Unidad 1 - IPCHILE

Instituto Profesional de Chile
Ingeniería en Industrias
Álgebra y trigonometría
Módulo de aprendizaje Nº 3
Definición y aplicación de las razones trigonométricas de ángulos agudos en el triángulo
rectángulo.
Objetivos específicos del módulo
Al finalizar este módulo, el alumno deberá ser capaz de conocer las razones trigonométricas
de ángulos agudos en el triángulo rectángulo y de poder interpretar y resolver problemas en
los que se aplique dicha forma triangular a situaciones específicas.
Definición de las razones trigonométricas de ángulos agudos en el triángulo rectángulo
Sea el triángulo rectángulo ABC de la figura 3.1, de catetos a y b, hipotenusa c y sea  la
medida de uno de sus ángulos agudos, se definen con respecto a :
AC : cateto adyacente (CA)
BC : cateto opuesto (CO)
AB : hipotenusa (Hip)
Figura 3.1
Entonces, respecto de la medida de  y la medida de los catetos, estos se relacionan entre si
según las seis razones que se definirán a continuación:
a) Seno de 
sen 
CO
Hip
b) Coseno de 
Cos 
CA
Hip
1
c) Tangente de 
Tg  
CO
CA
d) Secante de 
Sec 
Hip
CA
e) Cosecante de 
Co sec  
Hip
CO
f) Cotangente de 
Ctg  
CA
CO
El cuadro 3.1 resume las definiciones de las razones antes dadas con los datos del triángulo
ABC de la figura 3.1
Cuadro 3.1
Fuente: libro matemática Cepech 2006
Analizando los componentes de las razones antes definidas, nos podemos dar cuenta de que
existe una relación de inversos multiplicativos o valores recíprocos entre ellas, es decir:
a) Sen 
1
Co sec 
b) cos 
1
Sec
c) Tg 
1
Ctg
2
Cálculo de las razones para ángulos de 30º, 45º y 60º.
Para realizar estos cálculos nos vamos a valer de las relaciones métricas en triángulos
rectángulos estudiadas en el módulo de aprendizaje número 2 y dándoles valores
convenientes a los lados de cada triángulo, como se puede observar en las figuras 3.2 y 3.3.
Figura 3.2
Figura 3.3
30º
45º
2
2
1
3
60º
45º
1
1
Nota: se puede observar que los lados de los triángulos de las figuras 3.2 y 3.3 no llevan
unidad de medida, esto es porque corresponden a triángulos bases, es decir, en cualquier
triángulo donde se tengan los ángulos que se trabajan en estas figuras, independiente de la
medida que tengan sus lados, estos van a estar en la misma razón que los lados de estos dos
triángulos bases.
Con los datos de la figura y las razones trigonométricas antes descritas, se pueden calcular:
Sen 30º 
Cos 30º 
Tg 30º 
1
2
3
2
1
Cos 60º 
2
3
Tg 60º 
 3
1
Sen 60º 
3
2
1
3

3
3
Sen 45º 
1
2

2
2
Cos 45º 
1
2

2
2
1
Tg 45º   1
1
Relación entre el seno y el coseno para ángulos complementarios
En un triángulo rectángulo si se define uno de sus ángulos agudos como , el otro debería
representarse como (90º - ) por la relación de ángulos complementarios que existe entre
ellos, tal como lo representa la figura 3.4, entonces se puede extraer la siguiente conclusión
para el seno y el coseno de dichos ángulos.
a
c
b
Cos 
c
Sen 
Sen90º   
b
c
a
Cos 90º   
c
3
Figura 3.4
90º - 
c
a

b
Se puede observar entonces que sen  cos90º   y cos  sen 90º   , de donde se
puede generalizar que seno de un ángulo equivale al coseno de su complemento y viceversa
Aplicación de las razones trigonométricas de ángulos agudos en el triángulo rectángulo
Las seis razones antes descritas nos permiten relacionar la medida de los ángulos agudos en
un triángulo rectángulo con la razón en la que se encuentran los lados del mismo, lo que es
muy útil en el caso de querer calcular distancias difíciles de medir en forma empírica, como
por ejemplo la distancia de la tierra al sol.
Para los problemas en los que se deban aplicar las razones trigonométricas, los ángulos que
se formen se les llamarán según su posición respecto a una recta horizontal, como ángulo
de elevación o de depresión tal como lo muestra la figura 3.5.
Figura 3.5
Ángulo de elevación
Ángulo de depresión
4
Ejercicios resueltos
1.- Si sen 
3
, entonces el resultado de la expresión (tg  + sen ) es:
2
Desarrollo
Como seno de un ángulo =
cat.opuesto
hipotenusa
 
