Análisis vectorial

"Análisis vectorial:
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Integrales impropias:
· f: [a,+inf[ -> R, int(a,inf,f(x),dx):=lim(int(a,R,f(x),dx),R->inf).
· Criterio de comparación: f,g: [a,+inf[ -> R, |f(x)|=<g(x) =>
=> int(a,inf,g(x),dx) C => la de f(x) C
=> int(a,inf,f(x),dx) D => la de g(x) D
· Criterio del lÃ−mite: f,g: [a,+inf[ -> R, lim (f(x)/g(x))=L distinto de 0,inf => las dos integrales tiene el
mismo carácter.
· int(-inf,0,f(x),dx)=(u=-x)=int(inf,0,f(u),du)=-int(0,inf,f(u),du).
· Criterio integral de Cauchy: f:[n0,+inf[->R, n0 natural, contÃ−nua y decrecente a cero
=> sum(n=n0,inf,f(n)) C sii int(n0,inf,f(x),dx) C (aunk no lo hagan al mismo valor)
· Integrales de segunda especie: f:]a,b]->R contÃ−nua, int(a,b,f(x),dx)=lim(int(R,b,f(x),dx),R->a+).
· Aproximación por Taylor:
f(x)(aprox)=f(x0)+f'(x0)*(x-x0)+(f''(x0))/(2!)*((x-x0)^2)+....+fsupern(xo)/n!*((x-x0)^n)=Tn(x)
· f,g:]a,b]->R contÃ−nuas
· lim(f(x)/g(x),x->a+) real distinto de cero
=> int(a,b,f(x),dx) C,D sii int(a,b,g(x),dx) C,D
Una buena elección de g(x) es el desarrollo de Taylor de f(x).
· f:[a,b[->R, lim(f(x),x->b-)=inf => int(a,b,f(x),dx)=lim(int(a,R,f(x),dx),R->b-).
· f:[a,b[->R, lim(f(x),x->a+)=lim(f(x),x->b-)=inf => int(a,b,f(x),dx) C sii:
· lim(int(R,c,f(x),dx,R->a+) C
· lim(int(c,R,f(x),dx,R->b-) C c valor entre a y b.
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Integrales paramétricas:
· int(a,b,f(x,t),dt)=F(x)
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· f contÃ−nua => F contÃ−nua en el intervalo de integración
· f contÃ−nua y df/dx contÃ−nua => F derivable y dF/dx=int(a,b,df/dx,dt)
· Fórmula de Leibniz:
· f, df/dx, a(x), b(x) contÃ−nuas; a, b derivables =>
=> (d/dx)(int(a(x),b(x),f(x,t),dt))=int(a(x),b(x),df/dx,dt)+f(x,b(x))*b'(x)-f(x,a(x))*a'(x).
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Integración múltiple:
R2:
· Integrar sobre rectángulos en R2: Teorema de Fubini:
Teorema de Fubini:
x:[a,b], y:[c,d]
int(int(f(x,y),dy),dx)=int(c,d,int(a,b,f(x,y),dx,dy)=int(a,b,int(c,d,f(x,y,dy),dx)
· Aplicaciones de las integrales dobles:
1)Calcular volúmenes: V=int(int(f(x,y)))dxdy
2)Calcular áreas: A=int(int(1))dxdy
3)Calcular masas: m=int(int(ro))dxdy, ro=densidad superficial
4)Centro de gravedad: X(,Y,Z)=(1/m)*int(int(x(,y,z)*ro))dxdy
5)Momento de inercia: Ir=int(int(ro*(f(x,y)^2)))dxdy (kg*m^2), f(x,y)=distancia entre (x,y) y recta r
Nota: Las unidades pueden no dar, pero eso es porque van implÃ−citas en los lÃ−mites de las integrales.
· Teorema del cambio de variable:
d(x,y)/d(u,v)=(dx/du dx/dv)
(dy/du dy/dv) <- Jacobiano
(d(x,y)/d(u,v))^(-1)=d(u,v)/d(x,y)
det(A)=det(A') (A'=A transpuesta)
det(A^(-1))=1/det(A)
int(int(f(x,y))dxdy=int(int(f(x(u,v),y(u,v))*|det(d(x,y)/d(u,v)|))dudv
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· Para doinios más generales, se van fijando variables y mirando dónde oscilan las demás.
