PRÁCTICA 5 CON LA CALCULADORA Class Pad 300 PLUS

Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
PRÁCTICA 12 CON LA CALCULADORA ClassPad 300 PLUS
Objetivos:
En esta práctica, el estudiante tendrá la oportunidad de utilizar las aplicaciones Principal
Gráficos & Tablas y Geometría del menú de Aplicaciones Incorporadas de la calculadora
ClassPad 300 PLUS, para resolver algunos problemas relacionados con los autovalores y
autovectores de una matriz cuadrada y algunas de sus aplicaciones.
Requisitos:
Antes de realizar esta práctica el estudiante debe haber estudiado el tema sobre
Autovalores y Autovectores de una Matriz y los Procesos de Diagonalización de una Matriz.
12.1 Polinomio característico y ecuación característica.
Los menús [Acción] e [Interactivo], disponibles en la barra de menús
de la Aplicación Principal, cuentan con el menú secundario desplegable
[Matriz – Calcular ►]. Este menú contiene dos comandos relacionados con
el cálculo de autovalores y autovectores de una matriz. Los comandos que
permiten estos cálculos son:

[eigVl] para calcular los autovalores de una matriz cuadrada.

[eigVc] para calcular la matriz con autovectores normalizados
correspondientes a los autovalores encontrados por el comando
[eigVl].
Antes de comenzar, realicemos previamente algunas tareas de
mantenimiento en la calculadora:
Figura 1
1.
Operación con la ClassPad.
(1) Retire la cubierta de la calculadora, tome el lápiz táctil y colóquela sobre la mesa. Presione
para encenderla.
(2) Toque
en el panel de iconos para acceder directamente a la aplicación Principal.
(3) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar el área de trabajo.
(4) Toque el botón
para acceder directamente al administrador de variables. Toque main dos
veces. Si hay variables asignadas, toque [Todo] [Seleccionar todo] [Edit] [Borrar] [Acep.] [Cerr.]
[Cerr.] para limpiar las variables asignadas y regresar al área de trabajo de la aplicación Principal.
El polinomio característico P de una matriz cuadrada M es un polinomio de la forma
P()  (1)n n  an1n1  a1  a0 ,
donde n es el orden de la matriz M, a n  1  Tr (M) (traza de M) y a 0  det(M) .
El cálculo de sus coeficientes puede resultar un proceso bastante largo si el orden de M es
relativamente grande. Con la ayuda de la calculadora podremos calcular sus coeficientes y las raíces de la
ecuación característica P()  0 para obtener los autovalores de M.
Prof. Robinson Arcos
127
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
12
0  20
  12 0
  30 4
28
2  40

Encuentre el polinomio característico de la matriz M   13  2  13  1 17  .


22
6  14 
  14 6
 17  4  17  1 21 


2.
(5)
Active el teclado virtual 2D. Toque
y luego toque cuatro veces el
(6)
botón
.
Registre en la plantilla los elementos de la matriz M y asígnele la
variable matricial M, tocando

.
Para hallar el polinomio característico debemos calcular det(M  I) .
(7)
Toque [Acción] [Matriz – Calcular ►][det]
(8)
Active el teclado alfabético tocando
(9)
Toque

.
y luego toque
.
[Acción] [Matriz – Crear ►][ident]
.
Se obtiene en pantalla el polinomio característico en la variable  .
Figura 2
3.
Escriba el polinomio característico encontrado.
p() 
4.
5.
Verifique que el coeficiente del término de cuarto orden del polinomio característico, es la
traza de M y que el término independiente es el determinante de M.
traza(M) =
det(M) =
En lo que sigue obtendremos la representación gráfica del polinomio característico y sus raíces:
6.
Encuentre gráficamente las raíces del polinomio característico.
(10) Toque
Tablas.
y luego
para acceder a la Aplicación Gráficos &
(11) Toque
para maximizar la ventana del editor de gráficos.
(12) Toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.].
(13) Registre en la línea de edición y1: el polinomio característico p(x) ,
esto es, escriba  x^5  6x^4  20 x^3  120 x^2  64 x  384 (use para
ello el teclado virtual mth) y oprima al final [EXE].
Prof. Robinson Arcos
128
Figura 3
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV

Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
Antes de proceder a obtener la gráfica del polinomio característico,
debemos configurar la pantalla de visualización.
(14) Toque el botón
para acceder directamente a la ventana de
visualización.
(15) Configure los siguientes parámetros:
Mín. x: – 6 ; máx. : 8 ; escala: 1 ; Mín. y : – 500 ; máx. : 500 ; escala: 50.
(16) Toque [Acep.].
(17) Toque
para trazar la gráfica del polinomio característico.
(18) Toque
para maximizar la ventana de gráficos.
(19) Toque [Análisis] [Trazo].
(20) En la pantalla toque las flechas ◄ ► del controlador de gráficos para
mover el cursor sobre la gráfica del polinomio y encontrar sus raíces.

Figura 4
Encontrará que las raíces son: 4,  2, 2, 4, 6 .
Como puede observar el polinomio característico tiene 5 raíces reales distintas, lo que indica que los
autovectores correspondientes son linealmente independientes y la matriz M es diagonalizable.
Las raíces del polinomio característico o bien, la ecuación característica det(M  I)  0 son, como
sabemos, los autovalores de la matriz M.
7.
En la aplicación Principal, muestre que cada uno de los autovalores de M tienen
multiplicidad algebraica 1 y encuentre los autovalores de M usando el comando eigVl.
(21) En el panel de iconos toque
para acceder directamente a la
Aplicación Principal.
(22) Active el teclado virtual mth.
(23) Si aun mantiene el histórico, seleccione el polinomio característico
encontrado en el paso (9) y cópielo. En caso contrario, registre el
polinomio característico en la línea de entrada.
(24) Ubique el cursor en la línea de entrada, toque [Acción]
[Transformación ►] [factor]. Seguidamente pegue el contenido del
portapapeles y toque [Ejec.].

Figura 5
Al factorizar el polinomio encontramos:
(  6)(  4)(  2)(  2)(  4)
Lo que indica que cada autovalor tiene multiplicidad algebraica 1.
(25) Toque [Acción] [Matriz – Calcular ►] [eigVl] [VAR] [CAP] [M]
[Ejec.].

En la línea de salida aparecerá la lista de los autovalores de M.
Figura 6
12.2 Autovalores y autovectores.
Usaremos el comando [eigVc] para hallar una matriz cuyas columnas están constituidas por
autovectores unitarios, asociados a cada uno de los autovalores 6, 4, 2,  2,  4 , listados en este orden.
Observe que éste es el orden listado por la calculadora (Figura 6).
Prof. Robinson Arcos
129
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
(26) Toque [Acción] [Matriz – Calcular ►] [eigVc] [M] [Ejec.].

Aparecerá en pantalla la matriz indicada (Figura 7).
(27) Asigne a esta matriz la variable matricial C, tocando [ans] [] [C]
[Ejec.].

Aparecerá nuevamente en pantalla la matriz C pero con los elementos
presentados en fracciones.

Se pueden encontrar los autovectores de una matriz, o más bien, una
base del autoespacio correspondiente a un autovalor  , resolviendo
la ecuación lineal homogénea (M  I)X  O .
Figura 7
Encuentre una base del autoespacio correspondiente al autovalor   2 resolviendo la
8.
ecuación (M  2I)X  O . Finalmente, dado que M es diagonalizable, verifique que D  C 1MC ,
donde D  diag(6, 4, 2,  2,  4) y C la matriz encontrada en el paso (26).
(28) Borre la pantalla.
(29) Registre la matriz M 2I ejecutando la siguiente secuencia de
instrucciones:
[M] [–] [2] [Acción] [Matriz – Crear ►][ident] [5] [ ) ] [Ejec.].
(30) Active el teclado 2D activado toque
.
(31) En la matriz columna registre, de arriba hacia abajo, las variables x, y,
z, u, v y toque [Ejec.].
(32) Toque
.
(33) En la plantilla registre el sistema de ecuaciones:
 14 x  12z  20v  0

