ESTRUCTURA DE DATOS I UNIDAD I ARREGLOS De una dimensión De dos dimensiones

ESTRUCTURA DE DATOS I
UNIDAD I ARREGLOS
• De una dimensión
• De dos dimensiones
• De tres o mas dimensiones
• Matrices poco densas regulares
• Matrices poco densas irregulares
• Ordenaciones
• Búsquedas
• Mezclas
• Operaciones en arreglos
UNIDAD II COLAS
2.1 Cola circular
• Doble cola
• Cola de prioridades
• Representación en memoria
• Operaciones en colas
• Problemas
UNIDAD III PILAS
3.1 Representación en memoria
• Notación infija, posfija y prefija
• Recursividad
• Implementar la recursividad usando pilas
• Operaciones en pilas
• Problemas
UNIDAD IV LISTAS ENLAZADAS
4.1 Representación en memoria
4.2 Listas con cabeceras
4.3 Listas dobles
4.4 Operaciones en listas enlazadas
4.5 Recuperación de espacio en listas enlazadas
4.6 Problemas
UNIDAD V ARBOLES BINARIOS
1
5.1 Terminología
5.2 Arboles binarios y representación gráfica
5.3 Representación de un árbol binario en memoria
5.4 Recorrido de un árbol binario (Inorden, preorden y postorden)
5.5 Arboles enhebrados
5.6 Operaciones en arboles binarios
5.7 Arboles en montón
5.8 Arboles binarios de búsqueda
5.9 Longitud de camino
5.10 Problemas
UNIDAD VI ARBOLES GENERALES
6.1 Terminología y representación en memoria de un árbol general
6.2 Transformación de un árbol general a un árbol binario
6.3 Recorrido de un árbol general
6.4 Problemas
UNIDAD VII GRAFOS
7.1 Terminología
7.2 Representación en memoria secuencial
7.3 Representación en memoria enlazada
7.4 Operaciones sobre grafos
7.5 Camino mínimo
7.6 Recorrido de un grafo
7.7 Problemas
UNIDAD I
ARREGLOS DE UNA DIMENSION
Los arreglos es una herramienta maravillosa, le permite asociar un solo nombre de variable a una colección
completa de datos puede mover el arreglo completo en memoria, copiarlo y además solo haciendo referencia a
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un solo nombre de variable un arreglo es un conjunto finito ordenado de elementos homogéneos, la propiedad
de ordenación significa que es posible identificar el primero, segundo, tercero... y el enésimo elemento del
arreglo, un arreglo puede ser un conjunto de elementos de tipo cadena en tanto que otro puede ser de tipo
entero.
Sintaxis en pascal:
Type
nombre_arreglo = array [rango_inicial...rango_final] of tipo_arreglo;
Var
Identificador: nombre_arreglo;
ARREGLOS MULTIDIMENSIONALES
Existen grupos de datos que se representan mejor en forma de tabla o matriz cada dos o mas subíndices a esos
les llamamos arreglos multidimensionales se les llama así porque a diferencia de un arreglo bidimensional
estos constan de dos o mas dimensiones.
ARREGLOS BIDIMENSIONALES
Un array bidimensional se puede considerar como un vector de vectores. Es decir un conjunto de elementos
todos del mismo tipo, en el cual el orden de los componentes es significativo y en el que se necesitan
especificar dos subíndices para poder identificar cada elemento del arreglo: Una forma importante de
representar datos en un array bidimensional puede verse de forma lógica como una tabla de filas y columnas
ORDENACIONES
En los vectores con frecuencia es necesario clasificar u ordenar sus elementos en un orden particular La
clasificación es una operación tan frecuente en programas de computación que una gran cantidad de
algoritmos se han diseñado para clasificar listas de elementos con eficacia y rapidez.
La ordenación o clasificación depende del tamaño del vector o array a clasificar, el tipo de datos y la cantidad
de memoria disponible(Esta puede ser de forma creciente o decreciente). La ordenación puede ser de forma
ascendente o descendente para datos numéricos alfabéticos o para datos de caracteres.
METODO DE LA BURBUJA
El algoritmo de clasificación de la burbuja se basa en el proceso de comparar pares de elementos adyacentes e
intercambiarlos entre si hasta que estén todos ordenados, los pasos a dar son:
Comparar el elemento ad1y ad2 si están en orden se mantienen en caso contrario se intercambia entre si.
A continuación se comparan los elementos 2 y 3 de nuevo se intercambia si es necesario.
El proceso continúa hasta que cada elemento del vector ha sido comparado con sus elementos adyacentes y se
han realizado los intercambios necesarios.
01 01 01 01 01 01
3
36 36 36 36 06 06
24 24 24 06 36 36
10 10 06 24 24 24
06 06 10 10 10 10
12 12 12 12 12 12
y se sigue con 6 iteraciones hasta que este ordenado .
CLASIFICACION POR SHELL
Esta clasificación fue desarrollada por Daniel Shell para evitar la ineficiencia de la clasificación por burbujas
para grandes matrices.
La clasificación de Shell se diferencia de la clasificación por Burbuja en que se compara elementos mas
separados antes de comparar los elementos adyacentes.
Esto elimina gran parte del desorden de la matriz en las primeras iteraciones.
