Análisis matemático con Maple

ANÃLISIS MATEMÃTICO II
Trabajo Práctico Nº2
Práctica Nº5
4.a − Dada
, graficar su imagen
> r[t]:=[3*cos(t^3),3*t^3,3*sin(t^3)],t=0..(2*Pi)^(1/3),u=0..1;
> with(plots):
> plot3d(r[t],axes=normal,numpoints=5000);
21.a − Calcular el vector gradiente de la siguiente expresión:
1
en
> f:=(x,y)−>exp(x*y)*cos(x)*sin(y);
> with(linalg):
> simplify(grad(f(x,y),[x,y]));
> eval(%,[x=Pi/4,y=Pi]);
25 − Una carga puntual, de valor q, ubicada en el origen, produce un potencial V:
a − Encontrar la ley V=V(r)
> V:=r−>k*q/(abs(r));
> V:=(x,y,z)−>k*q/sqrt(x^2+y^2+z^2);
b − Verificar que V es solución de la ecuación de Laplace:
> with(linalg):
> Vxx:=diff(V(x,y,z),x$2);
> Vyy:=diff(V(x,y,z),y$2);
2
> Vzz:=diff(V(x,y,z),z$2);
> Laplace:=Vxx+Vyy+Vzz;
> simplify(Laplace);
Con esto queda comprobado que:
31 − Para el punto
, el diferencial de la variable, dr, y las funciones que siguen a continuación, calcule el diferencial dz y
compare con el correspondiente incremento de la función:
Diferencial de la función:
> z:=(x,y)−>ln(x^2+y^2);
> with(liesymm):
> setup(x,y);
> dz:=d(z(x,y));
> eval(dz,[x=1,y=0,d(x)=−0.1,d(y)=0.31]);
3
Incremento de la función:
> Delta:=(z,x,y,dx,dy)−>z(x+dx,y+dy)−z(x,y);
> Delta(z,1,0,−0.1,0.31);
Práctica Nº6
3 − Dada la función compuesta z=ln sen
, donde
, hallar z'=
> z:=(x,y)−>ln(sin(x/sqrt(y)));
> r:=t−>[3*t^2,sqrt(t^2+1)];
> with(linalg):
> zr:=dotprod(grad(z(x,y),[x,y]),diff(r(t),t),orthogonal);
> factor(zr);
> eval(%,[x=3*t^2,y=sqrt(t^2+1)]);
4
42 − Siendo "
"y"
" funciones de
e
obtenga
en el sistema:
> F1[1](x,y,u,v):=0;
> F1[2](x,y,u,v):=0;
> F1[1]:=(x,y,u,v)−>u+x+y−v;
> F1[2]:=(x,y,u,v)−>v*exp(u)+sin(x*v)−1;
> with(liesymm):
> setup(x,y,u,v);
> solve({d(F1[1](x,y,u,v))=0,d(F1[2](x,y,u,v))=0},{d(v),d(u)});
> collect(op([1,2],%),[d(x),d(y)]);
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> u[y]:=eval(%/d(y),[d(x)=0]);
49 − Considerar que
e
son las variables independientes y que las demás variables quedan definidas en función de esas dos, a
través del sistema que se indica a continuación. Obtener las derivadas parciales de primer orden de todas
las demás variables dependientes del sistema.
> F[1](x,y,z,u,v):=0;
> F[2](x,y,z,u,v):=0;
> F[3](x,y,z,u,v):=0;
> F[1]:=(x,y,z,u,v)−>a*cos(u)*cos(v)−x;
> F[2]:=(x,y,z,u,v)−>b*sin(u)*cos(v)−y;
> F[3]:=(x,y,z,u,v)−>c*sin(v)−z;
> with(liesymm):
> setup(x,y,z,u,v);
> dF:=solve({d(F[1](x,y,z,u,v))=0,d(F[2](x,y,z,u,v))=0,d(F[3](x,y,z,u,v))=0},{d(z),d(u),d(v)});
6
> dz:=collect(op([1,2],dF),[d(x),d(y)]);
> z[x]:=expand(eval(dz/d(x),[d(y)=0]));
> z[y]:=expand(eval(dz/d(y),[d(x)=0]));
> du:=collect(op([2,2],dF),[d(x),d(y)]);
> u[x]:=expand(eval(du/d(x),[d(y)=0]));
> u[y]:=expand(eval(du/d(y),[d(x)=0]));
> dv:=collect(op([3,2],dF),[d(x),d(y)]);
> v[x]:=expand(eval(dv/d(x),[d(y)=0]));
> v[y]:=expand(eval(dv/d(y),[d(x)=0]));
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59 − Determine los puntos extremales y verifique si los mismos constituyen puntos de ensilladura,
máximos o mÃ-nimos relativos:
> F:=(x,y)−>x^2*y^2;
> with(linalg):
> G:=grad(F(x,y),[x,y]);
> solve({G[1]=0,G[2]=0},{x,y});
Combinando este resultado se obtiene:
> P[1]:=[0,0];
P[2]:=[0,y];
P[3]:=[x,0];
>MD2:=(f,x,y)−>
matrix([[diff(f,`$`(x,2)),diff(f,x,y)],[diff(f,y,x),
diff(f,`$`(y,2))]]);
> eval(MD2(F(x,y),x,y),[y=0,x=x]);
> det(%);
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> eval(MD2(F(x,y),x,y),[x=0,y=y]);
> det(%);
> eval(MD2(F(x,y),x,y),[x=0,y=0]);
> det(%);
Hay 3 extremos relativos, pero no se pueden determinar de esta manera, por lo tanto se procede a
determinarlos en forma gráfica:
> with(plots):
> plot3d(F(x,y),x=−2..2,y=−2..2,view=−2..5,orientation=[−20,45],numpoints=2000,axes=normal);
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Como se puede ver en la gráfica, los 3 extremos relativos encontrados son mÃ-nimos relativos, donde:
"(
)¹(0,0) Ã
\
es mÃ-nimo relativo
"(
)¹(
)Ã
\
es mÃ-nimo relativo
"(
)¹(
)Ã
\
es mÃ-nimo relativo
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61 − Ãdem al ejercicio anterior para:
> F:=(x,y)−>x^2+y^2+2*x*y−x−y−5;
> with(linalg):
> G:=grad(F(x,y),[x,y]);
> solve({G[1]=0,G[2]=0},{x,y});
De este resultado se obtiene:
> P:=(x,−x+1/2);
> MD2:=(f,x,y)−>matrix([[diff(f,`$`(x,2)),diff(f,x,y)],[diff(f,y,x),diff(f,`$`(y,2))]]);
> eval(MD2(F,x,y),[x=−y+1/2,y=y]);
> det(%);
Una vez más encontramos un extremo no determinable de esta manera, entonces se analiza la gráfica:
>
plot3d(F(x,y),x=−10..10,y=−10..10,view=−6..5,orientation=[−110,60],numpoints=2000,axes=normal,style=patchconto
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Se puede ver en la grafica que f(x,y) es constante a lo largo de toda una recta. Dicho valor constante es:
> simplify(F(P));
Se puede comprobar, completando cuadrados, que:
> F(x,y)=((x+y)−1/2)^2−21/4;
> F_1:=(x,y)−>(x+y−1/2)^2−21/4;
> F_1(P);
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Se puede ver a simple vista que si (
)¹
el primer miembro de la suma será mayor que cero (ya que está elevado al cuadrado).
\
à P es mÃ-nimo relativo, donde P es el conjunto de puntos pertenecientes a la recta
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