciona la opción que corresponda y luego presiona Aceptar.
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Figura 13
2. Graficar los datos de una tabla
•Selecciona el rango de celdas donde se encuentran los datos que
deseas graficar.
•Presiona el botón Asistente para gráficos de la barra de herramientas
(Figura 13).
•Sigue los pasos indicados en la ventana de diálogo que aparecerá en
pantalla y cuando el gráfico esté listo, presiona Terminar.
Para graficar una nueva serie de datos en un gráfico ya creado:
•Selecciona el rango de celdas que contiene los datos de la nueva serie que
deseas graficar.
•Presiona el botón copiar de la barra de herramientas.
•Activa el gráfico que tiene creado.
•De la barra de menú elige “Edición”, “Pegado especial”. Aparecerá la ventana
de diálogo de la Figura 14.
Marca las opciones como se muestra en la figura y luego presiona “Aceptar”.
Figura 14
Figura 15
Figura 16
Figura 17
Figura 18
Anexo: “El Graficador”
Descripción
Para poder utilizar este programa debes seleccionar una de las alternativas
que se presentan en la parte superior del pizarrón: Funciones de 1er grado,
Funciones de 2do grado o Funciones Seno-Coseno.
En la parte inferior de la zona de gráficos se encuentra la expresión algebraica
de la función que se haya seleccionado. En ella se deben completar los
recuadros que corresponden a los valores para los coeficientes.
Cómo graficar
Para graficar la función, selecciona una tiza de color con un clic en la parte
inferior del pizarrón.
Para limpiar la zona de gráficos, selecciona el borrador ubicado en la parte
inferior del pizarrón y arrástralo sobre la zona de gráficos.
Para acercar o alejar los gráficos, cambia la cifra en el recuadro titulado
“Escala”, ubicado en la parte superior derecha.
Para salir, se debe hacer un clic en la campana ubicada en la parte
inferior derecha.
Instrucciones para el trabajo con Funciones de 1er grado
Haz un clic en el botón “Funciones de 1er grado”(Figura 15).
Llena los recuadros correspondientes a los coeficientes (Figura 16).
Ejemplo 1: Grafica la función f (x) = 2x.
Ingresa el valor 2 en el sector anterior a x.
Ingresa 0 en el recuadro perteneciente al término libre n (Ver Figura 17).
Luego, selecciona un color de tiza (Figura 18) con un clic y obtendrás
la gráfica.
Ejemplo 2: Compara funciones lineales.
f (x) = –2x, f (x) = 2x + 8, f (x) = 2x – 8, f (x) = –2x + 8, f (x) = –2x – 8.
Sigue las mismas instrucciones anteriores, pero cambia cada vez de color de
tiza para poder apreciarlas mejor.
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Fuente: http://www.eduteka.org/pdfdir/ChileCurriculoMatematicasTics.pdf
Int rod u cc i ón
Ejemplo 3: Graficar funciones lineales con coeficientes fraccionarios
f (x) = 1/2x + 1/4.
Transforma la expresión a notación decimal. Grafica f (x) = 0,5x – 0,25.
Si deseas utilizar como recursos procesador simbólico MapleV, Release
5 para resolver problemas de la vida diaria que involucren sistemas de
ecuaciones lineales, te recomendamos que ingreses a: http://www.eduteka.org/pdfdir/
ChileCurriculoMatematicasTics.pdf, donde encontrarás además actividades del Subsector
Curricular de Matemática para los cuatro niveles de Enseñanza Media, ideas
de proyectos de aula, proyectos colaborativos intersectores.
Notas
23
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Raíces y
función raíz cuadrada
Unidad 1
Presentación de la Unidad
El concepto de raíz (cuadrada, cúbica e incluso de índices mayores) es de
suma importancia en el desarrollo algebraico de la matemática, tanto en la
ampliación del ámbito numérico (de
a R +), ∪
como
de
a ,Q
b∈
b ≠la0resolución
, n≥2
{0} ,en
ecuaciones y también en el estudio de las funciones. En educación media, se
espera que los estudiantes puedan tener claridad en los conceptos básicos
de raíces y sus propiedades, de la función raíz cuadrada y de su utilidad en la
resolución de problemas cotidianos.
En la primera parte de la unidad se hace referencia a una breve historia
(Página 11 del libro) sobre el uso de la raíz cuadrada, cómo se fue
estudiando el tema de los números irracionales a través del desarrollo de la
matemática y cómo se entrelazan estos conceptos con los de función. El
principal objetivo de las reseñas históricas es que los estudiantes
comprendan que la matemática se ha ido construyendo en forma progresiva
y que muchos de los contenidos definidos formalmente habían sido intuidos
y usados ya con anterioridad. Sin embargo, cabe hacer notar la importancia
de la formalización en un lenguaje matemático estricto.
Algunos links de apoyo son:
http://www.sectormatematica.cl/historia/historiaencomic.swf
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/Historiamatindex.asp
En esta unidad existe una sección de conocimientos previos (Página 12 del
libro). Estos apuntan a la revisión del concepto de potencia de base racional
y exponente entero y sus propiedades. El repaso de estos conocimientos
facilitará a los alumnos y alumnas la comprensión de la definición de raíz
como potencia de exponente racional y el uso de ésta en la demostración de
algunas de sus propiedades.
Es bueno mostrar a los estudiantes que en el tema de potencias hay varios
caminos por los que llegar a la solución correcta. Esta es una de las
principales dificultades que se presentan en el desarrollo de ejercicios. Los
estudiantes no saben por dónde comenzar ni hasta dónde llegar en el
desarrollo. Por ejemplo, si tomamos el ejercicio 3d, propuesto como
actividad, podemos escribir algunos desarrollos como los siguientes:
Desarrollo 1:
( )
4
4
3
d 2 ⋅ ( 4 c )3 d 2 ⋅ 43 ⋅ c 3 4 d 2 ⋅ 22 ⋅ c 3
= 23 c −2d −3
=
=
8 ⋅ ( cd )5 8c 5d 5 23 c 5d 5
Desarrollo 2:
4
(
)
4
= 212 c −8d −12
( )
( )
12
d 2 ⋅ ( 4 c )3 d 8 ⋅ ( 4c )12 d 8 ⋅ 22 ⋅ c 12 224 c 12d 8
=
= 12 20 20 = 212 c −8d −12
=
5
4
20
4
3
20
20
8 ⋅ ( cd ) 8 ⋅ ( cd )
2 c d
2 ⋅c d
24
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Ahora bien, algún estudiante podría proceder a partir del penúltimo paso de
la siguiente manera:
224 c 12d 8
212
=
212 c 20d 20 c 8d 12
Se trabajan en esta sección habilidades como reconocer, calcular, aplicar,
relacionar. Es importante que se realice la evaluación en cada una de las
secciones en las que están propuestas, ya que con ellas el alumno podrá
evaluar su avance y establecer remediales, en conjunto con su profesor, para
aquellos contenidos no logrados.
Un esquema que resume los contenidos por tratar en esta unidad es el siguiente:
UNID AD 1
Lo que estaría bien, y depende sólo de cómo se quiera dar el resultado, ya
que no hay ninguna condición al respecto.
RAÍCES Y FUNCIÓN RAÍZ CUADRADA
Concepto de raíz
Cálculo de
raíces cuadradas
y cúbicas
Propiedades de
las raíces
Ecuaciones
irracionales
Función raíz
cuadrada
Aplicaciones de las raíces a
la vida diaria
Objetivos y planificación
Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad, se deben tener
claros los objetivos y la planificación. Presentamos aquí los objetivos que
deben alcanzar los estudiantes a través de la unidad y una propuesta de
planificación para ella.
Objetivos Fundamentales de la Unidad
•Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de raíces y
función raíz cuadrada.
•Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el
análisis de situaciones concretas.
•Modelar situaciones o fenómenos cuyos modelos resultantes sean
funciones raíz cuadrada.
•Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando las propias
capacidades.
•Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas
a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.
•Razonar lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos
de solución a los problemas que se plantean.
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Planificación de la Unidad
Unidad 1
“Raíces y función raíz cuadrada”
CMO
Tiempo de duración
18 horas pedagógicas.
Aprendizajes esperados
Indicadores de evaluación
Raíces cuadrada y cúbica.
Identificar las raíces cuadradas y
cúbicas como números reales.
Encontrar el valor de raíces cuadradas
y cúbicas.
Clasifica una raíz cuadrada o cúbica
como un número racional o irracional.
Calcula el valor de una raíz cuadrada
o cúbica.
Propiedades de las raíces (raíz de un
producto, producto de las raíces, raíz
de un cociente, cociente de raíces, raíz
de una raíz, composición y
descomposición de raíces).
Definir las propiedades de las raíces.
Utilizar las propiedades de las raíces
en la resolución de problemas.
Utiliza las propiedades de las raíces en
la resolución de ejercicios.
Utiliza las propiedades de las raíces en
la resolución de problemas.
Racionalización estimación y
comparación de fracciones que
tengan raíces en el denominador.
Identifica expresiones algebraicas que
deben racionalizarse y las racionaliza.
Ecuaciones irracionales.
Racionalizar expresiones fraccionarias
con denominadores como
,
+
y3 .
Resolver ecuaciones irracionales que
contengan raíces cuadradas
o cúbicas.
Aplicar las ecuaciones irracionales a la
resolución de problemas.
Resuelve ecuaciones irracionales.
Verifica que las soluciones obtenidas
satisfagan la igualdad.
Plantea y resuelve problemas de
planteo que involucren ecuaciones
irracionales.
Función raíz cuadrada (gráfico de
y = x , y = x 2 e identificación de
x 2 = x , dominio de una función
raíz cuadrada).
Analizar la función raíz cuadrada en el
marco de la modelación de algunos
fenómenos sencillos.
Determinar dominio y recorrido de
una función raíz cuadrada a partir de
su gráfico y/o ecuación.
Describe la función raíz cuadrada
según sus características: fórmula que
la define, dominio, recorrido, gráfico.
Calcula imagen y preimagen.
Aplica los contenidos anteriores a la
resolución de problemas.
Resolución de desafíos y problemas
de planteo.
Conocer y utilizar procedimientos de
cálculo algebraico con expresiones en
las que intervienen raíces cuadradas
y cúbicas.
Resuelve ejercicios que involucren uso
de propiedades y racionalización,
ecuaciones irracionales y cálculo
de raíces.
Generalización a raíces de
otros índices.
Generalizar las propiedades
estudiadas para las raíces cuadradas y
cúbicas a raíces de otros índices.
Resuelve ejercicios de raíces de índice
distinto a 2 y 3 aplicando las
propiedades.
Uso de herramientas tecnológicas
apropiadas para los contenidos de
la unidad.
Utilizar algunas herramientas
tecnológicas como ayuda en la
resolución de problemas.
Utiliza la calculadora para resolver
los ejercicios.
Utiliza software sugerido para graficar
función raíz cuadrada.
El tiempo asignado a cada unidad está en base a la distribución horaria ministerial de 3 horas semanales
para el nivel de III medio. Cada profesor puede reasignar este tiempo según si el establecimiento educacional
ha asignado horas de libre disposición al sector de matemática.
26
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Desarrollo de la Unidad
Para introducir esta y otras unidades es bueno contextualizar los
problemas que pueden ser resueltos con los contenidos que aprenderán
los estudiantes. Se debe crear la necesidad de los contenidos planteando
varios problemas desde distintos ámbitos. Se deben tomar algunos
minutos de la clase en la que se comenzará la unidad para esto. Algunos
posibles ejemplos son:
•Un agricultor tiene un terreno de límites irregulares. Él necesita cercar
parte de su sitio para sembradío, de modo que este terreno sea
cuadrado y que su área sea igual a 552,25 metros cuadrados. ¿Cómo
podría saber el agricultor cuánto debe medir el lado del cuadrado?
UNID AD 1
a)Introduciendo la unidad
Si hacemos un bosquejo de la situación y escribimos los datos dados,
tendremos que:
552,25 m2
x
x2 = 552,25
x
Entonces, se puede razonar de la siguiente manera: ¿qué número
elevado a dos da por resultado 552,25? Puede ser que encontrar este
número no sea fácil. Pero el énfasis en esta parte debe ser otro: si existe
una operación que se llama elevar al cuadrado, la operación inversa
estará definida de alguna forma especial. A esta operación la llamamos
“extraer raíz cuadrada”. Ahora bien, la pregunta que sigue es: ¿qué es,
entonces, una raíz cuadrada?
•Repasemos algunos conceptos estudiados en años anteriores...
Pensemos en los números que usamos diariamente. Generalmente,
estos son naturales (si decimos, por ejemplo, que el kilo de pan cuesta
$900); enteros (si decimos, por ejemplo, que estamos en el tercer
subterráneo de un edificio) o decimales (si queremos comprar, por
ejemplo, un octavo de jamón). Es más, aún podemos decir que
podríamos escribir un decimal donde las cifras decimales se repitieran y
estaríamos hablando de un número que se podría escribir como una
fracción (note que los alumnos ya han estudiado los números
racionales). Pero ¿podría escribir un número decimal donde sus cifras no
tuvieran un patrón de repetición y escribir infinitas cifras decimales?,
¿qué clase de número sería este?... no uno racional... sería irracional....
¿cuál es, entonces, otra forma de escribir este número?.... ¿qué
operatoria permitiría calcular dichos números?... ¿serán lo que llamamos
raíces una de estas formas?... Y si es así, como las sumaríamos
o multiplicaríamos...
•Si volvemos a recordar algunos contenidos vistos anteriormente y
aceptamos que el hecho de encontrar el valor de x en la igualdad
x 2 = 16 equivale a la operación que podemos llamar “extraer raíz
cuadrada”, pensemos en lo siguiente: ¿habrá un número que
27
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multiplicado tres veces por sí mismo dé 343?... Sí, lo hay, pero entonces
y en forma análoga, ¿es esta operación equivalente a extraer algún tipo
de raíz? Ya no es raíz cuadrada, no es al cuadrado al que elevo el número
buscado, sino al cubo. Entonces, ¿hay distintos tipos de raíces?, ¿cuántos
tipos habrá?, ¿se podrán operar estos distintos tipos?, ¿representarán
todas ellas el mismo tipo de números?
b)Preparando cada tema
A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para
tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Texto del
Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas
conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la
preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y
las capacidades trabajadas según los mapas de progreso.
Raíces, ¿qué son?
(Página 14 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad a través
de la matemática.
• Resolución de problemas desarrollando
el pensamiento lógico.
• Discernimiento de resultados en
situaciones cotidianas.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora).
• Trabajo grupal y servicio a
la comunidad.
Las capacidades trabajadas referente al
eje números son (en niveles 5, 6 y 7):
• Argumentar sus estrategias o
procedimientos y utilizar ejemplos y
contraejemplos para verificar la validez
o falsedad de conjeturas; reconocer
números irracionales.
• Utilizar raíces para la resolución de
problemas y un lenguaje matemático
en demostraciones y resolución de
problemas.
• Utilizar lenguaje matemático para
representar y resolver problemas
cotidianos.
En esta sección se formalizará el concepto de raíz cuadrada y raíz
cúbica al que intuitivamente nos acercamos a través de las preguntas
de la introducción de la unidad. Note la importancia de formalizar los
conceptos usando lenguaje matemático. Además, se trabajará en
cálculo de raíces, sean estas números racionales o irracionales. Por otra
parte, se enfatizará que podemos ver que todo número real siempre
se puede expresar como una raíz cuadrada.
Cabe destacar la definición formal de raíces, que es la propuesta por el
Mineduc en su libro de planes y programas para III medio. Esta es:
, si y solo si
Es decir, la ecuación
. Para todo número
tendrá dos resultados
.
y
.
Esto es equivalente a escribir que,
Observa que en toda raíz se tiene,
Índice de la raíz
n
a
Cantidad subradical
28
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Haga notar a sus estudiantes que ya no se define la raíz cuadrada de un
número como tradicionalmente se hacía, esto es, decir que, por
ejemplo, 4 = ±2.
En este caso, cuando se da solución a x2 = 4, habrá dos soluciones, que
serán 4 = 2 y − 4 = −2
, si y solo si
La ecuación
que es
. Para todo
tiene una solución en los números reales,
Haga énfasis que, en este caso, sólo un valor real satisfará la igualdad.
Reflexione con sus estudiantes, además, acerca de que la raíz cuadrada
sólo se define para los números reales positivos y el cero, ya que al
definir a = x , si y solo si x 2 = a, x 2 ≥ 0 (por propiedad de los números
reales), por lo tanto a ≥ 0 . La raíz cúbica, en cambio, está definida para
todos los números reales.
UNID AD 1
Con respecto a la definición de la raíz cúbica, tenemos que:
Pensemos en lo siguiente. Al calcular raíces cuadradas y cúbicas
distinguiremos dos casos: que su valor sea un número racional, con lo
cual el valor queda definido exactamente, o que sea irracional.
Es importante hacer notar, en este último caso, por ejemplo, el valor
exacto de 5 es 5, pero en algunas ocasiones se trabajará
aproximando su valor. Esto es, sólo se usa una aproximación racional
del verdadero valor de la raíz o del número irracional, pero no es en
verdad su verdadero valor, por lo que cada vez que nos queramos
referir al valor exacto de una raíz, que es irracional, deberemos
escribirla como raíz y no como decimal.
Se puede hacer notar aquí que, aunque solo se han definido raíces
cuadradas y cúbicas, existen raíces de otros índices. Así, se puede
ampliar el concepto de raíz de índices distintos de 2 y 3 según la
4 4
1616
= 2,
= 2,porque
porque242=4 16
= 16
, porque
definición. Por ejemplo,
En esta sección se propone trabajar el cálculo de raíces cuadradas y
cúbicas, con y sin calculadora. De esta forma, se puede proponer
calcular raíces cuadradas y cúbicas cuyo valor sea un número racional
y también un número irracional. Es importante hacer notar que se ha
propuesto el cálculo de raíces por aproximación por ser el más rápido
y sencillo. Sin embargo, se pueden trabajar también otros métodos
señalados en el libro en las secciones adjuntas.
29
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Propiedades de las raíces
(Página 23 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad a través
de la matemática.
• Análisis de procesos y establecimiento
de relaciones lógicas.
• Resolución de problemas y construcción de argumentos lógicos.
• Discernimiento de resultados en
situaciones cotidianas.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora).
• Desarrollo del trabajo grupal.
Las capacidades trabajadas referentes al
eje números son(en niveles 5, 6 y 7):
• Realizar las cuatro operaciones con
números reales en forma algebraica
utilizando propiedades.
• Identificar el conjunto numérico al que
pertenecen los resultados de un
determinado ejercicio o problema.
• Utilizar las potencias de base racional y
exponente racional, y sus propiedades,
para simplificar cálculos, y establecer la
relación entre potencias y raíces.
• Resolver problemas utilizando
estrategias que implican descomponer
un problema o situaciones propuestas
en partes o subproblemas.
• Realizar conjeturas que suponen
generalizaciones o predicciones y
argumentar la validez de los
procedimientos o conjeturas.
• Utilizar lenguaje matemático para
representar y resolver problemas cotidianos.
• Comprender que, en cada conjunto
numérico, se puede operar sobre la
base de reglas o propiedades que
pueden ser usadas para justificar o
demostrar relaciones.
Las propiedades de las raíces se abordan desde la contextualización
de problemas, de manera que los alumnos y alumnas puedan deducir
dichas propiedades. Luego, hay actividades propuestas para cada
propiedad, de modo que los estudiantes puedan ejercitar.
Al final de cada propiedad hay un sector destacado con la formalización
conceptual correspondiente. Recuerde que siempre es necesario
formalizar y sintetizar los conceptos clave con sus estudiantes.
Para demostrar estas propiedades puede también hacerlo desde una
mirada a las raíces como potencias. Proponemos las siguientes.
Multiplicación de raíces
La operación está definida siempre y cuando los índices sean iguales.
Se sugiere hacer énfasis en las condiciones para que las raíces estén
bien definidas.
Demostración (usando la definición de raíces como potencias):
n
30
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m
p
(
am ⋅ n b p = ( a ) n ( b ) n = am ⋅ b p
)
1
n
= n am ⋅ bp con a , b ∈ R + ∪ {0} , n ≥ 2
En algunos ejercicios se plantea la necesidad de efectuar la
multiplicación indicada, con el fin de mostrar que la raíz producto es
racional, siendo los factores no necesariamente racionales, como se
ilustra, en el ejemplo, j (Pág. 24) se tiene que: 3 4 ⋅ 3 2 = 3 8 = 2.
2/11/11 16:53:22
Se hace hincapié en que usted realice, en clases, ejercicios similares a
los propuestos a fin de conducir exitosamente la actividad de la
pág. 25. Recuerde que mientras más práctica de resolución haya, más
seguridad adquieren sus alumnos y alumnas.
División de raíces
La división de raíces, al igual que la multiplicación, está definida
cuando los índices son iguales. Se sugiere, nuevamente, enfatizar en
las condiciones para que las raíces estén bien definidas.
Demostración (usando la definición de raíces como potencias):
n
m
p
(
am : n a p = ( a ) n : ( a ) n = am : b p
con a , b ∈ R + ∪ {0} , b ≠ 0, n≥2
)
1
n
=n
UNID AD 1
En los ejercicios resueltos se muestra cómo la multiplicación por una
raíz es distributiva con respecto a la suma; y que también se aplica en
suma por diferencia, cuadrado de binomio, etc.
am
,
bp
Se debe recordar también la idea de que la división es la
multiplicación del inverso multiplicativo del divisor.
Note que, hasta este punto, no se ha hablado de racionalización, por lo
1
se dejarán expresados de esta manera.
que resultados como
10
También se recomienda realizar otros ejemplos en el desarrollo de la clase.
Descomposición de raíces
Se trata esta propiedad como una aplicación de la multiplicación de
raíces, de la manera contraria a lo habitual, es decir, se mira el resultado
de una multiplicación de raíces para buscar sus factores. Más aún, la
idea es que uno de los factores sea un cuadrado, un cubo perfecto,
según sea el índice en que se esté trabajando. Así, la descomposición
puede expresarse como producto de racionales por irracionales.
Note que se generaliza que:
Descomponer una raíz cuadrada
es escribirla de la forma
, de modo que se cumpla que
En general, podemos descomponer
y escribirla de la forma
si se cumple que
Hay que tener en cuenta que la descomposición de raíces se utiliza
para escribir en forma más sintética una raíz, pero principalmente será
usada en ejercicios de sumas y restas de raíces.
Si bien se dieron ejemplos anotados paso a paso, como
3
16 a4 = 3 8 ⋅ 2 ⋅ a3 ⋅ a = 2 a 3 2 a , la idea es que los alumnos y alumnas
puedan omitir algunos de estos en la medida que ellos se sientan seguros.
31
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2/11/11 16:53:23
Suma y resta de raíces
En esta parte se debe hacer énfasis que, en principio, no se pueden
sumar o restar raíces si estas no tienen igual cantidad subradical e
igual índice. Sólo se podrá sumar si se consigue, a través de la
descomposición o de otra forma, tener raíces de igual índice e igual
cantidad subradical. Esto se reduce a ver el ejercicio como la reducción
de términos semejantes.
También se deben mostrar casos en que los resultados ya no se
puedan reducir; por ejemplo: 2 + 3 es la expresión más reducida
que se podrá tener.
Acá se sugiere hacer énfasis en ejercicios del tipo (propuesto)
200 + 2 18 = 10 2 + 6 2 = 16 2 , donde existe descomposición.
Recuerde que se debe ejercitar hasta que usted como profesor o profesora
tenga la certeza de que sus estudiantes han aprendido los conceptos y la
forma en que se enfrentan y resuelven los ejercicios y problemas.
Tenga especial cuidado con las falsas generalizaciones de las
propiedades que pueden hacer los estudiantes. Un caso típico es
aquel de anotar que a ± b = a ± b
Raíz de raíz
Para definir esta propiedad se utilizan propiedades de las potencias y
la definición de raíz como potencia de exponente racional, ya que, de
esta forma, es más fácil abordar la demostración.
Note que la idea es reunir todo en una sola raíz, según lo escrito, pero,
estrictamente, extraer una raíz de un número que a la vez es raíz es ir
extrayendo raíces sucesivamente.
Note las siguientes comparaciones en algunos ejemplos; es
conveniente hacerlas notar a los estudiantes:
Efectuar:
3
64
Es verdad que 64 = 8 con lo que
tendremos que, 3 8 = 2.
Efectuar:
3
64 .
Si el alumno reúne las raíces según lo
indicado, tendrá que:
6
64 = 2 . Con lo que obtendrá, de la
misma manera, el resultado anterior.
Si decimos reducir a una sola raíz o expresar en una sola raíz es claro
que: 3 64 = 6 64 . Al contrario, si decimos extraiga raíz de una raíz, el
alumno será libre de elegir cualquiera de los caminos mencionados.
De manera inversa ¿Qué pasa si se solicita encontrar 6 64 ? El mérito
que tiene la fórmula es que se puede descomponer en
3
64 o bien
bien
3
3
64 oo bien
64 y para así poder calcular en forma más sencilla el
3
64
resultado pedido. Note que mostrar estas alternativas a los
estudiantes hace que ellos manejen más herramientas y con ello
ayuda a formar un pensamiento lógico analítico.
32
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Racionalización
OFT
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad e
investigar sobre nuevas situaciones.
• Análisis de los procesos matemáticos
involucrados en la construcción de los
contenidos.
• Resolución de problemas y desarrollo
del pensamiento lógico.
• Discernimiento de resultados en
situaciones cotidianas.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora).
• Trabajo grupal.
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al
eje números son (en niveles 5, 6 y 7):
• Argumentar sus estrategias o
procedimientos y utilizar ejemplos y
contraejemplos para verificar la validez
o falsedad de conjeturas, reconocer
números irracionales.
• Identificar el conjunto numérico al que
pertenecen los resultados de un
determinado ejercicio o problema.
• Resolver problemas utilizando
estrategias que implican descomponer
un problema o situaciones propuestas
en partes o subproblemas.
• Utilizar lenguaje matemático para
representar y resolver problemas
cotidianos.
Las capacidades trabajadas referentes al
eje álgebra son (nivel 7):
• Mostrar autonomía y flexibilidad en la
transformación de expresiones
simbólicas, escribiendo, reconociendo y
eligiendo formas equivalentes de
distintas representaciones algebraicas.
UNID AD 1
(Página 40 del Texto del Estudiante)
Al abordar este tema hay que hacer varias consideraciones. La primera
de ellas es referirse a expresiones fraccionarias y no a fracciones
cuando se habla que existen raíces en el denominador, ya que sería un
abuso de lenguaje si nos apegamos al concepto de fracción
a
entendido como aquella expresión de la forma , con a y b números
b
enteros y b distinto de 0.
Salvado esto, diremos que racionalizar es necesario debido a que se
hace imposible dividir por un número irracional (que contiene
infinitos decimales y, por lo tanto, imposible de ser amplificado o
transformado a fracción). Así, se busca una expresión fraccionaria
equivalente, donde el divisor sea un número entero.
Se han abordado los casos en los que hay una raíz cuadrada o una
suma o resta de raíces cuadradas o una raíz cúbica en el denominador.
Note que es importante justificar la forma de racionalizar cada caso y
hacer énfasis en que, al hacerlo, se mantiene una expresión
equivalente (una posible forma de abordar esto es que los estudiantes
lo verifiquen con sus calculadoras; otra forma es la sugerida en el
recuadro “Toma nota” (pág. 43)):
Al final de la sección existe una evaluación de proceso (“Revisemos lo
aprendido”). Se sugiere que los alumnos y las alumnas puedan
verbalizar las dificultades de la unidad e indicarles alguna fuente de
apoyo o bien repasar con el curso nuevamente los contenidos de
mayor dificultad antes de seguir adelante.
33
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Ecuaciones irracionales
(Página 48 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad e
investigar sobre nuevas situaciones.
• Análisis de los procesos matemáticos
involucrados en la construcción de
los contenidos.
• Resolución de problemas, desarrollando
el pensamiento lógico y manejo
algebraico.
• Discernimiento de resultados en
situaciones cotidianas.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora).
• Desarrollo de habilidades para el
trabajo grupal.
Las capacidades trabajadas referentes al
eje números son (en niveles 5, 6 y 7):
• Identificar el conjunto numérico al que
pertenecen los resultados de un
determinado ejercicio o problema.
• Utilizar lenguaje matemático para
representar y resolver problemas
cotidianos.
Las capacidades trabajadas referentes al
eje álgebra son (en 6):
• Elaborar estrategias de resolución de
problemas y ejercicios, desarrollarlas y
justificarlas usando lenguaje algebraico.
Una ecuación irracional puede ser considerada como aquella ecuación
donde al menos una de las incógnitas involucradas está en la cantidad
subradical de una raíz. Pero también puede ser considerada como una
igualdad a la que se le ha extraído raíz (siempre que esté bien definida)
por ejemplo, si al extraer raíz a ambos lados se tendrá que x + 3 = 6 ,
estaremos en presencia de una ecuación irracional. Mirado de esta forma,
tiene sentido elevar al cuadrado para volver a la ecuación original.
En esta parte, se sugiere definir claramente lo que es una ecuación
irracional, como también explicitar, en forma ordenada, los pasos por
seguir para resolverla.
Se debe recordar que los resultados obtenidos por los pasos
mencionados anteriormente son sólo candidatos a solución. De aquí
que sea absolutamente necesario comprobar que dichos resultados
satisfacen la ecuación propuesta.
Indique a sus estudiantes que siempre tengan en cuenta que una vez
aislada una raíz, hay ocasiones en que en el otro miembro quedan
sumas y/o restas que al elevarse al cuadrado o al cubo deben ser
desarrolladas como cuadrados o cubos de binomios o polinomios.
Ahora bien, en los ejercicios propuestos que contienen suma o
diferencia de dos raíces se debe aislar una de las raíces antes de elevar
al cuadrado. Esto facilita el desarrollo.
Desarrollo 1:
(
2 x + 10 − 2 x + 3 = 1
2 x + 10 = 1 + 2 x + 3
2 x + 10
) = (1 +
2
2 x +3
/ + 2 x +3
/(
)
2
2 x + 10 = 1 + 2 2 x + 3 + 2 x + 3
6 = 2 2x + 3
3 = 2x + 3
34
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/ :2
/(
9 =2 x +3
/ −3
6=2x
/ :2
3= x
)
2
)
2
/ −2 x − 1 − 3
2/11/11 16:53:29
Haciendo la comprobación se obtiene que,
2x + 10 − 2x + 3 = 1
16 − 9 = 1
4 −3 = 1
1 = 1, por lo tanto x = 3 es solución.
Por otro lado, note que cada vez que se plantea una ecuación
irracional, donde una raíz cuadrada sea igual a un número negativo,
esta no tiene solución, pues contradice la definición de raíz cuadrada.
Por ejemplo: x + 2 = −3
Se trabajan en esta sección habilidades como conocer, calcular, aplicar,
analizar, sintetizar, reflexionar, relacionar, resolver problemas.
Esta sección termina con la evaluación de proceso (“Revisemos lo
aprendido”). Se sugiere motivar a sus alumnos y alumnas para que
respondan responsablemente esta evaluación y busquen, guiados por
usted, remediales para los contenidos por lograr.
UNID AD 1
6 + 10 − 6 + 3 = 1
Función raíz cuadrada
(Página 55 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad,
conocerla y entenderla a través de
modelos matemáticos.
• Análisis de los procesos matemáticos
involucrados en la construcción de
los contenidos.
• Resolución de problemas, desarrollando
el pensamiento lógico y manejo
algebraico.
• Discernimiento de resultados en
situaciones cotidianas.
• Uso de herramientas tecnológicas
(programas computacionales).
• Desarrollo de habilidades para el
trabajo grupal.
Las capacidades trabajadas referente al
eje álgebra son (en niveles 5, 6 y 7):
• Reconocer el tipo de situaciones que
modelan las funciones raíz cuadrada y
representarlas a través de tablas,
gráficos y algebraicamente.
• Justificar la pertinencia del modelo
aplicado y de las soluciones obtenidas.
• Elaborar estrategias de resolución de
problemas y ejercicios, desarrollarlas y
justificarlas usando lenguaje algebraico.
• Modelar situaciones o fenómenos
provenientes de diversos contextos.
En primer lugar, considere que la función raíz cuadrada carecerá de
sentido para los alumnos y alumnas de este nivel si no está presente
en el modelamiento de algunas situaciones cotidianas.
En segundo lugar, muestre el tipo de gráfico que representa una
función raíz cuadrada. Aquí se sugiere que, a través de los gráficos, se
hagan análisis en relación con su crecimiento, desplazamiento, forma,
etc. Para graficar, se sugieren los siguientes softwares:
Graph, que se puede bajar gratuitamente desde:
http://gratis.portalprogramas.com/graph.html
Graphmatica, también gratuitamente desde:
http://graphmatica.programas-gratis.net/
Use los cuadros donde se muestra cómo graficar con los programas; lleve a
sus estudiantes a la sala de enlace y, si es posible pues tiene los medios de
utilizar data show, proyecte los pasos que usted hace para graficar.
35
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2/11/11 16:53:29
Acá debes colocar la función.
Recuerda que x elevado a 0,5
(un medio) es igual a la raíz
cuadrada de x.
Luego haces enter y aparecerá
la función graficada.
También puede utilizarse un mismo gráfico para comparar algunas
funciones raíz cuadrada dependiendo de la ecuación que las define;
por ejemplo:
f ( x ) = x ∧ 0, 5
f ( x ) = 2 x ∧ 0, 5
f ( x ) = x ∧ 0, 5 + 1
f ( x ) = ( x + 6 ) 0, 5
∧
8
6
4
2
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–2
–4
1
2 3
4
5 6
7 8
9
–8
36
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2/11/11 16:53:31
Para determinar más fácilmente el dominio y el recorrido, utilice los
gráficos de la funciones raíz cuadrada.
Por último, se menciona que la función y = x 2 es gráficamente la
misma que y = x . Deje que sus alumnos y alumnas grafiquen ambas
funciones, extraigan sus propias conclusiones y luego generalice. Dé
ejemplos que se comporten de manera similar, como y = 5 x 2 ,
y = 2 x2 o y = x2 + 6
UNID AD 1
En tercer lugar, se deben abordar con claridad los conceptos de dominio y
recorrido de la función raíz cuadrada. De esta manera se hace énfasis en
que el dominio depende de la expresión subradical de la raíz. Haga notar
a sus estudiantes que en el caso de la función raíz cuadrada el dominio
está restringido naturalmente por la definición de la expresión subradical
de ella. El recorrido dependerá de la constante que sume o reste fuera de
la raíz.
Sin embargo, puede ocurrir que alguno de sus estudiantes pregunte
por funciones del tipo y = x 2 + 5 . Es conveniente analizar estos casos
con la ayuda de los gráficos. Por ejemplo, si graficamos la función
dada, tendremos que:
(
f ( x ) = sqrt x ∧ 2 + 5
8
6
)
4
2
–9 –8 –7 –6 –5 –4 –3 –2 –1
–2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
–4
–8
Note que esta ya no es una función de gráfico conocida, como sucede
con las anteriormente analizadas. Esto se debe a que el sumando está
en la cantidad subradical.
En el ejercicio 2 de la actividad de la página 60, se pide determinar la
ecuación de la función que está representada por el gráfico. Note que
en este problema se deben elegir dos puntos (de fácil lectura) del
gráfico y formar un sistema de ecuaciones para determinar los
parámetros a y b, mencionados en el enunciado del problema.
Por ejemplo, los puntos pueden ser ( −5, 0) y ( 0, 2). Así se tendrá que
como son puntos de la función, cumplen con la igualdad y = ax + b
Para ( −5, 0) ⇒ 0 = −5 a + b ⇒ 0 = −5 a + b
Para ( 0, 2) ⇒ 2 = 0 ⋅ a + b ⇒ 4 = b
37
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2/11/11 16:53:34
Como b = 4, reemplacemos este valor en la primera ecuación y tendremos
4
que 0 = −5 a + 4 ⇒ 5 a = 4 ⇒ a = ; por lo tanto, la función es:
5
y=
4
x +4
5
Adicionalmente a lo señalado, se debe destacar que al analizar la
función raíz cuadrada a través de sus gráficos, es importante hacer
notar que:
(
)
•la función raíz cuadrada f ( x ) = k x , k > 0 es estrictamente
creciente, esto es que: ∀a , b ∈ Dom f ( x ) , si a > b ⇒ f ( a ) > f ( b ).
Resulta más sencillo mirarlo en el gráfico y mostrarles a los alumnos
que, a medida que x crece, entonces f ( x ) o y , también lo hace.
Además si k < 0 , será estrictamente decreciente.
•el gráfico de la función raíz cuadrada podrá tener su origen (o punto
mínimo o máximo) en cualquier punto del plano, dependiendo de
los coeficientes de k, a, b y c en la función de la forma
y = k ax + b + c . Esto hace que pueda asumirse un desplazamiento
de los gráficos con respecto al gráfico de la función y = x
•se puede determinar, directamente a partir del gráfico, el dominio y
el recorrido de la función. Aunque para hacerlo algebraicamente se
debe condicionar que la cantidad subradical sea mayor o igual a 0
(en el caso del dominio). Para el caso del recorrido, este depende de
c. Como el valor más bajo que puede tomar la raíz es cero, entonces
el recorrido siempre será mayor o igual a c.
Se trabajan es esta sección habilidades como conocer, calcular, aplicar,
analizar, sintetizar, reflexionar, relacionar, resolver problemas.
Nuevamente se invita a los estudiantes a revisar su aprendizaje en la
evaluación de esta sección (mapa conceptual y preguntas posteriores).
Se sugiere revisar el mapa conceptual con el curso y rescatar dos o
tres soluciones distintas entre las dadas por los jóvenes.
c) Profundizando algunos conceptos
(Taller de profundización, página 64 del Texto del Estudiante)
En este taller se amplían las propiedades vistas para raíces cuadradas y
cúbicas a raíces de índice superior. Se trabajan algunos ejercicios a modo
de ejemplo y se proponen otros para que alumnas y alumnos los
resuelvan en grupo.
Es importante que los alumnos y alumnas puedan responder la
evaluación final del taller de profundización como evaluación de proceso
esto les entregará información sobre cómo ha sido su trabajo y lo que
deben repasar.
38
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Errores frecuentes
Contenido
Posible déficit
Sugerencia
Descomposición
de raíces.
Descomposición factorial
de números naturales. (Los
estudiantes no
descomponen de manera
factorial).
Propiedades de
las raíces.
Propiedades de las
potencias. (Los estudiantes
no manejan propiedades
de las potencias).
Revisar y ejercitar propiedades de las potencias: multiplicación y
división de potencias y potencia de una potencia.
Suma o resta
de raíces.
Reducción de términos
semejantes. (Los
estudiantes no reducen
adecuadamente términos
semejantes).
Desarrollar ejercicios que involucren reducción de términos
semejantes.
Por ejemplo: 2 y + 3 y = 5 y
Multiplicación de
raíces y ecuaciones
irracionales.
Cuadrado de binomio
como producto notable.
Los estudiantes desarrollan
incorrectamente el
cuadrado de binomio
2
como: ( a + b ) = a2 + b2 .
Operatoria con raíces
cuadradas en productos
notables.
Racionalización.
(Los estudiantes no han
aprendido correctamente
las propiedades de
las raíces).
Ejercitar descomposición factorial, haciendo énfasis en expresar
algunos de los factores como cuadrados o cubos perfectos.
Por ejemplo: 28 = 2 ⋅ 2 ⋅ 7 = 22 ⋅ 7, a7 b5 = a2a2a2ab2b2b .
UNID AD 1
Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por
los estudiantes. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la
unidad para corregirlos.
Ejercitar con ejemplos del mismo tipo propuestos en la revisión de
contenidos previos.
4 ◊ −2◊ +7 ◊ = 9 ◊
Ejercitar desarrollo de cuadrados de binomios.
Por ejemplo: ( 2 x − 4 ) = 4 x 2 − 16 x + 16
2
Haga énfasis en que el resultado de un cuadrado de binomio
tiene 3 términos.
Ejercitar la operatoria de raíces que involucren productos notables.
Sobre todo suma por diferencia. Por ejemplo:
(
)( x + 3)
= ( x ) − ( 3)
x− 3
2
2
= x −3
39
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Síntesis de la Unidad
Síntesis conceptual de la unidad
El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes
puedan revisar los conceptos fundamentales de la
unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual
como ejemplo de síntesis de los conceptos de la
unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus
estudiantes haciendo énfasis en los conceptos.
Ejercicios propuestos en esta Guía
i. Actividades de refuerzo
Estas actividades se presentan como un apoyo
para el profesor y los estudiantes, de manera de
reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería
de ejercicios que puede trabajar en clases, en
forma adicional a los ya propuestos en el texto.
ii. Ficha de refuerzo
Estos ejercicios están destinados a aquellos
estudiantes que aún no han logrado los objetivos
mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre
los conceptos fundamentales de la unidad.
iii. Actividades de profundización
Este material tiene por objetivo ampliar los
conocimientos de los estudiantes que evidencien
mayores habilidades matemáticas en esta unidad.
Se proponen ejercicios y una actividad con los
que usted puede trabajar.
Tipos de ejercicios
Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan
todos los contenidos en diferentes ítems, que
pueden ser trabajados grupal o individualmente.
En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo,
se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo
en la resolución de los ejercicios.
Finalmente, también ofrecemos evaluaciones
basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una
sugerencia para que el alumno revise y obtenga su
porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado
individualmente.
40
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Actividades de refuerzo
62500
, ¿se obtiene
50
un resultado menor a 0,8?
3. ____ 6 5 = 4 3 5
10.
5. ____ 9 + 3 −27 = 36
6. ____ 3 11 − 7 = 3 11 − 3 7
8. ____Para racionalizar
multiplicar por
17
17
17
17
4.
9. ____No se puede dividir −81 por −3 ,
porque las cantidades subradicales son
negativas en ambas raíces.
(
10. ____ 2 15
)
2
3
3
= 30
II. Usando las propiedades de las potencias, desarrolla
los siguientes ejercicios. Recuerda simplificar cada
expresión de ser posible:
1.
1
2
+ −1 + 22
−3
10
10
2. 1 +
13
36
3. Expresa con aproximación a la centésima.
4.
5.
7 2 −2 7 ⋅ 7 2 +2 7
1
31
2 + 4 7−
4
16
4+1
1
3 3
1
⋅
3 −
16 8 8
24
6. 12 150 x 6 b5 : 10 6 x 2b3
7. Escriba como producto de potencias
x 2 y3
z
4 1,75 − 2 2,5
2x+
(
5.
3
−2=5
4
)
2 x2 − x + 2 + 1
2.
3.
se debe
1
III.Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales;
no olvides comprobarlas.
1.
7. ____El recorrido de la función
f ( x ) = 2 x + 5 es el conjunto de todos
los reales mayores o iguales a cinco.
3
3
2
=x
3⋅ 3 x +1 =3
x + 2 = x +6
x −5
x −3
=
x −7
x −6
IV.Resuelve los siguientes problemas relacionados
con raíces y función raíz cuadrada. Escribe todo
el desarrollo en tu cuaderno.
1. La mamá de Francisco necesita colocar en su
patio un cordel para colgar la ropa. Para que
pueda colgar más ropa decide colocarlo
desde una esquina a otra del patio (en
diagonal). Francisco mide su patio y registra:
de largo, 5 metros, y de ancho, 4 metros. ¿Cuál
es la cantidad mínima de cordel que debe
comprar la mamá de Francisco?
2. Una escuela hace un estudio sobre el número
de estudiantes matriculados por año. La
matrícula del colegio se comporta según la
función m ( a ) = 200 a + 9, donde m
representa el número de estudiantes en
decenas y a representa los años de existencia
del colegio, partiendo desde el año 0 como el
año de fundación. ¿Cuántos estudiantes
tendrá el colegio a los 10 años de vida si se
sigue comportando de esta manera?
UNID AD 1
9.
Material Fotocopiable
8,3 − 3 3 + 1
2. ____Las raíces cúbicas a veces son números
reales
4. ____La solución de la ecuación 3x − 5 = 2
es x = 3
625 − 4
Material Fotocopiable
1. ____El valor de raíz cuadrada de trece
es irracional
4
Material Fotocopiable
8. Al resolver
Material Fotocopiable
I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de
las siguientes afirmaciones según corresponda.
41
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2/11/11 16:53:43
Material
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
3. Mónica estaba viendo un reportaje sobre su
artista favorito y allí contaban que él dormía en
una cama redonda. Muy entusiasmada decidió
plantearle a su papá que quería implementar
aquella idea en su cuarto. El papá lo pensó un
rato y le dijo que para poner una cama de esas
características podía ocupar sólo 2 m2 del área
de su pieza. En este caso y sabiendo que
Mónica mide 1,67 metros, ¿podrá caber
π = 3, 14.
estirada en la cama? considere p
4. Sofía se acostó cansada de haber estudiado
para su prueba de raíces. Apenas puso la
cabeza en la almohada se quedó dormida y
comenzó a soñar, una bruja amenazaba con
destruir su casa a no ser que pudiera adivinar
este acertijo: “si al número de pasos que
debes dar para huir de mí, decía la bruja, le
agregas 3 y extraes su raíz cuadrada, será lo
mismo que caminar 10 medios pasos”.
¿Cuántos pasos debía dar Sofía, en sus
sueños, para huir de la bruja?
V. Marca la alternativa correcta:
1.
3
375 es equivalente a:
c. 5 3 2
a. 15
d. 3 3 5
b. 5 3 3
−1
a. 11
b. 44
c.
4
44
b.
12
7
b3
b3
)
2
3 5 + 1 − 3 5 − 1 es:
d. 6 5 − 4 11
e. 2 − 4 11
c. b 7 b3
d.
6
e.
b5
4
b
6. Si a = –3, b = 2 y c = –4, entonces acerca del
número 2 ab2c podemos decir que:
a.
b.
c.
d.
e.
es un número entero.
es un número racional.
es un número irracional.
no es un número real.
Ninguna de las anteriores.
7. Si p – 3 = 7 , entonces, ¿cuál de las
siguientes expresiones representa un
número entero?
a. p
d. p 6 7
b. p
c. p 6 7
resultado:
e. 25
30 6
5
−
3. ¿Cuál es el valor de
:
?
6
2 5
c. 2
6
a. −
e. 54
27
3
d.
b. −2 3
54
(
a.
8. Al resolver
2. Para que la función y = 5 x − 3 esté bien
definida se debe tener que:
3
5
5
a. x >
c. x >
e. x ≥ −
5
3
3
3
5
b. x ≥
d. x ≥
5
3
4. El valor de
5. La expresión b b 3 b es equivalente a:
e. Ninguna de las
anteriores
3
−
2+ 5
a. 8 5 + 2 2
3
b. 8 5 − 2 2
3
c. 2 2 − 8 5
3
5
2− 5
se obtiene por
d. 8 5 + 2 2
7
e. 8 5 − 2 2
7
9. ¿Cuál es el valor de x que satisface la ecuación
x + 4 − 1 − x − 3 = 0?
a. 0
b. 1
c. – 2
d. – 10
e. 12
10.¿Cuál(es) de los siguientes números reales
pertenece al dominio de la función
y = 2 7 − 3 x + 1?
I. 8
a. Solo I
b. Solo II
II. – 2
III.0
d. Solo I y III
e. Solo II y III
c. Solo III
42
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2/11/11 16:53:46
Ficha de refuerzo
441 − 3 1331
c.
2. Usando las propiedades de las raíces, resuelve:
a.
5 ⋅ 125
b.
3. Racionaliza:
a.
2
7
b.
3
2 16
7 500
c.
7
c.
3− 2
3
26
3
13
4. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales.
No olvides comprobar tus resultados:
a.
x + 17 = 23
b. 28 − 3 x + 3 = 5
c.
3
1
x + 31 = 3
2
5. Dada la función f ( x ) = 3 x − 6, grafícala
(puedes ayudarte con el programa
Graphmatica) y luego responde:
¿Cuál es el valor mínimo de la función?
¿Para qué valor de x se obtiene dicho valor?
¿Qué valor toma la función cuando x = 5?
¿Qué valor debe tomar x para que la
función sea igual a 15 ?
buscó en un libro y encontró que la fórmula
a2
era A =
3, donde a es la medida del lado
4
del triángulo ¿Puedes calcular tú el área
del triángulo?
b. Ignacio aprendió en su clase de Física que
el tiempo que se demora un objeto en caer
desde una altura h, en caída libre, está dado
2h
por t =
, donde g = 9,8 m/s2. ¿Cuánto
g
se demora la pelota de Ignacio en llegar al
suelo si la deja caer desde 4,9 m?
Material Fotocopiable
a.
b.
c.
d.
un triángulo equilátero de lado 5?" Ella
UNID AD 1
PSU donde preguntaban: "¿Cuál es el área de
Material Fotocopiable
a. 2 25
1
b. 3 729
3
a. Martina leyó un ejercicio de un ensayo de
Material Fotocopiable
1. Calcula el valor de las siguientes raíces:
6. Resuelve los siguientes problemas:
Material Fotocopiable
Resuelve los siguientes ejercicios en tu cuaderno.
No olvides colocar todo el desarrollo e incluye
todos los pasos.
43
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2/11/11 16:53:48
Material
Material Fotocopiable
1.
(
x −4 y
4
)(
x+ y
)(
3
2
x+4 y
4
)
Material Fotocopiable
2
2
2. 64 3 + 27 3 − 91
3.
6 5 ax + 25 ax
4.
ax + ax +
5
b− x + 5 b− x
2
3
3
( a)
x
5
0 ,2
Material Fotocopiable
5. ¿Cuál es el valor de y en
6
0, 5 y + 60
= 1?
2
2
2 7
5
− +1
1
−6
3 5
6.
+
2 5
4 2
2
− ⋅
+1
3 3 15
3
6−
7.
Material Fotocopiable
5
Material Fotocopiable
) − ( −1 −
11.Dicen algunos que el 21 es el número de la
buena suerte. Más aún que para que un
proyecto tenga éxito debe estar un periodo
de 21 días de incubación, como el del
nacimiento de un pollo. Te invitamos a que
simplemente remplaces x por 6 16 en
x 6 + x 3 + 1, reduzcas usando propiedades e
indiques si obtienes el número de la suerte
para algunos... ¿Tienes algún número para la
buena suerte?...
I. Ejercicios:
n
9.
(
10.
)
2
−27 +
II. Desafío:
x2 − 4 x + 4
x2 + 6 x + 9
8.
3
mx n
m5 x
⋅ 6 m x −1 ⋅ n
2
3
6
2− 3− 5
15
−2 + 100
256
) − ( −1 −
5
12.El orientador del colegio está enseñando
algunas técnicas de estudios y explicó que en
algunas oportunidades los problemas por
resolver parecen ser más difíciles de lo que
son y que la clave está en aplicar
estratégicamente lo que sabemos.
“Estratégicamente” es la palabra que a Delia
le quedó dando vueltas en su mente durante
todo el día... la aplicó en varios ejercicios con
éxito. ¿Cómo resuelves 6 x ⋅ 4 x 3 y cuál es el
resultado expresado como una raíz?
Herón de Alejandría, ingeniero griego que vivió
entre los años 10 – 70 d. C., planteó que el área de
un triángulo se podía calcular sólo con la medida
de sus tres lados mediante la siguiente fórmula:
3
−27
)
2
+
256
Sean a, b y c los lados de un triángulo
cualquiera y s su semiperímetro (la mitad del
valor del perímetro). Entonces se tiene que:
A = s ( s − a) ( s − b) ( s − c )
¿Cómo puedes saber que esta fórmula se cumple?
¿Será siempre así? ¿Cómo se podrá demostrar?
Material Fotocopiable
2 + 100
Actividades de profundización
44
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2/11/11 16:53:51
La evaluación debe ser vista como un proceso continuo que se da a través
de todo el proceso enseñanza–aprendizaje. Resulta indispensable que cada
estudiante sea partícipe de su evaluación, de manera de ir recibiendo la
información necesaria que le permita revisar, corregir y estar seguro de la
calidad de su aprendizaje.
De este modo, se deben emplear, tanto por el profesor como por los
estudiantes, diversos instrumentos de evaluación a lo largo de la unidad.
Algunos sugeridos son:
a.
b.
c.
d.
e.
Escalas de apreciación
Listas de cotejo
Trabajos grupales formativos
Actividades individuales o grupales de estudio
Evaluaciones sumativas
UNID AD 1
Instrumentos de evaluación
Escalas de apreciación
Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los
alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada.
Un ejemplo de estas, que podría ser usada, por ejemplo, al final del estudio
de cada una de las propiedades de las raíces, es:
Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: Promedio obtenido: Porcentaje de logro: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, coloca una nota de 1 a 7
en cada una de las siguientes preguntas:
1. ¿He entendido los conceptos de la sección?
2. ¿He entendido los ejercicios resueltos o de ejemplos?
3. ¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos?
4. ¿He aportado al desarrollo de la clase?
5. ¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro?
6. ¿He realizado un buen trabajo en equipo junto a mis compañeros? (en
caso de trabajo en grupo)
7. ¿He demostrado interés en aprender?
8. ¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje?
45
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Listas de cotejo
Sirven para recolectar información sobre el nivel de logro de aspectos
trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante
o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es:
Curso: Realiza las
tareas dadas
Alumno
Aporta al
trabajo de su
grupo
NL:
Trabaja bien en
clases
Realiza los
ejercicios
propuestos
PL:
Explica los
conceptos
fundamentales
Logrado
Por lograr
No logrado
Pregunta
cuando tiene
dudas
Escala: L:
Abarca
Juan
Baeza
Lorena
También se puede aplicar al trabajo grupal. Por ejemplo, en los ejercicios de
síntesis y evaluación de la unidad.
Trabajos grupales formativos
Son guías pequeñas o actividades cortas (en el Texto del Estudiante están
indicadas como trabajos grupales), que los estudiantes deben realizar en
grupo (recuerde que un buen método de estudio es apoyarse con sus pares).
Se sugiere que el profesor corrija la actividad con el curso y pueda
entregarles retroalimentación acerca de los posibles errores cometidos.
Actividades grupales o individuales de estudio
Siempre, antes de una evaluación calificada, es recomendable que los
alumnos y alumnas conozcan el instrumento de evaluación que se aplicará,
por lo que se sugiere desarrollar una breve actividad en clase donde cada
estudiante pueda revisar los conceptos fundamentales tratados en la
sección. Esta actividad podría contener confección de mapas conceptuales,
ítems de verdadero y falso, de completación, ejercicios de resumen y
aplicación. En esta guía didáctica se entregan actividades y ejercicios
complementarios que pueden servir de gran ayuda.
46
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Evaluaciones sumativas
También se puede evaluar bajo la idea de Coevaluación, entendida como
aquella evaluación entre pares de una actividad o trabajo realizado.
Este tipo de evaluación puede darse en diversas circunstancias:
Durante la puesta en marcha de una serie de actividades o al finalizar una
unidad didáctica, estudiantes y profesores pueden evaluar ciertos aspectos
que resulten interesantes destacar.
Al finalizar un trabajo en equipo, cada integrante valora lo que le ha parecido
más interesante de los otros.
UNID AD 1
Entenderemos que estas son, en gran parte, calificadas y resumen todos
los contenidos de la unidad. No obstante, también pueden aplicarse como
evaluaciones formativas. En esta guía se entregan dos instrumentos
de evaluación.
Luego de una ponencia, se valora conjuntamente el contenido de los
trabajos, las competencias alcanzadas, los recursos empleados, etc.
Se sugiere al docente visitar el siguiente enlace para optimizar este
recurso evaluativo:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573
COEVALUACIÓN
TEMA: FECHA: :
INDICADORES
Niveles de logro
INTEGRANTES DEL GRUPO
1
2
1
3
4
5
4 = SÍ
8 = NO
2
3
4
Total
1. Aporta ideas al
grupo.
2. Es responsable.
3. Coopera con el
trabajo de su grupo.
4. Es prolijo en el
trabajo.
5. Mantiene buenas
relaciones en el
grupo.
Note que el ítem de alternativas propuesto en el libro tiene una evaluación
porcentual de logro que los estudiantes deben calcular. Esta se puede
traducir a nota según las siguientes tablas (al 50% o al 60%).
47
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2/11/11 16:53:52
Escala al 50 %
%
nota
%
nota
%
nota
%
nota
%
nota
0
1,0
21
2,3
42
3,5
63
4,8
84
6,0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
1,1
1,1
1,2
1,2
1,3
1,4
1,4
1,5
1,5
1,6
1,7
1,7
1,8
1,8
1,9
2,0
2,0
2,1
2,1
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
2,4
2,5
2,6
2,6
2,7
2,7
2,8
2,9
2,9
3,0
3,0
3,1
3,2
3,2
3,3
3,3
3,4
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
3,6
3,6
3,7
3,8
3,8
3,9
3,9
4,0
4,1
4,1
4,2
4,2
4,3
4,4
4,4
4,5
4,5
4,6
4,7
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
4,8
4,9
5,0
5,0
5,1
5,1
5,2
5,3
5,3
5,4
5,4
5,5
5,6
5,6
5,7
5,7
5,8
5,9
5,9
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
6,1
6,2
6,2
6,3
6,3
6,4
6,5
6,5
6,6
6,6
6,7
6,8
6,8
6,9
6,9
7,0
2,2
41
3,5
62
4,7
83
6,0
%
nota
%
nota
%
nota
%
nota
%
nota
0
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 48
24
25
2,3
2,4
20
Escala al 60 %
48
22
23
20
1,0
1,1
1,1
1,2
1,2
1,3
1,3
1,4
1,4
1,5
1,5
1,6
1,6
1,7
1,7
1,8
1,8
1,9
1,9
2,0
2,0
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
2,1
2,1
2,2
2,2
2,3
2,3
2,4
2,4
2,5
2,5
2,6
2,6
2,7
2,7
2,8
2,8
2,9
2,9
3,0
3,0
3,1
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
3,1
3,2
3,2
3,3
3,3
3,4
3,4
3,5
3,5
3,6
3,6
3,7
3,7
3,8
3,8
3,9
3,9
4,0
4,0
4,1
4,2
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
4,2
4,3
4,4
4,5
4,5
4,6
4,7
4,8
4,8
4,9
5,0
5,1
5,1
5,2
5,3
5,4
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
5,8
5,9
6,0
6,0
6,1
6,2
6,3
6,3
6,4
6,5
6,6
6,6
6,7
6,8
6,9
6,9
5,4
100
7,0
5,7
5,5
5,6
5,7
2/11/11 16:53:52
Evaluaciones
I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de
las siguientes afirmaciones según corresponda.
No olvides revisar tus respuestas al final del
libro, cuando hayas terminado.
1. ____Raíz cuadrada de 19 es irracional; por
tanto, al calcularla solo se obtiene una
aproximación racional de ella.
2. ____La raíz cúbica de un número negativo
representa un número real negativo
3. ____ 256 se puede descomponer como
−16 ⋅ −16
4. ____4 se puede escribir como 3 64 − 64 .
5. ____ x 2 −
y2 = x − y
6. ____Racionalizar consiste en transformar
una expresión fraccionaria con raíces en
el denominador en otra equivalente
con raíces solo en el numerador
7. ____ 3 3 11 = 6 33 .
x − 5 = −3
9. ____ –0,75 es un valor del dominio de
f (x) = 4 x +3
) (
)
2
2
25 − ( 2)
25 − 2 =
2
II. Usando las propiedades de las potencias,
desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda
simplificar cada expresión, de ser posible.
25
36
2. Aproximar a dos decimales el valor de
1.
3.
4+
3 110,06
196 3 500 4
−
+ 0,0256
16
256
(
5. ( 4
4. 4 2 − 3 5
)
2
5 + 22 + 1
)(
22 + 11 − 2 5
6. 4 9 x 5 y 8 : 5 4 x 3 y 2
U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 49
9.
z3
x y4
2
6+2 5 ⋅ 6−2 5
5 5+
5
1
5
3 5 + 11
10.
3 5 − 11
III. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales;
no olvides comprobarlas.
2 x +1
=3
7
x
x +5 −
=5
x +5
1.
2.
3. 3 x + 1 = 2 x + 1 − 2
4.
5.
3
x + 11 + 5 = 1
4 − 2+ x +5 = 0
IV. Resuelve los siguientes problemas de planteo:
8. ____La solución de la ecuación
es x = 14
(
7−4 3 ⋅ 7+4 3
8.
Evaluación 1
10. ___
7. Escribe como producto de potencias
UNID AD 1
De manera complementaria al Texto del Estudiante, a
continuación se presentan dos evaluaciones con
diferentes ítems para servir de apoyo al docente.
)
1. La empresa donde trabaja Heriberto lo ha
enviado a un instituto a estudiar la carrera de
Técnico Superior en Electricidad. La
condición para que la empresa pague sus
estudios es que apruebe todas las
asignaturas del primer semestre.
Desafortunadamente, la de Matemática
básica le ha sido difícil. No recuerda mucho
lo estudiado en enseñanza media. El profesor
fijó la próxima prueba y el tema es raíces. Al
desarrollar la guía preparatoria quedó
detenido en los ejercicios de división de
raíces. ¿Cuál será el resultado de
50
: 3 6 ?
72 + 512 − 722
2. Beatriz, Sandro y Paloma están asistiendo a un
Taller de Astronomía, en representación de su
liceo. Allí aprendieron que una Unidad
Astronómica (U.A.) corresponde a la distancia
de la tierra al sol. Estudiaron además las leyes
de Kepler, la tercera de ellas dice que:“Si R
49
2/11/11 16:53:54
representa la distancia de un planeta al sol, y
si se llama t al tiempo que tarda en dar una
vuelta completa alrededor de él, entonces,
dividiendo el cubo de R por el cuadrado de t,
siempre se obtiene un mismo número
llamado K”.
R3
Esto se expresa 2 = K
t
Los participantes en el taller trabajaron en
grupos desarrollando ejercicios en los que se
aplicaban las leyes de Kepler. El último
problema decía: “Teniendo en cuenta que la
distancia Venus-Sol es de 0,723 U.A., ¿a
cuántos años terrestres equivale un año
de Venus?”
3. La fábrica de tapas “Herméticas” recibe un
pedido de presupuesto para 5 000 tapas de
dos tipos: Añil y Beage, a nombre del Sr. A.
Buscapleitos. Se solicita que la razón entre el
área basal (s) de una tapa Añil con respecto
al área basal (S) de una tapa Beage sea de
8 es a 50. El encargado de los presupuestos
de fabricación, el señor P. Sinengaños, debe
determinar la razón entre los radios de las
tapas para poder calcular su presupuesto.
¿Cuál es esta razón?
4. Manuel es deportista de alto rendimiento y
se está preparando para una competencia.
Cada día debe entrenar un número de horas
determinado por la siguiente función:
d
h ( d ) = 1, 5
+ 2, donde h son las horas que
2
debe entrenar y d es el día de entrenamiento
(1 es el 1er día, 2 el 2º día, etc.). ¿En qué día
entrenará 6 horas diarias?
V. Marca la alternativa correcta.
1. El valor de 4 4 ⋅ 36 es:
a. 6
b. 12
c. 36
d. 2 3
e.
4
12
2. Al efectuar la división a b : b a , se obtiene:
ab
e.
c. b
a. ab
b
ab
d.
b. a
a
3. Al reducir la expresión
3 + 12 − 27 − 243
3
a. un número entero
, se obtiene:
b. un número racional positivo
c. un número que no es real
d. un número irracional
e. No se puede determinar
1
−1
4. Si a = 92 y b = 27 2 , entonces el valor de b : a es:
3
27
3
b.
9
a.
c. 3 3
d. 9 3
e. 3
b. 2 5 1
1
80 +
180 ?
2
18
7 c.
e. 5
5
3
d. 4 5
b. 18
d. 34
b. 4 13 cm
d. 4 cm
I. q2
II. q q
5. ¿Cuál es el valor de
a.
5
6. El resultado de la ecuación 3 2 + x + 2 = 2 es:
c. 24
e. 38
a. 14
7. La diagonal de un rectángulo de ancho a y
largo l está dada por la ecuación d = a2 + l 2 .
Si la diagonal de un rectángulo de largo
12 cm mide 14 cm, entonces el ancho del
rectángulo mide:
c. 2 13 cm e. 2 cm
a. 52 cm
8. Si q es un número irracional, entonces
¿cuál(es) de los siguientes números no
necesariamente es (son) racional(es)?
III.q + q
a. Solo I
c. Solo II y III e. I, II y III
b. Solo II
d. Solo I y II
50
U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 50
2/11/11 16:53:56
7 5
2
7 5
b. −
2
a.
7+3 5
2
−7 + 5
d.
2
c. −
e.
−7 − 5
2
10.Con respecto a la imagen de 2 bajo la
función y = 4 x 2 , siempre se puede afirmar
que es igual a:
I. la imagen de –2 bajo la misma función
II. la imagen de 2 bajo la función y = 4x
III.la imagen de –2 bajo la función y = 4x
a. Solo I
d. I, II y III
b. Solo I y II
c. Solo II y III
e. Ninguna de las
anteriores
10.El dominio de la función f ( x ) = x + 23
contiene a todos los reales mayores o
iguales a..........
II. Usando las propiedades de las potencias,
desarrolla los siguientes ejercicios. Recuerda
simplificar cada expresión, de ser posible.
I. Complete cada oración según corresponda.
1. No se pueden calcular raíces cuadradas de
números..........
2. Al extraer la raíz cúbica de la raíz cuadrada
de 729 se obtiene..........
3. Si el área de un cuadrado es 32 a2, entonces
su lado vale..........
4. El valor obtenido al multiplicar cuatro veces
por sí misma 4 2,4 es..........
5. ..........es la expresión como potencia de
3
(−2)
5
5
6. Al multiplicar 2 por 4 y expresar la
respuesta en una única raíz, se obtiene..........
7. Si x ⋅ 3 3 = 3 24 , entonces el valor de x es
igual a ..........
29
8. Al racionalizar 29 , la expresión equivalente
que se obtiene es igual a..........
9. El valor de x que satisface la ecuación
x + 6 = 4, es..........
4+
4
17
16
1
3. 2 −
2
4.
2
2 ⋅ 24,5
3
5
5.
Evaluación 2
−512
125
1. 3
2.
UNID AD 1
3+ 5
9. Al racionalizar la siguiente expresión
5 −3
se obtiene:
11 − 4 81
8 ⋅ 5 0, 125 + 8 ⋅ 18
(
4 2 5 2 − 3 0, 5
)
6. 2 49 x 5 y 6 : 7 4 x 3 y 4
7. Escribe como producto de potencias. 3
10 − 4 5
8.
6+2 5
⋅
2 3 −4
9.
10.
75
a2b5
z3
10 + 4 5
6−2 5
7 +2 5
7− 5
III. Resuelve las siguientes ecuaciones irracionales;
no olvides comprobarlas.
1.
2.
3.
4.
5.
33 x + 4 = 6
x 2 + 13 + 3 = x
1
x +7
2
2
=
3
6
x +6 ⋅ x +1
x +3
13
3 x +5 =1
2
= x +3
51
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2/11/11 16:53:59
IV. Resuelve los siguientes problemas de planteo:
1. Juan Carlos, amante del surf, decide construir
un estante para guardar sus tablas: la más
larga mide 2,5 metros. Las medidas con las
que lo construyó fueron: 1,5 x 1 x 1 metro.
¡Pobre Juan Carlos, esto no va a funcionar!
¿Puedes decir por qué? Escribe algunas de
las medidas con las que podría construir
su estante.
2. Cuando Fernando decidió estudiar ingeniería
hizo un plan para preparar la PSU.
Investigando sobre raíces, encontró en un
libro una propiedad que decía que:
n⋅ p
n m p q
a ⋅ b = amp bnq . Él lo demostró usando
la definición de las raíces como potencias de
exponente racional. ¿Lo puedes hacer tú?
¡Seguro que sí!
3. El curso de María Paz fue de visita a una
fábrica de arte en vidrio. Allá encontraron a
Don Severino, quien estaba haciendo
muchas figuras. Entre las lindas figuras había
una esfera muy grande llena de agua. Don
Severino le explicó a María Paz que en ella
cabían 45 litros. ¿Qué diámetro tenía la
π = 3, 14 .
esfera? considere p
4. Rigoberto y su curso asistieron a un museo
tecnológico. En la sala de la relatividad vieron
muchas fórmulas que aparecían y
desaparecían, continuamente, en una
pantalla. Todos reconocieron, de inmediato,
una muy famosa: E = mc2, y al lado, una foto
animada de Albert Einstein. El guía detuvo la
pantalla y señaló una fórmula que era un
poco complicada de escribir:
m0
m=
2
v
1−
c
Esta fórmula serviría para calcular la masa de
un objeto en relación a la velocidad que
lleve. Por ejemplo, les contó: “si una persona
de 90 kg viajara a una velocidad muy
cercana a la velocidad de la luz, ¡imagínense,
a 270000 km por segundo!, su masa sería
aproximadamente de 206 kg. Es decir,
aumentaría”. “¿Pero cómo lo sabe?, se
preguntaron unos a otros”. Él les explicó que
m0 es la masa de la persona, v es la velocidad
en que viaja, c = 300 000 km s es la
velocidad de la luz y m la masa que adquiría
la persona. Para corrobar lo que el guía les
dijo, haz los cálculos respectivos.
V. Marca la alternativa correcta.
1. ¿Cuál(es) de las siguientes propiedades se
cumple(n) siempre para las raíces?
I.
a ⋅ b = ab
II.
a + b = a+b
III. n ⋅ a = na
a. Solo I
c. Solo I y III
b. Solo I y II
d. Solo II y III
e. I, II y III
2. Si x = 4, entonces el valor de 16 ⋅ x es:
a. 8
b. 16
3. Al racionalizar
a. 3 3 5
b. 5 3 5
c. 32
d. 64
3
5
25
, se obtiene:
3
5
5
33 5
d.
5
c.
e. 128
e.
53 5
5
4. Si la diagonal de un cubo mide 4 3 cm,
¿cuánto mide, en cm2, el área total del cubo?
a. 24
b. 64
c. 72
d. 96
e. 288
5. Al calcular el producto de
5 ⋅ 13 − 8 por
5 ⋅ 13 + 8 el resultado es:
a. 0
b. 1
c. 8
d. 10
e. 24
6. La ecuación 2 x − 2 + 1 = 0 tiene por solución:
3
2
b. 1
a.
c. – 1
d. −
3
2
e. No tiene
solución
7. La preimagen de 9 bajo la función
y = x + 7 es:
a. 88
b. 74
c. 11
d. 4
e. 2
52
U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 52
2/11/11 16:54:02
a.
2
b. 5
5
5
es igual a:
c.
4
2
4
d. 5
e.
4
10
2
1
9. El resultado de 7 +
es:
7
a. un número natural
b. un número entero
c. un número racional
d. un número irracional
e. un número que no es real
b. 2 6
c. 2 37
d. 74
Puntaje
obtenido
Indicador
10.Con la medida de la diagonal de un
rectángulo de lados 5 y 7 cm se construye
un cuadrado cuyo lado mide lo mismo que
dicha diagonal. ¿Cuál es la medida de la
diagonal del cuadrado?
a. 2 3
Pauta de evaluación sugerida para
evaluación 1 y 2:
Esta pauta puede aplicarse para obtener el
porcentaje de logro, transformarlo a calificación y
también para evaluar cada ítem pedido. Puede
parcelar la evaluación como trabajo individual en
varias clases y luego promediar la calificación o los
porcentajes de logros obtenidos. Complete la
tabla adjunta:
e.
4
74
Puntaje
total
Número de respuestas
correctas del ítem I (verdadero
y falso). Asigne 1 punto por
cada respuesta correcta.
10
Número de ejercicios
desarrollados correctamente en
el ítem II (uso de propiedades).
Asigne 2 puntos a cada ejercicio.
20
Número de ecuaciones
irracionales resueltas
correctamente del ítem III.
Asigne 2 puntos a cada ejercicio.
10
Número de problemas de
planteo resueltos correctamente
del ítem IV. Asigne 2 puntos a
cada ejercicio.
Número de alternativas
contestadas correctamente del
ítem V. Asigne 1 punto a cada
respuesta correcta.
Total
UNID AD 1
8. El valor de
8
10
58
Para traducir a porcentaje de logro el puntaje
obtenido, use la siguiente fórmula:
Porcentaje =
Puntaje obtenido
⋅ 100
58
Para traducir a nota el porcentaje obtenido puede
usar las tablas anteriores.
53
U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 53
2/11/11 16:54:02
Solucionario de la Unidad
Actividades de refuerzo
Ficha de refuerzo
I. 1. V
3. V
5. F
7. V
9. F
2. F
4. V
6. F
8. V
10.F
II. 1. 32
2. 1
1
3
7. xy 2 z
1
6
−
1
2
3 −4
9.
3
2 7 + 10
10.
18
4. 3
5. 2,25
6. 6 x 2b
193
8
2. 2,5
3. 8
III. 1.
b. 3
c. 10
2 7
7
4. a. 512
b. 3 + 2
c. 2 3 169
2. a. 25
3. a.
8. 0,7. Sí
3. 8,36
1. a. 10
5. a. 0
6. a.
5
3
4
b. 2
b. 8
b. x = 2
c. 3
c. 50
c. – 8
b. 1 segundo.
d. 7
Actividades de profundización
4. 2
5. 9
I. 1. x – y
IV. 1. 6,5 metros
2. 514 estudiantes aprox.
3. No, ya que el diámetro de la cama tendría
que ser 1,60 m.
4. 22 pasos
V. 1. b
3. c
5. d
7. c
9. e
2. b
4. d
6. c
8. a
10.e
2. 34
3. 4 5 a x b x
4. 3 x a
5. 8
6. – 4
7.
n
m7 x −1
x −2
x +3
1
9. − 2 3 − 3 2 + 30
2
8.
(
)
10. 0
11. 21, sí.
12.12 x 11
54
U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 54
2/11/11 16:54:03
Evaluación 2
I. 1. V
3. F
5. V
7. F
9. V
2. V
4. F
6. V
8. F
10.F
I. 1. Negativos
6. 5
2. 3
7. 2
3. 4 2 a
1
6
2. 4,79
II. 1. 2
4. 2,4
5. ( −2)
3. 2,65
9. 10
5
3
10.–23
II. 1. –1,6
4. 77 − 24 10
2
5
2
6−4 3
9.
15
17 + 3 35
10.
2
8.
3. 0,5
3
4. 3,5
7. x −1 y −2 z 2
13
28
6. xy
8. 0,25
26
9.
5
10. 28 + 3 55
17
III. 1. 31
5.
III. 1. 1 724
4. –75
2. – 4
3. No tiene solución
4. 3
5. 1
2. no tiene solución
5. 191
5
7. a 3 b 3 z −1
2. 1,5
5. 2 110 + 12 22 + 42 5 − 7
6. 1,2 xy3
8. 29
UNID AD 1
Evaluación 1
3. –2
IV. 1. Porque la diagonal de este paralelepípedo
mide aprox. 2,06 metros
5 6
IV. 1.
54
2. aprox. 0,61 años terrestres
p
2. Por demostrar que n am ⋅ bq =
q
m
mp
n⋅ p
amp bnq
nq
1
⇒ n am ⋅ p bq = a n ⋅ b p = a np ⋅ b np = (amp bnq )np = np amp bnq
3. 0, 40
4. al 15° día
V. 1. d
3. a
5. c
7. c
9. c
2. e
4. a
6. d
8. e
10.d
(a
mp nq
b
)
1
np
np
= amp bnq
3. El diámetro mide aprox. 44,14 cm
4. m =
90
270 000
1−
300 000
mª206 kg
2
V. 1. a
3. e
5. b
7. b
9. c
2. d
4. d
6. e
8. d
10.c
55
U1 GUIA MAT 3M (024-057).indd 55
2/11/11 16:54:07
Bibliografía y detalle de links de la Unidad
Referencia histórica
Algunos links de apoyo son:
http://www.sectormatematica.cl/historia/
historiaencomic.swf
Explica, a través de un cómic a color, la historia de
las matemáticas. Incluye algunas animaciones con y
sin sonido. Permite de una manera grata, descubrir y
contextualizar la matemática, e invita al final a que
el estudiante se una al desarrollo del mundo de
las matemáticas.