La clasificación de Shell utiliza una variable llamada intervalo que inicialmente recibe un valor igual a la
mitad del numero de elementos que hay en la matriz. El valor del intervalo especifica la distancia entre cada
par de elementos comparables de la matriz.
.44 .11 .11 .11 .11
.88 .88 .66 .66 .66
.22 .22 .22 .22 .22
.77 .77 .77 .77 .55
.33 .44 .44 .44 .44
.66 .66 .88 .88 .88
.44 .44 .44 .44 .44
.55 .55 .55 .55 .77
Los elementos separados serán inicialmente de un intervalo de 4 para este ejemplo, la primera iteración de la
matriz comparara todos los elementos separados por esa distancia el proceso se repite hasta que no hay
intercambios, con un intervalo de 4 y se vuelve a iniciar calculando el nuevo intervalo hasta que este llegue a
1.
CLASIFICACION POR QUICK SORT
Aunque la eficiencia de la clasificación Shell aumenta a medida que crece el numero de elementos también
tiene limitaciones. La clasificación rápida que es un algoritmo recursivo de clasificación aumenta la velocidad
a medida que el numero de elementos se aproxima a 150 o 200 , de hecho la clasificación rápida es uno de los
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algoritmos de clasificación que mas se utilizan en la actualidad. Si la matriz se pasa a la rutina de clasificación
rápida el algoritmo seleccionara el valor contenido en [Principiolista+ Finallista]div 2 ; cualquier valor de la
lista será colocado en una lista y los valores que sean mayores o iguales que el separador de lista se colocaran
en una segunda lista como se muestra a continuación:
60
20
10
30
40
50
80
70
0
El orden que debe llevar las iteraciones es desde el punto medio hacia abajo y después de arriba hacia el
centro después se sigue haciendo ciclos con los demás bloques.
BÚSQUEDA SECUENCIAL
Es la técnica de búsqueda mas simple comenzando por la cabeza de la lista se busca un determinado registro
examinando cada registro secuencialmente hasta que se encuentra o la lista es agotada.
Este algoritmo es adecuado tanto para listas secuenciales como para listas enlazadas. La lista no tiene que
estar ordenada aunque la eficiencia de la búsqueda puede mejorarse si lo esta.
ALGORITMO:
Comenzar por el primer elemento de la lista mientras mas elementos en la lista y valor clave no encontrado.
Obtener siguiente elemento de la lista:
Si valor clave = encontrado
Entonces devolver registro encontrado
Si no devolver registro no encontrado
BÚSQUEDA BINARIA
Es uno de los algoritmos mas rápidos que usan los programadores .A diferencia de la búsqueda secuencial que
examina elementos sucesivos de la matriz , la búsqueda binaria reduce el numero de elementos que deben ser
examinados.
Con un factor de dos en cada iteración hasta que se encuentra el registro deseado .La disminución de los
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tiempos de ejecución se hace mas importante al aumentar el tamaño de la matriz .
La primera iteración de la búsqueda examina toda la matriz. Supongamos que las variables bajo y alto en el
siguiente ejemplo reciben los valores de 0 y 9. La variable índice medio es el elemento medio del intervalo de
búsqueda. Valores de [Indice_Medio] contiene el valor que se va a comparar con el valor deseado.
Valor a buscar =jelipe
Indice_medio =(Alto + Bajo) div 2
(9+0) div 2=4
(9+4) div2= 6
(6+4) div2 =5
Si el valor determinado en valores (índice medio) es igual al valor deseado la búsqueda se completa dando un
valor verdadero a la variable encontrada. Si el valor contenido en valores (Indice Medio) es mayor que el
valor deseado el algoritmo de búsqueda se modificó, ya que el valor indica que no hay razón para seguir
buscando en ese punto la lista.
BÚSQUEDA MEDIANTE TRANSFORMACIÓN DE CLAVES HASH
L a búsqueda binaria proporciona un medio para reducir el tiempo requerido de buscar en una lista, sin
embargo este método exige que los datos estén ordenados. Existen otros métodos que pueden aumentar la
velocidad de búsqueda en los datos y no necesitan estar ordenados. Este otro método se denomina Hash o
transformación de claves. El método Hash consiste en convertir la clave dada numérica o alfanumérica en una
dirección (índice) dentro del array .La correspondencia entre las claves y la dirección en el medio de
almacenamiento o el array se establece por una función de conversión (Función Hash).
Existen numerosos métodos de transformación de claves todos ellos tienen en común la necesidad de
convertir en direcciones .En esencia la función de conversión equivale a un calculador de direcciones .Cuando
se desea localizar un elemento de clave x el indicador de direcciones indicara en que posición del array estará
posicionado el elemento.
TRUNCAMIENTO
Ignora parte de la clave y utiliza la parte restante directamente como índice (Considerando campos no
numéricos y sus códigos numéricos) .Si las claves por ejemplo, son enteros de 8 dígitos y la tabla de
transformación tiene 1000 posiciones entonces el primero, segundo y quinto dígitos desde la derecha pueden
formar la función de conversión.
0
Clave=72588495
:
El truncamiento es un método muy rápido pero falla para distribuir las claves de modo uniforme.
PLEGAMIENTO
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Consiste en la partición de la clave en diferentes partes y la combinación de las partes en un modo
conveniente (a menudo utilizando suma o multiplicación) para obtener el índice .La clave x se divide en varias
partes donde cada parte tienen el mismo numero de dígitos que la dirección especificada.
