UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA GUIA DE EJERCICIOS Nº 4

UNIVERSIDAD TECNOLÓGICA METROPOLITANA
DEPARTAMENTO DE ESTADÍSTICA Y ECONOMETRÍA
GUIA DE EJERCICIOS Nº 4
TEMAS : Eventos, probabilidades y técnicas de conteo.
PROFESOR :
1.− Sea el experimento E : lanzar una moneda y un dado (en ese orden).
• Exprese por extensión el espacio muestral.
• Exprese por extensión los eventos.
b1) A = { aparecen caras y un número par}
b2) B = { aparece un número primo}
b3) C = { Aparecen sellos y un número impar}
b4) A o B ocurren.
b5) B y C ocurren.
b6) Solamente B ocurre.
b7) No ocurre B
2.− Sea el experimento E : lanzar 2 dados simultáneamente. Se definen los eventos: A = { obtener una suma
impar} ; B = { obtener por lo menos un seis}
• Escriba el espacio muestral
• Escriba los eventos señalados matemáticamente y por extensión.
• Escriba A " B por extensión.
• Escriba A " B
• Escriba A − B
• Escriba A `
• Escriba en palabras los eventos c, d, e y f.
3.− Sean A y B eventos cualquiera de un espacio muestral S. Escribir en notación de conjunto y representar en
un diagrama de Venn, los siguientes eventos.
• Ocurre A
• Ocurre solo A
• A o B ocurren , pero no ambos
• A o B ocurren
• Ocurre A y B
• Si ocurre A , también ocurre B
• Ocurre A o no ocurre B
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4.− En una facultad el 25 % de los estudiantes reprobó matemáticas, el 15 % reprobó estadística y el 10 %
reprobó ambas materias. Se selecciona un estudiante al azar, calcular las probabilidades siguientes:
• Que halla reprobado al menos una materia.
• Que halla reprobado solo matemáticas.
c) Que halla aprobado ambas asignaturas
d) Que halla aprobado solo estadística.
5.− En una encuesta realizada a 200 personas adultas se les consultó si tenían hijos y si poseían trabajo,
obteniéndose los siguientes resultados:
−75 personas respondieron que tenían hijos
−80 respondieron que tenían solamente trabajo.
−35 respondieron que no poseían trabajo, pero si tenían hijos.
• Represente la información en un diagrama de Venn.
• Cuál es la probabilidad que una persona elegida al azar:
b1) Trabaje y tenga hijos.
b2) Tenga trabajo.
b3) No tenga hijos ni trabaje.
• Se escogen personas hasta que una responde que tiene hijos o tiene trabajo, eligiendo hasta un máximo de 5
personas.
c1) Describa el espacio muestral.
c2) Calcule la probabilidad de escoger a lo más a tres personas.
6.− El departamento de préstamos de una Institución Financiera ha efectuado una encuesta entre sus afiliados,
como parte de un estudio para la determinación de prioridades en la asignación de préstamos. Se obtuvieron
2.600 respuestas con los siguientes resultados:
−800 afiliados son casados.
−1.000 afiliados habitan en casa arrendada.
−950 perciben ingresos inferiores a $ 150.000 mensuales
−200 son casados no habitan en casa arrendada y perciben ingresos superiores a $ 150.0000 mensuales.
−350 son casados y habitan en casa arrendada.
−230 son solteros , habitan en casa arrendada y tienen ingresos inferiores a $ 150.000
−350 son casados y perciben ingresos inferiores a $ 150.000.
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Se pide determinar:
• El número de afiliados casados, que habitan en casa arrendada y perciben ingresos inferiores a $ 150.0000.
• Si se elige un afiliado al azar. Cuál es la probabilidad de que sea casado, viva en casa arrendada y perciba
ingresos inferiores a $ 150.000.
7.− Para tres eventos A, B y C de un espacio muestral S, se conocen las siguientes probabilidades:
P ( A " B ) = x ; P ( B ) = y ; P ( C " A' ) = w
P ( A " C ) = z ; P ( A " B ) = 0 ; P ( B " A' " C' ) = 0
Calcular las siguientes probabilidades.
• Ocurra al menos un evento
• Ocurra a lo mas un evento
• Ocurra ningún evento.
• Ocurra solo el evento A.
• Ocurra solo un evento.