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/
Historiamatindex.asp
Es un centro virtual para la divulgación de las
matemáticas. Es un sitio español con colaboradores
universitarios. A través de varios links de historia de
las matemáticas, publicaciones, links de recursos en
internet, etc. Con colaboraciones universitarias,
presenta algunos documentos en formato pdf
descargables e imprimibles. Otros solo versión
imprimible.
Función raíz cuadrada
•Graphmatica, también gratuitamente desde:
http://graphmatica.programas-gratis.net/
Sitios de descargas. Además de Graphmatica,
ofrece programas similares, algunos gratuitos y
otros de evaluación. Algunos de computación. Al
final de la página aparece link hacia aviso legal y
condiciones de uso contenidas en el mismo sitio.
Instrumentos de evaluación
Se sugiere al docente visitar el siguiente enlace para
optimizar este recurso evaluativo:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/
VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573
Es un portal de la educación, donde usted puede
conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a
la coevaluación y autoevaluación citando la fuente
de procedencia. El material está además en pdf
descargable e imprimible. Tiene además links de
interés para docentes, estudiantes y familia, no solo
en matemáticas, sino también para las otras
asignaturas o áreas del quehacer educativo.
Para graficar, se sugieren los siguientes softwares:
•Graph, que se puede bajar gratuitamente desde:
http://gratis.portalprogramas.com/graph.html
Sitio de descargas. Además de Graph, ofrece
programas similares, algunos gratuitos, de
evaluación y otros de computación. Al final de la
página aparece link hacia información legal
contenida en el mismo sitio.
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•Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría
Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London:
Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed.
•Swokowsky, E. y Cole, J. (2008). Álgebra y
Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.:
Thomson Editores. 11ª ed.
•Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008).
Álgebra clásica. Santiago: Universidad Católica de
Chile Ediciones. 1ª ed.
•Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D.
(2009). Manual de preparación para PSU
matemática. Santiago: Universidad Católica de
Chile Ediciones. 9ª ed.
•Sobel, M.y Lerner, N. (2006). Precálculo. México D.F.:
Pearson Educación Prentice Hall. 6ª ed.
•Spiegel, M. (2007). Álgebra superior (Serie Schaum).
México D.F.: Editorial Mac Graw Hill. 3ª ed.
•Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de
ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad
Católica de Chile Ediciones. 5ª ed.
UNID AD 1
Bibliografía temática
Sitios web sugeridos
Propuesta de actualización de conocimientos para
el docente:
http://www.elprisma.com/apuntes/apuntes.
asp?categoria=704
http://www.sectormatematica.cl/articulos.htm
En el buscador que presenta la página usted puede
buscar la materia que desee actualizar. El sitio web es
un portal para investigadores y profesionales. Es una
biblioteca virtual de varias áreas del saber: Ingeniería,
Medicina, Matemática, etc. Contiene apuntes y cursos
para la comunidad universitaria. Sin embargo, se
pueden encontrar suficientes apuntes en formato
Word y pdf, la mayoría descargables y reproducibles,
como los que están en este link.
Contiene links a diversos artículos para conocer el
pensamiento y trabajo de matemáticos, y
educadoras y educadores del mundo. Los artículos
están en formato Word , pdf, descargables y
reproducibles. También hay otros links internos y
externos, como poesía, revistas, etc.
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Unidad 2
Ecuaciones cuadráticas y
función cuadrática
Presentación de la Unidad
El estudio de las ecuaciones ha sido una parte fundamental en el desarrollo de
la matemática y de todas las disciplinas que dependan de ella. El encontrar
una fórmula general que resolviera ecuaciones de grado superior a uno se
convirtió en un objetivo clave para muchos matemáticos en la historia. Entre
todas las ecuaciones, las cuadráticas juegan un papel importantísimo en la
resolución de muchos problemas de la vida diaria y, unida a ellas, la función
cuadrática nos ayuda a modelar situaciones cotidianas en variados campos.
A través de esta unidad los estudiantes aprenderán la importancia de estos
temas y su utilidad. En esta guía didáctica, al igual que para la unidad anterior,
se continuará con el apoyo al docente en su trabajo.
La unidad se inicia con una referencia, breve pero significativa, de la historia
de la matemática (Pág. 77 del libro Texto del Estudiante) con respecto a las
razones de la aparición de la ecuación de segundo grado, la manera en que
se fue abordando su resolución a través del desarrollo del tiempo, su uso, y
cómo se relacionan estos conceptos con el de función. De esta manera, se
ayuda a los estudiantes a entender que los descubrimientos matemáticos se
suceden en la historia humana concatenadamente con ella.
Algunos links de apoyo son:
http://personal.globered.com/monis-en-asesoria-y correccion/categoria.asp?idcat=21
http://www.google.cl/archivesearch?q=historia+de+la+matematica&scoring=t&lr=lang_
es&hl=es&um=1&sa=N&sugg=d&as_ldate=0AD&as_hdate=199AD&lnav=hist2
La sección de conocimientos previos (Páginas 78 del Texto del Estudiante)
está dirigida a la revisión del concepto de factorización y algunos casos de
factorización (factor común, trinomio cuadrado perfecto y trinomio de la
formaax 2 + bx + c ), que son aquellos que usaremos en el desarrollo de esta
unidad. No obstante, si usted lo considera necesario, se podrían revisar los
otros casos de factorización.
Se recomienda hacer algunos ejemplos adicionales de cada caso. Los
ejercicios propuestos son sencillos y directos (estos son el tipo de
factorización al que el alumno se verá enfrentado), por lo que no revisten
mayor dificultad. Algunos links desde donde se pueden extraer ejercicios de
este tema son:
http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/gemafacto.htm
http://es.scribd.com/doc/3055044/Ejercicios-de-factorizacion
Al final de esta sección se plantea una autoevaluación para los estudiantes.
Dé tiempo para que la realicen a conciencia y responsablemente. Si hay
contenidos que sus estudiantes aún no manejan, es bueno dar una clase más
a ejercitación.
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Se trabajan en esta sección habilidades como reconocer, calcular, aplicar, relacionar.
Un esquema que resume los contenidos por tratar en esta unidad es
el siguiente:
ECUACIONES CUADRÁTICAS Y
FUNCIÓN CUADRÁTICA
Concepto de
ecuación cuadrática
Concepto de
función cuadrática
Tipos de ecuaciones cuadráticas
y métodos de resolución
Análisis de la
función cuadrática
UNID AD 2
Es importante que se realice la evaluación en cada una de las secciones en las
que están propuestas, ya que con ellas, el alumno podrá evaluar su avance y
establecer remediales en conjunto con su profesor, para aquellos contenidos
no logrados.
Problemas de aplicación a la
vida diaria
Objetivos y planificación
Antes de comenzar el desarrollo de los temas se deben tener claros los
objetivos y la planificación de la unidad. Presentamos aquí los objetivos que
deben alcanzar los estudiantes a través de la unidad y una propuesta de
planificación de ella.
Objetivos Fundamentales de la Unidad
•Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de
ecuaciones cuadráticas y función cuadrática.
•Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el
análisis de situaciones concretas.
•Modelar situaciones o fenómenos a través de funciones cuadráticas.
•Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando las
propias capacidades.
•Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a
desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.
•Razonar lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos
de solución a los problemas que se plantean.
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Planificación de la Unidad
Unidad 2
“Ecuaciones cuadráticas y función cuadrática”
CMO
Tiempo de duración
Aprendizajes esperados
30 horas pedagógicas.
Indicadores de evaluación
Concepto de ecuación cuadrática.
Distinguir ecuaciones cuadráticas.
Reconoce una ecuación cuadrática y la
diferencia con una ecuación lineal.
Ecuaciones cuadráticas incompletas.
Reconocer ecuaciones cuadráticas
incompletas.
Reconoce una ecuación cuadrática
incompleta.
Resolver ecuaciones cuadráticas
incompletas, decidiendo el método
adecuado.
Resuelve ecuaciones cuadráticas
incompletas usando el método
adecuado.
Reconocer ecuaciones cuadráticas
completas factorizables.
Reconoce ecuaciones cuadráticas que
puedan factorizarse y las resuelve
usando este método.
Ecuaciones cuadráticas completas
factorizables.
Resolver ecuaciones cuadráticas
factorizables.
Resolución de ecuaciones cuadráticas
por completación de cuadrados.
Utilizar el método de completación de
cuadrados para resolver ecuaciones
cuadráticas.
Resuelve ecuaciones cuadráticas
mediante el método de completación
de cuadrados.
Ecuaciones cuadráticas completas y
fórmula general.
Conocer la fórmula general para la
resolución de ecuaciones cuadráticas.
Reconoce la fórmula de resolución de
ecuaciones cuadráticas como fórmula
general para resolver cualquier tipo de
ecuaciones cuadráticas.
Resolver ecuaciones cuadráticas
mediante la fórmula general.
Resuelve ecuaciones cuadráticas
usando la fórmula general.
Aplicación de ecuaciones cuadráticas
a problemas.
Plantear y resolver problemas
que involucran ecuaciones de
segundo grado.
Explicitar sus procedimientos
de solución.
Resuelve problemas de planteo que
involucren ecuaciones cuadráticas.
Analiza la pertinencia de las soluciones
obtenidas.
Analizar la existencia y pertinencia de
las soluciones obtenidas.
Concepto de función cuadrática.
Reconocer una función cuadrática.
Análisis de la función cuadrática según Analizar la función cuadrática en el
sus principales características.
marco de la modelación de algunos
fenómenos sencillos, estableciendo
concavidad, puntos de corte con los
ejes coordenados, vértice, eje
de simetría.
Reconoce una función cuadrática
según su forma algebraica.
Analiza la función cuadrática
determinando sus principales
características: concavidad, vértice,
puntos de corte con los ejes
coordenados, eje de simetría y gráfico.
Intersección de la parábola con el eje x. Determinar los puntos de corte de una Determina los puntos de corte con el
parábola con el eje x estableciendo
eje x.
condiciones para ellos.
Establece las condiciones necesarias
para que una parábola corte al eje x en
uno, dos o ningún punto.
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Aprendizajes esperados
Indicadores de evaluación
Gráfico de la función cuadrática y
análisis de funciones del tipo:
y = ax 2 ; y = x 2 ± a , a > 0;
2
y = ( x ± a ) a > 0;;
y = ax 2 + bx + c .
Conocer la parábola como un lugar
geométrico, reconocer su gráfica e
identificar aquellas que corresponden
a una función cuadrática.
Analizar las funciones del tipo:
y = ax 2 ; y = x 2 ± a , a > 0;
2
y = ( x ± a ) a > 0;;
y = ax 2 + bx + c .
Asocia la parábola con el gráfico de
una función cuadrática.
Analiza los gráficos de las funciones de
la forma:
y = ax 2 ; y = x 2 ± a , a > 0;
2
y = ( x ± a ) a > 0;;
y = ax 2 + bx + c .
Aplicación de función cuadrática
a problemas.
Aplicar la función cuadrática en
diversos ámbitos de la tecnología y
situaciones que se puedan modelar a
través de ella.
Resuelve problemas cotidianos que
se modelan a través de funciones
cuadráticas.
Uso de herramientas tecnológicas
apropiadas para los contenidos de
la unidad.
Utilizar algún programa
computacional (graficador) para
graficar y analizar las funciones
cuadráticas.
Utiliza el programa Graphmatica u
otros similares para graficar y analizar
funciones cuadráticas y también como
ayuda para resolver problemas que
involucren funciones cuadráticas.
UNID AD 2
CMO
61
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Desarrollo de la Unidad
a) Introduciendo la Unidad
A manera de introducción a la unidad, siempre conviene contextualizar los
problemas que pueden ser resueltos con los contenidos que aprenderán
los estudiantes. Una forma de crear la necesidad de los contenidos es
planteando varios problemas desde distintos ámbitos. Se deben tomar
algunos momentos de la clase en la que se comenzará la unidad para esto.
Note que en algunos, la solución se puede obtener con los conocimientos
que los estudiantes ya poseen y estos ejercicios se podrán resolver
inmediatamente. En otros casos es conveniente plantearlos para crear la
necesidad de abordar los contenidos de la unidad y retomarlos en el
transcurso de ella. Algunos posibles ejemplos son:
•Unagricultortieneunterrenodelímitesirregulares.Élnecesitacercar
parte de su sitio para sembradío, de modo que este terreno sea
cuadrado y que su área sea igual a 552,25 metros cuadrados. ¿Cómo
podría saber el agricultor cuánto debe medir el lado del cuadrado?
Si hacemos un bosquejo de la situación y escribimos los datos dados,
tendremos que:
552,25 m2
x
x
El planteamiento conduce a x 2 = 552,25. ¿Qué
tipo de ecuación es ésta? En la Unidad 1,
dimos respuesta a la resolución de esta
ecuación: 23,5 m.
•“Cuandoeraniñomipapámeaseguróquehabíamásdeunnúmero
que cumplía con la siguiente condición: “el quíntuplo de su cuadrado
disminuido en su séxtuplo es cero”. Al plantear dicha ecuación, me
encontré con lo siguiente: 5x 2 − 6 x = 0. En este caso ya no es posible
extraer raíz cuadrada para resolverla como en el primer ejemplo.
Entonces caben preguntas como: con lo que sabemos, ¿será posible
resolverla?, ¿habrá algún método para hacerlo?, ¿tendrá siempre
solución?, y si así ocurriere ¿será siempre única dicha solución?”, etc.
b) Preparando cada tema
Al igual que la unidad anterior de esta guía didáctica, se entregan algunas
sugerencias metodológicas para tratar cada uno de los conceptos y
ejercicios abordados en el Libro del Estudiante. También se resaltan
algunas consideraciones y sutilezas conceptuales para que el docente las
tenga presente. Al iniciar la preparación de cada tema se muestra un
cuadro con los OFT tratados y las capacidades trabajadas según los
MapasdeProgreso.
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Ecuaciones cuadráticas: ¿qué son, cómo se resuelven
y para qué sirven?
OFT
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer y explicar la
realidad a través de la matemática.
• Resolución de problemas desarrollando
el pensamiento lógico.
• Discernimiento de resultados en
situaciones cotidianas para ver la
pertinencia de ellos.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora).
• Trabajo grupal.
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al
eje álgebra son(en niveles 6 y 7):
• Resuelve ecuaciones de segundo grado
identificando el conjunto al cual
pertenecen sus soluciones.
• Elabora estrategias de resolución, las
desarrolla y justifica usando lenguaje
algebraico.
UNID AD 2
(Página 80 del Texto del Estudiante)
• Interpreta y usa convenciones del
álgebra para representar
generalizaciones.
• Muestra autonomía y flexibilidad en la
transformación de expresiones
simbólicas escribiendo, reconociendo y
eligiendo formas equivalentes de
distintas representaciones algebraicas.
En esta sección se formalizará el concepto de ecuación cuadrática,
haciendo énfasis en que una ecuación cuadrática o reductible a una
ecuación cuadrática será toda aquella de la forma ax 2 + bx + c = 0, con,
a ≠ 0 y a, b, c números reales. Después, el desarrollo plantea desde el
análisis del tipo más sencillo de la ecuación cuadrática hasta el más
complejo, utilizando como criterio para esta separación las herramientas
que los estudiantes poseen para resolver una ecuación cuadrática. Lo que
se pretende es solo utilizar la fórmula general cuando sea estrictamente
necesario y que, a su vez, los estudiantes desarrollen la capacidad de
análisis y apliquen todo lo aprendido anteriormente para dar respuesta a
este tipo de ecuaciones.
En la página 80, el problema de presentación de la ecuación de
segundo grado está referido a una situación de los costos que tendrá
una fiesta de graduación. La formulación matemática respectiva
conduce a la necesidad de resolver el sistema:
x ⋅ y = 1197 000
( x + 12) ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000
donde x representa la cantidad de personas que van e y el costo de la
cena por persona.
El desarrollo matemático concluye en la necesidad de la resolución de:
−1 000x 2 + 14 364 000 − 12000x = 0,
para luego obtener el valor de y.
¿Qué hubiera pasado si el desarrollo presentado en lugar de haber
sustituido y se hubiera hecho con x? ¿Se habría obtenido una
ecuación similar, en su estructura, a la anterior pero en la variable y?
Si xy = 1197 000 ⇒ x =
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1197 000
. Reemplazando en:
y
63
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( x + 12) ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000
1197 000
+ 12 ⋅ ( y − 1 000) = 1197 000
y
1197
1197
000
000
000
000
1197
1197
000
000
− −
+ 12
+ 12
y −y12000
− 12000
= 1197
= 1197
000
000 / −/1197
−1197
000
000
y y
1197 000 000
−
+ 12 y − 12000 = 0
/⋅y
y
−1197 000 000 + 12 y 2 − 12000 y = 0
De esta manera, también obtenemos una ecuación de segundo grado,
y que es: −1197 000 000 + 12 y 2 − 12000 y = 0, con el requerimiento
de aprender a resolverla.
Definiremos ecuación cuadrática como aquella ecuación en la que al menos
una de las incógnitas involucradas está elevada al cuadrado, siendo la mayor
potencia de ella.
2
Así, una ecuación cuadrática será toda ecuación de la forma ax + bx + c = 0,
con a ≠ 0 y a, b, c números reales.
Es necesario mencionar algunos comentarios respecto de la definición.
1. Una ecuación cuadrática en la variable x puede tener más de una
variable. Por ejemplo: 5x 2 y − 2xz 3 = 4; − x 2w 2 − 7 + 2xw 5 = 0.
2. La forma estándar es ax + bx + c = 0, con a ≠ 0 y a, b, c números reales, es
decir, la forma homogénea, que nace de aquel trinomio ordenado de
manera descendente en la variable x igualado a 0. No es siempre
necesaria esta igualación a cero para distinguir cuándo una ecuación
pueda ser considerada o no una ecuación de segundo grado.
2
3. En la forma estándar, téngase presente la relación de que el exponente
de la variable en el primer término es el doble del exponente de la
variable en el segundo término. Esta estructura permite considerar
ecuaciones con otros grados o exponentes, pero que guardan una
relación con lo dicho. Veamos los siguientes ejemplos:
2 y 4 + 3 y 2 + 1 = 0, la cual es de cuarto grado en la variable y. Al sustituir y2
por x, se transforma en 2x 2 + 3x + 1 = 0, que es una ecuación de segundo
grado en la variable x.
−6z 6 + 0, 5z 3 + 21 = 0, que es de sexto grado en la variable z. Cambiando
z3 por u, se convierte en −6u2 + 0, 5u + 21 = 0, ecuación de segundo grado
la variable u.
1
−w + 9 w − 2 = 0, cuyos exponentes son 1 y , puede adoptar una
2
estructura de una ecuación de segundo grado reemplazando w , por x.
El hecho de que una ecuación que no sea de segundo grado pueda
adoptar una estructura de una ecuación de segundo grado, puede
favorecer su resolución.
64
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Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax 2 + c = 0, con aπ0, a y c en
los reales.
Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx = 0, con aπ0, a y b en los reales.
Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c = 0, con aπ0, a, b y c en los reales,
donde el trinomio es factorizable directamente o de fácil factorización.
UNID AD 2
Ahora bien, el análisis de los distintos tipos de ecuaciones cuadráticas y
su manera de resolverlas se inicia con los casos más sencillos, donde se
pueden resolver con las herramientas que se tienen hasta el momento,
para llegar a los de mayor complejidad, donde es necesario deducir una
fórmula para ellas. El esquema es el siguiente:
Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx + c = 0, con aπ0, a, b y c en los reales,
donde el trinomio no es fácilmente factorizable:
• Método de completación de cuadrados.
• Fórmula general.
Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma
, con
y , en los reales
En cierta medida, este tipo de ecuaciones ya fueron abordadas en la unidad
anterior al resolver ecuaciones x 2 = k , con k real mayor o igual a cero, donde
las soluciones son x = k ; x = − k
Aquí, téngase presente:
-Debido a que b = 0 en la ecuación general, una propuesta directa de
resolución es despejar la incógnita y extraer raíz, obteniendo así dos
soluciones posibles a lo más.
c
-La naturaleza de las soluciones depende del signo de − .
a
Si es positivo, las dos soluciones (inversa aditiva una de la otra) son reales. Si
es negativo, las dos soluciones no son reales, sino imaginarias
Explicítelo a sus estudiantes. Destaque además que cuando una ecuación “no
tenga solución” debe indicarse que es “con respecto a R”. Esto da pie a pensar
que puede haber otro tipo de números que sí cumplen con ser solución.
-El número de soluciones depende del valor c (explicítelo a sus estudiantes):
si c = 0, hay solo una solución: x = 0.
si c ≠ 0, hay dos soluciones.
65
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Una forma alternativa de resolver este tipo de ecuación en algunos casos es
mediante lo siguiente:
Ecuaciones cuadráticas incompletas de la forma ax 2 + c = 0, con a ≠ 0.
Justificación Teórica para el docente (note que para presentarlo a sus estudiantes,
debe considerar los casos en que a > 0 y c < 0).
ax 2 + c = 0
ax − ( −c ) = 0
2
ax 2 + c = 0
a2 x 2 + ac = 0
( a ) x − ( −c ) = 0
( ax ) − ( −c ) = 0
( ax + −c ) ( ax − −c ) = 0
2
2
2
2
x=− −
( ax ) − ( −ac ) = 0
2
( ax )
2
2
ax + −c = 0 ∨
/ ⋅a
(ax +
−
(
−ac
)
2
)(
=0
)
−ac ax − −ac = 0
ax + −ac = 0 ∨ ax − −ac = 0
ax − −c = 0
ax = − −ac ∨ ax = −ac
c
c
∨ x=+ −
a
a
x=−
−ac
−ac
∨ x=
a
a
x=− −
c
c
∨ x=+ −
a
a
Dos ejemplos sencillos para trabajarlos con los estudiantes.
25x 2 − 4 = 0
( 5x + 2 ) ( 5x − 2 ) = 0
5x 2 − 1, 8 = 0
5x 2 − 1, 8 = 0
fi5x + 2 = 0 ∨ 5x − 2 = 0
25x 2 − 9 = 0
/ ⋅5
( 5x + 3 ) ( 5x − 3 ) = 0
x = −0, 4 ∨ x = 0, 4
fi5x + 3 = 0 ∨ 5x − 3 = 0
Dos soluciones reales,
Una inversa aditiva una de la otra.
x = −0, 6 ∨ x = 0, 6
Dos soluciones reales. Una inversa aditiva
de la otra.
En la página 83, el ejercicio Nº 7 es un problema donde el planteamiento de la
ecuaciónporresolver,admitemásdeunaforma.Recordemoselenunciado:
Arnoldoestápreparandosuprimertrabajoparaeltallerdediseño.Lehan
pedido que haga un collage sobre una madera de área 900 cm2 con
cuadraditos de colores de 2 x 2 cm. La madera es un rectángulo, donde el
largo y el ancho difieren en 80 cm. ¿Cómo podrá Arnoldo saber cuántos
cuadraditos colocará a lo largo y a lo ancho?
Después de un momento de nerviosismo, decidió, ingeniosamente, calcular
los lados del rectángulo, entonces, hizo el siguiente bosquejo:
( x + 40)
( x − 40)
66
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2/11/11 16:57:09
Ahora bien, otra manera de resolver el problema, y que requiere el
desarrollo de otro tipo de ecuación, es considerar que el ancho es x y el
largo x + 80.
x
x + 80
x ( x + 80) = 900
x 2 + 80x = 900
/ ⋅900
2
x + 80x − 900 = 0
( x − 10) ( x + 90) = 0
x − 10 = 0 ∨ x + 90 = 0
x = 10 ∨ x = −90
UNID AD 2
La palabra ingeniosamente encierra la actitud de elegir un valor central x,
que es intermedio entre el largo y el ancho, de quienes solo se dice que
difieren en 80 cm. Así se elige x, como aquel valor que dista igual cantidad
de unidades entre el largo y el ancho. Es decir, 40 cm menos que el largo y
40 cm más que el ancho. Esto conduce ( x + 40) ( x − 40) = 900,
estandarizada a x 2 − 2500 = 0.
Sin embargo, en esta sección aún no se han abordado ecuaciones completas
y, por lo tanto, no será de fácil solución. Haga notar entonces a sus
estudiantes que es conveniente detenerse a pensar cuál es la manera más
adecuada de plantear un problema. Esta no es necesariamente la primera
que se nos ocurre y, en determinados casos, el plantear correctamente o
ingeniosamente un problema hace que su resolución sea sencilla.
Con respecto a las soluciones del problema, analice con sus estudiantes el
hecho de contextualizarlas. En este caso, x = −50 no es solución porque una
medida de longitud no puede ser negativa; por lo tanto, la solución es x = 50.
Haga énfasis en que el hecho de que uno de los valores no sea solución no
significa necesariamente que el otro tampoco lo sea. Se deben verificar ambos
resultados en el contexto del problema. Por último, se debe responder
claramente la pregunta del problema, que en la mayoría de los casos no es
necesariamente el valor obtenido para la incógnita; en este caso, se debe decir
claramente que las medidas son 90 cm y 10 cm, respectivamente.
Se proponen ejercicios y problemas, al final de esta sección, que integran
tanto contenidos vistos en la sección como otros que se han abordado en
unidadesdeañosanteriores.
Ecuaciones cuadráticas de la forma
, con
En esta sección se trabajarán las ecuaciones de este tipo basadas en las
siguientes consideraciones:
- Debido a que c = 0 en la ecuación general, una propuesta directa de
resolución es factorizar por x, obteniéndose así el producto de dos factores
lineales distintos igual a cero.
- Sabiendo que en los números reales se cumple: ab = 0 ⇒ a = 0 ∨ b = 0
con a , b ∈R
φ, complemento:
R.
con a , b ∈ IR
Cada factor lineal anterior es igual a cero, obteniéndose así dos ecuaciones
lineales de fácil resolución.
67
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2/11/11 16:57:16
-Las soluciones son siempre dos: reales y distintas. Provienen de la
resolución de las dos ecuaciones lineales distintas. Una de ellas es
siempre 0. Explicítelo a sus estudiantes.
Una forma alternativa de resolver este tipo de ecuación es la siguiente:
Ecuaciones cuadráticas de la forma ax 2 + bx = 0, con aπ0
Sabiendo que 0 es un elemento idempotente, es decir, 02 = 0 y mediante una
inspección directa tenemos que 0 es una solución de ax2 bx = 0, porque
a ⋅ 02 + b ⋅ 0 = 0, entonces x 0.
Ahora bien, la otra posible solución no puede ser 0.
De aquí podemos decir que cualquiera que sea el real posible, podemos efectuar
lo siguiente:
2 2
+ bx
= 0/
(ya
quex ≠x 0)
≠ 0)
axax
+ bx
= 0/
: x: x(ya
yaque
que
axax
+ b+=b0= 0
bb
x =x −= −
aa
2
2
b b2
b
b
Comprobando, a − + b − = 0, esto es, + −
= 0. Es decir, 0 = 0, más
a a
a
a
precisamente 0 ≡ 0
b
Entonces las soluciones son 0 y −
a
Una particularidad ocurre cuando b es el inverso aditivo de a. De aquí nos valemos
que 1 es idempotente, es decir, 12 = 1, y la propuesta es que 1 es solución de este tipo
de ecuación ya que:
ax 2 + bx = 0
a ( 1 ) + ( −a ) ⋅ 1 = 0
2
a + ( −a ) = 0
0∫ 0
Entonces, las soluciones son 0 y 1 siempre en este caso.
Como inquietud le proponemos que analice con sus estudiantes los casos a = b; b es
el inverso multiplicativo de a, etc.
Ejemplos
5x 2 − 6 x = 0
x = 0 es una solución
la segunda solución es distinta de 0
5x 2 − 6 x = 0
/:x
5x − 6 = 0
5x = 6
−7 x 2 + 7 x = 0
como 7 es el inverso aditivo de 7,
por lo anteriormente demostrado
x = 0; x = 1
x = 1,2
Finalmente, las soluciones son:
x = 0; x = 1,2
Observe que, en algunas de las ecuaciones irracionales planteadas se debe
elevar dos veces al cuadrado, resolver cuadrados de binomio y comprobar
de manera obligatoria. Haga énfasis en estos pasos y recuérdelos cada vez
que desarrolle un ejercicio, por ejemplo:
68
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2/11/11 16:57:19
/(
x +9 = 4+ 1− x
x +9
) = (4 +
2
)
2
1− x x + 9 = 16 + 8 1 − x + 1 − x
x + 9 = 17 + 8 1 − x − x
2x − 8 = 8 1 − x
( 2x − 8 )
2
(
= 8 1− x
1 − x Aislar una raíz
/
/(
)
2
)
2
)
2
/ Se ha formado un cuadrado de binomio
/ −17 + x
/ Nuevamente cuadrado de binomio y además
potencia de una multiplicación
2
4 x − 32x + 64 = 64 (1 − x )
4 x 2 − 32x + 64 = 64 − 64 x
4 x + 32x = 0
2
x ( 4 x + 32) = 0
x = 0 o 4 x + 32 = 0
4 x = −32
x = −8
UNID AD 2
(
x +9 − 1− x = 4 / −64 + 64 x
/ Factorizando
/ −32
/:4
Comprobando (siempre se deben comprobar las ecuaciones irracionales):
00
+ 9= −
4 1−0 = 4
Si x = 0fi 0x+ =9 0−fi1 −
3 − 1π 4 ; por lo tanto, x 0 no es solución.
3 − 1π 4
===+−−−8
fi
888+
Si x = −8fi x−xx8
988fi
−fi 1−−−−
−++8999=−−−4 111−−−−−−888===444
8 no es solución
1 − 3π 4 111−−−333πππ444 ; por lo tanto. x
Entonces, la ecuación no tiene solución.
En la actividad de la página 86, en el ejercicio 2, letra i:
(
1 − 0, 4x 1 + 0, 4x = 5 1, 4x + 0, 2
)
Recuerde que debe transformar a fracción los decimales periódicos, entonces,
podemos elevar al cuadrado ambos miembros de la ecuación y escribir que,
4
4 4
2
1 − 9 x 1 + 9 x = 5 1 9 x + 10
1−
16 2 65
x = x +1
81
9
81 − 16 x 2 = 585x + 81
−16 x 2 − 585x = 0
x (16 x + 585) = 0
− x = 0 ∨ 16 x + 585 = 0
x =0∨ x =
−585
16
Comprobando en
69
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2/11/11 16:57:28
(
Si x 0, tenemos que: 1 − 0,4 ⋅ 0 1 + 0,4 ⋅ 0 = 5 1,4 ⋅ 0 + 0,2
)
1 1 = 5 ⋅ 0,2 ⇒ 1 = 1
Si x =
−585
4 −585
4 −585
13 −585 2
, entonces, 1 − ⋅
1+ ⋅
= 5 ⋅
+
16
9 16
9 16
10
9 16
69 −61
13 −585 2 ,pero la raíz cuadrada de una cantidad
= 5 ⋅
+
4
4
10
9 16
subradical negativa
no existe en R; por lo tanto, esta no es solución.
φ, complemento:
El resto de la actividad presenta ecuaciones de este tipo para que los
estudiantes puedan reconocerlas y a resolverlas de la manera aprendida.
Analicemos algunos de los problemas planteados en la página 87. El
problema (d) es más que un aparente acertijo, es un problema desafiante y
vale la pena reordenar las ideas para su desarrollo. Dice así:
“A Octavio le gusta coleccionar monedas de $500. Él guarda siempre la misma
cantidad de dinero en cada una de las bolsas que tiene destinadas para ello. Un
día su mejor amigo le pregunta cuántas bolsas tiene y Octavio le responde: tú
crees que tengo el mismo número de bolsas que de monedas en cada bolsa, pero
no es así. Partiendo de tu supuesto, te diría que debes disminuir en 50 las bolsas y
en 30 las monedas de cada bolsa para obtener $750 000. Ahora dime, ¿cuántas
bolsas y cuántas monedas tiene Octavio?”
Una forma de reflexionar puede ser la siguiente:
Haciendo preguntas a sus estudiantes, algunas de ellas pueden ser:
¿Cuál es el supuesto del amigo?
Que Octavio tiene “el mismo número de bolsas que de monedas en cada
bolsa”. Llamémoslo x.
¿Cuál es la condición que, con respecto al número de bolsas y de monedas,
hace Octavio tras decirle a su amigo “pero no es así”?
Partiendo de tu supuesto (x), te diría que debes disminuir en 50 las bolsas
( x − 50), y en 30 las monedas de cada bolsa ( x − 30) para obtener $750000.
¿Cuál es el planteamiento que sugiere la pregunta anterior?
Número de monedas en total · $500 = $750000
( x − 50) ( x − 10) ⋅ $500 = $750 000 . De aquí en adelante, la resolución no
debiera presentar dificultades.
Obtenida las respuestas solicitadas, puede hacer preguntas para ver la
coherencia numérica. Por ejemplo, ¿en qué lugar del enunciado el número
de bolsas obtenidas debe ser mayor a 50? Lo mismo se puede hacer en
relación con el número de monedas.
Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0, con a
≠ 0, donde el trinomio es factorizable directamente o de
fácil factorización
La forma de abordar este tipo de ecuaciones responde a las siguientes
consideraciones:
70
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2/11/11 16:57:30
a , ba∈R
, cada factor lineal es
-Como ya lo demostramos, ab = 0 ⇒ a =φ0,∨complemento:
b = 0 concon
, bR∈R
igual a cero, obteniéndose así dos ecuaciones lineales de fácil resolución.
-Las soluciones son reales y distintas si los factores lineales son distintos. De lo
contrario, la solución es única. Explicítelo a sus estudiantes.
-Por lo anterior, el número de soluciones es dos, que provienen de la resolución de las
dos ecuaciones lineales distintas, o bien solo una. Explicítelo a sus estudiantes.
Revisemos en la actividad de la página 90, ejercicio 3, letras g. y h..
(
g. x − 3x
)( x +
UNID AD 2
-Debido a que el trinomio es factorizable directamente o de fácil factorización,
una propuesta de resolución es factorizar en dos binomios con término común o
como cuadrado de binomio y así transformar la ecuación cuadrática en el
producto de dos factores lineales. Cuando señalamos de fácil factorización
significa que casi a primera vista el trío ordenado sugiere dicha descomposición.
)
3x = 18.
De antemano, los valores de x deben ser mayores o iguales a 0 para obtener
solución real. El desarrollo es x 2 − 3x = 18. De aquí, x 2 − 3x − 18 = 0.
Las ecuaciones lineales homogéneas son: x − 6 = 0 y x + 3 = 0. Entonces solo
persiste x 6. Para que tenga sentido en los números reales.
4
h. x +
=5
x
Una inspección directa dice que 1 es una solución. ¿Habrá otra?, ¿será real
y mayor?
Como x es el único término que contiene a x, se hacer la sustitución
x = y.
4
De esta manera tenemos y + = 5. Un buen desarrollo nos conduce a
y
y2 − 5 y + 4 = 0
De aquí tenemos que y = 1 ∨ y = 4 . Pero x = y , luego x = 1 ∨ x = 16.
Ambos resultados válidos como solución.
Método de completación de cuadrado
Antes de introducir la fórmula general se muestra el método de resolución por
completación de cuadrado. Este método no es de fácil comprensión para la
mayoría de los estudiantes, ya que exige hacer “aparecer 0” agregando y
quitando el mismo término para completar un cuadrado de binomio. Esta
cantidad o expresión en juego no es siempre fácil de conseguir, más aún si no se
domina la fórmula para el cuadrado de binomio. A pesar de que este método
aparece “artificial o rebuscado o exigente de un truco”, es conveniente mostrarlo
para ayudar a los estudiantes a comprender que este fue el camino natural y
lógico que siguieron los matemáticos antes de encontrar una fórmula general
para todas las ecuaciones cuadráticas; en especial, para tratar aquellas que
tuvieran trinomios no factorizables.
En la página 93, se proponen algunos ejercicios y un par de problemas. Haga
énfasis con sus estudiantes en el cuidado de fijarse en las unidades de medidas
dadas. Recuérdeles que para resolver ejercicios, las unidades de medidas deben
ser las mismas. Por ejemplo:
“Josefina debe construir una maceta de base rectangular para su invernadero,
de modo que el largo de la base tenga 30 cm más que su ancho y su altura sea
de 20 cm. Además, la maceta debe tener la capacidad para contener 360 dm3
de tierra. ¿Cuáles deben ser las medidas de la maceta?”
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71
2/11/11 16:57:36
La ecuación por resolver es x ( x + 30) ⋅ 20 = 360 000 cm3, donde x es la
medida del ancho, en cm. Se solicita que desarrolle por el método de
completación de cuadrados.
Pero si consideramos la estrategia aplicada en la página 83, Nº 7, de igual
manera, para las expresiones de las medidas del largo y ancho, x + 15 y
x −15, la ecuación por resolver es: ( x − 15) ( x + 15) ⋅ 20 = 360 000 cm3, la cual
se reduce a x 2 − 225 = 18 000.
18.225
Entonces, x = 18
225, de donde x = 18 225 ; x = 135, etc. Haciendo las
conversiones de cm a dm, tenemos que las medidas son 12 dm, 15 dm y 0,2 dm.
Esta forma constituye una forma alternativa de plantear y resolver este problema.
2
Ecuaciones cuadráticas de la forma ax2 + bx + c = 0,
con a ≠ 0, donde el trinomio no es fácilmente factorizable
(Fórmula general)
Se utiliza en esta sección la completación de cuadrados para llegar a la
fórmula general. Note que se sugiere deducir con los estudiantes la fórmula
general, de manera que ellos puedan seguir un razonamiento lógico. Luego
se muestra cómo se utiliza en distintas ecuaciones.
A modo de ilustración previa a la deducción formal de la fórmula, usted
puede recurrir a una ilustración del proceso mediante la resolución de una
ecuación. Aquí le presentamos dos formas alternativas a la del libro,
presentadas en paralelo, para solucionar 21x 2 − 8 x − 5 = 0
Forma uno
: 21
21x − 8 x − 5 = 0 / /:21
8
5
x2 − x −
=0
21
21
Forma dos
2
x2 − 2⋅
4
5
4
/ +
x=
21
21
21
2
2
4
5 4
4
x2 − 2⋅ x + =
+
21
21 21 21
2
2
4
5
16
x − 21 = 21 + 441
2
4 105 + 16
x − 21 = 441
2
72
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: 21
21x − 8 x − 5 = 0 / /:21
8
5
= 0 / +0
x2 − x −
21
21
8
5
0 −
=0
x2 − x +
21
21
2
2
4 4
2
4 121
x − 21 = 441 /
121
11
=−
−
4 441
21
x−
=
21 121
11
+ 441 = + 21
4
11
4
11
; x−
=+
x−
=−
21
21
21
21
4 11
4 11
x=
−
; x=
+
21 21
21 21
7
15
x=−
; x=
21
21
1
5
x=−
; x=
3
7
+ −
21 21
2
2
4
5
4 4
=0
x + − −
21
21 21 21
2
2
4
4 121
=0
x − 2⋅ x + −
21
21 441
x2 − 2⋅
2
4 121
x − 21 − 441 = 0
4
11
4 11
x − 21 + 21 x − 21 − 21 = 0
15
7
x + 21 x − 21 = 0
7
15
x+
=0 ; x −
=0
21
21
7
15
x=−
; x=
21
21
1
5
x=−
; x=
3
7
2/11/11 16:57:40
Ahora bien, junto con sus estudiantes, usted puede enumerar los pasos
que se dieron para resolverla. Elija cualquiera de las mostraciones escritas
en cada columna de la tabla anterior y proceda,
•En la ecuación estándar, dividir la ecuación por el coeficiente de x2. De
esta manera se obtiene una ecuación equivalente.
•Se dejan los términos con x en uno de los miembros de la ecuación, y el
otro como término libre.
•Se efectúa la completación de cuadrado respectiva
•Escribiendo claramente el cuadrado del binomio respectivo, se procede
a extraer raíz en ambos miembros de la ecuación resultante.
UNID AD 2
Por ejemplo, siguiendo el desarrollo expuesto en la forma uno, los pasos
seguidos son:
•Se despeja x para obtener los valores respectivos de ella.
Función cuadrática: ¿qué es y en qué se utiliza?
(Página 106 del Texto del Estudiante)
OFT
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer y explicar la
realidad a través de la matemática.
• Resolución de problemas
desarrollando el pensamiento lógico.
• Discernimiento de resultados en
situaciones cotidianas para ver la
pertinencia de ellos.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora).
• Trabajo grupal.
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al
eje álgebra son(en niveles 6 y 7):
• Elabora estrategias de resolución, las
desarrolla y justifica usando lenguaje
algebraico.
• Interpreta y usa convenciones del
álgebra para representar
generalizaciones.
• Muestra autonomía y flexibilidad en la
transformación de expresiones
simbólicas escribiendo, reconociendo y
eligiendo formas equivalentes de
distintas representaciones algebraicas.
Esta sección tiene por objetivo estudiar la función cuadrática, asociándola
a la resolución de una ecuación cuadrática en la medida que se buscan
los puntos de corte de la función con el eje x. Una función cuadrática
modela variadas situaciones cotidianas en los ámbitos de la física, la
construcción, las telecomunicaciones, etc. Se sugiere dar a los estudiantes
algunos ejemplos de la utilización de parábolas en la vida diaria.
Pueden ser:
Comparta con sus estudiantes:
¿Qué forma común se puede apreciar en todas estas imágenes?
Así como la función raíz cuadrada está representada por una curva, estas
curvas ¿serán la representación de alguna función?
73
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2/11/11 16:57:40
Es importante definir claramente los conceptos. Sea estricto en la notación
matemática, de modo que los estudiantes vayan acostumbrándose a un
lenguaje formal. Podemos decir que función cuadrática es toda función
del tipo
, donde a, b y c son números reales y
. Al
gráfico de esta función se le llama parábola.
Aunque es bueno que los estudiantes aprendan a graficar manualmente y se
muestra cómo se haría, es importante que para un análisis de la función
cuadrática se utilice un graficador, ya que esto simplifica y agiliza el análisis.
Se utilizarán los programas Graphmatica o Graph para realizar las gráficas de
las distintas parábolas. Recuerde que es preciso que los estudiantes vean
cómo se grafica una función cuadrática y la analicen comparando distintos
casos. Para esto, utilice el laboratorio de computación o la sala de enlaces de
su establecimiento. Si tiene la posibilidad de acceder a data show, es bueno
proyectar algunas gráficas en la sala para dirigir el trabajo de los estudiantes.
Recuerde que ambos programas se pueden descargar gratuitamente de los sitios:
http://gratis.portalprogramas.com/graph.html
http://graphmatica.programas-gratis.net/
Con el programa Graph se pueden graficar varias funciones a la vez y dejar
las funciones escritas en un costado de la pantalla,
¿Cómo determinar si un punto del plano pertenece o no a
una parábola?
Si A ( x A , y A ) es un punto del plano y P una parábola del mismo plano, cuya
ecuación es y = ax 2 + bx + c , entonces A pertenece a la parábola si y solo si
2
se cumple la igualdad y A = a ( x A ) + bx A + c .
Recuérdese que si A pertenece a la parábola, entonces el valor de y A es la
imagen de x A bajo la acción de f, donde f ( x ) = ax 2 + bx + c . De igual
manera, x A es la preimagen de y A bajo la acción de f.
Ahora bien, supongamos que usted sabe que 2 es una solución para
7 x 2 + 14 x = 56. ¿Qué información podría proporcionarle si usted la vincula
con la pertenencia o no de un punto a una parábola determinada?
Podemos decir que (2,56 ) es un punto de la parábola y = 7 x 2 + 14 x .
Reflexione con sus estudiantes esta situación.
En la página 109 se invita a estudiar en profundidad las parábolas y su
función asociada. Se inserta la siguiente figura, que muestra que las
parábolas tienen características comunes y puntos muy importantes para
analizarlos con detención.
74
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2/11/11 16:57:43
Eje de simetría
y
Punto de corte con
eje y
x
Vértice (mínimo)
Cóncava hacia arriba
y
Eje de simetría
UNID AD 2
Punto de corte con
eje x
Vértice (máximo)
x
Cóncava hacia abajo
Punto de corte con
eje x
Punto de corte con
eje y
¿Cómo trabajar al máximo la parábola? ¿Cómo aprovechar al máximo
sus resultados?
Ante estas dudas, se sugiere analizar con sus estudiantes, durante la unidad,
las siguientes preguntas:
•Si la ecuación de una parábola está dada por y = ax + bx + c , ¿cuál es la
ecuación de la parábola que es el reflejo de esta con respecto al eje x?
2
•Si la ecuación de una parábola está dada por y = ax + bx + c , ¿cuál es la
ecuación de la parábola contraria y que tiene el mismo vértice?
2
¿De qué depende que la parábola se abra hacia arriba o
hacia abajo?
Mediante la graficación de varias parábolas y mirando comparativamente las
relaciones de sus coeficientes, se concluye que del coeficiente a depende la
apertura de las ramas de la parábola. Mientras mayor sea el valor absoluto de
a, la apertura de las ramas será menor, y mientras menor sea el valor
absoluto de a, la apertura de las ramas será mayor.
A continuación, presentamos otra manera de determinar la concavidad de
una parábola. Es más exigente en sus requerimientos, pues requiere la
comparación de la longitud de dos segmentos paralelos al eje x que
intersectan a la parábola por sus extremos. Sin embargo, permite de manera
natural concluir cuándo la parábola es cóncava hacia arriba o hacia abajo.
Formalicemos lo expuesto anteriormente.
Sean A ( x a , k ) y B ( x b , k ); C ( x c , k ') y D ( x d , k ') puntos de una parábola,
Además, las medidas de los trazos
AB = x a − x b = x b − x a ; CD = x c − x d = x d − xc ; entonces:
•Si k > k ' ⇒ AB > CD , luego la parábola es cóncava hacia arriba
•Sikk ><kk' ⇒ AB < CD, entonces la parábola es cóncava hacia abajo
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75
2/11/11 16:57:45
Nota: La distancia entre dos puntos de igual ordenada corresponde al
módulo de la diferencia de sus abscisas y proporciona la longitud de cada
segmento paralelo al eje x.
Veamos dos ejemplos.
Ejemplo uno:
¿Cuál es la concavidad de y = 2x 2 − x + 3?
Tomemos dos valores para x y encontremos sus imágenes. De esta manera
hallaremos k y k’.
Por ejemplo, para x = 1 y x = 2, tenemos que y = 4 e y = 9.Respectivamente,
k‘ = 4, k = 9.
Resolvamosseparadamente 4 = 2x 2 − x + 3 y 9 = 2x 2 − x + 3,
2x 2 –− xx ++ 33==44
2x 2 –− xx ++ 33==99
x=
2x 2 –− xx −−66 ==00
x=
CD = −0,5 − 1 = −1,5
AB == 22−−((−−11,5
, 5))== 33,5
,5
2x 2 –− x − 1 = 0
1± 1+8
4
x = −0,5 ; x = 1
1 ± 1 + 48
4
x = −1,5 ; x = 2
CD = 1,5
AB = 3,5
Como 9 > 4 implica que AB > CD, entonces la parábola es cóncava hacia arriba
y = 2x 2 − x + 3
y
A
AB = 3, 5
CD = 1, 5
10
B
8
6
C4
2
–8 –6 –4 –2 0
–2
–4
D
2
4
6 x
Ejemplo dos:
¿Cuál es el tipo de concavidad de y = −3x 2 + 11x + 4?
Elijamos k = 4 y k’ = 10.Resolvamosseparadamente:
4 = −3x 2 + 11x + 4 y 10 = −3x 2 + 11x + 4
76
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2/11/11 16:57:52
−3x 2 + 11x + 4 = 4
−3x 2 + 11x + 4 = 10
−3x 2 + 11x = 0
−3x 2 + 11x − 6 = 0
x (−3x + 11 ))==00
−11 ± 121 − 72
−6
2
x = ∨ x =3
3
7
AB =
3
x = 0 ∨ − 3x + 11 = 0
11
x =0 ∨ x =
3
11
CD =
3
Como 10 es mayor que 4, implicó que AB es menor que CD , entonces la
parábola es cóncava hacia abajo
y
15
10 A
5
–5
UNID AD 2
x=
y = −3x 2 + 11x + 4
B
C
D
0
5
AB =
CD =
7
3
11
3
10
x
Usted puede enriquecer más estos análisis haciendo preguntas tales como:
¿Cuándo una de ellas abre su ramas más rápidamente? ¿Cuando una parábola es
más abierta que otra? ¿Se puede establecer una relación entre las dos formas
mencionadas para determinar la concavidad de una parábola?
Haga notar que si el recorrido de una función cuadrática tiende a +∞ ,
entonces la parábola que la representa es cóncava hacia arriba. De igual
manera, si el recorrido de una función cuadrática tiende a −∞ , entonces la
parábola que representa es cóncava hacia abajo.
¿Cómo determinar los puntos de corte o intersección de la
parábola con los ejes coordenados?
Los puntos de corte o intersección de la parábola con el eje x
Siguiendo con la parábola anterior, podemos preguntarnos ¿qué representa
gráficamente, y en particular, el sistema de ecuaciones formado por
y = x 2 + 2x − 3 e y = 0?
Cómo y = 0, estamos en presencia del eje x. En otras palabras, la intersección
de la parábola con el eje x. Esto involucra resolver la ecuación x 2 + 2x − 3 = 0,
que proviene del método de igualación aplicado al sistema. Como el
discriminante es 16, es decir, mayor que cero, se obtienen dos valores
diferentes para x. Esto conduce a obtener dos puntos ( −3, 0) y (1, 0). Usted
puede verificar esto gráficamente.
Si la ecuación de la parábola y = f ( x ) está caracterizada por un cuadrado
perfecto en la variable x, entonces la intersección con el eje x es solo un
punto. Veamos el siguiente ejemplo:
77
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2/11/11 16:57:57
y = 9x 2 − 6 x + 1
y =0
2
Por un lado, 9x 2 − 6 x + 1 = (3x − 1) ; por el otro, 9x − 6 x + 1 = 0. De aquí que
2
si 9x 2 − 6 x + 1 = (3x − 1) = 0, esto significa que 3x − 1 = 0 . De aquí tenemos
un solo valor para x (note además que el discriminante es nulo). Esto
1
conduce a obtener un punto de intersección ,0 . Usted puede verificar
3
esto a través de un gráfico.
2
Finalmente, observemos el siguiente ejemplo:
y = − x 2 + 3x + 4
y =0
Siguiendo el procedimiento análogo a los casos ya descritos, la ecuación
− x 2 + 3x + 4 = 0 tiene discriminante igual a 7, es decir, menor que cero. Por
tanto, la ecuación no tiene solución real. Esto es, que la parábola no
intersecta al eje x en ningún punto.
El
de la página 119 resume los tres casos anteriores.
El punto de corte o intersección de la parábola con el eje y
y = ax 2 + bx + c
¿Qué ocurre al interpretar gráficamente
con a ≠ 0?
x =0
La recta x 0 es el eje y. Por tanto, representa la intersección de la parábola
con dicho eje. Entonces, haciendo x 0 en la ecuación que representa la
parábola, tenemos que y c. De aquí que una parábola siempre intersecta al
eje y, más aún, en un solo punto, cuyas coordenadas son ( 0,c ).
¿Cómo determinar el vértice de una parábola?
La forma de obtener la abscisa del vértice asume que la parábola es
simétrica con respecto a cierto eje vertical llamado eje de simetría. Además,
basta elegir dos puntos de ella que tengan la misma ordenada para iniciar la
búsqueda de las coordenadas del vértice. En particular, y por comodidad, se
eligen las abscisas de las intersecciones de la parábola con el eje x siempre y
cuando estas existan.
Dicho sea de paso, la abscisa del vértice corresponde al promedio de las
abscisas de los puntos de intersección de la parábola con el eje x, siempre y
cuando existan estos puntos. De acuerdo al libro, los puntos de intersección
x + xB
.
son A y B, y x v = A
2
b
El desarrollo de la página siguiente indica que x v = − . De la igualdad de
2a
b
estas dos expresiones para x v tenemos x A + x B = − , que es una propiedad
a
2
muy conocida que cumplen las raíces de la ecuación ax + bx + c = 0
Pero si no existen puntos de intersección entre la parábola con el eje x,
¿cómo se determinan las coordenadas de su vértice?
78
U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 78
Tomemos de la página 118 el ejemplo 1a. y 1b. y obtengamos de manera
alternativa las coordenadas de los vértices involucrados.
2/11/11 16:58:01
Determina el vértice de las siguientes parábolas; indica si son puntos
máximos o mínimos.
a. y = 2x 2 − 4 x + 5
y
10
8
7
UNID AD 2
9
f ( x ) = 2x 2 − 4 x + 5
6
5
4
3
2
1
–1 0
–1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 15 16 17 x
La gráfica sugiere que hay dos puntos cuya ordenada es 5. Uno de ellos
corresponde a la intersección de dicha parábola con el eje y. Para obtener
la abscisa de cada uno de ellos se hace y = 5 en y = 2x 2 − 4 x + 5, y se
resuelve la ecuación resultante.
2x 2 − 4 x + 5 = 5
2x 2 − 4 x = 0 Factorizando
factorizando por
por xx yy por
por 22
2x (x − 2) = 0
2x = 0 ∨ xx−−22==00
x =0 ∨ x =2
Podemos decir que las coordenadas de los puntos que hemos destacado
en azul en nuestra gráfica son ( 0, 5) y ( 2, 5). Ahora bien, la abscisa del
vértice coincide con la abscisa del punto medio que está situado entre los
0+2
, es decir, xV = 1
dos puntos anteriores. Esto es, xV =
2
Haciendo el reemplazo de xV = 1 en la ecuación de la parábola, tenemos
yv = 2 ⋅ 12 − 4 ⋅ 1 + 5, esto es: yV = 3. Así, las coordenadas del vértice son:
V = (1,3) y representan un mínimo.
b. y = −3x 2 − 12x − 7. Con el mismo proceder del ejemplo anterior, tenemos:
−3x 2 − 12x − 7 = −7
factorizando por x y por − 3
−3x 2 − 12x = 0 Factorizando
−3x ( x + 4 ) = 0
−3x = 0 ∨ xx++44==00
x =0 ∨ x = −4
Pues bien, podemos decir que las coordenadas de los puntos con
ordenada 7 son ( −4, −7 ) y ( 0, −7 ). La abscisa del vértice coincide con la
abscisa del punto medio que está situado entre estos dos puntos. Esto es,
79
U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 79
2/11/11 16:58:09
xV =
0 + ( −4 )
, es decir, xV = −2.
2
Haciendo el remplazo de xV = −2 en la ecuación en la parábola, se tiene
2
y = −3 ⋅ ( −2) − 12 ⋅ ( −2) − 7. Esto es: yv = 5. Así las coordenadas del vértice
son: V ( −2, 5) y representa un máximo.
¿Cómo determinar el eje de simetría?
El eje de simetría es una recta paralela al eje y, y que pasa por el vértice.
b
Como es vertical, su ecuación está dada por x = − . Por ejemplo, la
2a
ecuación del eje de simetría de la parábola y = x 2 + 2x − 3 es x = −1.
¿Cómo determinar la ecuación del eje de simetría de una manera alternativa?
Consideremos dos puntos que tengan la misma ordenada k; esto es,
A ( x1 , k ) y B ( x2 , k ). Basta con promediar los valores de las abscisas de ellos y
recordar que de manera perpendicular a AB , el eje de simetría pasa por ese
x + x2
.
punto. Su ecuación es x = 1
2
Observación: Nótese que el eje de simetría pasa por el vértice y representa
necesariamente el único punto de intersección que tiene con la parábola. Sin
embargo, para determinar su ecuación no se requiere conocer la abscisa del
vértice. Analice junto sus estudiantes esta afirmación.
Ejemplo
Hallar la ecuación del eje de simetría de y = 2x 2 − 4 x + 5.
En primer lugar, encontramos las abscisas de los puntos que tengan una
misma ordenada por ejemplo, que esta última sea 11.
Enseguida, resolvemos 11 = 2x 2 − 4 x + 5, y obtendremos que los valores de
las abscisas son 3 y 1. El promedio de estos valores es 1. Pensando, que el
eje de simetría, pasa por el punto medio del trazo formado por ( −1, 11) y
, 11
( −(3−,311
), )es decir, por (1, 11), tenemos que la ecuación del eje de simetría
es x 1.
Otras consideraciones
1. Traslación vertical de una parábola
En la página 123, se ha explicado este tipo de traslación, mediante un
ejemplo sencillo y auxiliándose de una gráfica. Está orientado
específicamente para parábolas del tipo y = ax 2 + c , tomando como
referencia la misma parábola pero centrada en el origen, es decir,
y = ax 2. Así se puede decir que del valor c depende de que la parábola
se traslade verticalmente.
Si c > 0, la parábola se traslada hacia arriba con respecto a su posición
de origen descrita por y = ax 2.
Si c < 0, la parábola se traslada hacia abajo con respecto a su posición
de origen descrita por y = ax 2.
80
U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 80
Un segundo caso es para y = ax 2 + bx tomada como referencia. En la
gráfica que a continuación presentamos, tomemos como referencia de
comparación a y = 2x 2 − 4 x .
2/11/11 16:58:14
y
9
f ( x ) = 2x 2 − 4 x
8
g ( x ) = 2x 2 − 4 x − 1
7
j ( x ) = 2x 2 − 4 x + 5
5
4
3
2
1
–4 –3 –2 –1 0
–1
–2
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10 11 12 13 14 x
UNID AD 2
h ( x ) = 2x 2 − 4 x + 2
6
–3
–4
De esta manera, por ejemplo, podemos decir que la parábola de
ecuación y = 2x 2 − 4 x − 1 está desplazada verticalmente una unidad
más abajo, hecho que se refleja en el coeficiente libre de su ecuación, 1.
Por el contrario, las parábolas de las ecuaciones y = 2x 2 − 4 x + 2 e
y = 2x 2 − 4 x + 5 están desplazadas verticalmente 2 y 5 unidades por
arriba de la parábola de referencia. Nótese que nuevamente del valor c
depende que la parábola se traslade verticalmente.
Ahora bien, aprovechando esta misma gráfica, tomemos en esta
oportunidad como parábola de referencia a y = 2x 2 − 4 x + 2. De esta
forma, la parábola de ecuación y = 2x 2 − 4 x − 1 aparece desplazada
verticalmente tres unidades más abajo. Esto se traduce en restar tres
unidades a cada ordenada a la parábola de referencia. Es decir, la nueva
ordenada será “y 3”. Esto es 2x 2 − 4 x + 2 − 3, es decir, 2x 2 − 4 x − 1. La
fórmula de la parábola resultante será y = 2x 2 − 4 x − 1. (Note el abuso
de lenguaje a llamar y nuevamente a la ordenada de la nueva parábola).
Análogamente, si a cada ordenada de la parábola de referencia le
sumamos +3, la ordenada resultante será 2x 2 − 4 x + 2 + 3, así
obtendremos la parábola desplazada tres unidades por encima de ella, y
su ecuación es y = 2x 2 − 4 x + 5.
(
)
(
)
Lo escrito en el párrafo anterior nos puede llevar a concluir que:
Si y = ax 2 + bx + c , con a ≠ 0, entonces para trasladar esta parábola k
unidades verticalmente hacia arriba se deben sumar k unidades a cada
ordenada de ella. La ecuación de la parábola resultante es
y = ax 2 + bx + ( c + k ). De igual manera, pero desplazándola k unidades
verticalmente hacia abajo, se debe restar k unidades a cada ordenada.
La ecuación de la parábola resultante es y = ax 2 + bx + ( c − k ).
2. Traslación horizontal de una parábola
En la misma página 123 se explica este tipo de traslación mediante un
ejemplo sencillo y auxiliándose de una gráfica. Está tratado para parábolas
2
del tipo y = ( x ± m ) , tomando como referencia la misma parábola pero
centrada en el origen, es decir, y = x 2. Así podemos decir que del valor de
m depende que la parábola se traslade horizontalmente.
81
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2/11/11 16:58:23
• Si m > 0, la parábola se traslada hacia la izquierda con respecto a su
posición de origen descrita por y = x 2. La ecuación de la parábola
2
resultante es y = ( x + m ) .
Las abscisas de la parábola y = x 2 están representadas por − x = y y
x = y . Para el traslado hacia la izquierda, a cada abscisa de la parábola
de referencia se le deben restar m unidades. Esto quiere decir que las
nuevas abscisas serán − x − m y x − m, esto es y − m para ambos casos.
Llamando x nuevamente a la abscisa de un punto cualquiera de la
parábola trasladada se tiene que x = y − m, que equivale a x + m = y .
Elevando al cuadrado cada miembro de esta última ecuación, se obtiene
2
y = ( x + m ) , lo que describe los puntos de la parábola trasladada.
• La parábola se traslada hacia la derecha con respecto a su posición de
origen descrita por y = x 2. La ecuación de la parábola resultante es
2
y = ( x − m) .
Aplicaciones de las ecuaciones y las funciones de segundo grado
Es muy importante que usted siempre insista en las razones por las cuales
se está estudiando esta unidad, destacando las múltiples aplicaciones que
tiene no solo para las matemáticas, sino que para la física, la química, la
economía, la agronomía, la medicina, etc. Además de los problemas cotidianos
en que se presentan.
Podemos preguntarnos:
¿Para qué se ocupan las ecuaciones de segundo grado? y ¿dónde se usan y qué
resuelven las funciones de segundo grado y sus representaciones? A medida que
se respondan estas dos preguntas fundamentales, sugerimos que usted
destaque los contextos en que han sido presentados muchos problemas, tanto
desarrollados como propuestos, su área de aplicación, la necesidad dentro de
esa área para resolverlo, lo que implica una vez resuelto, etc.
Veamos algunas de sus aplicaciones.
En física, no solo se aplica en algunas ecuaciones de movimiento presentes en
la cinemática (estudio del movimiento). Sino también en la dinámica, con el
estudio de fuerzas que varían con el tiempo; en la fórmula de la energía cinética,
de la energía potencial del movimiento armónico simple; en la formulación de
la tercera ley de Kepler, en fenómenos de dilatación de área, en la dependencia
de la masa y su velocidad que se estudia en relatividad, así como también
permite explicar por qué las gotas de aguas toman una forma esférica como las
burbujas de jabón, etc.
También se utiliza en la arquitectura y construcción de puentes en forma de
arco parabólico. La geometría, que también auxilia a estas disciplinas,
proporciona fórmulas que necesariamente llevan alguna variable al cuadrado.
Por ejemplo, para el cálculo de la superficie de una esfera, el volumen de un
prisma, etc.
En las áreas biológicas, tenemos cómo una función cuadrática puede modelar
el crecimiento de bacterias, hasta el índice de masa corporal para los seres
humanos. En química, por ejemplo, el uso de la constante de equilibrio del
ácido sulfúrico puede permitirnos calcular las concentraciones de protones y
de iones sulfato cuando se disuelve un mol de esta sustancia.
82
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2/11/11 16:58:25
En fin, reiteramos que en la medida que sus estudiantes avancen en el estudio
de la presente unidad, usted insista en las aplicaciones que ella tiene, sus
consecuencias no solo en el área en que están propuestas, sino también en la
calidad de vida de las personas.
Recuerde que es importante trabajar con sus estudiantes los cuadros
“sintetizando” y “revisando lo aprendido”, de manera que ellos puedan hacer
una revisión más profunda de cada tema y preguntar si tienen dudas.
UNID AD 2
En el área de la economía y negocios tenemos que la función cuadrática y su
representación permite el estudio de los crecimientos económicos. La
optimización de recursos y la máxima producción se ven expresadas, en
ocaciones, en fórmulas cuadráticas.
Información complementaria para el docente
a. Usando sustitución para las ecuaciones cuadráticas:
Hay algunas ecuaciones cuadráticas que pueden resolverse con los
métodos comunes, pero si se utiliza una sustitución resultan mucho más
sencillas. Ambos desarrollos se pueden mostrar a los estudiantes. Miremos
un ejemplo:
2
2x + 1
2x + 1
x − 1 = 5 x − 1 − 4
Desarrollo 1
Al resolverla desarrollando sin usar sustitución tenemos:
2
2x + 1
2x + 1
x − 1 = 5 x − 1 − 4
+x1+
) −1)4 / m.c.m. x − 1 2 2
4 x 24+x 24+x 4+x1+ 15 ( 25x( 2
= =
/ m.c.m
−4
( . ( x −) 1)
2
2
x −x1− 1
( x −( x1−) 1)
((
))
2
44xx22 ++44xx++11==((10
10xx++55))((xx−−11))−−44 xx 2 −−22xx++11
4 x + 4 x + 1 = 10x − 5x − 5 − 4 x + 8 x − 4
4 x 2 + 4 x + 1 = 6 x 2 + 3x − 9
2x 2 − 1x − 10 = 0
( 2x − 5 ) ( x + 2 ) = 0
2
2
2
2x − 5 = 0 ∨ x + 2 = 0
5
x = ∨ x = −2
2
83
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2/11/11 16:58:28
Desarrollo 2:
2x + 1
, reemplazando u en la ecuación original
x −1
2
2x + 1
2x + 1
x − 1 = 5 x − 1 − 4 obtenemos,
Sea u =
u2 = 5u − 4
u2 − 5u + 4 = 0
(u − 4 ) (u − 1) = 0
u = 4∨u =1
Reemplazando nuevamente el valor que se obtuvo en u en la sustitución
del principio obtenemos que:
2x + 1
2x + 1
2x + 1 = 4 ∨2x + 1 = 1
x − 1 = 4 ∨ x − 1= 1
x −1
x −1
2
2xx +
1=
4xx −
4 ∨∨2x2+x 1+=1 x= −x1− 1
+1
=4
−4
−2x = −5 ∨∨ x =x −=2−2
5
x=
∨ x = −2
2
b. Vértice de una parábola:
Definimos anteriormente el vértice de una parábola como el punto
máximo o mínimo de la función. ¿Será realmente así? ¿Esto se puede
demostrar? Para demostrar que el vértice es realmente el punto máximo
o mínimo (lo que significa que la función cambia el sentido del
crecimiento en ese punto) se necesitan elementos de cálculo para
demostrar que la pendiente de la recta tangente en dicho punto es cero.
Sin embargo, podemos acercar a los estudiantes a este concepto
gráficamente. Miremos lo siguiente:
y
8
6
4
2
–3 –2 –1 0
–2
–4
1 2
3 4
5 6
7 8
x
–6
–8
Se puede explicar en forma intuitiva que mientras la función decrece, las
tangentes tienen pendiente negativa y que al comenzar a crecer, las
tangentes comienzan a tener pendiente positiva. ¿Cuál es el punto límite
en que la función deja de decrecer y comienza a crecer? El vértice, justo
donde la tangente a la curva tiene pendiente cero, es decir, es paralela
al eje x.
84
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2/11/11 16:58:32
Errores frecuentes
Contenido
Desarrollo de
ecuaciones
cuadráticas.
Posible déficit
Sugerencia
Trabajar el desarrollo de este producto notable primero como
2
( a + b ) = ( a + b ) ( a + b ) y aplicar distributividad. Hacer énfasis que su
Desarrollo de cuadrados de desarrollo tiene 3 términos.
binomio (decir que
Por ejemplo:
2
2
( a + b ) = a2 + b2
( x + 5) = ( x + 5) ( x + 5) = x 2 + 5x + 5x + 25
UNID AD 2
Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por
los estudiantes. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la
unidad para corregirlos.
= x 2 + 10x + 25
Desarrollo de
ecuaciones
cuadráticas
utilizando fórmula
general.
Potencias de base negativa. Trabajar evaluaciones de expresiones algebraicas, como:
2
Multiplicación de números Si x 3, entonces, evaluar la expresión x − 3x + 2
enteros.
( −3)
Ecuaciones
irracionales
reductibles a
ecuaciones
cuadráticas.
No recordar que se deben
comprobar.
Ser explícito en los ejercicios que se resuelvan en clases en la
comprobación escrita de las ecuaciones de este tipo.
2
− 3 ⋅ −3 + 2 = 9 + 9 + 2 = 20
Construcción de
Trabajar evaluaciones de expresiones algebraicas, como:
gráficos de función
la expresión
cuadrática en forma Evaluar mal las funciones de Si x 2 , entonces evaluar
2
2
2
−
x
+
2
x
−
6
=
−
−
2
+
2
⋅
−
2−6
( )
manual (sin uso de la forma y = − x + bx + c .
programa
= −4 − 4 − 6 = −14
computacional).
Cálculo de
elementos
característicos de
una parábola
(vértice, puntos de
corte con ejes, etc.).
Reforzar operatoria con fracciones, por ejemplo:
Operatoria con fracciones.
9
4 = 9 ⋅ 2 = 18 = 3
3 4 3 12 2
2
85
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Síntesis de la Unidad
Síntesis conceptual de la unidad
Ejercicios propuestos en esta Guía
El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes
puedan revisar los conceptos fundamentales de la
unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual
como ejemplo de síntesis de los conceptos de la
unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus
estudiantes haciendo énfasis en los conceptos.
i. Actividades de refuerzo
Estas actividades se presentan como un apoyo
para el profesor y los estudiantes, de manera de
reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería
de ejercicios que puede trabajar en clases, en
forma adicional a los ya propuestos en el texto.
Evaluación de síntesis 1 (Unidades 1 y 2)
ii. Ficha de refuerzo
Estos ejercicios están destinados a aquellos
estudiantes que aún no han logrado los objetivos
mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre
los conceptos fundamentales de la unidad.
Se inicia al final de la unidad 2 y contiene ejercicios
propios y/o combinados que incluyen materias de
ambas unidades.
Síntesis conceptual de ambas unidades
El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes
puedan revisar los conceptos fundamentales de
ambas unidades. En el ítem I los dos primeros
problemas están reservados a recordar reglas de la
primera unidad. Los tres restantes son referentes al
análisis de propiedades de las ecuaciones de
segundo grado y parábolas.
Ejercicios de resumen de ambas unidades
El ítem II está constituido por ejercicios; en cambio el
ítem III, por el planteamiento y desarrollo de
problemas y algunos de ellos integrando más
íntimamente ambas unidades. Por ejemplo, el
problema Nº3
El ítem IV está formado por 10 preguntas de
alternativas que los estudiantes pueden trabajar
como evaluación sumativa. Se propone que cada
alumna o alumno calcule su porcentaje de logro.
iii. Actividades de profundización
Este material tiene por objetivo ampliar los
conocimientos de los estudiantes que evidencien
mayores habilidades matemáticas en esta unidad.
Se proponen ejercicios y una actividad con los
que usted puede trabajar.
Tipos de ejercicios
Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan
todos los contenidos en diferentes ítems, que
pueden ser trabajados grupal o individualmente.
En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo,
se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo
en la resolución de los ejercicios.
Finalmente, también ofrecemos evaluaciones
basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una
sugerencia para que el alumno revise y obtenga su
porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado
individualmente.
86
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2/11/11 16:58:36
Actividades de refuerzo
)
2
2
1. ____ 0 es una de las soluciones
x = 0x. − 11 = 5 ( x + 3, 8 )
2 ( x − 2) +de
− x +− 811
(
2
2
3. ____La curva y = −2x 2 + x + 11
2 no contiene
2
2
al punto (1, 10) (11 + x ) ( x − 1 ) − ( x + 4 ) (5 − x ) = 7 x + 19 x − 32 + 2x − 5
4. ____ y = −2x 2 + x + 11 es una parábola
cóncava hacia abajo
5. ____Si f ( x ) = x 2 − 9, luego para encontrar la
imagen de 0 bajo f, se hace
f ( x ) = x 2 − 9 = 0 y se despeja x.
6. ____Una parábola cualquiera siempre
intersecta al eje y en un solo punto, y al
eje x en uno o dos puntos como máximo.
7. ____Los ceros de g ( x ) = 2x − x son 0 y 0,5.
2
2
8. ____La parábola descrita por y = x + x − 12
intersecta al eje x en (3, 0) y ( −4, 0)
9. ____El vértice de la parábola escrita en 8.
representa un máximo de la función
cuadrática f ( x ) = x 2 + x − 12
10. ____La parábola y = ( x − 2) está desplazada
dos unidades a la derecha de la
parábola y = x 2
2
II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas.
No olvides que debes comprobar aquellas que
tienen incógnita en el denominador y aquellas
que son irracionales.
3
1
1. x − x − = 0
4
4
2
2. 81x 2 + 25 = 90x
(
3. 2x 2 + 2
)
0 ,5
= 20
1
5
4. 1 + x 2 + x =
3
3
(
)
)
6. (11 + x ) ( x − 1 ) − ( x + 4 ) (5 − x ) = 7 x 2 + 19 x − 32 + 2x − 5
(
7.
8.
9.
)
x − 2 4 ( x + 3) + 3 ( x + 2)
=
x +3
x −2
1
2
1
= 2
+
x + 3x + 2 x − 1 1 + x
2
4 5x − 5x = 2
10. 5x + 7 + 6 + 11x − x 2 = 5
III.Resuelve los siguientes ejercicios de función
cuadrática.
1. Usando Graphmatica u otro programa
computacional, grafica las siguientes
funciones. A partir del gráfico determina el
recorrido de cada una de ellas:
a. f ( x ) = 3x 2 − 5x − 2
b. y = − x 2 + 6 x − 5
2. Encuentra los puntos de corte del gráfico de
cada función con el eje x (o ceros de la
función), si es que existen.
a. f ( x ) = 13 − x 2
b. f ( x ) = −19x + 2x 2
c. f ( x ) = ( − x + 67 )
2
d. f ( x ) = 9x 2 − 9x − 28
Material Fotocopiable
2. ____Dada f ( x ) = x − 9, entonces las
preimágenes de 16 son 5 y 5, bajo f
2
)
11 = 5 ( x + 3, 8 )
UNID AD 2
)( x −
Material Fotocopiable
)(
2
Material Fotocopiable
(
(
5. 2 ( x − 2) + − x + 11
Material Fotocopiable
I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de
las siguientes afirmaciones según corresponda.
87
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Material
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Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
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a. y − 6 x 2 − 3x = 0
b. y = −1 + 3x − 2x
4. El itinerario de una partícula está dado en la
siguiente tabla:
Tiempo en seg
Posición en cm
0
2,3
2
1
IV.Resuelve los siguientes problemas de planteo.
1. “Recuerda que siempre debes leer cuidadosa
y comprensivamente los enunciados de cada
problema antes de responderlos”,
comentaban en voz alta Glenia y Jack,
mientras resolvían el siguiente problema: “Si a
cada término de dos tercios se le suma cierto
número y a la fracción obtenida se le suma el
mismo número, no pasa nada. ¿De qué
número se trata?” Responde el problema; si
no lo logras, repite con ellos y hazlo.
2. En su último viaje al extranjero, Mac compró
varios CD de computación para venderlos
acá, en el país, porque éstos se habían
agotado. Gastó el equivalente a $120000.
Desafortunadamente, tres de ellos venían con
fallas, por tanto, perdió $15000, al vender el
resto en $3000 más de lo que le había
costado cada uno. ¿Cuántos compró y a
qué precio?
3. Mi vecino nunca estudió y solo copió durante
el año. Como nada aprendió, no le fue bien en
el examen escrito y se vio obligado a
responder una pregunta que la comisión le
hizo de manera oral. Salió mal, diciendo que
él había llegado al resultado, que era –11 y
10, y que era injusto. Me llamaron a mí, y me
hicieron la misma pregunta:
“La diferencia de los cubos de dos enteros
consecutivos es 331. Calcule la diferencia de
sus cuadrados”. Hice todos los pasos
correctamente y logré el resultado solicitado...
aprobé matemáticas, que tanto me
costaban... Te desafío a que resuelvas
el problema.