1000 000 a 999 Fx=x1+x2+x3...+xn
625 381 94 625+381+94=11100 100
ARITMÉTICA MODULAR
Convertir la clave a un entero , dividir por el tamaño del rango del índice y tomar el resto como resultado. La
función de conversión utilizada es MOD (Modulo o resta de división entera).
Donde el mes el tamaño del arreglo con índices de 0 hasta n−1. Los valores de la función y direcciones van de
0 a n−1 ligeramente menor al tamaño del array. La mejor elección de los módulos son los números primos.
M=100 F(x)= x mod 100
X=234661234
F(x)=234661234 mod 100 =34
La clave de búsqueda en una cadena de caracteres tal como el nombre para obtener direcciones de conversión
el método mas simple es asignar a cada caracter de la cadena un valor entero (ejemplo A=1, B=2, C=3,etc) y
sumar los valores de los caracteres en la cadena al resultado se le aplica entonces el modulo.
MITAD DEL CUADRADO
Este método consiste en calcular el cuadrado de la clave x. La función de conversión se define como F(x)=C
donde C se obtiene eliminado dígitos de ambos extremos de x2; para todas las claves se deben usar las
mismas posiciones de x2. Ejemplo:
Una empresa tiene 80 empleados y cada uno de ellos tiene un numero de identificación de 4 dígitos y el
conjunto de direcciones de memoria varia en un rango de 0 a 100 calcular las direcciones que se obtendrán al
aplicar mitad del cuadrado.
Clave x x2 4 y 5
4205 176 82 025 82
7148 510 93 904 93
3350 112 22 500 22
COLISIONES
La función de operación Hash no siempre proporciona valores distintos, puede ser que para dos claves
diferentes x1 y x2 se obtenga la misma dirección. Esta situación se denomina colisión y se debe de encontrar
métodos para su correcta resolución.
F (123445678) mod 100= 44
7
colisión
F (123445880) mod 100= 44
RESOLUCION DE COLISIONES
Si la clave transformada nos da una dirección que ya esta ocupada incrementamos el índice y examinamos el
espacio siguiente. Para buscar un registro usando esta técnica de manejo de colisiones efectuamos la función
Hash sobre la clave y luego comparamos la clave deseada con la real en la posición asignada. Si las claves no
coinciden iniciamos una búsqueda secuencial, comenzando con la siguiente posición del array.
REHASHING
Otra técnica común para la resolución de colisiones se llama rehashing. Si el primer calculo de la función
Hash produce una colisión se utiliza la dirección transformada como entrada para la función rehashing como
entrada para la función rehashing y se calcula la nueva dirección.
Clave mod 100 −> Dirección ocupada
(Dirección +2) mod 100 −>Dirección
55667003 mod 100 =03
• + 2= 5 mod 100 −>05
CUBOS Y ENCADENAMIENTO
Otra alternativa para las técnicas de colisiones es permitir transformar múltiples claves de registros. Una
solución es dejar que cada dirección transformada contenga espacios para múltiples registros en vez de un
único registro.
vacío
453614001
vacío
556677003
123456004
vacío
302472107
vacío
123450003
445500124
Vacío
Vacío
Vacío
Vacío
222230504
234056399
vacío
Vacío
Otra forma para evitar este problema es usar la dirección transformada no como posición real del registro sino
como un índice en un array de punteros. Cada puntero accede a una cadena de registros que participan de la
misma dirección transformada en vez de buscar en el array o hacer una retransformación.
MEZCLAS
El proceso de mezclas es muy sencillo, el programa compara y lee los 2 registros y escribe en un archivo
recién creado.
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A continuación se lee otro registro de datos no entradas este proceso continúa hasta que todos los registros de
uno o ambos archivos hayan sido procesados.
Normalmente uno de los archivos de entrada acaban con sus registros antes que otros. Cuando ocurre esto el
proceso continúa leyendo registros del archivo restante y los escribe en el archivo recién creado.
CLASIFICACION POR MEZCLAS DIRECTAS
Por desgracia algunos algoritmos de clasificación son inaplicables si la continuidad
De datos por ordenar no cabe en la memoria principal de la computadora. Algunos algoritmos de clasificación
son inaplicables si la cantidad de datos por ordenar no cabe en la memoria principal de la computadora pero se
le presenta por ejemplo en un dispositivo de almacenamiento periférico y secuencia como una cinta de disco.
En este caso describimos los datos como un archivo secuencial cuya característica es que en cada momento un
componente es accesible directamente.
Esta es una restricción severa si se compara con las posibilidades que ofrecen los arreglos, por lo tanto hay
que aplicar otras técnicas de clasificación la mas importante es la mezcla, mezclar significa compilar dos o
mas secuencias ordenadas en una sola secuencia ordenada, es una operación mucho mas sencilla que clasificar
y sirve como una operación auxiliar en el proceso mas complejo de la clasificación secuencial. Una manera de
clasificar cada base en la mezcla, llamada mezcla directa es la siguiente:
1. − Dividir la secuencia A en dos mitades denominadas B y C.
2. − Mezclar B y C combinando cada elemento en pares ordenados.
3. −Llamar A a la secuencia mezclada y repetir los pasos 1 y 2 esta vez combinando los pares en cuádruplos
ordenados.