· Lo mejor para hacer estos problemas es dibujar SIEMPRE el recinto de integración.
· Comprobar que el resultado sea coherente con las unidades, k no cuesta nada y se ve enseguida si está
mal hecho.
R3:
· Teorema de Fubini para integrar sobre paralelepÃ−pedos:
=> Calcado al de R2.
· Aplicaciones:
Todas las fórmulas de las dobles se calcan a triples.
Volúmen=int(int(int(1)))dxdydz
masa=int(int(int(ro)))dxdydz, ro=densidad
· Fórmula del cambio de variables: Igual que en las integrales dobles, solo que el determinante es más
fastidiao.
· Coordenadas polares:
x=ro*Cos(zeta)
y=ro*Sin(zeta)
z=z
Jacobiano: det(d(x,y,z)/d(ro,zeta,z))=ro
· Coordenadas esféricas:
x=ro*Sin(fi)*Cos(zeta)
y=ro*Sin(fi)+Sin(zeta)
z=ro*Cos(fi)
Jacobiano: det(d(x,y,z)/d(ro,fi,zeta))=(ro^2)*Sin(fi)
Nota que hemos tomado zeta y fi cambiadas, todo depende de la referencia que tomemos.
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Curvas (Integrales de lÃ−nea):
· Dado t => alfa(t)=(x(t),y(t),z(t)) vector de R3, t:[a,b]
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· Velocidad escalar o rapidez: v(t0)=||alfa'(t0)||
· Vector tangente unitario: T(t)=alfa'(t)/||alfa'(t)||
· Vector normal unitario: N=T'/||T'|| -->componente tangencial
· Vector aceleración: alfa''=(alfa')'=(v*T)'=v'*T+v*T'=v'*T+v*||T'||*N
------->componente normal
· Longitud de una curva: L=int(t0,t1,||alfa'(t)||,dt) (recuerda que espacio=velocidad*tiempo)
· Integrales de lÃ−nea de campos escalares f: int(curva,f,dS)=int(t0,t1,f(alfa(t))*||alfa'(t)||,dt)
· Si la curva es cerrada, el sÃ−mbolo es el de una integral de circulación.
· Aplicaciones:
Las mismas que en las integrales dobles o triples.
Masa=int(curva,ro,dS), ro=densidad
Centro de gravedad: Z(,X,Y)=(1/masa)*int(curva,ro*Z(X,Y),dS)
· Integrales de lÃ−nea sobre campos vectoriales:
Una curva en R^k. Trabajo gastado por una partÃ−cula al atravesar este campo: dW=<F,dl>
W=int(curva,<F,dl>)=int(a,b,<F(alfa(t)),alfa'(t)>,dt)
alfa:[a,b]->R^k
Notaciones: int(curva,F,dl)=int(curva,F,dalfa)=int(curva,<F,dalfa>)=int(curva,<F,dl>)
· Fórmula de Green: (Relaciona una integral de circulación con una integral doble)
C una curva plana recorrida + (sentido antihorario), cerrada.
D=interior C
P=P(x,y), Q=Q(x,y), P,Q: D->R diferenciables en D
F=(P,Q)
int(curvacerrada,Pdx+Qdy)=int(int(dQ/dx-dP/dy))dxdy (aplicado en el recinto D)
· Campo conservativo:
F=(P,Q)
Equivalen:
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1) F es conservativo.
2) int(curva,F,dalfa)=0 para toda curva cerrada.
3) Existe f tal que (-gradiente(f))=F
4) dQ/dx=dP/dy
A f se le llama función potencial
Ej: Campo gravitatorio: P=(0,-mg)
· à rea de un recinto plano:
A=int(int(1))dxdy
Si somos capaces de encontrar Q,P tales que dQ/dx-dP/dy=1.
normalmente se eligen Q=x/2 P=-y/2
I=(1/2)*int(-y dx + x dy) -> Ã rea de un recinto plano.
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Integrales de superficie:
· Como para describir una curva hacÃ−a falta un parámetro (t), para describir una superficie harán falta
dos parámetros (u,v):
r:D->S, D de R2, r(u,v)=x(u,v),y(u,v),z(u,v)).