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
3. Halla las intersecciones con los ejes
coordenados, vértice y concavidad de las
parábolas dadas por las ecuaciones.
8,1
2
17,1
5
46,8
3
27,2
4
37,5
6
53,9
7
56,7
a. Haz la gráfica correspondiente. ¿A qué
figura corresponde?
b. Escribe la ecuación de la posición (s) en
función del tiempo (t) (Nota: toma tres
puntos y reemplaza sus coordenadas en la
ecuación y = ax 2 + bx + c ).
V. Marca la alternativa correcta:
1. Dada la función f ( x ) = − x 2 − 3x − 2, es
verdadero que:
I. La función representa una recta
II. f ( −1) = 0
III.El gráfico de la función corta en dos
puntos al eje X
a.
b.
c.
d.
e.
Solo I
Solo II
Solo III
II y III
Ninguna es verdadera
2. El producto de dos números pares
consecutivos positivos es 728. ¿Cuál es la
suma de éstos?
a. 24
b. 26
c. 28
d. 50
e. 54
88
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a.
b.
c.
d.
e.
no tiene solución real
tiene solo una solución real
tiene una solución positiva y una negativa
tiene dos soluciones positivas y distintas
tiene dos soluciones negativas y distintas
a. y = 3x 2 + 6 x
d. 2
b. 4
e. No tiene
solución real
c. – 4
6. El gráfico corresponde a la función
definida por:
a. y = x 2 − 6 x + 5
d. y = x 2 + 6 x
b. y = x 2 + 6 x + 5 e. y = x 2 − 6 x
c. y = x 2 + 5
30
25
20
15
10
5
–5 0
–5
c. y = 2x 2 − 3x
2
a. y = 3x + 6 x
b. y = −5x 2 − 2x
c. y =
x2
+7
3
3x 2
+ 9x
5
−x2
e. y =
+ 4x − 2
2
d. y =
10.La ecuación del eje de simetría de la parábola
y = x 2 − 6 x − 16 es:
a. x 8
b. x
2
c. x 3
d. x
e. x
6
16
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y
35
b. y = 3x 2 − 3x + 2 e. y = x 2 − 2x + 3
9. De la siguientes parábolas, la de mayor abertura
entre sus ramas es:
5. La(s) solución(es) de la ecuación x 2 + 15 = −1
es (son):
a. 4 y – 4
d. y = x 2 + 2x − 3
UNID AD 2
4. Con respecto a la ecuación x + 1 + 2x − 1 = 2,
se puede decir que:
8. ¿Cuál de las siguientes parábolas intersecta al eje Y
en el punto ( 0, −3)?
Material Fotocopiable
tiene dos soluciones iguales.
tienen soluciones complejas.
una de las soluciones es 0.
nunca tienen solución.
no se puede afirmar nada con certeza.
5 10 15 20 25 x
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a.
b.
c.
d.
e.
7. Para qué valor(es) de x la parábola
y = 2x 2 − 5x + 3 intersecta al eje X:
3
e.
a. 3 y 1
c. 1
2
3
b. y 1
d. 3
2
Material Fotocopiable
3. Sobre las ecuaciones cuadráticas de la forma
ax2 bx, con a y b distintos de cero, se puede
siempre afirmar que:
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Material
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Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
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1. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
a. 2x 2 = 722
b. 5x 2 = 2x
NOTAS
c. x 2 − 20x + 100 = 0
2. Resuelve los siguientes problemas (aplicación de
ecuaciones cuadráticas)
a. Paulo te dice: “encuentra dos números que
multiplicados den 105 y sumados, 22”.
b. El área de un rectángulo es 32 cm2. Si el
ancho y largo están representados por los
números x 2 y x 2, ¿cuál es la medida, en
cm, de sus lados?
3. Dada la parábola y = 2x 2 + 7 x − 4 , determina:
a. Concavidad
b. Intersección con los ejes coordenados
c. Vértice
4. Resuelve el siguiente problema (aplicación de
función cuadrática):
Pamela lanzó una pelotita verticalmente, desde
el suelo, que se mueve según la ecuación
h = 15t − 5t 2, donde h es la altura que alcanza la
pelota (en metros) en el tiempo t (medido en
segundos). Responde:
a. ¿A qué altura está después de 1 segundo de
haber sido lanzada?
b. ¿Cuál es la altura máxima que alcanza?
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Material Fotocopiable
Ficha de refuerzo
90
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Actividades de profundización
2
2. Dada f ( x ) = 9x 2 − 9x − 28, hallar
a. Las imágenes de 0 y −
4
3
b. Las preimágenes de 0 y −
4
3
3. Determinar el coeficiente indicado:
a. Hallar m en f ( x ) = mx 2 + x − 8 de tal modo
que la imagen de –1 sea 0
b. ¿Cuál es el valor de t en
g ( x ) = tx 2 + x − ( t − 1) tal que la preimagen
de –4 sea 4?
4. ¿Cuál es la ecuación de la parábola que pasa por
(0, −17 ), ( −1, −20) y (1, −16 )?
5. ¿Cuál es el valor máximo que toma la función
f ( x ) = −42x 2 + 13x + c si se sabe que su gráfica
intersecta al eje y en ( 0, −1)?
6. De una parábola se sabe que pasa por el punto
de origen, y su eje de simetría tiene por ecuación
x 2
a. ¿Cuáles son las intersecciones con los ejes
coordenados?
b. Con esta información, ¿es posible hallar la
ecuación de la parábola?
c. Si su vértice estuviera dos unidades arriba
del eje x, escribe la función cuadrática
que representa.
UNID AD 2
d. f ( x ) = ( x + 6 ) − 81
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c. h ( x ) = 1, 8 − 5x 2
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b. g ( x ) = 0, 6 x 2 − 0, 9
Material Fotocopiable
a. f ( x ) = −4, 7 x 2
NOTAS
Material Fotocopiable
1. Indicar los dominios y recorridos de las
siguientes funciones:
91
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Instrumentos de evaluación
En la misma línea en la que se ha trabajado la evaluación hasta ahora,
volvemos a recordar que la evaluación debe ser un proceso continuo que
entregue información sobre el proceso de enseñanza – aprendizaje tanto a
cada alumno o alumna como al profesor o profesora.
Ya se han mencionado diversos instrumentos de evaluación en la unidad
anterior. Algunos sugeridos fueron:
a.
b.
c.
d.
e.
f.
Escalas de apreciación
Listas de cotejo
Trabajos grupales formativos
Actividades individuales o grupales de estudio
Coevaluación
Evaluaciones sumativas
a.Escalas de apreciación
Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los
estudiantes en una clase o en una actividad determinada. Pueden
complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad.
Por ejemplo, al final del estudio de las ecuaciones cuadráticas podría ser:
Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: / 24
Puntaje obtenido: Porcentaje de logro: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el
casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas, de
acuerdo con esta escala:
L:
logrado (3 puntos)
ML: medianamente logrado (2 puntos)
PL: Por lograr (1 punto)
Indicador
L
ML
PL
¿He entendido los conceptos de la sección?
¿He entendido los ejercicios resueltos o los ejemplos?
¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos?
¿He aportado al desarrollo de la clase?
¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro?
¿He realizado un buen trabajo en equipo, junto a mis
compañeros? (en caso de trabajo en grupo)
¿He demostrado interés en aprender?
¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje?
92
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b.Listas de cotejo
Como ya se ha dicho, recolectan información sobre el nivel de logro de
aspectos trabajados en las secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al
estudiante o trabajadas por el profesor. Un ejemplo de estas es:
UNID AD 2
Realiza las
tareas dadas
Aporta al
trabajo de su
grupo
Realiza los
ejercicios
propuestos
Alumno
Muy bueno (7,0 - 6,0)
Bueno (5,9 - 5,0)
Suficiente (4,9 - 4,0)
Insuficiente (3,9 - 1,0)
Pregunta
cuando tiene
dudas
MB:
B:
S:
I:
Explica los
conceptos
fundamentales
Escala:
Trabaja bien en
clases
Curso: Abarca
Juan
Baeza
Lorena
También se puede aplicar al trabajo individual. Por ejemplo, en los ejercicios
de síntesis y evaluación de la unidad.
c. Trabajos grupales formativos
Recuerde que el trabajo en grupo ayuda a la explicación entre pares y que, en
muchas ocasiones, resulta una buena estrategia de aprendizaje. En el Texto del
Estudiante están indicados como trabajos grupales que los estudiantes deben
realizar (en verde). Puede formar los grupos de manera que en uno de ellos no
queden todos los estudiantes con mayores habilidades para la asignatura. Se
sugiere que el profesor corrija la actividad con el curso y pueda entregarles
retroalimentación acerca de los posibles errores cometidos.
d.Actividades grupales o individuales de estudio
Se sugiere trabajar una guía de ejercicios de preparación para la prueba de
unidad. Para ello es bueno trabajar con el tipo de ejercicios que se evaluarán.
Recuerde que usted debe evaluar lo que enseñó y no si el alumno es capaz
de resolver un problema nuevo con algún tipo de estrategia nueva. Los
ejercicios que apuntan a desarrollar habilidades superiores como aplicar,
analizar y relacionar diversos conceptos deben ser trabajados en clases. No
trate de “pillar” a sus estudiantes, solo constate que aprendieron lo que usted
les enseñó.
93
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e. Coevaluación
Entendida como aquella evaluación de una actividad o trabajo realizada
entre pares. Recuerde que la dinámica de las relaciones del curso debe ser la
brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede aplicar y cómo se
aplica. Recuerde que usted puede visitar el siguiente enlace para optimizar
este recurso evaluativo:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573
Un posible instrumento es:
COEVALUACIÓN
TEMA: FECHA: :
INDICADORES
Niveles de logro
INTEGRANTES DEL GRUPO
1
2
1
3
4
5
4 = SÍ
8 = NO
2
3
4
Total
1. Ayuda a los
integrantes del
grupo.
2. Cumple con lo
que el grupo le
encarga.
3. Mantiene un buen
trato con sus
compañeros.
4. Es tolerante ante
las opiniones y
propuestas de los
compañeros.
f. Evaluaciones sumativas
Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho,
de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el
libro tienen una evaluación porcentual de logro que los estudiantes deben
calcular, esta se puede traducir a nota (al 50% o al 60%). Recuerde que en la
unidad 1 de esta misma guía se han entregado dos escalas para transformar
porcentajes de logro en notas.
De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se presentan
dos evaluaciones con diferentes ítems para servir de apoyo al docente.
94
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Evaluaciones
Evaluación 1
I.
Dada la parábola y = x 2 − 6 x + 16 , completa en
la línea de puntos lo solicitado:
1. Representaalafuncióngráficamente:..........
2. Los valores de los coeficientes a = ..........
b = .......... c = ..........
3. La parábola es cóncava hacia .......... porque el
valor de .......... es .......... que cero.
4. Intersecta al eje y en el punto de
coordenadas (.........., ..........)
7. La ecuación del eje de simetría es ..........
8. Las coordenadas del vértice son ..........
9. ¿Cuál es el valor menor de y que toma la
función representada por esta parábola?
10. La ecuación de la parábola que es el reflejo
de la dada con respecto al vértice es ..........
II. Resuelvelassiguientesecuacionescuadráticas
−1
3. ( x − 3) ( x − 4 ) ( x − 5) = 4 x 2 − 3x − 27 + x 2 ( x − 3)
( x − 3) ( x − 4 ) ( x − 5) = 4x 2 − 3x − 27 + x 2 ( x − 3)
4. x ( 2x − 1 ) =
5.
6.
7.
(
3 x 2 − 11
5
2 ( 3x + 2 )
x −1
3x 2 − x − 2
5
) = 36 + 2( x
=
3x + 4
x +2
y2 − 2 y = 4 3
2
− 60
)
7
(
8. 6z + 7 + 6 + 21z − z 2 = 0, 3 2, 6 + 20z
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2x 2
− x + 5 (5 + x ) = 2x 2 − 25
10.
5+ x
III.Resuelvelossiguientesejercicios:
1. Considera todos los rectángulos de perímetro
de 10 cm. ¿Es una parábola la gráfica de la
función que expresa el área de ellos? Justifica
tu respuesta.
2. Hallar los valores de x para los que la función
g ( x ) = x 2 − 6 x + 8 es positiva o negativa.
3. Escribir la fórmula del área de un círculo en
función del radio. Considerándola una función
cuadrática, encuentra las preimágenes de
6. La imagen de –1 bajo la parábola es ..........
2. ( 2x − 3) = ( 2x + 3)
1
1
= 2−
2
x
¿Para qué valor(es) de x, g ( x ) se anula?
5. Intersecta al eje x en .......... porque el
discriminante es .......... que cero.
1. 5x 2 − 3x + 1 = 0
9. x −
UNID AD 2
De manera complementaria al Texto del Estudiante, a
continuación se presentan dos evaluaciones con
diferentes ítems para servir de apoyo al docente.
a. 48
b. –48
Nota. En este ejercicio, considera a igual a tres.
4. ¿Cuál es la ecuación de cada parábola? Une la
parábola con cada una de las ecuaciones dadas:
y = − x 2 − 2x − 3
1
y = x2 + x − 2
3
y = x 2 − 2x + 2
y
8
6
4
2
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–2
–4
1
2
3
4
5
x
–6
5. Determina el dominio y recorrido de las
funciones representadas en el ejercicio
anterior. Usa los gráficos.
6. Hallar la ecuación de una parábola que pasa
por (1, −1) y su vértice es el punto ( −2, 3).
)
95
2/11/11 16:59:13
7. Encuentra los puntos de corte con los ejes
coordenados, el vértice y determina la
concavidad de cada parábola:
a. y = − x 2 + 2x
b. y = −2x 2 − 4 x + 30
c. y = x 2 + 14 x + 49
8. Determina las ecuaciones de las parábolas
según la información dada por la gráfica.
y
–2
0
x
–2
–3
IV.Resuelve los siguientes problemas:
1. Virgilio aprendió tan rápido el teorema de
Pitágoras, que quería resolver todos los
ejercicios de triángulos usando el famoso
teorema. La dificultad es que para un
triángulo de 10, por 17 y 18 unidades no
funciona. Hizo varios intentos y finalmente
pensó que si le quitara la misma cantidad a
cada lado, posiblemente lo lograría. De hecho
probó y lo consiguió. ¿De qué medidas quedó
el nuevo triángulo?
2. En el cuento el niño preguntó al elefante su
edad. No le respondió. Sin embargo, el sabio
búho matemático, le propuso cierto acertijo:
“Si construyeras un cuadrado cuyo lado
valiera su edad, su área sería igual a seis veces
su edad... Así sabrás el porqué no te puede
responder ya que es muy pequeño todavía”.
¿Cuál es la edad del elefante?... ¿es muy
pequeño con esa edad?...
96
3. Si se lanza una piedra verticalmente hacia
arriba, ella sube hasta cierta altura, y luego
empieza a caer. La altura alcanzada (h) en
función del tiempo está dada por
h = −5t 2 + 5t + 15
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a. ¿En qué instante alcanzará el punto más alto?
b. ¿Cuál es esta altura máxima?
4. Rafaela quiere construir cajas de base
cuadrada y de altura 10 cm para hacer los
regalos de Navidad. Vio que los objetos que
iba a incluir en cada una eran de distintos
tamaños, por tanto propone cambiar la
medida de la base; tomó un lápiz y un papel y
logró establecer una relacion entre el
volumen de la caja y el lado de la base. ¿Cuál
es esta relación?¿de qué tipo es?
5. Para montar un stand en la feria regional
científica, al Liceo de Tamara se le ha asignado
un terreno triangular isósceles de 60 metros
cuadrados. Requieren cercarlo con cuerdas. Si
los lados iguales miden 13 m, ¿cuántos metros
de cuerda requieren por lo menos?
V. Marque la alternativa correcta:
1. El conjunto solución de la ecuación
x − 3 = 5 x − 1 es:
a. ∅
b. {10, 1}
c. {−10, −1}
d. {10}
e. {−1}
3
2. Si ax 2 + bx + c = 2 x − ( x + 5) para todo x
2
R, entonces b y c son respectivamente:
a. 7 y – 15
b. – 7 y 15
−3
y5
2
3
d. y – 5
2
c.
e.
7 −15
y
2
2
3. Si 1 es una raíz de la ecuación ax 2 + bx + c = 0,
entonces el valor de c es:
a. a + b
b. – a – b
c. a – b
e. ab
d. b – a
4. Los números reales que satisfacen la ecuación
2
2
( x − 3) + ( x − 4 ) = 2x son:
a. 3 y – 4
b. 5 y – 5
c. – 3 y 4
d. – 3, 4 y 5
e.
8 ± 14
2
5. Si 3 y – 3 son soluciones de una ecuación
cuadrática, entonces esta es:
a. x 2 − 6 x + 9 = 0
b. x 2 + 6 x + 9 = 0
c. x 2 − 9 = 0
d. x 2 + 3x = 0
e. x 2 − 3x = 0
2/11/11 16:59:20
a. ( 4, −1)
b. ( −1, 4 )
c. ( −4, 1)
d. ( −4, −1)
e. (1, −4 )
7. La parábola cuyo máximo es el punto (2, 3) y
que intersecta al eje Y en el punto (0,0) es:
−3 2 9
−3 2
x + x
d. y =
x + 3x
a. y =
4
4
4
e. y = −3x 2 + 9x
b. y = 3x 2 + 2x
c. y = 4 x 2 − 3x + 6
8. Sea y = 3x 2 + x − 2 una parábola. ¿Cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es (son)
verdadera(s)?
−1 −25
,
I. Su vértice es el punto
6 12
III.Ella intersecta al eje Y en el punto ( 0, −2)
c. II y III
b. I y III
d. Todas
e. Ninguna
9. El gráfico que mejor representa a la función
f ( x ) = − x 2 + 10x − 24 es:
a.
d.
y
y
x
x
b.
e.
y
c.
y
x
a.
b.
c.
d.
e.
(2)el valor de q es 2.
(1) por sí sola
(2) por sí sola
Ambas juntas, (1) y (2)
Cada una por sí sola, (1) o (2)
Se requiere información adicional
Evaluación 2
I. Coloca V (verdadero) o F (falso) en cada una de
las siguientes afirmaciones, según corresponda.
2. ____La función f ( x ) = x 2 + 9x + 32 no
tiene ceros.
3. ____En la función anterior, 32 tiene dos
preimágenes.
4. ____Para saber si una parábola cóncava
hacia abajo siempre corta al eje x en dos
puntos distintos, basta saber que el
discriminante respectivo es distinto a
cero, porque de lo contrario el vértice
estaría en el eje x.
5. ____Si g ( x ) = − x 2 − 7, el valor de g ( −2)
es – 5.
6. ____Si de una parábola solo se conoce su
vértice y una de sus dos intersecciones
con el eje x, entonces se puede
encontrar la ecuación de esta parábola.
y
x
x
(1)el valor de p es el triple de q.
1. ____ –11 no es una de las soluciones de
x 2 − 121 = 0.
−1 −25
,
II. Su máximo es el punto
6 12
a. Solo I
10.Se puede determinar la suma de las raíces
de la ecuación x2 px q 0 si:
7. ____La ecuación del eje de simetría de
1
g ( x ) = −2x 2 + 4 es x = .
4
8. ____Si los puntos (3,0) y (4,0) están en una
parábola, entonces la función que
representa, evaluada en –1, es 3, y es 4
cuando es evaluada en cero.
9. ____Para saber si una función es cuadrática
en la variable x, basta que tenga un
término x2 en su fórmula.
10. ___El valor mínimo de la función
f ( x ) = 3x 2 − 4 x + 23 es dos tercios.
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UNID AD 2
6. El vértice de la parábola y = x 2 − 8 x + 15 es:
97
2/11/11 16:59:29
II. Resuelve las siguientes ecuaciones cuadráticas:
1. 1 + 4 x − 21x 2 = 0
1
7 ( x − 11) 2x − 3 = 0
7
3. (3x − 0, 5) (3x − 0, 5) − 1 = 2x ( 4 x − 2)
2.
3
x −1 x −1
4. 3x 2 − ( 23xx −25−) +( 2x − 5) +
3
3
x −1
x −2
3x 2 − (2x + 5)+
=0
+ 4 x 2 + 12x +
3
5
5.
( x + 2)
5
2
−1
( x + 3)
−
2
x
1
6.
=
1− x 1+ x
3
2
7. ( −2z ) = 1 − 2z
4
x
x +6 x +3
8.
−
=
x −6 6− x
6
2
=
( x + 3) ( x − 3)
4
1. El profesor de Silvestre subió a Internet el
desarrollo de la prueba de función cuadrática.
Tuvo mala toda esta pregunta: “En los
problemas de la física, las funciones
cuadráticas involucran variables que no son
necesariamente x e y. Usando las claves: C
para función cuadrática (o forma equivalente)
y N en caso de que no sea, clasifica cada
expresión llenando el (___) correspondiente.
b.
( ) A = πr 2 ; ( πª3, 14 )
c.
(
d.
(
e.
1 2
πr h; ( h = 0, 3)
3
1
) V = πr 2h; r = 3
3
a
) s = v0T + T 2 ( v0 = 4 y a = 10)
2
( )V =
(
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –10
–1
–2
–3
–4
a.
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –10
–1
–2
–3
–4
1 2 3 4 x
b.
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –10
–1
–2
–3
–4
)
( ) E = mc 2 ( m y c constantes )
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –10
–1
–2
–3
–4
d.
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –10
–1
–2
–3
–4
1 2 3 4 x
e.
1 2 3 4 x
y
4
3
2
1
–4 –3 –2 –10
–1
–2
–3
–4
1 2 3 4 x
f.
c.
III.Resuelve los siguientes problemas:
a.
2. Para cada parábola, escribe la fórmula de la
función correspondiente.
1 2 3 4 x
1 2 3 4 x
3. Considera las siguientes parábolas:
Parábola 1: tiene su vértice en (-3,0) e
intersecta al eje y en (0,3).
Parábola 2: se sabe que su vértice está a tres
unidades bajo el eje horizontal, y lo intersecta
en el origen como en (3,0).
Solamente con esta información responde
justificadamente:
a. ¿Cuál de ellas es más abierta?
b. ¿En cuál de ellas el discriminante de su
ecuación debiera ser mayor?
c. ¿En cuál de ellas el valor de c (término libre)
de su fórmula ecuación debiera ser menor?
4. Verifica si las parábolas y = −0, 5x 2 + 1, 5x − 1;
y = − x 2 + 3x − 2 y y = −2x 2 + 6 x − 4
intersectan al eje x en (1, 0) y ( 2, 0).
¿Coincidirán sus vértices?
5. Encuentra los ceros que tiene la función
f ( x ) = − 25x 2 − 60x + 36 .
(
)
98
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2/11/11 16:59:38
7. ¿Será verdad que los vértices de
f ( x ) = −8 x + x 2 y g ( x ) = 8 x − x 2 se
encuentran verticalmente en una misma
línea recta? Explícalo.
8. ¿Cuál es el valor máximo de g ( x ) = 8 x − x 2 ?
IV.Marque la alternativa correcta:
1. Si f ( x ) = 2x 2 + kx − 5 y f ( −1) = 7 entonces
el valor de k es igual a:
a. – 10
b. – 5
c. 5
d. 10
e. No se puede
determinar
2. Para una ecuación de segundo grado cuyo
discriminante es igual a – 5, ¿cuál(es) de las
siguientes afirmaciones con respecto a las
raíces o soluciones de esta ecuación es (son)
siempre verdadera(s)?
I. Son números racionales.
II. No pertenecen a los números reales.
III.Son números reales y distintos.
a. Solo I
c. Solo III
b. Solo II
d. Solo I y III
e. I, II y III
3. ¿Cuál es el valor de p en la ecuación
6 x 2 − 15x + 2xp − 5p = 0 si una de
5
sus soluciones es ?
4
−15
15
e.
c. 4
a.
4
2
7
−7
d.
b.
2
2
4. El producto de un número natural por su
antecesor es 272. ¿Cuál es el doble del
número menor?
a. 16
b. 24
c. 32
d. 48
e. 56
5. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) verdadera(s)?
2
I. La ecuación x = 9 es equivalente con
x 3.
II. La ecuación 4 x 2 − 5 = 0 es equivalente con
la ecuación 3x 2 + 7 = 12 − x 2 .
UNID AD 2
6. ¿A cuánta distancia del eje y se halla el eje de
simetría de y = 14 x 2 + 37 x + 24 ?
III.La ecuación 3x 2 − 5x = 0 es equivalente
3x − 5
= 0.
con la ecuación
x
a. Solo I
c. Solo III
e. Todas
b. Solo II
d. I y III
6. ¿Para qué valor de x la función
2
f ( x ) = 5 + ( x − 3) alcanza su mínimo valor?
a. – 6
b. – 3
c. 3
d. 6
e. 7
7. Para que una función de la forma
R+, sea
f ( x ) = −ax 2 + φ
bx, complemento:
+ c , con a , b, c ∈R
cóncava hacia abajo debe cumplirse que:
a. el discriminante de la ecuación cuadrática
asociada a la función sea menor que cero.
b. a < 0
c. b > 0 y c < 0
d. nunca será cóncava hacia abajo
e. siempre será cóncava hacia abajo
99
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2/11/11 16:59:44
8. Para determinar una función cuadrática se
deben conocer:
I. Tres puntos por los que pasa su gráfico.
II. El vértice y un punto de corte con el eje x
de la parábola que la representa.
III.Los ceros de la función.
a. Solo I
c. Solo II y III
b. Solo I y II
d. Solo I y III
e. I, II y III
a. tiene siempre un punto máximo o mínimo.
φ, complemento:
b. su dominio es siempre
el conjunto R.
c. su gráfico puede cortar en dos, uno o
ningún punto al eje x.
d. siempre existe un punto de corte con el
eje y.
e. su recorrido es siempre el conjunto R.
10.De la parábola f ( x ) = ( x − 5) , se puede
decir que:
2
I. está desplazada horizontalmente a la
derecha con respecto a la parábola de
ecuación g ( x ) = x 2.
II. tiene un solo punto de corte con el eje x.
III.es cóncava hacia arriba.
c. Solo I y III
b. Solo III
d. Solo II y III
Puntaje
obtenido
Indicador
9. Con respecto a la función de la forma
f ( x ) = ax 2 +φbx
+ c , con a , b, c ∈R
, complemento:
R,+es falso que:
a. Solo I
Pauta de evaluación sugerida para
evaluación 1 y 2:
Esta pauta puede aplicarse para obtener el porcentaje
de logro, transformarlo a calificación y también para
evaluar cada ítem pedido. Puede parcelar la evaluación
como trabajo individual en varias clases y luego
promediar la calificación o los porcentajes de logros
obtenidos. Complete la tabla adjunta.
e. I, II y III
Puntaje
total
Número de respuestas
correctas del ítem I
(completación). Asigne 1 punto
por cada respuesta correcta.
Número de ejercicios
desarrollados correctamente
en el ítem II (ecuaciones
cuadráticas). Asigne 2 puntos a
cada ejercicio.
Número de ejercicios de
funciones cuadráticas
desarrollados correctamente e
el ítem III. Asigne 2 puntos a
cada ejercicio.
10
20
16
Número de problemas de
planteo resueltos
correctamente, ítem IV. Asigne
2 puntos a cada ejercicio.
10
Total
66
Número de alternativas
contestadas correctamente,
ítem V. Asigne 1 punto a cada
respuesta correcta.
10
Para traducir a porcentaje de logro el puntaje obtenido,
use la siguiente fórmula:
Porcentaje =
Puntaje obtenido
⋅ 100
66
Para traducir a nota el porcentaje obtenido puede
usar las tablas anteriores.
100
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2/11/11 16:59:46
Solucionario de la Unidad
I. 1. V
3. F
5. F
7. V
9. F
2. V
4. V
6. F
8. V
10. V
6. No tiene solución en R
II. 1. –0,25 y 1
−14 −1
y
2
3
8. –3
5
9
3. –1 y 0,5
7.
2.
5. 0 y 13
10
3
2. Compró 10 CD a $12000 cada uno
3. 21
10. –0,5
4. a. A una rama de parábola; cóncava
hacia arriba
−49
f ( x ) = y ∈R / y ≥
φ,Rec
complemento:
III. 1. a.
12
y
8
f ( x ) = 3x 2 − 5x − 2
6
4
2
–5 –4 –3 –2 –1 0
–2
1
–4
2
3
4
5 x
6
4
–5 –4 –3 –2 –1 0
–2
–4
(
1
–8
)(
13 , 0 , − 13 , 0
19
,0
b. ( 0, 0),
2
c. ( 67, 0)
7 −4
,0
d. ,0 ,
3 3
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Posición versus Tiempo
Serie 1
Tiempo (seg)
V. 1. d
3. c
5. e
7. b
9. c
2. e
4. b
6. a
8. d
10. c
Ficha de refuerzo
2
3
4
5
6
7 x
1. a. 19y–19
2. a. 7 y 15
b. 0 y 0,4
b. 8 y 4 cm
c. 10
3. a. cóncava hacia arriba
–6
2. a.
Posición (cm)
b. s ( t ) = 1, 6t 2 + 4, 2t + 2, 3
y
8
2
110
100
90
80
70
60
50
40
30
20
10
0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 4,5 5 5,5 6 6,5 7 7,5 8 8,5 9
b. Re
Recc = {y ∈ R / y ≤ 4}
f ( x ) = − x 2 + 6x − 5
b. Cóncava hacia abajo,
1
3 1
(0, −1) ; , 0 ; (1, 0) ; ,
2
4 8
IV. 1. 0 y −
9. 0,8
4. –1 y
3. a. Cóncava hacia arriba,
−1 −3
−1
(0, 0) ; , 0 ; ,
2 4 8
UNID AD 2
Actividades de refuerzo
)
1
b. ( 0, −4 ) , , 0 , ( −4, 0)
2
−7 −81
,
c.
4 8
4. a. 10 m
b. 11,25 m
101
2/11/11 16:59:52
Actividades de profundización
10. y = − x 2 + 6 x − 16
1. a Dom
φ, complemento:
φ,=complemento:
R Rec = {y ∈ R / y ≤ 0}
II. 1. No tiene solución real
10
10
2.
y −
2
2
11
3. 3 y
13
4. No tiene solución real
φ, complemento:
b. Dom
R Rec = {y ∈ R / y ≥ −0,9}
φ,=complemento:
17
φ, complemento:
R Rec = y ∈ R / y ≤
c. Domφ,=complemento:
9
d. Dom
φ, complemento:
φ,=complemento:
R Rec = {y ∈ R / y ≥ −81}
5. 9 y 9
−4
2. a. f (0 ) = −28,
28, f = 0
3
6.
7
4
b. Pre imágenes de 0: x = y x = −
3
3
9 ± 104
4
Pre imágenes de : − x =
18
3
−3
3. a. m 9
b. t =
5
2
4. y = − x + 2x − 17
−1
5.
168
2 + 2+ 4 3
2 − 2+ 4 3
y
2
2
8. No tiene solución en R
7.
1
2
10. 5 2 y − 5 2
9. 2 y
6. a. eje x: ( 0, 0)y ( −4, 0), eje y: ( 0, 0)
b. No, falta un tercer punto por el que pase
1
c. f ( x ) = − x 2 − 2x
2
Evaluación 1
y
15
2
3. A = π⋅ r donde A es el área de un círculo y r,
su radio.
10
5
2.
3.
4.
5.
6.
7.
8.
9.
102
4.
5
a = 1 b = -6 c = 16
arriba; a; mayor.
(0, 16 )
ningún punto, menor
23
x=3
(3, 7 )
7
U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 102
III. 1. Si x e y son los lados, entonces el área de ellos
A = x ⋅ y. Como todos los rectángulos tienen
perímetro de 10 cm, se puede deducir que
x + y = 5. Despejando y y remplazando en
A = x ⋅ y tenemos A = x ⋅ (5 − x ); reduciendo
se obtiene A = 5x − x 2, que es la parábola de
la función área.
2. La función es positiva para los valores de x
menores de 2 y también para los mayores
de 4. Para x = 2 y x = 4, g ( x ) se anula. La
función es negativa para los valores de x
comprendidos entre 2 y 4, sin incluirlos.
I. 1.
0
4y 1
10
a. 4
x
b. no tiene
y
8
6
4
2
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –1 0
–2
y = − x 2 − 2x − 3
y = x 2 − 2x + 2
1
y = x2 + x − 2
3
–4
1
2
3
4
5 x
–6
2/11/11 16:59:58
II. 1. −
f ( x ) = { y ∈ R / y £ − 2}
φ, Rec
complemento:
1 2
x + xφ−, 2complemento:
Dom f ( x ) = R
3
11
φ,Rec
complemento:
f ( x ) = y ∈R / y ≥ −
4
2. 11 y
y=
1 1
y
7 3
3.
1
4.
f ( x ) = { y ∈ R / y ≥ 1}
φ, Rec
complemento:
4
16 11
+
6. y = − x 2 −
9
9 9
6. −1 ± 2
3
2 7
1
−3
y
2
2
1
y 2
5
III.1. a. C b. C
y = x 2 − 2xφ+, 2complemento:
Dom f ( x ) = R
5. 3 y 1
c. N
2
2. a. f ( x ) = x
7. a. y = − x + 2x ( 0, 0) y ( 2, 0) ( 0, 0) (1, 1)
Cóncava hacia abajo
2
1
3
7. −1 y
8. 3 y 18
d. C
e. N
d. f ( x ) = − x 2
b. f ( x ) = x 2 + 2
UNID AD 2
, complemento:
3 Dom f ( x ) = R
5. y = − x 2 − 2xφ−
e. f ( x ) = x 2 + 2
c. f ( x ) = x 2 − 3
f. f ( x ) = − x 2 − 1
3. a. la parábola uno es más abierta.
b. y = −2x 2 − 4 x + 30 ( −5, 0) y (3, 0) ( 0, 30) ( −1, 32)
b. el discriminante mayor es el de la
x + 30 ( −5, 0) y (3, 0) ( 0, 30) ( −1, 32) Cóncava hacia abajo
parábola dos.
c. y = x 2 − 14 x + 49 (7, 0) y ( 0, 49) (7, 0 )
c. el valor de c (término libre) de su fórmula
Cóncava hacia arriba
ecuación debiera ser menor en la parábola
3 2
dos, pues intersecta al eje y en (0,0), ya que la
8. y = x + 3x e y = −2x 2 + 6 x − 2
segunda
componente es cero y corresponde
4
a c. En cambio, para la otra parábola, se tiene
que intersecta al eje y en (0,3), por tanto c = 3
IV. 1. 5,12 y 13 unidades
4. Para cada caso se puede verificar que (1, 0)
2. 6 años. La edad promedio de un elefante en la
y ( 2, 0) satisfacen las tres ecuaciones de
selva es de 56 años. Sin embargo, en cautiverio
parábolas. ¿Coincidirán sus vértices? No,
llega solo a 15 años. Como es un cuento, el
no coinciden.
elefante es muy pequeño en edad todavía.
2
y = −0, 5x + 1, 5x − 1
3. a. 2 unidades de tiempo
Coordenada x del vértice es 1,5 y = − x 2 + 3x − 2
b. 35 unidades de longitud
2
Coordenada x del vértice es 1,5. Lo mismo
4. V = x ⋅ h, donde V es el volumen de la caja, x
sucede con y = −2x 2 + 6 x − 4
es la longitud de base cuadrada y h medida
de altura. Nótese que al fijar la altura tenemos
que V es una función cuadrática.
5. 36 m
V. 1. d
3. d
5. c
7. a
9. b
2. a
4. e
6. a
8. b
10.c
Evaluación 2
I. 1. F
3. V
5. F
7. V
9. F
2. V
4. F
6. V
8. F
10. F
En consecuencia, las tres tienen el mismo vértice
e intersectan al eje x en los mismos puntos.
5. Solo tiene un cero, ya que el respectivo
discriminante es 0. El cero de esta función es 1,2.
37
6. A
unidades a la izquierda.
28
7. El vértice de cualquier parábola es un punto del
eje de simetría. El eje de simetría de y = −8 x − x 2
y y = 8 x − x 2 es x = 4. Por tanto, ambos vértices
se encuentran en esta misma recta.
8. El valor máximo de g ( x ) = 8 x − x 2 es 16
IV.1. a
3. e
5. b
7. e
9. e
2. b
4. c
6. c
8. b
10.e
103
U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 103
2/11/11 17:00:08
Bibliografía y detalle de links de la Unidad
Referencia histórica
•Graph, que se puede bajar gratuitamente desde:
Algunos links de apoyo son:
http://gratis.portalprogramas.com/graph.html
http://personal.globered.com/monis-en-asesoria-ycorreccion/categoria.asp?idcat=21
Sitio de descargas. Además de Graph, ofrece
programas similares, algunos gratuitos, de
evaluación y otros de computación. Al final de la
página aparece link hacia información legal
contenida en el mismo sitio.
Aquí se sintetizan las ecuaciones cuadráticas y su
historia. Se hace un recorrido breve por la Teoría de
ecuaciones, los comienzos y la búsqueda de las
soluciones generales. Esta página es de MONIS EN
ASESORÍA Y CORRECCIÓN, que es ayuda matemática
y en sistemas de estudiantes bachilleres.
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/Historia/
MateOspetsuak/Ruffini2.asp
En esta página se propone la resolución de ecuaciones
de grado inferior a cinco: perspectiva histórica. Es
interesante porque traduce a lenguaje actual las
formas de resolución de varias culturas, como la
babilónica, por ejemplo, a lenguaje algebraico actual.
Este documento es imprimible. En esta página también
hay varios links a otros recursos de gran utilidad
docente, además de Textos online en formato pdf,
descargables e imprimibles. El sitio web de esta página
es DivulgaMAT: Centro Virtual de Divulgación de las
Matemáticas de la Real Sociedad Matemática Española.
La parábola
Para graficar, se sugieren los siguientes softwares:
•Graphmatica, también gratuitamente desde:
http://graphmatica.programas-gratis.net/
Sitios de descargas. Además de Graphmatica, ofrece
programas similares, algunos gratuitos y/ o de
evaluación, y otros de computación. Al final de la
página aparece link hacia aviso legal y condiciones
de uso contenida en el mismo sitio.
Instrumentos de evaluación
Coevaluación:
Se sugiere al docente visitar el siguiente enlace para
optimizar este recurso evaluativo:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/
VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573
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conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a
la Coevaluación y autoevaluación, citando la fuente
de procedencia. El material está además en pdf
descargable e imprimible. Tiene también links de
interés para docentes, estudiantes y familia, no solo
en matemáticas sino también para las otras
asignaturas o áreas del quehacer educativo.
Bibliografía temática
•Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría
Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London:
Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed.
•Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008). Álgebra
clásica. Santiago: Universidad Católica de Chile
Ediciones. 1ª ed.
•Spiegel, M. (2007). Álgebra superior (Serie Schaum).
México D.F.: Editorial Mac Graw Hill. 3ª ed.
•Swokowsky, E. y Cole, J. (2008). Álgebra y
Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.:
Thomson Editores. 11ª ed.
•Mercado, C. (1981). Test Matemática: problemas para
PAA y Prueba de conocimientos específicos. Santiago:
Editorial Universitaria. 16ª edición.
•Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López,
D. (2009). Manual de preparación para PSU
matemática. Santiago: Universidad Católica de
Chile Ediciones. 9ª ed.
•Riera, G. (1998). Matemática aplicada, texto para
profesores 2º medio Mineduc. Santiago: Editorial
Zig –Zag.
• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de
ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad
Católica de Chile Ediciones. 5ª ed.
•Sobel, M. y Lerner, N. (1998). Precálculo. México DF.:
Editorial Pearson Educación. 5ª ed.
104
U2 GUIA MAT 3M (058-105).indd 104
2/11/11 17:00:08
Sitios web sugeridos
¿Qué matemáticas hay en Internet? En el siguiente
link encontrará algunos consejos y enlaces
interesantes. También hallará aplicaciones del
programa Cabri para Internet.
http://platea.pntic.mec.es/~aperez4/#Páginas%20
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con descripciones y cometarios, por ejemplo Cabri,
Derive, etc. Además, tiene variado tipo de material,
algunos reproducibles. Está a cargo de Antonio
Pérez Sanz. Matemático. I.E.S. Instituto Salvador Dalí,
Madrid, España
Definición de la parábola como lugar geométrico.
http://descartes.cnice.mec.es/descartes2/previas_web/
materiales_didacticos/Funciones_cuadraticas/Raul_
Hidalgo_UD6.html
Es una página interactiva, con instrucciones simples,
que permite visualizar coordenadas de puntos, el
foco, la directriz, la parábola correspondiente, etc.
Requiere tener Java Instalado.
Esta página pertenece a Descartes. Proyecto
Educativo de Matemáticas Interactivas. Ministerio de
Educación, Política Social y Deporte. España
Para aprovechar mejor el recurso interactivo
anterior, con respecto a la presente unidad, se
puede dirigir a
http://descartes.cnice.mec.es/descartes2/previas_web/
materiales_didacticos/Funciones_cuadraticas/Funciones_
cuadraticas.htm
Propuesta de actualización de
conocimientos para el docente
En el siguiente link encontrará un repaso acabado
de Funciones algebraicas y gráficas.
http://matesup.utalca.cl/modelos/2clase/2_1_
Funciones.pdf
Este pdf es descargable e imprimible. Es del curso
“Modelos matemáticos y funciones”. Profesores:
Juanita Contreras S. y Claudio del Pino O. Instituto
de Matemática y Física. Universidad de Talca.
Un recorrido por la Ecuación cuadrática.
http://www.disfrutalasmatematicas.com/algebra/ecuacionescuadraticas.html
UNID AD 2
Apoyo tecnológico
Esta página contiene lo esencial que se debe tener
presente respecto de la Ecuación cuadrática. Tiene
un link interno para un solucionador de ecuaciones
cuadráticas. Hay links para otros temas de números,
álgebra, geometría, etc. y para un diccionario
ilustrado de Matemática.
Hay un buscador. El sitio donde está contenida esta
página es la traducción del inglés a partir de
www.MathsIsFun.com, que ha sido realizada por
David Sevilla, matemático de profesión investigador
en Johann Radon Institute for Computational and
Applied Mathematics (RICAM), en Linz, Austria.
Sitios de interés para los docentes:
Le proponemos el siguiente link para profundizar en
el tema de ecuaciones.
http://www.uach.cl/abacom/documentos/ABACOM_N004A1-2001-Nov.pdf
Este documento pdf, descargable e imprimible,
contiene, entre otros temas matemáticos, un
desarrollo teórico para la resolución de una
ecuación de cuarto grado, acompañada con un
ejemplo. Después se hace una reseña histórica
breve a la imposibilidad de la obtención de una
fórmula general válida para la resolución de
ecuaciones de grado 5 y superiores, usando
solamente suma, resta, multiplicación, división,
exponenciación y radicación de los coeficientes.
Este documento pertenece a ABACOM , boletín
matemático, publicación mensual destinada a
estudiantes y profesores de Enseñanza Media.
Proyecto auspiciado por la Dirección de Extensión
de la Universidad Austral de Chile
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Unidad 3
Desigualdades e inecuaciones
Presentación de la Unidad
Presentación de la unidad
A través de la presentación se ha querido traspasar el ámbito netamente
matemático. Hay un sentido social en el concepto de igualdad versus
desigualdad que es conveniente analizar con sus estudiantes. Más allá de lo
expuesto en la introducción, puede usted trabajar otra introducción desde el
punto de vista matemático. Una sugerencia es la siguiente: “Como se ha
estudiado anteriormente, los conjuntos numéricos vistos hasta el momento,
N, Z, Q, Q’ y R, son ordenados. Esta característica hace que se pueda
establecer una relación de orden para determinar cuándo un número es
mayor o menor que otro. Así, se pueden establecer relaciones usadas en la
vida diaria que sirven para decidir, por ejemplo, cuál es el lugar donde
conviene comprar un determinado artículo dependiendo de dónde será este
más barato. Las propiedades de las desigualdades nos permiten también
predecir qué pasará con alguna desigualdad determinada, por ejemplo, si el
sueldo de dos grupos de personas difiere en cierta cantidad (debido a que
uno es mayor que el otro), entonces, si se doblan los sueldos de esos grupos,
la diferencia será mayor, la desigualdad se mantendrá, pero se hará mayor
aún. También les puede mencionar a sus estudiantes que las inecuaciones
determinan ciertas restricciones en contextos de determinados problemas
de maximización o minimización, debiendo recurrir a un desarrollo
matemático para poder resolver dichos problemas (ámbito referido a
programación lineal). Por ejemplo, decir que una empresa de alimentos
desea crear un determinado producto que contenga al menos 3 g de
proteínas y a lo más 4 g de carbohidratos, determinará una inecuación. Otros
contextos donde podemos intuir el uso de inecuaciones o desigualdades es
para determinar el dominio de funciones como las estudiadas en las
unidades 1 y 2: función raíz cuadrada y funciones cuadráticas. Por último,
conviene señalar que las inecuaciones, que finalmente representan
intervalos, no deben necesariamente tener una connotación negativa en la
vida real; muchas de ellas, por el contrario representan o dan sentido de
normalidad. Por ejemplo, pensemos en el ámbito de la salud. Los rangos de
normalidad de la glicemia en una persona adulta fluctúan entre 60 a 100
mg/100 ml, esto se representará en el intervalo [60, 100].
Como en todas las unidades, se trabajarán antes de la unidad propiamente
tal algunos conceptos que deben ser recordados. En esta unidad la sección
de conocimientos previos hace alusión al tema de los conjuntos. Como este
contenido no está formalmente abordado a través de los programas
ministeriales en los cursos anteriores, es de suma importancia que los trabaje
con detención con sus estudiantes, de manera de revisar los conceptos más
importantes, y que se utilizarán en la sección de intervalos, como son la idea
de conjunto, de pertenencia, de subconjunto y la operatoria básica de ellos
(unión, intersección, diferencia y complemento).
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•En las representaciones de los conjuntos se debe hacer énfasis en los
distintos tipos, sus ventajas y desventajas. Por ejemplo, si bien es cierto que
escribir un conjunto por extensión ayuda a visualizar claramente cuáles son
sus elementos, esta representación no es posible en conjuntos infinitos, por
lo que se necesitará la notación por comprensión. Ayude a sus estudiantes a
comprender la forma de escribir este tipo de presentación de un conjunto,
destacando los beneficios de esta cuando los conjuntos son infinitos (más
adelante será necesario para presentar las soluciones de una inecuación)
•La pertenencia de un elemento a un conjunto es una idea intuitiva. La
pertenencia a un conjunto tiene que ver con alguna propiedad que lo
caracteriza. A veces es más fácil mirar cuando un elemento no pertenece a
un conjunto determinado. Al abordar este tema conviene ligarlo con
pensamientos y acciones de la vida cotidiana; por ejemplo, ¿cuándo una
persona pertenece o no a una familia determinada? ¿Qué edad debe tener
una persona para pertenecer al grupo del adulto mayor?, etc.
UNID AD 3
Algunas consideraciones relacionadas con estos conocimientos
previos son:
•El concepto de subconjunto es una conexión relacional y se puede trabajar a
través de la habilidad de comparación. Este concepto se expresa con respecto
al conjunto que lo contiene y puede representar una restricción de este. Este
concepto tiene una relevancia, pues veremos, más adelante, que el conjunto
solución de las inecuaciones son subconjuntos de los números reales.
•Con respecto al conjunto universo, es importante distinguir cuál es el
conjunto de referencia en un contexto determinado. Este es el que
generalmente representa el universo. Note que en este sentido no hay un
solo conjunto universo para una determinada situación. En nuestro caso, el
conjunto universo continuará siendo el de los números reales, a menos que
se indique lo contrario. La existencia de un conjunto universo da una
solidez a la descripción y existencia de un intervalo.
•Por otro lado, y no necesariamente con una connotación de opuesto al
universo, como lo piensan los estudiantes, está el conjunto vacío. No
siempre es claro llamarlo “conjunto” (si la idea intuitiva es que los conjuntos
son una agrupación de elementos), y menos aseverar que es “subconjunto
de todo conjunto”. Conviene mencionarlo a través de la idea intuitiva de
ausencia de elementos. Su relevancia se presenta cuando se trabaja con la
operatoria de conjuntos. Por ejemplo, la idea de que dos intervalos nada
tengan en común, es decir, que no existan números que cumplan una
propiedad común, se expresa mediante el conjunto vacío.
•Referente a la operatoria de conjuntos, esta nos permitirá asociarla a las
soluciones de inecuaciones:
•La unión permite la reunión en un solo conjunto de los elementos de
otros conjuntos. Su definición está en función del “o” lógico. En algunas
ocasiones, la unión se asocia con la palabra “sumar” en el sentido de
“añadir a algo”. En particular, en la construcción de un intervalo solución
para una inecuación dada.
•La intersección está sustentada en el “y” lógico. Se asocia con la palabra
simultaneidad. Especialmente se usa cuando se desea encontrar el conjunto
solución para dos o más inecuaciones simultáneas. Es decir, se buscan
aquellos números que cumplan con dos o más condiciones a la vez.
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•La diferencia se conecta con la palabra “restar”, en el sentido de “quitar algo”.
La diferencia expresa la idea de exclusivo. Lo que se incluye en un conjunto
y lo que no se incluye en el otro. Note que esta no es conmutativa.
El mapa conceptual para el trabajo de esta unidad es el siguiente:
DESIGUALDADES E INECUACIONES
Concepto de
desigualdad
Propiedades
Intervalos
Concepto de
inecuación
Sistemas de
inecuaciones lineales
Resolución de
inecuaciones
Resolución de sistemas
de inecuaciones
lineales
Problemas de aplicación a la vida diaria
Objetivos y planificación
Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad se deben tener
claros los objetivos y la planificación de la unidad. Presentamos aquí los
objetivos por alcanzar por los estudiantes a través de la unidad y una
propuesta de planificación para la unidad.
Objetivos fundamentales y transversales
•Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de los
sistemas de inecuaciones, mejorando en rigor y precisión la capacidad de
análisis, de formulación, verificación o refutación de conjeturas.
•Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el
análisis de situaciones concretas.
•Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus propias
capacidades.
•Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas
a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.
•Razonar lógica y deductivamente para ir en búsqueda de nuevos métodos
de solución a los problemas que se plantean.
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Planificación de la Unidad
Tiempo de duración
“Desigualdades e inecuaciones”
CMO
Concepto de desigualdad.
Aprendizajes esperados
Reconocer una desigualdad.
Traducir a desigualdades frases en
lenguaje verbal de la vida diaria.
Propiedades de las desigualdades.
Intervalos.
21 horas pedagógicas.
Indicadores de evaluación
Reconoce una desigualdad y la
diferencia de una igualdad.
Traduce lenguaje verbal con
situaciones cotidianas a lenguaje
matemático que emplee
desigualdades.
Establecer las propiedades principales
de las desigualdades.
Enuncia propiedades de las
desigualdades.
Aplicar las propiedades de las
desigualdades a la demostración
de otras.
Emplea las propiedades de las
desigualdades en demostraciones
sencillas.
Utilizar los intervalos como la forma
correcta de representar un
subconjunto de R.
Reconoce los intervalos como
subconjuntos de R.
Operar intervalos.
Utilizar los intervalos para presentar
información.
Opera intervalos .
Representa información utilizando
intervalos.
Aplicación de las desigualdades a la
interpretación de información.
Utilizar las desigualdades para
establecer relaciones entre
información que se maneja en la
vida diaria.
Utiliza desigualdades para representar
información cotidiana en variados
contextos.
Inecuaciones lineales con coeficientes
enteros y fraccionarios.
Identificar una inecuación.
Reconoce una inecuación.
Relación entre las ecuaciones y las
inecuaciones lineales.
Distinguir una desigualdad de
una ecuación.
Distingue una inecuación de
una ecuación.
Inecuaciones lineales con
valor absoluto.
Resolver inecuaciones con valor
absoluto.
Resuelve inecuaciones con valor
absoluto.
Inecuaciones cuadráticas y
fraccionarias.
Resolver inecuaciones cuadráticas
y fraccionarias.
Resuelve inecuaciones cuadráticas
y fraccionarias.
Sistemas de inecuaciones lineales
sencillas con una incógnita.
Identificar sistemas de inecuaciones
lineales .
Reconoce un sistema de inecuaciones
lineales con una incógnita.
Resolver sistemas de inecuaciones
lineales con una incógnita.
Resuelve sistemas de inecuaciones
lineales con una incógnita.
Resolver problemas de planteo que
involucren inecuaciones y sistemas de
inecuaciones lineales.
Resuelve problemas de planteo que
involucren inecuaciones y sistemas
de inecuaciones.
Verificar sus soluciones en cuanto
a su pertinencia en el contexto de
un problema.
Analiza las soluciones para establecer
la pertinencia de estas en el contexto
del problema.
Planteo y resolución de sistemas de
inecuaciones con una incógnita,
análisis de la existencia y pertinencia
de las soluciones.
UNID AD 3
Unidad 3
Resolver inecuaciones con coeficientes Resuelve inecuaciones con
enteros y fraccionarios.
coeficientes enteros y fraccionarios.
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Desarrollo de la Unidad
a)Introduciendo la unidad
Como ya se ha mencionado, es bueno contextualizar la unidad antes de
comenzar a trabajar formalmente en ella. Algunos problemas que pueden
ayudar a esto son:
•Ernesto ha calculado que las compras del mes en el supermercado no
superarán los $145000, y que lo que gastará en la farmacia para sus
remedios no será más que $55000, ¿cuánto gastará como mínimo
Ernesto este mes por concepto de supermercado y farmacia?
Podemos anotar 5que:
y2
f £355000, por lo tanto, ambos
x − s2£3145000
5x−
gastos no deberían superar los $200000, esto es:
f £3200 000
5 sx +− 2
•Si después de haber agregado 12 litros de bencina a mi auto, que tenía
un cuarto de estanque lleno, el estanque no alcanza a llegar a los tres
cuartos, ¿podría determinar la capacidad del estanque?
Si x es la capacidad del estanque, entonces podemos escribir que:
x
3
+ 12 < x . Resolver esta inecuación nos llevará a conseguir una idea
4
4
de la capacidad del estanque; esto es, que la capacidad es mayor que 24;
por lo tanto, el estanque puede contener más de 24 litros de bencina.
Sin embargo, no nos da la capacidad exacta. Haga énfasis en esto a sus
estudiantes.
b)Preparando cada tema
A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para
tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Texto del
Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas
conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la
preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y
las capacidades trabajadas según los Mapas de Progreso.
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(Página 152 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer y explicar la
realidad a través de la matemática.
• Resolución de problemas desarrollando
el pensamiento lógico.
• Discernimiento de resultados en
situaciones cotidianas para ver la
pertinencia de ellos.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora).
• Trabajo grupal.
Las capacidades trabajadas, referentes al
eje números son(en niveles 5, 6 y7):
• Argumenta sus estrategias o
procedimientos y utiliza ejemplos y
contraejemplos para verificar la validez
o falsedad de conjeturas.
• Resuelve problemas utilizando un
amplio repertorio de estrategias,
combinando o modificando estrategias
ya utilizadas. Realiza conjeturas que
suponen generalizaciones o
predicciones y argumenta la validez de
los procedimientos o conjeturas.
• Muestra autonomía y flexibilidad para
resolver un amplio repertorio de
problemas, tanto rutinarios como no
rutinarios, utilizando diversas
estrategias para formular conjeturas
acerca de objetos matemáticos. Utiliza
lenguaje matemático para presentar
argumentos en la demostración de
situaciones matemáticas.
• Interpreta y usa convenciones del
álgebra para representar
generalizaciones y relaciones entre
números u otros objetos matemáticos,
estableciendo nuevas representaciones
algebraicas de un nivel de
abstracción mayor.
UNID AD 3
Desigualdades, ¿parecidas a la igualdad?
Una desigualdad es la manera matemática que tenemos para decir que algo
NO es igual. Esto no es detenerse a escribir solamente ≠. Sino que la riqueza
de las desigualdades va más allá. Si dos cantidades no son iguales es porque
una debe ser mayor que la otra, necesariamente.
En la página 153, se presentan los signos de desigualdad. Conviene explicar
cada uno de ellos, especialmente los que agregan el signo de igualdad. Esto
tomará más relevancia al desarrollar inecuaciones con ≤ y ≥, pues se estará
resolviendo un sistema simultáneo formado por una desigualdad en sentido
estricto y una ecuación, ambas en la misma variable.
Una desigualdad es una expresión matemática que indica que dos
cantidades no son iguales. Los símbolos utilizados son:
≠ : distinto
>: mayor
<: menor
También se ocupan (y permiten la igualdad) los símbolos:
≥: mayor o igual
≤: menor o igual
Además, conviene incluir una tabla que permita una traducción de frases y
expresiones del lenguaje natural al lenguaje matemático y viceversa.
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Por ejemplo, aclarar términos para la traducción como “desde”,“a partir de...”
“a lo menos”,“a lo máximo’, “nunca menor”,“siempre mayor”,“estrictamente
menor”, etc., como otros términos de la vida diaria. Todo esto puede ayudar,
en ocasiones actuales o a futuro de los estudiantes, cuando se encuentren
sometidos a escribir este tipo de traducción para la resolución de los temas
de esta unidad y lo que se requiera en los venideros. Traduzca enunciados
verbales a desigualdades. Los ejercicios que se proponen podrán ayudar a
sus estudiantes a ejercitar.
Es bueno explicitar a los estudiantes la ley de la tricotomía (cuadro recordar y
archivar). Aquí, conviene explicar lo que ocurre cuando una de las
consecuencias es negada. Aparecen necesariamente las otras dos como
alternativas verdaderas. Esto es, si un número no es menor que otro, es
porque debe, necesariamente, ser mayor o igual.
Trabaje con sus estudiantes también el hecho de que toda desigualdad
involucra una diferencia. Puntualice que la definición de a menor que b, se
asocia a que b – a es positivo.
También conviene que los estudiantes escriban algunas reglas vistas en otras
unidades o en años anteriores usando desigualdades, como, en el cuadro
toma nota de la página 97 de la Unidad 2, donde la existencia y tipo de
solución de una ecuación de segundo grado depende la desigualdad que
cumple su discriminante.
¿Tendrán propiedades las desigualdades?
(Página 154 del Texto del Estudiante)
Conviene puntualizar a qué tipo de propiedades nos estamos refiriendo.
Podríamos decir, al efectuar alguna operación en alguna desigualdad, ¿qué
ocurre?, ¿sigue siendo una desigualdad?, ¿cambia o no su sentido?
Previamente, recordemos que hay por lo menos dos formas de comparar
cantidades. Una, mediante la diferencia de ellas y la otra, mediante una razón. Las
desigualdades son una forma de trabajar con diferencias. Según lo expresado
anteriormente, debiéramos tener esto siempre en cuenta al momento de estudiar
las propiedades de la desigualdad. Analicemos lo siguiente:
a. Al sumar o restar una cierta cantidad no cambia el sentido de la
desigualdad (no se interviene el sentido de ella); por lo tanto, es
independiente del número que se sume.
Si a, b y c son números reales con a < b, entonces a + c < b + c.
La justificación está dada por a < b, y esto equivale a decir que b – a > 0.
Ahora bien, esta última desigualdad se puede escribir como b – a + 0 > 0.
Eligiendo 0 = c + ( −c ) y luego reordenando, obtenemos b + c − a − c > 0 .
Rescribiendo esta última desigualdad, ( b + c ) − ( a + c ) > 0.
Por tanto, a + c < b + c.
La demostración para una sustracción es similar.
Ahora bien, si pensamos en una comparación por diferencia y a cada cantidad
se le suma c, se tendrá que: b − a = ( b + c ) − ( a + c ); sin embargo, si la
comparación es a través de cuociente, la razón entre ellas no se mantiene.
a a+c
π
b b+c
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Es decir, si comparamos dos cantidades mediante diferencia, no se altera
esta si a los números se le agrega o quita un mismo número a ambos lados
de una desigualdad. Pero no ocurre lo mismo si se compara mediante
una razón.
Sea a < b y al sumarle o restarle 0 se tiene que no altera en absoluto; por
lo tanto, la inecuación igual. Sin embargo, no está permitido multiplicar
por 0. Si esto fuera posible, para a < b se tiene que b – a > 0. Al amplificar
por 0 ( b − a ) obtenemos 0, pues el producto de un positivo, por la
propiedad absorbente de este elemento, se anula. Por otro lado, sabemos
que 0 ⋅ ( b − a ) = 0 ⋅ b − 0 ⋅ a, pero esta diferencia es 0 – 0, lo cual no permite
establecer ninguna desigualdad posible. Por tanto, no es posible
amplificar por 0 una desigualdad.
UNID AD 3
¿Qué ocurre con una desigualdad al ser amplificada por 0?
b. Al multiplicar una desigualdad por un número real positivo, la
desigualdad se mantiene. Si se multiplica por un número real negativo, la
desigualdad cambia de sentido.
Si a < b, luego del producto por k se obtiene ka < kb o ka > kb según sea
el valor de k. Ahora bien:
i. Si k es positivo, ka < kb; entonces, kb – ka es positivo. Si aumenta el
valor de k, aumenta esta diferencia fija b – a. De la misma manera
ocurre si este valor de k es cada vez menor, pues se hace cada vez
más pequeña.
Ejemplo
–2 < 1. La diferencia es 3. Ahora bien, al amplificar por 20, tenemos
–40 < 20. La diferencia aumenta a 60. Sin embargo, si esta misma
desigualdad la amplificamos por 0,03, queda –0,06 < 0,03.
La diferencia es 0,09.
ii. Si k es negativo, ka > kb, entonces ka – kb, es negativo. Si disminuye el
valor de k, aumenta esta diferencia fija b – a. De la misma manera
ocurre si este valor de k es cada vez menor
Ejemplo:
–2 < 1. La diferencia es 3. Ahora bien, al amplificar por –10, tenemos
20 > –10. La diferencia aumenta a 30. Sin embargo, si esta misma
desigualdad la amplificamos por –0,03. Queda 0,06 < –0,03. La
diferencia es 0,09.
Ahora bien, la multiplicación por -1 es de la siguiente manera:
Si a < b, entonces b – a es positivo. Si amplificamos b – a, por –1, el
cual es menor que cero, tenemos que −1 ( b − a ) < 0. Esto es, −b + a < 0, .
Ahora bien, sumando –a, a cada miembro y reduciendo tenemos
finalmente –b < –a.
Con esto podemos generalizar para cualquier k > 0 el producto por –k
usando el resultado anterior.
Esto es, dada a < b, entonces a < b /–k se transforma a multiplicar
a<b
/ ( −1) ⋅ k . Esto equivale a
/ ⋅ ( −1), para
a<b
/ ( −1) ⋅ k . Primeramente efectuamos a < b
obtener –b < –a, y luego amplificamos por k. Así queda –kb < –ka
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c. Si a, b y n son números reales positivos y a < b, entonces
y
. Es decir, al elevar a un número positivo o extraer raíz (de
cualquier índice) a una desigualdad formada por términos positivos, la
desigualdad se mantiene.
Esta propiedad se trabajó mediante tanteo, es decir, en el problema
desarrollado el alumno se dio varios valores e intuyó las reglas. Como el
contexto del problema planteado es geométrico, resulta fácil intuir la
veracidad de la información para números positivos, pero ¿qué sucede si
uno de los números es negativo? Analicemos lo siguiente:
Supongamos que a es negativo y b es positivo. Entonces –a < b, es decir,
b+a>0
Distingamos los siguientes casos:
a. Si b – a > 0, entonces amplificamos b + a > 0 por b – a > 0 y así
obtenemos b2 – a2 > 0. Por tanto, b2 > a2
b. Si b – a < 0, entonces amplificamos b + a > 0 por b – a < 0 y tenemos
que b2 – a2 < 0, o bien b2 < a2
Luego podemos concluir lo siguiente:
a. Si –a < –b < b < a, entonces podemos establecer que b2 < a2
b. Si –b < –a < a < b, luego a2 < b2
¿Qué pasa si ambos son negativos?
Supongamos que −a < −b, entonces tenemos la siguiente secuencia:
−a < −b < b < a, con lo que se demuestra, en forma análoga a lo hecho
anteriormente, que b2 < a2.
d. Revisemos la ley de transitividad
Tenemos que demostrar que: a ≤ b ∧ b ≤ c ⇒ a ≤ c
a ≤ b⇒ b−a ≥0
b≤c ⇒c −b≥0
b−a ≥0
+
c −b≥0
c −a ≥0
c −a ≥0⇒ c ≥ a
Y por esto último tenemos a ≤ c
¿Para qué se usan las propiedades de las desigualdades?
(Página 157 del Texto del Estudiante)
Antes de comenzar, es bueno que aclaremos dos conceptos que suelen
confundirse: no es lo mismo mostrar que algo sucede, que demostrar que
aquello sucede.
Cuando mostramos que algo sucede damos un ejemplo, que puede ser
numérico, de que determinada regla se cumple ¿De qué manera se relaciona
“mostrar” con “verificar”,“chequear”? La idea es buscar ejemplos que
muestren que determinada regla se cumple. Esto exige que los ejemplos
deban ser claros y durante la muestra no equivocar ningún paso algebraico
ni geométrico. En algunas oportunidades conviene mostrar contraejemplos.
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Cuando demostramos que algo sucede, debemos hacerlo de forma general,
de modo que, usando una serie de pasos lógicamente ordenados (y
correctos), ya sean algebraicos o geométricos, se pueda concluir que la
afirmación señalada es verdadera. Se debe explicar qué son “serie de pasos
lógicamente ordenados” y “correctos”. Esto implica que, lógicamente de
premisas verdaderas, se obtendrá una conclusión que es verdadera. A veces
conviene mediante un contraejemplo demostrar cierta propiedad, regla, etc.
a. El primer ejemplo (página 157) es una muestra geométrica de la fórmula
2
( a − b ) , y de paso una muestra de que a2 + b2 ≥ 2ab. Esta última exige la
formación de dos nuevas figuras, una partir de una parte de la original.
UNID AD 3
Estos pueden conducir a una contradicción y luego a una verificación de
cierta propiedad. Conviene mostrar mediante ejemplos las formas que se
usan para “mostrar” una determinada regla.
Nótese que se podría pensar que una representación geométrica permite
demostrar fácilmente algunas desigualdades. Sin embargo, analicemos lo
2
siguiente. Tomando en cuenta el dibujo, podríamos pensar que ( a − b ) > b2.
a
b
a–b
b (a − b)
b
b2
b
a
a–b
b (a − b)
(a − b)
2
a–b
a–b
b
Ahora, observe lo siguiente:
a
b
b (a − b)
a
b
b2
(a − b)
2
b
En este caso, la desigualdad ya no se cumple. Por lo tanto, se debe tener
extremo cuidado con las restricciones que cada una de las relaciones
establecidas pueda tener.
Por otro lado, el ejemplo mostrado en el libro se refiere al caso en que a y
b son positivos.
Una forma de demostrar a2 + b2 ≥ 2ab, pero de manera más general, es la
siguiente:
Supongamos que a ≥ b, entonces tenemos que a − b ≥ 0. Volvamos a
considerar a ≥ b. Si multiplicamos ambos miembros por a − b, la
desigualdad se mantiene. Veamos a ( a − b ) ≥ b ( a − b ). Desarrollando
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tenemos a2 − ab ≥ ba − b2. De aquí obtenemos a2 + b2 ≥ ba + ab. Finalmente
logramos que a2 + b2 ≥ 2ab.
b. El segundo ejemplo muestra que a través de una tabla, se conjetura para
establecer una posible desigualdad. La idea es encontrar alguna
regularidad entre las expresiones del encabezamiento de las columnas y
los valores que en ellas se muestran. Una vez propuesta dicha posible
desigualdad, se presenta un algoritmo para demostrar una proposición
cuya firmeza radica en que, de premisas verdaderas, mediante operaciones
válidas, debemos hallar conclusiones verdaderas. Así se aplican los pasos a
1
2
partir de a + ≥ 2, para obtener (a − 1) ≥ 0, que es una conclusión
a
verdadera. ¿Pero qué sucede si nos devolvemos a través de los pasos dados
de este algoritmo? Veamos ( a − 1) ≥ 0. Desarrollando el cuadrado de
2
2
binomio se tiene a2 − 2a + 1 ≥ 0. De aquí a + 1 ≥ 2a. Como a es positiva, se
pueden dividir ambos miembros de la desigualdad por a, manteniendo el
a2 + 1 2a
sentido de ella:
≥ . De aquí, se
a
a
a2 1
tiene
+ ≥ 2. Completando con las simplificaciones,
a a
1
conseguimos que a + ≥ 2.
a
De esta manera hemos logrado una forma alternativa para la demostración
solicitada, aplicando los pasos del algoritmo para llegar a una desigualdad
que es claramente cierta. De aquí, como punto de partida para la
demostración solicitada, nos devolvemos los pasos dados en la aplicación
del algoritmo mencionado y lograr lo pedido.
Observe que los ejemplos presentan una forma de distinguir y llevar a cabo
una muestra y una demostración. El primero de ellos lo hace a través de
construcciones geométricas, y el segundo, a través del uso de una tabla.
Además, el último ejemplo tienen un mérito: el profesor muestra una
actitud muy abierta, orientadora, y que presenta desafíos a sus estudiantes,
sin dejar de apoyarlos en sus exploraciones para iniciar alguna de las
demostraciones.
Números reales: ¿qué número es el que está justo antes que otro?
(Pág.162 del Texto del Estudiante)
Uno de los conceptos más relevantes de esta subsección es el de densidad de
los números reales. Note que se hace énfasis en el hecho de no poder
“determinar qué número es el que viene exactamente antes o después de un
número real dado”. Esto debido a que entre un número real y otro siempre hay
infinitos números reales.
Haga notar a los estudiantes que esta propiedad se cumple en los números
racionales, los irracionales y reales. En los naturales y enteros, no se cumple. Un
modo fácil de mostrar esto es tomar dos números reales cualesquiera, a y b, y
a+b
buscar el número que está justo al medio de ellos, este es
. Como los reales
2
tienen la propiedad de clausura, entonces este último será también real.
116
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2/11/11 17:10:43
a+b
. Si se procede
2
sucesivamente de la misma manera, se tendrá siempre un número entre dos que
Así se puede repetir este proceso ahora con los números a y
se tomen, por cerca que ellos estén. Por lo tanto, para denotar un subconjunto de
R se hace necesaria una notación especial que permita nombrar ordenadamente
algún real a que esté inmediatamente antes que otro b, estamos determinando
un intervalo real a partir de a, hasta b, sin incluirlo.
Hablemos ahora de puntos límites y puntos fronteras. Note que se ha
definido lo siguiente:
Existen cuatro tipos de intervalos, estos son:
UNID AD 3
todos sus elementos. Es decir, cada vez que pretendamos pensar siquiera en
[a, b] cerrado: ambos números límites, a y b, pertenecen al intervalo.
a , b ) por la derecha (o cerrado por la izquierda)
[a, b[oabierto
[a, b[ o a, b ): el límite de
la izquierda (límite inferior) pertenece al intervalo, pero el límite de la
derecha (límite superior) no.
]a, b] o ( a, b]: el límite de
]a, b]oabierto
( a, b] por la izquierda(o cerrado por la derecha)
la izquierda (límite inferior) no pertenece al intervalo, pero el límite de
la derecha (límite superior) sí.
( a],ab,)b[ o ( a, b ): ninguno de sus límites, ni a ni b, pertenecen al intervalo.
]a, b[oabierto
Haga notar a sus estudiantes que los intervalos que comienzan en −∞ o
terminen en ∞ deben ser abiertos en ese extremo, ya que se extienden más
allá de cualquier número límite.
Es fundamental que se definan los intervalos como subconjuntos, ya que se
deben operar como conjuntos. Se trabajará entonces una primera parte de
esta sección en definir intervalos y una segunda en operar con ellos. Es
importante tener muy claro la notación de intervalo, y su expresión en
notación conjuntista.
¿Para qué sirven los intervalos?
(Página 167 del Texto del Estudiante)
En esta parte de la unidad se muestra una aplicación de los intervalos en la
presentación de la información. Se propone trabajar con temas nacionales e
internacionales que puedan motivar a sus estudiantes a investigar. Se han
dado ejemplos sobre temas como el calentamiento global, algunas tareas
del servicio médico legal en Chile, la contaminación ambiental, etc. Se
propone trabajar más allá que solo con los datos duros. En este sentido sería
bueno hacer algunas preguntas sobre cómo se pueden proyectar estos
resultados y qué sugieren al respecto. Se aconseja utilizar fuentes como el
Instituto Nacional de Estadísticas (INE), Demre, estadísticas del Ministerio de
Salud, etc. Algunos de estos sitios son:
http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/home.php
http://www.demre.cl/estadisticas.htm
http://deis.minsal.cl/index.asp
117
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Inecuaciones ¿qué son?
(Página 175 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al
eje álgebra, son (en niveles 6 y 7):
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer y explicar la
• Resuelve inecuaciones de primer grado
realidad a través de la matemática.
identificando el conjunto al cual
pertenecen sus soluciones.
• Resolución de problemas, desarrollando
el pensamiento lógico.
• Representa e interpreta de diversas
• Discernimiento de resultados en
formas las soluciones de inecuaciones y
sistemas de inecuaciones.
situaciones cotidianas para ver la
pertinencia de ellos.
• Elabora estrategias de resolución, las
• Uso de herramientas tecnológicas
desarrolla y justifica usando lenguaje
algebraico.
(calculadora).
• Trabajo grupal.
• Muestra autonomía y flexibilidad en la
transformación de expresiones
simbólicas escribiendo, reconociendo y
eligiendo formas equivalentes de
distintas representaciones algebraicas.
En esta sección se trabajarán inecuaciones lineales con coeficientes enteros
y fraccionarios, con valor absoluto, fraccionarias y cuadráticas.
Para resolverlas se debe recordar a los estudiantes que una desigualdad
tiene, en general, propiedades similares a las de las igualdades. Por lo tanto,
se trabajarán en forma análoga a las ecuaciones. Sin embargo, se debe cuidar
que cada vez que se multiplica o divide una desigualdad por un número
negativo, el sentido de la desigualdad se invierte.
Note que las soluciones se darán de tres formas distintas, por ejemplo:
5
Si x ≥ , entonces se puede escribir que:
7
5
5
7 , ∞ ó x ∈ R / x ≥ 7 ó
0
5
7
¿Cómo se puede comprobar la respuesta de una inecuación? Se elige un
número representante del conjunto solución y se comprueba que la
desigualdad se cumpla.
Inecuaciones fraccionarias y cuadráticas
(Página 181 del Texto del Estudiante)
a. Inecuaciones fraccionarias
La primera consideración que se debe tener al resolver las inecuaciones
fraccionarias es que no se puede amplificar la inecuación por una
expresión que contenga a la variable o incógnita, pues no sabemos si
dicha expresión será negativa o positiva, con lo que no se puede
determinar el sentido de la desigualdad final.
118
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Es importante aclarar que para resolver inecuaciones fraccionarias y cuadráticas
se puede proceder de varias maneras. Se han querido mostrar dos formas de
resolución. La primera es separar por casos, como en el siguiente ejemplo:
podemos escribir como:
a. x > 0 y x – 3 < 0
⇒x>0∩x<3
0
b. x < 0 y x – 3 > 0
x<0∩x>3
o
∪
0
3
∪
S a = ]0, 3[
3
UNID AD 3
x
x
es negativo y para que esto suceda se debe
< 0, significa que
x −3
x −3
tener que el numerador o el denominador deben ser negativos. Esto lo
Sb = ∆
∴ S f = ]0, 3[
La segunda se trata en el taller de profundización y es a través de un
análisis de signos. Veamos el ejemplo dado:
x +5
>0
2x − 3
entonces, se podrían analizar los signos del numerador y denominador
por separado.