4. − Repetir los pasos anteriores combinando los cuádruplos en octetos y seguir haciendo esto (Cada vez
duplicando las longitudes de las subsecuencias combinadas hasta que quede ordenado a la secuencia total).
A 44 55 12 42 / 94 18 06 67
B 44 55 12 42
C 94 18 06 67
A 44 94 18 55 /06 12 42 67
B 44 94 18 55
C 06 12 42 67
A 06 12 44 94 / 18 42 55 67
B 06 12 44 94
C 18 42 55 67
A 06 12 18 42 44 55 67 94
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INTERCALACION CUADRATICA (SECUENCIAS EQUILIBRADAS)
Este método utiliza la memoria de la computadora para realizar clasificaciones internas y cuatro archivos
secuenciales temporales para trabajar. Supongamos que un archivo de entrada F que se desea ordenar por
orden creciente de las claves de sus elementos se dispone de cuatro archivos secuenciales de trabajo F1, F2,
F3 y F4 y que se pueden colocar n elementos en memoria central en un momento dado en una tabla T de n
elementos el proceso es el siguiente:
1. − Lectura del archivo de entrada por lotes de n elementos.
2. −Ordenación de cada uno de estos bloques y escritura alternativa sobre F1 y F2.
3. − Fusión de F1 y F2 en bloques de 2 elementos que se escriben alternativamente sobre F3 y F4.
4. −Fusión de F3 y F4 y escritura alternativa en F1 y F2 en bloques de 4n elementos ordenados.
5. − El proceso consiste en doblar cada vez mas el tamaño de los bloques utilizando las parejas (F1 como F2)
y (F3 como F4).
F= 46 66 4 12 7 5 34 32 68 8 99 16 13 14 12 10
F1 = 4 12 46 66 8 16 68 99
F2 = 5 7 32 34 10 12 13 14
F3= 4 5 7 12 32 34 46 66
8 10 12 13 14 16 68 99
F1= 4 5 7 8 10 12 12 13 14 16 32 34 46 66 68 99
F2=Vacio
MEZCLA NATURAL
Primero se pone el apuntador en el primer elemento y se sigue hasta encontrar un elemento menor en el
elemento en que se encuentra un elemento menor se corta el segmento y empieza otro. Estos se acomodan
intercambiando los segmentos en F1 y F2.
F= 32 66 | 34 72 84 96 | 48 | 31 | 24 39 | 14
F1= 32 66 48 24 39
F2=34 72 84 96 31 14
F= 32 34 6 | 48 | 24 39 72 84 96 | 31 | 14
F1= 32 34 66 24 39 72 84 96 14
F2= 48 31
UNIDAD II
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COLAS
En las colas el elemento que entro en primer lugar también es el primero en salir por ello se conocen como
listas FIFO (First in − First out).
Así pues la diferencia con las pilas recibe en el modo de entrada y salida de datos. En las colas las inserciones
se realizan al final de la lista no al principio por ello las colas se usan para almacenar datos que necesiten ser
procesados según el orden de llegada.
Nodo I M F
En la informática muchas aplicaciones para las colas (colas de aplicación) etc. . Por ejemplo un sistema de
tiempo compartido suele tener un procesador central y una serie de periféricos compartidos: discos,
impresoras, etc.
Los recursos se comparten con diferentes usuarios y se utiliza una cola para almacenar el programa por los
diferentes usuarios que esperan su turno de ejecución. El procesador atiende por riguroso orden de llamado de
usuario.
REPRESENTACIÓN DE COLAS
Las colas pueden representarse como estructuras dinámicas o arrays.
ESTRUCTURA DINAMICA
Inicio Medio Final
ARRAY
100
264
119
48
Inicio Final
COLAS DOBLES
Existe una variable de la cola simple que es la bicola (doble cola). Es una cola bidimensional en la que las
inscripciones y eliminaciones se pueden realizar en cualquiera de los dos extremos de la cola.
Inserción Eliminación
Inicio
Final
Eliminación Inserción
Existen dos variantes de la bicola (cola doble):
Cola doble con entrada restringida: Acepta valor, inserciones solo al final de la columna.
Cola doble con salida restringida: Acepta eliminaciones solo al inicio de la cola.
Indica Memoria Dinámica
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Crear I I=NULL
Crear M M=NULL
Crear F F=NULL
Mientras si (Quiere dar de alta)
Si I=Null Entonces
Crear Nodo I
I sig=NULL
M=I
F=I
Si no
Crear nodo F
Fsig =M
M=F
COLA DOBLE CON SALIDA REESTRINGIDA
Acepta eliminaciones solo al inicio de la cola.
I MF
Crear I
Crear F
Crear M
I=NULL, F= NULL , M= NULL
Si I=NULL
Crear Nodo I
Isig1= NULL
Isig2 = NULL
F=I
M=I
12
Si no
Crear nodo F
Msig1 =F
Fsig2=M
Fsig1=I
M=F
Isig2=F
Solo se da de baja al inicio de la cola
Solo se da de alta al final de la cola.
I MF
BAJA AL FINAL DE LA COLA
M= Fsig2
Msig1=I
Isig2 = M
F=M
BAJA AL PRINCIPIO DE LA COLA
M=I
I=Msig1
Fsig1=M
Msig2=F
I=M
M=F
UNIDAD III
PILAS
Una pila es un tipo de lista lineal en la que la inserción y borrado de nuevos elementos solo se pueden realizar
por un extremo que se denomina tope o cima.