  30x  2 y  28z  2u  40v  0

 13x  2 y  15 z  u  17v  0
  14 x  6 y  22z  4u  14 z  0

 17x  4 y  17z  u  19v  0
Figura 8
y toque [Ejec.] (Sugerencia: copie cada uno de los primeros miembros
de las ecuaciones y péguelos en la plantilla)
 Se obtiene: x  v , y  3v / 2 , z  v / 2 , u   v / 2 , v  v . Basta
tomar v  2 y el vector v   2  (2, 3,  1, 1,  2) será el vector base
del autoespacio E   2 .
(34) Finalmente, registre el producto matricial C 1  M  C y toque [Ejec.].
(35) En la línea de salida seleccione la matriz diagonal calculada y toque el
botón

.
Se obtiene la matriz D  diag(6, 4, 2,  2,  4) . Observe que los
elementos no nulos fuera de la diagonal son “ceros informáticos”,
valores sumamente pequeños en valor absoluto que aparecen debido
Figura 9
a errores de redondeo al realizar el producto C 1MC .
Prof. Robinson Arcos
130
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
E  2 
9.
10.
Para cada una de las siguientes matrices:
a) Calcule los autovalores  de la matriz indicando la multiplicidad algebraica de cada uno.
b) Encuentre los autovectores de la matriz resolviendo el sistema (M  I)  0 y el autoespacio
correspondiente a cada autovalor.
c) Indique si la matriz es diagonalizable.
 3  7  5

4
3 
1)  2
 1
2
2 
1
 4
6
6 
4
7  2  4 
2
3

3
2  3) 3 0  2  4) 
2)  1
 2 1
  1  5  2 
6  2  3 

 2 1
1
a

0
0 1
5) 
0
2  3


0 5 
0
0
b 0 0
a 0 0 
b0
0 a 0

0 0 a
11.
1)
2)
3)
4)
5)
Prof. Robinson Arcos
131
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
12.3 Rotación de ejes coordenados en el plano.
La ecuación de segundo grado en dos variables tiene la forma:
Ax 2  Bxy  Cy2  Dx  Ey  F  0 (1)
Esta ecuación es la suma tres términos: una forma cuadrática, una forma lineal y un término
constante.
Ax 2  Bxy  Cy2 


Forma cuadrática
Dx  Ey



Forma lineal

F

0
Término constante
De acuerdo a los valores que tomen los coeficientes A, B, C, D, E y F, la ecuación (1) representa en el
plano una sección cónica o sección cónica degenerada.
Cuando el término B es nulo, por medio del proceso de completación de cuadrados en las dos
variables, pueden establecerse sus elementos principales: vértices, centro, focos, eje focal, etc. Sin
embargo, cuando el término B es no nulo, no es posible realizar tal completación de cuadrados. En
consecuencia se requiere de otro método para determinar sus elementos principales.
El problema se resuelve realizando una rotación alrededor del origen de los ejes OX y OY del sistema
coordenado rectangular OXY, a fin de que en el nuevo sistema coordenado OX´Y´, la cónica tome la
nueva ecuación:
Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 (2)
El término constante F no se ve alterado en este proceso de rotación.
 A B / 2
Si consideramos las matrices M  
, N
B / 2 C 
en forma matricial como:
D 
x 
E  y X   y  , la ecuación (1) puede escribirse
 
 
X T MX  NT X  F  0 (3)
Dado que la matriz M es simétrica, ésta puede diagonalizarse ortogonalmente, sus autovalores son
reales y los correspondientes autovectores son ortogonales. Sean Q la matriz diagonalizante y D la matriz
x 
diagonal semejante a M y X     la matriz de las componentes del punto ( x , y) en el nuevo sistema
 y
coordenado OX´Y´, entonces la relación entre X y X´ viene dada por X  QX  (4) o bien, X  Q T X (5).
Sustituyendo (4) en la ecuación (1) y simplificando, se obtiene la ecuación en forma matricial:
X TDX  N T X  F  0 (6), donde N  Q T N o N T  NT Q (7).
Dado que existen distintas matrices diagonalizantes Q (matriz de rotación con det(Q)  1 ) se eligen



los autovectores unitarios v1 y v 2 de manera que las componentes de v1  (a, b) sean positivas, así

tendremos v 2  (b, a) .