· Plano tangente: Definido por estos dos vectores: dr/du, dr/dv.
· Vector normal al plano tangente: (dr/du)x(dr/dv) (si lo kiero unitario habrá k dividir por la norma)
· à rea de superficies: ^----producto vectorial
r:[u0,u1]x[v0,v1]
A=int(int(||dr/du x dr/dv||))dudv
Truco: E=<dr/du,dr/du>|
F=<dr/du,dr/dv>|-> ||dr/du x dr/dv||=sqrt(E*G-F^2)
G=<dr/dv,dr/dv>|
· Integral de un campo escalar: int(ints(f,dS))=int(int(f(r(u,v))*||dr/du x dr/dv||))dudv
· masa de una superficie con densidad ro: m=int(int,superficie,ro))dS
· centro de gravedad: (XóYóZ)=(1/m)*int(int(superficie,(XóYóZ)*ro))dS
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· Integral sobre campo vectorial:
· Vector normal unitario: n=(dr/du x dr/dv)/||dr/du x dr/dv||
· flujo=int(int(<F,n>*||dr/du x dr/dv||))dudv=int(int(duperficie,<F,n>))dS=int(int(superficie,F,dS)) en
[u0,u1]x[v0,v1]
· flujo=(aplicando ecuación de n)=int(int(<F,dr/du x dr/dv>))dudv
· Divergencia:
div>0 -> Sale agua (fuente)
div<0 -> Entra agua (sumidero)
F=(F1,F2,F3) campo ectorial diferenciable, S superficie CERRADA
divF=dF1/dx+dF2/dy+dF3/dz
int(int(superficie,F,dS))=int(int(int(volúmen,divF)))dxdydz
· Teorema de Stokes:
rotF=|i j k|=AxF
|d/dx d/dy d/dz|
|F1 F2 F3|
gamma -> curva cerrada que encierra a una superficie S con borde.
n: Vector normal saliente dela superficie
int(int(<rotF,n>,dS))=intgamma(curva,F,dalfa)
· F es conservativo sii
· int(curva,F,dalfa)=0 para toda curva C cerrada sii
· int(int(<rotF,n>,dS))=0 sii
· rotF=0
=> existe V escalar tal que gradiente(V)=(-F) (Nota: F es un vector).
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Series de potencias:
· Polinomio de grado infinito tipo S=sim(n=0,inf,an*((x-x0)^n))=a0+a1*(x-x0)+a2*((x-x0)^2)+...
· Criterios de convergencia:
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· Criterio M de Weierstrass:
· |an*((x-x0)^n)|=<Mn que ya no es función de x, para todo x
· sum(n=0,inf,Mn) Converge
=> sum(n=0,inf,an*((x-x0)^n)) C.
· Fórmula de Cauchy - Hadamard:
· ro=radio de convergencia
· ro^(-1)=lim(|an+1/an|,n=inf)=lim(xroot(n,an),n=inf)
· Entonces:
1) La serie converge en ]x0-ro,x0+ro[
2) La serie converge uniformemente en todo intervalo cerrado y acotado en ]x0-ro,x0+ro[
3) sum(n=0..inf,|an*(x-x0)^n|) converge en ]x0-ro,x0+ro[
4) La serie diverge en ]-inf,x0-ro[ U ]x0+ro,+inf[
En x0-ro y x0+ro puede pasar de todo.
· Son contÃ−nuas y derivables e integrables término a término en ]x0-ro,x0+ro[.
· Las únicas series de potencias son las de Taylor (y además son únicas, no hay dos iguales).
=> f(x)=sum(n=0,inf,(fsupern(x0)/n!)*((x-x0)^n))
· Producto de Cauchy:
sum(n=0,inf,an*((x-x0)^n)), sum(n=0,inf,bn*((x-x0)^n)), que convergen en ]x0-ro,x0+ro[, alfan=an*(x-x0)^n,
betan=bn*(x-x0)^n
=> sum(n=0,inf,alfan)*sum(n=0,inf(betan)=sum(n=0,inf,sum(k=0,n,alfak*beta(n-k))).
Si las dos series tienen distinto radio de convergencia, esto solo tiene sentido para el intervalo con menor
radio
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