La pila es una estructura con numerosas analogías en la vida real, una pila de platos, una pila de documentos,
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una pila de monedas. Dado que la operación de insertar y eliminar se realizan por un solo extremo (superior)
los elementos solo pueden eliminarse en un orden inverso al que se insertan en la pila.
El ultimo elemento que se pone en la pila es el primero que se puede sacar; por ello a estas lista se les conoce
como LIFO (Last In − first Out).
0
1
2
3
4
5
6
0
1
2
3
4
5
6
AA
BB
CC
BB
CC
AA
En cualquiera de las tres formas mostradas anteriormente para representar una pila S se puede definir un
vector con determinado tamaño (longitud máxima). Se considera un elemento entero P como indicador de la
pila. P es el subíndice del array correspondiente al elemento cima de la pila (esto ocupa la ultima posición).
Si la pila esta vacía P es igual a cero.
A
B
C
...
r
l
...
1 2 3 P−1 P N−2 N−1 N
CIMA LONG.
(Puntero de la pila) MAX
Las operaciones mas usuales asociadas a las pilas son push, que es meter o poner. Pop que es sacar o quitar,
que es eliminar el elemento de la pila.
Idealmente una pila puede contener un numero ilimitado de elementos y no producir nunca desbordamiento
sin embargo, si hablamos de almacenamiento se hace necesario la implementación de pilas con apuntadores
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(almacenamiento dinámico).
PILAS DINAMICAS (STACK)
Es la mas sencilla de las estructuras dinámicas de datos. las pilas son utilizadas sobre todo por los sistemas
operativos y controladores de lenguaje de alto nivel, una pila es dinámica porque crece y se encoge a mediada
que sea necesario o para trabajar con pilas es importante definir los siguientes procedimientos:
PUSH.− Poner datos en la pila.
POP.− sacar datos de la pila
ERROR.− Pueden sacar datos de pilas vacías.
NOTACIONES
Las notaciones son una forma especial en la que se pueden expresar una expresión matemática y puedan ser
de 3 formas: infija, prefija y posfija. Los prefijos, Pre − Pos − In se refieren a la posición relativa del operador
con respecto a los dos operandos.
Operandos
1+5
Operador
INFIJA PREFIJA POSFIJA
+15 1+5 15+
NOTACIÓN PREFIJA
Nos indica que el operador va antes de los operandos sus características principales son:
−Los operandos conservan el mismo orden que la notación infija equivalente.
−No requiere de paréntesis para indicar el orden de precedencia de operadores ya que el es una operación.
−Se evalúa de izquierda a derecha hasta que encontrémosle primer operador seguido inmediatamente de un
par de operandos.
−Se evalúa la expresión binaria y el resultado se cambia como un nuevo operando. Se repite este hasta que
nos quede un solo resultado.
* +A B C (A+B)*C
NOTACION POSFIJA
Como su nombre lo indica se refiere a que el operador ocupa la posición después de los operandos sus
características principales son: el orden de los operandos se conserva igual que la expresión infija equivalente
no utiliza paréntesis ya que no es una operación ambigua.
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−La operación posfija no es exactamente lo inverso a la operación prefija equivalente:
(A+B)*C AB+C*
NOTACION INFIJA
Es la forma mas común que utilizamos para escribir expresiones matemáticas, estas notaciones se refiere a
que el operador esta entre los operandos. La notación infija puede estar completamente parentizada o puede
basarse en un esquema de precedencia de operadores así como el uso de paréntesis para invalidar los arreglos
al expresar el orden de evaluación de una expresión:
3*4=12
3*4+2=14
3*(4+2)=18
RECURSIVIDAD
Las pilas se usan comúnmente para indicar en que punto se encuentra un programa cuando contiene
procedimientos que se llaman a si mismos. Estos procedimientos se conocen como procedimientos recursivos.
La recursividad es una técnica en la que un procedimiento o función se hace llamadas a si mismo en el
proceso de realización de sus tareas. La recursividad se puede definir mediante un clásico ejemplo de la
función factorial. La recursividad es una técnica de programación muy potente que puede ser usada en lugar
de una iteración (Bucles o ciclos). Ello implica una forma diferente de ver las acciones repetitivas permitiendo
que un subprograma se llame a si mismo para resolver una operación mas pequeña del programa original.
4!= 4*3*2*1=24
FUNCION FACTORIAL(N)
1. −Si N0
2. −N−factorial=1
3. −Si no
4. − N.factorial=N*Nfactorial(N−1)
1. − 4 No es cero por ello saltamos a la cláusula
4. −La primera llamada recursiva nos devuelve al comienzo de la función con N=2
1. −3 No es cero saltamos a la cláusula si no.
4. −La segunda llamada recursiva nos devuelve al comienzo de la función con
N=2
1. −2 No es cero saltamos a la cláusula si no Nfact=2* N.fact(2−1).
4. −La tercera llamada recursiva nos devuelve al comienzo de la función con
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N=1
1. −1 No es cero saltamos a la cláusula si no Nfact=2 * N.fact(2−1).