Si es así, que algo sea mayor o menor que cero tiene un límite que es ser
igual a cero. A estos límites, donde numerador y denominador se hacen
cero, los llamaremos puntos críticos. Calculemos estos valores:
a. Cálculo de puntos críticos:
• x + 5 = 0 ⇒ x = – 5
3
2
b. Confeccionar tabla de valores con los puntos críticos:
• 2x − 3 = 0fix =
Numerador
x+5
-5
—
0
+
+
+
—
—
—
0
+
H
+
Denominador
2x – 3
División de
ambos
··
+
Tomamos un número menor que
–5 y evaluamos cada una de las
partes de ese número colocando
en el casillero correspondiente
sólo el signo
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0
Recta numérica
3
2
—
Lo mismo con
un número
entre –5 y 1,5
Lo mismo
con un
número
mayor que
1,5
Esta fila es
el resultado
de los
signos de la
división de
ambas filas
119
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⇒ la solución es: ]−•, −5[ ∪ 3 , ∞
2
La ventaja de este método sobre el de análisis de casos es que cuando
se aprende bien (y se entiende completamente lo que se está
haciendo) resulta más rápido y menos engorroso.
Aun cuando está tratado como taller de profundización, sería bueno
presentarlo a los estudiantes en paralelo con el método anterior.
Recuerde que siempre es bueno presentar más de una forma de
solución y luego dejar libertad a los estudiantes para que ellos utilicen
la que les sea más conveniente.
Volviendo a nuestro primer ejemplo, ¿existe alguna manera de
comprobar si el conjunto solución es efectivamente ]0, 3[?
Lo más usual es elegir un número que pertenezca a este intervalo y
verificar directamente en la inecuación respectiva. Por ejemplo,
revisemos con 1.
1
1
x
Entonces con x =1,
< 0 ⇒ − < 0; por lo tanto,
< 0, ⇒
1−3
2
x −3
se cumple.
Sin embargo, la formalidad requiere que elijamos un representante
general a de ]0, 3[. Es decir,
0 < a < 3. Como a < 3, podemos restar 3 en ambos lados de esta
a
desigualdad. Esto es a − 3 < 0. Luego,
es el cociente entre un real
a −3
positivo y real negativo. Por tanto, el valor obtenido es negativo, es
decir, menor que 0.
¿Qué ocurre con aquellos reales que están fuera de ]0, 3[?
A modo de ejemplo, tomemos los valores –1, 0, 3 y 4. Haciendo
reemplazos correspondientes, tenemos
3
3
0
−1
−1
= , el cual está indefinido y
= 0;
=
= 0,25 > 0;
3
−
3
0
0
−
3
−1 − 3 −4
4
4
= = 4 > 0.
4 −3 1
Podemos proponer que ]−• , 0] ∪ ]3, •[ debiera ser el conjunto
x
solución para
≥ 0. Podríamos enunciar el contexto inicial de este
x −3
problema como: “Una cierta cantidad se divide por un número tres
unidades menor, quedando mayor o igual a 0 ¿Para qué números se
cumple este enunciado?”
De aquí podemos interpretar que, para inecuaciones que no tengan
puntos de indefinición, el complemento del conjunto solución de un
problema responde a ser el conjunto solución de los mismos
miembros de la inecuación dada, pero con el signo de la desigualdad
opuesta. En el caso de inecuaciones con puntos de indefinición, éstos
deben excluirse.
120
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Inecuaciones con valor absoluto
(Página 185 del Texto del Estudiante)
Se generaliza que:
Se generaliza que:
x ≤ a ⇒ x ≤ a ∩ x ≥ −a
x ≥ a ⇒ x ≥ a ∪ x ≤ −a
x < a ⇒ x < a ∩ x > −a
x > a ⇒ x > a ∪ x < −a
Se sugiere ejemplificar tanto como sea necesario hasta que todos sus
estudiantes entiendan el significado de estas reglas. Recuerde que se deben
buscar los aprendizajes significativos.
UNID AD 3
Con respecto a las inecuaciones con valor absoluto, note que se ha
comenzado el estudio de estas con el análisis de la definición de valor
absoluto. Es importante que quede claramente definido y entendido que:
Lo fundamental que tiene la técnica usual de resolución de inecuaciones con
valor absoluto es su capacidad de reducirlas a la resolución de inecuaciones
que los estudiantes ya han visto anteriormente.
Veamos algunos ejemplos que se presentan en el libro, y que los
desarrollaremos mediante otros caminos.
a. x + 8 ≤ 7. Se requiere encontrar un conjunto de reales tal que agregado a
8, modularmente, no exceda a 7.
Lo aconsejable es solucionar primeramente x + 8 = 7. Esto es x = −1. Este
valor nos sirve como un límite para continuar el análisis ¿Qué pasa con
números mayores que –1? Podemos evaluar gradualmente con 0, 1 y de
aquí en adelante, y notaremos que dicha suma modularmente supera
cada vez más a 7. Por otro lado, valores inferiores a –1, como son –2, –3,
–4, ...–9,.. –12, etc., satisfacen la desigualdad en estudio, pues va resulta el
módulo de 6, 5, 4,...–1,...–4, y respectivamente Nótese que la suma
anterior pasa operacionalmente a ser una diferencia entre el 8 y x, que va
aumentando modularmente a medida que los valores de x van
disminuyendo. Pero hay que tener cuidado hasta qué valor de x
considerar para que la diferencia no supere a –7, para que modularmente
no pase a 7 ¿Cuál es el valor de x mínimo que debemos considerar? –15,
pues –15 + 8 = –7, y modularmente es 7. Por lo ya expuesto, el conjunto
solución es [−15, −1]
b. 3x − 5 > x − 2
Vale la pena, recordar la definición de módulo de u, u un número real.
u ; u>0
u = 0 ; u=0
−u ; u < 0
Ahora bien si aplicamos esta definición tenemos que
5
3xx −−55 ; 33xx −−55>> 00 ⇔ x > 3
5
33xx −−55 = 0
; 33xx −−55==00 ⇔ x =
3
5
− ((3x −-55)) ; 3x −−55<<00 ⇔ x < 3
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121
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Se pueden presentar cualquiera de estos, recordando que33x3xx--5–5
- 5>>>xx–x--22
- ,2
se pueden presentar cualquiera de estos casos:
3
a. 3x − 5 > x − 2 y de aquí obtenemos 2x > 3; luego, x > . En notación de
2
3
intervalo es , ∞
2
b. 0 > x -2
–2, entonces x >2
4
− (3x − 5) > x − 2; luego, 5x − 3 > x − 2. Así tenemos que x < ; en
7
4
intervalo es −∞ ,
7
7
7
5-3x > x –2
-2 , entonces x < ; en intervalo es −∞ ,
c. 5–3
4
4
Por lo tanto, el conjunto solución es la unión de todos los intervalos
parciales. Note que el intervalo en (b) está contenido en el intervalo de (c).
Por lo tanto, la solución final es R.
Sistemas de inecuaciones: ¿qué son?, ¿cómo se resuelven?
(Página 192 del Texto del Estudiante)
Se abordan en esta sección los sistemas de inecuaciones lineales con una
incógnita. Se debe hacer notar a los estudiantes que las posibles soluciones
del sistema son números que deben satisfacer ambas inecuaciones a la vez y,
por esto, aquellos números serán los que se encuentren en la intersección de
la solución de cada una de las inecuaciones del sistema.
Recuerde a sus estudiantes que al dar la solución del sistema se deben
establecer correctamente los extremos de el(los) intervalo(s).
Haga notar a sus estudiantes que un sistema puede no tener solución en R o
puede tener a todo R como su solución.
Tal vez el mayor error de los estudiantes es querer hacer los ejercicios de
manera rápida y sin escribir todos los pasos necesarios, muchas veces
porque no están acostumbrados a ser rigurosos con el lenguaje. Se sugiere
que se plantee este tema a los estudiantes, de modo que ellos puedan ver
que en este tipo de ejercicios, donde los desarrollos son largos y, en ese
sentido, más complejos, es necesario escribir todos los pasos, de manera de
minimizar los posibles errores, confusiones y equivocaciones.
Se presentan en esta parte de la unidad sistemas que involucran todos los
tipos de inecuaciones trabajados en la unidad. Verbalice el tipo de
inecuación correspondiente de manera que sus estudiantes puedan ir
recordando y estableciendo las relaciones necesarias para la comprensión
del desarrollo de los ejercicios.
Se proponen dos actividades. La primera, individual, que tiene por objetivo
chequear que los estudiantes hayan aprendido a resolver sistemas de
inecuaciones; la segunda, grupal, donde se espera que los estudiantes
compartan sus conocimientos para resolver problemas de planteo que
involucren sistemas de inecuaciones lineales. Una buena estrategia es formar
grupos donde un alumno o una alumna con mayores habilidades
matemáticas guíe el trabajo de su grupo.
122
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Ya nos hemos referido antes al taller de profundización. Si usted ha
optado por entregar ambos métodos como método de resolución, se
sugiere en esta sección realizar otros ejercicios como profundización
(pueden ser utilizados los de la sección de profundización de esta guía).
Si optó por uno de los dos métodos, se sugiere aquí complementar el
conocimiento de sus estudiantes presentándoles el otro método, de
manera que ellos puedan elegir, finalmente, el que les sea más cómodo.
Luego del taller existe también una evaluación formativa de proceso.
Realícela con sus estudiantes y permita un tiempo para que ellos
comenten cuál es el mejor método y por qué. Recuerde que en este
proceso no hay respuestas erradas; solo respete el proceso de
pensamiento lógico matemático de sus estudiantes.
UNID AD 3
c) Profundizando algunos conceptos: (Taller de
profundización, Página 199 del Texto del Estudiante)
Errores frecuentes
Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por
los estudiantes. Es importante tenerlos en cuenta durante el desarrollo de la
unidad para corregirlos.
Contenido
Posible déficit
Desigualdades e
inecuaciones.
Traducción de enunciados
verbales a desigualdades e
inecuaciones.
Inecuaciones.
Cambio de sentido de la
desigualdad al multiplicar
o dividir por un número
negativo.
Inecuaciones
fraccionarias y
cuadráticas.
Determinar la condición
necesaria para que un
producto fracción sea
positivo o negativo.
Sistemas de
inecuaciones.
Reconocer el(los) tipo(s) de
inecuación(es)
involucradas.
Sugerencia
2
Trabajar traducciones previas como “a lo más”
2ab(£),a“como
+ b2 £casi
2abel doble
“por lo menos”
PV (≥),Petc.
+
3000
de −π
x” (<),−3
C
Ejemplificar en la sección de desigualdades en diversos contextos.
Dar ejemplos numéricos de estos casos al comenzar la sección.
−3
Por ejemplo: 4 ⋅ −5 es negativo,
es positivo, etc.
−5
Verbalizar las características de cada tipo de inecuación (lineal, con
valor absoluto, cuadrática, fraccionaria) cuando se resuelve cada una
de ellas.
123
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Síntesis de la Unidad
Síntesis conceptual de la unidad
Ejercicios propuestos en esta Guía
El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes
puedan revisar los conceptos fundamentales de la
unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual
como ejemplo de síntesis de los conceptos de la
unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus
estudiantes haciendo énfasis en los conceptos.
i. Actividades de refuerzo
Estas actividades se presentan como un apoyo
para el profesor y los estudiantes, de manera de
reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería
de ejercicios que puede trabajar en clases, en
forma adicional a los ya propuestos en el texto.
Ejercicios de resumen de la unidad
ii. Ficha de refuerzo
Estos ejercicios están destinados a aquellos
estudiantes que aún no han logrado los objetivos
mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre
los conceptos fundamentales de la unidad.
Al igual que en las unidades anteriores, se presenta
aquí una guía de ejercicios que resume todos los
contenidos trabajados en la unidad. Los primeros seis
ítems se pueden trabajar en forma individual o grupal,
pero se sugiere que el ítem VII sea trabajado en forma
individual, de manera que sirva como evaluación
sumativa, ya sea evaluada o no, para que cada
estudiante tenga una retroalimentación de su
aprendizaje que pueda cuantificar. En esta guía
didáctica se entregaron, en la unidad 1, dos tablas de
conversión de porcentaje a nota para escalas al 60%
y al 50% de logro.
Por último, se sugiere también una evaluación
formativa de la unidad completa. Recuérdeles a sus
estudiantes lo importante que es ser honestos con
ellos mismos en su proceso de aprendizaje.
iii. Actividades de profundización
Este material tiene por objetivo ampliar los
conocimientos de los estudiantes que evidencien
mayores habilidades matemáticas en esta unidad.
Se proponen ejercicios y una actividad con los
que usted puede trabajar.
Tipos de ejercicios
Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan
todos los contenidos en diferentes ítems, que
pueden ser trabajados grupal o individualmente.
En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo,
se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo
en la resolución de los ejercicios.
Finalmente, también ofrecemos evaluaciones
basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una
sugerencia para que el alumno revise y obtenga su
porcentaje de logro, que se aconseja sea trabajado
individualmente.
124
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Actividades de refuerzo
0
0
con
8
2
5. ____Al restar la incógnita de una inecuación
en ambos miembros de ella, se debe
cambiar el sentido de la desigualdad.
6. ____Si a < b, ambos positivos, usando las
propiedades de las desigualdades, se
1 1
puede demostrar que >
b a
7. ____{x ∈ R /3 ≤ x ≤ 5} está representado por
]3, 5]
8. ____Para obtener el conjunto solución de
x > 31, se debe resolver por –31 > x > 31
9. ____Si –2 ≤ x ≤ 6 se divide por 4, se obtiene
x
−0,5 ≤ ≤ 1,5
4
10. ____Para encontrar los números x, cuyo
doble disminuido en seis es menor que
x
0 y, a la vez, cumplen con ≥ −2 se
4
debe resolver
2x − 6 < 0
x
≥ −2
4
U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 125
c. “Solo los números negativos cuyo menor
valor es − 31“
d. Las 100 montañas más altas del mundo
están en Asia. Superan los siete mil
doscientos metros, siendo el monte
Everest, de los Himalaya, el primero, con
8 848 m.
2. Usando las propiedades de las desigualdades,
responde
a. Si a, b y c son positivos, y sabiendo que
b b
a < , < c y c < b, establece por lo
2 3
menos tres posibles órdenes, indicando
la(s) propiedad(es) de las desigualdades
que has usado.
b. ¿Es cierto que −π < −3? Indica todos los
valores tal que al dividir dicha desigualdad
por cualquiera de ellos, invierta su sentido.
2
2
c. Demostrar que a + b ≥ − 2ab
3. Resuelve los siguientes ejercicios. Puedes
recurrir a las demostraciones que hemos
estudiado.
a. Ruibarbo escribe “si a y b fueran positivos,
2ab £ a2 + b2 £ 2ab”, lo cual es incorrecto.
Escribe las desigualdades correctas.
b. Si a > b, demuestra que 2a − 5 > 2b − 6
c. Demostrar que a2 + b2 > –2ab
d. Demuestre que si a > b y b > c, luego a > c
III.Resuelve los siguientes problemas:
1. Las investigaciones teóricas de un químico le
llevan a concluir que para no sobrepasar el litro
de solución alcalina, se debe agregar tan solo
dos volúmenes y medio de álcalis a los 200 ml
de agua destilada ¿Cuáles son los posibles
valores de un volumen de álcalis?
UNID AD 3
b. “En aquel enero, las máximas siempre
fueron de treinta y tantos grados”
Material Fotocopiable
4. ____Para que la unión de los intervalos de la
figura sea ]−2,•[ entonces el primer
intervalo es abierto es –2.
a. “No más de cuatro estudiantes para la
actividad grupal”
Material Fotocopiable
2. ____Si el precio de venta de un producto, PV ,
supera , a lo menos, en tres mil pesos al
precio de compra, PC , esto se expresa
como PV ≥ PC + 3000
3x
3. ____El intervalo de solución de
<0
x −1
debiera incluir al cero.
1. Escribe en tu cuaderno cada oración y luego
tradúcela en lenguaje matemático usando
<, ≤,> y ≥
Material Fotocopiable
1. ____Una desigualdad es una expresión
matemática que indica que dos
cantidades son distintas.
II. Resuelve los siguientes ejercicios:
Material Fotocopiable
I. Coloca V (verdadero) o F (falso) según
corresponda en cada afirmación.
125
2/11/11 17:11:01
Material
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
2. Si lograra doblar mi dinero y agregarlos a
$2500 lo que tengo de reserva y los usara en
la próxima apuesta, a lo menos podría
triplicarlo ¿Con cuánto dinero, más o menos,
puedo iniciar este proceso, sin contar lo que
tomara de la reserva?
3. El curso de folclore, donde asisten Nedda,
Renata, Lilo y sus dos hermanos, son 26
estudiantes en total ¿Cuántas alumnas
pueden haber aparte de Nedda y Renata?
4. Pedro tiene que estar en su trabajo a las 8:30
de la mañana. Se levantó a las 7:15 y se bañó
en quince minutos. Tomó tranquilamente su
desayuno en diez minutos y se vistió en cinco.
Luego tomó inmediatamente el bus de su
empresa, que lo llevó a su trabajo. Su jefe le
reprochó siete minutos de atraso; sin
embargo, Pedro dijo que había llegado dos
minutos antes de hora ¿Cuánto pudo haber
tardado en llegar de su casa al trabajo?
5. “Juan y Juanita aprenden aritmética” fue un
libro que usaron mis abuelos. Él me contaba,
mientras dormitaba, que era un libro de 33
cm de alto por 22 cm. El grosor era
exactamente de 1,5 cm. Y que lo forraba con
unos pliegos de papel grueso, dejando uno
pliegues internos simétricos de más o menos
2 cm. Cuando le pregunté qué quiere decir
con “más o menos”, me explicó que unos 2
mm sobre o bajo los 2 cm, respectivamente...
¿Me puedes estimar las dimensiones del
papel que usaba para forrarlo?
Te lo agradeceremos.
IV.Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Escribe tres intervalos semiabiertos que se
pueden apreciar en la figura siguiente.
-4
0
3
5
9
2. Dibuja el intervalo [ −2, 5], marca su centro y
destaca el intervalo de todos los números
que están a menos de una unidad de este.
3. De un intervalo cerrado por la izquierda y de
extremo –7, se desconoce su extremo derecho.
Se sabe además que su unión con [ −12, −7]
coincide con [ −12, −1]. ¿Cuál es su extremo
derecho y por qué?
4. ¿Cuáles son los intervalos más grandes que
no intersectan a [ −4, 3]?
5. ¿Cuál es el complemento de la unión de
]−5, 2] con [ −2, 5]?
6. Realiza R − ( −• , 12) ∪ ( −7, • )
7. Considera los números a partir del 3 y que no
alcanzan a 11. Posteriormente, los números que
superan a seis, pero no a 12. Efectúa la diferencia
de los primeros con los segundos, y después
viceversa. Anota los resultados y únelos.
¿Qué obtienes?
8. Si A = {x ∈ R / −2 < x ≤ 1}, B = [ −0, 5; 1, 5[ y C
abierto en –1,5 y cerrado en 0,5, ¿cuál es el
C
intervalo resultante de C − ( B ∩ A ) ?
9. A continuación se exponen las cifras de
glicemia correspondientes a personas no
diabéticas.
HORA
Antes del desayuno
Antes de la comida y
de la cena
1 hora después de las
comidas
2 horas después de
las comidas
Madrugada (entre las
3–5 horas)
NIVEL DE GLUCOSA
NORMAL (mg/dl)
De 70 hasta 105
A partir 70 hasta 110
Menor de 160
Menor de 120
Más de 70
Fuente: carolareznor.iespana.es/3.html
Escribe la información usando desigualdades
e intervalos cuando proceda.
10.Observa muy bien el siguiente gráfico que
fue tomado el 9 de noviembre de 2009 del
portal http://sitios.cl/ en la sección “Gráficos”
Valor dólar en pesos chileno
9 / Noviembre / 2009
700
650
600
550
500
Enero ’09
Marzo ’09
Mayo ’09
Julio ’09
Septiembre ’09
http://finance.yahoo.com
126
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V. Responde colocando todo el desarrollo y
anotando tu respuesta en notación de intervalo.
Además, grafica las soluciones para los ejercicios
2, 7 y 10.
3
9 x
1. − x + ≥
7
8 5
(
2
2. − x ( x − 10 ) − 19 > 2 10 − x
)
Nota 1
(20 %)
5,3
Nota 2
(15 %)
3,5
Nota 3
(15 %)
6,5
Nota 4
(20 %)
4,5
¿Cuál debiera ser nota 5 para que ella,
por lo menos aumente su promedio del
primer semestre?
Nota 5
(30%)
X
2
6. x − 3x + 2 £ 0
x 2 − 3x
2. “Son las 23:16 hrs y veo una esfera blanca de
unos 10 m de diámetro que se ha depositado
sobre el pasto. Solo es parpadeante... ¡pero
esperen, ha empezado a rotar dando
destellos naranjas y aumentando su tamaño
casi al doble!... ¡Estoy confuso y no sé qué
hacer, pues se dirige hacia mí emprendiendo
vuelo!...El perito, a quien le consultaron por
esta grabación, hizo el cálculo del cambio de
diámetro del objeto descrito, miró una tabla y
añadió...”tiene que haber visto un...”
¿Entre qué valores pudo haber cambiado
el diámetro?
2
8. 5x + 1 £≤ x + 10
3
x
−2x + 11 ≥
11
3. No sé qué hacer con mi rendimiento en
Matemática. En las pruebas, leo
correctamente las 30 preguntas de la prueba:
“Si contesto todo pausadamente, siempre
tengo a lo más cinco malas y si trabajo
apurado, mis malas se duplican”. Tomando en
cuenta ambas situaciones, ¿entre qué valores
fluctúan mis respuestas correctas?
13
3. 1 − 2x £
3
2 − 3x
4.
< −1
3x − 1
5.
7.
1
1
x +1
+
>
x x +2
x
9x − 1
≥ 0, 5
x −4
−1
−x
−5
x 1
− <2
3 5
x ≥0
9. − x >
UNID AD 3
1. En Química, Roberta ha obtenido un 5,5 como
promedio del primer semestre. Las notas del
segundo semestre están tabuladas en
Material Fotocopiable
c. ¿Cuál es el periodo más largo de tiempo
del 2009, en que el dólar no haya
alcanzado los $650?
VI.Desarrolla cada uno de los cinco problemas
haciendo uso de inecuaciones y sistemas, según
sea el caso.
Material Fotocopiable
b. Estima el periodo de tiempo en que el
dólar haya fluctuado la primera vez,
aproximadamente, entre los $570 y los
$650.
x +1
<0
x −5
x 2 − 3x + 2
≥0
xx2−−44
Material Fotocopiable
a. En el punto medio del intervalo de
Marzo 09 a Mayo 09, ¿en qué intervalo de
valores se ubica el dólar?
10.
Material Fotocopiable
Responde haciendo uso de la información de
preferencia con fechas y valores indicados.
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Material
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
4. ...entonces la comisión enojada, me gritó:
“Michael, por haber mirado esta ecuación
x
y
secreta
+
= 1, te condenamos a que
−1 −2
escribas todos los valores de x que den y
2. Si a + c < b, con a, b, c, d R y d < 0, entonces
es(son) verdadera(s):
recuerdo clarita, comencé a sudar y veía que
I. a + c – d < b – d
a+c
II.
< bd
d
III. ad > bd – cd
a. Solo I
d. Solo I y III
pasaba el tiempo sin hacer nada. ¡Nada se me
b. Solo I y II
ocurría... nada!, empecé a correr tratando de
c. Solo II y III
positivo. De lo contrario tu final se acerca”... la
escapar, hasta que salté al pozo... ¡y desperté!...
¡Todo fue una pesadilla!... ¿y si esto me pasará?
Te invitamos a que escribas todos los valores
que aparecen en la pesadilla de Michael... no
vaya a ocurrirte a ti.
5. “Se han extraviado algunos DVD de Tania.
Seguramente se va a enojar” agrega su
madre. Y continúa: “Lo que sí recuerdo es que
los DVD de Tania, más los de Toña, que eran
trece, no cabían en el bolso, ya que es solo
para cincuenta”. “Pero mamá”, replica Telma,
“¿se acuerda que los DVD de Tania, más los de
Memo, que son nueve, no alcanzaban ni a
llenarlo?”... “No sé qué va hacer Tania cuando
lo sepa” termina diciendo la mamá... ¿Cuántos
podrían ser los DVD extraviados?... Ayuda a
despejar esta duda, pues sabes plantear y
desarrollar desigualdades.
VII.Marca la alternativa correcta:
1. El enunciado: “el doble de las monedas (m)
que tiene Marcia no supera los $600”, se
escribe como:
a. 2 m + 600 < 0
b. 2 m > 600
c. 2 m < 600
d. 2 m £ 600
e. 2 m ≥ 600
e. I, II y III
3. La solución de ]−3, 7] ∩ [ 4, 8[ es:
a. [ 4, 7]
b. ]4, 7[
c. ]−3, 8[
d. [ −3, 8]
e. [ 4, 8[
4. La temperatura de una cuidad es a lo más
37 ºC y su variación diaria no es mayor que
15 ºC; por lo tanto, el intervalo en el que se
encuentran los valores diarios de la
temperatura es:
a. [22, 37]
b. ]22, 37]
c. [22, 37[
d. ]22, 37[
e. No se puede determinar
5. La solución de la inecuación 2x − 3 ≥ 6 x − 7 es:
a. x ≤ 1
b. x ≥ 1
c. x ≥ –1
1
d. x ≤
2
1
e. x ≥
2
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e.
a.
b.
c.
d.
e.
120000
1200000
225000
7. La solución de la inecuación
1
a. −3,
2
1
b. −3,
2
x +3
£0 es:
2x − 1
1
c. −3,
2
1
d. −3,
2
1
e. ]−• , −3] ∪ , •
2
8. El resultado de la inecuación 10 > 3x + 1 es:
−11
a. −• ,
∪ ]3, •[
3
−11
b. −• ,
∪ [3, •[
3
11
c. − ,3
3
11
d. − ,3
3
11
e. R − − ,3
3
III.0
Solo I
Solo II y III
Solo I y III
I, II y III
Ninguno de los números
10.Jaime ha querido inscribirse en un curso de
inglés. El dinero que él ha juntado más
$60000 es al menos $150000. Por otro lado,
si su padre le diera $50000, lo que él tendría
no superaría los $250000 ¿Entre qué montos
se encuentra el dinero de Jaime?
a. ]90 000, 200 000[
b. [90 000, 200 000]
c. [200 000, 240 000]
d. ]200 000, 240 000[
e. No se puede determinar
UNID AD 3
d.
400000
II. –4
Material Fotocopiable
c.
I. 4
Material Fotocopiable
b.
400000
1
3x + < 4
4
11
xx ++ ((xx −−33))≥≥ − 12
22
Material Fotocopiable
a.
9. ¿Cuál(es) de los siguientes números
pertenece(n) al conjunto solución del sistema
Material Fotocopiable
6. Pablo ha recibido tres cuartos de su sueldo. Si
a esa cantidad se le suman
$200000, entonces el total supera los
$500000. La solución de este problema se
puede graficar como:
129
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Material
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
I. Completa las siguientes afirmaciones según
corresponda:
1. Mario (M) tiene más dinero que Juan (J), esto
se expresa usando desigualdades como 2. Los números que son mayores o iguales a –7
y menores que 9 se escriben como el
intervalo
3. La inecuación 2x > 6 tiene por solución
el intervalo
4. Al resolver la inecuación 2 ( x − 3) £ 3x + 1 se
obtiene por solución el conjunto
III.Resuelve los siguientes problemas de planteo.
Lee detenidamente, plantea la(s) inecuación(es)
y luego resuelve:
1. Gilberto, ¿cuánto dinero tienes en esa
alcancía? Si tomas nueve veces lo que tengo
y le sumas $500, tendré menos que $6 000.
Además, lo que tengo es más o lo mismo que
$400 ¿Entre qué cantidades se encuentra el
dinero de Gilberto?
2. En el supermercado del barrio de Andrea ella
puede comprar 5 alcachofas por menos de
$670. En cambio, en la feria puede comprar
6 alcachofas por a lo menos $770 y además
le dan vuelto de $100 ¿Entre qué precios se
venden las alcachofas en el barrio de Andrea?
5. La solución del sistema de inecuaciones
x +3> 9
es
2x − 5 £
≤ 10
II. Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas
de inecuaciones, coloca todo el desarrollo:
1. x ( x + 2) ≥ ( x + 3)
2
2. x + 4 < 2
3.
x
>0
x +2
≥ 2x − 5
4. x + 3 >
x +3<
x +3
2
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Ficha de refuerzo
130
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Actividades de profundización
1. ¿Qué significa, gráficamente, que la
inecuación cuadrática x 2 − x + 4 ≤ 0 no
tenga solución en el conjunto de los n
úmeros reales?
2. ¿Cómo se puede resolver gráficamente una
inecuación con valor absoluto?
UNID AD 3
I. Responde de la forma más completa posible.
Puedes utilizar los programas Graphmatica o
Graph cuando sea necesario:
5. Resuelve los siguientes sistemas
de inecuaciones:
a. 16 < 3x + 5 £ 12x + 8
4 x x −42x x − 2
+
£+3x + 1 £
≤3
7x +
−1
2 ≤ 7x − 2
35
3
b. 5
6. Resuelve las siguientes inecuaciones:
3
2
a. x − 3x + 2x < 0
( x + 4 ) ( 2x − 5 ) ( x + 8 ) ≥ 0
( 3x + 1 ) ( x − 5 )
Material Fotocopiable
b.
Material Fotocopiable
x +2
>0
x −3
12
b.
<0
2x 2 + 3
a.
Material Fotocopiable
4. Resuelve gráficamente las siguientes
inecuaciones , usa uno de los programas para
graficar (graph o graphmatica):
Material Fotocopiable
3. ¿Pueden considerarse las inecuaciones
con valor absoluto como sistemas
de inecuaciones?
131
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Instrumentos de evaluación
Como ya se ha dicho en las unidades anteriores, la evaluación debe ser un
proceso continuo que entregue información sobre el proceso de enseñanza
– aprendizaje tanto a cada alumno o alumna como al profesor o profesora.
Se han trabajado diversos instrumentos de evaluación en la unidad anterior.
Algunos sugeridos fueron:
•escalas de apreciación
•listas de cotejo
•trabajos grupales formativos
•actividades individuales o grupales de estudio
•evaluaciones sumativas
a. Escalas de apreciación
Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los
alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Pueden
complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad.
Por ejemplo, al final del estudio de cada una de las secciones de la unidad, es:
Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el
casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas de esta
escala (Recuerda que hay actitudes como la participación en clases, el
trabajo en grupo, etc., que también se aprenden):
A:
Lo logré completamente
B:
Lo logré medianamente
C:
No lo he logrado aún
Indicador
A
B
C
¿He aprendido los conceptos de la sección?
¿Podría resolver solo los ejercicios resueltos o los ejemplos dados?
¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos?
¿Respondí correctamente durante la clase cuando se me preguntó?
¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro?
¿He realizado un buen trabajo en equipo junto a mis
compañeros? (en caso de trabajo en grupo).
¿He demostrado interés en aprender?
¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje?
132
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b. Listas de cotejo
Recolectan información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las
secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el
profesor. Un ejemplo de estas es:
UNID AD 3
Realiza las tareas
dadas.
Aporta al trabajo de
su grupo.
Realiza los ejercicios
propuestos.
Alumno
Muy bueno (7,0 – 6,0)
Bueno (5,9 – 5,0)
Suficiente (4,9 – 4,0)
Insuficiente (3,9 – 1,0)
Pregunta cuando
tiene dudas.
MB:
B:
S:
I:
Es capaz de verbalizar
los conceptos
fundamentales.
Escala:
Trabaja bien en clases.
Curso: Abarca
Juan
Baeza
Lorena
También se puede aplicar al trabajo grupal. Por ejemplo, en los ejercicios de
síntesis y evaluación de la unidad.
c. Trabajos grupales formativos
Se vuelve a insistir en la importancia del trabajo grupal; muchas veces los
estudiantes logran explicarse mejor entre ellos. Puede formar grupos en
forma aleatoria o intencionada. En esta sección se ha privilegiado el trabajo
grupal en la resolución de problemas de planteo, pero es usted como
maestro quien debe decidir cuáles son las actividades que designará como
trabajos grupales y cómo serán evaluadas.
d. Actividades grupales o individuales de estudio
Se sugiere trabajar alguna de las guías complementarias propuestas como
preparación para la prueba de unidad. Recuerde que es bueno trabajar con
el tipo de ejercicios que se evaluarán. Usted debe evaluar lo que enseñó y no
si el alumno es capaz de resolver un problema nuevo con algún tipo de
estrategia nueva. Los ejercicios que apuntan a desarrollar habilidades
superiores, como aplicar, analizar y relacionar diversos conceptos, deben ser
trabajados en clases. No trate de sorprender a sus estudiantes, solo constate
que aprendieron lo que usted les enseñó.
133
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e. Coevaluación
Entendida como aquella evaluación efectuada entre pares sobre una
actividad o trabajo realizado. Recuerde que la dinámica de las relaciones del
curso debe ser la brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede
aplicar y cómo se aplica. Recuerde que usted puede visitar el siguiente
enlace para optimizar este recurso evaluativo:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573
Un posible instrumento es:
COEVALUACIÓN
TEMA: FECHA: :
INDICADORES
Niveles de logro
INTEGRANTES DEL GRUPO
1
2
1
3
4
5
4 = SÍ
8 = NO
2
3
4
Total
1. Ayuda a los
integrantes del
grupo.
2. Cumple con lo
que el grupo le
encarga.
3. Mantiene un buen
trato con sus
compañeros.
4. Es tolerante ante
las opiniones y
propuestas de los
compañeros.
f. Evaluaciones sumativas
Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho,
de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el
libro tiene una evaluación porcentual de logro que los estudiantes deben
calcular. Esta se puede traducir a nota según las tablas de la Unidad 1 al 50%
o al 60%.
De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se
presentan dos evaluaciones con diferentes ítemes, para que sirvan de apoyo
al docente.
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Evaluaciones
I. Coloca V (verdadero) o F (falso) según
corresponda en cada afirmación:
1. ____Los signos que comúnmente son
utilizados para expresar desigualdades
son: <, >, ≤ y ≥.
2. ____Al sumar o restar la incógnita de una
inecuación en ambos miembros de ella, se
debe cambiar el sentido de la desigualdad.
3. ____Con b no negativo, para x < b, se tiene
−b < x < b
4. ____[2, 8[ es la intersección de
–1
0
con
0
8
2
5. ____Si a < b, ambos positivos, entonces usando
las propiedades de las desigualdades se
1 1
puede demostrar que 2 > 2
b a
6. ____Si −2 £ 3x + 1 £ 4,entonces se obtiene
−1 ≤ x ≤ 1
7. ____{x ∈ R /3 ≤ x} está representado por ]3,• ]
3
3
3
8. ____Decir que x > , no equivale a − > x >
5
5
5
3x
9. ____El intervalo de solución de
> 0 no
x −1
debiera incluir al cero.
10. ___La torre Eiffel se inauguró hace más de
120 años, It , y el Mercado Central de
Santiago, Im , por lo menos 18 años
antes. Esto se expresa como
It > 120 ∧ Im ≥ It + 18
II. Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Escribe en tu cuaderno cada oración y luego
tradúcela en lenguaje matemático, usando <,
≤,> y ≥
b. “En aquella época la estatura masculina
promedio no sobrepasaba el metro
setenta, aunque hacía rato que superaba
el metro sesenta y seis ”
c. “Únicamente los números negativos
comprendidos entre –5 y –0,5,
excluyendo a este último “
d. Las principales fosas oceánicas superan
los diez mil metros, pero alcanzan un poco
menos de once mil treinta seis metros
de profundidad.
UNID AD 3
Evaluación 1
2. Usando las propiedades de las desigualdades,
responde
a. Si a, b y c son positivos, y sabiendo que
a < b < c, establece el orden de sus
inversos e indica la(s) propiedad(es) de las
desigualdades que has usado.
b. Como π > − π , indica todos los valores, tal
que al dividir dicha desigualdad por
cualquiera de ellos, no invierta su sentido.
c. Curioso es que si π > − π se multiplica por
–1, no se altera... ¿Por qué?
3. Para los siguientes ejercicios, puedes recurrir
a las demostraciones que hemos estudiado.
a. Si a, b y c son reales y a < b < c , demuestra
a+b b+c
.
que
<
2
2
2
b. A partir de ( a − 2b ) , se te pide demostrar
que a2 + 4b2 ≥ 4ab.
c. Roldán era el perro de un viejo matemático.
Este, fanático por las fórmulas, escribió en
un parte del techo de la casa de su perro, lo
siguiente: ”Si n es positivo, se tiene que
1
n − ≤ 2“ A Roldán no le afectó esta
n
verdad... ¿pero será verdad?
III.Resuelva los siguientes problemas:
1. La suma de los lados iguales de un triángulo
isósceles es 10,5 cm. Del tercer lado solo se
sabe que mide más de un cm ¿Cuáles son los
posibles valores que debe agregarse para
saber la medida de su base?
a. “Leverkusen está a no más de 15 minutos
de Colonia”
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2. La cábala que sugería la página del diario
para tener éxito en los juegos de azar decía
que se debía triplicar la edad actual del
participante, disminuirla en tres y ver que no
superara a 63. Si uno sobrepasaba este
número, se le solicitaría a una persona que
cumpliera con esta condición que eligiera los
números ganadores. Timoteo falla a esta
condición y recurre a Clodoveo si la cumple.
a. Estima las edades de ambos
b. ¿Quiénes tienen que recurrir a otras
personas para que jueguen por ellas?
3. En la primera parte del test de inglés, María
Marta obtuvo 339 puntos de los 720 en total.
¿Cuántos debiera obtener en la segunda
parte y final para alcanzar, por lo menos, el
nivel de aceptable que son los dos tercios del
puntaje total?
4. Brasil y Argentina son los países de mayor
superficie, con 8514877 y 2791 446 km2 ,
respectivamente. Al respecto, la superficie de
Uruguay cabe a lo más 48 veces en la de
Brasil y a lo menos 15 veces en la de
Argentina. Encuentra el rango de superficie
de Uruguay.
5. Y te cuento que simplemente se avergonzó y
se retiró triste cuando no pudo calcular el
número de caballos que se podían comprar
con un poco menos de $14100 000. Solo lo
abracé y le dije: “hijo mío, ya habrá otra
oportunidad”. Me siento humillado por la
vida, ante este acontecimiento y te pido
lector que me ayudes a hacer los cálculos
para él... me dieron el dato que cada caballo
vale unos$230000. Muchas gracias. Te
pedimos que acojas esta solicitud.
IV.Resuelve los siguientes ejercicios:
1. El papá de Gigliola es músico. Mientras ella
estudia intervalos en Matemática, su padre la
escucha y le dice que en la teoría musical los
intervalos se miden contando la nota de la cual
se parte y a la cual se llega. Por ejemplo, un
intervalo de quinta es do-sol ya que se consta
de cinco notas: do, re, mi, fa y sol. Gigliola
haciendo uso de la notación de intervalos te
propone los siguientes intervalos para que:
a. los escribas por extensión
[do, fa] [mi , si ].
2. Escribe dos intervalos disjuntos (cuya
intersección sea vacía) que aparezcan en la
figura achurada.
−8
5
–10
0
3. Usando el gráfico anterior, traslada la figura
en 7,5 unidades hacia la derecha. ¿Cuáles son
los puntos que dejaron de pertenecer a la
figura original?
4. De [ −3, 5], escribe el intervalo subconjunto
del dado y que contenga los valores que
están a más de una unidad y media de los
extremos.
5. Si A consiste en todos los números mayores que
seis y menores que nueve, y B, los comprendidos
entre cinco y diez, efectúa B – A.
6. Imagínate un intervalo incluido
completamente dentro de otro. Luego te
piden la diferencia del primero con el
segundo. ¿Cuál es tu respuesta?...Justifícala.
7. Encuentra el complemento de la unión de los
intervalos achurados
–4
–1
0
3
5
8. Si A = {x ∈ R / −2 < x < 2}, B = [ −1, 5 ; 6, 5[ y
C: intervalo cerrado en –1,5 y cerrado en 0,5.
¿Cuál es el intervalo resultante de
C
( B ∪ A ) − C ?
9. El médico del consultorio donde asiste Don
Bencho le explicó que el colesterol lo tenía
muy alto. Le dijo que para el colesterol total,
según riesgo de coronariopatías, el nivel
deseable era menor de 200 (mg/dl), pero era
de límite alto si superaba este valor y pudiera
alcanzar hasta los 239. Peor aún, se considera
alto de 240 en adelante. Por tanto, le
recomendó vigilar la dieta y abstenerse de
fumar. Tabula la información mencionada
acerca del colesterol total.
(http://www.geosalud.com/Nutricion/colesterol.htm)
b. desarrolles el intervalo decimotercero
iniciado en do.
136
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2/11/11 17:11:30
Consumo de electricidad, familia Quijada (2009)
KWH
45
40
35
30
25
20
15
10
5
0
Ene Feb Mar Abr May Jun Jul Ago Sep Oct Nov Dic
Meses del año
a. Escribe el intervalo de consumo total.
b. ¿En cuál de los trimestres el consumo fue
mayor? Escribe el intervalo de consumo
correspondiente.
c. Escribe el tramo del año en que el
consumo a lo menos es de 25 kWh y
alcanza sus máximos.
V. Resuelve las siguientes inecuaciones y sistemas
de inecuaciones:
(
1. 2 ( x − 6 ) £ ( x + 3) ( x − 3) − x 2 − 3
( x + 4)
x −4
+1<
4
8
x
+
1
( ) + 0, 5x
3. x − 2 >
7
9
< 12
4. 8 x +
2x
3
12
5. x 1 − 1 + ≤ 0
x
x
)
2.
9.
a. >
c. ≥
b. <
d. ≤
e. =
d. x + 0,4 > 6,5
2
3x 2 − 4 x + 7 < 3 (x − 1)
2
(x + 6 )(
) ( x − 1)< 0
(x − 3)(
) ( x − 6 )(
) ( x − 3) > 0
VI.Desarrolla cada uno de los cinco problemas,
haciendo uso de inecuaciones y sistemas, según
sea el caso:
1. Esta vez sí que no me equivocaré en
encontrar los números cuyo tercio
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1. El signo que debe escribirse en el espacio en
blanco para comparar en forma verdadera
las siguientes expresiones
2
( a + b + c ) a2 + b2 + c 2 , ∀ a, b, c ∈ R + es:
c. x + 0,4 ≥ 6,5
−−xx ++55xx −−44≥≥ xx((11−−xx))
10.
VII.Marca la alternativa correcta:
b. x + 0,4 < 6,5
8. x − x − 6 x ≥ 0
22
3. Lulú está contando la cantidad de caramelos
que debe llevar al colegio para repartirlos
entre sus compañeros. Es el pago de una
apuesta que perdió. Conversando con Memo,
le dice:“¿Me puedes regalar tres caramelos
más para alcanzar a lo más a 45? Memo le
responde que no puede, a menos que ella le
diera primero los tres solicitados. Lulú exclama:
si esto ocurriera me quedaría con un poco más
de 35 ¿Cuántos caramelos tiene Lulú?
a. x + 0,4 ≤ 6,5
x −1
≥2
x −2
3
2. Si llegamos bajar dos kilos, lograremos que
Ovidio, de 1,80 y de contextura grande,
recupere su peso, que debe ser menor de 83
y más de 73 ¿Cuánto pesa en la actualidad?
2. El promedio de notas de Madeleine está al
menos 4 décimas bajo un 6,5. Si x representa
el promedio de Madeleine, ¿cuál de las
siguientes alternativas representa este
enunciado?
2
6. 2x − x < x 2
2
7.
disminuido en un medio no los superen. Se
los prometo... Te invitamos a que cumplas con
esta promesa y obtenlos.
UNID AD 3
10. El gráfico muestra el consumo de luz, en
kWh, de la familia Quijada durante 2009.
e. x + 0,4 = 6,5
1
3. Al resolver la inecuación 2x < x + 6, el
3
conjunto solución es:
18
a.
x ∈R / x <
5
18
b. x ∈ R / x ≤
5
{x ∈ R / x ≤ 6}
d. {x ∈ R / x < 6}
c.
18
e. x ∈ R / x <
7
137
2/11/11 17:11:36
4. La profesora de Bárbara debe corregir las
pruebas de su curso y cuenta como máximo
con 2 horas y media. Si son 40 pruebas, ¿cuál
de las siguientes alternativas representa el
tiempo (t), en minutos, que ella tiene para
cada prueba?
c. t ≤ 3,75
e. t ≤ 0,375
a. t < 3,75
b. t > 3,75
d. t = 3,75
a. ]8, 22]
c. [8, 22]
e. {8, 22}
a. [ −4,•[
c. ]−3,•[
e. [ −4, 8]
5. En el informe del tiempo se ha dicho que la
temperatura máxima y mínima variará entre
los 8 ºC y los 22 ºC. Esto puede representarse
como el intervalo:
b. ]8, 22[
d. [8, 22[
6. El intervalo solución de [−4,8]∩ [−3, ∞[ es:
b. [ −3,•[
d. ]−3, 8]
7. Para qué valores de x, en los números reales,
se cumple que x 2 + 5x + 6 £ 0 :
a. x ∈[ −3, −2]
b. x ∈ ]−3, −2[
(
c. x ∈ ]−• , −3] ∪ [ −2, •[
)
d. x ∈R
e. x ∈{ }
8. La solución de la inecuación 3x − 5 + 3 < 0 es:
a.
b.
c.
d.
2 8
−∞ , 3 ∪ 3 , ∞
2 8
−∞ , 3 ∩ 3 , ∞
2 8
3 , 3
∆
e. R
9. ¿Cuál(es) de los siguientes sistemas tiene(n)
por solución el intervalo [2, 3]?
I.
II.
III.
x ≥2
x ≤3
2 (x + 1) ≤ x + 5
33xx ++10
6)
10 ≥≥ 22(( x + 6)
a. Solo I
c. Solo I y II
b. Solo II
d. Solo I y III
e. I, II y III
10. José Tomás trabaja en un ciber café. Hoy
comenzó su turno y su compañero le dijo
antes de irse que el doble de lo que había
en la caja más $2 000 superaba los $5 000.
En ese instante comenzaron a llegar algunos
clientes y no pudo contar su dinero. Al final
de su turno el dueño contó el dinero y le
dijo a José Tomás que había menos de
$9 000. ¿Entre qué monto de dinero se
encuentra el dinero de la caja?
a. Entre $1 500 y $9 000
b. Más de $1 500, pero menos de $9 000
c. Más de $1 500
d. Menos de $1 000
e. No se puede determinar
Evaluación 2
I. Completa cada oración según corresponda:
1. En matemática, una desigualdad se define
como 2. Al dividir una desigualdad por un número
positivo su sentido
3. De acuerdo a la definición de intervalo,
]−11, 13] es un subconjunto de 4. El intervalo ,
representa a aquellos números que superan
claramente a n real.
5. Si R es el conjunto universo, entonces
C
[ −6, 5;16, 5[ representa a todos
los reales 6. Una desigualdad que se verifica para un
subconjunto de R corresponde a una
7. Para encontrar el conjunto solución de
12
13
se deben resolver las
x − 3,7 >
5
17
siguiente inecuaciones luego y
las soluciones encontradas
en cada una de ellas.
≤ 2x − 1
4x £
3 ( x + 4 ) ≥ 2x + 9
138
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2/11/11 17:11:44
0
8
sea la representación gráfica de la
solución de x − 2 < 6 , el número que
falta en el extremo izquierdo es.........
9. Si en la resolución de un sistema de
inecuaciones la intersección de las
soluciones es vacía, entonces se dice que el
sistema 10.Para encontrar los números x superiores a
42, y cuyas mitades, disminuidas en un
cuarto son negativas, se debe resolver el
siguiente sistema II. Resuelve los siguientes problemas:
1. Escribe en tu cuaderno cada oración y luego
tradúcela en lenguaje matemático, usando <,
≤,> y ≥
a. Servando renovará su aparato celular, más
aún, lo podrá adquirir al contado. De su
trabajo durante el periodo prenavideño,
ganó más de $135 990,... y le alcanza de
más...
b. Las fuerzas fundamentales son aquellas
fuerzas del Universo que no se pueden
explicar en función de otras más básicas,
como el peso, las fuerzas intermoleculares,
etc. Son cuatro: la más fuerte es la nuclear
fuerte, seguida por la electromagnética, en
tercer lugar la nuclear débil , y la más débil
es la gravitacional
c. Un corte de luz dejó sin energía a casi 23
de los 26 estados de Brasil y a todo
Paraguay
d. Hacía varios meses que el IPC no tenía
índices bajo 0, pero en noviembre del
2008 fue la sorpresa: –0,10, aunque el
valor más bajo fue en el mes siguiente,
con –1,20. Ahora bien, hasta octubre del
año siguiente se produjeron seis valores
negativos, pero el máximo se produjo en
Septiembre con 1,00.
2. Usando las propiedades de las desigualdades,
responde:
a.
−2 4
− ≤6
x 5
−2 4
− ≤6
x 5
−10 − 4 x
£6
≤
5x
−10 − 4 x £
≤ 30x
−4 x − 30x £
≤ 10
−34
−34 x £
≤ 10
10
34
5
x≥−
17
x≥−
UNID AD 3
8. Para que
Observa atentamente el desarrollo en la
resolución e indica qué restricción para x
debe, obligadamente, hacerse.
b. Si 0 < p < 1 y 1 < q , ¿qué relación debe
tener q con respecto a p, para que 1 < pq?
c. Demuestra que si 1 < a < b , luego 1 < ab
d. Sabiendo que ( 2n − 1) ( n + 1) es no
negativo, demuestra que 2n2 + n ≥ 1.
Para los siguientes ejercicios puedes recurrir a
las demostraciones que hemos estudiado,
cuando proceda
1
e. Demuestra que 9x 2 + 2 ≥ 2
9x
f. A través de una tabla de valores, muestra
1
que 2 +
> 2. ¿Qué sucede a medida
x
que crece el valor de x?
III.Resuelve los siguientes ejercicios:
1. “Chavo que no chavo, chilindrina que no
adivina y Kiko que te hace añico, pero con
más marullos, no lograrás cuadrar las trece
galletas que te saqué de la bolsa que llevaste,
y ni te diste cuenta que te dejé menos de la
mitad. Ja!... No tienes idea ni cuántas galletas
tenías... Así que a otro perro con ese hueso...
no sabes...” No le hagas caso, naturalmente
que tú sabes. Y a propósito... ¿cuántas
tenías?.... Haz el cálculo correspondiente.
2. Fíjese que llegamos a tener más que el triple
del ganado del año anterior. Si en el año 64,
con los trescientos vacunos que compramos
ese mismo año, más los que ya teníamos,
superamos el triple del ganado del año
anterior, murmuraba Don Alamiro mientras se
139
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2/11/11 17:11:48
dormitaba a la brisa de la tarde. Yo mojaba
mis pies en el agua del estero, pensando ¿no
será un poco fantasioso? ¿Tanta bonanza
para él?...Te invito a que me ayudes a estimar
cuánto ganado vacuno tuvo en los años
mencionados.
3. Para pintar todo el liceo de Nataniel, un grupo
de 10 apoderados se ofrecieron para hacerlo
y demorarse unos 12 días. Pero este trabajo
debe sacarse en ocho días como máximo.
Escriba la inecuación que permite calcular el
número de apoderados extra que deben
trabajar para lograr lo pedido. Resuélvala y de
la respuesta.
4. Estas riñas callejeras no debieran nunca
producirse después de un partido amistoso
de fútbol afirmaba la periodista de TV, quien
informaba desde el mismo lugar de los
hechos. En su entrevista, uno de los testigos
dijo que eran un poco más de veinte jóvenes.
La señora que vio la escena desde su
departamento en el tercer piso afirmó que
eran un poco más de veintitantos. Don
Filiberto, conserje del mismo edificio, le
rebatió diciendo que eran mucho menos de
veinticinco, y, finalmente uno de los jóvenes
que fue agredido, dijo que andaba con diez
amigos y que el otro grupo eran un poco
menos de quince ... Estima cuántos jóvenes
del otro grupo participaron en este
lamentable incidente.
5. “Hola, Elsita, te llamo rapidito por celular,
porque tienes razón: la profesora de pintura
formó doce tonalidades distintas de verde. Yo
alcancé a anotar la técnica de nueve. Pero
ahora, viendo el libro de Cleo, aparecen las
que no anoté. Más aún, encontré varias
tonalidades más, déjame ver: uno, dos, tres,......
uf... hay más de veinte... a ver nunca tanto, un
poco menos de treinta. Lo curioso es que no
aparecen todas las que nos enseñó la profe. Te
llamaré más rato por más novedades. Chao”.
a. ¿Cuántas tonalidades posibles de verde
aparecen en el libro de Cleo?
b. Estima el número posible de tonalidades
que no aparecen en el libro, pero que la
profesora enseñó.
IV.Resuelve los siguientes problemas:
1. Un intervalo abierto por la izquierda incluye a
7 por la derecha. El valor que excluye está a
más de 3,7 unidades del extremo derecho y a
más de dos unidades del 0,5 ¿Cuáles son los
posibles valores para el extremo excluido?
2. Las preguntas fueron directas: “¿Puede haber
intervalos cerrados con complemento
cerrado?; ¿puede haber complementos
cerrados para intervalos abiertos?” Mi
compañero contestó: No; Sí. El examinador
me pidió un ejemplo para la segunda
pregunta y me equivoqué. Tú, contesta, ahora
por mí, ¿ya?
3. Mira, Felicio, te has llevado toda la vida puro
reclamando, viejo: desde que tenías 20 años.
A los 30, recién casados, decías que más de la
mitad de tu vida lo pasaste estudiando,
trabajando y criando, ... a los cuarenta y
cinco ..., en fin, a los sesenta, que te quedaban
cinco años para jubilar. Ahora que tienes más
de 70, me dices que te falta poco para
morirte ¿Cómo entenderte si llevamos casi
cincuenta años de casados? Es hora que
pares tus quejas ¿No?... Entre qué edades está
la de Felicio.
4. Servio llegó con su hermana a mi casa, ambos
llorando y asustados por las discusiones,
gritos y portazos que pasan a diario en su
casa. Ese día se les hizo insostenible. Decidí
ayudarlos a estudiar, pero no recuerdo muy
bien cómo se representa gráficamente
[ −3, 7[ ∪ ]−5, 3] ∩ [0, 4]“¿Puedes hacerlo tú?
(
)
5. Pero Polo, basta que piense un poquito para
responder esta pregunta: ¿Qué ocurre
siempre cuando se une un intervalo con su
complemento?... Bien... ¿Cuál fue la respuesta
de Polo?
6. ¿En qué consiste la diferencia entre el
intervalo (0,3) y el intervalo de los números
irracionales que quedan en su interior?
(
)
7. Efectúa [ −4, 4[ ∩ ]3, 5;5] ∪ [ −3, 8] sabiendo
que el universo se inicia en –4 y termina con
8.
140
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9. El apoderado de Elmo acudió preocupado por
las notas bajas que estaba sacando en
Matemática. Aunque no era la hora de
atención, el profesor que acudía a hacer clases
al 4º medio, recordó que Elmo había obtenido
entre un 4,5 y un 4,9 en la última nota. El
apoderado calculó rápidamente el promedio,
sabiendo que las notas anteriores eran 3,6 y
3,4. Se quedó muy preocupado ¿Entre qué
notas fluctúa el promedio de Elmo?
10. En una entrevista a uno de los encargados
de la ONEMI, respecto del tema “Chile, país
sísmico“, explica claramente la Escala de
Richter, diciendo que “por lo general, no se
siente por la gente cuando la magnitud del
3,5
movimiento es menos de 5
, 5° y solo lo
registran los sismógrafos. Ahora bien, de este
5,4
valor hasta 5
, 5°, frecuentemente se siente,
pero los daños que provoca son menores.
Entre los 5, 5° y los 6°, los edificios sufren
daños ligeros. Pero puede haber daños
severos en zonas muy pobladas, cuando
6,1
estamos en un sismo de grado 5
, 5° hasta
llegar a 5
6,9
, 5°.
La cosa se complica para grados mayores.
Así, hay graves daños ante un terremoto
mayor, como los que se producen hasta
menos de
5, 8
5°. Ya claramente hay un gran
terremoto, con destrucción total en
comunidades cercanas, para
5, 8
5° en adelante. “
a. Hay un gráfico en una tabla cuyas
columnas contenga “Magnitud en Escala
Richter” (dada en intervalos) y “Efectos
del terremoto”.
b. ¿Qué actitud es adecuada debemos tener
antes, durante y después de un sismo,
cualquiera sea su magnitud?
V. Resuelve colocando todo el desarrollo. Anota tu
respuesta en notación de intervalo.
1. 2x ( x + 7 ) < 2 ( x + 3) ( x − 3) − ( x + 7 )
3x − 4
x + 12
2.
+1≥
11
22
x − 13
3. x − 3 £
+ 0, 1 x
5
256
4. 5x +
< − 32 y x > 0
5x
2
3
5. 1 − 1 + > 0
x
x
2
2
6. 2x − x > x
UNID AD 3
8. Macario, compañero de tu curso, astutamente
copió el resultado del ejercicio anterior y
trató de sorprender a sus compañeros más
avanzados haciéndolos encontrar el
complemento de este. Para confundirlos, les
decía “quítales los extremos”. Algunos
lograron equivocarse... pero tú que eres más
sagaz que Macario, no hiciste caso a esa
ambigüedad, y le sorprendiste a él” ¿Cuál es
tu respuesta?
x + 0,3
≥2
x − 0,2
7.
3
2
8. x − 10x + 21x ≥ 0
− x 2 + 5 (x − 2) ≥ x (1 − x )
9.
22
4 x 2 − 4 x + 7 < 4 (x − 2)
10.
(x − 9)(
) ( x + 1) > 0
(x + 3)(
) ( x + 7 )(
) ( x − 3) < 0
VI.Resuelve los siguientes problemas:
1. Tía Edelmira cuenta que Leila tenía más de
once años cuando apareció “Plaza Sésamo” en
la TV chilena. ¡Lo que son las cosas! comenta
tía Helga. Si tan solo ayer la dejé jovencita a
Leilita y ahora está hecha una abuela de un
poco menos de cincuenta y dos.
Escribe una inecuación que permita estimar
el año en que apareció el famoso programa
en la TV chilena. Resuélvela y da la respuesta.
2. “No somos grandes artistas, pero tampoco
pretendemos serlo, tan solo te pedimos una
moneda solidaria para estos pobre, payasos
callejeros” El público les pasó algunas. El “flaco”
como le decían a uno de ellos, recolectó 7
monedas de $50, 3 monedas de $100 y menos
de veinte monedas de $10. El otro payaso
obtuvo 10 monedas de $50, 1 moneda de
$100 y menos de 15 monedas de $10.
a. ¿Cuánto obtuvo cada payaso?
b. ¿Cuánto pudieron haber reunido en total?
141
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VII.Marca la alternativa correcta:
1
kilo de
2
1
relleno para una torta (t) y kilo del mismo
4
relleno para una tartaleta (T). La pastelería
1. En una pastelería se requiere
no produce más de 12 kilos de relleno
semanales. Entonces el número de tortas y
tartaletas producidas semanalmente cumple
con la desigualdad:
1 1
a. t + T ≤ 12
4 2
1
1
b. T + t ≤ 12
4
2
1
1
c. T + t ≥ 12
4
2
d. 4T + 2t £ 12
e. x + 6 = 2x + 1
9
II. ]−• , 9] ∩ [5, •[
III. R − [5, 9]
a. Solo I
d. Solo I y II
b. Solo II
e. Solo I y III
c. Solo III
II. 0
III.-2
d. Solo II y III
e. Solo I y II
c. Solo III
2x+1
d. x + 6 ≥ 2x + 1
I. [5, 6[ ∪ [6, 9[
b. Solo II
x+6
c. x + 6 > 2x + 1
5
I. 6
a. Solo I
2. La situación descrita en la imagen adjunta se
puede escribir algebraicamente como:
b. x + 6 £ 2x + 1
4. ¿Cuál de los siguientes números pertenecen
al intervalo [ −2, 8] ∩ ]−9, 6[ :
e. 4t + 2T £ 12
a. x + 6 < 2x + 1
3. El siguiente intervalo representa el resultado
de las operaciones:
5. El conjunto solución de la inecuación
3x − 7 > 4 x − 9 ( x + 6 ) es:
47
61
a. x < −
d. x < −
8
8
47
47
e. x < −
b. x > −
8
2
61
c. x > −
8
6. Jacinta es a lo más 4 cm más alta que su
hermano Cristian. Si este mide 165 cm, ¿cuál
de las siguientes afirmaciones es verdadera
con respecto a la estatura de Jacinta?
a. Jacinta mide como mínimo 169 cm
b. Jacinta mide 169 cm
c. Jacinta mide como máximo 169 cm
d. Jacinta mide entre 165 y 169 cm
e. Jacinta mide menos de 165 cm
142
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a. ]−•, −1]
b. [ −1,•[
d. R
e. ∆
−11
≥ 0 es:
x2 + 1
c. [ −1, 1]
8. El intervalo [ −7, 3] es solución de la(s)
siguiente(s) inecuación(es):
I. x + 2 ≤ 5
a. Solo I
d. Solo I y III
b. Solo II
e. Solo II y III
c. Solo III
4
2x − 3 >
5
tiene por
9. El sistema
solución: (x − 3)(
) ( x + 6)< 0
a. ]−6,•[
19
b. −6,
10
19
c. ,3
10
d. ]3,•[
e. ∆
10. Andrés es un buen atleta, entrena todos los
días y siempre lleva una estadística de los
kilómetros que corre. Si a lo que corrió ayer
le suma 2 km, entonces no alcanza los
20 km. Por otro lado, si al doble de lo que
corrió ayer le resta 1 km, entonces al menos
corrió 15 km ¿Cuántos kilómetros corrió?
a. Más de 18
b. Menos de 8
c. Entre 8 y 18
d. Menos de 18, pero 8 o más
e. Menos de 16
Esta pauta puede aplicarse para obtener el
porcentaje de logro, transformarlo a calificación y
también para evaluar cada ítem pedido.
Puede parcelar la evaluación como trabajo
individual en varias clases y luego promediar la
calificación o los porcentajes de logros obtenidos.
Complete la tabla adjunta:
Puntaje
obtenido
Indicador
II. x − 2 ≤ −5
2
III. 21 − x − 4 x ≥ 0
Pauta de evaluación sugerida para
evaluación 1 y 2
Puntaje
total
Número de respuestas
correctas obtenidas en el ítem I
(verdadero y falso o
completación). Asigne 1 punto
a cada una.
Número de ejercicios
correctamente desarrollados
en ítem II (desigualdades.
Asigne 2 puntos a cada una).
Número de ejercicios
correctamente desarrollados
en ítem III (inecuaciones
simples. Asigne 3 puntos a
cada uno).
Número de ejercicios
desarrollados correctamente
en el ítem IV (intervalos. Asigne
2 puntos a cada uno).
Número de ejercicios
correctamente desarrollados
en el ítem V (inecuaciones y
sistemas de inecuaciones.
Asigne 2 puntos a cada uno).
10
10
20
20
20
Número de problemas
correctamente desarrollados
(Asigne 2 o 3 puntos a cada
uno, dependiendo de la
evaluación).
6
Número de alternativas
correctas en ítem VII (asigne 1
punto a cada una).
10
Total
UNID AD 3
7. La solución de la inecuación
96
Para traducir a porcentaje de logro el puntaje
obtenido, use la siguiente fórmula:
Porcentaje =
Puntaje obtenido
⋅ 100
96
Para traducir el porcentaje obtenido a nota, puede
usar las tablas de esta guía didáctica.
143
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2/11/11 17:12:04
Solucionario de la Unidad
la unión coincide con [ −12, −1], es decir,
[ −12, x ] = [ −12, −1]. Por igualdad de
conjuntos se tiene que x es –1.
Actividades de refuerzo
I. 1. V
3. F
5. F
7. F
9. V
2. V
4. V
6. F
8. F
10.V
II. 1. a. n ≤ 4
b. 30 °C < TM < 40 °C
5. ]−• , −5] ∪ ]5, •[
c. − 31 ≤ n < 0
d. 7 200 m < M100 £8 848 m
b
b
b b
< < c < b; a < < c < < b;
3
2
3 2
b b
a < < = c < b. La ley de la tricotomía y
3 2
la propiedad de la transitividad.
2. a. a <
b. Sí. R −
3. a. −2 ab £ 2 ab £ a + b
b. a > b
/ ⋅2
2
2
2a > 2b
como − 5 > − 6,
sumando se tiene que
2a −5 > 2 b −6
c. ( a + b ) ≥ 0
2
a2 + 2 ab + b2 ≥ 0
d.
2
a>b
+ b>c
a+b>b+c
a>c
/ −b
ml < v ≤ 320 ml
III.1. 00 ml
ml
2. A lo más, con $2500
3. De dos a veintitrés
4. A lo más 21
0 ml
0<ml
v ≤<320
ml 0ml
0<ml
v ≤<320
ml ml
5.
36,6
av ≤ 320
37,4
yml
49,1
1v ≤ 320
49,9
IV.1. [ −4, 3[ ; ]3, 5] ; ]3, 9]
[ −12, −2.7] 0,5 ; 2,5 [ −12, −7]
144
3. La intersección contiene solo a –7. Esto
garantiza que el extremo derecho
desconocido (x) no pertenezca a. [ −12, −7]
Por tanto, la unión es [ −12, x ] o [ −12, x [.
Además, por la información en el enunciado,
U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 144
6. [ −12, −7]
7. [3, 6] y [11, 12] , la unión de dos intervalos
cerrados y disjuntos.
, −7] –2,5 ; –0,5 [ −12, −7]
[ −128.
9.
HORA (t: Tiempo)
NIVEL DE GLUCOSA
NORMAL (x) (mg/dl)
Antes del desayuno.
Antes de la comida y de la
cena.
1 hora después de las
comidas.
2 horas después de las
comidas.
Madrugada
3,5]. ]
[70,105
[70,105
10. a. $550 ≤ d ≤ $600
[70,105]
[70,110]
x < 160
x < 120
x > 70
b. [Enero 09 − Marzo 09]
c. [Enero 09 − Septiembre 09]
a + b ≥ − 2 ab
2
4. ( −•, −4 ) y (3,• )
315
V. 1. −∞ ,
176
2. ]−• , −13[ ∪ ]3, •[
5 8
3. ,
3 3
1
4. −∞ ,
3
5. ]−2, −1[
6. ]0, 1] ∪ [2, 3[
2
6
7. C s = , 4 ∪ −• , − ∪ ]4, •[
17
19
27
8. −•,
13
9. [0 ; 6, 6[
10. [1, 2] ∪ ]4, 5[
2/11/11 17:12:15
y
35
VI.1.Nota
6,8
Nota55>>5,13
5,13
2. 10 m £ d £ 10 3 2 m
30
3. [20, 30]
25
5. 38 u ≤ Nº DVD
dvd extraviados ≤ 40 u
15
VII.1. d
3. a
5. a
7. a
9. b
2. d
4. a
6. b
8. d
10.b
Ficha de refuerzo
10
5
–35 –30–25–20–15–10 –5 0
–5
–10
–15
I. 1. M > J
–20
2. [ −7, 9[
3. ]3,•[
4. [ −7, 8]
–25
b. No tiene solución
15
5. 6,
2
9
II. 1. −∞ , −
4
2. ]−6, −2[
3. ]−• , −2[ ∪ ]0, •[
4. ]−•, −3[
III.1. [ 400, 611[
2. [112, 134[
Actividades de profundización
1. Que la parábola asociada a la función cuadrática
no corta al eje x; por lo tanto, no hay valores de
imágenes negativas.
2. Se grafica la función valor absoluto asociada y se
determinan los valores de las imágenes que
cumplan con la desigualdad planteada. Es
análogo a lo hecho con las inecuaciones
cuadráticas.
3. Sí, pero solo las de la forma ax + b ≤ c o
ax + b < c
4. a. ]−• , −2[ ∪ ]3, •[
5 10 15 20 25 x
UNID AD 3
20
4. ]−•, −1[
y
4
3
2
1
–7 –6 –5 –4 –3 –2 –10
–1
–2
–3
1 2 3 4 5 6 7 8 x
11
5. a. , ∞
3
3
b. , ∞
4
6. a. ]−•, 0[ ∪ ]1, 2[
1 5
b. [ −8, −4] ∪ − , ∪ ]5,•[
3 2
Evaluación 1
I. 1. V
3. V
5. F
7. F
9. V
2. F
4. V
6. V
8. V
10.V
II. 1. a. t LC ≤ 15
b. 1,66 < h < 1,70
c. −5 ≤ x < −0,5
d. 10 000 ≤ p < 11 036
1 1 1
> > y −a > −b > −c
a b c
+
b. ∀a ∈R
2. a.
c. Porque se está comparando un número
con su inverso.
145
U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 145
2/11/11 17:12:20
3. a. a < b < c
/+b
a+b<2b< b+c
a+b
b+c
<b<
2
2
a+b b+c
<
2
2
1
6. , ∞
4
7. 5 , 2 ∪ ]2, 3]
3
/ :2
8. [ −2, 0] ∪ [3,•[
9. ∆
10. ∆
b. ( a − 2b ) ≥ 0
2
a2 − 4ab + 4b2 ≥0
/ −4ab
a2 + 4b2 ≥4ab
c. No, solo es cierto si n £ 1 + 2
(
III.1. [0 ; 9, 5[
)
2. a. Timoteo tiene más de 22 años, Clodoveo
tiene a lo más 22 años
b. Los que tienen a lo más 22 años
3. Al menos 141 puntos
4. Entre 177393 y 186096 km2
5. Hasta 61 caballos
IV.1. a. [do,fa ]: do, re, mi, fa [ mi,si]: mi, fa, sol, la, si
b. do, re, mi, fa, sol, la, si do, re, mi, fa sol, la
−8
2. por ejemplo: −10, y [0,•[
5
3. ]−10 ; −2, 5[
4. ]−1, 5 ;3, 5[
5. ]5, 6] ∪ [9, 10[
6. ∆, pues todos los elementos del 1º intervalo
están contenidos en el 2º.
7. ]−• , −4[ ∪ ]−1, −3[ ∪ ]5, •[
8. ]−• , −2] ∪ [ −1, 5 ; 0, 5] ∪ [6, 5 ; •[
9.
Nivel
Colesterol
Deseable
Límite alto
Alto
10. a. [17, 40]
b. [ mayo, agosto]
200 ≤ c ≤ 239
c. [abril, diciembre]
V. 1. x ≤ 3
2. x < 4
3. x > 6
146
4. ]−•,0[
5. ]−•, −3] ∪ ]0, 12]
U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 146
c < 200
c ≥ 240
3
4
2. Más de 75 y menos de 85
3. Entre 39 y 42
VI.1. x ≥ −
VII.1. c
3. a
5. c
7. a
9. b
2. a
4. c
6. b
8. d
10.b
Evaluación 2
I. 1. Una expresión matemática que indica que
dos cantidades son distintas.
2. Conserva
3. Es un subconjunto de números reales.
4. ( n,• )
5. Menores que –6,5, unidos a aquellos mayores
o iguales a 16,5
6. Inecuación
12
13 12
13
7.
x − 3,7 < − ; x − 3,7 > . Unir
5
17 5
17
8. –4
9. No tiene solución.
10. x > 42
x 1
− <0
2 4
II. 1. a. Precio del celular< $135990.
b. F nuclear fuerte > F elecromagnética > F
nuclear débil > F gravitacional
c. Nº estados de Brasil sin luz < 23
d. –1,20 < IPC < 1,00.
2. a. y − a > − b > − c
b. Si 0 < p < 1 y 1 < q , entonces, p < q
1
1
<q o
≥q
p
p
⇒
1 < pq o 1 ≥ pq
Según el enunciado se debe
cumplir la primera afirmación,
1
Por lo tanto, < q
p
De aquí,
2/11/11 17:12:28
IV. 1. En ( 2, 5 ;3, 3) o (1, 5 ;3, 3)
2. Si el universo es [ −2, 3] y como intervalo
abierto a ]−1, 1[ , entonces su complemento
es cerrado.
3. Como mínimo 71 años y máximo 79.
/ ⋅b
b < ab < b
como, 1 < b y b < ab
entonces, 1 < ab
2
4. [0, 4]
5. Se obtiene el universo
6. El intervalo (0,3), pero formado solo por
racionales.
7. [ −3, 5 ; 8]
8. [ −4; −3, 5[
9. Con las aproximaciones correspondientes,
3, 8 ≤ promedio ≤ 4, 0
d. ( 2 n − 1) ( n + 1) ≥ 0
2 n2 + 2 n − n − 1 ≥ 0
2 n2 + n − 1 ≥ 0
2 n2 + n ≥ 1
2
1
e. 3x − ≥ 0
3x
1
1
9 x 2 − 2 ⋅ 3x ⋅ + 2 ≥ 0
3x 9 x
1
9x 2 − 2 + 2 ≥ 0
9x
1
9x 2 + 2 ≥ 2
9x
10.
Magnitud en
Efectos del terremoto
Escala Richter ]0 ;3,5[
[3,5 ;5,4]
[5,5 ;6,0 ]
f. Es demostración
x
1
2+
1
x
3
4
5
10
16
25
100
900
10000
1000000
10000000
A medida que crece x, el valor de 2 +
tiende a 2.
III. 1. Menos de 26
2.
3.
4.
5.
[6,1 ;6,9]
>2
2
10000000000
UNID AD 3
c. 1 < a < b
3,00000
2,70711
2,57735
2,50000
2,44721
2,31623
2,25000
2,20000
2,10000
2,03333
2,01000
2,00100
2,00032
2,00001
1
x
En 1963, menos de 150; En 1964, más de 450.
10 + x ≥ 15. Al menos 5 apoderados más.
Más de 9 pero menos de 14.
a. Más de veinte, pero menos de treinta.
b. De uno a nueve posibles.
[7,0 ;7,9]
[8,0 ;10]
Generalmente, la gente no lo siente,
pero queda registrado.
A menudo se siente, pero solo causa
daños menores.
Ocasiona daños ligeros a edificios.
Puede ocasionar daños severos en
áreas muy pobladas.
Terremoto mayor. Causa de
graves daños.
Gran terremoto. Destrucción total en
comunidades cercanas.
5
V. 1. −•, −
3
2
2. − ,•
5
4
3. −•,
7
4. ∆
5. ( −• , −3) ∪ ( 2, • )
1
6. ]−• , 0[ ∪ 0, ∪ ]1, •[
3
1 2
2 7
7. , ∪ ,
27 9 9 9
8. [0, 3] ∪ [7, •[
9. [2, 5;•[
10. ( −•, −7 ) ∪ ( −3, −1 )
VI. 1. x + 41 > 2012 . En 1972.
2. a. Flaco: menos de $850, el otro: menos de $750
b. Como máximo, $1 590
VII.1. b
2. a
3. a
4. d
5. b
6. c
7. e
8. d
9. c
10.d
147
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2/11/11 17:12:36
Bibliografía y detalle de links de la unidad
Conocimientos previos
Puede consultar los siguientes links de
profundización referidos a este tema:
http://sipan.inictel.gob.pe/internet/av/conjuntos.htm.
Aquí hay un desarrollo de Teoría de Conjuntos,
ejercicios con respuestas y un test de alternativas a
modo de autoevaluación.
La página es un aula virtual de Matemática de
INITEC- UNI. El Instituto Nacional de Investigación y
Capacitación de Telecomunicaciones de Universidad
Nacional de Ingeniería. Perú
http://docencia.udea.edu.co/SistemasDiscretos/contenido/
conjuntos.html
Muestra, la teoría, desarrollo de conceptos y Ejercicios.
Página de la Facultad de Ciencias Exactas y Naturales
de la Universidad de Antioquia, Colombia.
¿Tendrán propiedades las desigualdades?