 1 0 
a  b 
Si  1 y  2 son los autovalores respectivos de v1 y v 2 entonces Q  
y D


b a 
 0 2 
(tenga presente que a 2  b 2  1).
La ecuación (6) toma la forma:
x 
 1 0   x  
a  b  x  
y 
 D E 



    F  0 (8) o bien,

b a   y 
 0  2  y 
1x 2   2 y 2  (Da  Eb)x  (Db  Ea)y  F  0 (9)
La medida del ángulo de rotación  de los ejes coordenados del sistema OXY viene dado por:

m( )  arccos(î , v1)  arccos(a)
Prof. Robinson Arcos
132
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
Considere la ecuación cuadrática 15x 2  20xy  4 5x  8 5 y  100  0 .
12.
a) Realice una rotación de los ejes coordenados a fin de obtener, en el nuevo sistema, la
ecuación canónica de la cónica.
b) Indique tres de sus elementos principales tanto en el nuevo sistema como en el original.
c) Dibuje la cónica en el sistema original exhibiendo los nuevos ejes coordenados
15 10
La matriz simétrica asociada a la forma cuadrática es M  
 , la matriz asociada a la forma
10 0 
 4 5 
lineal es N  
 y el término constante es F  100 .
 8 5 
13.
(36)
(37)
(38)
(39)

Operación con la ClassPad.
Borre la pantalla.
Registre la matriz M y asígnele la variable matricial M.
Registre la matriz N y asígnele la variable matricial N.
Utilice el comando [eigVl] para calcular los autovalores de M.
En lo que sigue construiremos la matriz diagonalizante ortogonal Q y
la correspondiente matriz diagonal D.
Figura 10
Observaciones:
Tenga presente en este problema, que la matriz diagonalizante ortogonal Q que se escoge
convenientemente, es tal que las componentes del autovector en la primera columna, deben ser positivas
y que el autovector en la segunda columna, debe tener primera componente negativa y segunda
componente positiva. De manera que det(Q)  1 . Esto permite encontrar una rotación cómoda para el
problema.
El comando [eigVc] no siempre presenta una matriz con estas características, pues el problema tiene
múltiples soluciones. Conviene entonces, encontrar los autovectores resolviendo el sistema (M  I)X  O
para cada autovalor y hacer la escogencia de las columnas de Q a posteriori.
Una vez que se tiene la matriz Q, la matriz diagonal D se construirá colocando los autovalores en las
columnas en el mismo orden que sus autovectores correspondientes.
  5 10   x  0
(40) Para  1  20 resuelva el sistema homogéneo 
    .
 10  20  y 0

El conjunto solución es x  2y ; y  y . Un vector de componentes

1
(2, 1) . Por
positivas es v1  (2, 1) , al normalizarlo tenemos u1 
5
ser M simétrica, los autovectores correspondientes a  2  5 son


1
( 1, 2) .
ortogonales a u1 . Tomaremos en este caso u 2 
5
Prof. Robinson Arcos
133
Figura 11
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
2 / 5
La matriz diagonalizante ortogonal será Q  
 1/ 5
Práctica 12
 1/ 5 
 y la correspondiente matriz diagonal
2 / 5 
20 0
será D  
.
 0 5
(41) Registre la matriz Q y asígnele la variable matricial Q.
(42) Encuentre la matriz N  Q T N .

0
Se obtiene N    .
20

La ecuación de la cónica en el nuevo sistema es:
20x 2  5y 2  20y  100  0 .
Figura 12
x  2 ( y   2) 2

 1 . Ecuación que
4
16
corresponde a una hipérbola con centro en el punto A (0, 2) . Los vértices tienen coordenadas B  (2, 2)
y C  (2, 2) . La ecuación del eje focal es y   2 .
Al completar cuadrados se obtiene la ecuación canónica
Para obtener las coordenadas de estos puntos y la ecuación del eje focal, recordemos que:
2
1

x
y
 x  
5
5
X  Q T X  
1
2
 y  
x
y

5
5
2
1

x 
y
 x 
5
5
(i) ; X  QX   
(ii)
1
2
y 
x 
y

5
5
Dado que la ecuación del eje focal en el nuevo sistema es y   2 , en el sistema original será, de
acuerdo a (i): 
1
x
2
y  2 , o bien, x  2y  2 2  0 . Para hallar las coordenadas del centro y los
5
5
vértices en el sistema original usamos (ii) como sigue:
0 2  2 
(43) En la línea de entrada edite el producto matricial Q  
 .y
2 2 2 
toque [Ejec.]