4. −La cuarta llamada recursiva nos devuelve al comienzo de la función con
N=0
1. −Cero es igual a cero ir a al cláusula si
2. −Nfact=1. El valor de n factorial es devuelto a la sentencia llamadora a la cuarta llamada recursiva.
4. −Nfact=1 * Nfact(0)= 1*1=1
El valor de Nfact(1) es devuelto a la tercera llamada recursiva.
4. −Nfact=2 * Nfact(1)= 2*1=2
El valor de Nfact es devuelto a la segunda llamada recursiva.
4. −Nfact=3 * Nfact(2)= 3*2=6
El valor de Nfact(3) es devuelto a la primera llamada recursiva.
4. −Nfact=4 * Nfact(6)= 4*6=24
La función devuelve ahora un 24 a la sentencia llamadora original.
UNIDAD IV
LISTAS ENLAZADAS
Los inconvenientes de las listas enlazadas se elimina con las listas enlazadas. Se pueden almacenar los
elementos de una lista lineal en posiciones que no sean contiguas o adyacentes una lista enlazada es un
conjunto de elementos en la que cada elemento contiene la posición o dirección del siguiente elemento de la
lista cada elemento de la lista debe tener al menos dos campos. Un campo que tiene el valor del elemento y un
campo que contiene la dirección del siguiente elemento es decir su posición enlace o encadenamiento a
diferencia de las pilas las listas enlazadas mantienen un orden dentro de ellas. Las listas requieren un campo
que será la clave por la que serán ordenadas.
CARACTERÍSTICAS
1− La lista debe estar ordenada.
2− A diferencia de las pilas y las colas se pueden extraer e insertar elementos en cualquier parte de la lista.
PASOS PARA CREAR UNA LISTA
1− Comprobar si esta vacía
2− Buscar la posición (orden)
3− Crear enlaces.
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Se tienen dos casos particulares para la inserción de un elemento.
1− Insertar el nuevo nodo en el frente (principio de la lista).
2− Insertar el nuevo nodo en cualquier otro lugar de la lista.
Para la eliminación de un elemento en una lista enlazada antes de proceder con la eliminación deberemos
comprobar que no este vacía. También en este caso se tienen dos consideraciones particulares.
1.−El elemento a suprimir esta al principio de la lista.
2.−El elemento se encuentra en cualquier otro lugar de la lista.
RECORRIDO DE UNA LISTA ENLAZADA
Para recorrer una lista se utiliza una variable auxiliar tipo apuntador que se va incrementando secuencialmente
de principio a fin hasta terminar el recorrido.
ACCESO A UN ELEMENTO DE UNA LISTA ENLAZADA
La búsqueda de información en una lista simplemente enlazada solo puede hacerse mediante un proceso
secuencial o recorrido de la lista elemento a elemento, hasta encontrar la información buscada o detectar el
final de la lista.
UNIDAD V
ARBOLES BINARIOS
ARBOLES BINARIOS DE BÚSQUEDA
El árbol binario de búsqueda con su estructura en árbol permite que cada nodo apunte a otros dos nodos :uno
que le precede en la lista y otro que lo sigue. Los nodos apuntados pueden ser cualesquiera de la lista siempre
que satisfagan esta regla básica : El nodo a la izquierda contiene un valor mas pequeño que el nodo que el
nodo que le apunta y el nodo a la derecha contiene un valor mas grande.
Como hemos indicado cada árbol binario tiene un único primer elemento llamado la raíz del árbol. En la
figura el nodo que contiene una A es el nodo raíz. El nodo raíz puede tener un nodo a su izquierda llamado
hijo izquierdo y/o un nodo a su derecha llamado su hijo derecha. Por ejemplo el nodo que contiene J tiene un
hijo izquierdo conteniendo una B y un hijo derecho conteniendo una D. El nodo que contiene una A es
llamado el padre de los nodos que contienen una B y D .Cualquier nodo en un árbol binario puede tener 0, 1 ,
2 hijos . Un nodo sin hijos se llama hoja .Dos nodos son hermanos si tienen el mismo padre . Los nodos que
contienen F y G son ambos hijos del nodo que contiene una C, por tanto son hermanos . Un nodo es un
antecesor de ese nodo si es el padre de este , o el padre de algún otro antecesor de ese nodo.
A
BCD
EFGHIJ
KL
18
El nivel de un nodo se refiere a su distancia al nodo raíz . Si designamos el nivel de la raíz como 0 , los nodos
que contienen B y D son nodos de Nivel 1 los nodos conteniendo F ,F , G, H , I ,J son nodos de Nivel 2.
Los campos izquierdo y Derecho que contienen punteros se usaran en los algoritmos para árbol , para enlazar
los datos almacenados en el árbol . Estos campos no son accedidos directamente por el usuario del árbol. El
campo Info que contiene los nodos que interesan al usuario pueden ser de cualquier tipo de datos
ARBOLES BINARIOS DE EXPRESIÓN
Cada nodo de un árbol binario puede tener a lo sumo dos hijos; por tanto podemos representar una expresión
binaria simple como un árbol binario de dos niveles. La raíz del nodo contiene el operador y los hijos
contienen los operandos.
7+8
Observe que los valores están en los nodos hojas y el operador esta en su padre.