Si usted quiere profundizar en este tema, lo puede
hacer en el siguiente sitio Web:
http://www.dim.uchile.cl/~docencia/calculo/material/
presentacion_semana/Semana02_print.pdf
Página que pertenece al departamento de Ingeniería
Matemática de la Universidad de Chile. Presenta fichas,
además, de parte de la presente unidad, en un
documento pdf, descargable e imprimible.
¿Para qué se usan las propiedades de las
desigualdades?
Cauchy-Schwarz). Pertenece a la Asociación
Venezolana de Competencias Matemáticas.
Se propone además: http://valle.fciencias.unam.
mx/~rocio/desigualdades1/desig4.html en lugar de
alguna de las anteriores, por ser más sencilla
¿Para qué sirven los intervalos?
Se sugiere utilizar fuentes como el Instituto Nacional
de Estadísticas (INE), Demre, estadísticas del
Ministerio de Salud, etc. Algunos de estos sitios son:
http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/home.php.
Este portal presenta vasta información de la realidad
nacional en diversos aspectos; por ejemplos
demográficos, económicos, etc. Proporciona datos y
representaciones gráficas confiables, con desarrollo
interpretativo, en formato pdf, descargables e
imprimibles. Además hay links: internos, sugeridos y
externos. http://www.demre.cl/estadisticas.htm Aquí
hay datos tabulados sobre resultados de PSU en
varios aspectos. Por ejemplo, tipo de
establecimiento, sexo, año de promoción, etc. En
algunos casos se acompaña con explicaciones.
Presenta documentos Excel, pdf, descargables e
imprimibles, etc. DEMRE. Universidad de Chile. http://
deis.minsal.cl/index.asp. Portal que presenta acceso a
datos tabulados y gráficos de Estadística e
Información de Salud a nivel nacional.
Departamento de Estadísticas e Información de
Salud. Ministerio de Salud.
En Actividades de refuerzo
Otras demostraciones en las que se aplican las
propiedades de las desigualdades en
demostraciones de proposiciones matemáticas las
puede encontrar en:
En ejercicio 9 se cita como fuente http://carolareznor.
iespana.es/3.html, página dedicada a la descripción,
http://webdelprofesor.ula.ve/ciencias/lico/web-topologia/
desigualdades.htm
En ejercicio 10 se cita como fuente http://sitios.cl/.
Finance. Portal de variados links como Bancos,
Organismos Gubernamentales, Indicadores,
Información Económica, etc.
En esta dirección puede encontrar algunas
demostraciones como la desigualdad triangular.
Universidad de los Andes, Venezuela.
En http://www.acm.org.ve/desigual.pdf se proporciona
un documento en formato pdf descargable e
imprimible, donde se demuestran algunas
desigualdades conocidas. Por ejemplo: la establecida
entre media aritmética y la media geométrica, como
otras de mayor complejidad. (Desigualdad de
tipos, cuidado de la diabetes con links a sitios de interés
como: Fundación de Diabetes Juvenil de Chile, etc.
En Información Complementaria para
el docente
Sistemas de inecuaciones lineales con una incógnita.
http://www.sectormatematica.cl/contenidos/sisinec1.htm
148
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2/11/11 17:12:36
Usted puede visitar el siguiente enlace para
optimizar este recurso evaluativo:
Evaluación 1
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/
VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573
Ejercicio 9: El médico del consultorio donde..........
Tabula la información mencionada acerca del
colesterol total.
http://www.geosalud.com/Nutricion/colesterol.htm
Dedicado a la salud de Centroamérica y los países
del Caribe de habla hispana. Presenta algunas tablas
de interés con y para el uso de desigualdades.
UNID AD 3
Que es un portal de la educación donde Ud puede
conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a
la Coevaluación y autoevaluación citando la fuente
de procedencia. El material está además en pdf
descargable e imprimible. Tiene además links de
interés para docentes, estudiantes y familia, no solo
en matemática, sino también para las otras
asignaturas o áreas del quehacer educativo.
IV.Resuelve los siguientes ejercicios
Bibliografía temática
• Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría
Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London:
Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed.
• Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008).
Álgebra clásica. Santiago: Universidad Católica de
Chile Ediciones. 1ª ed.
• Sobel, M.y Lerner, N. (2006). Precálculo. México D.F.:
Pearson Educación Prentice Hall. 6ª ed.
• Swokowsky, E. y Cole, J. (2008). Álgebra y
Trigonometría con Geometría Analítica. México DF.:
Thomson Editores. 11ª ed.
• Mercado, C. (1981). Test Matemática: problemas
para PAA y Prueba de conocimientos específicos.
Santiago: Editorial Universitaria. 16ª edición.
• Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D.
(2009). Manual de preparación para PSU
matemática. Santiago: Universidad Católica de
Chile Ediciones. 9ª ed.
• Riera, G. (1998). Matemática aplicada, texto para
profesores 2º medio Mineduc. Santiago: Editorial
Zig –Zag.
• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de
ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad
Católica de Chile Ediciones. 5ª ed.
Sitios Web sugeridos
Otros sitios que puedes visitar en relación con
esta unidad.
•Vuelva a repasar y ejercitar ecuaciones e
inecuaciones en el siguiente enlace:
http://ponce.inter.edu/csit/math/precalculo/sec2/
cap2.html. Se recuerdan conceptos e incluye
ejercicios resueltos. El material es de la Universidad
Interamericana de Puerto Rico.
•Este link lo llevará a una página de Educarchile que
contiene una selección de links a sitios web que
abordan el tema de esta unidad. La mayoría
incluye ejercicios resueltos y/o propuestos.
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/
VerContenido.aspx?&ID=136020&q=inecuaciones&site
=educarchile
•Para repasar los temas de Intervalos e inecuaciones
lineales, le recomendamos el siguiente sitio web,
que contiene una ficha temática:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/
VerContenido.aspx?GUID=123.456.789.000&ID=133249
149
U3 GUIA MAT 3M (106-149).indd 149
2/11/11 17:12:36
Unidad 4
Algo más sobre triángulos
rectángulos
Presentación de la Unidad
El desarrollo de la geometría ha sido parte fundamental del progreso del
hombre y de la humanidad. No es posible entender lo que nos rodea sin
mirar a través del prisma de la geometría. Sin duda, así también lo
entendieron los grandes matemáticos en la Antigüedad. La geometría ha
estado asociada a la perfección, la belleza, las artes, etc. En esta unidad se
abordarán dos temas de singular importancia: el teorema de Euclides y el
teorema de Fermat, ellos en relación al triángulo rectángulo, y el teorema de
Pitágoras y los tríos pitagóricos. El estudio de esta unidad se realizará desde
el desarrollo formal de los conceptos geométricos y la aplicación a la vida
cotidiana de los alumnos y alumnas.
Es fundamental mostrar a los estudiantes la importancia del trabajo
geométrico de los matemáticos a través de la historia. La introducción
pretende dar una idea de este hecho y poder situar a los alumnos y alumnas
en el contexto en el que fueron trabajados los conceptos que estudiará.
Recuerde que contextualizar los contenidos en el momento en el que se
trabajaron ayuda a sus estudiantes a comprender mejor los procesos lógicos
empleados. Puede revisar las siguientes páginas web para más información:
http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Loponte/ProyFinalLoponte/proyectofinal/historia.htm
http://www-ma1.upc.es/recerca/reportsre/0304/rep030402massa.pdf
http://www.publicatuslibros.com/fileadmin/Biblioteca/Libros/Tecnicos/Francisco_Luis_Flores_Gil_-_
Historia_y_Didactica_de__la_Trigonometria.pdf
La revisión de conocimientos previos es fundamental al momento de
abordar la unidad. Debido a los temas tratados en ella, se abordará como
conocimiento previo el concepto de razón. Si bien, este término se ha
trabajado en años anteriores, no se vuelve a retomar desde I medio. Es
importante que los alumnos y alumnas tengan claridad en algunos aspectos
de las razones como:
- El valor de una razón no necesariamente representa las cantidades reales
involucradas en una situación particular.
- Una razón no depende de las unidades en las que las cantidades
involucradas son medidas. Esto es de suma importancia para establecer el
valor de las razones trigonométricas.
Se sugiere también que, según el manejo que sus estudiantes tengan en este
tema, se aborde también el concepto de proporción.
150
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2/11/11 17:20:38
El mapa conceptual de los conceptos abordados en esta unidad es
el siguiente:
TEOREMAS:
• Teorema de Pitágoras
• Teorema de Euclides
TRIGONOMETRÍA:
• Relación entre
ángulos y lados en un
triángulo rectángulo
APLICACIONES:
• Resolución de problemas de
la vida diaria
• Tríos pitagóricos, teorema
de Fermat y otros
UNID AD 4
TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS
Objetivos y planificación
Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad se deben tener
claros los objetivos y la planificación de ella. Presentamos aquí los objetivos
que deba alcanzar los alumnos a través de la unidad y una propuesta para
su planificación.
Objetivos fundamentales de la unidad
•Conocer y utilizar conceptos matemáticos de nociones de trigonometría en
el triángulo rectángulo, mejorando en rigor y precisión la capacidad de
análisis, de formulación, de verificación o refutación de conjeturas.
•Aplicar los conocimientos adquiridos en la resolución de problemas y en el
análisis de situaciones concretas.
•Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus
propias capacidades.
•Percibir la matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas
a desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.
151
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2/11/11 17:20:39
Planificación de la Unidad
Unidad 4
“Algo más sobre triángulos rectángulos”
CMO
Tiempo de duración
Aprendizajes esperados
24 horas pedagógicas.
Indicadores de evaluación
Teorema de Euclides.
Reconocer el teorema de Euclides
como relaciones que se establecen en
un triángulo rectángulo a partir de las
semejanzas de triángulos existentes.
Reconoce cuándo se debe ocupar el
teorema de Euclides.
Aplica correctamente el teorema de
Euclides en la resolución de ejercicios
y problemas.
Teorema de Pitágoras.
Demostrar el teorema de Pitágoras a
partir del teorema de Euclides
Utilizar correctamente el teorema de
Pitágoras en la resolución de ejercicios.
Demuestra el teorema de Pitágoras,
utilizando el teorema de Euclides.
Usa correctamente el teorema de
Pitágoras en la resolución de ejercicios
y problemas.
Tríos pitagóricos.
Distinguir tríos de números que
cumplan la condición de ser
tríos pitagóricos.
Generar tríos pitagóricos utilizando
fórmulas.
Identifica tríos de números pitagóricos.
Genera tríos de números pitagóricos
utilizando las fórmulas dadas.
Teorema de Fermat.
Reconocer el teorema de Fermat y
mostrar su validez.
Reconoce el teorema de Fermat.
Muestra el teorema de Fermat y lo
relaciona con los tríos pitagóricos.
Razones trigonométricas seno, coseno
y tangente en el triángulo rectángulo.
Definir razones trigonométricas.
Calcular las razones trigonométricas
de ángulos de 30º, 45º y 60º.
Definen las razones trigonométricas
seno, coseno, tangente para ángulos
de 30º, 45º y 60º.
Aplicación de las razones
trigonométricas a problemas de
medición de la vida diaria.
Aplicar las razones trigonométricas a
la resolución de ejercicios de cálculo
de medidas y problemas de planteo.
Aplican correctamente las razones
trigonométricas en el cálculo de
distancias y problemas.
Razones trigonométricas cosecante,
secante y cotangente.
Definir las razones trigonométricas
secante, cosecante y cotangente a
partir de las definidas anteriormente.
Definen las razones trigonométricas
cosecante, secante y cotangente.
Calculan valores para secante,
cosecante y cotangente de ángulos
notables.
Identidades trigonométricas.
Definir el concepto de identidades
trigonométricas.
Demostrar identidades
trigonométricas.
Establecen relaciones trigonométricas
fundamentales.
Demuestran razones trigonométricas
simples.
Funciones trigonométricas.
Establecer las relaciones de seno,
coseno, tangente, cosecante, secante
y cotangente de un ángulo como
una función.
Determinar, gráficamente, dominio y
recorrido de ellas.
Extienden el concepto de razón
trigonométrica al concepto de función
trigonométrica.
Determinan, utilizando los gráficos
correspondientes, el dominio y
recorrido de las funciones
trigonométricas.
152
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2/11/11 17:20:39
Desarrollo de la Unidad
Como ya se ha abordado con anterioridad, se debe contextualizar la unidad,
generando la necesidad de abordar los temas que se tratarán. Algunas
sugerencias de estos contextos son las siguientes:
•Se está construyendo un edificio. En la entrada se necesita hacer una rampa
para la entrada de personas discapacitadas, para la cual se cuenta con solo
1 metro de vereda. ¿Qué inclinación tendrá la rampa?, ¿de qué depende
esta inclinación?, ¿será de fácil acceso?, ¿existe alguna normativa sobre las
rampas de acceso para discapacitados?
Note que es conveniente recalcar que debe establecerse aquí una relación
entre lados y ángulos en un triángulo, la que nunca se ha establecido antes.
Las relaciones vistas para triángulos en años anteriores hacen alusión solo a
ángulos o solo a lados.
•Al mirar el teorema de Pitágoras de manera algebraica, es decir, como la
relación que se puede establecer entre un trío de números, aparece la
pregunta: ¿Se podrá establecer una relación similar para otros exponentes
distintos de 2? De esta manera surge el teorema de Fermat. Es bueno hacer
énfasis en que, independiente de si la demostración es sencilla o muy compleja,
el hecho de cuestionarse y ser inquieto intelectualmente sobre lo que nos
rodea ha permitido los avances no solo en el terreno de la matemática, sino en
todas las áreas de la humanidad. Invite a sus alumnos y alumnas a preguntarse,
a reflexionar, a no conformarse con lo que se vislumbra obvio a primera vista, a
plantear teorías y mostrarlas o demostrarlas.
UNID AD 4
a)Introduciendo la unidad
b)Preparando cada tema
A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para tratar
cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Libro del Estudiante.
También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas conceptuales
para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la preparación de
cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y las capacidades
trabajadas según los mapas de progreso.
Euclides, Pitágoras y sus teoremas
(Página 222 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Se trabajan los siguientes:
Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7):
• Interés por conocer la
• Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de
realidad a través de
la matemática.
• Análisis de procesos y
establecimiento de
relaciones lógicas.
• Resolución de problemas
que desarrollen el
pensamiento lógico –
deductivo.
• Discernimiento de resultados
en situaciones cotidianas.
• Uso de herramientas
tecnológicas (calculadora).
• Trabajo grupal.
ecuaciones a que dan origen.
• Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando
métodos analíticos y gráficos.
• Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y
procedimientos de distintas áreas de la matemática.
• Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos
geométricos, acorde a las características del problema.
Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7):
• Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia
y cuadrática.
• Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico.
• Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas
escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas
representaciones algebraicas.
153
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2/11/11 17:20:39
Se propone a través del desarrollo de esta sección abordar el teorema
de Euclides como consecuencia lógica de relaciones de semejanza de
triángulos en un triángulo rectángulo en el que se ha trazado la altura
correspondiente a la hipotenusa. Note que se deduce directamente
con solo establecer las proporciones correspondientes.
Otra demostración del Teorema de Euclides que usa conocimientos
de geometría analítica que los alumnos ya manejan es:
En la figura se han dibujado las rectas perpendiculares en azul
determinando el triángulo ABC con el eje x. El trazo rojo es una altura.
y=−
1
x +n
m
F
mx
y =m
C
E
x
A
D
B
Nuestra tarea es demostrar que:
2
2
2
a. CD = AD ⋅ DB b. AC = AB ⋅ AD c.BC = AB ⋅ DB
Previo, se determinarán las coordenadas de los vértices de los triángulos
Las coordenadas de A son ( 0, 0)
Determinación de las coordenadas de B.
1
x +n
m
haciendo y = 0 tenemos
1
Por lo tanto: B ( mn,0 )
x =n
m
x = mn
y=−
Determinación de las coordenadas de C.
Para ellos se determina el punto de intersección de ambas rectas.
y = mx
1
x +n
m
y = mx
1
y = − x +n
m
y=−
1
x +n
m
m2 x = − x + mn
mx = −
x + m2 x = mn
(1 + m ) x = mn
2
x=
154
U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 154
mn
1 + m2
/ ⋅m
y = mx
2
mn Por lo tanto: C mn , m n
2
2
1 + m2
1+m 1+m
m2n
y=
1 + m2
y = m⋅
2/11/11 17:20:44
Ahora bien, iniciamos la demostración:
2
a. CD = AD ⋅ DB
La medida de CD es
de DB es
m3n
1 + m2
m2n
mn
; la medida de AD es
y la medida
2
1+m
1 + m2
2
UNID AD 4
m2n
mn
m3n
Esto es :
=
⋅
2
2
2
1+m 1+m 1+m
mn
m3n
⋅
1 + m2 1 + m2
m4n2
=
2
1 + m2
(
=
)
( m n)
2
2
(1 + m )
2
2
2
m2n
=
2
1+m
Es importante que los estudiantes sean capaces de verbalizar lo que el
teorema dice en forma matemática. Un buen ejercicios es que algunos
alumnos y alumnas redacten con sus propias palabras el enunciado de
este y otros teoremas. Haga notar que a través del teorema de Euclides se
pueden demostrar otros teoremas o relaciones para un triángulo
rectángulo. Uno de los abordados en esta sección es:
Si ABC, rectángulo en C y
la altura trazada con respecto a la base,
como muestra la figura, entonces siempre se cumple que:
C
b
q
A
a
h
p
D
c
B
Por otro lado, queremos referirnos aquí a algunos tipos de ejercicios que
requieren un mayor nivel de desarrollo algebraico para considerarlo en
las clases:
1. Dado el ABC de la figura, calcule el valor de x.
C
x
A
3
D
12
B
155
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2/11/11 17:20:48
Para resolver este ejercicio debemos utilizar uno de los segmentos
que no están especificados en el dibujo y plantear lo siguiente:
DB = pfi122 = p (3 + p )
fi144 = 3 p + p2
/ −144
p2 + 3 p − 144 = 0
p=
p=
−3 ± 9 + 576
2
−3 ± 3 65
2
Esto implica dos resultados de p (que se pueden encontrar
haciendo uso de la calculadora)
fipª10, 59 o pª − 13, 59, pero el valor negativo no es solución en
este problema, pues p representa una trazo y su medida no puede
ser negativa (recuerde poner énfasis en estas consideraciones con
los estudiantes, para que luego ellos también las puedan hacer)
Por otro lado, también por Euclides, se tiene que
x2 = 3 p
x2 = 3 10,59
x2 = 3 31,77 /
x ≈ 5,63
Así, x mide, aproximadamente, 5,63.
2. En el triángulo ABC, calcular a en función de b y h.
C
a
b
h
A
D
B
Por Pitágoras, se tiene que
2
AB = a2 + b2
AB = a2 + b2
/
Por Euclides, tenemos que si llamamos AD = x ∧ DB = y :
b2 = a2 + b2 ⋅ x ∧ h2 = x ⋅ y
Despejando x de la primera ecuación y reemplazándola en la
segunda, se tiene que:
b2
h2 =
⋅y
a2 + b2
fiy =
156
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h2 ⋅ a2 + b2
b2
2/11/11 17:20:51
Por último, usando el teorema de Pitágoras nuevamente, en el
triángulo DBC tenemos que:
h +
2
(
h4 a2 + b2
b
4
) =a
2
h2b4 + h4a2 + h4 b2 = a2b4
/ ⋅b4
h2b4 + h4 b2 = a2b4 − h4a2
(
)
(
(
) =a
h2b2 b2 + h2 = a2 b4 − h4
h2b2 b2 + h2
(b
4
)
−h
4
hb b2 + h2
b4 − h4
a=
hb
(b
2
2
=a
)(
UNID AD 4
h2 + y 2 = a2
)
/
/ racionalizando
+ h2 b4 − h4
b4 − h4
)
=
hb b2 − h2
b2 − h2
Teorema de Pitágoras y teorema de Fermat
(Página 236 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad a
través de la matemática.
• Interés por demostrar
regularidades conocidas.
Valoración de las demostraciones
lógicas.
• Análisis de procesos y
establecimiento de
relaciones lógicas.
• Resolución de problemas que
desarrollen el pensamiento lógico
– deductivo.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora, Excel).
• Trabajo grupal.
Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7):
• Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de
ecuaciones a que dan origen.
• Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales,
utilizando métodos analíticos y gráficos.
• Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas
y procedimientos de distintas áreas de la matemática.
• Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes
contextos geométricos, acorde a las características del problema.
Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7):
• Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia
y cuadrática.
• Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico.
• Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas
escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas
representaciones algebraicas.
En esta sección se presenta, en primer lugar, la demostración del teorema
de Pitágoras, utilizando el teorema de Euclides. El objetivo es señalar a los
estudiantes la necesidad de demostrar algunos teoremas o regularidades
matemáticas conocidos. Es importante que los alumnos y alumnas se
acerquen a una matemática formal. Esta es una demostración sencilla y
puede ayudar a los estudiantes a aproximarse de manera paulatina a las
demostraciones formales.
Otras demostraciones interesantes del teorema de Pitágoras son las
dadas a continuación:
157
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2/11/11 17:20:51
a. Demostración dada por Euclides en su libro Los Elementos:
F
E
G
A
D
B
J
C
I
K
H
•Los triángulos DCB y ABI son iguales, ya que AB = BD, BI = BC y el ángulo
B del triángulo DCB es igual al ángulo B del triángulo ABI.
•El área del cuadrado ABDE es el doble del área del triángulo DCB, ya que
tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas.
•El área del rectángulo BIKJ es el doble del área del triángulo ABI, ya que
tienen la misma base y están situados entre las mismas paralelas.
Combinando los tres resultados anteriores, resulta que el área del
rectángulo BIKJ es igual al área del cuadrado ABDE.
Razonando de forma análoga se demuestra que el área del rectángulo
CHKJ es igual al área del cuadrado ACGF. Luego, ya que el área del
cuadrado BIHC es igual a la suma de las áreas de los rectángulos BIKJ y
CHKJ, el área del cuadrado cuyo lado subtiende el ángulo recto BIHC es
igual a la suma de las áreas de los cuadrados ABDE y ACGF, cuyos lados
comprenden el ángulo recto.
Puede encontrar esta demostración y otras explicaciones en los
siguientes sitios:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/~14700626/spip/spip.php?article20
http://divulgamat.ehu.es/weborriak/historia/AsiLoHicieron/Euclides2/Euclides1.asp
b. Demostración intuitiva del teorema de Pitágoras:
1
Se comienza construyendo un triángulo rectángulo R cuya área es ab.
2
A continuación se traza un cuadrado como se muestra en el dibujo adjunto.
2
El lado del cuadrado así obtenido es ( a + b ) y su área ( a + b ) . Dicho
cuadrado consta de cuatro triángulos rectángulos cuya área es
1
4 ab = 2 ab
2
b
c
c
a
a+b
.
Puede consultar estas y otras demostraciones en el sitio:
http://www.arrakis.es/~mcj/teorema.htm
a+b
y un cuadrado interior de lado c y área c2. Igualando ambas áreas
2
tendremos: ( a + b ) = c 2 + 2 ab, de donde a2 + b2 = c2
158
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2/11/11 17:20:53
Unido al teorema de Pitágoras surgen los tríos pitagóricos: trío de números
que pueden ser los catetos e hipotenusa de un triángulo rectángulo y que,
por lo tanto, cumplen con el teorema de Pitágoras. Se muestran aquí dos
fórmulas para generar los tríos pitagóricos. Estas son:
b. a = 2 n + 1, b = 2 n ( n + 1) y c = 2 n ( n + 1) + 1, donde n es un
número natural
Es importante dejar claro que todos los múltiplos de un trío también
formarán un trío pitagórico. Se realiza también la demostración de estas
fórmulas, partiendo del hecho de que si satisfacen el teorema de Pitágoras
se llegará a una igualdad.
Se presentan también dos hojas Excel donde puede insertar estas
fórmulas y generar tríos pitagóricos. Además, en el siguiente sitio web
puede encontrar generadores automáticos de tríos pitagóricos:
http://www.sectormatematica.cl/excel/Teorema%20de%20Pitagoras.xls
UNID AD 4
a. a = x 2 − y 2 , b = 2 xy , c = x 2 + y 2, con n: número natural
El teorema de Fermat se inserta en esta sección asociado a los tríos
pitagóricos. Al señalar: “No existe un trío de números enteros a, b y c (con a, b
y c distintos de 0) que cumplan la igualdad an + bn = cn, si n > 2”, se está
diciendo que solo se pueden hallar los llamados tríos pitagóricos.
Es importante contextualizar la aparición del teorema de Fermat y lo difícil
que fue su demostración y hacer notar que lo que se presenta en esta
guía es solo una manera de mostrar que esto se cumple, pero en ningún
caso una demostración.
Haga énfasis en el proceso intuitivo que hay detrás de la comprobación
del teorema de Fermat en casos particulares.
El desarrollo de la aritmética y las proposiciones con respecto a
regularidades numéricas ha marcado una etapa importante en la historia
de la matemática que es conveniente destacar. Algunos sitios donde
puede encontrar información son:
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/
http://soko.com.ar/historia/Historia_matem.htm
Trigonometría: ¿qué es y para qué se usa?
(Página 244 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7):
• Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de
realidad a través de
ecuaciones a que dan origen.
la matemática.
• Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando
• Análisis de procesos y
métodos analíticos y gráficos.
establecimiento de
• Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y
relaciones lógicas.
procedimientos de distintas áreas de la matemática.
• Resolución de problemas • Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos
cotidianos que
geométricos, acorde a las características del problema.
desarrollen el
Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7):
pensamiento lógico –
• Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia
deductivo.
y cuadrática.
• Uso de herramientas
• Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico.
tecnológicas (calculadora).
• Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas escribiendo,
• Trabajo grupal.
reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas representaciones algebraicas.
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la
159
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2/11/11 17:20:55
Se definen en esta sección las razones trigonométricas seno y coseno
de un ángulo en un triángulo rectángulo. Note que bastan estas dos
razones trigonométricas para generar las restantes, en esta primera
sen α
parte, definiendo tg α =
.
cos α
3
Haga notar a sus alumnos que al escribir, por ejemplo, sen α= no se
5
está diciendo que uno de los catetos y la hipotenusa midan,
necesariamente, 3 y 5, sino que uno de los catetos mide 3 k y la
hipotenusa 5 k . Esto es importante sobre todo cuando se pide calcular
la longitud de los catetos o de la hipotenusa. Enfátice esta relación.
3
Por ejemplo: Si en un triángulo rectángulo, el sen α= y el perímetro
5
del triángulo es 144 cm, ¿cuál es la medida de los lados del triángulo?
B
3k
5k
C
A
fi AC = 4 kfi3 k + 4 k + 5 k = 144fi12 k = 144
fik = 12
∴ AC = 48 cm, BC = 36 cm y AB = 60 cm
Se presenta en esta sección el cálculo de los valores de razones
trigonométricas de ángulos conocidos de manera deductiva. Es
importante que usted, como profesor, realice este proceso con sus
alumnos y/o alumnas, de modo que ellos y ellas puedan entender de
dónde provienen estos valores y cómo es que solo depende del valor
del ángulo y no de las medidas de los catetos e hipotenusa.
En esta unidad se trabaja con elementos secundarios de triángulos:
alturas, bisectrices, transversales de gravedad, simetrales y medianas. Se
deberá chequear que los alumnos manejen los conceptos de estos
elementos y sus propiedades, donde en triángulos equiláteros todos
ellos coinciden y en triángulos isósceles coinciden todas aquellas
trazadas respecto a la base. Una buena manera de mostrar esto es utilizar
el programa Geogebra (se puede descargar gratuitamente desde el sitio
http://www.geomundos.com/descargas/geogebra-2710_p163.html), que permite dibujar
triángulos con sus elementos secundarios e ir modificando los triángulos
moviendo un vértice y ver cómo se mueven los elementos secundarios.
En relación con los problemas de aplicación, note que algunos son de
resolución directa y otros deben relacionarse con sistemas de
ecuaciones lineales. Es importante también aclarar los conceptos de
ángulo de elevación y depresión.
160
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a. Construir, con regla y transportador, un triángulo rectángulo con
uno de sus ángulos interiores de 33º y medir sus lados:
2/11/11 17:20:57
Otros temas de trigonometría (su relación con las
funciones y otras aplicaciones)
(Página 262 del Texto del Estudiante)
OFT
Mapas de Progreso
Se trabajan los siguientes:
Las capacidades trabajadas referentes al eje geometría son (en niveles 6 y 7):
• Interés por conocer la realidad
• Relaciona la representación gráfica de rectas en el plano cartesiano y los sistemas de
a través de la matemática.
UNID AD 4
Además de los ejercicios presentados en el Libro del Estudiante, se
muestran aquí una batería de ejercicios graduados en dificultad, una
ficha de repaso para los alumnos y alumnas que presentan problemas
en la adquisición de los contenidos y además algunos ejercicios
de profundización para aquellos estudiantes con más facilidad en
la asignatura.
ecuaciones a que dan origen.
• Análisis de procesos
• Resuelve problemas que implican el uso de sistemas de ecuaciones lineales, utilizando
deductivos y establecimiento
de relaciones lógicas.
• Resolución de problemas
cotidianos que desarrollen el
pensamiento lógico –
deductivo.
• Uso de herramientas
tecnológicas (calculadora,
programa computacional
para graficar).
• Trabajo grupal.
métodos analíticos y gráficos.
• Resuelve problemas geométricos estableciendo relaciones entre conceptos, técnicas y
procedimientos de distintas áreas de la matemática.
• Selecciona entre varios procedimientos para resolver problemas en diferentes contextos
geométricos, acorde a las características del problema.
Las capacidades trabajadas referentes al eje álgebra son (en nivel 6 y 7):
• Resuelve problemas que pueden ser modelados por medio de las funciones potencia
y cuadrática.
• Elabora estrategias de resolución, las desarrolla y justifica usando lenguaje algebraico.
• Muestra autonomía y flexibilidad en la transformación de expresiones simbólicas
escribiendo, reconociendo y eligiendo formas equivalentes de distintas
representaciones algebraicas.
En la primera parte de esta sección se trabaja definiendo las funciones
1
1
secante, cosecante y cotangente. Así, sec α =
, cosec α =
cos α
sen α
1
. A partir de estas igualdades se trabajan seis identidades
y cotg α =
tg α
fundamentales. La última de ellas queda propuesta para que el
estudiante la realice; le presentamos aquí una posible demostración.
Demuestre que cosec2 α = cotg 2 α + 1.
Partiendo del lado derecho de la igualdad se tiene que:
2
cos α
cotg α + 1 =
+1
sen α
2
=
=
=
cos2 α
+1
sen2 α
cos2 α + sen2 α
sen2 α
1
= cosec2 α
sen2 α
El objetivo de la demostración de las identidades es adquirir manejo
de las razones trigonométricas y sus relaciones, de manera que estas
sean aprendidas fácilmente y, a la vez, los alumnos y alumnas valoren
el trabajo de una forma más estricta en el sentido matemático.
161
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2/11/11 17:20:58
No olvide que la elección de las identidades a trabajar, deben
graduarse en dificultad según las características de su grupo de curso.
En la segunda parte de la sección se vinculan las razones
trigonométricas de distintos ángulos a las funciones. Se establecen
como funciones reales, teniendo en cuenta que:
-los ángulos pueden estar medidos en grados o radianes (ver cuadro
adjunto en la unidad de transformación de grados a radianes
α ⋅ 2π
fix =
rad).
360
-el dominio y el recorrido no son siempre todos los reales; dependerá
de cada función (recuerde hacer este análisis mirando los gráficos
respectivos).
-se hace mención al círculo goniométrico para realzar la idea de que
un ángulo puede medir infinitos grados y de esta manera
independizarse del triángulo rectángulo y poder ampliar el concepto
de seno, coseno y tangente.
Un buen método para determinar el dominio y recorrido de una
función es hacerlo a partir de su gráfico. Recuerde a sus alumnos y
alumnas que el dominio está representado por el eje x y el recorrido
por el eje y.
Tenga especial cuidado con los puntos donde las funciones
trigonométricas se indefinen; vaya de los puntos particulares donde
esto sucede hasta la generalización. Una buena actividad es que los
alumnos y alumnas grafiquen las funciones cotangente, cosecante y
secante (de las que no se presentan gráficos en el texto) en papel
milimetrado y luego comparen sus gráficos con los que puede
entregar un programa computacional.
Aplicaciones de la trigonometría a otras figuras
Es conveniente mostrar a los alumnos y alumnas algunas aplicaciones de
trigonometría al cálculo de elementos de geometría clásica, como el apotema de
un polígono regular, el radio de la circunferencia circunscrita a este, ángulos
interiores de un polígono regular, elementos en cuerpos geométricos, etc.
Mire los siguientes bosquejos:
G
A
h
F
I
B
E
J
C
D
162
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2/11/11 17:20:59
En este caso se pueden calcular algunos elementos sabiendo el radio de la
circunferencia y la medida del lado del polígono, utilizando trigonometría en
el triángulo rectángulo CBI.
Esto se puede extender también al cálculo de áreas de poliedros como el
icoságono, dodecaedro, etc.
Algunos sitios web donde puede buscar mayor información son:
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/
poliedros.htm
http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html
http://perso.wanadoo.es/jpm/poliedros%20regulares/areayvol.html
http://www.luventicus.org/articulos/03Tr001/index.html
UNID AD 4
A partir de estos cálculos se pueden calcular áreas de polígonos regulares
y también extender esto a volúmenes de prismas rectos con bases en
estos polígonos.
En la última parte de esta sección se presenta la relación entre la pendiente de
una recta y el ángulo que esta forma con el eje x. Se define, entonces, que la
pendiente de la recta es la tangente del ángulo que la recta forma con el eje x.
Es conveniente que coloque los casos de pendientes negativas, positivas y cero
para asociarlas a ángulos obtusos, agudos y extendidos o cero. Por ejemplo:
Si la recta tiene ecuación y = −2 x + 3, entonces se tiene que:
tg x = −2fix = tg −1 ( −2) fix = −63, 43
fiα = 180 − 63, 43 = 116, 57
Note que el ángulo que se quiere calcular es α
63,43°
x = –63,43°
Para finalizar la sección se proponen actividades individuales y grupales para
los alumnos y alumnas. Invite a sus estudiantes a realizarlas, respetando la
clasificación propuesta (individual y grupal), señáleles lo importante que es
el intentar realizar los ejercicios más simples o directos de manera individual
y ofrézcales su guía en caso de dudas.
Deje un tiempo para la evaluación de proceso antes de seguir con el resto de
la unidad. Una buena forma de evaluar lo aprendido es hacer una puesta en
común de las dudas más frecuentes y repasar en ese instante incluso
ayudado por los mismos estudiantes con más habilidades matemáticas.
163
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Errores frecuentes
Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por
los alumnos y alumnas. Es importante tenerlos en cuenta durante el
desarrollo de la unidad para corregirlos.
Contenido
Teorema de
Euclides.
Teorema de
Pitágoras.
Posible déficit
Sugerencia
Aplicar el teorema de Euclides
a triángulos que no son
rectángulos.
Enfatizar, cada vez que se aplica el teorema de Euclides, que se puede
utilizar, ya que se está en presencia de un triángulo rectángulo.
Escribir que el teorema de
Pitágoras es: a + b = c.
Una buena forma para que los
estudiantes no olviden que el teorema
habla de los cuadrados de los catetos e
hipotenusa es presentar un dibujo que
relacione el área de los cuadrados
construidos sobre los catetos y la
hipotenusa, como Pitágoras realmente
planteó el teorema: a2 + b2 = c2.
Concepto y notación de las
razones trigonométricas que
llevan a hacer simplificaciones
Razones
como las siguientes:
trigonométricas.
sen 30 30 .
=
sen 60 60
Suma de razones de ángulos
Razones
conocidos. Por ejemplo:
trigonométricas.
sen 30 + sen 60 = sen 90
Confundir el ángulo
de depresión
a con b
c
=
= α
Reconocimiento el complemento
sen α sen β sen γ
de ángulos en
de este, como
problemas de
muestra la figura:
planteo.
a
b
c de depresión es α y
= El ángulo
=
sen α sen
no β . sen γ
Rectas y su
ángulo de
inclinación.
Forma usual de medir ángulos.
Los alumnos y alumnas
confunden el ángulo de
inclinación y, además, no
relacionan las medidas de
ángulos negativos con el
sentido horario y antihorario.
c2
a2
a c
b
b2
Ponga énfasis en que la expresión sen representa un número y no
indica la multiplicación de dos expresiones o números y, por lo tanto,
es imposible simplificar. Recuerde que solo se pueden simplificar
expresiones que se están multiplicando. Por ejemplo:
x ⋅ (x + y)
2⋅ x ⋅ ( x + y )
Nuevamente este error tiene que ver con el concepto de la razón y la
notación de esta. Ejemplifique, calculando expresiones de este tipo
para que los estudiantes noten la diferencia. Por ejemplo:
1
3
+
π1
2 2
1+ 3
π1
2
Definir explícitamente los conceptos de ángulos de elevación y
depresión. Hacer alguna actividad en terreno donde se midan, con
transportador, ángulos de depresión y elevación (utilizando la misma
altura del alumno).
Antes de comenzar la sección de trigonometría,
recuerde a sus alumnos que los ángulos se miden en
sentido antihorario, es decir, el ángulo de inclinación
de una recta será como muestra el dibujo:
y
Además, un ángulo negativo se representará
gráficamente de la siguiente manera:
y
x
α
x
α
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Síntesis conceptual de la unidad
Ejercicios propuestos en esta Guía
El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes
puedan revisar los conceptos fundamentales de la
unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual
como ejemplo de síntesis de los conceptos de la
unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus
estudiantes haciendo énfasis en los conceptos.
i. Actividades de refuerzo
Estas actividades se presentan como un apoyo
para el profesor y los estudiantes, de manera de
reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería
de ejercicios que puede trabajar en clases, en
forma adicional a los ya propuestos en el texto.
Ejercicios de resumen
ii. Ficha de refuerzo
Estos ejercicios están destinados a aquellos
estudiantes que aún no han logrado los objetivos
mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre
los conceptos fundamentales de la unidad.
Se puede separar en dos partes: la primera
corresponde a los ítems I y II, donde se repasan todos
los contenidos en diferentes tipos de ejercicios, que
pueden ser trabajados grupal o individualmente.
Note que se hace siempre énfasis en colocar todo el
desarrollo en la resolución de los ejercicios.
La segunda parte es el ítem III, que es una evaluación
basada en alternativas tipo PSU y donde hay una
sugerencia para que el alumno o alumna revise y
obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja sea
trabajado individualmente.
Por último, al final de la unidad se propone una
evaluación sumativa de las unidades 1 a la 4.
UNID AD 4
Síntesis de la Unidad
iii. Actividades de profundización
Este material tiene por objetivo ampliar los
conocimientos de los estudiantes que evidencien
mayores habilidades matemáticas en esta unidad.
Se proponen ejercicios y una actividad con los
que usted puede trabajar.
Tipos de ejercicios
Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan
todos los contenidos en diferentes ítems, que
pueden ser trabajados grupal o individualmente.
En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo,
se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo
en la resolución de los ejercicios.
Finalmente, también ofrecemos evaluaciones
basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una
sugerencia para que el alumno revise y obtenga
su porcentaje de logro, que se aconseja sea
trabajado individualmente.
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MATERIAL
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
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Actividades de refuerzo
I. Complete cada afirmación según corresponda:
1. En un triángulo rectángulo, la raíz cuadrada
del producto de la hipotenusa por la
proyección de un cateto sobre ella
proporciona el valor de
2. Si la altura con respecto a la hipotenusa en un
triángulo rectángulo mide 6 cm y una de las
proyecciones de un cateto mide 12 cm,
entonces la otra proyección mide
2. De la figura, se sabe que el área del
rectángulo es igual al área del cuadrado.
Usando los teoremas de Euclides, ¿es
rectángulo el triángulo mayor? Justifica tu
respuesta. ¿Cuál es el valor d?
d
3. Si uno de los números de un trío pitagórico
es 8, entonces los otros dos son
16 u
4. El cociente entre cosecante y secante de un
ángulo corresponde a la
5. El valor de
1
− cotg 60 + 2 cos 90 es
sen 30
6. Si cosec α = 3, entonces el ángulo
aproximadamente
mide
7. La expresión 1 + tg 2 α es equivalente a
2
8. Si sen α = , entonces el valor del cos α es
5
9. Una recta tiene ecuación 12x − 5 y + 3 = 0,
entonces, el ángulo de inclinación, medido en
grados, es
10. El intervalo [ −1, 1] corresponde a los
recorridos de las funciones trigonométricas.
II. Resuelve los siguientes ejercicios y coloca todo
el desarrollo en tu cuaderno:
1. En un triángulo rectángulo se traza aquella
altura h que es perpendicular a la hipotenusa,
de 18 cm, determinando las proyecciones de
p−q 2
los catetos p y q. Si
= hallar h y el área
p+q 9
A del mencionando triángulo.
U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 166
9u
3. Basándote en la figura, demuestra que
p2q + pq2
= c donde c es la hipotenusa
h2
b
a
h
q
p
4. El lado menor de un triángulo mide
13 mm y los otros miden 6 x + 8 y
6 x + 9 mm. Si su perímetro es 182 mm. ¿Es este
un triángulo rectángulo? ¿Por qué?
5. Al efectuar 25 + 35, ¿qué indica el teorema
de Fermat con respecto al resultado de
esta suma?
6. Al trazar una cuerda de 21,99 cm en una
circunferencia, esta subtiende un arco
correspondiente de 70°. ¿Cuál es el radio
dicha circunferencia?
7. Para calcular el cos 44° se ha empleado el
cateto adyacente al ángulo, 6 x − 1,
obteniéndose un valor 0,719 para él, según el
siguiente triángulo.
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C
8,3x + 4
W
8. Dibuja un triángulo rectángulo, cuyos
ángulos agudos sean x e y. Además, tg y =
1,75. Encuentra los valores de sen x , cos y,
cosec y, cotg x .
9. Encuentra el valor de la siguiente
expresión sen 25 ⋅ sec 65 + tg 45
tg 40 ⋅ cotg 220
10. Con la información dada en el triángulo de
la figura adjunta, y utilizando trigonometría,
halla los valores de los lados a y b. Expresa
tu respuesta usando con aproximación a
la centésima.
x
a
10 u
b
0,25x
11. Dada la siguiente figura, determina el
perímetro del triángulo obtusángulo. Usa en
tu desarrollo aproximación a la centésima.
5u
h
x
60°
30°
13. Demuestra que sen x ⋅ sec x ⋅ cotg x = 1
14. Observa atentamente la figura y responde:
¿Cuál es la ecuación de la recta L?
UNID AD 4
b. Encuentra x, número entero, de tal
manera que obtengas el valor de seno
de 44º a partir de esta figura. Halla los
valores respectivos.
7u
y
L
69°
2u
x
15. Grafica, utilizando algún programa
computacional o a mano alzada, la función
cotangente de x y determina la ecuación de,
al menos, dos de sus asíntotas.
III. Resuelve los siguientes problemas de planteo.
Hazlo con tu grupo y coloca todo el desarrollo en
tu cuaderno:
1. A determinada hora del día, la altura del sol
sobre el horizonte es de 50°, momento en que la
sombra de un árbol mide 25 m en el suelo. Con
el transcurrir de las horas, ¿en cuánto metros se
habrá alargado la sombra, cuando la altura del
sol sobre el horizonte baja a 25°?
2. “Martín está enfrente de mí, hacia el norte. De
allí, 19 m hacia el oeste, está Bernardo. Si al
recorrer mi vista desde este último hacia el
primero se describe un ángulo de 30°,
¿cuántos metros me separan de cada uno?”
3. Se reúnen doce triángulos isósceles de lados
iguales; cada lado mide 9 cm y el ángulo
comprendido entre ellos es de 30°, para
inscribirlos en una circunferencia. ¿Cuántos cm
más supera la longitud de la circunferencia al
perímetro de la unión de estos doce
triángulos? (Considere π = 3, 14).
4. “Sí, Matías, me metí a la página de los
estudiantes de ingeniería en Internet, y
encontré varias reglas para aprenderse los
teoremas de Euclides, el de Pitágoras, los de
trigonometría, poemas, chistes para
matemáticos, etc. Te mando esta adivinanza...
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
a. Ubica correctamente el ángulo de 44º en
la figura.
5u
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
B
13 u
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
6x – 1
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
A
12. Con los datos de la siguiente figura,
determina el valor del ángulo en W.
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Material
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
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Primer acto: Aparece un triángulo rectángulo.
Segundo acto: Aparece el mismo triángulo
rectángulo, con su altura encerrada y
protegida por el triángulo.
Tercer acto: Aparece el mismo triángulo
rectángulo, con su altura encerrada y
protegida, más las proyecciones de los
catetos: p y q”.
Pregunta: ¿Qué es pq ? Matías lo leyó, pero
dudó al responder. ¿Cuál es tu respuesta?
5. –Sí jefe, escucho perfectamente a través del
audífono oculto que llevo en mi pelo. Estoy
en la mesa indicada de la sala rectangular de
los grandes caballeros, y ya ordené mi cena...
Cuénteme.
–Escucha, Max, enfrente tuyo debiera estar
sentada Marjorie, en un rincón que hace de
esquina, una joven de vestido azul piedra,
cabello rubio y colgante... ¿es así?
–Así es... muy bella.
–Sonríele si es necesario. Ahora bien, gira tu
cabeza disimuladamente hasta llegar a la
altura de tu hombro derecho. Ten cuidado, allí
está sentada la más peligrosa. Ella es de pelo
negro y su nombre es Nelda. ¿Es así?...
–Sí, la veo; además, es muy atractiva y está
sentada también en una esquina como a
cuatro metros de donde estoy... ¡Oh, qué
hermosa es!
–Si continúas girando ahora tu cabeza en
180°...
–¿Pero cómo lo hago jefe, si no soy
una lechuza?
–¡Déjate de bromas!... hacia el lado contrario,
por encima de tu hombro izquierdo, está la
bella Ariana. Seguramente de traje blanco y
liso. Mírala pero con distinción... ¿Es así?...
–La veo, es de pelo rojizo... debe estar a tres
metros de donde me hallo... pero ¡Ay!...
Max cae herido al suelo, víctima de un disparo,
pero no muere inmediatamente. Algunos
testigos sospechan que el disparo provino de la
mujer que estaba más lejos de él.
Conforme a lo que se sospecha, ¿quién le
disparó a Max?
6. Nicolás está improvisando una escuadra
usando un trozo de varilla que ha seccionado
en tres partes. Lleva unido dos de los lados, uno
de 40 cm y otro que mide 1 cm más que el
anterior. –“¡Bien hasta el momento!” –exclama.
Apresurándose para terminar, grita: –¡Oh no!
¡Qué alguien me ayude para saber qué hacer
con los 39 cm de este último trozo; así se ve
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absolutamente desproporcionada! Piensa un
rato, corta este último trozo y usa la medida
exacta para terminarla. En efecto, consiguió el
objetivo. ¿De cuántos centímetros debió cortar
el último trozo para garantizar que fuera una
escuadra la que se formaría?
7. María del Rosario es la profesora
reemplazante de Matemática. Ella propuso a
sus alumnos y alumnas la siguiente actividad:
sumen dos números naturales cualesquiera n
y m y el resultado elévenlo al cuadrado.
Luego quiten, a este, dos veces su producto y
anoten su respuesta. ¿Es este un cuadrado
perfecto? Lo más probable es que no lo sea...
¿En qué caso sí lo es?
8. “A ver, creo no entenderte bien. Tú me dices
que escriba dos cubos perfectos distintos de
0, que provengan de números naturales, que
sean pares y que los sume. Está bien, puedo
imaginarlo con 8 + 216, y que con esta
información escriba el resultado como cubo
perfecto... y, más aún, que invente por lo
menos tres ejemplos parecidos. Mira, de
antemano te digo que eso no será jamás
posible. No me gustan tus bromas
matemáticas”. ¿Cuál es la supuesta “broma
matemática”? Justifica tu respuesta.
9. –“Oigan, parece que hemos detectado algunos
restos del naufragio”. La tripulación del barco de
salvamento enviado por la Armada se movió
rápidamente. –“¿Con que ángulo aparecen?
–grita el capitán. –“Con depresión de 12°”
–responde el encargado... –“Rápido, que manden
al buzo Olsen, hay 40 metros hasta el fondo del
mar”... –¡A la orden, Señor! –responde otro de los
encargados. Todos siguen atentos el trayecto.
–“¡Vamos, Olsen, avanza pronto para terminar
luego esta agonía de una semana de búsqueda!“
Pocos se preguntaron cuánto tuvo que
desplazarse por el bravo fondo marino este gran
buzo. Pero tú, sí lo podrás calcular. ¿Cuánto
metros se desplazó el buzo por el fondo para
encontrar los restos del naufragio?
Ángulo de depresión
40 m
12º
12º
10.–¡Ya, hasta aquí llegamos por hoy! ¡Vamos a tener
que acampar! –gritó Moisés, nuestro instructor.
Mojé mis pies, sentado en la ribera del río y miré
la copa de un árbol situado en la otra orilla.
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40°
8m
IV.Marque la alternativa correcta:
1. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones no se
cumple(n) para ningún trío de números a, b y
c, pertenecientes a los números naturales?
I. a4 + b4 = c4
12.“La calle Esperanza, en ese trayecto, iba cerro en
bajada. En ese lugar, nos despedimos y parecía
que aún lo podía abrazar, mirando cómo se
alejaba en su bicicleta, mientras, con mano
alzada, me mostraba un hasta mañana. Lo
seguí observando desde ese borde, donde un
letrero decía: 100 m sobre el nivel del mar”.
Conforme al relato, y siempre que fuera
posible: ¿Cuál(es) dato(s) necesitarías conocer
para saber la pendiente de inclinación (desde
el plano) de ese trayecto de la calle
Esperanza? Propón otras formas de resolver
matemáticamente este requerimiento.
13.“Me dirigiré a conversar con mi profesor de
Matemática y le diré: “Lo que pasó es que me
puse muy nervioso durante la prueba, y por eso
II. a2 + b2 = c2
( ) + (b ) = (c )
3
III. a
2
3
2
3
2
a. Solo I
d. Solo I y III
b. Solo III
e. I, II y III
c. Solo I y II
2. Si en un triángulo rectángulo, la hipotenusa
2
2
mide x + y , x > y > 0 y uno de sus catetos, 2
xy, ¿cuál es la medida del otro cateto?
a. x2 – y2
b. ( x − y )
c. 2 xy
d. –2 xy
2
UNID AD 4
Material Fotocopiable
15.“La dejé de abrazar, y la miré fijamente a sus ojos...
¿Cómo vencer la distancia, el dolor y aquellos
veinte centímetros que eran familiares entre
nuestras miradas? Levanté mis ojos... di media
vuelta, marché... pensé en aquellos 15 centímetros
que separaban nuestros cuerpos antes de esa
media vuelta final y en que un segundo podría
haber revertido todo”. Este problema involucra
sentimientos, pero también matemática. Solo te
pediremos que encuentres el ángulo de
depresión correspondiente.
Material Fotocopiable
Puente quebrada Los Berros
14.Don José es el encargado de la mantención del
parque municipal con el paisajista han logrado
enderezar a tiempo el ciprés central de 22 m.
Para ello, uno de los trabajadores instaló desde
un metro y veinte cm debajo de la cúspide de
este árbol de hojas perennes, un alambre que
ató y luego fijó con una estaca en el suelo.
Ocuparon unos 24 m de firme alambre. Hubo
una discusión por él ángulo en que debía estar
inclinado el alambre al suelo. ¿Cuál es el ángulo
que en quedó finalmente?
Material Fotocopiable
11.“Estamos transmitiendo directamente desde el
móvil de la radio local, su radio “El portal”, la
grata noticia de la construcción de un puente
sobre la quebrada de Los Berros, para así
conectar más rápidamente la parte norte con
la Sur de nuestra ciudad. Estamos con el Sr.
alcalde, quien ya nos ha contado que tendrá 18
m de largo. En cuanto a la profundidad, aquí
parados, justo en la mitad de este puente
simétrico, como lo ha llamado un técnico, no
podemos precisar ese dato por ahora”. Según
tus cálculos, ¿cuál es la profundidad de la
quebrada? (Mira el bosquejo).
contesté mal esa pregunta. No sabía, señor,
cómo averiguar la hipotenusa, si conocía el
valor del cateto adyacente a 40°, y más aún
usando mi calculadora”. Explica los pasos que
debiera seguir esta persona para resolver el
ejercicio aludido.
Material Fotocopiable
Cansado, lo observé, con un ángulo de 60°,
como nos había enseñado a estimar nuestro
instructor. Vladimir, más atrás, a unos 10 m de la
orilla, también miraba ese árbol, pero con un
ángulo de 45°, según lo que me gritó... me
acerqué y le susurré “te echo una competencia
mañana: ¿quién atraviesa a nado el río y llega
más rápido a tocar la punta del árbol? “ ... Moisés
escuchó y me retó diciendo: “No tienes ni idea
del ancho del río, ni lo profundo que pueda ser. Y
menos la altura de la punta de ese árbol” . No se
los permitiré... ¿Qué ancho tiene el mencionado
río y la altura del árbol?
e. Depende del valor de x e y
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Material
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Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
3. En el triángulo rectángulo de la figura, el valor
de a es:
a. Solo I
d. Solo I y II
b. Solo I y III
e. I, II y III
c. Solo II y III
6. El valor de la expresión
2
1
4 sen 90–- cos 90 + tg 45 es:
3
3
13
2
3
c.
a.
e.
3
3
3
2
4
d.
b.
3
3
a
5
10
a. 5 7
d. 5 3
b. 5 6
e. 5 2
c. 5 5
4. La figura adjunta es un bosquejo de una carpa
de camping, formada por un triángulo
equilátero y un rombo de lado 4 metros.
Entonces, la medida del cierre (m) colocado en
la entrada de la carpa es:
4
sen α =
7. Si en un triángulo rectángulo,
es uno de los
5
4
ángulos agudos que cumple que sen α = ,
5
entonces ¿cuál es el perímetro de triángulo?
a. 11
b. 12
c. 13
8. La expresión
a. sen x
l
b. cos x
m
a. 2
e.
c. 4
d. 3
b. 3
5
5. ¿En cuál(es) de los siguientes triángulos se
cumple que h2 = p q?
I.
q
q
p
h
III.
p
a. 5,17 m
c. 6,17 m
p
h
q
e. Faltan datos
cos x
+ tg x es equivalente a:
1 + sen x
d. cotg x
e. sec x
9. Nataniel está tendido boca abajo en la arena.
Desde allí mira la punta del mástil de un
velero con un ángulo de inclinación de 15°. Si
él se encuentra a 20 metros del velero,
¿cuánto mide el mástil,(considere
tg 15 = 0, 268)?
b. 5,36 m
h
II.
c. cosec x
d. 14
d. 7,28 m
e. 19,31 m
10.Un observador A mira el extremo superior de
una antena con un ángulo de elevación de
60°. Un observador B, ubicado en la misma
línea de observación de A y a 4 metros de él,
observa el mismo punto bajo un ángulo de
30°. ¿A qué distancia se encuentra A de la
base de la antena?
a. 2 m
b. 3 m
c. 4 m
d. 5 m
e. 6 m
170
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Ficha de refuerzo
3. Escribe un trío pitagórico donde uno de sus
números sea 56.
4. Según el triángulo rectángulo de la figura,
¿cuál es el valor de h? Aproxima tus cálculos a
la décima.
20
2. Al mirar aquel juego desde lejos, Irma se
imaginó el triángulo rectángulo de la clase de
Matemática. Hizo un bosquejo y decidió
calcular la altura de la torre, con los datos que
consiguió, mientras sus hermanos se subían a
él. Después de todo, ella tenía demasiado susto
de subirse. ¿Cuál es la medida de esta altura?
7m
5m
3. Dime, buen adivinador... ¿cuál es el ángulo de
inclinación de la recta que tiene a
8 x − 3 y + 9 = 0 por ecuación?
h
UNID AD 4
Material Fotocopiable
21
Material Fotocopiable
2. El cable que afirma un poste de luz, de 12
metros, al suelo mide 20 metros. ¿Cuál será el
ángulo que formará el cable con el suelo?
Aproxima tu resultado al entero.
1. A Montserrat, su profesora de Matemática le
dejó la siguiente tarea:“Elige un trío pitagórico
(distinto a 3, 4, y 5 o 5, 12 y 13 o cualquiera de
sus múltiplos) y construye un triángulo con
esas medidas. Encuentra los valores de los
ángulos interiores”. Montserrat no sabe cómo
hacerlo. Ayúdala y hazlo tú por ella. Revisa tu
respuesta con tu profesor o profesora.
Material Fotocopiable
1. Si en el triángulo rectángulo de la figura se
5
cumple que tg α = , determina el valor de
12
las otras razones trigonométricas.
II. Resuelve los siguientes problemas:
Material Fotocopiable
I. Resuelve los siguientes ejercicios:
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MATERIAL
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MATERIAL FOTOCOPIAbLE
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
MATERIAL FOTOCOPIAbLE
Actividades de profundización
I. Resuelve los siguientes ejercicios. Coloca todo el
desarrollo en el cuaderno, ya que eso te ayudará.
1. Si en un triángulo rectángulo uno de sus
catetos está dado por la expresión x – 1 y la
hipotenusa por 2x 2 + x − 3, ¿cuál es la expresión
que define el otro cateto y las proyecciones de
los catetos sobre la hipotenusa?
2. Un octógono regular está inscrito en una
circunferencia de radio r, como muestra la figura.
Determina el valor del lado en función del radio.
2. ¿Sabes?, Abel me dijo que había encontrado,
en un libro de trigonometría, un teorema
llamado “El teorema del seno” y que funciona
en cualquier tipo de triángulo, no
necesariamente en uno que sea rectángulo.
Este teorema dice así: “En el triángulo ABC de
la figura (triángulo cualquiera) se cumple que
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ ”
a
b
c C
=
=
sen α sen β sen γ
b
A
r
l
3. Demuestra la siguiente identidad
trigonométrica (recuerda factorizar):
sen2 x − cos2 x
1 − sen x ⋅ cos x
= sen x
⋅
( s ec x − cosec x ) cos x sen3 x + cos3 x
4. Una función se dice par si cumple que
f ( x ) = f ( − x ) , para todo valor de x en el
dominio de la función. ¿Cuáles de las
funciones trigonométricas son pares?
(Puedes utilizar los gráficos o tu calculadora
para responder)
II. Resuelve los siguientes problemas:
1. Desde un punto P, situado más alto que la base
de una torre, se observa esta con un ángulo de
elevación de 48º, como muestra la figura. El
observador mira la base de la torre con un
ángulo de depresión de 20°, desde el mismo
punto P. Si al desplazarse hasta P’ 50 metros el
ángulo de elevación a la cúspide de la torre
cambia a 30°, ¿cuál es la altura de la torre?
Q
R
48°
20°
P
30°
50 m
α
a
a
b
c
=
=
sen
α
sen
β
sen
γ
c
B
¿Puedes comprobarlo? Dibuja un triángulo
cualquiera, mide sus lados y ángulos y
comprueba que las proporciones
mencionadas se cumplen. ¿Podrías
demostrarlo? Es muy fácil, solo traza la altura
respecto al lado c, y ya puedes hacerlo...
3. Jaime y Patricio están practicando un juego de
inteligencia militar. Han planificado el campo de
batalla colocando dos estaciones de radar,
separadas por 20 km. Ellas detectan un objeto en
el aire, en el mismo plano de la recta que las une,
con ángulos de elevación de 38° y 72°. ¿Cuál es la
distancia del objeto a cada una de las estaciones?
4. En el campo de los abuelos de Trinidad hay una
parte del sitio cercado en forma triangular
donde dos de los cercos laterales miden 35 y 38
metros, como muestra el siguiente dibujo.
¿Cuánto mide el tercer cerco?
35 u
38 u
42°
P'
172
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A través de esta guía didáctica, específicamente en las unidades anteriores,
hemos puesto énfasis en la evaluación, tanto de proceso como sumativa. Es
esencial que cada alumno o alumna pueda ser parte de su proceso de
aprendizaje, y eso solo se logra cuando también forma parte de la evaluación
de su proceso. Por esta razón se han propuesto distintas formas de
evaluación y, sin duda, habrá muchas más. Las que hemos abordado en esta
guía como propuesta son:
•Escalas de apreciación
•Listas de cotejo
•Trabajos grupales formativos
•Actividades individuales o grupales de estudio
•Coevaluación
•Evaluaciones sumativas
UNID AD 4
Instrumentos de evaluación
a. Escalas de apreciación
Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los
alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Pueden
complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad.
Por ejemplo, al final del estudio de cada una de las secciones, es:
Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: / 24
Puntaje obtenido: Porcentaje de logro: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el
casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas, según
esta escala. (Recuerda que hay actitudes como la participación en clases, el
trabajo en grupo, etc., que también se aprenden)
A: Completamente logrado
B: Medianamente logrado
C: Por lograr
Indicador
A
B
C
¿He aprendido los conceptos de la sección?
¿Podría resolver solo los ejercicios resueltos o los ejemplos dados?
¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos?
¿Respondí correctamente durante la clase cuando se me preguntó?
¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro?
¿He realizado un buen trabajo en equipo, junto a mis
compañeros? (en caso de trabajo en grupo)
¿He demostrado interés en aprender?
¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje?
173
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b. Listas de cotejo
Recolectan información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las
secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el
profesor. Un ejemplo de estas es:
Curso: Escala: MB:
Alumno
Insuficiente (3,9 - 1,0)
Realiza las tareas
dadas
I:
Aporta al trabajo de
su grupo
Suficiente (4,9 - 4,0)
Trabaja bien en clases
S:
Realiza los ejercicios
propuestos
Bueno (5,9 - 5,0)
Pregunta cuando
tiene dudas
B:
Es capaz de verbalizar
los conceptos
fundamentales
Muy bueno (7,0 - 6,0)
Abarca
Juan
Baeza
Lorena
También se puede aplicar al trabajo grupal. Por ejemplo, en los ejercicios de
síntesis y evaluación de la unidad.
c. Trabajos grupales formativos
Se vuelve a insistir en la importancia del trabajo grupal, ya que muchas veces
los alumnos y alumnas logran explicarse mejor entre ellos. Puede formar
grupos en forma aleatoria o intencionada. En esta sección se ha privilegiado
el trabajo grupal en la resolución de problemas de planteo, pero es usted
como maestro quien debe decidir cuáles son las actividades que designará
como trabajos grupales y cómo serán evaluadas.
d. Actividades individuales o grupales, de estudio
Se sugiere trabajar alguna de las guías complementarias propuestas como
preparación para la prueba de la unidad. Recuerde que es bueno trabajar
con el tipo de ejercicios que se evaluarán. Usted debe evaluar lo que enseñó
y no si el estudiante es capaz de resolver un problema nuevo con algún tipo
de estrategia no enseñada en clases. Los ejercicios que apuntan a desarrollar
habilidades superiores como aplicar, analizar y relacionar diversos conceptos
deben ser trabajados en clases. No trate de sorprender a sus alumnos o
alumnas; solo constate que aprendieron lo que usted les enseñó.
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e. Coevaluación:
Entendida como aquella evaluación realizada entre pares, de una actividad o
trabajo realizado. Recuerde que la dinámica de las relaciones del curso debe
ser la brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede aplicar y
cómo se hace. Recuerde que usted puede visitar el siguiente enlace para
optimizar este recurso evaluativo:
UNID AD 4
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573
Un posible instrumento es:
COEVALUACIÓN
TEMA: FECHA: :
INDICADORES
Niveles de logro
INTEGRANTES DEL GRUPO
1
2
1
3
4
5
4 = SÍ
8 = NO
2
3
4
Total
1. Ayuda a los
integrantes del
grupo
2. Cumple con lo
que el grupo le
encarga
3. Mantiene un buen
trato con sus
compañeros
4. Es tolerante ante
las opiniones y
propuestas de
los compañeros
f. Evaluaciones sumativas
Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho,
de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el
libro tienen una evaluación porcentual de logro que los alumnos y alumnas
deben calcular, la que se puede traducir a nota según las siguientes tablas (al
50% o al 60%). Recuerde que en la unidad 1 de esta misma guía se han
entregado dos escalas para transformar porcentajes de logro en notas.
De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se
presentan dos evaluaciones con diferentes ítems, para servir de apoyo
al docente.
175
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Evaluaciones
Evaluación 1
L
Resuelve en tu cuaderno; recuerda que colocar el
desarrollo en forma ordenada te ayudará a pensar
y razonar mejor. Revisa tus respuestas junto a
tu profesor.
y
3
M
I. Coloca verdadero (V) o falso (F) en cada una de
las siguientes afirmaciones según corresponda:
1. ____En todo triángulo rectángulo se cumple
que el producto de la hipotenusa por la
proyección de uno de los catetos sobre
esta es igual al cuadrado del cateto.
2. ____El trío 11, 60 y 61 es un trío pitagórico.
3. ____Si los catetos de un triángulo rectángulo
miden 10 y 24, entonces la altura trazada
con respecto a la hipotenusa mide 5 .
6
4. ____Según el teorema de Fermat, solo es
posible establecer que existen números
naturales tales que an + bn = cn, cuando
n = 2.
5. ____El dominio de la función seno es R.
6. ____El recorrido de la función secante es R.
7. ____Se puede calcular la altura de un árbol si
se sabe cuál es el ángulo de elevación
con el cual alguien lo mira y a qué
distancia del árbol está el observador.
8. ____No todas las identidades trigonométricas
pueden ser demostradas.
9. ____La pendiente de una recta se calcula como
la cotangente del ángulo de inclinación.
10. ___sen −1 x = 1
sen x
II. Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Si la figura está formada por un triángulo
rectángulo y un paralelogramo, entonces ¿cuál
es el perímetro y el área de la figura achurada?
x
x
0
4
x
a. ¿De cuál de las intersecciones de la recta L
está más cerca M? Justifica tu respuesta.
b. A qué distancia se encuentra M del origen.
c. Determina las coordenadas de M.
d. Encuentra el ángulo de inclinación de la
recta perpendicular a L y que pasa por M.
3. Uno de los catetos de un triángulo mide x
unidades, y el otro, dos unidades más que
este. La suma de ellos es 32 unidades. ¿Cuál
es el valor de sus proyecciones?
4. De un triángulo rectángulo, se sabe que la
altura perpendicular a la hipotenusa es de 32
unidades de longitud y que la proyección
menor vale la mitad de ella.¿Cuáles son los
valores de los catetos?
5. Se han juntado dos rectángulos de anchos x e
y, para formar un cuadrado de 256 cm2. Se
solicita que tú construyas un triángulo
rectángulo, donde x e y sean las proyecciones
de sus catetos sobre la hipotenusa x + y. Indica
las medidas de los catetos.
x
y
144 cm2
8u
4u
2. Considera la figura que a continuación te
presentamos, y conforme a lo que has
aprendido en esta unidad, responde:
6. Dispones de un papel de regalo listado
rectangular que se ha pegado a una rampa,
tal como se muestra en la figura. ¿Cuál es la
superficie de este papel de regalo listado?
176
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12. Demuestra la siguiente identidad
37 mm
13. Se desea dibujar una recta, cuyo ángulo de
inclinación sea de 70° y contenga a (1,2) y
(2,5). ¿Es posible esta situación? Justifica
tu respuesta.
684 mm
410 mm
7. Si ∆ ABC es rectángulo y a : b : c = 13 : 12 : 5,
entonces:
a. ¿Cuánto vale el cociente entre la suma del
coseno del ángulo en B más el seno del
ángulo en C, y la tangente del ángulo en C?
b. ¿Qué relación se puede establecer entre el
resultado anterior con el seno del ángulo
en B?
8. Si en un triángulo rectángulo, donde uno de sus
ángulos agudos mide 23°, se tiene que
cotg 23 = 2, 36, entonces ¿cuál es el valor del
producto entre la secante de 67° y la cosecante
de este mismo ángulo? Usa dos decimales en tu
desarrollo y para tu respuesta.
9. Evalúa, usando calculadora, las expresiones
5 sen 13
5 cotg 13
. Compara ambos
y
2
sec 13
cosec 13
(
)
resultados. ¿Qué concluyes?
10. Encuentra la hipotenusa y el área del
triángulo mayor, siendo h una de sus alturas.
100 mm
80°
L‘
–2
110°
0
15. La figura presenta una circunferencia de
centro O. A dista 11 cm del punto T. Usando
aproximación a dos decimales en tus
cálculos (considere π = 3, 14), responde:
a. Verifica que la distancia de A al centro O
es 11,39 cm.
h
11. En un triángulo rectángulo las proyecciones
de los catetos sobre la hipotenusa son 4 y 9,
y h la alturaa respectiva.
Encuentra
los valores
b
c
=
=
α
y
b
de los ángulos
y β, haciendo
solamente uso
sen α sen
sen γ
de trigonometría.
h
L
b. ¿Cuál es el perímetro del sector
circular coloreado?
70°
a
b
c
=
=
sen α sen
α β sen γ
14. En la gráfica, L’ intersecta al eje x nueve
unidades a la derecha de lo que hace L. ¿Cuál
es el valor de las proyecciones de los catetos
sobre la hipotenusa si se traza la altura del
triángulo con respecto al eje x? ¿Y las
medidas de los catetos?
UNID AD 4
cos2 x + sen2 x
= sec x ⋅ cosec x
sen x ⋅ cos x
0
T
15°
A
III. Resuelve los siguientes problemas:
1. Bicicletas “Velocicleta” ha arrendado un terreno
rectangular, para mostrar la próxima línea de
bicicletas desmontables aptas para toda la
familia y naturalmente para aficionados y
profesionales del circuito. Para la exhibición
han ideado el trayecto trazado en línea
continua y será autorizado siempre y cuando
177
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no supere los 700 m de longitud; de lo
contrario, por un tema de seguridad, deberán
arrendar otro terreno. ¿Es factible ocupar este
terreno con este circuito?
90 m
160 m
Final
120 m
Partida
9,08 m
5m
7,50 m según
Juan José; por tanto,
no hay fallas de ensamblaje
2. Juan José, encargado de la producción del
evento “Alta costura primavera-verano 2012 de
la colección de Coutto Disegnattore”, tuvo serios
problemas, ya que se produjo un accidente que
desencadenó en la caída de varios modelos.
Según los modelos, la razón del accidente
fueron los errores en la medición de las tarimas
del escenario, debido a esto hubo un mal
ensamblaje. Juan José defiende su trabajo y les
muestra sus bocetos y cálculos:
2,5 m
2m
13,70 m según Juan José; por tanto,
no hay fallas de ensamblaje
7m
2,5 m
¿Quién tiene la razón? ¿Juan José realizó bien
los cálculos? Justifica tu respuesta haciendo
los cálculos nuevamente.
3. Adela y Adelaida están preparando su próxima
prueba de Matemática y para ello responden las
preguntas dadas por su profesor. De esta manera,
una de ellas pregunta y la otra responde.
–Lee en voz alta –dice Adelaida–, para que lo
sepan incluso los que leen este texto.
–Bien. ¿Están todos atentos?... “En una
circunferencia se inscribe un triángulo
rectángulo cuyo lado mayor mide 26 cm y el
menor; 10 cm ¿Cuál es su área?
4. Ivo e Ivonne están en la clase de laboratorio de
Química General, y han hecho una serie de
medidas de volúmenes con agua destilada. Entre
tantas mediciones iban llenando diferentes
cubos con uno que tenía Ivo y otro cubo que
tenía Ivonne, en todos ellos la medida de las
aristas eran números naturales. Sin botar líquido
fuera de ellos, nunca lograron llenar exactamente
alguno: o les faltaba o les sobraba agua. Ivo e
Ivonne olvidaron que matemáticamente esto es
imposible. ¿Por qué?
5. “¡Hay que tener una buena disposición para que
todo te resulte bien, Clarita! Tú quieres que te
construya aproximadamente un ángulo de 47°
en tu hoja blanca, sin transportador, solo con
escuadra graduada y calculadora. ¡Es fácil! Todo
se resuelve formando un “triángulo estratégico”.
Dibujas un trazo de medida conocida. Elige
cualquier extremo de este, para que sea el
vértice de ángulo. En el otro extremo, levanta
una perpendicular. Pero ¿qué medida debiera
tener esta? Bien, usa ahora tus conocimientos
de trigonometría y tu calculadora...
Clarita cambió su rostro de desagrado,
completó el triángulo e indicó correctamente
el ángulo de 47°”. Ahora te toca a ti... Sigue
todos los pasos sugeridos y construye, de esta
manera, un ángulo de 47°.
6. “Cuando uno está estudiando una carrera
profesional, no puede equivocarse de esta
manera, “futuros científicos”. ¿A quién se le
ocurrió que el inverso de la razón coseno es la
razón seno? Y peor aún, ¿que se podían calcular
las razones trigonométricas de un ángulo de 70º
en un triángulo cuando dos de sus ángulos
interiores miden 70º y 30º ?” Tú que sabes
trigonometría, ¿qué errores imperdonables
cometieron estos alumnos y alumnas?
7. –“No joven, ya no usamos esa ruta que usted
me dice”– le dijo el chofer del taxi colectivo
local, al último pasajero que transportaba al
pueblo vecino. ¿Se acuerda que tomando el
camino “El Alba” se recorrían, 19 km y medio de
pura tierra y después había que doblar en una
punta bien peligrosa para tomar el camino “Los
Almendros”, de 25 km pedregosos, y así llegar a
la entrada principal del pueblo? Pues bien,
ahora han construido este camino de asfalto y
mucho más corto. –Ah... ya lo veo
–dijo el joven–, este camino es perpendicular a
“El Alba” y forma un triángulo con “Los
Almendros, ¿se fija? Con estos datos, responde:
a. ¿Cuál es el valor aproximado del ángulo
formado por los caminos “El Alba” y
“Los Almendros”?
b. ¿Cuántos km de camino se ahorra por el
camino asfaltado?
8. Las parejas de cueca del grupo “Aires de nuestra
tierra” están bailando en la Plaza de Armas, como
178
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9. –¡Ah, qué alivio, haber encontrado la fórmula
la fórmula que convierte los grados
Fahrenheit (TF ) en grados Celcius (TC )...”
Además en las fórmulas las t deben ser
mayúsculas. Yo sabía que la tenía guardada en
mi cuaderno de Física del año pasado. La voy a
volver a escribir:
(T − 32)
Tc
= F
100
180
Dicen que esta ecuación representa una recta
y que debo graficarla y determinar su ángulo
de inclinación. ¿Cuánto medirá dicho ángulo?
10. –Oye, ¿nos estamos comunicando? –Sí, creo...
dímelo de nuevo para tratar de visualizar el
triángulo ABC del que me hablas. La suma de
dos de sus ángulos, los que están en los
vértices B y C es 150º...
Además, el ángulo en A tiene por uno de sus
lados, el lado mayor del triángulo. Desde el
vértice C se ha trazado una altura respecto al
lado AB, que mide 20 cm. En C está el ángulo
mayor y el lado AB, opuesto al vértice C, mide
45 cm. –¿Qué?, ¿necesitas saber la medida
exacta de los otros ángulos interiores para
desaparecer?, ¿que nuestros lectores te pueden
ayudar a calcularlos?... Te faltan milenios de
experiencia... ya aprenderás a desaparecer sin
usar los triángulos, amigo fantasma.
Ayuda al fantasma y calcula los ángulos pedidos.
11. En la feria de diversión está un tradicional
juego tiro al blanco: una cinta móvil de patos
fijos y que se mueven hacia adelante.
Flavio, de quince años, tiene muy buenos
aciertos. Aconseja a uno de sus amigos que lo
acompaña que primero mire el rifle, que luego
se coloque frente al mesón recto, casi en la
mitad de este. Que se fije en un pato cuando
aparezca, que siga su trayectoria recta hasta
llegar justo enfrente y ahí puede disparar e
impactarlo. Su amigo hizo algunos cálculos
estimativos y bosquejó la siguiente figura.
¿Cuántos metros se desplaza el pato desde que
aparece hasta el momento del impacto?