Luego las coordenadas del centros y los vértices en el sistema
original son respectivamente:
2 5 4 5 




 , B 2 5 , 6 5  y C  6 5 , 2 5  .
A
,
 5




5 
5 
5 

 5
 5
Figura 13
Utilizaremos la aplicación Geometría para dibujar la cónica y los nuevos ejes coordenados.
(44) En la aplicación Principal, toque
para acceder a la Aplicación Geometría.
(45) En el panel de iconos toque
para maximizar la ventana de la aplicaión..
(46) En la barra de menús toque [Edit] [Borrar todo] [Acep.] para limpiar esta ventana.
(47) Toque
[Preferencias ►] [ventana vis.].
Prof. Robinson Arcos
134
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
(48) En el cuadro de diálogo configure los siguientes parámetros:
mínx :  6 ; máxx : 6 y medy : 0 . Toque [Acep.].
(49) Toque [Ver] y active la rejilla entera tocando el cuadro de verificación
(en caso de no estar activa).
(50) Toque
varias veces hasta que aparezcan los ejes numerados.
 Al terminar su calculadora debe presentar la pantalla mostrada en la
Figura 14.
(51) En el panel de iconos toque
para acceder directamente a la
Aplicación Principal.
(52) Active el teclado virtual mth.
(53) En la línea de entrada toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ►]
[Solve]. Seguidamente registre la ecuación de la cónica, esto es,
15x^2+20xy-4(5)x+8(5)y-100=0. Toque
 Aparece la solución y 
Figura 14
.
2
 15x  4 5 x  100
20x  8 5
.
(54) Seleccione y copie únicamente el primer miembro de esta ecuación.
(55) Toque
.
(56) En la barra de herramientas toque [Dibuj] [Función].
(57) En el cuadro de diálogo pegue el contenido del portapapeles y toque
[Acep.].
 Aparecerá la gráfica de la hipérbola en el viejo sistema.


1
1
(2, 1) y u 2 
( 1, 2) constituyen
 Dado que los vectores u1 
5
5
la base ortonormal del nuevo sistema, el primero indica la dirección
positiva del eje O X  y el segundo la dirección positiva del eje O Y  .
Figura 15
 Para dibujar los nuevos ejes basta indicar, para cada uno de ellos,
dos puntos por donde pasan.
(58) Toque [Dibuj] [Recta].
(59) Toque en la pantalla el punto A(0, 0) y luego el punto B(2, 1) .
 Aparece la gráfica del eje O X  .
(60) Toque en la pantalla el punto A(0, 0) y luego el punto C(1, 2) .
 Aparece la gráfica del eje O Y  .
 Si queremos la gráfica del eje focal, recuerde que su ecuación es
x  2y  2 5  0 , o bien, y  x / 2  5 .
(61) En la barra de herramientas toque [Dibuj] [Función].
(62) En el cuadro de diálogo, registre la expresión x / 2  5 y toque
[Acep.].
 Aparecerá las gráficas de la hipérbola, los nuevos ejes coordenados
y el eje focal.
Prof. Robinson Arcos
135
Figura 16
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
12.4 Cadenas de Markov.
14.
Competencia entre productos.
Dos empresas que se identifican con las letras A y B, compiten en el mercado de los productos
similares PA y PB . Generalmente, cada comprador es fiel a su proveedor pero por diversas
razones, de vez en cuando, algunos consumidores compran el producto competidor. En la
actualidad, A pierde cada mes el 20% de su clientela en favor del producto PB y B pierde el 30% de
la suya a favor del producto PA .
Si a n representa la fracción del total de compradores (considerada constante) que en el mes n,
compra el producto PA y b n la fracción de los que compran PB , se obtienen las siguientes
relaciones:
a n  1  0,8a n  0,3b n
b n  1  0,2a n  0,7bn
para n  1, 2, 3,
Si A n representa la matriz columna que tiene por elementos a n y b n para n  1, 2, 3, . Las
ecuaciones anteriores pueden escribirse como:
0,8 0,3
A n  1  MA n para n  1, 2, 3, , y donde M  
.
0,2 0,7
a) Deduzca que An  Mn1A1 donde A 1 representa la repartición del mercado al inicio de
las observaciones.
b) Calcule las primeras 6 potencias de M.
c) Al cabo de dos años, ¿Qué porcentaje aproximado del mercado están a favor de cada
uno de los productos PA y PB ?.¿El resultado anterior es independiente de la repartición
inicial del mercado?
d) Encuentre una fórmula explícita para el término general A n para n  1, 2, 3, .
e) ¿Qué puede deducir a muy largo plazo sobre la repartición, en porcentaje, del mercado a
favor de cada producto, en términos de la repartición inicial?
15.
a)
(63) En el panel de iconos toque
para acceder directamente a la Aplicación Principal.
(64) Registre la matriz M y asígnele la variable matricial M.
(65) Calcule cada una de las primeras seis potencias de M.
16.
b) M 
M4 
Prof. Robinson Arcos
M2 
M3 
M5 
M6 
136
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
(66) Calcule la vigésimo cuarta potencia de M.
(67) En la línea de salida seleccione la matriz obtenida.
(68) En la barra de herramientas toque el botón
elementos de la matriz en formato decimal.
para ver los
Figura 17
17.
c) A 24 
(69) Calcule los autovalores de M.
(70) Encuentre la matriz diagonalizante (de los autovectores) de M y
asígnele la variable matricial C.
(71) Asígnele la variable matricial D a la matriz diagonal correspondiente a
1 0 
C. Esto es, D  
.
0 0.5 
(72) Verifique que M  CDC1 .
Figura 18
(73) En la barra de herramientas toque el botón
elementos de la matriz en formato decimal (Figura 18).
para ver los
0 
1
(74) Asigne a la matriz Dn  
n  matricial K.
0 (0.5) 
(75) Calcule el producto CKC1 .
(76) Toque [Acción] [Transformación ►] [Combine] [Ans] [Ejec].
 Esto nos da una fórmula para
Mn
con
n  1, 2, 3, . En
Figura 19
consecuencia, podemos deducir una fórmula para An  Mn1A1 .
 Ahora puede dar respuesta a la situación d).
(77) Asigne la variable matricial N a la matriz encontrada en el paso (76).
Figura 20
18.
d)
An 
Prof. Robinson Arcos
137
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Se puede deducir por simple inspección que
3 / 5 3 / 5 
lím Mn  