Las distintas partes de una expresión complicada tienen diferentes niveles de precedencia de evaluación . Por
ejemplo cuando vemos la expresión (A+B)*C sabemos que la expresión (A+B) se evalúa antes que la de
multiplicación . Cuando escribimos la expresión infija con el operador entre los operandos , dependemos de
algún esquema de precedencia del operador y del uso de paréntesis para describir una expresión de forma
precisa . Sin embargo cuándo usamos un árbol binario para representar una expresión , los paréntesis no son
necesarios para indicar la precedencia.
El siguiente árbol binario representa la expresión (12−3)*(4+1)
Comencemos en el nodo raíz y evaluemos la expresión . La raíz contiene el operador * , luego miramos sus
hijos para obtener dos operandos como el nodo a la izquierda de la raíz contiene otro operador − sabemos que
el subárbol izquierdo consta a subes de una expresión . Debemos evaluar la resta del valor del hijo derecho del
nodo antes de poder realizar la multiplicación .
REPRESENTACIÓN DE ARBOLES BINARIOS
Los arboles binarios pueden ser representados de dos modos diferentes:
−−Mediante punteros
−−Mediante arrays.
REPRESENTACIÓN POR PUNTEROS
Cada nodo de un árbol será un registro que contiene al menos tres campos:
• Un campo de datos con un tipo de datos
• Un puntero al nodo subárbol izquierdo (que puede ser nulo)
• Un puntero al nodo del subárbol izquierdo (que puede ser nulo).
Este algoritmo seria:
Struct arbol{
<dato> datos;
19
Struct arbol *ptrizq;
Struct arbol *ptrder;
};
RECORRIDO DE UN ARBOL BINARIO
Se denomina recorrido de un árbol el proceso que permite acceder una sola vez a cada uno de los nodos del
árbol. Cuando un árbol se recorre , el conjunto completo de nodos se examina.
Existen muchos modos para recorrer un árbol binario . Por ejemplo existen seis diferentes recorridos generales
en un árbol binario simétricos dos a dos.
Los algoritmos de recorrido de un árbol binario representan tres tipos de actividades comunes:
• Visitar el nodo raíz
• Recorrer el subárbol izquierdo
• Recorrer el subárbol derecho
Estas tres acciones repartidas en diferentes ordenes proporcionan los diferentes recorridos del árbol. Los mas
frecuentes tienen siempre en común recorrer primero el subárbol izquierdo y luego el subárbol derecho . Los
algoritmos anteriores se llaman pre −orden , post−orden , in−orden y su nombre refleja el momento en que se
visita el nodo raíz . En el inorden el raíz esta en el medio del recorrido en el pre−orden el raíz esta en el
primero y en el postorden la raíz esta el ultimo:
RECORRIDO PRE−ORDEN
1− Visitar el nodo raíz
2− Recorrer el subárbol derecho en pre−orden
3− Recorrer el subárbol derecho en pre−orden
RECORRIDO EN−ORDEN
1− Recorrer el subárbol izquierdo en in−orden
2− Visitar la raíz
3− Recorrer el subárbol derecho en in−orden
RECORRER POST−ORDEN
1− Recorrer el subárbol derecho en post−orden
2− Recorrer el subárbol derecho en postorden
3− Visitar la raíz
BÚSQUEDA DE UN ELEMENTO
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La búsqueda en un árbol binario es dicotomica , ya que a cada examen de un nodo se eliminan aquel de los
subárboles que no contiene el valor buscado (Valores todos inferiores o superiores en los arboles binarios de
búsqueda).
El algoritmo de búsqueda del elemento −clave x− se realiza comparándolo con la clave del raíz del árbol .Si
no es el mismo se pasa al subárbol izquierdo o derecho , según el resultado de la comparación y se repite la
búsqueda en ese subárbol .La terminación del procedimiento se producirá cuando:
• Se encuentra la clave
• No se encuentra la clave ; se continua hasta encontrar un subárbol vacío.
INSERTAR UN ELEMENTO
Para insertar un elemento en el árbol A se ha de comprobar , en primer lugar que el elemento no se encuentra
en le árbol ya que su caso no precisa ser insertado. Si el elemento existe , la inserción se realiza en un nodo en
el que al menos uno de los dos punteros IZQ o DER tenga un valor de Nulo .
Por la anterior condición se desciende en árbol a partir del nodo raíz , dirigiéndose de izquierda a derecha de
un nodo . Cuando se alcanza un nodo en el árbol en que no se puede continuar el nuevo elemento se engancha
en la izquierda o derecha de este nodo en función de que su valor sea inferior o superior al nodo alcanzado.
UNIDAD VI
ARBOL GENERAL
TERMINOLOGÍA Y REPRESENTACIÓN DE UN ÁRBOL GENERAL
La representación y terminología de los árboles se realiza con las típicas notaciones de las relaciones
familiares en los árboles genealógicos: padre, hijo, hermano, ascendente, descendiente, etc. Sea el árbol
general de la figura no. 1:
A
BCD
EFGHIJ
KL
Terminología del árbol general:
*RAIZ DEL ÁRBOL: Todos los árboles que no están vacíos tienen un único nodo raíz. Todos los demás
elementos o nodos se derivan o descienden de él. El nodo raíz no tiene padre, es decir, no es el hijo de ningún
elemento.
*NODO: Son los vértices o elementos del árbol.
*NODO TERMINAL U HOJA: Es aquel que no contiene ningún subárbol.