UNID AD 4
parte de la feria de muestra de folclor. Rodeada
de asistentes que están de pie y son más altos
que ella, Magdalena, ni empinándose logra ver
los pañuelos alzados. ¿Cómo vencer los 30 cm
que se lo impiden? Decide alejarse un metro y
medio hacia atrás y empieza a verlos. ¿Cuál es el
valor del ángulo de elevación con el que
empieza a ver los pañuelos alzados?
6m
28
12. Una pareja de turistas, Max y Susy, están
observando los edificios de la Plaza de Armas
de una ciudad portuaria. Se detienen frente al
renombrado y añoso restaurante “El Castillo”.
“Susy, querida, acá, en el catálogo turístico que nos
dieron, dice que en el terremoto de 1985 parte de la
cúspide se cayó y disminuyó en 4 m por los trabajos
de reparación. Con este ángulo en que estoy
mirando podré hacer una buena filmación.
Max observa el borde superior del edificio con
sus binoculares y exclama:
¡Una cornisa por desprenderse! ¡No puede ser!
Con este ángulo lo veo nítidamente.
Decide avanzar 6 m para cerciorarse. –¡La
cornisa está por caerse! Susy, llama urgente a un
carabinero o a alguien que nos ayude”. Los
turistas no saben de trigonometría... pero tú
los puedes ayudar...
Si estaba inicialmente a 25 m de la base del
restaurante, antes de avanzar, y miró con 40°
de elevación:
a. ¿Con qué ángulo miró la segunda vez?
b. Estima la distancia del borde superior del
restaurante con respecto del lugar donde
Max lo observó la segunda vez:
c. ¿Cuál era probablemente la altura de “El
Castillo”, antes del terremoto de 1985?
13. “Mira, Rómulo, tú como buen abogado eres
muy diestro en leyes y te voy a mostrar aquí
mismo, en el terreno, que yo lo soy haciendo
cálculos. Como estamos a campo abierto y
discutiendo sobre un terreno triangular, puedes
mirar hacia adelante y ¿ves aquel árbol?, ¿ese
nogal? Pues bien, de aquí hasta allá hay 500
metros. Ahora bien, vamos a girar a la izquierda,
mira la cantidad de grados con que lo hago.
Toma nota, por favor. Ahora, usando mi
179
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2/11/11 17:21:33
distanciómetro nuevamente, vamos a elegir el
poste de luz que vez allá para determinar la
distancia. Observa, 634 m... ”.
Suponiendo que el triángulo es rectángulo,
pero no donde están ubicadas las personas.
a. ¿Encuentra el ángulo de giro que se
mencionó en el relato?
b. En el vértice de 90° de este terreno triangular
¿se encuentra el nogal o el poste de luz?
c. ¿Cuál es la medida entre el poste y el árbol?
Justifica trigonométricamente tu respuesta.
14. La guía de Física dice que tenemos que inclinar este
riel de 31 cm a cierta altura para que la pelotita al
ser lanzada desde abajo corra por él y salga
disparada. Será mejor nuestro experimento
mientras más rápido salga la pelotita de la rampa.
“Mira, tenemos dos soportes similares, uno de
ellos da una altura de 21 cm, al ponerlo
perpendicular al piso. Probemos, coloquemos
un extremo del riel en el suelo y el otro
apoyado en la rampa... veamos qué pasa...”.
Después de unos instantes, concluyen que con
ambos soportes funcionan bien, pero que con
el que no mide 21 cm es mejor. Responde:
a. ¿Cuál es el valor de la pendiente y el valor
del ángulo de apoyo del riel con el suelo al
usar el soporte de 21 cm?
b. ¿Cómo debiera ser el valor del ángulo de
apoyo del riel, sobre el soporte, con
respecto a lo mismo, pero usando el otro
soporte en lugar del de 21 cm?
15. Señor, en este momento tenemos un
helicóptero de seguridad que se mantiene
suspendido por sobre los dos edificios de
200 m de altura cada uno, cuyos residentes
ya han sido evacuados. Adelante, le escucho.
–Los movimientos sísmicos continúan... Detálleme
lo que está haciendo, capitán Galdámez.
–Señor, tenemos iluminado el espacio entre
estas construcciones. Así podemos entrar por
la calle que queda en medio, que estimo es lo
suficientemente ancha para que se lleve a cabo
el operativo.
–¿A qué altura está el helicóptero? –A
250 metros. Cuando me comuniqué con ellos,
uno de los encargados de seguridad, Tolosa,
me dijo que estaban observando los bordes
de cada edificio con ángulos de depresión de
65° y 55°.
Correcto, haga los cálculos necesarios para
estimar si se puede realizar el operativo y
comuníqueme de inmediato si es factible.
Recuerde que la distancia entre los edificios no
debe superar los 60 metros.
¿Será posible realizar el operativo? Justifica
usando trigonometría.
IV. Marca la alternativa correcta:
1
1
mm; CD = mm;; la altura
3
7
del triángulo ABC es:
1. En la figura, AD =
B
a. 1 mm
21
d.
b. 21 mm
c.
21
21
mm
2. En la figura p : q = 1 : 2. ¿Cuánto mide el área
del triángulo?
4 cm
p
q
2
b. 16 2 cm
c. 18 2 cm
U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 180
21
mm
21
e. Otro valor
a. 12 2 cm2
180
C
D
A
d. 32 2 cm2
e. Falta información
2
3. En un triángulo rectángulo, la hipotenusa
mide 12 cm y la proyección de uno de los
catetos es tres centímetros menos que ella.
2/11/11 17:21:37
a. 6 3 − 1
b.
c. 6
3 −1
(
3 −1
d. 6 3 − 3
e. 6 3 − 6
)
4. ¿Cuál de las siguientes alternativas es incorrecta
respecto a un triángulo rectángulo?
a. Una de las alturas se obtiene como la raíz
cuadrada de la multiplicación de las
proyecciones de los catetos.
b. No se puede aplicar el teorema de
Euclides referido a la altura a aquellas
alturas que son catetos.
c. El producto de la hipotenusa por la suma
de las proyecciones de los catetos sobre
ella equivale a sumar los cuadrados de
cada cateto.
d. La medida de un cateto es la raíz
cuadrada del producto de la hipotenusa
por su proyección sobre ella.
e. La medida de un cateto se obtiene
multiplicando la hipotenusa por la
proyección del otro cateto sobre la ella.
5. En la figura PQ = 13 u, las coordenadas del
punto P son:
y
P
Q
-7
a. ( −7, 10)
b. ( −7 ;10, 5)
c.
( −7, 12)
-2
D
13 u
A
B
a. 5
13
b. 5
12
12
13
d. 13
12
c.
e.
12
5
8. Al mirar la siguiente figura, se puede
determinar el valor de tg α :
D
C
A
B
(1) ABCD es un cuadrado
a
b
c
=
=
(2) ∆ ABC es isósceles
α yy βb son
sen α y sen
sen γ
complementarios
(1) por sí sola.
(2) por sí sola.
Ambas juntas, (1) y (2).
Cada una por sí sola, (1) o (2).
Se requiere información adicional.
9. ¿Cuánto mide aproximadamente el ángulo x
de la siguiente figura?
x
P
d. ( −7;12, 5)
e. ( −7 ;13, 5)
4, –3, 5
–9, 12, 15
15, 9, 17
8, 6, 14
Ninguno de los anteriores es un
trío pitagórico
e
rd
so
n
te
le
18
b
Ca
Suelo
6. ¿Cuál de los siguientes tríos es pitagórico?
a.
b.
c.
d.
e.
C
10 u
a.
b.
c.
d.
e.
1,5
0
7. En el trapecio ABCD ,aAD = 10
b u y cBC = 13 u .
=
=
Si sen α = 0, 5 , entonces
sen α cos
sen βbes:
sen γ
UNID AD 4
¿En cuántos centímetros supera el cateto
mayor al menor?
a. 31°
b. 34°
m
O
S
T
E
x
15 m
c. 41°
d. 47°
e. 56°
181
U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 181
2/11/11 17:21:46
sen y
= 1, 11, entonces el valor
cos y
aproximado de y es:
d. 51°
a. Menor de 45°
10. Si
b. 48°
c. 49°
e. Mayor de 51°
Evaluación 2
I. Completa cada afirmación con el concepto o
definición según corresponda.
1. En un triángulo rectángulo, la razón
cateto adyacente
de un ángulo
cateto opuesto
determinado representa a 2. La función trigonométrica que tiene por
recorrido el intervalo [ −1, 1] y pasa por el
punto ( 0, 0) es 3. En un triángulo se cumple que la altura es
igual a la raíz cuadrada del producto de las
proyecciones de dos de sus lados sobre el
tercero, si y solo si el triángulo es un
4. Si 2n2 + 2n y 2n2 + 2n + 1 son dos de los
números de un trío pitagórico, entonces el
tercer número es cotg α + 1
se
5. Al reducir la expresión
sen α + cos α
obtiene la razón trigonométrica llamada
6. Si ángulo de inclinación de una recta es 55º,
entonces su pendiente es, aproximadamente, 7. Si cos 67° ≈ 0,39, entonces los valores de
otros dos ángulos cuyo coseno sea este valor
son 8. Uno de los ángulos en que la tangente y la
cotangente de dicho ángulo tienen el mismo
valor es 9. Si se quiere calcular la sombra de un edificio y
se tiene la altura de este, el otro dato
necesario es 10. Las asíntotas de las funciones
trigonométricas se producen porque
II. Resuelve los siguientes ejercicios:
1. En un triángulo ∆ ABC rectángulo en A, la
altura duplica la proyección del cateto menor.
Si la diferencia entre las proyecciones es
quince metros, ¿cuánto miden la altura y él
área de dicho triángulo?
2. 18 cm mide la hipotenusa de un MNP
rectángulo en N. Uno de los catetos mide
cuatro centímetros más que su proyección.
Calcula las medidas de:
a. Los catetos
b. Las proyecciones de los catetos sobre
la hipotenusa
3. En un triángulo rectángulo, la altura mide
12 mm, determinando las proyecciones p y q
sobre la hipotenusa. Si q satisface la ecuación
q2 + 7 q − 144 = 0 , ¿cuáles son los valores de p
y q?
4. a2 + b2 = c2, cuando a, b y c son tríos
pitagóricos. Muestra, con algunos ejemplos,
que si multiplicas toda la ecuación
a2 + b2 = c2 por un cuadrado perfecto, la
ecuación sigue siendo correcta, y obtendrás
los cuadrados de nuevos tríos pitagóricos.
¿Ocurrirá esto mismo si multiplicas por un
número cualquiera? Justifica tu respuesta.
5. Dado el triángulo de la figura, escribe la
siguiente expresión en función de m y n
(
cos 90 − Z
)
sen Z + cos Z
m
z
n
6. Demuestra que:
sec x ⋅ tg x ⋅ cos x ⋅ cotg x = sen2 x + cos2 x
7. Desde lo alto de un acantilado de 100 m
sobre el nivel del agua, el ángulo de
depresión con que se observa un barco es de
24°. Al cabo de un tiempo, se lo vuelve a
mirar, pero con un ángulo de depresión de
10°. ¿Cuántos metros se ha desplazado? ¿Se
ha acercado o alejado del observador?
8. ¿Cuál es la intersección de la recta con el eje y
si pasa por ( −1, 3) y el ángulo de inclinación
es de 72°? (Aproxima la pendiente al entero).
9. Se desea inscribir esta figura regular en una
circunferencia. ¿Cuál es el radio de esta?
182
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2/11/11 17:21:50
5u
14. En la figura, CD ⊥ AB . Determinar los valores
de CD y DB .
C
A
10. En la figura, L y L’ son paralelas. La primera de
ellas tiene por ecuación y = –0,9 x.
25º
13 u
50º
B
D
15. ¿Cuánto valen los ángulos interiores no
señalados del cuadrilátero inscrito?
UNID AD 4
Resuelve este problema haciendo uso de trigonometría:
a. Hallar la distancia que las separa.
b. Escribe la ecuación de L’.
8m
L’
12 m
L
6u
0
11. Para que en un triángulo rectángulo el
cateto opuesto a un ángulo sea la octava
parte de la hipotenusa, ¿cuánto debe medir
el ángulo adyacente a dicho ángulo?
12. Dado el rectángulo ABCD, calcula las
medidas de: ABD y DCE :
D
15 m
III. Resuelve los siguientes problemas:
1. –Mira atentamente mi dibujo –dijo Nora–. He
bosquejado la situación de la carpa que
hemos instalado al medio día. Necesito saber
cuánto miden las sombras que se generan
con los lados, para terminar de planificar mi
negocio. ¿Puedes calcular las medidas
necesarias para mí?
Rayos de luz
perpendiculares al suelo
C
4 cm
E
9 cm
A
Vara de 1,5 m
B
13. La hipotenusa de un triángulo rectángulo mide
61 m y la razón entre los ángulos agudos es
7 : 2. ¿Cuáles son las medidas de los catetos?
Vara de 2 m
Suelo
2. –Mira, Daniel, no olvides que la idea es que
hagamos los ensambles y las soldaduras
fijándonos en que quede lo mejor posible
para que el día de la presentación nuestras
aguas danzarinas vayan a la par con la música
y sin olvidarse de las reglas del concurso. No
olvidemos que esta maqueta demo tiene
que ganar.
183
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2/11/11 17:21:52
Para ello, hice un bosquejo de lo que tenemos:
Te explico la figura, la cual forma la parte superior
de la que será la pileta con su salida de agua:
La parte continua es la cañería visible por donde el
agua provendría de los extremos de este trazo y
ascendería por el tubo vertical. Arriba iría el
rociador giratorio. El agua sale esparcida y debe
alcanzar la zona marcada con doble línea al caer.
Pero tengo mi duda. Si la cañería alimentadora
del dibujo es de 2 m y justo en la mitad
instalamos la cañería vertical, no sé qué largo
debiera tener esta cañería para que formara una
punta recta (90°), donde va el rociador, en el
triángulo que terminé de formar con la línea
punteada. Entonces, Daniel, resuelve el problema
para que yo siga revisando el proyecto.
¿Cuál es el valor correcto al que Daniel
debiera llegar?
3. Hola, yo soy Nora y vengo a recordarte un
poco uno de los teoremas de Euclides. Pon
atención al problema: “Estoy en la cima de
una colina de altura de 30 m y tú estás
parado en uno de los extremos de las faldas
de la colina. Imagina que bajo de manera
perpendicular al suelo por medio de la colina.
Luego camino en línea recta 55 m. Las
laderas por las que subiríamos a la cima
forman un ángulo recto.
Haz un bosquejo de la situación y responde
a. ¿Cuántos metros tienes que caminar para
alcanzar la cima por la ladera?
b. ¿Tienes que caminar más que yo si subiera
por ladera opuesta a la tuya? ¿Por qué?
184
4. –Srta. Julia, le prometo que no le copié a
Joaquín el ejercicio de encontrar tríos
pitagóricas, como él dice. Claro, yo dije en voz
alta que uno de los naturales que iba a elegir
para reemplazarlo en la fórmula era 4 y que
así, haciendo 2 xy, obtenía 104... pero no,
U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 184
nunca copié, fue solo coincidencia. La Srta.
Julia lo mando a hacer todo el desarrollo en la
pizarra. Hazlo tú en tu cuaderno y encuentra
el trío pitagórico mencionado.
5. En el casino, Yasna y Jessenia observan de
lejos a la señora Madama.
–¡La Madama debe tener sus secretos en los
juegos! –dijo Jessenia.
–Sí, claro... ¿Porque de dónde se explica tanta
fortuna en los juegos del casino? Me
contaron que consulta a un hombre que sabe
mucho de cálculos.
–Yasna, ¿te cuento un secreto? Este papel se
le cayó a la Madama cuando fue al baño. Pero
no lo entiendo.
–¡No, no me digas! Busquemos un lugar más
recatado y veámoslo...
El papel decía así... resuelve tú este acertijo...
“Para lunes, miércoles y viernes usar X impar y
x2 − 1
mayor que 1, seguir con
y terminar
2
x2 + 1
con
2
Para los otros días X par mayor que 2,
2
2
continuar con x − 1 y finalizar x + 1
2
2
Siempre formar tríos de especial belleza y
suerte. Domingos no se juega”.
Elige las fórmulas entregadas, y conforme a
ellas forma tus propios tríos. ¿Qué relación
puedes establecer entre los números de cada
trío? Verifícalas con tus tríos.
6. –¿Recuerdas, Antonio?... donde cayó el
supuesto meteorito, la erosión ha
transformado el forado casi en un perfecto
cilindro recto de 12 metros de diámetro.
Cuando Elías bajó por una de las paredes del
forado y sin las protecciones adecuadas, rodó
hasta el centro. Al momento de sentir sus
gritos, acudimos todos. Pasado el susto, desde
el centro, Elías clavó la estaca para amarrar un
cable hasta uno de los extremos superiores
del pozo. El cable se tensó ocupando
13 metros. Ahora, me puedes ayudar y
decirme ¿cuál es el valor del ángulo que
formaba el cable y la pared del pozo?
7. –“Estábamos sentados en el pasto, Silvia y yo,
tomados de la mano y mirando las estrellas”.
De repente, sale de entre nosotros una luz
resplandeciente que parecía una persona,
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8. Jacinto y Emelino están en un desacuerdo
respecto a la información entregada sobre la
torre Entel. Me enviaron una foto de la torre
de telecomunicaciones, donde me indican
que el ángulo de elevación de una medición
a 70 m de la base es 57, 37°. Además,
sabemos que la altura de la Torre Entel es de
127,35 m desde su base.
–Jacinto, mira, si hago los cálculos obtengo
que, a esa distancia, el ángulo de elevación
debería medir 61, 20° y no el que indican. ¿Se
deberá a que la base de la torre está
considerada varios metros bajo tierra? –Así es,
Emelino. ¿Puedes determinar cuántos metros
más bajo está dicha base?
9. El guardia de la instalación de la fábrica de
aceite que queda cerca de mi casa es muy
amigo de los animales. En su lugar de trabajo
hay una perra guardiana cuyo nombre es
Laika y acompaña a los guardias en sus
rondas. Él la recogió de cachorra, la ha
alimentado y la ha entrenado para dar saltos,
ocupando parte de su tiempo libre para esto
último. Con el tiempo, la proclama la mejor y
más fiel perra guardiana. Un día me mostró la
siguiente armazón de madera para el
trayecto de entrenamiento de Laika. Le ayudé
con mis conocimientos escolares e hice el
siguiente bosquejo:
La trayectoria para el
entrenamiento de Laika
altura
(cm)
110
70
50
20
0
2535
75 90
120 130 160
desplazamiento (cm)
Pero me olvidé de escribir el valor de los ángulos
señalados, importantes para los impulsos de
subida y bajada de Laica. Te pido que tú, amigo
lector, lo escribas correctamente
10. –Flor, te dejo este problema para que lo resuelvas,
y escribas el desarrollo completo de la respuesta.
No te alcanzo a esperar más, porque voy ahora al
examen de resistencia física. He aprobado todo
hasta el momento, pero mañana viene el test de
Matemática y tengo susto.
El triángulo ABC es rectángulo en C. CM es
una transversal de gravedad. ¿Cuánto vale el
ángulo formado por la altura y la transversal
de gravedad?
UNID AD 4
caminó cerca de diez metros alejándose de
nosotros en línea recta, desde allí nos miró y
se elevó en forma perpendicular al suelo. A
una altura de veinte metros desapareció”. El
público que estaba escuchando atento este
relato se conmovió. El entrevistador del
programa “Episodios sin explicación”
preguntó, entonces, a los panelistas invitados,
¿qué ángulo permitiría ver desaparecer a esas
extrañas y supuestas personas? Calcula tú
dicho ángulo.
C
8u
6u
A
D
M
B
Gracias de antemano, Florcita. Lo voy a pasar a
buscar a la casa de tu mamá a las 19:00 hr...
tengo que quedar admitida en la institución.
Chao, Dorys.
Como tú sabes trigonometría, te pedimos
que ayudes a estas amigas con la respuesta.
11. Dos estaciones de rescate, que están en
paralelo, comparten información sobre una
señal de auxilio emitida por un barco y que
ambas han recibido simultáneamente.
–Recibido, estación B, 27° Noroeste es la
medición de ustedes; la nuestra es 45° Noreste.
–Comprendido estación A. Ya enviamos
helicóptero de rescate.
–Confirmamos 180 km horizontal de
distancia entre nosotros. Adelante, estación B.
–Correcto. El helicóptero dice que hay neblina
solo alrededor del barco y ahora de noche se ve
iluminado. ¿Cómo es eso?
–Más aún, nos informan que están acercándose
y escuchan una maravillosa música de fiesta...
Eh, desaparecieron barco y helicóptero de
nuestro radar...
–Pero en estos mares del Sur de Chile no es
común que eso ocurra... Esperen, acá pasa lo
mismo... desaparecieron... Oigan, no creo
que sea...
–¡El Caleuche!
185
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2/11/11 17:21:54
Puedes buscar más información acerca del “El
Caleuche”, pero ahora te pedimos que nos digas
¿a qué distancia está, de ambas estaciones, el
barco aludido? Ayúdate con la figura adjunta.
Barco
N
45º
O
Estación A
S
x
x
N
27º
180-x
Estación B
15. –¿Viste la nueva rampa de patinetas del
barrio? –Sí, Carlos, pero estoy seguro de que
la hizo alguien que no entiende mucho o
que quiere deportes extremos. En vez de
construir una que se parezca a una parábola,
esta se parece a un trapecio rectángulo
como el del bosquejo siguiente:
2m
E
5m
S
12. –Esto de andar en parapente es muy
entretenido, pero me da mucho miedo. Yo no
sé cómo puedes pensar allá arriba... ¿qué me
decías? –Te decía que estábamos a
250 metros de altura y que el ángulo con
que mirábamos aquella casa era de
aproximadamente 22 . Ahora dime ¿a
cuántos metros de nuestra posición se
encontraba la casa?
13. Manuela es seleccionada de gimnasia artística
en su colegio y hoy ha tenido una clase práctica
sobre las barras asimétricas. El dibujo que les
entregó su entrenadora fue el siguiente:
13 m
¿Me podrías ayudar a calcular el ángulo con
el que se desciende la rampa y el trayecto
que debo recorrer para descenderla?
IV. Marca la alternativa correcta:
1. ¿Cuál(es) de los siguientes triángulos es (son)
rectángulo(s), según los datos de la figura?
Au
6u
II.
1,9 m
1,4 m
1m
Ella les pidió calcular el ángulo α de la figura
y la medida de la distancia que une ambas
barras en diagonal, para luego comenzar con
su rutina. ¿Cuáles son las medidas a las que
debe llegar Manuela?
14. –Orlando, ¿me puedes ayudar acá? –Sí,
Paulina, ¿qué necesitas? –Necesito afirmar
muy bien esta escalera de manera de poder
subir por ella sin problemas. Fíjate, la escalera
mide 5,4 metros de largo y si coloco uno de
los extremos en el borde de la torre a la que
quiero llegar, esta forma un ángulo de 40°
con el suelo. –¿Cuál es el problema? –Es que
cuando comienzo a subir, ella se dobla en el
medio y me da mucho susto, se va a romper.
–Bueno, necesitamos un soporte paralelo a la
torre justo en el medio de la escalera...
¿Cuánto deberá medir?... Calcúlalo tú.
6u
A
C
C
I.
72 u
72
1 u
6 u2 u 7 12
1u2 u
C
4u
6u
9u
a. Solo I
III.
4u
b. Solo II
A
Bu
2u
2u
2u
B
B
c. Solo III
e. Solo II y III
d. Solo I y II
2. En un triángulo rectángulo, uno de los
catetos mide 14 cm y la hipotenusa, 50 cm.
Entonces, la altura trazada con respecto a la
hipotenusa mide:
a. 1,34 cm
b. 1,52 cm
c. 15,20 cm
d. 13,44 cm
e. 16,44 cm
3. En la figura adjunta, ABCD es rombo,
entonces la altura h mide:
D
8
C
12
h
A
B
186
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2/11/11 17:21:56
8
3
e. Ninguna de las
anteriores
d.
4. ¿Cuál de las siguientes afirmaciones es
verdadera con respecto a las funciones seno
y coseno?
a. El dominio de seno es R − y el dominio de
coseno es solo R+
b. El recorrido de ambas es el intervalo ]−1, 1[
c. Para todo ángulo se cumple que
sen α = cos 90 − α
(
)
d. El valor de la función seno es igual al de la
función coseno para el ángulo de 30º
e. La función coseno tiene asíntotas
mientras que la función seno no las tiene
5. ¿Cuál(es) de las siguientes igualdades es
siempre cierta?
1
I. sen 30 + cos 30 = 1 + 3
2
(
)
II. cotg 45 − 3 tg 60 = 3 3 + 1
2
III. cosec 45 − sec 30 = 2 −
3
3
a. Solo I y II
d. I, II y III
b. Solo II y III
e. Ninguna es
verdadera
c. Solo I y III
6. El triángulo de la figura es rectángulo y
3 . Entonces, la hipotenusa mide:
tg α =
3
7. A una distancia de 45 m de la base de un
edificio se observa su techo con un ángulo de
60°. Entonces, la altura de este edificio es:
d. 15 3 m
a. 45 m
b. 45 3 m
c. 2 cm
m
8. El ángulo de inclinación de la recta
6 x − 6 y + 1 = 0 es:
a. 1°
c. 30°
b. 15°
e. 60°
d. 45°
9. Según la figura, ¿cuál(es) de las siguientes
afirmaciones es(son) siempre verdadera(s)?
a
b
c
=
=
sen
α
sen
β
sen
γ
I. sen α = cos b
a
b
c
=
=
sen α
α =sen
tg βb sen γ
II. cotg
a
b
c
=
=
sen
sen βb sen γ
III.sen α
=αcosec
3 cm
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ
a. Solo I
c. Solo I y II
b. Solo II
d. Solo II y III
e. I, II y III
10. El siguiente gráfico corresponde a la función:
a. seno
d. cosecante
b. coseno
e. cotangente
c. tangente
y
15
10
–3p –5p/2
b. 3 cm
3
c. 45 m
3
3 cm
a. 2 3 cm
15
e.
UNID AD 4
a. 8 2
3
b. 8 2
c. 4
3
d. 6 cm
e.
3
cm
2
–2p –3p/2
–p
–p/2
5
–5
x
p/2
p
3p/2
2p 5p/2
3p
–10
–15
187
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2/11/11 17:22:05
Solucionario de la Unidad
Actividades de refuerzo
I. 1.
2.
3.
4.
5.
6. 19, 47
7. sec2 α
Dicho cateto
3 cm
6 y 10
cotangente del
ángulo
21
5
9. 67, 38
10.seno y coseno
II. 1. h = 77 cm; A = 9 77 cm
3. p2q + pq2 pq ( p + q )
=
h2
h2
pq ( p + q )
Como h2 = pq
pq
= p+q
=c
4. Sí, los lados son 13 mm, 84 mm y 85 mm.
Además, se cumple que 132 + 842 = 852
5. Que dicho resultado no se puede expresar como
una potencia quinta de algún número natural.
6. 19, 17 cm
7. a. 44º es el valor del ángulo del vértice C.
b. x = 120; como el otro lado vale 695, se
tiene que sen 44 = 0, 695 .
4 65
4 65
; cos y =
;
65
65
65
cosec y =
; cotg x = 1, 75
7
8. sen x =
9. 2
10.a = 32, 36 y b = 30, 78
11.37, 32 u
12. 121,84º
1 cosx
⋅
cosx sen x
1
cosx
= sen x ⋅
⋅
cosx sen x
13.sen x ⋅ sec x ⋅ cotg x = sen x ⋅
188
14. y = –2,6 x + 5,2
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10
=1
–2p –3p/2
–p
–p/2
5
x
p/2
p
–5
3p/2
2p
5p/2
3p
–10
2
2. Sí, porque cumple que el cuadrado de la altura
es igual al producto de las proyecciones; d = 4
y
15
8.
6− 3
3
=
15. x = 0 y x = π
III.1. en 38,89 m
2. De Bernardo: 38 m; de Martín: 32,9 m
3. 0,615 cm
4. La altura
5. Nelda ya que estaba a 4 m de él.
6. de 9 cm
7. Solo si son las medidas de los catetos de un
triángulo rectángulo.
8. Que la suma de dos cubos de números
naturales sea un cubo perfecto de otro natural.
9. 188,19 m 10. 23,66 m 11. 6,71 m
12.El largo del trayecto mencionado y la razón
seno, por ejemplo.
13.Escriba
cateto adyacente
hipotenusa
cateto adyacente
⇒ hipotenusa =
cos 40
cos 40 =
14.Aproximadamente 41º
15.Aproximadamente 40º
IV.1. d
3. b
5. c
7. e
9. b
2. a
4. d
6. a
8. e
10.a
Ficha de refuerzo
5
12
12
, cos α = , cotg α =
13
13
5
13
13
sec α = , cosec α =
12
5
I. 1. sen α =
2. 37º
2/11/11 17:22:12
3. 56, 90, 106
C
g
II. 1. Para los lados, 7, 24 y 25, los ángulos son:
16, 26; 73, 74 y 90
b
2. 5,91 m
3. 69,44°
(
2. l = 2 r sen 22, 5
3.
1 − sen x ⋅ cos x sen2 x − cos2 x
⋅
(sec x − cosec x ) cos x sen3 x + cos3 x
Por lo tanto
(sen x + cos x ) (sen x − cos x )
1 − sen x ⋅ cos x
⋅
(sec x − cosec x ) cos x (sen x + cos x ) seen2 x − sen x ⋅ cos x + cos2 x
(
(sen x + cos x ) (sen x − cos x )
(1 − sen x ⋅ cos x ) (sen x − cos x )
⋅
(sec x − cosec x ) cos x (1 − sen x ⋅ cos x )
(sen x − cos x )
=
=
cos x
1 −
sen x
/ sen x
/ sen x
(sen x − cos x ) sen x
(sen x − cos x )
= sen x
4. coseno y secante
II. 1. 79,82 m
)
2
x + cos2 x − sen x ⋅ cos x
(sen x + co x ) sen
1
=
=
b
2. Sea ABC un triángulo cualquiera como el de
la figura:
B
h
h'
sen α = fih = b sen α senβ = ⇒ h ' = csenβ
b a
c
b
c
=
=
h
h'
β sen
sen b = sen
fihα= a sen b
senγ = ⇒ h ' = bsenγ
a
b
fia sen b = b sen α
⇒ bsenγ = csenβ
a
b
c
b
c
=
fi
⇒
=
=
sen α sen βb sen γ
senβ senγ
)
cateto = 2 x 4 + x 3 − 3 x 2 − x + 2
cos x
1 −
sen x
(sen x − cos x )
h’
c
A
4 x3 + 2 x2 − x − 2
x −1
I. 1. q =
,p=
,
2 x +3
2 x +3
(1 − sen x ⋅ cos x ) ⋅
=
(sec x − cosec x ) cos x
a
a
Actividades de profundización
=
h
UNID AD 4
4. 14, 5
a
b
c
=
=
sen α sen β sen γ
3. 13,10 y 20,24 km 4. 52,29 m
Evaluación 1
I. 1. V
3. F
5. V
7. V
9. F
2. V
4. V
6. F
8. F
10. F
II. 1. P = 24 5 u y A = 32 5 u2
2. a. Más cerca de la intersección con el eje y a
1,8 unidades versus las 3,2 unidades que lo
separan del otro extremo.
b. 2,4 unidades.
c.
3.
(1, 44 ;1, 92)
d. 53º, aproximadamente.
225
unidades y
514
4. 16 5 y 32 5
5. 4 7 cm y 12 cm
4 7 cm
x
289
514
unidades
12 cm
y
144 cm2
189
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2/11/11 17:22:18
6. 280 850 mm2
7. a. 24
13
b. Es el doble del valor del seno del ángulo en B.
6. El inverso de la razón coseno es secante. El
triángulo mencionado no es rectángulo.
9. Son iguales
10.
8. 0,17
10. La hipotenusa mide 104,8 mm y el área
solicitada es 911,8 mm2
a
=
b
=
c
7. a. 39°
8. 11°
9. 29°
C
sen α, 69sen
sen, 31
γ .
11. αª33
ybβ ª56
os2 x + sen2 x
1
1
1
=
=
⋅
= sec x ⋅ cosec x
sen x ⋅ cos x
cos x ⋅ sen x cos x sen x
13. No es posible, porque para poder contener
dichos puntos, el ángulo de inclinación
debiera ser de 71,56°.
14. Proyecciones: 7,95 y 1,05 y los catetos:
8,46 y 3,07
r
fir ª2, 95 cm
15. a. tg 15 =
11
2
fi AO = 2, 952 + 112 fi AO = 11, 39 cm
b. 9,76 cm2 (nota: el radio mide 2,95 cm)
III.1. Sí, porque mide 694 m
2. Juan José ha cometido errores en las
mediciones. Las medidas son 7,58 m y
13,77 m. Por tanto, las modelos y los
modelos del evento que sufrieron accidentes
tienen razón.
4. Las sumas de los cubos de Ivo e Ivonne no
resultan cúbicas. Esta imposibilidad está
garantizada por el teorema de Fermat.
5. Si el trazo mide 3 cm, la perpendicular
medirá 3,22 cm
20 cm
30º
11. 3,19 m
12. a. 47,82°
22,52 cm
62,62º
45 cm
B
b. 28,30 m c. 24,97 m
13. a. 38° aprox. b. El nogal
c. 389,81 m
14. a.El valor de la pendiente es 0,92 y el valor del
ángulo de apoyo mencionado es 42,64º.
b. El ángulo de apoyo del riel sobre el
soporte de 21cm es 47, 36. Por tanto, el
valor del ángulo de apoyo del riel sobre el
otro soporte es mayor que 47, 36.
15. 58,32 m, se puede realizar el operativo.
IV.1. D
3. E
5. E
7. C
9. B
2. A
4. E
6. E
8. D
10.B
Evaluación 2
I. 1. cotangente del ángulo
3. triángulo rectángulo
4. 2 n + 1
α ª33, 69
5. cosec a
6. 1,4
7. 247° y 427° 8. 45°
9. El ángulo de elevación al extremo superior
del edificio.
10. Para los ángulos donde se producen las
asíntotas, las funciones trigonométricas no
están definidas.
3,22 cm
3 cm
U4 GUIA MAT 3M (150-193).indd 190
A
40 cm
2. seno
3. 120 cm2
190
87,38º
2
2
1
1
1
12. cos x + sen x =
=
⋅
= sec x ⋅ cosec x
sen x ⋅ cos x
cos x ⋅ sen x cos x sen x
b. 28,86 km
47°
II. 1. 10 m; 125 m2
2. a. 12 cm y 6 5 cm o 6 cm y 12 2 cm .
b. 8 cm y 10 cm o 2 cm y 16 cm.
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4. No, solo sucede con cuadrados perfectos
2
porque n2a2 = ( na )
5. m
m+n
6. sec x ⋅ tg x ⋅ cos x ⋅ cotg x
1 sen x
cos x
⋅
⋅ cos x ⋅
cos x cos x
sen x
=1
=
Pauta de evaluación sugerida para
evaluaciones 1 y 2
Esta pauta puede aplicarse para obtener el
porcentaje de logro, transformarlo a calificación y
también para evaluar cada ítem pedido.
Puede parcelar la evaluación como trabajo
individual en varias clases y luego promediar la
calificación o los porcentajes de logros obtenidos.
Complete la tabla adjunta:
= sen2 x + cos2 x
Puntaje
obtenido
Indicador
7. Se ha alejado 342,5 m, aproximadamente
Número de respuestas correctas
obtenidas en el ítem I (verdadero
y falso o completación).
10. a. 5,4 aprox.
Número de ejercicios
correctamente desarrollados en
ítem II (asigne 2 puntos a cada uno)
8. (0,6)
9. 4,25 u aprox.
b. y = –0,9 x + 7,2
11. 172,82°
12. 56,31° y 33,69°
13. 57,32 m y 20,86 m
15. 107,02° y 72,98°
2. 1 m
3. a. 46,86 m
Total
10
30
30
10
80
Para traducir a porcentaje de logro el puntaje
obtenido, use la siguiente fórmula:
b. 39,05 m
4. 153, 104 y 185
Número de problemas
correctamente desarrollados en
ítem III (asigne 2 puntos a cada uno)
Número de alternativas correctas
en ítem IV (asigne 1 punto a cada
una)
14. 9,95 y 4,64
III.1. 0,9 y 1,6 m
Puntaje
total
UNID AD 4
3. 9 y 16 mm.
Porcentaje =
Puntaje obtenido
⋅ 100
80
Para traducir el porcentaje obtenido a nota, puede
usar las tablas que se encuentran en la Unidad 1 de
esta guía didáctica.
5. Forman tríos pitagóricos
6. 27,5° aprox.
7. 63,43°
8. 18 m
9. 108,43º; 104,04º y 104,04º.
10. 16,26º
11. 168, 63 km de Estación A y 133,83 km de
Estación B.
12. 667,36 m
13. α ≈ 63, 43° y d ≈ 1, 12m
14. 1, 73 m aprox.
15. α = 155, 56 ;12, 08 m
IV.1. E
3. A
5. D
7. B
9. C
2. D
4. C
6. A
8. D
10.C
191
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Bibliografía y detalle de links de la Unidad
http://www.dav.sceu.frba.utn.edu.ar/homovidens/Loponte/
ProyFinalLoponte/proyectofinal/historia.htm
Esta página contiene un breve recorrido de la
trigonometría desde hace más de 3 000 años,
transitando en las grandes culturas de la Antigüedad,
los aportes en Medievo y concluyendo en las
contribuciones de Napier y Newton (s XVII) y Euler
(s XVIII). Presenta un link a la página principal
“Trigonometría” y de allí algunos para el estudio
interactivo de seno, coseno y tangente. Esta página
está en el sitio web DAV – Departamento de
Aprendizaje Visual, cuyo objetivo es vincular los
recursos de la Facultad Regional Buenos Aires de la
Universidad Tecnológica Nacional, y las necesidades de
soluciones en nuevas tecnologías aplicadas a la
educación de toda la comunidad educativa.
http://www-ma1.upc.es/recerca/reportsre/0304/
rep030402massa.pdf
Este documento, descargable e imprimible, se titula “La
Historia de las Matemáticas en la Enseñanza de la
Trigonometría: El Teorema de Pitágoras”. Involucra
también un interesante desarrollo geométrico en
la subsección: Los “Elementos” de Euclides. Ideas
trigonométricas.
Finalmente, el documento concluye que el uso de casos
históricos es uno de los recursos que se puede utilizar
para mejorar la motivación, transmisión y adquisición de
los contenidos matemáticos en general. Las autoras son
“miembras del Grupo de Historia de las Matemáticas”.
Una de ellas es la coordinadora, quien pertenece al
Dpto. Matemàtica Aplicada I. Universitat Politècnica
de Catalunya.
http://www.publicatuslibros.com/fileadmin/Biblioteca/Libros/
Tecnicos/Francisco_Luis_Flores_Gil_-_Historia_y_Didactica_
de__la_Trigonometria.pdf
Bajo el título de “Historia y Didáctica de la Trigonometría”,
este documento pdf descargable e imprimible incluye
una breve historia de la trigonometría y se dedica a tratar
los objetivos, metodología, actividades, etc., es decir, los
aspectos didácticos para tener en cuenta en la enseñanza
de la Trigonometría. El autor es Francisco Luis Flores Gil.
Licenciado en Matemáticas. Universidad de Sevilla. (2001).
Al final del documento se encuentra su experiencia
docente y otras de tipo profesional. El sitio web que
alberga este pdf es: www.publicatuslibros.com. Pertenece a Íttakus,
sociedad para la información, S.L. España.
http://www.sectormatematica.cl/excel/Teorema%20de%20
Pitagoras.xls
También, esta hoja Excel es descargable y se llama ”Teorema
de Pitágoras”. Usando precisamente este teorema, permite
calcular la hipotenusa o bien alguno de los catetos.
El sitio donde se encuentra este material pertenece al
sector Matemática, que es un portal chileno educativo
esencialmente matemático.
http://almez.pntic.mec.es/~agos0000/
Aquí Ud. tiene un acercamiento temático a través de los
links de Historia y Biografías. Esta página presenta a
través de link Ayuda, Bibliografía y Enlaces Exteriores a
otras direcciones web, referentes a Historia de las
matemáticas. Esta página es del sitio web a cargo de ITE:
Instituto de Tecnologías Educativas. Ministerio de
Educación. Gobierno de España.
http://soko.com.ar/historia/Historia_matem.htm
Esta página completa le presenta una Historia de las
matemáticas. Ud. puede revisar aquí, especialmente
contexto, en “Las Matemáticas en Europa”. Está página
se ubica en www. soko. com.ar , que es un sitio
dedicado a difundir educación. Este sitio proporciona
links para matemática, física, química y videos
educativos, entre otros recursos.
http://www.geomundos.com/descargas/geogebra-2710_
p163.html),
que permite dibujar triángulos con sus elementos
secundarios e ir modificando los triángulos
moviendo un vértice y ver cómo se mueven los
elementos secundarios.
http://www.juntadeandalucia.es/averroes/iesarroyo/
matematicas/materiales/4eso/geometria/poliedros/poliedros.htm
Es una página completa dedicada al estudio de los
poliedros a través de actividades que incluyen figuras
coloreadas, y algunos poliedros para construir. De fácil y
comprensible lectura, al final presenta un link de
ACTIVIDADES FINALES, consistentes en preguntas y
problemas del tema. Esta página está a cargo de
A. Molina, J.Ma. Fernández y J.M. Barragán. Integrantes
del departamento didáctico de Matemática del I.E.S.
Arroyo de la Miel. Benalmádena (Málaga). España.
http://www.cs.mcgill.ca/~sqrt/unfold/unfolding.html
La particularidad de esta página es que presenta una
animación interactiva que permite plegar, desplegar y
rotar distintos objetos, entre ellos, algunos poliedros.
También hay links para interactuar de similar manera
con otros tipos de cuerpos, como poliedros ortogonales
etc. Dentro de una categoría, la figura debe seleccionarse
previamente en un despliegue que se efectúa al lado del
botón de Pausa. Este ultimo permite detenerla, luego
cliquear y arrastrarla para hacerla rotar. La página está en
inglés, pero para operar con la animación no debiera
presentar alguna dificultad idiomática. Es un trabajo de
investigación de François Labelle bajo la dirección de la
profesora Sue Whitesides. School of Computer Science,
McGill University.
192
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2/11/11 17:22:26
Aquí, usted podrá encontrar la manera de obtener el
área y el volumen de algunos poliedros regulares. Se
incluye una tabla con las fórmulas respectivas.
http://www.luventicus.org/articulos/03Tr001/index.html
Este lugar, con el título de “Los sólidos platónicos”, se
inicia con poliedros regulares y una tabla que resume la
propiedades de algunos de ellos. Sobre la figura que
encabeza cada columna, se puede interactuar para
hacer rotar el poliedro respectivo, a diversas velocidades
y distintas direcciones. Así se le puede apreciar mejor.
Posteriormente se continúa con los poliedros regulares y
los griegos antiguos; los poliedros regulares con
Johannes Kepler, etc. Luego hay una animación
interactiva, con instrucciones para operar con poliedros
inscriptos. Finaliza con los poliedros regulares y con
Maurits Cornelis Escher. El trabajo de esta página está a
cargo del Grupo de Historia de la Filosofía de la
Academia de Ciencias Luventicus. Rosario. Argentina.
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx
?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a028-6a13e6329d3f&ID=137573
Este es un portal de la educación, donde usted puede
conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la
coevaluación y autoevaluación citando la fuente de
procedencia. El material está en pdf descargable e
imprimible. Tiene además links de interés para docentes,
estudiantes y familia, no solo en matemáticas, sino también
para las otras asignaturas o áreas del quehacer educativo.
UNID AD 4
http://perso.wanadoo.es/jpm/poliedros%20regulares/areayvol.html
Bibliografía temática
•Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría
Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London:
Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed.
•Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2006).
Trigonometría y Geometría analítica. Santiago:
Universidad Católica de Chile Ediciones. 2ª ed.
•Mercado, C. (1984). Geometría. Curso de Matemática
Elemental, Tomos III y IV. Santiago: Editorial
Universitaria. 5ª ed.
•
(1984). Curso de Matemáticas Elementales,
Tomo II. Santiago: Editorial Universitaria. 9ª ed.
•
(1981). Test Matemática: problemas para PAA y
Prueba de conocimientos específicos.
Santiago: Editorial Universitaria. 16ª ed.
•Swokowsky, E. y Cole, J. (2001). Trigonometría.
México DF.: International Thomson Editores. 9ª ed.
(2008). Álgebra y Trigonometría con Geometría
Analítica. México DF.: Thomson Editores. 11ª ed.
• Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México
DF.: Pearson. Educación Prentice Hall. 7ª ed.
• Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D.
(2009). Manual de preparación para PSU matemática.
Santiago: Universidad Católica de Chile Ediciones.
9ª ed.
• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de
ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad
Católica de Chile Ediciones. 5ª ed.
Sitios web sugeridos
Otros sitios que puede visitar en relación con
esta unidad.
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.
aspx?&ID=136020&q=teorema de Euclides&site=educarchile
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.
aspx?&ID=136020&q=Trios pitagoricos&site=educarchile
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.
aspx?&ID=136020&q=teorema de Fermat&site=educarchile
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?
&ID=136020&q=trigonometría&site=educarchile
•Cada uno de estos links lo llevará a una página de
Educarchile, que es un portal de la educación, y que
contiene, a la vez, una selección de links a sitios web
que abordan el tema de esta unidad. Algunos de éstos
incluyen ejercicios resueltos y/o propuestos.
Propuesta de actualización de conocimientos
para el docente
http://www.sectormatematica.cl/articulos.htm
Contiene links a diversos artículos para conocer el
pensamiento y trabajo de matemáticos y matemáticas, y
educadoras y educadores del mundo. Los artículos están
en formato Word, pdf, descargables y reproducibles.
También hay otros links internos y externos, como
poesía, revistas, etc.
http://www.elprisma.com/apuntes/apuntes.asp?categoria=704
En el buscador que presenta la página, usted puede ir
por la materia que desee actualizar. El sitio web que la
alberga, es un portal para investigadores y profesionales.
Es una biblioteca virtual de varias áreas del saber:
Ingeniería, Medicina, Matemática, etc. Contiene apuntes y
cursos para la comunidad universitaria. Además, se
pueden encontrar suficientes apuntes en formato Word
y pdf, la mayoría descargables y reproducibles, como los
que se encuentran en este link.
193
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2/11/11 17:22:26
Unidad 5
Probabilidades... un paso más
Presentación de la Unidad
Las probabilidades han jugado un papel importante en la vida de las personas
desde hace muchos años. Es usual usar términos relacionados con este ámbito
de la matemática a diario, es más probable esto que lo otro, tengo pocas o
muchas posibilidades de realizar algo, etc. En esta unidad se quiere abordar el
tema de las probabilidades haciendo énfasis en la diferencia entre la
probabilidad experimental y la probabilidad que teóricamente se puede
calcular. Por otro lado, en la vida cotidiana, que un evento suceda depende de
varios factores, es decir, aquella probabilidad estará condicionada por otros
acontecimientos. Desde este punto de vista se abordará en esta unidad
también el tema de las probabilidades condicionadas.
Se ha querido en esta unidad presentar, a los alumnos y alumnas, la
probabilidad a través de los conocimientos que ellos ya tienen de esta,
mediante un cómic. Así, se dirá que algo probable es algo que puede
suceder, pero que no es seguro. También se ha hecho énfasis en la relación
entre probabilidades y estadística a través de la campana de Gauss del
cómic. Es conveniente ubicar históricamente a los jóvenes, por lo que aquí se
presentan algunos links con los que puede complementar la introducción a
la unidad.
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/Historia%20de%20la%20probabilidad.pdf
http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html
http://www.cirst.uqam.ca/Portals/0/docs/divers/resumen%20LMayer.pdf
El cómic al inicio de la unidad acentúa la idea de que “Lo probable no es lo
que necesariamente ocurrirá”. Puede ser nuevamente usado durante el
transcurso de la unidad. Puede utilizarse buscando respuestas a preguntas
como, ¿Qué puede pasar? ¿Qué debiera pasar?
En segundo medio se abordan las probabilidades teóricamente a través de
la regla de Laplace. Para retomar el tema de probabilidades es necesario
volver sobre estos conceptos y recordarlos, de manera que ellos sean
naturales para los alumnos y alumnas y se puedan abordar nuevos
contenidos relacionados a este. Es por esto que se ha querido tratar este
tema en los conocimientos previos.
Aquí se presenta la idea de probabilidad: ¿Qué se entiende por probabilidad?
Según el diccionario de la Real Academia Española, probabilidad es:
“Cualidad de probable, que puede suceder”; por lo tanto, diremos que la
probabilidad de que ocurra algo es la posibilidad de que esto suceda.
Obsérvese que se destacan palabras y expresiones como: “cualidad”,“cualidad
de probable”, y que se emparentan con la expresión “posibilidad”,“posibilidad
de que algo suceda”. Lo interesante del cálculo de probabilidades es que
“cuantifica esta cualidad de probable”. Además, se incluye en esta revisión de
conocimientos previos un resumen de los contenidos relacionados con
probabilidad y regla de Laplace y algunos ejercicios resueltos. Finalmente, se
194
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propone una actividad para realizar en grupo diferentes ejercicios. Recuerde
que también se presenta una evaluación de proceso de manera que cada
alumno y alumna pueda revisar si los conceptos se han aprendido bien y
aplicado de manera correcta en la resolución de ejercicios y problemas.
El mapa conceptual de la unidad es el siguiente:
Probabilidad
Probabilidad
experimental
Ley de los grandes
números
Variable aleatoria
Frecuencia de una
variable aleatoria
UNID AD 5
Es fundamental revisar esta evaluación de proceso de modo que ningún
estudiante comience la unidad sin los conocimientos necesarios.
Cálculo de probabilidades y
aplicación a problemas cotidianos
Objetivos y planificación
Antes de comenzar el desarrollo de los temas de la unidad se deben tener
claros los objetivos y la planificación de la unidad. Presentamos aquí los
objetivos que deben alcanzar los estudiantes a través de la unidad y una
propuesta de planificación para la unidad.
Objetivos Fundamentales de la Unidad
•Conocer y utilizar conceptos matemáticos asociados al estudio de variable
aleatoria, mejorando en rigor y precisión la capacidad de análisis, de
formulación, verificación o refutación de conjeturas.
•Analizar información cuantitativa presente en los medios de comunicación
y establecer relaciones entre estadística y probabilidades.
•Aplicar y ajustar modelos matemáticos para la resolución de problemas y el
análisis de situaciones concretas.
•Resolver desafíos con grado de dificultad creciente, valorando sus
propias capacidades.
•Percibir la Matemática como una disciplina que recoge y busca respuestas a
desafíos propios o que provienen de otros ámbitos.
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Planificación de la Unidad
Unidad 5
“Probabilidades... un paso más”
CMO
Variable aleatoria.
Tiempo de duración
Aprendizajes esperados
21 horas pedagógicas.
Indicadores de evaluación
Reconocer variables aleatorias.
Reconoce una variable aleatoria.
Interpretarlas de acuerdo a los
contextos en que se presentan.
Interpreta los resultados de una
variable aleatoria dependiendo del
contexto de la situación definida.
Simula experimentos e interpreta sus
resultados.
Relación entre frecuencia de una
variable aleatoria y probabilidad.
Relacionar la frecuencia relativa con la
probabilidad de un suceso.
Relaciona la frecuencia relativa de una
variable aleatoria con la probabilidad
de ocurrencia de esta.
Interpreta correctamente gráficos y
tablas en relación con la información
entregada sobre variables aleatorias.
Reconoce la probabilidad establecida
a partir de la frecuencia relativa como
una probabilidad experimental.
Simula experimentos e interpreta sus
resultados.
Ley de los grandes números.
Conocer empíricamente la ley de los
grandes números.
Reconoce la ley de los grandes
números como una aproximación de la
probabilidad experimental a la teórica.
Simula experimentos e interpreta sus
resultados.
Sucesos equiprobables y no
equiprobables.
Distinguir entre sucesos equiprobables Distingue sucesos equiprobables de
y no equiprobables.
aquellos que no lo son.
Cálculo de probabilidades en forma
teórica.
Calcular probabilidades teóricas
usando fórmula de Laplace, utilizando
datos de gráficos y tablas u otros.
Calcula probabilidades teóricas
utilizando regla de Laplace a partir de
tablas y gráficos.
Cálculo de probabilidades mediante
principio multiplicativo para sucesos
independientes.
Calcular probabilidades usando
principio multiplicativo para sucesos
independientes.
Calcula probabilidades usando
principio multiplicativo para sucesos
independientes.
Probabilidad condicionada.
Resolver problemas que involucran el
cálculo de probabilidad condicionada
en situaciones sencillas.
Reconoce sucesos dependientes.
Calcula probabilidades condicionadas
(con sucesos dependientes).
196
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2/11/11 17:25:59
Desarrollo de la Unidad
a)Introduciendo la unidad
•Marta tiene prueba de filosofía, ella ha estudiado, pero no está segura
de sus conocimientos. Ha conversado con un compañero y saben que la
profesora hará su prueba de alternativas. Marta ha decidido que en las
preguntas que no sabe o en las que no esté segura de la respuesta, va a
contestar al azar. Su compañero le ha dicho que ese es un pésimo plan
pues la profesora hace descuentos por las preguntas mal contestadas,
como en la PSU.¿Podría anticipar Marta cuál será la probabilidad de
obtener una nota sobre 4?
UNID AD 5
Algunas de las situaciones que usted puede presentar como introducción
a la unidad son las siguientes:
•Mauricio fue con sus papás al casino como regalo de su cumpleaños
número 18. Ellos comieron en un restaurante que tenía una excelente
promoción y luego jugaron en el tragamonedas los $5 000 que le
habían regalado. Como Mauricio estaba interesado en conocer los otros
juegos fueron a la mesa donde se jugaba ruleta. Allí observó por un
buen tiempo que de cada 4 tiradas, en 3 de ellas salía un número par. Le
dijo a su papá que en las próximas cuatro tiradas el apostaría a par, si
pudiera, y le aseguró de ganaría. Para jugar un rato, el papá le dijo que
no apostarían, pero que él le regalaría $10000 si eso era verdad.
Pasaron las cuatro tiradas y en 3 de ellas salió impar, ¿en qué falló y por
qué falló el razonamiento de Mauricio?
b)Preparando cada tema
A continuación se entregan algunas sugerencias metodológicas para
tratar cada uno de los conceptos y ejercicios abordados en el Texto del
Estudiante. También se hacen notar algunas consideraciones y sutilezas
conceptuales para que el docente tenga presente. Por último, al iniciar la
preparación de cada tema se presenta un cuadro con los OFT tratados y
las capacidades trabajadas según los Mapas de Progreso.
Variable aleatoria... ¿qué es?
(Página 296 del Texto del Estudiante)
OFT
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad a través
de la matemática.
• Análisis de procesos y establecimiento
de relaciones lógicas.
• Resolución de problemas que
desarrollen el pensamiento lógico –
deductivo.
• Discernimiento de resultados en
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al
eje datos y azar son (en niveles 4 y 5):
• Resuelve problemas simples de
probabilidades, conjetura y verifica
resultados usando el modelo de Laplace
y también las frecuencias relativas.
• Realiza inferencias a partir de una
muestra aleatoria, considerando el error
asociado al tamaño de ella.
situaciones cotidianas.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora y simuladores
computacionales).
• Trabajo grupal.
197
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En esta sección se presenta el concepto de variable aleatoria. Una
variable aleatoria es una magnitud susceptible de variar
azarosamente. Es decir, es una variable cuyo valor está determinado
por el resultado de un experimento aleatorio.
Es necesario dar varios ejemplos de la vida cotidiana y no tan
comunes, distinguiendo claramente experimento aleatorio, el espacio
muestral, el suceso. Por ejemplo:
•“Lanzar un dado y anotar el número que aparece”
Experimento: lanzar un dado. Variable aleatoria: número que aparece.
Espacio muestral formado por 1, 2, 3, 4, 5 y 6.
•“Lanzar tres monedas, y ver número de caras que aparecen”
Experimento: lanzar tres monedas. Variable aleatoria: número de
caras que aparecen. Espacio muestral formado por 0,1, 2, 3.
Otros ejemplos que pueden considerarse son:
•El número de minutos que tienes que esperar el bus en el paradero
más próximo a tu casa para ir a tu colegio un día de semana.
•El número de llamadas que recibe el 133 durante un día cualquiera del año
•El número de veces que debes lanzar un dado para obtener un
número 3.
Es posible que un experimento aleatorio pueda tener asociadas varias
variables aleatorias. Por ejemplo, lanzar tres veces un dado puede
tener como variables aleatorias a: el número que aparece al sumar las
pintas; el número de pares que aparece en los tres lanzamientos, la
distancia entre las monedas que están alejadas, etc.
Para puntualizar mejor estos conceptos, se sugieren
las siguientes actividades.
•Buscar siete ejemplos de variables aleatorias de la vida cotidiana.
•Proponer cinco posibles juegos con tres dados, definiendo las
variables aleatorias involucradas.
•Lanzar diez veces tres monedas y medir la distancia entre las que
aparecen más cercanas.
En el lanzamiento de dados y/o monedas varias veces, se supone que
cada lanzamiento está dado en las mismas condiciones, y que son
independientes entre sí. Esto debiera asegurar mínimamente la
validez del lanzamiento. Es por esto, y más allá del número de veces en
que sea necesario repetir un lanzamiento, se usa el simulador de
lanzamientos. Algunos sitios donde puede encontrar simuladores de
dados, monedas y ruletas son:
http://www.ematematicas.net/simulaciondado.php
http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/activities/Prob/Index.html
http://www.emathematics.net/es/simulacionmoneda.php
También se pueden generar números aleatorios usando la función
ALEATORIO de Microsoft Excel, o bien la misma de OpenOffice.org
Calc. Este último es un recurso gratuito que se puede descargar de
http://es.openoffice.org/programa/index.html
198
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2/11/11 17:25:59
Veamos cómo se puede utilizar Excel para generar números aleatorios:
UNID AD 5
Abrir una hoja de de Microsoft Excel
Digitar en la barra: =ALEATORIO(1;10) y luego presionar ENTER,
aparecerá un número. Se ha elegido (1;10), pensando en que
trabajaremos con los 10 primeros números naturales. Usted puede
elegir el rango que más le convenga.
Hacer un barrido de celdas, de manera horizontal o vertical, según sea
su preferencia.
199
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2/11/11 17:26:00
De esta manera usted obtendrá un conjunto aleatorio de números
comprendido entre 1 y 10
Otros conceptos que en esta sección se abordan son los de frecuencia
relativa, sucesos equiprobables y la idea de probabilidad experimental.
Con respecto a la frecuencia relativa, podemos decir que cumple
varias funciones. Por ejemplo, por su carácter relacional, mide la
presencia de un dato dentro del “todo” formado por los datos, a través
de una razón; además, el peso gravitatorio de esta presencia en
comparación con los otros. Esto se cuantifica mejor al referirnos a la
frecuencia relativa porcentual. También, y de manera implícita, explica
la existencia de ese dato. Lo anteriormente expuesto se verá reflejado
en la relación que se establecerá entre los conceptos de la frecuencia
relativa, la posibilidad y la probabilidad, diciendo: “La frecuencia
relativa de un suceso determina la probabilidad experimental de este”
En la página 299, dice: “Llamamos sucesos equiprobables a los que
tienen igual posibilidad de ocurrir. Por lo tanto, serán no
equiprobables los que, por alguna razón, no tienen la misma
posibilidad de ocurrir”.
Es relevante reflexionar sobre la importancia que tienen los sucesos
equiprobables, pues nos dan una característica de regularidad o no de
los sucesos al espacio muestral. Por ejemplo, si al lanzar al azar un dado,
la probabilidad de que un número sea igual que cualquiera otro nos
está dando una regularidad de la manera como debemos sospechar un
resultado. No así cuando el dado está la trucado o cargado.
Cuando todos los sucesos de un espacio muestral son equiprobables,
permite usar la regla de Laplace más holgadamente. De esta manera,
aceptamos como sucesos equiprobables la aparición de cualquier
número en el lanzamiento de un dado. En un segundo momento,
podemos decir que la probabilidad de que aparezca un número par
será igual a la probabilidad que aparezca un número impar en el
lanzamiento de un dado normal. Pero no es necesariamente así cuando
los sucesos no son equiprobables y menos aún si no se conocen, por lo
menos, las relaciones numéricas entre sus probabilidades. Esto es, por
ejemplo, cuando la probabilidad de que aparezca un número impar es
un 70 % de la probabilidad que aparezca un par.
200
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2/11/11 17:26:00
Ahora bien, cuando realizamos experimentos, como lanzar un dado o
una moneda, la probabilidad que obtenemos se llama probabilidad
experimental. Y más operacionalmente, la frecuencia relativa de un
suceso determina la probabilidad experimental de este.
Con respecto al número de lanzamientos que se deben efectuar: ¿Cuál
es el número suficiente o cuál es el número mínimo, si es que existe,
de lanzamientos que se deben efectuar para que la probabilidad
experimental sea muy próxima a la probabilidad teórica?
La respuesta no es tan clara. La probabilidad teórica nace de una reflexión
intelectual, la abstracción de una realidad. Por ejemplo, el lanzamiento de
una moneda no trucada, nada impide pensar que la aparición de una cara
esté privilegiada con respecto a la aparición de un sello. Y por esto, las
posibilidades son las mismas, lo que se traducirá en que estos sucesos
serán el equiprobable. Sin embargo, la probabilidad experimental está
determinada por el carácter aleatorio del experimento.
UNID AD 5
En este sentido y en contraste con lo estudiado anteriormente,
debemos establecer algunas observaciones:
Por ejemplo, en el lanzamiento de una moneda, tras la repetición de
un cierto número de veces, puede aparecer que “salir cara” tiene
mayor frecuencia que “salir sello”. La probabilidad experimental de la
primera, es mayor que la segunda, y puede tomarse como referencia
para decir, simplemente, que la aparición de una cara, y la aparición de
un sello, no constituyen sucesos equiprobables. Aunque la
probabilidad teórica diga lo contrario.
Note que se abordan los contenidos a partir de experimentos que los
alumnos pueden realizar. Es importante que realicen algunos
experimentos para que se acerquen a la idea de probabilidad
experimental. Primero lo harán sin simuladores y luego los usarán.
Queremos destacar que a través del relato los alumnos van intuyendo
los conceptos, mediante sus observaciones en los lanzamientos de
monedas y de dados, aún con un dado cargado, y van intuyendo
también sin darse cuenta, la ley de los grandes números, que se
desarrolla en la siguiente subsección de la unidad.
Note, por último, que las definiciones anteriores están formuladas en
sentido de la posibilidad y no de la probabilidad de ocurrencia del
suceso aludido.
201
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Probabilidad experimental y teórica... ¿se relacionan?
(Página 306 del Texto del Estudiante)
OFT
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad a través
de la matemática.
• Interés por demostrar regularidades
conocidas. Valoración de las
demostraciones lógicas.
• Análisis de procesos y establecimiento
de relaciones lógicas.
• Resolución de problemas que
desarrollen el pensamiento lógico –
deductivo.
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al
eje datos y azar son (en nivel 6):
• Verifica, haciendo uso de recursos
digitales, la proximidad entre la
distribución teórica de una variable
aleatoria y la correspondiente gráfica
de frecuencias en experimentos
aleatorios discretos.
• Realiza inferencias a partir de una
muestra aleatoria, considerando el error
asociado al tamaño de ella.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora, simuladores
computacionales).
• Trabajo grupal.
En esta sección se relaciona la probabilidad experimental con la
probabilidad teórica, mediante la ley de los grandes números. Esta
dice que el valor de la probabilidad experimental (que se obtiene de
realizar un determinado experimento una cierta cantidad de veces)
tiende al valor de la probabilidad teórica de dicho evento, mientras más
veces se repita este.
Detengámonos en algunas consideraciones acerca de este tema:
•Todas las repeticiones pueden y deben efectuarse en iguales
condiciones. Esto es, por ejemplo, que el lanzamiento sucesivo de un
dado no debe sentirse afectado por algún daño físico, forma de
lanzamiento, u otro factor que altere la calidad del lanzamiento.
•El resultado de una repetición no debe influir en los resultados de las
siguientes, ni tampoco haber sido influida por las anteriores.
•Siempre debe haber un resultado.
•Ninguno de los resultados posibles debe producirse fuera del
espacio muestral.
Ahora bien, la ley de los grandes números hace fe de algunos
supuestos convenientes de puntualizar.
•El experimento puede ser repetible una innumerable cantidad de
veces, siempre en la mismas condiciones.
•Supone la existencia de un cierto valor fijo y que proviene de la
probabilidad teórica. Entonces cabe la pregunta si siempre es posible
conocer esta información proveniente de esta probabilidad. Más aún,
¿qué ocurre cuando no se puede conocer de antemano la
probabilidad teórica? ¿O cuando el espacio muestral no se puede
determinar con claridad o es infinito? En estos casos se debe trabajar
con funciones de probabilidad, como aquellas que se usan en
variables continuas, lo que supone un manejo matemático más
avanzado. Afortunadamente trabajamos aquí con espacios
muestrales de fácil manejo.
202
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2/11/11 17:26:00
•La probabilidad experimental tiende al valor de la probabilidad teórica a
medida que aumenta el número de repeticiones del experimento.
Ahora bien, a través de las repeticiones de un experimento se va encontrando
una regularidad en la distribución de los resultados, y esto sugiere, que lo
aleatorio, va perdiendo su carácter de “caótico” en sus resultados.
En esta sección también se establecerá la relación entre frecuencia
UNID AD 5
relativa y probabilidad debido a que la probabilidad se calcularía
casos favorables
como P =
.
casos totales
Así, podemos notar que esto no es más que la razón que representa la
frecuencia relativa de una variable. Se sugiere que sean sus alumnos y
alumnas los que lleguen a estas conclusiones. Con una buena guía
ellos podrán relacionar los conceptos deseados.
Se presentan ejercicios propuestos para ser trabajados en forma
individual y grupal y, como siempre, una evaluación de proceso al final
de la sección. Recuerde que debe motivar a sus alumnos y alumnas
para que esta sea contestada responsablemente.
Se ha trabajado en esta sección utilizando tablas de datos reales
extraídos de páginas como las de la ONU, INE, etc. Es importante que
los alumnos tengan acceso a datos reales e información sobre temas
de actualidad.
Se sugiere, entonces, el uso de tablas y gráficos para el cálculo de
probabilidades. Un ejemplo de uso de gráficos podría ser el siguiente:
(extraído del INE, http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/estadisticas_economicas/
turismo/cifras/cifras2009.php)
7 580
Magallanes
y Antártica
403
Aisén
8 890
Los Lagos
Los Ríos
La Araucanía
Biobío
603 3 098 2 720 3 011
Maule
574
O ’Higgins
9 683
Valparaíso
Coquimbo
1100 1672
Atacama
8962
Antofagasta
Tarapacá
2966 3297
Metropolitana
de Santiago
66 023
Arica y Parinacota
Nº de personas
Turistas extranjeros por región en Octubre 2009
Región
Se podría calcular, entonces, la probabilidad de que si un extranjero
ingresa a nuestro país, se dirija a la región del Maule:
nº extranjeros en regiÛn
región del Maule
n∞
n∞total de extranjeross
nº
603
⇒ P ( Maule ) =
≈ 0, 005 ⇒ P ( Maule ) ≈ 0, 5 %
120582
⇒ P ( Maule ) =
203
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2/11/11 17:26:02
Se presentan, al final de la sección, como es habitual, ejercicios y
problemas de planteo para ser trabajados individual y grupalmente.
Así como una evaluación de proceso para que los alumnos y alumnas
puedan chequear su aprendizaje hasta esta parte de la unidad.
Recuerde que, tanto en esta sección como en la anterior, se privilegia
el cálculo de probabilidad en forma experimental por sobre la teórica.
Haga énfasis en esto con sus estudiantes. No se está emitiendo juicio
de valor alguno sobre una u otra, solo se quiere mostrar ambas y
establecer su uso en situaciones cotidianas.
Frecuentemente la probabilidad es un tema que, si bien a los alumnos
y alumnas les interesa, no es de fácil acceso para ellos en cuanto a la
obtención de resultados. A la falta de elementos de conteo se suma la
dificultad de comprensión lectora, además la sensación de
incertidumbre que acompaña al tema de las probabilidades y la
sensación de los estudiantes de que los problemas no se parecen
entre sí. Para ayudarlos en este sentido se requiere de mucha
ejercitación y acompañar a los alumnos en la lectura y análisis de cada
situación. Le presentamos algunos links con ejercicios de
probabilidades que usted puede usar como material complementario:
http://www-ma4.upc.edu/~fiol/pipe/100TestVAv2.pdf
http://www.conevyt.org.mx/actividades/probabilidad/evaluacion.html
Algunas consideraciones de sucesos y probabilidades
(Página 314 del Texto del Estudiante)
OFT
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad a través
de la matemática.
• Análisis de procesos y establecimiento
de relaciones lógicas.
• Resolución de problemas cotidianos
que desarrollen el pensamiento lógico
– deductivo.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora).
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al
eje datos y azar son(en niveles 5, 6 y 7):
• Resuelve problemas acerca del cálculo
de probabilidades, usando diagramas
de árbol, técnicas combinatorias y
aplicando propiedades de la suma y
producto de las probabilidades.
• Comprende las propiedades de
probabilidad y las aplica en la
resolución de problemas en una amplia
gama de situaciones.
• Trabajo grupal.
Se trabaja en esta sección definiendo algunos conceptos
fundamentales y su relación con la probabilidad. Algunos de ellos ya
se han abordado en 2º medio, pero es importante que se manejen y
se recuerden antes de avanzar a la próxima sección de la unidad. Ellos
son: suceso imposible, suceso seguro, sucesos independientes,
probabilidad del complemento de un suceso. Entonces, podemos
decir que,
•Si P es la probabilidad de que un evento o suceso ocurra, entonces
tendremos que, 0 ≤ P ≤ 1, o bien 0 % ≤ P ≤ 100%.
•Al suceso de probabilidad cero lo llamaremos suceso imposible y al
suceso de probabilidad 1 lo llamaremos suceso seguro. Nótese como
las palabras “nunca” y “siempre” toman una participación cuantificada
en calcular probabilidades.
204
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2/11/11 17:26:02
•Dos sucesos son independientes si la ocurrencia de uno de ellos no
incide en la ocurrencia del otro. Dos sucesos son dependientes si la
ocurrencia de uno de ellos depende de lo que haya ocurrido con el
otro. En relación con esto, que un suceso dependa de otro, en el
contexto de lo contemplado en un experimento, indica que su
intimidad de ocurrencia no es tan libre o azarosa, sino que está
supeditada a la existencia y ocurrencia del otro suceso. Por el
contrario, los sucesos son independientes cuando sus existencias y
ocurrencias libres y azarosamente se mantienen sin influencia del
uno por el otro.
•Los sucesos dependientes o independientes no siempre lo son, al
igual que un suceso seguro y el otro nulo, no siempre lo son, sino
que dependen del experimento, pero también del espacio muestral
asociado a este experimento. Se sugiere dar ejemplos, destacando
que simplemente aplicar fórmulas es inútil si no se relaciona con una
reflexión ad hoc.
UNID AD 5
•Si p es la probabilidad de que ocurra un suceso, entonces 1 – p es la
probabilidad de que no ocurra.
Se abordan estos conceptos a través de ejemplos. Ejemplifique con su
curso tanto como sea necesario. En este sentido, se proponen los
ejercicios del final de la sección, que tienen por objetivo consolidar
estos conceptos.
En esta sección se trabajan habilidades como: conocer, calcular, aplicar,
analizar, relacionar, resolver problemas.
Sucesos independientes... ¿cómo trabajar con ellos?
(Página 320 del Texto del Estudiante)
OFT
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad a través
de la matemática.
• Análisis de procesos y establecimiento
de relaciones lógicas.
• Resolución de problemas cotidianos
que desarrollen el pensamiento lógico
– deductivo.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora).
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al
eje datos y azar son(en niveles 5, 6 y 7):
• Resuelve problemas acerca del cálculo
de probabilidades usando diagramas de
árbol, técnicas combinatorias y
aplicando propiedades de la suma y
producto de las probabilidades.
• Comprende las propiedades de
probabilidad y las aplica en la
resolución de problemas en una amplia
gama de situaciones.
• Trabajo grupal.
En esta sección de la unidad se comienza a trabajar con probabilidad
teórica en relación a sucesos independientes. Para ello, se utilizan los
diagramas de árbol y se escriben espacios muestrales para facilitar la
comprensión de los distintos problemas y situaciones. Recuerde que,
para los alumnos y alumnas, no siempre es fácil “contar” las distintas
situaciones que se pueden producir en un problema determinado.
Detengámonos en algunos puntos importantes:
a. El primer ejemplo trata de la probabilidad de que una persona
escoja azarosamente una ruta para ir de una ciudad (ciudad 1) a
otra (ciudad 3), pasando obligadamente por una tercera (ciudad 2)
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205
2/11/11 17:26:02
que está en medio de ambas. Esta ruta está formada por dos
caminos sucesivos que son elegidos, cada uno de ellos, en una
gama de tres (de ciudad 1 a ciudad 2) y cuatro caminos (de ciudad
2 a ciudad 3) posibles.
La formación y la presentación del espacio muestral también se puede
efectuar a través de la siguiente tabla:
Camino para ir de la ciudad 2 a la ciudad 3
Camino para ir
de la ciudad 1 a
la ciudad 2
D
E
F
G
A
A-D
A-E
A-F
A-G
B
B-D
B-E
B-F
B-G
C
C-D
C-E
C-F
C-G
Y la probabilidad de que la persona haya escogido, sin preferencia
1
alguna, el camino C – F, es . Esta es la aplicación de la regla de
12
Laplace. Pero, también podemos llegar hasta mismo resultado usando
directamente probabilidades. Así, la probabilidad de escoger alguna
de las filas que representan al camino A, al camino B y al camino C, es
1
la misma, es decir, . De igual manera, la probabilidad de escoger
3
1
alguna de las columnas que representan a los caminos D, E, F y G, es .
4
Como la forma de elección para ir de la ciudad 1 a la ciudad 3 exige la
elección sucesiva de dos caminos posibles para establecer una ruta, la
probabilidad de elección mencionada también depende de las
probabilidades de esas elecciones sucesivas de los dos caminos. Pues
bien, al igual como se trabaja en los temas de proporcionalidad,
cuando una variable z depende de otras dos variables independientes
x e y, la fórmula que las relaciona es z = K ⋅ x ⋅ y , la probabilidad de la
elección de una ruta determinada depende del producto de cada una
de las probabilidades de los caminos que constituyen dicha ruta.
El mérito que tiene este ordenamiento en filas y columnas de los
sucesos elementales es que más adelante puede usarse este mismo
problema pero con preguntas relacionadas con la probabilidad
condicionada, facilitando así, mediante la selección de una fila o una
columna, el desarrollo y las respuestas a ellas.
Ahora bien, cabe la pregunta si la probabilidad de regresar de la
ciudad 3 a la ciudad 1, pasando obligadamente por la ciudad 2, sin
alterar el número de los caminos, es igual a la obtenida anteriormente.
La respuesta es inmediata, pues de los ordenamientos deben ser mirados
simplemente al revés y se aplica nuevamente la regla de Laplace.
Se puede postular, de una manera más general, que si un suceso 1 se
produce de n maneras distintas, un segundo suceso lo hace de m manera
distintas, un tercer suceso ocurre de p maneras distintas, etc., todos estos
sucesos son independientes entre sí, entonces la probabilidad de que
ocurran todos ellos a la vez, o de manera sucesiva, está dada por el
producto de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de ellos.