n  
2 / 5 2 / 5 
Práctica 12
0.6 0.6
0.4 0.4 , esto permite


responder a la situación e).
19.
e)
lím An 
n  
Observación:
Existe una manera de calcular la matriz L  lím Mn en la aplicación Principal, pero debe pasarse
n  
cada una de las columnas de la matriz M a una lista y tomar en cada lista el límite. De esta manera puede
obtenerse la matriz L.
(78) Con el cursor en la línea de entrada toque [Acción] [Matriz – Crear ►]
[matToList].
(79) Toque
.
 Esto convierte en una lista a la primera columna en una lista.
(80) Toque
.
(81) Con el cursor en el recuadro inferior de la plantilla
toque
Figura 21
. Ubique el cursor en el segundo recuadro inferior y toque
. Ubique el cursor en el recuadro superior y toque
.
3 2
 Se obtiene la lista  ,  . De manera que la primera columna de la
5 5
3 / 5 
matriz límite L es 
.
2 / 5 
(82) De manera análoga toque [Acción] [Matriz – Crear ►] [matToList].
(83) Toque
Figura 22
.
(84) Calcule el límite a la nueva lista y deduzca la segunda columna de la matriz límite L.
3 / 5 3 / 5 
 En consecuencia, la matiz límite es L  
.
2 / 5 2 / 5 
 Se
deduce
que
3 / 5 3 / 5 a1  3a1 / 5  3b1 / 5 3 / 5 0.6
An  

   
 