Algunos resultados:
1.− a) S = { (c,1),(c,2),....(c,6),(s,1),(s,2)...(s,6)}
b1) A = {(c,2), (c,4),(c,6)}
b2) B = {(c,2),(c,3),(c,5),(s,2),(s,3),(s,5)}
b3) C = { (s,1),(s,3),(s,5)}
b4) A " B = {(c,2),(c,3),(c,4),(c,5),(c,6),(s,2),(s,3),(s,5)}
b5) B " C = { (s,3),(s,5)}
b6) B−( A " C) = B " (A " C)' = { (c,3),(c,5),(s,2)}
b7) B' = { (c,1),(c,4),(s,1),(s,4),(s,6)}
2.− b) A = { (x,y) / x + y = impar}
= {(1,2).(1,4),(1,6),(2,1),(2,3),(2,5),(3,2),(3,4),(3,6),
(4,1),(4,3),(4,5),(5,2),(5,4),(5,6),(6,1),(6,3),(6,5)}
B = { (x,y) / x =6 v y = 6}
= { (6,1),(1,6),(6,2),(2,6),(6,3),(3,6),(6,4),(4,6),(6,5),(5,6),(6.6)}
g) A " B = { obtener suma impar ó obtener por lo menos un seis}
A " B = {obtener suma impar y por lo menos un seis}
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A − B = {obtener suma impar pero ningún seis }
A, = {Obtener suma par }
4.− a) 30 % 6.− a) 100
b) 15 % b) 0.0384
c) 70 %
d) 95 %
5.− b1) 0.2
b2) 0.6
b3) 0.225
c2) 0.03923
GUIA DE EJERCICIOS PROBABILIDADES (Continuación):TÉCNICAS DE CONTEO.
1.−Una bolsa contiene 4 esferas blancas 3 azules y 5 rojas.
A.−Si se saca una esfera al azar, calcular las probabilidades:
a)Que sea blanca e) Que no sea blanca
b)Que sea azul f) Que sea negra
c)Que no sea azul g)Que no sea blanca ni azul
d)Sea roja o azul h)Que sea blanca, azul o roja
B.− Si se sacan 3 esferas simultáneamente al azar, calcule las siguientes probabilidades.
a) Que sean azules e) A lo mas 2 sean azules
b)Que sean blancas f) Como máximo una sea blanca
c) Que sean rojas g) Que sea una de cada color
d)A lo menos una sea roja h) Que 2 sean blancas y una roja.
2.− Se extraen al azar y sin reemplazar cuatro letras de la palabra Mississippi, Calcular la probabilidad de que:
• Las cuatro sean i.
• A lo sumo hayan dos consonantes.
• Se forme la palabra mipi
3.−Se tiene 11 libros para colocar en un estante, de los cuales se sabe que 5 son de ingeniería, 4 de
matemáticas y 2 de química. Calcular la probabilidad de que:
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• Los libros de cada materia estén juntos.
• Los libros de cada materia estén todos juntos en el orden: química, ingeniería matemáticas.
4.−Tres artículos se escogen al azar de un total de 15, de los cuáles se sabe 5 son defectuosos. Hallar la
probabilidad de que:
• Ninguno sea defectuoso.
• Exactamente uno sea defectuoso.
• Por lo menos uno sea defectuoso.
5.−Se selecciona al azar tres libros de un estante que contiene 5 novelas, 3 libros de poemas y un diccionario.
Calcular las probabilidades de que:
• Se seleccione el diccionario.
• Se seleccionen 2 novelas y un libro de poemas.
6.−Los alumnos de un curso se escogen al azar, uno tras otro para rendir un examen. Hallar la probabilidad de
que niños y niñas queden alternados si:
• El curso tiene 4 niños y tres niñas.
• El curso tiene 3 niños y tres niñas.
7.−Cuántos números de hasta 4 cifras pueden formarse con los dígitos del 0 al 9 si:
• Los dígitos pueden repetirse.
• Los dígitos no pueden repetirse.
• El último dígito debe ser cero y los dígitos restantes no deben repetirse.
8.− Se forman señales colocando banderas de diferentes colores una tras otra en un asta. Si se tienen 5
banderas distintas, hallar el número de señales distintas que se pueden trasmitir con:
• 3 de las banderas.
• 4 de las banderas.
• Todas las banderas.
• Una o más de las banderas.
Algunos resultados:
2.− a) 1/330
b) 31/66
c) 1/330
3.− a) 1/1.155
b) 1/6930
• 4.− a) 24/91
• b) 45/91
• c) 67/91
• 5.− a) 1/3
5
• b) 5/14
• 6.− a) 1/35
• b) 1/10
• 7.− a) 10.000 (los números del 1 al 9.999 mas el cero)
• b) 5.040
• c) 504.
• 8.− a) 60
• b) 120
• c) 120
• d) 325
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