206
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2/11/11 17:26:02
Es importante también hacer hincapié en varios ejercicios de
distintos tipos, que pueden ser una muestra de los casos con los
que se pudieran encontrar, y considerar aquí los cambios de
espacios muestrales.
Veamos la fórmula para la intersección de tres sucesos independientes
A, B y C p ( A ∩ B ∩ C ) = a ⋅ b ⋅ c , con p ( A ) = a ; p ( B ) = b; p ( C ) = c.
Primeramente consideremos A ∩ B = M , por tanto, se tiene:
p ( M ∩ C ) = p ( M ) ⋅ p (C )
Como A ∩ B = M , entonces p ( ( A ∩ B ) ∩ C ) = ( p ( A ) ⋅ p ( B ) ) ⋅ p ( C ).
Eliminando los paréntesis correspondientes y reemplazando por los
valores de cada probabilidad, se tiene p ( A ∩ B ∩ C ) = a ⋅ b ⋅ c .
UNID AD 5
b. Hemos encontrado una fórmula para la intersección de dos
sucesos independientes. Más adelante obtendremos una fórmula
para sucesos dependientes.
En la página 323 se hace alusión a un error frecuente, que consiste en
encontrar la probabilidad de la unión de eventos independientes, a
través de la suma de las probabilidades de ocurrencia de cada uno de
ellos. El ejemplo allí desarrollado muestra claramente la forma
correcta de encontrar la unión de dos eventos independientes y la
manera incorrecta de hacerlo.
Para encontrar la probabilidad de que ocurra el suceso A o el suceso B
o ambos a la vez se procede de la siguiente manera:
Por el teorema de la probabilidad total se tiene que
P ( A ∪ B ) + P A ∪ B = 1.
(
)
(
)
De aquí, tenemos que P ( A ∪ B ) = 1 − P A ∪ B .
Pero ¿qué significa A ∪ B ? Es la negación total de que ocurra siquiera
alguno de los dos eventos. Esto es “no debe ocurrir ni A, ni B”. Esto se
escribe A ∩ B .
(
)
Por tanto, P ( A ∪ B ) = 1 − P A ∪ B , que también lo hemos escrito
como P ( A o B ) = 1 − P ( no A y no B )
Una forma alternativa para P ( A ∪ B ) se efectúa de la siguiente
manera. Debemos considerar tres casos que pueden presentarse en la
unión de A con B. No olvidemos aquí que los sucesos pueden ser
presentados mediante conjuntos. U representa el universo, pero más
específicamente, el espacio muestral.
207
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2/11/11 17:26:06
Caso 1
A
Caso 2
B
U
B
U
A
A
B
Nótese que nada en común tienen
ambos conjuntos. Esto es A ∩ B = ∅ .
A
Caso 3
U
U
B
B está completamente contenido en A. A ∩ B esta contenido completamente
en A y completamente en B, pero no
A ∩ B = B.
coincide con ninguno de ellos.
U
A
A
B
El número total de elementos de A ∪ B El número total de elementos de A ∪ B
es simplemente la suma del número
corresponde al número de elementos
de elementos de A con los de B. Esto se de A, # ( A ∪ B ) = # A.+ # B
escribe # ( A ∪ B ) = # A + # B.
U
B
El número total de elementos de A ∪ B
se puede pensar como la reunión
directa de todos los de A, con todos los
de B, pero descontando una vez el
número de elementos que tienen en
común, porque de lo contrario, éstos
aparecerían dos veces así
# ( A ∪ B ) = # A + # B − # ( A ∩ B ).
La fórmula # ( A ∪ B ) = # A + # B − # ( A ∩ B ) es la más general de las
tres, pues incluye a las otras dos. Si # ( A ∩ B ) = 0 es la fórmula
mencionada, se obtiene el caso 1. Si # ( A ∩ B ) = # B , entonces
tenemos el caso 2.
Continuamos ahora asignando #U al número total de elementos
presentes en el universo y donde están incluidos ambos conjuntos.
Entonces no es difícil seguir los desarrollos:
#( A ∪ B ) = # A + # B − #( A ∩ B )
#( A ∪ B )
# A # B #( A ∩ B )
+
−
#U
#U #U
#U
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
=
/ :# U
Así hemos encontrado otra fórmula para encontrar la probabilidad de
la unión de los sucesos
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A ∩ B )
Nótese que de esta fórmula podemos tener una forma para calcular la
probabilidad de la intersección, probabilidad que ya hemos mencionado
para sucesos independientes. Además, podemos agregar que esta
fórmula es muy usada en el desarrollo del cálculo de probabilidades.
Podemos comentar que la obtención de la primera fórmula, aquella
que se usa en el libro, nace sobre la base de que la probabilidad de un
suceso más la probabilidad del suceso contrario es 1. Y luego la
equivalencia entre el complemento de la unión de los sucesos con la
intersección de los complementos de cada uno de ellos. Sin embargo,
208
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2/11/11 17:26:10
Note también que se han incluido en esta sección algunos elementos
de combinatoria. Sin definiciones de los conceptos de permutaciones,
variaciones y combinaciones, se ha trabajado con ellos en forma
intuitiva. Dejaremos el tratamiento formal de esto para el taller
de profundización.
Al igual que en secciones anteriores se presenta, al final de ella,
actividades individuales y grupales para ejercitar lo aprendido y una
evaluación de proceso para sus estudiantes.
En esta sección se trabajan habilidades como: conocer, calcular, aplicar,
analizar, relacionar, resolver problemas.
UNID AD 5
la segunda, aquella que presentamos como alternativa, nace de la
cardinalidad, es decir, del número de elementos de la unión de
conjuntos, y luego de la aplicación de la regla de Laplace.
Sucesos dependientes... probabilidad condicionada
(Página 329 del Texto del Estudiante)
OFT
Se trabajan los siguientes:
• Interés por conocer la realidad a través
de la matemática.
• Análisis de procesos deductivos y
establecimiento de relaciones lógicas.
• Resolución de problemas cotidianos
que desarrollen el pensamiento lógico
– deductivo.
Mapas de Progreso
Las capacidades trabajadas referentes al
eje datos y azar son (en niveles 6 y 7):
• Resuelve problemas aplicando el
cálculo de probabilidad condicional.
• Comprende las propiedades de
probabilidad y las aplica en la
resolución de problemas en una amplia
gama de situaciones.
• Uso de herramientas tecnológicas
(calculadora, programa computacional
para graficar).
• Trabajo grupal.
Se abordan aquí los sucesos dependientes y la probabilidad de que ocurra
uno de ellos, dado que cierta ocurrencia del otro ya ha sucedido.
Al igual que en la sección anterior, aquí se resuelven los ejercicios con
la ayuda de diagramas de árbol. Siempre un buen esquema ayuda a
clarificar lo que se pide y a resolver los ejercicios y problemas.
Se define, entonces, el cálculo de una probabilidad condicionada como:
Si dos sucesos, A y B, son dependientes, entonces, la probabilidad de
que A suceda dado que B ha ocurrido se puede calcular por la
P ( A y B)
siguiente fórmula: P ( A / B ) =
P (B)
Nuevamente, la sugerencia es trabajar con datos de actualidad, incluso
puede realizar una encuesta de interés en su curso y trabajar con ella.
Por ejemplo, qué prefiere el curso para sortear la forma de evaluación
de esta unidad: prueba o trabajo. Si es trabajo: grupal o individual; si es
prueba: de alternativas o desarrollo y calcular sobre las preferencias de
los alumnos probabilidades como: “que un alumno o alumna
seleccionado de una prueba de desarrollo sí había elegido prueba”.
209
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2/11/11 17:26:11
Recuerde que para que los contenidos de esta sección sean bien
aprendidos, los estudiantes, deben tener claro que tienen que fijar su
espacio muestral primero según la primera condición establecida y, a
partir de este, calcular la probabilidad pedida. Revisemos uno de los
ejemplos dados,
•En un curso hay 35 alumnos, de ellos 20 son hombres. Hay en el
curso 5 mujeres y 8 hombres que tienen pelo rubio y el resto tienen
el pelo castaño. Se elige un joven al azar del curso y este es hombre.
¿Cuál es la probabilidad que tenga el pelo castaño?
En el libro su desarrollo fue el siguiente:
Si hacemos un diagrama tendremos que:
8 rubios
20 hombres
35 alumnos
12 castaños
5 rubias
15 mujeres
10 castañas
Según nuestro diagrama, el número de personas que tienen el pelo
castaño y son hombres es 12 y como debemos restringir nuestro
espacio muestral solo a los hombres, entonces tenemos que la
probabilidad pedida será,
8 2
P ( rubio si es hombre ) =
= = 0, 4 = 40 %
20 5
Observe que, al trabajar con porcentajes, se ha sugerido tomar un total
de casos de 100 y calcular las cantidades correspondientes. Esto hace
que los cálculos sean más sencillos y que los alumnos no olviden que
lo que se debe hacer en realidad es calcular el porcentaje de otro
porcentaje. Uno de los ejemplos dados en la unidad se explica de la
siguiente manera:
Otra manera de abordarlo es:
Número de Rubios
Número de hombres
Número de mujeres
Total
8
5
Número de No
rubios
Total
12
20
10
15
13
22
35
Número de Rubios
Número de No
rubios
Total
8
12
20
Al elegir un alumno al azar y resulta ser hombre. Esto nos hace poner
nuestra atención a la reducción inmediata del espacio muestral. En la
tabla consiste en considerar:
Número de hombres
210
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 210
Entonces, ahora la pregunta se reduce a encontrar, en esa restricción
del muestral, la probabilidad de que sea rubio. Esto se hace
sencillamente aplicando la regla de Laplace. Es decir,
8
P (rubio
rubio si
si es
es hombre
hombre) = , es decir de un 40%.
20
2/11/11 17:26:11
alumnos en total.
8
Esto es 35 .
20
35
8
Pero
corresponde numéricamente a la probabilidad de escoger un
35
alumno que “sea rubio y hombre”.
20
En cambio, , numéricamente es la probabilidad de elegir un alumno
35
que “sea hombre”.
UNID AD 5
8
lo podemos mirar como la razón entre 8 hombres rubios de los 35
20
alumnos en total, con respecto a los 20 hombres que hay en los 35
Este es el motivo por el cual aparece el número 35 en el desarrollo al final
de la página 329.
Otro ejemplo trabajado en el libro es:
Un informe médico sobre la diabetes señala que del total de la
población chilena, el 14% indica no conocer su situación respecto a
su padecimiento de esta enfermedad. Del resto, solo el 25% dice estar
en tratamiento riguroso de su enfermedad. Isaías, estudiante de
medicina de la Universidad de Talca, que debe hacer un trabajo de
investigación sobre el tema en su región, toma esta información de
referencia, y por ello, necesita calcular la probabilidad de que al
escoger una persona al azar, esta no esté en tratamiento dado que no
conoce de su enfermedad. (Datos extraídos de http://escuela.med.puc.cl/deptos/
saludpublica/ResultadoENS/CapIV204Diabetes.pdf)
Haciendo un esquema de los datos obtenidos tenemos,
Población total (100%)
Sabe 86%
Sin tratamiento 75%
No sabe 14%
Con tratamiento 25%
Nota que tenemos porcentajes de porcentajes; por lo tanto, debemos
tener mucho cuidado al hacer los cálculos, ya que, por ejemplo, las
personas sin tratamiento son el 75% del 86%. Entonces podemos
tomar un universo de 100 personas para simplificar la situación
(recuerda que como los porcentajes son razones, será lo mismo si
tomamos un universo mayor):
211
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Entonces reescribamos el esquema:
Población total 100 personas
86 personas saben
(86%)
65 personas
aproximadamente
sin tratamiento
(75% de 86)
14 personas no
saben (14%)
21 personas
aproximadamente
con tratamiento
(25% de 86)
P ( sin trat ./sabe ) =
P ( sin tratamiento y sabe )
P ( sabe )
65
65 100 65
= 100 =
⋅
=
≈ 0, 76 ≈ 76 %
86
100 86 86
100
Con el mismo objetivo de las secciones anteriores se presentan, al final
de ella, actividades individuales y grupales para ejercitar lo aprendido,
una síntesis de los conceptos más relevantes de la unidad y una
evaluación de proceso para sus estudiantes.
A modo de resumen, podemos decir que la probabilidad
condicionada se produce en sucesos que son dependientes, que su
cálculo proviene de la aplicación de la regla de Laplace, donde se ha
restringido el espacio muestral, y que equivalentemente este mismo
cálculo se puede efectuar usando la fórmula anteriormente escrita.
Un trabajo más refinado sobre la fórmula nos puede conducir a:
•Obtener una fórmula para encontrar la intersección de sucesos
dependientes P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) ⋅ P ( B )
•Responder lo siguiente:
Si P ( A / B ) = 0, ¿cómo se interpreta esta dependencia nula? Esto no
implica independencia, sino que P ( A ∩ B ) = 0, y esto quiere decir
que ambos sucesos no pueden acontecer simultáneamente. Si
ocurre uno, no es posible que ocurra el otro al mismo tiempo.
Si P ( A / B ) es numéricamente igual a P ( A ) ⋅ P ( B ), los sucesos son
independientes
Si P ( A / B ) es numéricamente igual a P ( A ), A no depende de B.
Preguntarnos por la relación de condicionalidad cuando la
dependencia de los sucesos se invierte, es decir, cuando el suceso
dependiente hace depender al otro de él. Específicamente
preguntarnos por la fórmula de P ( B / A ) y la vinculación con
P ( A / B ).
212
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Anteriormente se dijo, que P ( A ∩ B ) = P ( A / B ) ⋅ P ( B ).
Análogamente, podemos decir que P ( B ∩ A ) = P ( B / A ) ⋅ P ( A ). Pero
tenemos P ( A / B ) ⋅ P ( B ) = P ( B / A ) ⋅ P ( A ), en palabras,
P ( A/ B)
=
P ( A)
. Que nos establece una razón numérica entre las
P ( B / A) P ( B )
probabilidades absolutas de dos sucesos dependientes, en relación
con las probabilidades de sus dependencias mutuas.
UNID AD 5
P ( A ∩ B ) = P ( B ∩ A ). Haciendo la igualación correspondiente
Apliquemos esta última relación al siguiente ejercicio inspirado en el
primer ejemplo analizado. Supongamos que el enunciado es el siguiente:
“En un curso hay 35 alumnos y alumnas, de los cuales 13 son rubios.
Hay 20 hombres, y además la probabilidad de que un hombre sea
rubio es de un 40%. Se escoge uno de estos estudiantes al azar, y
resulta ser rubio. ¿Cuál es la probabilidad de que sea hombre?”
Sean A y B sucesos definidos por A: “ser rubio” y B: “ser hombre”. De
20
13
esta manera podemos decir que P ( A ) =
y P ( B ) = . Además,
35
35
P ( A / B ) = 0, 40. Efectuando los reemplazos tenemos
13
P ( B / A ) 20
0, 40
= 35 de aquí tenemos que
= , y así
P ( B / A ) 20
0, 40
13
35
8
20
P ( B / A ) = ⋅ 0, 40. Esto es P ( B / A ) = ; aproximadamente, un 62 %.
13
13
Agregamos finalmente las siguientes fórmulas para redondear el
estudio de esta unidad, y que nacen de simples remplazos.
Si los sucesos A y B son
a. Independientes, entonces p ( A ∪ B ) = p ( A ) + p ( B ) − p ( A ) ⋅ p ( B )
b. Dependientes, siendo A dependiente de B, luego
p ( A ∪ B ) = p ( A) + p ( B ) − p ( A / B ) ⋅ p ( B )
Por último, en el siguiente sitio web encontrará algunos ejemplos
resueltos:
http://ws-01.ula.ve/ciencias/jlchacon/materias/discreta/probpro.pdf
Observación final al libro
En la página 332 terminan los diálogos y las historias de cada uno de los
personajes que nos acompañaron en la exposición de las unidades. Muchos de
estos diálogos están tomados de la vida real de jóvenes y adultos, al igual que
algunos ejercicios desarrollados y problemas propuestos. La interacción entre
los personajes intenta traspasar un espíritu de búsqueda, de responsabilidad,
de no dejarse abatir frente a las adversidades. Se finaliza con un poema que
llama profundamente al perdón. Lo unimos con el compañerismo y la amistad
al que alude la profesora que aparece en el párrafo anterior.
213
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Existe, como siempre al final de esta sección, una evaluación de proceso para
ser realizada por los alumnos y alumnas.
En el taller de la página 339 del libro se abordan las ordenaciones circulares.
Esto puede analizarse mediante polígonos o figuras estrelladas inscritas en
una circunferencia. Los vértices corresponden a las posiciones de las
personas, y la circunferencia representa a la mesa redonda. Ahora bien, se va
variando el número de personas de dos en adelante, dejando fijo uno de
estos vértices y construyendo los polígonos o figuras estrelladas
correspondientes. Finalmente, se propone una fórmula que permita calcular
el número de permutaciones circulares con n elementos.
Número de
integrantes
(n)
Total de
ordenamientos
posibles
Posibles ubicaciones
C
B
3
A
4
B
A
2=2·1
C
D
C
C
D
B
D
D
B
A
B
A
B
A
C
A
C
B
C
C
B
A
D
A
D
5
Al dejar fijo uno de los vértices, los cuatros restantes permutan entre sí, determinando
las maneras de sentarse cinco personas a la mesa.
6
Al dejar fijo uno de los vértices, los cinco restantes permutan entre sí determinando las
maneras de sentarse seis personas a la mesa.
n
Al dejar fijo uno de los vértices, los n–1 restantes permutan entre sí determinando las
maneras de sentarse n personas a la mesa.
6=3·2·1
20 = 4 · 3 · 2 · 1
120 = 5!
( n − 1)!
Entonces, podemos decir que n personas pueden sentarse alrededor de una
mesa circular de ( n − 1)!, con n mayor o igual a dos.
214
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Errores frecuentes
Contenido
Posible déficit
Sugerencia
Cálculo de
probabilidades.
Error al contar casos
favorables y casos totales
debido al no uso de
diagramas de árbol o
espacios muestrales.
Probabilidad
calculada a partir
de frecuencias
absolutas.
Trabajar con los estudiantes la interpretación y lectura de tablas de
Lectura de tablas y gráficos. una y doble entrada y de gráficos, extrayendo información relevante
de ellos.
Probabilidad de
sucesos con
extracción sin
reposición.
No variar el espacio
muestral.
Realizar experimentos de extracciones sin reposición en la sala de
clases, donde los alumnos puedan experimentar el cambio de espacio
muestral. Contrastarlo con aquellas extracciones con reposición.
No ajustar el espacio
muestral según la
condición impuesta por el
suceso independiente.
Por ejemplo, si se quiere calcular la probabilidad de que se escoja
una persona con lentes dado que es mujer, se deberá cuidar que el
espacio muestral de la probabilidad, de A dado B, sean las personas
mujeres y no toda la población.
Esto quedará más claro para los jóvenes si hacen un buen esquema
con los datos del problema.
Probabilidad
condicionada.
Ser enfático en la construcción de los diagramas y los espacios
muestrales. A medida que los alumnos y alumnas se sientan seguros
y comprueben que ya no se equivocan, pueden ir prescindiendo
de ellos.
UNID AD 5
Se nombran en esta sección algunos de los errores frecuentes cometidos por
los alumnos y alumnas. Es importante tenerlos en cuenta durante el
desarrollo de la unidad para corregirlos.
215
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Síntesis de la Unidad
Síntesis conceptual de la unidad
Ejercicios propuestos en esta Guía
El objetivo de esta síntesis es que los estudiantes
puedan revisar los conceptos fundamentales de la
unidad. Se presenta primero, un mapa conceptual
como ejemplo de síntesis de los conceptos de la
unidad. Se sugiere revisarlo en clases junto a sus
estudiantes haciendo énfasis en los conceptos.
i. Actividades de refuerzo
Estas actividades se presentan como un apoyo
para el profesor y los estudiantes, de manera de
reforzar lo aprendido. Encontrará aquí una batería
de ejercicios que puede trabajar en clases, en
forma adicional a los ya propuestos en el texto.
Ejercicios de resumen
ii. Ficha de refuerzo
Estos ejercicios están destinados a aquellos
estudiantes que aún no han logrado los objetivos
mínimos propuestos y necesiten trabajar sobre
los conceptos fundamentales de la unidad.
Se pueden separar en dos partes: la primera
corresponde a los ítems I y II, donde se repasan todos
los contenidos en diferentes tipos de ejercicios, que
pueden ser trabajados grupal o individualmente.
Note que se hace siempre énfasis en colocar TODO el
desarrollo en la resolución de los ejercicios.
La segunda parte son los ítems III y IV, que presentan
ejercicios y problemas de aplicación. Luego el ítem V,
es una evaluación en base a alternativas tipo PSU y
donde hay una sugerencia para que el alumno revise
y obtenga su porcentaje de logro, que se aconseja
sea trabajado individualmente.
Por último, al final de la unidad se proponen dos
evaluaciones sumativas de todas las unidades.
iii. Actividades de profundización
Este material tiene por objetivo ampliar los
conocimientos de los estudiantes que evidencien
mayores habilidades matemáticas en esta unidad.
Se proponen ejercicios y una actividad con los
que usted puede trabajar.
Tipos de ejercicios
Se pueden identificar en ejercicios donde se repasan
todos los contenidos en diferentes ítems, que
pueden ser trabajados grupal o individualmente.
En otros casos, especialmente en la Ficha de refuerzo,
se hace siempre énfasis en colocar todo el desarrollo
en la resolución de los ejercicios.
Finalmente, también ofrecemos evaluaciones
basadas en alternativas tipo PSU y donde hay una
sugerencia para que el alumno revise y obtenga
su porcentaje de logro, que se aconseja sea
trabajado individualmente.
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Actividades de refuerzo
Nº
Probabilidad
1
0,180
4
0,140
2
3
5
6
0,140
0,210
0,150 0,180 Además se dispone de una moneda cargada,
cuya probabilidad de cara es la mitad que de
la de sello.
Se lanzan simultáneamente la moneda y
ambos dados. Se leen marca y pintas para
formar claves tipo: marca, pinta del dado rojo,
pinta del dado negro.
8
a. Estima la probabilidad de que en un día
elegido al azar la temperatura no haya
superado los 25 ºC.
7
b. ¿Qué rango de temperatura corresponde a la
mayor probabilidad de haber ocurrido?
Justifica tu respuesta.
3. Usando un simulador, efectúa 1 000
lanzamientos de un dado y completa así la
siguiente tabla. Luego responde la siguiente
pregunta: ¿Qué es más probable, obtener 15
puntos en total al lanzar 3 veces el dado
simulado en tu tabla o lanzar dos veces un
dado de ocho caras, no cargado, para obtener
también 15 puntos?
Nº
Frecuencia
Frecuencia relativa
1
2
3
4
5
6
a. ¿Cuál es la probabilidad de la clave S, 5, 6?
b. Escribe tres claves que sean las menos
probables con sus correspondientes
probabilidades de aparición. No repitas los
dígitos finales en tus tres claves
30 ≤ T ≤ 35
25 ≤ T < 30
10
(http://www.ematematicas.net/simulacionmoneda.php
Material Fotocopiable
4
20 ≤ T < 25
15 ≤ T < 20
10 ≤ T < 15
1
Material Fotocopiable
1. Se dispone de un dado rojo y otro negro, cuyas
probabilidades, para ambos iguales, se resumen
en la tabla a continuación:
Nº de
días
Material Fotocopiable
II. Resuelve los siguientes ejercicios de
probabilidades. Recuerda revisar tus respuestas
junto con tu profesor o profesora:
Temperatura
Máxima T (ºC)
Horizontales
Verticales
1.Sucesos donde la ocurrencia de
1.Suceso cuya
uno de ellos no depende de la
probabilidad
ocurrencia del otro.
es uno.
4.Sucesos con la misma probabilidad 2.Suceso cuya
de ocurrencia.
probabilidad
5.Magnitud que varía azarozamente.
es cero.
6.Probabilidad calculada a partir de la 3.Razón entre los
realización de un experimento
casos favorables
azarozo.
de ocurrencia de
7.Probabilidad de un suceso que
un suceso y los
depende de la ocurrencia de otro.
casos totales.
2. La siguiente tabla muestra el
comportamiento de la temperatura de enero
de 2011, en una localidad al interior de la
séptima región
Material Fotocopiable
d. ¿La clave S, 4, 5 es favorecida en su
probabilidad de formación usando estos
dados con esta moneda o usando dados y
monedas normales?
UNID AD 5
c. ¿Quién tiene más probabilidad de
aparecer: C, 3, 4 o C, 4, 3?
Justifica tu respuesta.
I. Resuelva el siguiente crucigrama con los
conceptos de la unidad de probabilidades:
tienes un simulador de lanzamientos).
217
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2/11/11 17:26:25
Material
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
4. Sean A un suceso seguro y B un suceso
imposible de un mismo experimento
aleatorio.
¿Cuál es la probabilidad de que
a. ambos ocurran a la vez?
b. ocurra cualquiera de ellos?
c. no ocurra ni uno, ni el otro?
5. La familia que es mi vecina está formada por
los padres y sus cinco hijos y me piden que
les saque una foto sentados en una gran
banca. ¿Cuál es la probabilidad de que los
papás no queden juntos?
6. Se generan números aleatorios de cuatro
cifras usando los dígitos 1, 2, 3, 4, 5, 6 y 7,
sabiendo que sus cifras se pueden repetir.
¿Cuál es la probabilidad de formar
un número:
a.
b.
c.
d.
de cuatro cifras distintas?
que no tenga sus cuatro cifras distintas?
que termine en 3 y sus cifras sean distintas?
que termine en 5 o 7?
7. Glenda está eligiendo tres colores de lanas
para tejer franjas tricolores, sin repetir
ninguno de ellos. Naturalmente a ella le
importan mucho el orden en que deben ir los
colores, pero esta vez quiere jugar y los elije al
azar. Dispone de 9 colores para hacerlo: rojo,
morado, gris, verde, amarillo, café, azul, rosado
y naranjo. ¿Cuál es la probabilidad de
que forme:
a. cualquiera de estas franjas de tres colores,
respetando este orden?
• Café – gris - morado
• Rojo – verde - amarillo
b. una franja usando solamente gris, blanco
y naranja?
8. Un estudio de números aleatorios requiere
considerar solo aquellos números de seis
cifras. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir
uno cualquiera este sea impar, comience con
6, y su unidad de mil sea 5?
9. Se dispone de 8 puntos no colineales en un
plano, a los que se le han nombrado por A, B,
C, D, E, F, G y H, donde cada uno de ellos tiene
la misma preferencia para formar triángulos.
Azarosamente, se ha construido un triángulo.
¿Cuál es la probabilidad de que
a. uno de sus vértices sea E?
b. uno de sus lados sea DG ?
c. sea el ∆ BCF ?
10. Una dupla de dos jugadores de tenis, A y B,
frente a un cierto equipo adversario cometen
fallas tanto individualmente como ambos a la
vez. El 10% de las fallas las comete solo A, el
13% las comete solo B y un 7 % fallan
ambos. Calcula la probabilidad de que en otro
partido frente al mismo equipo adversario
a. no haya fallas.
b. falle solo uno de los dos.
c. falle A, sabiendo que ya B falló.
11. Los resultados de una encuesta sobre nivel
del dominio inglés en una empresa a lo largo
del país se presentan en el siguiente cuadro:
Nivel de
dominio
SECTOR
NORTE
60
Avanzado
40
Intermedio
10
Básico
CENTRO
70
30
40
SUR
20
50
80
Se elige al azar uno de estos aprobados ¿Cuál es
la probabilidad de que
a. sea del Norte y tenga dominio básico?
b. tenga nivel avanzado, dado que vive en
el Sur?
c. si se sabe que tiene nivel intermedio,
provenga del Centro?
12. En un experimento aleatorio, M, N son
sucesos independientes tal que
P M ∪ N = 0, 20 (probabilidad de que no
ocurra M ∪ N ). Hallar P ( M ∪ N ).
(
)
13.La probabilidad de que cuatro ampolletas
funcionen al mismo tiempo, en una
determinada instalación eléctrica, de manera
independiente, es de 0,6561. Si todas tienen la
misma probabilidad de funcionar en forma
separada, ¿cuánto es este valor?
14. Si la probabilidad de la intersección de dos
eventos, M y N, es 0,75 y la probabilidad de N
es 0,95. ¿Cuál es
P ( M / N )?
15. En la Industria de LCD “X_PLENDID”, el 25%,
el 30% y el 40% de la producción total de
10000 unidades las realizan las fábricas A, B
y C, respectivamente. Siguiendo el mismo
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Guerrero
galáctico 7
50
25
40
Piloto estrella
avanzado
Piloto Estrella
100
(última versión)
FIFA 2010
25
Detective III
Pinball Héroes
Nº de
Descargas
Juego
1. Pancracio administra un sitio web comercial
que se especializa en la venta de juegos. Las
estadísticas muestran el número de las
descargas promedio durante el periodo
agosto - diciembre 2010 de algunos juegos
más solicitados:
10
Si esta tendencia se hubiera mantenido en
los tres primeros meses del 2011, responde:
a. ¿Cuál hubiera sido la probabilidad del
juego más preferido?
b. ¿Cuáles hubieran sido los juegos
equiprobables y el valor de sus
probabilidades?
c. ¿Qué tan probable hubiera sido que alguien
hubiera descargado los tres juegos de las
más altas frecuencias de descargas y de
una vez?
2. –Por eso me retiré de la otra carrera –dijo
Imelda, sonriendo, a la profesora de su nuevo
ramo de probabilidades- Porque no me
gustaban los experimentos con ratas.
–¿Por qué exactamente?
–Bueno, sentía que perdía mi tiempo mirando
una rata que, colocada en una caja con tres
pulsadores de colores rojo, azul y blanco, al pulsar
uno de ellos obtenía alimentos, al pulsar otro
conseguía la salida de la caja y por otro, nada.
Después hacer unas mediciones y sacar
conclusiones de su comportamiento.
–Bueno, bueno, esto es para que veas que
todo en el saber está conectado, cada ciencia
sirve a la otra para avanzar... pues bien, ahora
responde lo que se pregunta...
a. La probabilidad de pulsar cada tecla de
cualquiera de esos tres colores, por parte
de la rata, no se dice. ¿Qué valor sería el
más adecuado asignar a cada color para
que las teclas tuvieran la misma
posibilidad de ser pulsadas?, ¿cómo se
llama a ese tipo de sucesos?
b. Si pulsar una tecla no influye en la rata,
que azarosamente elija otra determinada
tecla para continuar. ¿Cómo se llaman
aquellos sucesos que no influyen en la
ocurrencia de uno en el otro?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que la rata
presione, en orden, las teclas roja, blanca
y azul?
3. “Lo que me tiene más inquieto, hermanos, es
no darle una solución rápida a la delicada
intervención quirúrgica de papá. Estuve
haciendo mis averiguaciones y supe que Ítalo
es el médico más confiable, ya que de cada
10 pacientes que ha intervenido, 8 se han
recuperado notablemente.
Por otro lado, me enteré que Ian, el médico de
cabecera de tío Blas, también se dedica a este
tipo de intervenciones, pero solo 6 de cada
10 intervenidos quedan bien. Ahora bien,
puede ser que también podamos a acudir a
Ulrike, la doctora alemana. Sé que 7 de cada
10 intervenidos por ella salen en perfectas
condiciones. Pero con el resto del equipo
médico, porque no los conozco bien.
Por eso siento, hermanos, que se está pasando
el tiempo, y papá está empeorando.
Entonces, ¿qué tan probable es que
cualquiera de los tres médicos haga la
intervención quirúrgica exitosamente?, ¿qué
tan probable es que ninguno de los tres
médicos pueda, al mismo tiempo, solucionar
esta situación de manera exitosa?”
UNID AD 5
III.Resuelve los siguientes problemas con tu
grupo. Revisen sus respuestas con su profesor
o profesora:
Material Fotocopiable
c. C
Material Fotocopiable
b. B
–Porque si bien ahora no estoy en el laboratorio,
al mirar esta guía de trabajo que usted nos dio,
un ejercicio dice así:“Una rata, colocada en una
caja con tres pulsadores de colores rojo, azul y
blanco, pulsa dos veces las teclas al azar”.
Material Fotocopiable
a. A
–¿Y por qué te estabas riendo ahora?
Material Fotocopiable
orden de la producción de cada una de ellas,
el 3%, 4% y el 5% son LCD defectuosos.
Como control de calidad se toma un LCD al
azar de la producción total y se le encuentra
defectuoso. Cuál es la probabilidad de que
haya sido producido por la fábrica:
219
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2/11/11 17:26:27
Material
b. Como se produjo este resultado de 3-2.
¿Qué tan probable es que haya ocurrido en
la forma predicha por Adonio, considerando
todos los resultados posibles?
6. Estoy atravesando el canal de Chacao, vuelvo
a mi tierra, a Chiloé, después de 40 años de
docencia en Matemática y Física. A mi lado va
Cory, mi señora, serena contemplando el mar
bajo un cielo azul. De repente me
desconcentro por las risas de unos
pescadores que van cerca de nosotros. Los
escucho, uno de ellos dice: “...y me gané casi
todos los juegos en ese bar de Puerto Montt.
El juego de sacar mayor puntaje al tirar tres
dados era muy fácil”. ¡Cuántas veces sorprendí
a mis alumnos diciéndoles que en el juego de
tirar tres dados y sumar sus pintas era más
frecuente que saliera diez, en lugar de nueve!
No me lo creían.
Te invitamos a que ayudes a despejar las
dudas a Wendy. Responde sus preguntas.
8. “Mi mamá se ubicó a través de Internet con sus
compañeras de colegio y vinieron tres de ellas a
mi casa. Igual que cuando eran estudiantes,
hablaron, cantaron, se rieron... ¡jugaron hasta
Bachillerato! He aquí cuando más gritaban:“que
stop”, “que cinco puntos”, “que no vale”, “no,
porque jibia no se escribe así”, “que eso es
trampa”, “que esa letra es muy difícil”,en fin. Aquí
te muestro la hoja de mi mamá cuya última fila
no la alcanzó a contestar, según ella porque se
puso muy nerviosa”.
Américo
A
M
L
T
C
Nombre
País
Argentina
10
Macarena México
Luis
10
5
Tobías
5
Titulo de
película
Asno
Amanecer
Mono
Anafe
5
Mecha
10
10
Machuca
5
5
10
5
Luxemburgo Lagartija Lonchera La nana
Tasmania
10
10
0
10
0
Cornelio
Animal Objeto
Toro
Total
Imagínate la cara de alegría que va a poner
Adonio cuando se entere. Ahora responde tú.
7. Wendy es jefa de personal y debe nominar
una terna para la propuesta del ascenso
funcionario. Este año no es fácil decidir
porque hay cinco muy buenos funcionarios e
igualmente merecen ser considerados. Ellos
son Jeremías, Genaro, Delia, Cidalia y Rogelia.
¡Qué terrible situación! Después de mucho
meditarlo, dio una condición a la terna: que
incluya a Cidalia en primer lugar. Después
pensó, “¿qué tan probable es que acepten por
lo menos alguna de las ternas donde incluyo
a esta funcionaria en el primer lugar? Y más
aún, ¿qué tan posible que acepten la que
tengo en este momento en mente? ¡Uf, total,
yo solo propongo!”
Letra
Material Fotocopiable
a. Sobre el total de cinco goles, ¿qué tan
probable es que se haya dado este
resultado, considerando todas las
posibilidades?
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Algo en el relato hace creer que se hizo
trampa. ¿Puedes contestar qué es?
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
4. “Claro, compadrito. Le cuento que ese día en
que dejamos de vernos gané jugando todo mi
dinero. Tiré dos dados, de esos comunes, y
saqué 11 puntos en total, con lo que dejé
enloquecidos a los otros jugadores. Entonces
ellos, Bencho, Mañungo y Segua, me dijeron
que había hecho trampas. Bueno, no vale
entonces –les dije–. Tiré de nuevo los dos
dados y saqué 13 puntos en total. Tenía el
100 % de probabilidades de ganar. Me dieron
el dinero, nada de contentos, y aquí estoy...
frente a usted”
5. “Secreto Deportivo vence tres a dos a Deporte Oculto
en espectacular partido por la final del Fútbol 2010”,
era uno de los titulares de prensa. Adonio había
apostado, a sus amigos que Secreto Deportivo
ganaría, diciendo incluso, que los dos primeros
goles los haría su equipo...
Material Fotocopiable
Te desafío a ti, joven estudiante, a decirme las
probabilidades de ambos y ver que lo que
digo es cierto.
¡Difícil situación, ¿no?! Tú sabes de
probabilidades, respóndelas.
40
35
40
5
31 minutos,
Tetera
la película 30
5
5
10
Crepúsculo
15
5
0
0
10
10
(Nota: las letras las eligieron al azar, se
otorgan 5 puntos si hay coincidencia con otra
compañera; 10, si no hay coincidencia con
nadie; 20 para la única persona que haya
llenado el recuadro y 0 si no contesta)
220
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 220
2/11/11 17:26:27
d. ¿Qué porcentaje de probabilidad es qué
haya tenido 20 en la columna de animal y
cualquier otro valor distinto a este número
en la otras columnas con 0?
e. ¿Cuál es la probabilidad de que hubiera
tenido treinta puntos en total?
9. “Y nosotros con María Teresa estábamos
temblando antes de entrar al examen de
Matemática. Fue un poco difícil, pero de las
cinco preguntas que nos hicieron, nos dijeron
que respondiéramos solo tres, a nuestra
elección y en el orden que quisiéramos, pero
que lo hiciéramos lo mejor posible. Y valían
12 puntos cada una de las preguntas. A pesar
de todo, ¡aprobé, mamita, aprobé! ¡Y María
Teresa también!”
¿A quién no le habrá pasado algo similar? Pero
no todos se han preguntado, ¿qué tan probable
es que hubiera ocurrido justo esa elección? Bien,
te lo preguntamos ahora y esperamos tu
respuesta a esta última pregunta. Considera
todos los casos posibles.
10.–¡Qué regodeón!, ¡tan linda que es Jackie, y el
tonto no se fija en ella! Anda pendiente de
esta otra chica de la vuelta, que ni lo toma
en cuenta.
–¡Ah pero tú lo conoces bien!
–Sí, él pretende ser muy exclusivo en sus
gustos. Tiene sus preferencias: le gustan de
pelo caoba dorado, nariz respingada europea,
esbelta, de ojos verdes claros y que
cante lírico.
–Oye ¿y qué tan probable es que una mujer
que pase por la calle en estos momentos
reúna estas características? ¿O qué exista?...
–Ja ja, se nota que nos hemos puesto hasta
matemáticas para hablar. Ja ja.
Pero esto que acabas de conocer es un
problema de probabilidades. Basta que
digamos que cada característica que se
describe constituye un suceso independiente.
Entonces responde: ¿qué tan probable es
encontrar azarosamente la mujer descrita en
el relato?
11.¿Te acuerdas de Imelda? Aquella alumna a la
que no le gustaban los experimentos con
ratas. Ya la ayudaste a resolver el problema
anterior, de probabilidades, ahora te envía
este problema para que lo resuelvas.
“Una rata colocada en una caja con tres
pulsadores de colores rojo, azul y blanco pulsa
dos veces las teclas al azar.
a. ¿Cuál es la probabilidad de que las dos veces
pulse la tecla blanca?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que pulse la primera
vez o la segunda o las dos veces la tecla blanca?
12.La fiesta de baile de antifaces organizada por
la refinada Penélope Lambar está
realizándose en uno de los salones de un
lujoso hotel. Ella porta un antifaz dorado y,
para el resto de los invitados, ha designado
antifaces rojos y negros: Nueve de los rojos
los usan damas de las veintitrés invitadas y
los trece rojos restantes, los llevan algunos
caballeros de los veinticinco invitados.
En medio de la fiesta donde están ya todos
los invitados, un caballero invita a hacer un
brindis en honor a la bella Penélope.
Secundando la iniciativa, una dama improvisa
magistralmente algunas arias de óperas
famosas. Y finalmente, Edgar, único en romper
el protocolo, se retira su antifaz por un
momento y recita un poema.
UNID AD 5
–¡Ah! Y una de cada cien, que cante lírico.
Material Fotocopiable
c. ¿Qué porcentaje de probabilidad es qué
haya tenido 20 en la columna de animal?
–¿Y qué más? ¡Ya se me olvidó!
Material Fotocopiable
b. ¿Cuál es la probabilidad de que para la letra
C las puntuaciones escritas de izquierda a
derecha no hayan sido 20, 10 y 5; 10, 20 y 5;
ni 0, 10 y 5?
–Claro y una de cada cinco, esbelta; una de
cada diez debe tener ojos verde claro y...
Material Fotocopiable
a. ¿Cuál es la probabilidad de que para la
letra C las puntuaciones escritas de
izquierda a derecha hayan sido 20, 20
y 10?
–Bueno, una de cada cien mujeres debe tener
el pelo caoba, y creo que una de cada diez
debe tener nariz respingada europea... ja, ja.
Material Fotocopiable
Imagínate que todas las letras con sus
recuadros presentan la misma dificultad para
responderla de manera independiente.
Conforme a la última fila:
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Material
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
La velada continúa con música, grata
conversación y baile. Una persona invitada,
presa de un estado de decepción, es la primera
en retirarse lanzando a la salida del hotel su
máscara roja. Sin considerar a la bella Penélope,
¿cuál es la probabilidad de que:
a. el caballero del brindis porte antifaz negro?
b. la dama que improvisa arias tenga
antifaz rojo?
c. el color del antifaz de Edgard sea rojo
o negro?
d. la persona que se ha retirado, presa de un
estado de decepción, sea hombre?
13. Ignacio es médico forense y jefe de su
unidad, y está revisando las estadísticas de la
época señalada en el cuadro en busca de
alguna pista para su investigación de casos
clínicos. Te invitamos a que analices, al igual
que él, los datos, respondiendo las preguntas
que abajo se encuentran.
Región de Atacama: total de defunciones por año de ocurrencia, según grupos de causas de muerte. Período 1997 - 2003.
Defunciones
Clasificación
internacional
Grupo de causa de muerte
Año de ocurrencia
1997 1998 1999 2000 2001 2002 2003
A00-Y98
A00-A09
A15-A19
A20-B99
C00-C97
D00-D48
D50-D89
E00-E90
F00-F99
G00-G99
H00-H59
H60-H95
I00-I99
J00-J99
K00-K93
L00-L99
M00-M99
N00-N99
000-099
P00-P96
000-099
R00-R99
V01-V98
Total
Enfermedades infecciosas intestinales.
Tuberculosis.
Otras enfermedades infecciosas y parasitarias.
Tumores malignos.
Tumores in situ, benignos y comportamiento
incierto o desconocido.
Enfermedades de la sangre y de los órganos
hematopoyéticos y ciertos transtornos que
afectan el mecanismo de la inmunidad.
Enfermedades de las glándulas endocrinas, de la
nutrición y metabólicas.
Trastornos mentales y del comportamiento.
Enfermedades del sistema nervioso.
Enfermedades del ojo y sus anexos.
Enfermedades del oído y de la apófisis mastoides.
Enfermedades del sistema circulatorio.
Enfermedades del sistema respiratorio.
Enfermedades del sistema digestivo.
Enfermedades de la piel y del tejido subcutáneo.
Enfermedades del sistema osteomuscular y del
tejido conjuntivo.
Enfermedades del sistema genitourinario.
Embarazo, parto y puerperio.
Ciertas afecciones originadas en el período perinatal.
Malformaciones congénitas, deformidades y
anomalías cromosómicas.
Síntomas, signos y hallazgos anormales clínicos y
de laboratorio no clasificados en otra parte.
Causas externas de morbilidad y de mortalidad.
1421 107 1 093 1 103 1 138 1 163 1157
1
7
8
5
7
5
1
2
11
4
5
6
7
5
10
23
22
17
13
17
13
29
271 243 244 240 249 277 278
12
11
9
16
10
7
17
4
28
6
27
2
37
5
34
6
51
1
55
11
48
12
19
0
0
263
144
64
4
2
15
11
1
0
288
144
68
4
0
8
15
0
1
271
166
77
8
3
12
16
0
0
294
161
64
3
9
18
16
0
0
300
157
74
3
4
18
24
0
0
319
148
80
1
3
21
26
1
0
303
135
64
1
7
57
56
51
33
40
34
53
26
0
32
15
148
21
0
30
22
126
31
2
25
22
94
30
0
29
28
103
39
0
22
15
105
http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/demografia_y_vitales/estadisticas_vitales/pdf/causas_de_muerte_regiones%202003.PDF
32
1
19
23
102
26
3
17
14
91
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e. ¿Sabiendo que una persona falleció por
causas externas de morbilidad y de
mortalidad, en qué año es menos
probable que haya acontecido?
14.Rolando es un ingeniero especializado en
artículos electrónicos de la famosa Industria
especializada “Etronik”. Lo han enviado a hacer
una demostración, ante un grupo supervisor
externo a la industria, de un nuevo aparato
electrónico que consta de dos motores, para un
primer control de calidad. Él explica
minuciosamente las partes y el funcionamiento
del aparato. Uno de los supervisores le pregunta
acerca de la posibilidad de que fallen los
motores. Rolando responde diciendo que la
probabilidad de que falle el primero de ellos es
de un 20%, de que fallen los dos es de 15 % y
que falle solo el segundo es de un 30 %. Los
supervisores le piden que encienda el aparato y
transcurridos unos segundos, falla el segundo
motor, pero igual sigue funcionando. Rolando,
preparado para esta situación, continúa dando
más explicaciones técnicas hasta que de pronto,
falla el primer motor. Entonces, un segundo
supervisor le pregunta “¿Qué tan frecuente es
que ocurra este tipo de fallas que estamos
presenciando?” Otro agrega,“Y si hubiera sido al
revés, ¿qué tan probable es que falle el primero y
un poco después, el segundo?” El grupo
supervisor encontró que el producto no podía
pasar este primer control. Rolando, un poco
amargado, se preguntó “¿Qué tan probable es
que no hubiera ocurrido ninguna falla?” Calcula
tú las probabilidades pedidas.
–Nada me explico al respecto, Myriam. Solas,
sin equipos, sin nuestros compañeros, sin
celulares que funcionen, sin teléfono y para
colmo caminos cortados. ¿A qué nos
enviaron? ¿A ver llover?
–Pero recuerda que nos informaron que en el
poblado donde están nuestros compañeros
la probabilidad de lluvia es de un 10% más
que acá, donde la probabilidad de lluvia es de
un 60% en esta época del año.
–Sí, y un 35% de que llueva en ambos
poblados. Oye, Myriam, sabiendo que acá
sigue lloviendo, ¿qué tan probable es que
donde están nuestros compañeros también
lo esté?
–Buena pregunta, Sonia, y al revés,
seguramente alguno de nuestros
compañeros dirá si acá llueve, ¿qué tan
probable es que llueva también donde Sonia
y Myriam estén?
–¿O que llueva...?
–¡No sigas! Porque es hora de ir a dormir.
–¡Sí! Porque mejor es decir ¡Al mal tiempo,
buena cara! Ja, ja. Vamos a nuestros
dormitorios a descansar. Buenas noches.
Te invitamos a que respondas a las tres
interrogantes planteadas en la conversación
de Sonia y Myriam.
UNID AD 5
Material Fotocopiable
d. ¿Qué es más probable que hubiera
ocurrido, una persona fallecida por alguna
enfermedad del sistema circulatorio en
1999 u otra fallecida por tumor maligno
en el 2003? Justifica tu respuesta.
–¿Para qué nos habrán mandado antes acá,
tan lejos, a este poblado, si aún no llegan
ni nuestros equipos?
Material Fotocopiable
c. ¿Cuál es el rango de variación de las
probabilidades de las enfermedades del
sistema respiratorio? Expresa tu respuesta
incluyendo el año.
Material Fotocopiable
b. En 1997, según clasificación internacional,
¿cuáles fueron las causas más probables de
defunción, las que se inician su código con A
o las que inician su código con N? Justifica
tu respuesta
15.Myriam y Sonia fueron enviadas a un poblado
costero en búsqueda de evidencias de
muerte de algunas especies marinas. Ambas
forman parte de un equipo de investigación
integrado por oceanógrafos, biólogos
marinos, entre otros. Ya es medianoche, y en
el segundo piso miran hacia el mar. Ven solo
una noche oscura, y la lluvia no ha cesado.
Para no despertar a la familia que las alberga,
conversan en voz baja. Pregunta Myriam
a Sonia:
Material Fotocopiable
a. ¿En cuál de estos años fue mayor la
probabilidad de que una persona haya
fallecido por enfermedades al sistema
respiratorio? Justifica tu respuesta
223
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Material
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
IV.Marca la alternativa correcta:
1. En un dado cargado, la probabilidad de que al
tirarlo salga dos es:
1
a.
6
1
b.
2
c. Igual a la probabilidad de que salga un 3.
d. Igual a la probabilidad de un cuatro y un
cinco a la vez.
e. No se puede determinar, pues al estar
cargado, ningún número tiene la misma
probabilidad.
2. La probabilidad de que al extraer tres
monedas de una bolsa que contiene 5
monedas de $5, 5 monedas de $10 y 30
monedas de $100 se obtengan exactamente
$115 es:
1
1
d.
a.
1 600
120
3
75
b.
e.
256
5 928
75
c.
988
3. Si A y B son sucesos independientes y la
probabilidad de A es 0,4 y la de B es 0,2,
entonces la probabilidad de que A o B
sucedan es:
a. 0,08
b. 0,48
c. 0,52
d. 0,60
e. 0,92
4. De un total de 100 entrevistados, el 20% de
ellos dice preferir las bebidas a los jugos
naturales. De aquellos que prefieren los jugos,
el 10% prefiere el de frutilla, el 20% de
melón y el resto de naranja. Si se escoge un
encuestado al azar, ¿cuál es la probabilidad
de que prefiera el jugo de frutilla si se sabe
que prefiere los jugos?
a. 8%
b. 10%
c. 20%
d. 40%
e. 60 %
5. En un juego de cartas con naipe inglés se
sacan dos cartas al azar. Se extrae la primera,
se anota su pinta y número y se vuelve a
colocar en la baraja. Luego se extrae la
segunda y se procede de igual manera que
con la primera. ¿Cuál es la probabilidad de
extraer un rey y un as de la misma pinta?
1
1
d.
a.
676
104
1
1
b.
e.
2704
169
1
c.
364
6. ¿Cuál(es) de los siguientes sucesos tiene(n) la
misma probabilidad de ocurrir?
I. Sacar 10 al lanzar dos dados no cargados.
II. Escoger un huevo al azar de la docena que
mi mamá tiene en el refrigerador
III.Elegir una de todas las posibilidades de
ordenar una bandera roja, una azul y una
verde.
a. Solo I
d. Solo I y III
b. Solo II
e. I, II y III
c. Solo I y II
7. ¿Cuál(es) de las siguientes afirmaciones
es(son) siempre verdadera(s)?
I. El valor de la probabilidad experimental
de un suceso se acerca al valor de la
probabilidad teórica de este a medida que
se aumenta el número de veces que se
repite el experimento.
II. A un suceso imposible no se le puede
calcular su probabilidad de ocurrencia
debido a que es imposible.
III. El valor de la probabilidad de un suceso puede
variar en el intervalo ]0, 1[.
a. Solo I
d. Solo I y III
b. Solo II
e. Solo II y III
c. Solo III
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c. 20%
e. 40%
I. La probabilidad de que al escoger un
joven al azar este prefiera el pub B es
mayor que la probabilidad que prefiera el
pub A.
9. La tabla adjunta muestra los resultados del
control de calidad de dos artículos, A y B, en
una fábrica. Los artículos se clasifican en alta
calidad y calidad media. ¿Cuál es la
probabilidad de que al escoger un artículo al
azar este sea de alta calidad, sabiendo que era
del tipo B?
a. 46%
b. 48%
Tipo
A
d. 54%
Alta calidad
Calidad media
54
46
48
III.La probabilidad que un joven, escogido al
azar prefiera el pub A dado que es hombre
es, aproximadamente, 21%
e. 100%
52
a. Solo I
d. Solo I y III
b. Solo II
e. I, II y III
c. Solo I y II
60
40
20
0
34
22
A
Preferencia de pubs
46
28
B
Pubs
40
36
C
Hombres
Mujeres
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Nº de personas
B
c. 52%
II. La probabilidad de que al escoger un
joven al azar esta sea mujer dado que
prefirió en pub C es, aproximadamente,
el 70%
UNID AD 5
b. 16, 6 %
d. 30%
Material Fotocopiable
a. 10%
10.El siguiente gráfico muestra los resultados de
una encuesta que se ha realizado a jóvenes
sobre su preferencia al momento de elegir
uno de los tres pubs más nombrados de la
ciudad. A partir de esta información, ¿cuál(es)
de las siguientes afirmaciones es(son)
falsa(s)?
Material Fotocopiable
8. De los libros que tiene mi papá en la
biblioteca, 2 son de Matemática, 4 de Física, 6
de Historia y 8 son novelas. ¿Cuál es la
probabilidad de que al elegir uno al azar, este
sea de Historia?
225
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Material
I. Resuelve los siguientes ejercicios:
II. Resuelve los siguientes problemas:
1. En una bolsa coloca cuadrados de cartulina: 3
rojos, 4 azules, 2 amarillos y 5 negros. Extrae
uno de ellos al azar (sin mirar) y anota el
resultado, vuelve a colocar el cuadrado
dentro de la bolsa. Haz este experimento 20
veces. Calcula la probabilidad de que salga
2
azul. ¿Coincide con el valor , que representa
7
su probabilidad teórica? Justifica tu respuesta.
2. La probabilidad de que se extraiga un
calcetín rojo desde una cajonera llena de
calcetines sueltos (que no forman pares),
donde hay calcetines rojos, verdes y morados
2
3
es y la de que se extraiga uno morado es .
9
5
Determina:
a. la probabilidad de extraer uno verde.
b. la probabilidad de que si se extrae un
calcetín y luego se vuelve a colocar en la
cajonera y por último se extrae otro, el
primero sea verde y el segundo morado.
3. Dado el siguiente gráfico, que representa las
preferencias de un curso, por sexo, respecto a
su fiesta de graduación, responde en
porcentajes:
Fiesta de graduación: ¿con papás o sin ellos?
Nº de alumnos
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Material Fotocopiable
Ficha de refuerzo
20
15
10
5
0
12
18
8
Hombres
7
Fiesta con papás
Fiesta sin papás
Mujeres
a. ¿Cuál es la probabilidad de que la fiesta se
realice sin los papás?
1. Por un terrible accidente, a Heriberto se le ha
abierto su pastillero y se han mezclado los
remedios que llevaba en su bolso de viaje. Él
tenía para sus vacaciones 12 paracetamoles,
15 remedios para la presión, 8 pastillas para
la circulación y 20 antialérgicos.
Afortunadamente, cada tipo es de un color
distinto. ¿Cuál es la probabilidad de que al
sacar dos pastillas al azar la primera sea para
la presión y la segunda sea un antialérgico?
2. Maritza ha conseguido un trabajo de verano
en un supermercado, donde debe llevar las
estadísticas de los productos de la línea de
desodorantes para una reconocida marca. Ella
debió completar la siguiente tabla, que indica
las ventas de tres tipos de desodorantes en
una semana y, por tanto, representan las
preferencias de las personas. Determina:
Tipo de
desodorante
De bolita
Aerosol
En barra
Para
mujeres
Para
hombres
53
12
30
37
75
13
a. la probabilidad de que la próxima persona
escoja, al azar, un desodorante de bolita.
b. la probabilidad de que una persona
escoja, para su uso personal, un
desodorante en barra si esta es hombre.
c. la probabilidad de que una mujer escoja
un desodorante en aerosol o de bolita
para ella.
3. A Esteban le encanta jugar scrable, aquel
juego de formar palabras. En su último
juego presintió que su probabilidad de
ganar era muy baja, ya que debía formar una
palabra de 3 letras, legibles y con significado
conocido, y solo tenía cuatro letras: a, f, e y l.
¿Cuál era la probabilidad de formarla?
b. ¿Cuál es la probabilidad de preguntarle a
un hombre y que este opine que la fiesta
debe ser con los papás?
226
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Orlando con una cita inolvidable. Solo hay un
problema y es que Orlando es muy austero;
por lo tanto, no aceptará ir a todos los lugares
que Ingrid tiene planeado. Ella ha calculado
1
que la probabilidad de ir a comer es y de ir
3
2
al cine es . Tal como lo había previsto,
5
Orlando le dice que elija uno o lo otro, o que
se queden en su casa escuchando música,
¿cuál es la probabilidad de que Ingrid vaya al
cine o a comer?
3. “¡Cuando gane el Kino me compraré todo lo
que quiera! –le dijo Leo, enojado, a su papá–.
Mañana mismo me compraré uno y ya vas a
ver... todo lo que yo quiera”. Su papá
pacientemente y no haciendo caso a sus
berrinches le preguntó: “¿Cuál es la
probabilidad de que lo ganes si supones que
solo se imprime una combinación por
cartón?” (recuerda que gana el Kino quien
acierta 14 números de 25)
4. “Las reglas del concurso de baile son un tanto
extrañas –pensaban Teresa y Clemente–.
Existen 4 equipos, cada uno de ellos con 6
parejas. Nos han dicho que para la próxima
selección de temas escogerán una pareja de
cada equipo, pero que no puede ser ni el
hombre ni la mujer mejor calificada de los
equipos. ¿Cuál es la probabilidad de que nos
escojan a nosotros para representar a
nuestro equipo?”
6. “Hoy compré mi nuevo auto y el próximo
lunes me lo entregan. Como la patente de
todos los autos que he comprado han
comenzado con K y terminado en 7, me
pregunto ahora cuál será la probabilidad de
que nuevamente mi patente sea de ese tipo,
sabiendo que ahora las patentes están
formadas por dos consonantes y cuatro
dígitos. Calcúlalo por mí”.
7. Los informes realizados en una clínica con
respecto a los enfermos arrojan los siguientes
datos: un 45 % de ellos ingresa por problemas
respiratorios, un 35 % por problemas
estomacales y un 20 % por otras patologías. De
los enfermos ingresados, la probabilidad de que
sean dados de alta (completamente sanos) es,
respectivamente, un 0,6; 0,8 y 0,9, dependiendo
de la patología de ingreso. Calcula la
probabilidad de que si un enfermo es dado de
alta, haya ingresado por una patología
estomacal.
Material Fotocopiable
celebrar los casi cuatro años de noviazgo con
b. las dos bolitas sean del mismo color.
Material Fotocopiable
2. El 14 de febrero se acerca. Ingrid quiere
a. la primera sea roja (de la primera urna) y la
segunda sea blanca (de la segunda urna).
Material Fotocopiable
1. Pedro y Luisa están haciendo una apuesta.
Ellos lanzan una moneda al aire tres veces.
Pedro dice que es más probable obtener al
menos 2 caras que obtener al menos 1 cara y
1 sello y Luisa dice lo contrario. ¿Cuál de ellos
tiene razón y cuáles son estas
probabilidades?
5. Se tienen dos urnas con bolitas de colores. La
primera contiene 8 rojas, 9 blancas y 3
negras. La segunda contiene 4 blancas, 12
rojas y 4 negras. Calcula la probabilidad de
que, al extraer dos bolitas, una de cada urna:
Material Fotocopiable
I. Resuelve los siguientes ejercicios y problemas:
UNID AD 5
Actividades de profundización
227
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Instrumentos de evaluación
Mediante esta guía didáctica, específicamente en las unidades anteriores,
hemos puesto énfasis en la evaluación, tanto de proceso como sumativa. Es
esencial que cada alumno o alumna pueda ser parte de su proceso de
aprendizaje, y eso solo se logra cuando también forma parte de la evaluación
de su proceso. Por esta razón se han propuesto distintas formas de
evaluación y, sin duda, habrá muchas más. Las que hemos abordado en esta
guía como propuesta son:
•escalas de apreciación
•listas de cotejo
•trabajos grupales formativos
•actividades individuales o grupales de estudio
•evaluaciones sumativas
a.Escalas de apreciación
Sirven para recolectar información sobre el trabajo puntual realizado por los
alumnos y alumnas en una clase o en una actividad determinada. Pueden
complementar las evaluaciones de proceso que están en la unidad.
Por ejemplo, al final del estudio de cada una de las propiedades de las raíces, es:
Nombre del estudiante: Curso: Fecha: Actividad: Promedio obtenido: Porcentaje de logro: Según tu apreciación personal del trabajo realizado, marca con una cruz el
casillero correspondiente para cada una de las siguientes preguntas, de
acuerdo con esta escala (Recuerda que hay actitudes como la participación
en clases, el trabajo en grupo, etc., que también se aprenden).
A:
He aprendido
B: Algunos temas aún me cuestan
C:
La mayoría de los temas me cuestan
Indicador
A
B
C
¿He aprendido los conceptos de la sección?
¿Podría resolver solo los ejercicios resueltos o los ejemplos dados?
¿He sido capaz de desarrollar los ejercicios propuestos?
¿Respondí correctamente durante la clase cuando se me preguntó?
¿Me he preocupado de preguntar lo que no me quedó claro?
¿He realizado un buen trabajo en equipo, junto con mis
compañeros? (en caso de trabajo en grupo)
¿He demostrado interés en aprender?
¿He puesto todas mis capacidades al servicio de mi aprendizaje?
228
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b. Listas de cotejo
Recolectan información sobre el nivel de logro de aspectos trabajados en las
secciones de la unidad. Pueden ser dirigidas al estudiante o trabajadas por el
profesor. Un ejemplo de estas es:
UNID AD 5
Realiza las tareas
dadas
Aporta al trabajo de su
grupo
Realiza los ejercicios
propuestos
Alumno
Muy bueno (7,0 - 6,0)
Bueno (5,9 - 5,0)
Suficiente (4,9 - 4,0)
Insuficiente (3,9 - 1,0)
Pregunta cuando tiene
dudas
MB:
B:
S:
I:
Es capaz de verbalizar
los conceptos
fundamentales
Escala:
Trabaja bien en clases
Curso: Abarca
Juan
Baeza
Lorena
También se puede aplicar al trabajo individual. Por ejemplo, en los ejercicios
de síntesis y evaluación de la unidad.
c. Trabajos grupales formativos
Se vuelve a insistir en la importancia del trabajo grupal, ya que muchas veces
los alumnos logran explicarse mejor entre ellos. Puede formar grupos de
manera aleatoria o intencionada. En esta sección se ha privilegiado el trabajo
grupal en la resolución de problemas de planteo, pero es usted como
maestro quien debe decidir cuáles son las actividades que designará como
trabajos grupales y cómo serán evaluadas.
d. Actividades grupales o individuales de estudio
Se sugiere trabajar alguna de las guías complementarias propuestas como
preparación para la prueba de unidad. Recuerde que es bueno trabajar con
el tipo de ejercicios que se evaluarán. Usted debe evaluar lo que enseñó y no
si el alumno es capaz de resolver un problema nuevo con algún otro tipo de
estrategia. Los ejercicios que apuntan a desarrollar habilidades superiores,
como aplicar, analizar y relacionar diversos conceptos, deben ser trabajados
en clases. No trate de sorprender a sus alumnos, solo constate que
aprendieron lo que usted les enseñó.
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e. Coevaluación
Entendida como aquella evaluación realizada entre pares de una actividad o
trabajo realizado. Recuerde que la dinámica de las relaciones del curso debe
ser la brújula que le indique si este tipo de instrumento se puede aplicar y
cómo se hace. Recuerde que usted puede visitar el siguiente enlace para
optimizar este recurso evaluativo:
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573
Un posible instrumento es:
COEVALUACIÓN
TEMA: FECHA: :
INDICADORES
Niveles de logro
INTEGRANTES DEL GRUPO
1
2
1
3
4
5
4 = SÍ
8 = NO
2
3
4
Total
1. Ayuda a los
integrantes del
grupo
2. Cumple con lo
que el grupo le
encarga
3. Mantiene un buen
trato con sus
compañeros
4. Es tolerante ante
las opiniones y
propuestas de los
compañeros
f. Evaluaciones sumativas
Resumen lo trabajado en la unidad. Se pueden utilizar, como ya se ha dicho,
de manera formativa o evaluada. Los ítems de alternativas propuestos en el
libro tienen una evaluación porcentual de logro que los alumnos deben
calcular. Esta se puede traducir a nota según las siguientes tablas (al 50% o
al 60%). Recuerde que en la unidad 1 de esta misma guía se han entregado
dos escalas para transformar porcentajes de logro en notas.
De manera complementaria al Texto del Estudiante, a continuación se
presentan dos evaluaciones con diferentes ítems para que sirvan de apoyo al
docente.
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Evaluaciones
efectuado 1 000 lanzamientos de una
moneda, cuyas frecuencias se presentan en
gráfico circular:
1. y son ejemplos de dos sucesos
equiprobables
2. La probabilidad de escribir dos vocales
seguidas en el computador, sin mirar la
pantalla, es 3. Un evento cierto es, por ejemplo,
4. La probabilidad de que al lanzar un dado y
una moneda salga 4 y cara es
5. Si el equipo de fútbol “Mañanitas” tiene
probabilidad de ganar igual a 0,1; de empatar
igual a , entonces, la probabilidad de perder es
6. y son ejemplos de sucesos
dependientes
7. Un suceso imposible tiene probabilidad igual a
8. La probabilidad de un suceso está siempre
entre los valores 9. La probabilidad de sacar tres números pares
de una urna con números del 1 al 20 al hacer
tres extracciones simultáneas y sin reponer
los números es 10.La probabilidad de escoger dos compañeros
en tu curso de modo que el primero sea
hombre y la segunda sea mujer es
II. Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Usando un simulador, se han efectuado 1 000
lanzamientos de dados, cuyos resultados se
presentan en el gráfico de barras.
Análogamente, con un simulador se han
Lanzamiento de monedas
0,161
0,169
0,180
0,174
0,190
0,180
0,170
0,160
0,150
0,140
0,154
I. Completa cada una de las siguientes
afirmaciones según corresponda:
Lanzamiento de dados
0,162
Resuelve en tu cuaderno. Recuerda que colocar el
desarrollo en forma ordenada te ayudará a pensar y
razonar mejor. Revisa tus respuestas junto a tu
profesor o profesora.
1 2 3 4 5 6
0,505
0,495
CARA
SELLO
UNID AD 5
Evaluación 1
El experimento consiste en lanzar dos veces el
dado consecutivamente y luego la moneda
una vez. Se forman los productos de las pintas
y se acompaña con C o S según proceda.
a. Ordena de manera descendente los
siguientes resultados: 6 S; 24 C; 6 C y 29 S,
de acuerdo a su probabilidad de
ocurrencia, indicando en paréntesis el
valor encontrado. ¿Qué llama la atención
de uno de estos valores respecto del tipo
de suceso?
b. ¿Cuál es el valor de la probabilidad de:
(20 C / 10 C )?
c. ¿Cuál es el valor de la probabilidad de que
aparezca ya sea 20 C o 10 S?
2. La probabilidad de un dado cargado es
proporcional a su pinta. Es decir,
P (1) = x ; P ( 2) = 2 x ; P (3) = 3 x etc. Se lanza
cuatro veces y se ha formado la secuencia
3 – 5 – 4 – 2. ¿Qué es más probable: que esta
secuencia aparezca usando un dado no
trucado o este? Justifica tu respuesta.
3. Se consideran todos los números de tres
cifras divisibles por 6. ¿Cuál es la probabilidad
de que al azar se encuentre uno de ellos si en
la bolsa que los contiene hay:
a. solo números de tres cifras que
contienen números divisibles por dos y
por tres a la vez?
b. números comprendidos entre 100 y 999?
c. números impares de tres cifras?
4. En una pequeña sala de ventas de
automóviles hay siete vehículos, y uno de
ellos viene con defectos. Dos personas entran
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a comprar automóviles. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
porcentaje de probabilidad tienen sus
moradores de:
a. los dos primeros que se vendan sean sin
defectos?
a. tener uno de los dos servicios?
b. el segundo automóvil comprado no sea
defectuoso, sabiendo que el primero
comprado no es defectuoso?
c. el primero que sea con defecto y el
segundo sin defecto
d. el segundo automóvil comprado no sea
defectuoso, sabiendo que el primero lo
es? Ahora bien, ¿qué llama la atención del
resultado anterior con respecto al tipo de
suceso?
5. Con las letras o, d, c, s, i, r, t, e se pueden formar
palabras con o sin sentido en
nuestro idioma. Escribe una palabra con
sentido. ¿Cuál es la probabilidad de
formación de dicha palabra?
6. Supongamos que formamos todos los
números posibles de 5 dígitos con las cifras
2; 2; 2; 2; 5; 5; 5; 5. Si tomamos uno de esos
números al azar, cuál es la probabilidad de que
la suma de sus dígitos sea menor que 20?
7. “Somos siete amigos que hacemos fila para
entrar al cine. Al llegar a la ventanilla, nos
informan que solo quedan 4 entradas. Uno de
nosotros decide retirarse. Así que tenemos
que repartirnos azarosamente las entradas.
¿Cuál es la probabilidad de que, por esto, yo
no ingrese?”
8. Se generan azarosamente números enteros
de cinco cifras con repetición a partir de dos
conjuntos posibles: 0, 2, 3, 4, 6, 7 y 2, 4, 5, 7, 8,
9. Responde:
a. ¿Tiene la misma probabilidad de ser
formado 44 444 a partir de cualquiera de
los dos conjunto de números? Justifica tu
respuesta.
b. ¿Cuál es la probabilidad de encontrar,
azarosamente, un número formado a
partir del segundo conjunto y que sea
múltiplo de 10? ¿Por qué se produce este
resultado?
9. Una encuesta realizada en una ciudad
pequeña reveló que el 35% de los hogares
tienen Internet en su casa, el 31% tienen TV
por cable y 20% ambos servicios. Se elige un
hogar de los encuestados al azar. ¿Qué
b. no tener ninguno de los dos servicios?
c. tener TV por cable si se sabe que tienen
Internet?
10.El siguiente cuadro muestra la composición
del personal de una empresa
PERSONAL
PROFESIONALES ADMINISTRATIVOS AUXLIARES
Mujeres
Hombres
45
40
70
50
35
30
Se elige una persona al azar. ¿Cuál es la
probabilidad de que sea:
a. mujer, sabiendo que es profesional?
b. hombre, dado que no es auxiliar?
c. profesional o administrativo, dado que no
es hombre?
11.Sean A, B y C sucesos, donde B y C son
independientes, en un mismo experimento
aleatorio, tal que,
2
3
1
P ( A ) = ; P ( B ) = ; P ( C ) = . Encontrar:
3
5
2
a. P ( B ∩ C / A )
b. P ( A / B ∩ C )
12.En un Centro de enseñanza, el 80% del
alumnado es de Enseñanza Media y el resto
de Enseñanza Básica (7º y 8º). En la redacción
de una revista interna participa el 10% de
los de Enseñanza Básica (7º y 8º) y el 5% de
los de Enseñanza Media. ¿Qué probabilidad
existe de elegir a alguien que:
a. sea de la redacción, resulte ser de
Enseñanza Media?
b. no sea de la redacción, sea de Enseñanza
Básica (7º y 8º)?
13.Dos dados son lanzados. ¿Cuál es la
probabilidad de que el resultado de un dado
sea 5 sabiendo que la suma es 8?
14.Si A y B son sucesos de un experimento
aleatorio la P ( A / B ) = P ( A )
a. ¿Cuánto es P ( A ∩ B ) ?
b. Conforme a tu respuesta de a., ¿qué
concluyes con respecto a la dependencia
o independencia de A y B?
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es ir con su pololo y una amiga con otro amigo
que les acompañe. ¿A quiénes invitar? A Ofelia,
Oriana e Isa, por un lado, y a Elmo, Ramón y
Bartolomé por el otro.
Pero al momento de decidir vienen los
problemas, porque no todos se llevan bien. Ofelia
y Elmo pueden ir sin problemas, pero ¿Ofelia con
Ramón o Bartolomé? ¡jamás! Ahora, Oriana con
Elmo o Ramón no tienen problemas, pues son
muy buenos amigos entre sí, pero ¿Oriana con
Bartolomé? ¡Ni pensarlo, terminan peleando
siempre! En el caso de Isa, con Elmo no puede ser,
porque mutuamente se desagradan, pero ella
con Ramón o Bartolomé, ningún problema.
a. menor que 4
b. mayor que 2
c. menor que cuatro, pero mayor que 2
d. no menor que 4, dado que no es mayor
que dos
III.Resuelve los siguientes problemas:
1. Dalmiro D, estadístico, va a pasar, junto a su
esposa, quince días de vacaciones a un centro
de aguas termales de la Región de La
Araucanía. Al momento de registrarse, la
dueña, Orielle, se da cuenta de que Dalmiro
es hijo de Alamiro D, una persona que la
orientó en los comienzos de su actual
negocio, cuando ella vivía en Puerto Varas, y
le pidió cierta ayuda. Ella le expresa que si
bien es cierto que la ido bien, la competencia
con otros centros es muy fuerte. Entonces él
le da algunos consejos básicos:
b. incluya a Ofelia?
c. incluya a Isa, pero no a Ramón?
d. considere a Oriana y se lleve bien?
e. descarte a Oriana?
f. incluya a Bartolomé, dado que fue elegida
Ofelia?
Noviembre
- Diciembre
Septiembre
- Octubre
Julio
- Agosto
Mayo
- Junio
Marzo
- Abril
Enero
- Febrero
¿Qué hacer?... Le contó a su pololo, y como él los
conoce, le dijo que eran ideas suyas, que confiara
porque él va a elegir, de entre ellos, la pareja más
apropiada. Conforme a la percepción de Karina,
y a la elección de su pololo, ¿cuál es la
probabilidad que la pareja elegida
a. se lleve bien?
“Por eso le digo, Sra. Orielle, que para empezar
es bueno tabular los datos como lo estoy
haciendo ahora con la información que usted
me ha dado:
Nº de visitantes
Tramo en
promedio por mes bimestres
UNID AD 5
15.Una urna contiene nueve bolas numeradas
del 1 al 9. Determina la probabilidad de que
al extraer al azar una bola esta sea:
g. se lleve bien, sabiendo que incluye a
Elmo?
3. –Bueno, compadre, cuénteme qué pasó con
sus tres amigos.
30
42
57
51
33
27
– Mire, compadrito, estábamos sentados en la
cantina de Doña Tinita, como al mediodía del
sábado pasado, y decidimos jugar a los dados
de colores, esos de caras cuadradas. Un juego
muy fácil. Tiramos cuatro dados iguales,
donde cada cara está pintada de un color
distinto. Después vemos el color de la cara
cuadrada superior; quien tiene más
cuadrados del mismo color, gana.
Empezamos a apostar dinero, era un juego
rápido, hasta que cuando todos llevábamos
suficiente dinero acumulado, hago mi tirada y
me salen todas las caras azulitas. ¡Esperen! les
dije, les apuesto toda mi plata a que puedo
tener cinco caras azules en total. Ellos se
echaron a reír.
Accedieron apostando todo también. Junté
los dados, con las caras azules hacia arriba y
Ahora, estime usted la probabilidad de que
uno de los visitantes haya estado:
a. En los tres bimestres de menor
concurrencia.
b. En los dos bimestres seguidos de mayor
afluencia de visitantes”
2. Al participar en el concurso de radio:“Mi pareja
ideal”. Karina se ha ganado una cena para cuatro
personas, con show bailable, en un lugar muy
bello de la ciudad.
Además, está feliz porque este evento es para el
14 de febrero, el día de los enamorados. Todo
parece bien, pero piensa que lo más adecuado
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formé un gran cuadrado. Ahora cuenten,
cuatro cuadrados de los dados y el grande
que he formado. Así que vengan para acá
con su dinero porque lo he ganado
limpiamente. No me creyeron otra vez, pero la
evidencia estaba a la vista. ¿Qué le parece mi
relato compadrito? ¡Este es su compadre
Venancio, pues!
a. A pesar de la evidencia de Venancio y
conforme a las reglas del juego dadas al
comienzo ¿cuál es la probabilidad de que
el total de los cuadrados de igual color
sea cinco en cuatro dados cargados o no?