3
, se puede construir el
2
siguiente triángulo:
2
3

x
Por relaciones métricas en el triángulo rectángulo se puede saber que x = 1
cat.opuesto
Como la tangente de un ángulo está definida por
, entonces:
cat.adyacente
Tan  =
3
 3
1
Por lo tanto:
tg  + sen  =
3 +
3 3 3
=
2
2
2.- En un triángulo ABC, rectángulo en B, se tienen los siguientes datos:
AC  10cm, BC  8cm, BAC =  y ACB = . Entonces el resultado de (sen  + cos )
es:
Desarrollo
Construyendo una figura con los datos, se tiene:
B
8 cm.
6 cm.

A

C
10 cm.
Entonces:
8
sen  
10
5
cos  
8
10
Por lo tanto:
sen   cos  
8
8 16 8



10 10 10 5
3.- Determine el valor de:
sen60
cos 30  tg 30
Desarrollo
Buscando los valores correspondientes, se tiene que:
3
Sen 60º = 2
3
Cos 30º = 2
3
Tan 30º = 3
Reemplazando en la fracción buscada:
3
3
6
2
 2  3
3
3
3 2

2
3
6
4.- Si cos  =
3
. Determine el valor de sen , tg  y cosec . , respectivamente
4
Desarrollo
Llevando la información a un triángulo rectángulo, éste queda:

3
4
7
Entonces:
7

4
7
Tan 

3
4
4 7
Cosec 


7
7
Sen 
6
5.- ¿A qué altura se encuentra un volantín, si el ángulo de elevación que forma el hilo con
la base del piso es de 30° y el hilo desplegado tiene una longitud de 20 m?
Desarrollo
La gráfica del enunciado corresponde a:
A
x
20 m
30º
Si el volantín se encuentra a n el punto A, entonces su altura corresponde a la perpendicular
(x) con el suelo, la cuál se puede calcular utilizando la función sen  .
cateto op.
x
Sen 30º =

hipotenusa 20
1 x

2 20
x  10m
6.- Un observador situado a 150 m de un edificio, observa el alto de éste con un ángulo de
elevación de 60. Determine la distancia entre el observador y lo alto del edificio.
Desarrollo
Al llevar la información a una gráfica, ésta queda:
x
60º
150 m
A
Si el observador se encuentra en el punto A, entonces la distancia (x) entre el observador y
lo alto del edificio se puede calcular con la función cos 
150
cos60º 
x
1 150

2
x
x  300m
7
Evaluación del módulo
cot g
1.- resuelva
sen

4

3
 cos
 sen

4

6
2.- En el triángulo ABC los ángulos  y  son iguales a 30° y 135° respectivamente, y el
lado AB es de 100 m. Hallar la longitud de la perpendicular desde C a la prolongación del
lado AB.
C
A
 B

Dos postes tienen 18 m y 12 m de altura respectivamente, sabiendo que la linea recta
imaginaria que los une en sus puntos más altos forma un ángulo de 30° con la horizontal.
Determine la distancia que los separa (distancia entre los postes).
3.-
4.- Una chimenea tiene 30 m de altura más que otra. Un observador que está a 30 m de
distancia de la más baja observa que sus cúspides están en una recta inclinada respecto del
suelo con un ángulo de 45°. Hallar la altura de la chimenea mayor.
5.- Calcular área y perímetro de la figura si  = 30 y QN  4 m.
Q

N
M
6.- ¿Cuál es la altura de un árbol si a cierta hora la longitud de su sombra es de 3,6 m
cuando el ángulo de elevación del sol es 60?
8
Respuestas
1 2 2
3 1
2
(50 3  50)m
3
6 3m
4 60 m
5
8 3
A
3
6 3,6 3m
m 2 ; P  (4 3  4)m
Bibliografía
Zill, Dennis G; Dejar, Jacqueline M. Álgebra y Trigonometría segunda edición, Colombia.
McGraw Hill, 2000.
Alcides Astorga M., Julio Rodríguez S.; Trigonometría. Revista digital matemática
educación e Internet. www.cidse.itcr.ac.cr
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