PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO ANGULAR DE UN SÓLIDO

PRINCIPIO DE CONSERVACIÓN DEL MOMENTO
ANGULAR DE UN SÓLIDO
Cuando un sólido gira alrededor de un eje principal de inercia el momento angular L es
paralelo a la velocidad angular  que siempre tiene la dirección del eje de rotación. De
modo que se cumple la siguiente igualdad vectorial
L  I
Donde I es el momento de inercia del sólido en rotación.
Por otro lado en un sistema de partículas el momento angular del sistema y el momento
total de las fuerzas aplicadas calculados ambos con respecto al mismo punto cumplen la
siguiente ecuación:
dL
M
dt
En el sólido rígido también se cumple esta condición al poder ser considerado como un
sistema de partículas.
Si el sólido gira con respecto a un eje principal de inercia, se cumple que L  I  , si
sustituimos en la expresión
dL d
d
 I  I
 I  M
dt dt
dt
Donde M  I constituye la ecuación fundamental para estudiar el sólido rígido en
rotación y es similar a la ecuación fundamental del movimiento de traslación de una
partícula o segunda ley de Newton F  ma .
Si el momento M es nulo significa que el momento angular L permanece constante en
el tiempo.
L  I   cte
Si el momento de inercia I del sólido permanece cte durante el movimiento, la velocidad
angular permanecerá cte, esto constituye el principio de conservación del momento
angular de un sólido:
Un sólido rígido que gira con respecto a un eje principal de inercia se mueve siempre
con velocidad angular cte cuando el momento de las fuerzas exteriores con respecto a
un punto fijo de un sistema de referencia inercial es nulo.
Si el momento de inercia cambia entonces la velocidad angular también cambiara
para que el producto de ambos permanezca constante.
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I11  I 22
El problema de la diana y el problema de la rueda dentada nos permitirán aplicar todos
estos conceptos.
Observa la siguiente animación de la diana
Se lanza un dardo sobre una diana que cuelga de un gancho O situada en su
parte superior, como muestra la película. El dardo se clava en el 1 de la diana y
oscila sin rozamiento alrededor de O alcanzando un ángulo máximo α con
respecto a la vertical.
La diana se puede modelar como un disco homogéneo de radio R y masa M y el
dardo como una partícula (dimensiones despreciables) de masa m.
En esta situación responder ordenadamente a las siguientes cuestiones:
1º) ¿Cuál es el momento de inercia que presenta de la diana, en su movimiento
con respecto del eje que pase por O?
2º) ¿Cuál es el momento de inercia del dardo, una vez clavado en la diana con
respecto del mismo eje?
3º) ¿Cuál es el momento de inercia del conjunto diana- dardo con respecto de
O?
4º) ¿Se conserva el momento lineal del sistema en el impacto? Razonar la
respuesta.
5º) ¿Se conserva el momento angular del sistema con respecto de O en el
impacto? Razonar la respuesta.
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6º) De acuerdo a las respuestas anteriores calcular la velocidad angular con
respecto de O del conjunto diana-dardo inmediatamente después del impacto.
Expresar la velocidad angular en función de la masa m del dardo, de la masa M
y el radio R de la diana y de la velocidad v del dardo inmediatamente antes del
impacto.
7º) ¿Cuál es entonces la energía del conjunto inmediatamente después del
impacto?
8º) Después del impacto el conjunto diana dardo oscila, en el instante en el que
α alcanza su máximo valor ¿Cuál es la energía del conjunto? Recordar que no
hay rozamiento en el eje.
9º) Si despreciamos el cambio del centro de masas de la diana producido al
incorporarse el dardo, calcular la energía potencial del conjunto en función del
ángulo de oscilación α.
10º) Si m= 10 gr. M=1,5 Kg. R=50 cm. determinar la velocidad inicial del dardo
si el máximo ángulo que alcanza en la oscilación es de 45º.
11º) Evaluar el porcentaje de error cometido al no considerar el autentico centro
de masas del conjunto.
El problema de la rueda dentada
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La rueda dentada de la animación puede girar, con fricción, con respecto a su
eje. Con un lanzador se dispara una bola de arcilla sobre la rueda, la bola queda
incrustada entre dos dientes de la rueda y el conjunto comienza a girar y se
detiene finalmente después de girar unas vueltas.
Observa atentamente la animación y responde a las siguientes preguntas:
1º) ¿Puedes contar el número de vueltas que da la rueda después del choque?
en caso afirmativo ¿Cuántas son? ¿Cuántos radianes ha girado?
2º) ¿Cuánto tiempo tarda en pararse?
3º) Si el rozamiento en el eje provoca un momento de frenado que no es
constante ¿Qué movimiento realiza el conjunto de la rueda y la arcilla?
4º) Si la aceleración media de frenado es de 1 rad/s2 ¿Cuál es la velocidad
angular del conjunto inmediatamente después del choque?
5º) Si la bola de arcilla tiene una masa de 50 gr. y la velocidad con la que
impacta en la rueda es de 20 m/s ¿Cuál es el momento de inercia de la rueda?
Justifica adecuadamente cuál es el método utilizado para resolver esta cuestión.
6º) ¿Cuál es la perdida de energía cinética producida en el choque? suponer
que el radio de la rueda despreciando los diente es de 75 cm.
7º) Valorar en que se invirtió la energía cinética perdida en el choque.
8º) Calcular el momento medio de rozamiento sobre el sistema durante la
frenada. Justificar el método empleado en la resolución d este apartado.
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