II° - PPT SEGMENTOS EN LA CIRCUNFERENCIA.pdf

Segmentos y Proporcionalidad
en la circunferencia
Aprendizajes esperados
•
Aplicar el teorema de las cuerdas.
•
Aplicar el teorema de las secantes.
•
Aplicar el teorema de la secante y tangente.
•
Aplicar el teorema de las tangentes.
1. Conceptos importantes
2. Teoremas de proporcionalidad
1. Conceptos importantes
1.1 Cuerda y secante
AB: Cuerda
A
B
Segmento que une dos puntos distintos de
la circunferencia.
El diámetro es la cuerda que pasa por el
centro de la circunferencia y tiene la mayor
longitud.
AB: Secante
Recta que intersecta a la circunferencia en 2 puntos, formando una cuerda.
1. Conceptos importantes
1.2 Tangente
Recta que intersecta en un solo punto a la circunferencia. Este punto es
llamado “punto de tangencia” o “punto tangencial”.
O: centro de la circunferencia
OA: radio
O
A: punto de tangencia
r
A
OA ┴ L
L: tangente
L
1. Conceptos importantes
1.3 Sagita y apotema
Si el radio es perpendicular a una cuerda, la divide en dos segmentos iguales
y el punto de intersección (P), divide el radio en dos segmentos llamados
sagita y apotema.
C•
sagita
apotema
O
O: centro de la circunferencia
A
OA: radio
•P
D
•
OP: apotema
PA: sagita
En la figura, el radio OA es perpendicular a la cuerda CD en su punto medio
P.
CP = PD
2. Teoremas de proporcionalidad
2.1 Teorema de las cuerdas
Sean AB y CD dos cuerdas, entonces:
D
A
P
B
C
AP ∙ PB = CP ∙ PD
2. Teoremas de proporcionalidad
2.2 Teorema de las secantes
Sean PA y PB dos secantes, entonces:
D
A
P
C
B
PA ∙ PD = PB ∙ PC
Ejemplo
En la figura, determinar PD si PA = 12, PB = 20 y PC = 6.
PA y PB secantes.
12
D
A
P
x
6
C
PA ∙ PD = PB ∙ PC
12 ∙ PD = 20 ∙ 6
12 ∙ PD = 120
PD = 10
B
20
2. Teoremas de proporcionalidad
2.3 Teorema de la tangente y secante
Sean PA una tangente y PC una secante, entonces:
A
P
D
C
( PA )2
= PC ∙ PD
2. Teoremas de proporcionalidad
2.4 Teorema de las tangentes
Sean PA y PC tangentes, entonces:
A
P
C
PA = PC
2. Teoremas de proporcionalidad
2.5 Cuadrilátero circunscrito
Sea ABCD cuadrilátero circunscrito a la circunferencia, entonces:
Ejemplo:
D
c
C
8
d
7
b
5+c=7+8
c = 10
A
5
a
a+c=b+d
B
Síntesis de la clase
Circunferencia
Teoremas de proporcionalidad
cuerdas
secantes
secante y
tangente
igualdad
tangente
cuadrilátero
circunscrito
3. Actividad
Aplican teoremas anteriores para resolver los ejercicios y
problemas de las páginas 141, 142 y 143 de su texto escolar.