¿Por qué?
b. ¿Cómo se llaman el evento de la pregunta
anterior?
c. Escribe un evento seguro considerando
los colores de los dados.
4. Ramiro va a hacer una fiesta en el salón
comunitario de su villa. Mientras el encargado
del recinto conversa algunos detalles para dar
la autorización, pregunta:
–¿Que tipo de amigas y amigos van ser los
invitados?
–Bueno la mayoría son jóvenes, algunos
chispeantes y sensibles. Veinte en total,
incluyéndome.
–Ah, jóvenes, chispeantes y... ¿sensibles?
–Sí, así le llamo a aquellos que bailan “solo
lentos”, son ocho en total. ...
–Yo le hablo de otras cosas, Ramiro. De dónde
vienen, por ejemplo, o si vendrán en vehículo.
Un poco después de dada la autorización,
Ramiro pensó que no es mala idea clasificar
un poco a los invitados; así se puede
programar mejor la música. Entonces hizo el
siguiente esquema con el número de amigos
correspondientes en cada clasificación.
Chispeantes
Creativos
6
1
2
2
4
Sensibles
5
0
Determina la probabilidad de que una de las
personas invitadas:
a. sea creativa y baile solo lentos.
b. sea solo chispeante.
c. sabiendo que no es creativa, no baila
solo lentos.
d. sea sensible, chispeante y creativa.
e. sea chispeante, dado que baila lentos.
5. “Ignacio pertenece a un club privado de
carreras de caballos y me invitó a la gran final
del Premio Equino dorado.
Yo fui ilusionada... nos sentamos en una mesa
para dos para ver en una pantalla gigante un
espectáculo divino y emocionante, la carrera
final entre El Mueca sugerente y El Jarana
caprichoso.
Todos gritan de porcentajes de éxito a favor
de uno o el otro. Él me contó que era más
seguro apostar a El jarana caprichoso, que
tenía una probabilidad de ganar la carrera de
75%, en contra de 70% del otro, por eso
aposté a ese caballo.
Aquí le interrumpí, le puse mi mano derecha
delicadamente sobre su boca y, en voz baja,
mirándolo fijamente a sus ojos, le dije, juega a
empate, Ignacio, porque en este juego o
ganas o pierdes. Entonces bajé mi mano, la
posé un segundo sobre la suya y... la carrera
empezó...”. Conforme al relato, responde:
a. Que gane “El Mueca sugerente” o que
gane “El Jarana caprichoso” son suceso de
distintas probabilidades de ocurrencia.
¿Cómo se llama a este tipo de sucesos?
b. ¿Cómo se llama a aquellos sucesos que no
pueden ocurrir simultáneamente?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que
efectivamente gane la carrera “El Mueca
sugerente” y pierda “El Jarana caprichoso”?
d. Si existiera la posibilidad de un empate,
¿cuál sería su probabilidad?
6. Luzmira, Liberto, Lamberto y Lola tienen que
presentar su exposición final sobre los cambios
climáticos y deben abarcar cinco aspectos en el
orden dado por su profesora de Ciencia, y cada
aspecto debe ser explicado por un integrante
del grupo. Ella les había advertido que todos
deben saber la materia al exponer y que no se
extrañaran si hace que pasen los cuatro, o tres, o
dos, o solo uno de ellos para explicarla. Sin
234
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Descubrieron que hay siete órdenes distintos en
la presentación que definitivamente no les
favorecen.“Bueno, dijo Lola, si ya sabemos esto,
¿qué tan probable es que no aparezcan estos
órdenes? De todas maneras, es mejor que nos
propongamos dominar toda la materia”.
¿Cuál es la probabilidad aducida por Lola?
Expresa tu respuesta porcentualmente con
aproximación a la décima.
7. Al regreso del paseo, en el verano de 1991,
nos quedamos aislados por la crecida del río.
La noche estaba estrellada, pero oscura. No
había nada ni nadie en ese campo. Al rato, un
hombre fornido bajó de su camioneta, se
acercó a mi vehículo y me pidió una linterna.
Empezó a dirigirse con señales de luces
cortas y largas hacia un punto luminoso en
las faldas de un cerro. Paraba y seguía
insistiendo. Minutos más tarde, del otro lado
respondieron de similar manera.
¡Calma me dijeron mis dos amigos, está
ayudándonos con sus claves!, es código
Morse. El hombre me devolvió la linterna y
nos dijo, que ya venía la ayuda y se alejó.
Llegó la ayuda, pero nunca supimos
quién fue”.
El código Morse es un método según el cual
cada letra o número es transmitido de forma
individual con un código consistente en rayas
y puntos. Así se pueden formar mensajes. Hoy
es perfectamente utilizable cuando hay
condiciones atmosféricas adversas, que no
permiten el empleo de otros medios. Por
ejemplo, la siguiente secuencia quiere decir
“Hola”, donde los / , // son separadores de
cada letra y el orden de . y - importa.
//.... / --- / .-.. / .- //
Halla la probabilidad de formar letras de
cuatro símbolos
a. con igual número de . y b. con tres . y una c. que contenga de uno a tres .
8. A puerta cerrada y tras acaloradas
discusiones, los miembros del directorio de
TV logran aprobar el orden en que deben ir
los dos cantantes, el humorista y las dos
coreografías para el día de apertura de un
festival de la canción, dejando fijas las dos
competencias, la folclórica y la internacional
2012, que será transmitido a todo el país y
también por señal internacional. Por supuesto
que nadie iba con el ánimo de discutir las
treinta maneras de las posibles ordenaciones.
La primera de las propuestas sin distinguir
nombres es cantante: coreografía, humorista,
coreografía, cantante y la otra es coreografía,
cantante, humorista, cantante, coreografía.
¿Cuál es la probabilidad de que se elija:
UNID AD 5
embargo, ella lo determinaría al momento de la
exposición.
Esto no los dejó conformes y están analizando lo
peor que les puede ocurrir para la mencionada
exposición. Confiesan que todos no dominan
completamente la materia. Por ejemplo, no les
conviene el siguiente orden: Luzmira, Liberto,
Lola y Lamberto.
a. Ninguna de estas dos propuestas
b. Una en la que se tenga un cantante al final
de la presentación
c. Una en la que se tengan los cantantes en
tercer y quinto lugar de la presentación
Lee atentamente y luego responde las
preguntas 9 y 10.
–¡Alto ahí!, ¡levanten las manos de inmediato!
–nos gritaron mientras, caminábamos hacia
ellos los siete sobrevivientes del último
ataque aéreo por parte del enemigo
–Somos del poblado vecino. Soy Rafael N,
ingeniero aeronáutico, con mi mujer, Natalia,
mis tres hijos, más dos de mis colaboradores.
Aquí tengo mi autorización estatal...
9. Una vez en la base conversan...
–Sus radares no son tan seguros.
–No es verdad, el ingeniero jefe nos garantiza
que nuestros radares, independientes entre sí,
actualmente detectan en un 90%, 93% y
96% algún avión del enemigo. Aunque ya
resistimos el último ataque...
–Ustedes siguen confiados... ¡Yo no lo haría,
Señor! En cualquier momento puede haber un
ataque y sus radares están fallando. ¡Hay vidas
humanas en peligro! Sus radares han sido
intervenidos por alguien que está en esta base,
están funcionando intencionadamente mal.
–¿Está insinuando que entre nosotros alguien
está traicionándonos, espiando, trabajando
para el enemigo?... ¿alguien descomponiendo
radares?... ¡Mucha imaginación don Rafael N!
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A las 3:58 un avión explorador del enemigo
ronda los cielos de la base. 10 minutos más
tarde comienza un bombardeo enemigo.
¡Ataque sorpresa!
Supongamos que los radares no fueron
intervenidos y el rendimiento es el
mencionado. Responde:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión
explorador no haya sido detectado por
ninguno de los radares?
b. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión
haya sido detectado por cualquiera de
los radares?
c. ¿Cuál es la probabilidad de que el avión
haya sido detectado solo por el de mayor
rendimiento?
10.Una hora después cesa el fuego, hubo
mucha pérdida de las instalaciones y algunas
bajas. Luego, terminada una reunión
extraordinaria, el encargado de la base se
acerca a Rafael e irónicamente le comenta:
–Al parecer, los hechos confirman su teoría
del supuesto espía...
–La guerra no es un juego, señor. Las vidas
perdidas no se recuperan. Si hoy mis hijos
están aterrorizados por nuestras atrocidades,
mañana, junto a los suyos, nos juzgarán por
nuestras acciones...
El encargado de la base, golpeado entre otras
cosas por estas palabras, decide nombrar una
comisión de cinco de las siete personas de su
confianza para investigar la situación.
Determina la probabilidad de que en la
comisión esté presente:
a. la persona de más confianza del
encargado.
b. el supuesto traidor.
c. la persona de más confianza y el supuesto
traidor, que no son la misma persona.
11.–¡He pasado la vergüenza del siglo con Tino!
Era nuestra tercera salida como novios y
decidimos ir al cine. Alcanzamos a sacar las
entradas, él corrió a comprar una bolsita de
caramelos con surtido de tres sabores:
naranja, limón y guinda en la dulcería del
costado de la caja. La película recién estaba
empezando, nos acomodamos. Como a la
media hora del inicio, silenciosamente, le pedí
que me pasara un caramelo y me dio uno de
guinda; en seguida, se le cayó uno a suelo que
no recogió, tomó otro echándolo a su boca.
Súbitamente, me tomó la mano, me la apretó
y saltó de su asiento, expulsando
violentamente de su boca el caramelo. Este
fue a dar como proyectil a la cara de otra
joven que también estaba con su novio. Hubo
una mala interpretación del hecho por parte
de los afectados, se produjo un escándalo y
tuvimos que abandonar el cine en medio de
las pifias. Discutimos afuera y todo porque a él
no le gusta el de sabor a naranja.
–¡Uf, amiga! ¡Qué pena! ¿Qué dulces
compraron?
–Unos nuevos. Venían 10 de naranja, 5 de
limón y 3 de guinda.
Una reacción inesperada y
sobredimensionada para la ocasión, por
decir lo menos. Pero:
a. ¿Con qué probabilidad se produjo este
acontecimiento si el caramelo que cayó
fuera de limón?
b. Teniendo en cuenta que el primer
caramelo fue de guinda y el último de
naranja, ¿cuál de las tres secuencias
posibles de sabores de los caramelos
extraídos del paquete hubiera sido la
menos probable de ocurrir? indica su
valor.
12.Andrés acaba de dar la PSU y está esperando
sus puntajes. Desea entrar a ingeniería y ha
estado averiguando en varias universidades
los requisitos para ingresar. Entre tantas
búsquedas, se encontró con un informe que
decía que en una de sus preferidas, el 20%
de los alumnos estudian arte, el 30% ciencia
y el 50% ingeniería.
Ahora bien, los que terminan la carrera de
arte son un 5 %; 10% la de ciencia y el 20%
la de ingeniería. Si tomara un alumno al azar
¿qué tan probable será que
a. haya terminado su carrera y sea
de ingeniería?
b. sabiendo que es de ingeniería, haya
acabado su carrera?
c. sea de ingeniería si ha acabado su carrera?
236
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13.Angélica y su grupo están haciendo un
trabajo de investigación para su colegio y
han elegido el tema de los pueblos
autóctonos de nuestro país. Con el título de
“Conozcamos cada vez más a nuestro
pueblos originarios” van a hacer una
exposición, que abarque varios aspectos,
incluso alguno para usarlo en la clase de
Matemática. La fuente de información
proviene de “ESTADÍSTICAS SOCIALES DE
LOS PUEBLOS INDÍGENAS EN CHILE - CENSO
2002. PUBLICACIÓN ELABORADA POR EL
INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICAS EN
CONVENIO CON EL MINISTERIO DE
PLANIFICACIÓN NACIONAL”.
Composición de la población indígena por sexo y regiones
(n)
R.M. 98124
XII.
XI.
X.
IX. 101004
VIII.
VII.
VI.
49499
4848
3878
26526
III.
2430
2764
3362
II.
11391
I.
24327
52594
27381
4671
9310
IV.
4241
3886
4701
V.
4802
93 330
102946
9528
11839
24762
Mujeres
Hombres
http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/
estadisticas_sociales_culturales/etnias/pdf/estadisticas_
indigenas_2002_11_09_09.pdf
Ellos dijeron:“la población indígena total es de
692192 habitantes indígenas. Este es nuestro
total de referencia para nuestros cálculos”.
Responde: ¿cuál es la probabilidad de escoger
una persona indígena al azar y que
a. sea mujer?
b. sea de la I Región y sea hombre?
c. sabiendo que es de la IX Región
sea mujer?
e. sea de la II o III dado que es mujer?
f. siendo hombre, sea de la Región
Metropolitana?
g. sabiendo que es mujer, pertenezca a
alguna de las regiones X, XI o XII?
h. dado que proviene de la región donde
hay menos población indígena, sea
hombre?
14.Antonio asistió a un programa de televisión y
durante su desarrollo salió sorteado para
pasar a concursar en la sección “la puerta
ganadora”. Él tenía la posibilidad de elegir
una entre 3 puertas A, B o C para quedarse
con lo que había detrás de ella: un
departamento amoblado en Viña del Mar.
Todas las puertas son igualmente posibles
de contener el premio. El animador dijo:
–¿Cuál puerta elige usted, Antonio?
–La puerta A
–¿Respuesta definitiva, Antonio?
–Sí, la puerta A
5872
4176
d. que pertenezca a la VI, VII u VIII y
sea hombre?
UNID AD 5
d. Por otro lado, ¿qué será más probable:
encontrar un alumno que haya terminado
sabiendo que es de ciencia o encontrar
un alumno que haya terminado sabiendo
que es de arte? ¿Por qué?
El animador, que conoce exactamente dónde
está el premio le abre la puerta C, donde no
está el premio. Entonces le ofrece la opción de
cambiar de puerta. Se produce mucha
tensión, el público grita a favor o en contra de
la puerta A...
Entonces, como queremos que Antonio
gane, la pregunta va para ti: ¿Debe Antonio
aceptar la nueva posibilidad cambiando la
puerta A que eligió inicialmente o no? ¿Por
qué? Justifica usando probabilidades.
15.Tamara es asistente social y Paula, sicóloga
laboral. Ellas atendieron el año 2010 a 800
trabajadores provenientes de tres ciudades,
C1, C2 y C3, y que trabajaban en cuatro
industrias, I1, I2 ,I3 y I4, según lo indica la
tabla adjunta.
Ciudad
C1
C2
C3
I1
65
60
25
I4
170
130
100
Industria
I2
I3
50
40
30
20
40
70
237
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Como una forma de iniciar un seguimiento
para su trabajo del 2011, eligen al azar uno
de estos trabajadores y necesitan responder
las siguientes preguntas. Ayúdales a hacerlo
y responde tú. ¿Cuál es la probabilidad de
que el trabajador elegido
a. trabaje en I2, sabiendo que él vive en C3?
a. 0,19%
b. 0,38%
c. 1,9 %
d. 3,8 %
5. Si A y B son sucesos independientes, tales
que P ( A ) = 0, 56 y P ( B ) = 0, 21 , entonces,
¿cuál(es) de las siguientes afirmaciones es
(son) correcta(s)?
b. viva en C2, dado que trabaja en I1 o I4?
I. P ( A ∩ B ) = 0, 1176
d. viva en C2 o C3, dado que trabaja en I1 o I3?
a. Solo I
c. Solo III
b. Solo II
d. Solo II y III
c. si se sabe que vive en C1, trabaje en I2 o I4?
IV.Marca la alternativa correcta:
1. La probabilidad de que al lanzar una moneda,
tres veces sucesivas, se obtengan dos sellos es:
1
3
5
a.
c.
e.
8
8
8
4
2
b.
d.
8
8
2. La siguiente tabla muestra los resultados de
un estudio sobre dos de las enfermedades
más comunes en los adultos mayores:
diabetes y artrosis. Según los datos en ella,
¿cuál es la probabilidad de que al elegir al
azar a una persona encuestada esta tenga
artrosis si era mujer?
28
28
24
a.
c.
e.
55
50
55
27
27
d.
b.
50
55
Enfermedad
Hombre
Diabetes
Artrosis
42
48
56
Mujer
54
3. La probabilidad de que al elegir un alumno
de tu colegio este sea hombre o mujer entre
4 y 19 años es:
a. 0
b. cualquier número del intervalo ]0, 1[
c. 1
d. 2
e. No se puede determinar, pues faltan datos.
4. Matías tiene una bolsa llena de bolitas de
colores. Tiene 10 rojas, 4 verdes, 8 azules, 5
blancas y 7 negras. La probabilidad de que al
extraer tres bolitas consecutivamente estas
sean verde, negra y blanca, en este orden, es
aproximadamente:
e. 38 %
II. P ( no A ) = 0, 44
III. P ( no B ) = 0, 79
e. I, II y III
4
6. Si la frecuencia relativa de un suceso es , se
33
puede afirmar que:
I. la probabilidad del suceso es,
aproximadamente, 12%
II. el suceso ocurrió 4 veces de un total de
33 que se realizó el experimento
III.la probabilidad es 0,12.
a. Solo I
c. Solo III
b. Solo II
d. Solo I y III
e. I, II y III
7. Juan tiene 4 posibilidades de tomar el ramo
de Cálculo; 3, de tomar Estadística y 2, de
tomar Geometría el próximo semestre,
dependiendo del profesor que lo dicte. Si
Juan no tiene preferencia por ningún
profesor en particular, la probabilidad de que
elija 1 de las posibles combinaciones que
puede hacer es:
1
1
1
c.
a.
e.
6
10
24
1
1
d.
b.
12
9
8. La probabilidad de escoger un múltiplo de 5
entre los 100 primeros números naturales es:
a. 20 %
b. 15 %
c. 10 %
d. 2 %
e. 1%
9. La probabilidad de escoger una bolita gris de
la urna de la figura, que contiene bolitas todas
del mismo tamaño y peso, es la misma que:
a. la probabilidad de escoger una blanca.
b. la probabilidad de escoger una negra.
238
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d. la probabilidad de escoger una negra y
una blanca.
e. no se puede determinar la probabilidad
pedida.
4. ____Si dos sucesos son dependientes,
entonces cada uno de ellos tiene
probabilidad 50% de ocurrir.
5. ____Que mañana sea jueves es un suceso
dependiente.
6. ____Si la probabilidad de que A suceda es
0,4, entonces la probabilidad de que no
suceda es 0,6.
7. ____Si dos sucesos son equiprobables, la
probabilidad de que suceda uno o el
otro está dada por la suma de las
probabilidades de cada uno de ellos.
10.Dado el siguiente gráfico, que muestra los
atrasos registrados en un colegio durante el
año 2009, si se elige un alumno al azar de los
que han llegado atrasados durante el año,
¿cuál es la probabilidad, aproximada al
entero, de que sea de segundo ciclo básico
(5º a 8º básico)?
122
109
92
120
117
112
149
108
92
138
132
62
7
0
10
3
11
8
16
5
10
7
11
10
15
20
160
140
120
100
80
60
40
20
0
KA
KB
1ºA
1ºB
2ºA
2ºB
3ºA
3ºB
4ºA
4ºB
5ºA
5ºB
6ºA
6ºB
7ºA
7ºB
8ºA
8ºB
IºA
IºB
IIºA
IIºB
IIIºA
IIIºB
IVºA
IVºB
Nº de atrasos
Atrasos 2009
Cursos
a. 20%
b. 25%
Evaluación 2
c. 30%
d. 35%
e. 40 %
Resuelve en tu cuaderno. Recuerda que colocar el
desarrollo en forma ordenada te ayudará a pensar y
razonar mejor. Revisa tus respuestas junto a tu
profesor o profesora.
I. Coloca verdadero (V) o falso (F) en cada
afirmación según corresponda:
1. ____La nota de mi prueba de Matemática es
una variable aleatoria.
2. ____La probabilidad de dos sucesos
independientes está dada por el
producto de las probabilidades de cada
uno de ellos.
UNID AD 5
c. la probabilidad de escoger una negra o
una blanca.
8. ____Si juego al cachipún con un amigo, la
probabilidad de ganar es 0,5.
9. ____La probabilidad de sacar un número par
y luego uno impar al lanzar dos dados
consecutivamente es la misma que
sacar un múltiplo de cuatro y luego un
número impar.
10. ___La probabilidad de que el número de
teléfono de mi casa comience con 1 es 0.
II. Resuelve los siguientes ejercicios:
1. Se dispone de un dado de ocho caras
cargado y, en mil lanzamientos, se obtuvo la
siguiente distribución de frecuencia:
Nº
1
2
3
4
5
6
7
8
Frecuencia 80 130 110 150 135 170 145 80
a. Indica la probabilidad de el(los) número(s)
que tiene(n) más baja frecuencia relativa e
indica el valor de esta.
b. ¿Cuál es la probabilidad del número que
se acerca más a su probabilidad teórica, es
decir, a aquella de debiera tener en un
dado de ocho caras normal? ¿Por qué?
c. Encuentra la probabilidad de obtener un
número mayor que 3 y menor que 7 en un
lanzamiento.
d. Encuentra la probabilidad de obtener un
4 y luego un 7 en dos lanzamientos
e. Encuentra la probabilidad de obtener un
total mayor o igual a 4 al sumar las pintas
que aparecen en dos lanzamientos.
3. ____Un suceso cierto tiene la misma
probabilidad de ocurrir siempre.
239
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2/11/11 17:26:45
45
75
95
60
800 ≤ S ≤ 950
650 ≤ S < 800
500 ≤ S < 650
350 ≤ S < 500
200 ≤ S < 350
Sueldos
Nº de
(miles de
trabajadores
pesos)
2. En una empresa, la distribución de los sueldos
líquidos mensuales de los trabajadores es la
siguiente:
25
Estima la probabilidad de que si un
trabajador es elegido al azar,
a. su sueldo sea de por lo menos $500000.
b. su sueldo sea por lo menos de $350000,
pero no los $800000
c. su sueldo sea el menos probable de ser
escogido y a qué rango de sueldo
corresponde. Justifica tu respuesta.
3. “Tengo tres repisas donde quiero que estén
mis libros de cine, los de Matemática y los de
Filosofía, cada grupo en una repisa distinta.
Los quiero ordenados uno al lado del otro de
manera vertical. Sé que tengo 120 maneras
posibles de ordenar mis libros de cine y solo
30 de ellas me gustan; de las 24 maneras
posibles de ordenar mis libros de Matemática,
solo 15 de ellas me gustan y de 6 maneras
posibles de ordenar mis libros de Filosofía,
solo 1 de ellas me gusta.
¿Cuál es la probabilidad de que al pedirle a
una persona que ordene azarosamente cada
repisa y conforme a mis preferencias, acierte
a. en las tres?
b. en cualquiera de ellas?
c. solo en las de Cine y Filosofía?
d. únicamente en la de Matemáticas?”
4. Sean A y B sucesos, tal que p ( A ) ⋅ p ( B ) = 0
a. ¿Qué puedes decir del valor de p ( A ) o de
p ( B )?
b. Conforme a lo anterior, ¿qué tipo de
suceso es por lo menos uno de los dos?
5. En una repisa, hay carpetas similares,
numeradas de 1 a 6, y colocadas de manera
ordenada. Accidentalmente caen al suelo y el
encargado de la oficina las vuelve a colocar
en su lugar, pero descuidando el orden en
que estaban. ¿Cuál es la probabilidad de que
solo las dos primeras estén es el orden inicial
y las otras definitivamente desordenadas?
6. Se generan números aleatorios de cuatro
cifras usando 0, 1, 2, 3, 4, donde éstos pueden
repetirse. ¿Cuál es la probabilidad de formar
un número que:
a. contenga solo cifras impares?
b. sea par, dado que sus cuatro cifras son
distintas?
7. Para un evento formal, Javier debe combinar
muy bien su vestimenta. Dispone de tres
chaquetas, cuatro pantalones, seis camisas, cinco
corbatas, siete pares de calcetines, tres pares de
zapatos. Con estas prendas de vestir debe
formar una tenida adecuada. Suponiendo que
cualquiera de las que elija combinan, encuentra
la probabilidad de elegir una tenida donde
a. incluya una de sus dos corbatas preferidas,
la chaqueta que más le gusta, sus mejores
zapatos y aquel pantalón que le queda
mejor. Con el resto de las prendas no tiene
preferencia alguna.
b. no lleve una de las dos chaquetas que
menos le gustan, tampoco aquellos
calcetines que están un poco viejos, ni esa
camisa que le queda un poco apretada.
Con el resto de las prendas no tiene
preferencia alguna.
8. Se han colocado en una tómbola todos los
números de seis cifras que pueden formarse y
se decide elegir al azar uno de ellos. ¿Cuál es
la probabilidad de que las dos cifras iniciales
se repitan y sus dos últimas cifras sean
divisibles por 4?
9. Para un campeonato nacional femenino se
dispone de cinco atletas de la Ciudad del Este
y cuatro de la ciudad del Oeste para formar el
equipo regional. El equipo debe estar
formado por tres atletas de la Ciudad del Este
y dos de la otra ciudad. Determina la
probabilidad de que Trinidad, de la ciudad del
Oeste, quede junto a su amiga Antonia, que
es de la ciudad del Este.
240
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2/11/11 17:26:46
personas asaltadas habían pedido mayor
presencia policial y el 5 % de las personas
que no han sido asaltadas pidieron mayor
presencia policial. Si un habitante que
pertenece a esta municipalidad es escogido
al azar y expresa la necesidad de pedir mayor
presencia policial, ¿cuál será la probabilidad
de que haya sufrido un asalto?
a. atienda reclamos, reparaciones y ventas?
14.Se consideran dos sucesos, A y B, asociados a
un experimento aleatorio, donde
P ( A ) = 0, 72 y P ( B ) = 0, 65 y
b. atienda reclamos?
c. atienda reclamos y ventas?
d. sabiendo que atiende reparaciones,
además atienda reclamos y ventas?
11.La siguiente tabla muestra la distribución de
un grupo de personas según dos aspectos
por considerar: hábito de fumar y presencia
de bronquitis.
HÁBITO
DE
FUMAR
FUMA
NO FUMA
BRONQUITIS
SÍ
NO
150
130
95
125
De acuerdo a la tabla, encierra las
alternativas que puedas deducir y anota la
cantidad de personas a la que afecta.
a. Fume y tenga bronquitis
b. No fume ni tenga bronquitis
c. Dado que tiene bronquitis, fume
d. No fume, dado de que tiene bronquitis
e. No tenga bronquitis, dado que fuma
f. No fume o tenga bronquitis
12.Un computador tiene cargados dos
programas antivirus, A y B, que actúan
simultánea e independientemente. Ante la
presencia de un virus, el programa A lo
detecta con una probabilidad de 0,8 y el
programa B lo detecta con una probabilidad
de 0,9. Calcula la probabilidad de que:
a. un virus sea detectado.
b. un virus sea detectado por el programa A
y no por B.
13.Una de las municipalidades recoge cierta
información que dice que el 1% de los
habitantes de su jurisdicción han sido
asaltados. Confrontándola con informaciones
anteriores, se tiene que 2 de cada diez de las
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(
)
P A ∩ B = 0, 532. Encuentra:
UNID AD 5
10.El turno habitual de una central telefónica
requiere que 5 de los funcionarios atienda
exclusivamente reclamos, 7 solo
reparaciones y 18 solo ventas. El resto de los
cuarenta atienden reclamos, reparaciones y
ventas. El supervisor llama al azar a uno de
ellos para pedirle una información de su
gestión. ¿Cuál es la probabilidad de que:
a. P ( A ∩ B )
b. P ( A / B )
c. ¿Son A y B independientes? ¿Por qué?
15.Sean A y B dos sucesos independientes,
asociados a un experimento aleatorio.
Además, sea P ( A ) = 0, 4 y P ( A ∪ B ) = 0, 7.
¿Cuál es el valor de P ( B )? (Recuerda que
P ( A ∪ B ) = 1 − P ( no A ∩ no B ) )
III.Resuelve los siguientes problemas:
1. Era mi primera semana de práctica como
estudiante egresado de Psicología. Atender
un centro de rehabilitación de jóvenes por
consumo de drogas era una tarea difícil y por
eso la elegí. El coordinador del Centro me
pasó una encuesta reciente donde decía que
de los 110 jóvenes que consumen drogas, 70
eran menores de15 años y el resto de 15 a 21
años. Por otro lado, 7 jóvenes de los 70
mencionados no querían terapia de
rehabilitación, y 16 de los que tienen entre
15 y 21 años, tampoco la querían.
Iba a continuar leyendo, cuando golpeó a la
puerta de la oficina una pareja de jóvenes de
17 años. Uno de ellos venía a una de sus
sesiones conmigo, se llamaba Willy. ¿Podrías
tú ayudarme a responder estas preguntas y a
calcular la probabilidad de que Willy
a. tenga menos de quince y no quiera
terapia?
b. quiera terapia, dado que tiene entre 15 y
21 años?
c. ¿Cómo se llaman los sucesos cuya
probabilidad es igual a la de a.?
241
2/11/11 17:26:49
Ahora bien, supongamos que tomamos al
azar un joven que consume drogas. Indica la
probabilidad de que:
d. tenga entre 15 y 21 años, ambos inclusive,
y quiera terapia.
e. tenga menos de 15, y no quiere terapia.
2. El lunes pasado recitó su verso ante el curso.
Tenía la tarea de escribir poemas, lo que le
dictara el corazón. Ella nos sorprendió
declamando:
“¿Qué será más fácil: encontrar el amor
verdadero o evitar la fría muerte cuando
me alcance?
¿Y qué decir de mi amor no correspondido, si
a mi risa la congelaste para siempre?
¿Por qué no volver ahora al vientre de mi
madre y no haber nacido, dado que me has
hechizado eternamente?
Y si alguna vez desistes, lanza un perfume
amargo sobre mi frente”.
Terminó, se produjo un silencio y nadie se
atrevió a hablar. Obtuvo la nota máxima.
Estima y escribe algunos tipos de sucesos y
de probabilidades que has estudiado al
meditar sobre lo que te insinúa el texto. Por
ejemplo, “encontrar el amor verdadero” es un
suceso probable ¿no?
Estudia hechos de la vida diaria donde
encuentre sucesos posibles, imposibles,
probabilidad condicionada, etc.
3. –¡Qué grande era esa roja! ¡Viva Bielsa y la
Roja!... ¡qué bien jugaban esos chiquillos!
¿Saben? Les voy a contar un secreto. Yo
aconsejé personalmente al entrenador para
darle algunas estrategias.
–¿Qué? ¿No nos digas que lo conoces?
–Claro y a los jugadores también. El siguió mis
consejos cuando clasificamos. ¿Por qué creen
que fuimos a Sudáfrica?... Por mis consejos. Yo
le dije: “Marcelo, mira, con siete delanteros de
la misma calidad, selecciona tres para que
puedan actuar en los tres frentes de ataque, y
así podrás hacer añicos al equipo contrario.
No te olvides del orden en que deben ir. Le
repetí: no te olvides, “de 7, elegir 3”
242
–¿Tú crees que somos tontos? ¿Y cuándo te
hizo caso a eso de “de 7, elegir 3”? No tienes
idea. Ellos no saben quién eres tú.
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–Lo que pasa es que ustedes tienen envidia
de mis conocimientos.
Te invitamos a que recuerdes o averigües qué
pasó en este último mundial con Chile. Si bien
es cierto no sabemos qué ternas le aconsejó
nuestro relator, sí podemos conocer la
probabilidad que tenía de aparecer una de
ellas, no olvidando que: “De siete, eliges tres,
respetando el orden”.
4. Dos amigas, sentadas en las graderías de su
liceo comentan:
–¡Qué suerte tiene Natalie!, le va bien en
los estudios, en el amor, goza de buena salud,
y fíjate que se ganó $100000 en un juego
de azar.
–¿Y cómo?
–Es que participó en el “Gana rápido, gana
rapidito”
–Ah, ese nuevo juego que ganas si tienes
exactamente las mismas cifras que el número
extraído.
–¿Y de cuántas cifras es?
–De cinco y se pueden repetir. Además los
boletos son todos distintos.
–Compremos dos números. Si ganamos,
compartimos.
–Veamos, mientras no nos transformemos en
adictas, está bien.
Las amigas compraron los boletos 21769 y
04786. ¿Qué tan probable es que
a. hayan ganado con el boleto 21769?
b. hayan ganado con los dos boletos?
c. hayan ganado con cualquiera de los
dos boletos?
5. El encargado de ventas de un famoso centro
comercial debe elegir una terna de
vendedores para ir a una premiación especial
dada por un Instituto también famoso. Son
tres premios diferentes, y para él, quien
merece uno de ellos es Reno, porque es el
más antiguo y competente. Pide al resto del
personal nombres posibles. Después de ver
varias duplas para completar su trío, manda
finalmente la lista: Reno, Rommy y Jael. Sin
embargo, llega una queja de parte de los
otros candidatos posibles, Verónica, Erika y
Joel, los que se sienten discriminados. Estas
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Este tipo de conflicto, desgraciadamente, se
presenta en algunas empresas. Tú puedes
responder: ¿cuál es la probabilidad de haber
elegido el trío donde esté Reno
a. Rommy y Jael?
b. y dos cualesquiera de los tres integrantes
que se sienten discriminados?
c. y solo uno de los integrantes que se
sienten discriminados?
d. Rommy o Jael para uno de los cupos, y
Verónica, Erika o Joel por el otro cupo?
6. “Aló, mamá, no puedo ingresar al edificio
porque hay un asaltante que puede estar
escondido en cualquiera de los
departamentos. Por favor, no salgas, cuida a los
niños porque se va a hacer un operativo”. Miro
desesperado este edificio de cinco pisos con
cuatro departamentos por piso. ¿Dónde estará
escondido el malhechor? Escucho que es más
probable que esté en los pisos superiores.
Pienso, en cada piso, los departamentos de los
extremos tienen menos posibilidades de que
el malandrín se esconda...
Mientras se efectúa el operativo, un amigo
muy dado al cálculo de probabilidades y que
pasaba cerca dijo: “La probabilidad por piso
es proporcional al número del piso y, en cada
piso los departamentos de los extremos
tienen la mitad de probabilidades de ser
elegido por el malhechor que los del centro”.
Si quieren, calculen.
El operativo terminó con éxito. Sin daños ni
violencia. El malhechor se entregó.
De acuerdo a las pistas del relato, determina
la probabilidad donde sea más seguro
encontrarlo, indicando el lugar posible.
7. “Se ha detectado un tráfico ilegal de animales
exóticos por tres pasos fronterizos cercanos
entre sí. Tenemos evidencia de que es una
sola banda y por esto tenemos que
organizarnos para intervenir y detener, en
primera instancia, a los traficantes –explica el
prefecto, mientras abre la reunión ante el
comisario y los brigadistas competentes del
caso–. Mi asistente les explicará la situación
mediante el siguiente mapa.
“Por Quebrada Roja ingresan casi el 55% de estos
animales y el resto, por Quebrada Amarilla. Ambas
van a desembocar a Punta Destino. De los
animales que aquí llegan, al 35 % los sacan por
Cuesta Tenebrosa; 30 % por el Camino del Norte y
10 % por el Camino del Centro; el resto por el
Camino del Sur.
Se les dará el mapa geográfico y se reunirán con
sus jefes.
Buena suerte”.
Una de las brigadistas se levanta, pide la
palabra y consulta. “Señor, en la ciudad ya
hemos detectado a uno de estos animales
exóticos que ha sido ingresado por alguna de
las rutas descritas. Quisiera que usted me
respondiera, ¿qué tan probable es que
UNID AD 5
denuncias dicen que si bien están de acuerdo
que Reno lo merece, ellos no fueron
considerados para la premiación.
a. haya ingresado por la ruta “Quebrada
Amarilla” y “Camino del Centro”?
b. sabiendo que ingresó por la “Quebrada
Amarilla”, haya seguido por “Camino del
Norte”?
c. haya ingresado a la región por “Cuesta
Tenebrosa”, dado que primeramente
atravesó por “Quebrada Roja“?
Contesta tú estas preguntas.
8. ¡Alto muchacho, no te muevas un milímetro
porque tu imprudencia te ha llevado a este
campo minado! Miré de soslayo, sin darme
vuelta, aterrorizado... ¿sería la última vez que
miraría el desierto florido? Empecé a sudar
mientras ellos hacían el rastreo... Sentía que
estaba como en un tablero de ajedrez donde
tal vez con dos jugadas me salvaría, pero solo
con una moriría. Di dos pasos en diagonal y
me abrazó el rescatista para llevarme a
terreno seguro, junto a mis padres.
Mirar el desierto florido en lugar permitido no
tiene nada de malo, pero en terreno prohibido,
seis de cada diez racimos estallan sin avisar y
siete granadas de cada 10 no se hacen esperar
para explotar. No te imaginas el inmenso daño
que le habrías causado a tu familia si esto
hubiera terminado mal. Responde: ¿qué tan
probable es que haya estallado un racimo o
una granada?
9. Venancio les propuso a los dueños del negocio
“Doña Tinita” la idea de vender jugos de tres
sabores y pastelitos de cuatro tipos. Así, la
semana entre Navidad y Año Nuevo del 2010,
243
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 243
2/11/11 17:26:50
se llevó a cabo esta idea, con inusitado éxito.
Jugo trisabor, con exquisitas mezclas a partir
de mango, naranja, maracuyá, pomelo y piña.
Además, ricos pasteles chilenitos, merengues
pegados y alfajores. Todas las mezclas entre sí
fueron igualmente preferidas por el público. Lo
mismo ocurrió con los pasteles.
Ahora tú, determina la probabilidad de
haber elegido:
a. Un jugo de pomelo-piña-maracuyá.
b. Un jugo cualquiera que llevara naranja y
un chilenito.
c. Un jugo que llevara mango-pomelo y un
merengue pegado.
d. Un jugo de pomelo-piña-maracuyá o
naranja-mango-maracuyá, dado que se ha
escogido un alfajor.
10.Arcadio y Honorio pelean, yéndose a las manos,
por el supuesto cobro ilegal de un gol en un
partido amistoso de futbol en su barrio. El árbitro
los separa y les pide una explicación...
Arcadio inicia su versión y posteriormente
viene la de Honorio. Todo se reduce a que hay
un supuesto gol ilegal, tan importante
porque si fuera validado, podría permitir que
el partido terminara desempatado. El árbitro
les explica que no es la idea pelear en un
partido amistoso de futbol. Después de tiras y
aflojas llegan a un acuerdo.
Recuerda que nada justifica la violencia para
resolver los pleitos. Por ahora te pedimos que
encuentres la probabilidad de que este
supuesto gol ilegal y de desempate haya sido
el segundo o el quinto en ser convertido.
11.Para el nuevo trabajo que se nos ha
encargado en nuestra oficina, Filiberto se da
cuenta de que es necesario formar dos
comités, uno integrado por dos hombres y
otro por dos mujeres. Hay cinco hombres y
cinco mujeres posibles e igualmente
elegibles. Así, se dispone de Fabricio,
Filomena, Remo, Lorena, Félix, Felicinda,
Felícito, Alba, Fermín e Isidora. Al consultarles
si participarían, no todos aceptaron.
Responde:
a. ¿Cuál es la probabilidad de que se hayan
retirado dos hombres de esta lista?
b. Supongamos que se retiraron
voluntariamente Remo, Félix y Felicinda.
¿Cuál es la probabilidad de formar la
dupla Fabricio y Felícito?
c. Determina la probabilidad de formar la
dupla Alba e Isidora.
12.“Mira, Belmar, si aplicamos el primer método
para desalinizar las aguas del norte,
tendremos un 60% de éxito. Por otro lado,
con el segundo método, aquel que nos
comentaron los expertos, el éxito sería de un
70%. Si agregamos al estudio nuestro
método, tendremos un 80% de éxito. Pero no
es suficiente porque es el financiamiento. Más
aún, debiéramos saber qué tan probable es
que fallemos si usamos cualquiera de los tres
métodos. Este también es un punto que
tenemos que analizar”. Calcula tú esta
probabilidad. (Puedes generalizar lo
estudiado para dos sucesos, en tres o más
sucesos).
13.Melisa y Toribio son expertos en recuperar
archivos dañados, borrados accidentalmente
o que tengan problemas similares en un
computador. Pero les ha tocado un problema
no usual, un caso difícil de resolver. Como
último recurso, tienen dos posibles
tratamientos, A y B, cuyo éxito es de 20% y
30%, respectivamente. Además, la
probabilidad de que tengan éxito usando
ambos es de un 10% ¿Cuál de las siguientes
estrategias debieran utilizar? Justifica,
empleando sus probabilidades de éxito
I. Aplicar primero el tratamiento B y, luego,
aplicar el A.
II. Aplicar primero el tratamiento A y, luego,
aplicar el B.
Lee atentamente y luego responde las
preguntas 14 y 15.
El meteorólogo dijo, a través de la TV, que la
probabilidad de que llueva hoy en Santiago
es de 40%. Luego comenzó a explicar
algunos gráficos de altas y bajas presiones, y
finalmente, señalo que la probabilidad de que
baje bruscamente la temperatura con la lluvia
presente es de 15% para los habitantes de la
Región Metropolitana.
14.“Yo terminé de tomar mi café, mientras
escuchaba ese pronóstico. Me levanté para
pagar mi desayuno, tomé mi chaqueta y subí a
mi camioneta. Llamé a mi casa y le dije a mi
esposa que cuidara a los niños, porque no sé
244
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 244
2/11/11 17:26:50
15.En tanto, en Santiago, su esposa respondió la
llamada con los ojos nublados de nostalgia y
colgó. Después se alistó para ir a su trabajo, miró
el cielo y pensó:“¿qué tan probable es que hoy
se mantenga o suba la temperatura, o no
llueva?” Responde tú. ¿Cuál es el valor de la
probabilidad mencionada?
IV.Marca la alternativa correcta:
56
90
11
b.
178
11
180
111
d.
178
c.
e.
112
180
2. Marco va a un club de video a arrendar una
película, pero esta vez lo quiere hacer al azar.
En la tienda hay 70 películas de acción, 50 de
romance, 80 de terror y 60 infantiles. De las
películas de acción, el 20% de ellas ya las ha
visto; de las de romance ha visto solo el 10%;
de las de terror ha visto el 35% y de las
infantiles solo ha visto el 5%. ¿Cuál(es) de las
siguientes afirmaciones es (son) verdadera(s)?
I. La probabilidad de que escoja una
película de terror si se sabe que no la ha
52
visto es .
80
II. La probabilidad de que escoja una
película de acción si se sabe que no la ha
56
.
visto es
209
III.La probabilidad de que escoja una
película de acción o romance es la misma
que la probabilidad de escoger una de
terror o infantil.
a. Solo I
c. Solo III
b. Solo II
d. Solo I y III
a. el valor de la probabilidad se acerca a 0,125.
b. el valor de la probabilidad sigue siendo 0,122.
c. el valor de la probabilidad se acerca a 0,225.
d. el valor de la probabilidad varía, pero no
se puede determinar sin hacer el
experimento.
e. No se puede determinar lo que pasará.
1. En una tómbola se han colocado los números
para jugar a la lotería, bolitas numeradas del
1 al 90. La probabilidad de que al extraer dos
bolitas en forma consecutiva la primera bolita
sea un número impar y la segunda un
múltiplo de 8 es:
a.
3. Al hacer un experimento lanzando un dado
de 8 caras se concluye que la probabilidad
experimental de obtener un 6 es 0,122. Si se
repite el experimento 100000000 de veces
se puede concluir que, para este evento:
e. Solo II y III
UNID AD 5
qué tan probable es que empezara a llover allá
y baje la temperatura”. Encendí el motor, me
entristecí al escuchar su voz. Cuando llegue a
Futrono la volveré a llamar. ¿Cuál es el valor de
la probabilidad insinuada en el relato?
4. En el colegio de Ana trabajan 36 profesores
que se distribuyen en 2 salas de profesores.
En la sala 1 trabajan 16 profesores y en la sala
2, el resto. En la sala 1, el 25% de los
profesores son hombres, mientras que en la
sala 2 solo el 10% lo es. La probabilidad de
que al escoger un profesor al azar este sea
mujer si se sabe que fue elegido de la sala 2 es:
c. 33, 3 %
e. 75 %
a. 10 %
b. 25 %
d. 60 %
a. 0,10
c. 0,79
5. Si las probabilidades de que dos sucesos
independientes, A y B, ocurran son 0,3 y 0,7,
respectivamente, entonces la probabilidad de
que A o B ocurra es:
b. 0,21
d. 0,90
e. 1,00
6. Montserrat debe escoger un día de enero del
2012 para comenzar sus vacaciones, pero este
no debe ser ni lunes ni viernes ni tampoco fin
de semana. ¿Cuál es la probabilidad de que
sus vacaciones comiencen un miércoles si
hace esta elección al azar?:
4
18
4
e.
c.
a.
31
31
13
13
4
d.
b.
31
18
7. Se ha encuestado a un grupo de personas
para saber las preferencias de los habitantes
de una ciudad sobre lugares de
esparcimiento de los fines de semana. Los
resultados fueron presentados en la tabla
adjunta. La probabilidad de que un
encuestado haya respondido que su
preferencia era el centro comercial o los
parques si era mujer es aproximadamente
245
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 245
2/11/11 17:26:54
a. 32%
b. 48%
Lugares
Hombres
Mujeres
c. 63%
e. 68 %
d. 66%
Centro
comercial
Plazas y
parques
Visita a
familiares
50
100
70
100
40
80
8. La probabilidad de que al formar números de
3 cifras no repetidas con los dígitos 1, 3, 4, 5 y
8 estos sean impares es:
a. 5%
b. 10%
c. 20%
d. 40%
e. 60 %
9. Noel es un alumno de tercero medio. Él debe
elegir su plan electivo de estudio. Para ello
debe escoger un ramo de cada grupo de los
que se presentan en la siguiente tabla. Ya ha
seleccionado Lenguaje del grupo A, entonces,
la probabilidad de que escoja Arte del grupo
B y Música del grupo C, si hace esta elección
al azar, es:
1
1
3
c.
a.
e.
3
27
3
1
2
d.
b.
9
3
Grupo A
Grupo B
Grupo C
Matemática
Física
Química
Biología
Arte
Música
Lenguaje
Filosofía
Historia
10.Sebastián y Juan José están jugando para
saber quién pagará las entradas al cine.
Sebastián no pagará si gana en los siguientes
tres juegos: lanzar una moneda (gana sello),
tirar un dado (gana puntaje mayor) y una
mano de cachipún. ¿Cuál es la probabilidad
de que Sebastián haya ganado si Juan José
obtuvo cara, cuatro y piedra?
1
1
1
a.
c.
e.
6
12
36
1
1
d.
b.
9
18
Pauta de evaluación sugerida para
evaluación 1 y 2
Esta pauta puede aplicarse para obtener el
porcentaje de logro, transformarlo a calificación y
también para evaluar cada ítem pedido.
Puede parcelar la evaluación como trabajo
individual en varias clases y luego promediar la
calificación o los porcentajes de logros obtenidos.
Complete la tabla adjunta:
Puntaje
obtenido
Indicador
Puntaje
total
Número de respuestas
correctas obtenidas en el ítem I
(verdadero y falso o
completación)
Número de ejercicios
correctamente desarrollados
en ítem II (asigne 2 puntos a
cada una)
Número de problemas
correctamente desarrollados
en ítem III (asigne 2 puntos a
cada uno)
Número de alternativas
correctas en ítem IV (asigne 1
punto a cada una)
Total
10
30
30
10
80
Para traducir a porcentaje de logro el puntaje
obtenido, use la siguiente fórmula:
Porcentaje =
Puntaje obtenido
⋅ 100
80
Para traducir el porcentaje obtenido a nota, puede
usar las tablas de esta guía didáctica.
246
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 246
2/11/11 17:26:57
Solucionario de la Unidad
11. a. 2,5 %
b. 13, 3%
14. 78,9%
b.
12. 0,80
I. Crucigrama:
13. 0,9
15. a.
15
79
III.1. a. 40%
II. 1. a. 0,02
b. Deben terminar en 2, 4 y 5. Por ejemplo: C,
7
; C, 2,
1 000
49
4 o C, 4, 4 con probabilidad
y C, 4, 2
7 500
49
.
o C, 2, 2 con probabilidad
7 500
c. Tienen la misma probabilidad debido al
principio multiplicativo.
2, 5 o C, 4, 5 con probabilidad
d. De esta manera, la probabilidad es 0,014,
con monedas y dados normales es 0, 0138.
2. a. Aproximadamente un 43,33%
b. 25 ≤ T < 30 al tener la frecuencia mayor;
entre los otros rangos, también lo es su
frecuencia relativa. Por tanto, su
probabilidad es la mayor (33, 3 %).
3. ---
4. a. 0%
5.
5
7
120
6. a.
343
223
b.
343
1
7. a.
504
1
8.
225
3
9. a.
8
10. a. 70%
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 247
b. 100%
c. 0 %
120
c.
2 401
2
d.
7
1
b.
180
b.
3
28
b. 23%
c.
1
56
c. 35 %
c. 25 %
24
79
c.
40
79
b. Pinball Héroes y Guerrero Galáctico 7%;
10%
UNID AD 5
Actividades de refuerzo
c. 1,28%
1
2. a. equiprobables
3
b. Independientes
1
c.
27
3. 97,6%; 2,4%.
4. Es imposible obtener 13 al lanzar dos dados
comunes; la puntuación máxima es 12; por lo
tanto, la probabilidad de haber ganado es 0%.
5. a. 31,25 %
6.
1
25
versus
8
216
7. 20 % y 1,67%
8. a. 015625
61
b.
64
c. 25 %
9. 10 %
10. 0,0000002
1
11. a.
9
12
12. a.
25
9
b.
23
13. a. 1999 con 7,04%
b. 3,125 %
d. 14,0625%
7
e.
64
b.
5
9
c. 100 %
d.
12
26
b. Las que se inician con A juntas con un
3,59%, en cambio, para la N, es 2,28%
c. Rango varía entre 5,53% y 7,05%
247
2/11/11 17:27:07
d. Más probable que haya sido por
enfermedad del sistema circulatorio en el
1999 (15,98%) versus tumor maligno en
el 2003, con 24,03%.
e. En 2003 con 7,87%.
14. La probabilidad de que falle el primer motor,
dado que falló el segundo es, aprox. 33,33%.
La probabilidad de que falle el segundo
motor, dado que falló el primero: 75%. La
probabilidad de ninguna falla: 50%
15. 58%, 33% y 50%
IV.1. e
3. c
5. d
7. a
9. b
2. c
4. b
6. c
8. d
10.b
Ficha de refuerzo
I. 1. No debiera coincidir porque la calculada es
una probabilidad experimental. Sí debiera ser
un valor cercano.
2. a.
b.
3. a. 57,7%
b. 60%
II. 1. 10% aprox.
2. a. 27% aprox.
7.
Evaluación 1
I. 1. Salir 1 y salir 2 al lanzar un dado
2. 3,4 %
3. Hoy sea un día de la semana
7
12
3
5.
70
6. Ir al cine y conseguir dinero para ello
4.
7. 0
8. 0 y 1 o 0 % y 100 %
9.
II. 1. a.
2.
3.
4.
5.
6.
248
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 248
Resultado
0,05489754
6S
0,02693691
0
3. 8,3%
I. 1.
Probabilidad
0,05381046
c. 69,17%
1
Pedro: P ( al menos 2 caras ) = ,
2
3
Luisa: P ( al menos 1 cara y 1 sello ) = . Luisa
4
tiene razón.
3
5
1
P ( ganar el kino ) =
≈ 0, 000022 %
4 457 400
1
36
2
9
b.
a.
25
25
1
230
2
19
10. ---
b. 10,8%
Actividades de profundización
28
73
6C
24 C
29 S
29 S es un evento nulo o imposible
b. 0,00083, aproximadamente
c. 0,0581418
2. La probabilidad de que aparezca en un dado
no trucado, pues la probabilidad es 0,00077
versus, 0,00062, que corresponde a la del
dado cargado.
1
b.
3. a. 100%
c. 0 %
6
4. a. 71 %
b. 71 %
c. 14,28 %
d. 100%, el suceso es seguro
1
(palabra “discreto”)
40320
5
6.
6
5.
2/11/11 17:27:13
1
3
5. a. No equiprobables
b. Incompatibles
1
8. a.
a partir del primer conjunto y que
6 480
1
, que se obtiene
es mayor que
7 776
considerando los números del segundo
conjunto. Esto se debe a que hay menos
números en total que se pueden formar a
partir del primer conjunto, ya que no hay
números que se inicien con cero.
b. 0%, porque los múltiplos de 10 necesitan
terminar en cero. Pero como el segundo
conjunto carece de cero, no se puede
construir número con dicha terminación.
9. a. 46%
9
10. a.
17
b. 54%
b. 43,9%
2
3
9
b.
47
11. a. 0,3
b.
2
12. a.
3
13. 40%
c. 57,14 %
23
c.
30
b. Ambos son sucesos independientes
7
1
1
15. a.
b.
c.
d. 0
9
3
3
b. 45%
III.1. a. 37,5%
2
c.
9
2
d.
9
2
e.
3
1
f.
3
2
g.
3
3. a. 0%. Porque el juego (experimento)
involucra solo contar las caras cuadradas
y no formar cuadrados
b. Imposibles
c. Por ejemplo que, teniendo los cuatro
dados, que el total de las caras pintadas
coincidentes varíe entre 0 y 4
5
e. 25 %
c.
4. a. 20%
9
b. 25%
d. 10%
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 249
d. 60 %
6. 99,3%
7. a.
b.
c.
9. a. 0,028 %
b. 97,2%
c. 0,672 %
3
8
3
8. a.
8
1
6
2
b.
5
7
12
1
c.
10
1
si está dentro de las 7 personas de
7
confianza, sino 0 %
10.a.
1
7
1
c.
21
b.
11. a. 5,51%
b. La secuencia guinda-guinda-naranja.
1,23%.
12. a. 10%
14. a. P ( A ∩ B ) = P ( A ) ⋅ P ( B )
5
2. a.
9
1
b.
3
c. 22,5%
UNID AD 5
7.
b. 20 %
c. 71,43 % aprox.
d. El que haya terminado, sabiendo que es
de Ciencia (21,43% aprox.), versus el otro
(7,14% aprox.)
13. a. 49,59 %
b. 3,58%
c. 49,52 %
d. 5,48%
e. 39,96 %
f. 26,75 %
g. 17,11 %
h. 53,22 %
14. La elección de una puerta no influye ni
depende de la elección de otra. Al haberse
1
elegido la puerta A con de la probabilidad,
3
los dos tercios restantes son para las puertas
B o C. Pero como “C no es la puerta ganadora”,
es decir, la probabilidad de ser elegida es
cero, la única opción es que la probabilidad
2
de la puerta B sea . Así, ante esta nueva
3
1
elección, la puerta A permanece con y la
3
249
2/11/11 17:27:20
2
puerta B con , por tanto es aconsejable que
3
deba cambiar a puerta B.
15. a.
IV.1. c
8
47
2. b
b.
3. c
4. b
19
55
c.
44
65
d.
5
8
5. e
7. e
9. a
6. d
8. a
10.c
Evaluación 2
I. 1. F
3. V
5. V
7. F
9. F
2. V
4. F
6. V
8. F
10.V
12. a. 98 %
13. 3,88% aprox.
14. a. 0,468
b. 0,72
c. Sí, porque P ( A ∩ B ) = 0, 468 = P ( A ) ⋅ P ( B )
15. 0,5
III. 1. a. 0 %. (Wally tiene 17 años)
b. 60 %
c. Imposibles
II. 1. a. El 1 y el 8, con el valor 0,08
2. ---
c. 45,5%
4. a. 0,00169%
b. 76,67% aprox.
c. El de rango de sueldo: 800 ≤ S ≤ 950, ya
que al tener la frecuencia menor, entre los
otros rangos, también lo es su frecuencia
relativa. Por tanto, su probabilidad es la
menor (8, 3 %)
1
25
5
147
c.
d.
3. a.
b.
64
64
192
192
4. a. Alguno de ellos debe ser 0
6. a. 2,56%
1
7. a.
90
8. 0,025
9. 5%
10. a. 25%
b. 37,5%
11. a. 30%
b. 25%
U5 GUIA MAT 3M (194-256).indd 250
3. 0,158 %
c. 0,003386%
2. a. 60%
b. Imposible
1
5.
30
e. 30,43 %
b. 2,87 · 108 %
e. 97,28%
250
d. 21, 81 %
b. El 2, porque siendo su probabilidad de
0,13 en este dado y 0,125 en un dado
normal, la diferencia es menor que la de
los otros números.
d. 2,175%
b. 8 %
20
b.
21
c. 25%
d. 58,82 % aprox.
d. 38,78%
6.
e. 46,43 %
b. 24 %
c. 36 %
d. 24 %
; quinto piso en cualquiera de los dos
departamentos centrales.
7. a. 45 %
8. 42 %
9. a.
1
10
b. 13,5%
b.
10. 40%
11. a. 20 %
b. 60%
c. 61,22%
5. a. 4 %
12. 2,4%
1
5
c.
b.
2
9
1
10
c. 19,25 %
d.
1
15
c. 0,01%
13. La probabilidad de la primera forma (I) es
50% y la de la segunda (II) es,
aproximadamente, 33,33%. Es decir, la
estrategia más exitosa es: “Aplicar primero el
tratamiento B y, luego, aplicar el A”.
14. 37,5%
15. 94%
IV.1. b
3. a
5. c
7. c
9. d
2. b
4. d
6. a
8. e
10.d
f. 72 %
2/11/11 17:27:25
http://www.uam.es/personal_pdi/ciencias/barcelo/historia/
Historia%20de%20la%20probabilidad.pdf
http://www.eduteka.org/MI/master/interactivate/activities/
Prob/Index.html
Este documento pdf descargable e imprimible se titula
“HISTORIA DE LA PROBABILIDAD”.
Esta página es interactiva y se requiere tener Java
instalado. Con título “Probabilidad experimental”,hay
tres botones de link que la explican, indican cómo usar
el recurso y el beneficio de usarla como actividad lúdico
educativa. Se puede programar el tipo de dados y, o
ruletas de colores. El lanzamiento es de dos dados y
otorga la suma de los números de las caras que
aparecen. También agrega el número total de
lanzamientos que se lleva de manera acumulada. En el
caso de las ruletas, se indica la frecuencia del color y el
número total de giros que se lleva de manera
acumulada. La página es del sitio web EDUTEKA, el cual
es un Portal Educativo gratuito actualizado
mensualmente desde Cali, Colombia, por la Fundación
Gabriel Piedrahita Uribe.
Contempla el contexto histórico y precursores, el
nacimiento y evolución de la teoría de la probabilidad
para llegar a la teoría moderna de la Probabilidad. Hay
un tratamiento y comentario de la probabilidad de
Laplace. Departamento de Matemáticas. Universidad
Autónoma de Madrid.
http://www.estadisticaparatodos.es/historia/histo_proba.html
Contiene una breve historia de la Probabilidad. La
página contiene links internos de un taller estadístico y
otro de Historia. Además, hay links a fichas de biografías,
software, enlaces externos, etc. El sitio se llama
“Estadística para todos”,cuyo principal objetivo es
estimular y extender la educación estadística a los
alumnos, profesores y público general.
http://www.cirst.uqam.ca/Portals/0/docs/divers/resumen%20
LMayer.pdf
Este documento pdf descargable e imprimible se titula
“El probabilismo ¿ambiente cultural que ayudó a la
creación de la probabilidad aleatoria?” El probabilismo
corriente dentro de la filosofía moral del cristianismo se
desarrolló a partir del siglo XVI. El probabilismo significó
la apertura ideológica que Europa necesitó al enfrentar
culturas tan lejanas como las americanas o las del
Lejano Oriente y permitió la reflexión sobre la
incertidumbre y crear los contextos y significados
culturales que posteriormente dieron lugar a la
probabilidad aleatoria. El trabajo es de Leticia Mayer
Célis, Investigadora Titular “A” del Instituto de
Investigaciones en Matemáticas Aplicadas y en
Sistemas. Universidad Nacional Autónoma de México
http://www.ematematicas.net/simulaciondado.php
Aquí usted tiene la simulación del lanzamiento de un
dado, indicando previamente el número de
lanzamientos. El resultado se expresa en una tabla
donde puede destacarse la probabilidad teórica y la
probabilidad experimental de cada número. La página
muestra otros links para otras simulaciones, videos,
apuntes, etc. Este Recurso Educativo es de “Ejercicios de
Matemáticas”, sitio de apoyo a la actividad docente y
estudiantil. Brinda apuntes, recursos educativos, algunos
interactivos, etc.
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Bibliografía y detalle de links de la unidad
http://www.emathematics.net/es/simulacionmoneda.php
Aquí usted tiene la simulación del lanzamiento de una
moneda no cargada, indicando previamente el número
de lanzamientos. El resultado se expresa en una tabla
donde puede destacarse la probabilidad teórica y la
probabilidad experimental de cara y sello. La página
muestra otros links para otras simulaciones, videos,
apuntes, etc. Este Recurso Educativo es de “Ejercicios de
Matemáticas”,sitio de apoyo a la actividad docente y
estudiantil. Brinda apuntes, recursos educativos, algunos
de éstos, interactivos, etc.
http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/estadisticas_
economicas/turismo/cifras/cifras2009.php)
En esta página, usted dispone de documento en
formato Excel, descargable y reproducible de las “CIFRAS
TURÍSTICAS MENSUALES 2009”. El referente es el
número de llegada y pernoctación de pasajeros a
establecimientos de alojamiento turístico 2009. El portal
de la página es INE, el que presenta vasta información
de la realidad nacional en diversos aspectos; por
ejemplo demográficos, económicos, etc. Proporciona
datos y representaciones gráficas confiables, con
desarrollo interpretativo, en formato pdf, descargables e
imprimibles. Además hay links internos, sugeridos
y externos.
http://escuela.med.puc.cl/deptos/saludpublica/ResultadoENS/
CapIV204Diabetes.pdf)
Este documento pdf descargable e imprimible trata del
tema de la diabetes de una manera estadística. En las
tablas se reportan promedios y prevalencias expandidas,
Chile 2003. El estudio es del Departamento de Salud
Pública de Facultad de Medicina de la Pontificia
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Universidad Católica de Chile. El sitio web respectivo es de
la Escuela de Medicina de dicha Universidad.
http://club.telepolis.com/ildearanda/combina/combsin_marco.htm
Trata de la combinación sin repetición, la define e indica
la fórmula respectiva. Esta página es interactiva y dado
un máximo de ocho elementos, con una selección que
debe indicarse, calcula el total de combinaciones y las
escribe todas. Las página principal es para el estudio
de Combinatoria, Técnica de recuento, y elaborado
por Ildefonso Aranda y Paco Cuenca, profesores de
Matemáticas en el I.E.S. Gil de Zático de Torreperogil
(Jaén). España.
http://thales.cica.es/rd/Recursos/rd99/ed99-0516-02/ed990516-02.html
Después de la presentación se oprime el botón Entrar y
aparece la página que trata el tema de Combinatoria.
Mediante links internos se selecciona lo que se desea:
permutaciones, variaciones, etc. Hay una calculadora
especial para combinatoria que permite calcular el total
de combinaciones, variaciones, etc., y las escribe todas.
Incluye un links para problemas. Las páginas de
COMBINATORIA corresponden a un ejercicio práctico de
final de curso, realizado para el Curso de educación a
distancia Thales-CICA 99: “Extensiones y utilidades de
HTML para la enseñanza”,realizado por Adolfo Cid Valle.
España. El Proyecto Thales-CICA se propone educación a
distancia a través de Internet.
http://www.ematematicas.net/simulacionmoneda.php
Simulador de lanzamientos de dados.
http://sauce.pntic.mec.es/~jpeo0002/Archivos/PDF/T01.pdf
Este documento es descargable e imprimible. Permite
repasar, da ejemplos y entrega de inmediato alguna
pregunta al respecto. Al final hay un cálculo de algunos
números combinatorios y factoriales usando las teclas de
una calculadora científica. El trabajo es de Javier Pérez
Olano y está en el sitio web a cargo de ITE: Instituto de
Tecnologías Educativas. Ministerio de Educación.
Gobierno de España.
http://www.matematicas.profes.net/especiales2.asp?id_
contenido=44295#comb
Esta página proporciona varios links a ejercicios, Banco
de Recursos, etc. Pertenece a un sitio especializado,
profes.net, que otorga variadas herramientas al docente.
http://www-ma4.upc.edu/~fiol/pipe/100TestVAv2.pdf
Este documento pdf descargable e imprimible, es Test de
100 Preguntas, sobre Probabilidad Combinatoria y
Variables Aleatorias unidimensionales. Hay un solucionario
donde se incluyen algunos desarrollos explicativos. El
autor es M.A. Fiol, Departament de Matemática Aplicada IV.
Universitat Politécnica de Catalunya
http://www.conevyt.org.mx/actividades/probabilidad/
evaluacion.html
Aquí dispone de una evaluación en línea que consta de
cinco preguntas donde debe elegirse la respuesta
correcta. Se puede limpiar la zona de respuestas para
volver a ser usada nuevamente. Oprimiendo el botón de
Respuesta, se obtienen las correctas. Esta página está en
el sitio web de Consejo Nacional de Educación para la
Vida y el Trabajo
Este Portal educativo es un sitio de Internet a través del
cual las personas jóvenes y adultas pueden obtener
información, recursos de aprendizaje y Servicios de
Educación Básica, Formación para el trabajo, Bachillerato,
Acreditación de Conocimientos, Orientación Ocupacional
y Bolsas de Trabajo. México.
http://ws-01.ula.ve/ciencias/jlchacon/materias/discreta/probpro.pdf
Este documento pdf descargable e imprimible consiste
en problemas de probabilidad resueltos y propuestos
con resultados. El trabajo es del profesor José Luis
Chacón. Matemáticas Discretas. Facultad de Ciencias.
Universidad de Los Andes. Venezuela.
http://www.educarchile.cl/Portal.Base/Web/
VerContenido.aspx?GUID=d66df276-8afd-4b5d-a0286a13e6329d3f&ID=137573
Este es un portal de la educación, donde usted puede
conseguir varias indicaciones prácticas destinadas a la
Coevaluación y autoevaluación citando la fuente de
procedencia. El material está además en pdf descargable
e imprimible. Tiene además links de interés para
docentes, estudiantes y familia, no solo en Matemáticas,
sino también para las otras asignaturas o áreas del
quehacer educativo.
http://www.ine.cl/canales/chile_estadistico/
estadisticas_sociales_culturales/etnias/pdf/estadisticas_
indigenas_2002_11_09_09.pdf
Este documento pdf descargable e imprimible llamado
“ESTADÍSTICAS SOCIALES DE LOS PUEBLOS INDÍGENAS
EN CHILE - CENSO 2002. PUBLICACIÓN ELABORADA POR
EL INSTITUTO NACIONAL DE ESTADÍSTICAS EN
CONVENIO CON EL MINISTERIO DE PLANIFICACIÓN
NACIONAL” pertenece a INE. Aquí se da cuenta, desde la
estadística social, de aquellos aspectos fundamentales
que caracterizan la vida en regiones y comunas
indígenas del país. La página es del sitio web del portal
INE, el que presenta vasta información de la realidad
nacional en diversos aspectos; por ejemplo
demográficos, económicos, etc. Proporciona datos y
representaciones gráficas confiables, con desarrollo
interpretativo, en formato pdf, descargables e
imprimibles. Además hay links internos, sugeridos
y externos.
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Bibliografía temática
• Lipschutz, S. y Lipson, M. (2001). Probabilidad.
Bogotá: Mc Graw Hill Interamericana. 2ª ed.
• Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva, F. (2008). Álgebra
clásica. Santiago: Universidad Católica de Chile
Ediciones. 1ª ed.
• Meyer, P. (1998). Probabilidad y Aplicaciones
Estadísticas. México, DF.: Pearson Educación
Addison Wesley Longman de México S.A. de
C.V. 1ª ed.
• Sullivan M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México
DF.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed.
• Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D.
(2009). Manual de preparación para PSU
matemática. Santiago: Universidad Católica de
Chile Ediciones. 9ª ed.
• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). Cuaderno de
ejercicios PSU matemática. Santiago: Universidad
Católica de Chile Ediciones. 5ª ed.
• Trola, M. (2004). Probabilidad y Estadística. México
S.A. de C.V.: Pearson Addison Wesley. 9ª ed.
UNID AD 5
•Elbridge, V. (1965). Álgebra y Trigonometría
Modernas. Massachusetts-Palo Alto -London:
Addison Wesley PubIishing Company, Inc. 2ª ed.
Sitios web sugeridos
http://www.sectormatematica.cl/articulos.htm
Contiene links a diversos artículos para conocer el
pensamiento y trabajo de matemáticos y
matemáticas, y educadoras y educadores del
mundo. Los artículos están en formato Word, pdf,
descargables y reproducibles. También hay otros
links internos y externos, como poesía, revistas, etc.
http://www.elprisma.com/apuntes/apuntes.
asp?categoria=704
En el buscador que presenta la página, usted puede
ir por la materia que desee actualizar. El sitio web
que la alberga es un portal para Investigadores y
Profesionales. Es una biblioteca virtual de varias
áreas del saber: Ingeniería, Medicina, Matemática,
etc. Contiene apuntes y cursos para la comunidad
universitaria. Además, se pueden encontrar
suficientes apuntes en formato Word y pdf, la
mayoría descargables y reproducibles, como los que
se encuentra en este link.
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Bibliografía temática
Raíces y función raíz cuadrada
Desigualdades e inecuaciones
• Tapia, O., Ormazábal, M., Olivares, J., y López, D.
(2010). “Álgebra y Funciones: Raíces y ecuaciones
irracionales”; “Función raíz cuadrada”. Manual de
preparación para PSU Matemática. Santiago:
Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed.
• Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D.
(2010). “Álgebra y Funciones: Cap. 2:
Desigualdades”; “Inecuaciones”. Manual de
preparación para PSU Matemática. Santiago:
Ediciones Universidad Católica de Chile. 10ª ed.
• Tapia, O., y Ormazábal, M. (2008). “Álgebra y
Funciones: Raíces y ecuaciones irracionales” (Caps.
9, 10 y 16); “Función raíz cuadrada” (Cap. 15).
Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago:
Ediciones Universidad Católica de Chile.5ª ed.
• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). “Álgebra y
Funciones: Cap. 5: Desigualdades”; “Inecuaciones”.
En Cuaderno de ejercicios PSU Matemática. Santiago:
Ediciones Universidad Católica de Chile. 5ª ed.
• Sullivan, M. (2006). “Raíces y ecuaciones
irracionales”; “Función raíz cuadrada”. Álgebra y
Trigonometría. México D.F.: Pearson Educación
Prentice Hall. 7ª ed.
• Elbridge V. (1965). “Raíces y ecuaciones irracionales”
(Cap. 3); “Función raíz cuadrada” (Cap. 7). Álgebra y
Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo
Alto-London: Addison-Wesley PubIishing
Company, Inc. 2ª ed.
Ecuaciones cuadráticas y función
cuadrática
• Tapia, O., Ormazábal, M., Olivares, J., y López, D.
(2010). “Álgebra y Funciones”; “Ecuaciones
cuadráticas”; “Función cuadrática y Parábola”.
Manual de preparación para PSU Matemática.
Santiago: Ediciones Universidad Católica de Chile.
10ª ed.
• Tapia, O., y Ormazábal, M. (2008). “Álgebra y
Funciones: Ecuaciones cuadráticas” (Cap. 14);
“Función cuadrática y Parábola” (Cap. 13). Cuaderno
de ejercicios PSU Matemática. Santiago: Ediciones
Universidad Católica de Chile. 5ª ed.
• Sullivan, M. (2006). “Ecuaciones cuadráticas” (Cap.
De Repaso R5, Cap. 1); “Función cuadrática y
Parábola” (Cap. 4). Álgebra y Trigonometría. México
D.F.: Pearson Educación Prentice Hall. 7ª ed.
• Elbridge V. (1965). “Funciones Lineales y
Cuadráticas: Ecuaciones cuadráticas” (Cap. 7);
“Función cuadrática y Parábola”. Álgebra y
Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo
Alto-London: Addison-Wesley Publishing
Company, Inc. 2ª ed.
• Sullivan, M. (2006). Desigualdades (Cap. 1);
Inecuaciones (Cap. 4). En Álgebra y Trigonometría
(Séptima edición). México D.F.: Pearson Educación.
• Elbridge, V. (1965). “Desigualdades” (Cap. 4);
“Inecuaciones” (Cap. 7). Álgebra y Trigonometría
Modernas. Massachussets-Palo Alto-London:
Addison-Wesley Publishing Company, Inc. 2ª ed.
Algo más sobre triángulos rectángulos
• Tapia, O.; Ormazábal, M.; Olivares, J. y López, D.
(2010). “Geometría: Cap. 3”. Manual de preparación
para PSU Matemática. Santiago: Ediciones
Universidad Católica de Chile. 10ª ed.
• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). “Geometría y
Trigonometría: Teorema de Pitágoras y Teorema de
Euclides” (Cap. 9); “Relación entre ángulos y lados
en un triángulo rectángulo” (Cap. 10); “Otros temas
de Trigonometría”. Cuaderno de ejercicios PSU
Matemática. Santiago: Ediciones Universidad
Católica de Chile. 5ª ed.
• Sullivan, M. (2006). “Teorema de Pitágoras y
Teorema de Euclides: Cap. 6 Funciones
Trigonométricas”. En Álgebra y Trigonometría.
México D.F.: Pearson Educación.7ª ed.
• Masjuán, G.; Arenas, F. y Villanueva F. (2006).“Teorema
de Pitágoras y Teorema de Euclides: Relación entre
ángulos y lados en un triángulo rectángulo”(Cap.1);
“Otros temas de Trigonometría” (Cap. 2).
Trigonometría y Geometría analítica. Santiago:
Ediciones Universidad Católica de Chile. 2ª ed.
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• Elbridge, V. (1965). “Teorema de Pitágoras y
Teorema de Euclides: Relación entre ángulos y
lados en un triángulo rectángulo” (Caps. 6 y 15);
“Otros temas de Trigonometría” (Cap. 6). Álgebra y
Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo
Alto-London: Addison-Wesley Publishing
Company, Inc. 2ª ed.
Probabilidades... un paso más
• Tripla, M. F. (2009). “Variable aleatoria” (Cap. 5);
“Probabilidad experimenta” (Cap. 4); “Cálculo de
probabilidades”. Estadística. México D. F.: Pearson
Education Addison Wesley. 10ª ed.
• Sullivan, M. (2006). “Conteos y Probabilidad” (Cap.
13). Álgebra y Trigonometría. México D.F.: Pearson
Educación Prentice Hall. 7ª ed.
• Tapia, O. y Ormazábal, M. (2008). “Estadística y
probabilidad” (Cap. 2). Cuaderno de ejercicios PSU
Matemática. Santiago: Ediciones Universidad
Católica de Chile. 5ª ed.
• Meyer, P. L. (1998). “Variable aleatoria” (Caps. 1 y 4);
“Probabilidad experimental” (Caps. 1 y 2); “Cálculo
de probabilidades” (Caps. 1, 2 y 3). Probabilidad y
Aplicaciones Estadísticas. México. D. F.: Pearson
Educación Addison Wesley Longman. 1ª ed.
• Masjuán, G., Arenas, F., Villanueva F. (2008).
“Combinatoria” (Cap. 6). Álgebra clásica (intervalo
de páginas). Santiago: Ediciones Universidad
Católica de Chile. 1ª ed.
• Elbridge, V. (1965). “Análisis Combinatorio y
Teorema del Binomio” (Cap. 11). Álgebra y
Trigonometría Modernas. Massachussets-Palo
Alto-London: Addison-Wesley Publishing
Company, Inc. 2ª ed.
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