2 / 5 2 / 5 b1  2a1 / 5  2b1 / 5 2 / 5 0.4
(recuerde
que
a 1  b1  1 ).
Observación:
El comando [rSolve] del submenú [Ecuación/Desigualdad ►], en cualquiera de los menús [Acción]
o [Interactivo] de la aplicación Principal, permite encontrar los términos enésimos de un sistema lineal de
an  1  0,8a n  0,3bn
fórmulas recursivas como la que tenemos: 
para n  1, 2, 3, , en función de los
bn  1  0,2a n  0,7bn
valores iniciales a1 y b1 . Ilustremos esto para el caso particular a1  0 y b1  1
Prof. Robinson Arcos
138
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
(85) Toque [Acción] [Ecuación/Desigualdad ►] [rSolve].
 Los pasos que siguen permiten editar las ecuaciones
a n  1  0,8a n  0,3b n
b n  1  0,2a n  0,7bn
La sintaxis de este comando es:
rSolve(an  1  0.8an  0.3bn , an  1  0.2an  0.7bn , a1  0 , b1  1)
(86) Active el teclado mth. Toque
[◄]
[►]
[◄]
[►]
.
Figura 21
n1
 1
 3 
2
 Se obtiene an 
5
3
 1
3 
2
y bn   
n1
5
2
para n  1, 2, 3, .
3
2
 0,6 y lím bn   0,4 . Lo que implica que, si en el primer mes,
5
5
n 
n 
una persona elije el producto PB , a largo plazo, tendrá un 60% de preferencia por el producto PA .
 Se deduce que lím an 
20.
Resolución de problemas.
1. Considere la ecuación cuadrática 40x2  36xy  25y2  8 13x  12 13y  0 .
a) Realice una rotación de los ejes coordenados a fin de obtener una ecuación canónica de la
cónica.
b) Indique tres de sus elementos principales en el nuevo sistema.
c) Dibuje la cónica en el sistema original exhibiendo los nuevos ejes coordenados
21.
a)
b)
 41  12 
 .
2. Considere la matriz M  
  12 34 
a) Encuentre una matriz diagonal semejante a M y su respectiva matriz diagonalizante
ortogonal Q.
b) Encuentre una ecuación canónica de la cónica de ecuación 41x2  24xy  34y2  25 por
medio de una rotación conveniente de los ejes de coordenadas.
c) Dibuje la cónica en el nuevo sistema exhibiendo al menos tres de sus elementos principales.
Prof. Robinson Arcos
139
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12

  a n  
d) Se define la sucesión vectorial    
por la fórmula recursiva:
 b n  
n 0
a 0  1 an+1  41  12 an 
b     ; 

   para n = 1,2,3,...
 0  1 bn+1  12 34  bn 
Determine una fórmula explícita para el término general de la sucesión.
22.
a)
b)
d)
3. Un psicólogo del comportamiento coloca todos los días la misma rata en una jaula con dos
puertas A y B. Se ha determinado que después de pasar por primera vez por la puerta A y
recibir un choque eléctrico, la probabilidad de que la rata vuelva nuevamente a pasar por ella, al
día siguiente, es 0,3. Mientras que si pasa por primera vez por la puerta B y recibe alimento, la
probabilidad de que nuevamente vuelva a pasar por ella, al día siguiente, es 0,6.
a) Escriba la matriz M de transición para este proceso de Markov.
b) Calcule L  lím Mn .
n 
c) A largo plazo, ¿qué porcentaje de veces elegirá la puerta B, si al inicio del experimento la rata
tiene la misma probabilidad de pasar por la puerta A que por la B?
d) ¿Existe a largo plazo un cambio significativo en el comportamiento de la rata?
23.
a)
b)
c)
d)
Prof. Robinson Arcos
140
Departamento Matemática Aplicada
Facultad de Ingeniería UCV
Álgebra Lineal y Geometría Analítica
Práctica 12
4. Suponga que una agencia de renta de automóviles tiene tres oficinas: Caracas, Maracaibo y
Puerto La Cruz. Un auto rentado en una oficina puede ser entregado en una de ellas. En la
siguiente tabla se muestra el porcentaje de veces en que un vehículo rentado en una oficina, es
entregado en la misma u otra oficina después de un período:
Re ntado en
Caracas Maracaibo Puerto La Cruz
Entregadoen
80%
10%
10%
Caracas
5%
15%
75%
15%
10%
80%
Maracaibo
Puerto La Cruz
Suponga que se tiene un total de 1000 automóviles entre las tres oficinas.
a) Encuentre la distribución a largo plazo de estos automóviles.
b) ¿Cómo puede usar esta información una empresa que renta automóviles?
24.
a)
b)
Prof. Robinson Arcos
141
Departamento Matemática Aplicada