Plan de clase (1/3) sus relaciones. en una circunferencia.
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Inscritos y centrales Plan de clase (1/3) Escuela: ________________________________________________ Fecha:____________ Profr. (a):___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FEyM Contenido: 8.4.3 Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones. Intención didáctica: Que los alumnos identifiquen y definan los ángulos centrales e inscritos en una circunferencia. Consigna: De manera individual, resuelve el problema siguiente. Analiza los ángulos marcados en las siguientes circunferencias y después realiza lo que se indica. Ángulos centrales de una circunferencia Ángulos inscritos en una circunferencia 1 a) Completa la tabla. Anota sí o no. Ángulo central Su vértice es el centro de circunferencia. Su vértice está sobre la circunferencia. Ángulo inscrito la Sus lados son radios de la circunferencia. Sus lados son circunferencia. cuerdas de la b) Escribe la definición de: Ángulo central: ________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Ángulo inscrito: ________________________________________________________ _____________________________________________________________________ Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos. En esta tarea de conceptualización se espera que los estudiantes identifiquen que un ángulo central de una circunferencia es el que tiene su vértice en el centro de la circunferencia y sus lados son radios de la misma, mientras que el ángulo inscrito tiene su vértice sobre la circunferencia y sus lados son cuerdas. En la confrontación de resultados es conveniente enfatizaren los siguientes puntos: ¿Por qué el ángulo de la circunferencia con centro C4 es central si aparece un diámetro? ¿Por qué el ángulo de la circunferencia con centro C7 es inscrito si uno de sus lados es un diámetro? Al trazar un ángulo central en una circunferencia, en realidad se forman dos ángulos centrales, ¿cómo calcular la medida de uno si se conoce la del otro?, ¿en cuáles figuras de las anteriores pueden saber el valor de los dos ángulos centrales?, ¿cuál es ese valor? 2 Se espera que los alumnos argumenten que el diámetro está formado por dos radios y que también es una cuerda (la cuerda de mayor longitud). Al trazar un ángulo central en una circunferencia en realidad quedan dos ángulos conjugados (son los que suman 360º). Comente con los alumnos que por ello es importante marcar con un arco el ángulo que se está considerando (como lo muestran los dibujos). Para profundizar en las reflexiones, se puede plantear lo siguiente a los alumnos: a) Tracen un ángulo central que mida 0º. b) ¿Puede existir un ángulo inscrito en una circunferencia formado por dos diámetros? Justifiquen su respuesta. c) Si trazan dos diámetros en una circunferencia, ¿qué tipo de ángulos se forman, inscritos o centrales?, si conocen la medida de uno de ellos, ¿pueden calcular las de los otros? Ejemplifiquen su respuesta. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 3 ¿Qué relación tienen? Plan de clase (2/3) Escuela: _________________________________________________Fecha:____________ Profr. (a):__________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FE y M Contenido: 8.4.3 Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones. Intención didáctica: Que los alumnos encuentren la relación entre las medidas de ángulos centrales e inscritos que abarcan el mismo arco en una circunferencia. Consigna 1: De manera individual, resuelve el siguiente problema. Observa que en cada una de las siguientes circunferencias se han trazado un ángulo central y uno inscrito que abarcan el mismo arco de la circunferencia: a) ¿Crees que las medidas de cada una de las parejas de ángulos anteriores están relacionadas? __________________________ b) Si tu respuesta es afirmativa, ¿cuál crees que es esa relación? __________________ Consigna 2: De manera individual, realiza lo que se solicita. Traza 3 circunferencias, con radios de diferente medida y en cada uno de ellas traza dos ángulos, un ángulo central y otro inscrito que abarquen el mismo arco. Después, recorta de un círculo los ángulos que formaste y sobreponlos para compararlos. Haz lo mismo con los otros dos círculos. a) ¿Encuentras alguna relación entre sus medidas? __________ b) Si la encuentras, ¿cuál? _________________________________________ 4 Consigna 3: En equipos, resuelvan lo que se solicita. Compartan sus observaciones y juntos elaboren una tabla con la medida de los ángulos centrales e inscritos que obtuvo cada uno. ALUMNO Medida del Medida del ángulo central ángulo inscrito 1 2 3 4 5 6 7 8 9 De acuerdo con los resultados de la tabla, digan qué relación existe entre la medida del ángulo central y la medida del ángulo inscrito. _____________________________________ __________________________________________________________________________ Consideraciones previas: Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos y tijeras. Con la consigna 1, se pretende preparar a los estudiantes a elaborar conjeturas para luego comprobar si son o no verdaderas. Es probable que algunos intuyan que sí existe relación entre ambos ángulos y otros que no; asimismo quienes piensen que sí la hay no necesariamente intuirán que la medida del ángulo inscrito es la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. Al efectuar las siguientes dos consignas podrán comprobar sus conjeturas. Para la consigna 2 es necesario que los alumnos cuenten con hojas blancas, tijeras, transportador, compás, regla y colores. Se sugiere que tracen los círculos en una hoja blanca para que puedan recortarlos y comparar la medida del ángulo central e inscrito mediante la superposición. Es necesario 5 observar la manera en que están trazando los ángulos para que se les pueda apoyar en caso de que no hayan comprendido lo que significa “que abarquen el mismo arco”. Para llevar a cabo la consigna 3, es importante que comente con ellos sobre la imprecisión de los instrumentos de medición y los errores que esto conlleva. No obstante lo anterior, se espera que al comparar las medidas encuentren la relación que se busca. En la puesta en común podrán concluir que el ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central cuando abarcan el mismo arco en una circunferencia. Para reforzar en la medida de lo posible el estudio de este aspecto se sugiere trabajar en Geometría dinámica. EMAT. México p.p.138-139 “Ángulos inscritos en una circunferencia”. O bien trazar ángulos con algún software de geometría dinámica y utilizar la herramienta de medición de ángulos. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 6 Relación de triángulos y círculos Plan de clase (3/3) Escuela: ________________________________________________ Fecha:____________ Profr. (a):___________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: FE y M Contenido: 8.4.3 Caracterización de ángulos inscritos y centrales en un círculo, y análisis de sus relaciones. Intención didáctica: Que los alumnos deduzcan que todo triángulo inscrito en una semicircunferencia es un triángulo rectángulo. Consigna 1: De manera individual, resuelve el siguiente problema. En cada circunferencia, traza al menos dos ángulos inscritos que abarquen el mismo arco que el ángulo central trazado. En cada caso, el segmento AB es un diámetro. Sin medir, responde las siguientes preguntas. a) ¿Cuánto mide el ángulo central trazado en cada circunferencia? __________ b) ¿Cuánto miden los ángulos inscritos que trazaste? ____________________ c) Argumenta tu respuesta. ____________________________________________________ __________________________________________________________________________ d) ¿Qué tipo de triángulos se forman con los ángulos inscritos que trazaste y el diámetro AB? __________________________________ Consideraciones Previas: 7 Para trabajar este desafío se requiere que los estudiantes tengan sus instrumentos geométricos. Se espera que los estudiantes integren varios de los conocimientos que han trabajado en los desafíos anteriores para lograr la intención didáctica. Por ejemplo, pueden razonar de la siguiente manera: 1. Un diámetro determina en una circunferencia un ángulo central de 180º. 2. El ángulo inscrito mide la mitad del ángulo central que abarca el mismo arco. 3. Por lo tanto, el ángulo inscrito que abarca un diámetro es un ángulo recto porque mide la mitad de 180º, esto es, 90º. De ahí se espera que concluyan que un triángulo inscrito en la mitad de una circunferencia (semicircunferencia) es un triangulo rectángulo. En la puesta en común puede invitar a los alumnos a medir los ángulos inscritos que trazaron o a sobreponer en ellos la esquina de una hoja para confirmar que son rectos. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre 14/15 8