*A cada nodo que no es hoja se asocia uno o varios subárboles llamados descendientes o hijos. De igual
forma, cada nodo tiene asociado un antecesor o ascendiente llamado padre.
21
*Los nodos de un mismo padre se llaman Hermanos.
*Los nodos con uno o dos subárboles no son hojas ni raíz, se llaman Nodos Interiores o Internos.
*Una colección de dos o más árboles se llama bosque.
*Todos los nodos tienen un solo padre (excepto el raíz) que no tiene padre.
*Se denomina camino el enlace entre dos nodos consecutivos, y rama es un camino que termina en una hoja.
*Cada nodo tiene asociado un número de nivel que se determina por la longitud del camino desde el raíz al
nodo específico.
*La altura o profundidad de un árbol es el número máximo de nodos de una rama. Equivale al nivel más alto
de los nodos más 1. El pero de un árbol es el número de nodos terminales.
REPRESENTACIÓN DE UN ÁRBOL GENERAL
A
BCD
EFGHIJ
KL
EDH
BJI
AF
CGK
L
A(B(E)) (C(F)(G(K)(L)))
(D(H)(I)(J))
CONVERSIÓN DE UN ÁRBOL GENERAL EN ÁRBOL BINARIO
Dado que los árboles binarios son de estructura fundamental en la teoría de los árboles, será preciso disponer
de algún mecanismo que permita la conversión de un árbol general en árbol binario.
Los árboles binarios son más fáciles de programar que los generales. En esto es imprescindible deducir
cuántas ramas o caminos se desprenden de un nodo en un momento dado. Por ello, y dado que de los árboles
binarios siempre se cuelgan como máximo dos subárboles, su programación será más sencilla.
Afortunadamente, existe una técnica para convertir un árbol general a formato de un árbol binario. Ejemplo:
Supongamos que se tiene el árbol A y se quiere convertir en un árbol binario B. El árbol de conversión tiene 3
22
pasos fáciles:
1. − La raíz de B es la raíz de A
2. −
a) Enlazar un nodo raíz con el camino que conecta el nodo más a la izquierda (su hijo).
,. b) Enlazar éste nodo con los restantes descendientes del nodo raíz en su camino con lo que se forma el nivel
1.
c) A continuación, repetir los pasos a y b con los nodos del nivel 2, enlazando siempre en un mismo camino
todos los hermanos (descendientes del mismo nodo). Repetir estos pasos hasta llegar al nivel más alto.
3.− Girar el diagrama resultante 45° para diferenciar entre los subárboles izquierdos y derecho.
Ejem:
TT
AA
BB
CC
DD
EE
RECORRIDO DE UN ÁRBOL GENERAL
Los métodos de recorridos de los árboles generales inducen a métodos de recorridos para el caso de bosques.
Los métodos de recorridos de un bosque como preorden, inorden o posorden pueden ser definidos como los
recorridos de preorden, inorden o posorden de sus correspondientes árboles generales. Si un bosque es
representado como un conjunto dinámico de nodos variables con punteros del tipo hijo y siguiente en la forma
presentada arriba, una rutina en PASCAL que imprima los contenidos de sus nodos en una rutina de inorden
se puede escribir como sigue:
Procedure intrav (p:ndptr);
Begin
If p<> nil
Then with p
Do begin
Intrav(son);
Writeln(info);
23
Intrav(next)
End {withdo begin}
End {termina procedure intrav};
Las rutinas de recorrido de entreorden y posorden son similares.
Los recorridos de un bosque pueden ser definidos también en una forma directa como siguen:
Preorden 1− Visite la raíz del primer árbol en el bosque.
2− Recorra en preorden el bosque formado por los subárboles del
primer árbol, si exite alguno.
3− Recorra en preorden el bosque formado por lo árboles restantes
en el bosque, si existe alguno.
Entreorden 1− Recorra en entreorden el bosque formado por los subárboles
del primer árbol del bosque, si exite alguno.
2− Visite la raíz del primer árbol.
3− Recorra en entreorden el bosque formado por los árboles restantes del bosque, si existe alguno.
Posorden
1− Recorra en posorden el bosque formado por los subárboles del
primer árbol del bosque, si existe alguno.
2− Recorra en posorden el bosque formado por los árboles restantes del bosque,
3− Visite la raíz del primer árbol del bosque.
CONVERSION DE ÁRBOL GENERAL EN UN ÁRBOL BINARIO.
A
BCD
EFGHIJ
KL
PASO 1:
A
24
BCD
EFGHIJ
KL
PASO 2:
A
B
EC
FD
GH
KI
LJ
Trabajo realizado por: AL1EN
Para: Alienweb
Unidimensional
Bidimensional
Tridimensional
0−juan
1−pepe
2−chano
3−jelipe
4−ermenegildo
5−federico
6−josefina
25634
Función Hash
Clave =4531126034
25
+
Clave=325671234
:
Clave=110000345
Clave=467123326
72588495
7
153400003
Función
Hash
Usar cubo 3
Nombre
Edad
Sueldo
Nombre
Edad
Sueldo
Nombre
Edad
Sueldo
100
264
119
48
CIMA=2
CIMA=2
26
E
M
P
A
8
12
3
−
*
4
1
+
00
556677003
01
Función Hash
02
03
Usar cadena 03
:
99
:
| 6536614001
| 123450003
| 556677003
| 010223099
27