Electric Force and Field

Movimiento armónico simple, ondas y movimiento circular uniforme
Introducción
Los tres temas: Tanto el movimiento armónico simple (M.A.S.), las ondas y el movimiento circular
uniforme (M.C.U.) están fuertemente relacionados. Gran parte de lo que aprendimos acerca del M.C.U.
puede ser aplicado directamente en el M.A.S., y gran parte de lo que aprenderemos acerca del M.A.S.
puede ser directamente aplicado al estudio de las ondas. Al establecer estas relaciones en forma clara,
es posible lograr una comprensión mucho más profunda y eficiente que si tratamos los tres temas por
separado. En primer lugar, resumamos rápidamente lo que aprendimos acerca del movimiento
circular uniforme.
Los objetos que realizan un recorrido circular a una velocidad constante realizan un movimiento
circular uniforme. Si bien su rapidez es constante, su velocidad cambia constantemente, debido a que
su dirección cambia a cada momento. Además, están experimentando una aceleración constante. De lo
contrario, estarían recorriendo una línea recta, no un círculo.
Su aceleración y fuerza son dirigidas hacia el centro del recorrido circular, mientras que su velocidad
es tangente a dicho recorrido. La magnitud de su aceleración está dada por
.
El tiempo que tardan en realizar un recorrido completo del círculo se denomina Período (T), y se mide
en unidades de tiempo, en general segundos. Si en los segundos de t, un objeto completa n cantidad
. La cantidad de círculos completos por unidad de tiempo
se denominan Frecuencia (f), y se miden en unidades de uno sobre tiempo, en general 1/s: Hertz (Hz).
de círculos, si período está dado por
Si un objeto completa n cantidad de círculos en un tiempo t, su frecuencia está dada por:
comparamos las fórmulas de frecuencia y período, observaremos que están inversamente
relacionadas:
y
. Si
.
, donde r es el radio del movimiento. Esto es el resultado
del hecho de que la circunferencia de un círculo está dada por C = 2r, y es la distancia que se recorre en
La velocidad del objeto está dada por
una revolución; T es el tiempo necesario para recorrer dicha distancia. Debido a que
también puede ser visto como v = 2rf.
, esto
Si combinamos estas expresiones de velocidad con nuestra expresión anterior de aceleración
(
), podremos obtener otra expresión de la magnitud de la aceleración del objeto que
experimenta un M.C.U.
En período:
En frecuencia:
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© Goodman & Zavorotniy
Todos estos resultados serán utilizados directamente en el
movimiento armónico simple una vez que demostremos cómo
se relacionan el M.A.S. y el M.C.U.
El sistema de masa-resorte
El movimiento circular uniforme se caracteriza por un objeto
que se mueve repetidas veces hacia adelanta y hacia atrás en el
mismo recorrido. Un ejemplo que ilustra este tipo de
movimiento es el movimiento hacia arriba y hacia debajo de una
masa que cuelga de un resorte. Si la masa se baja lentamente, la
fuerza que ejerce el resorte hacia arriba (Fresorte = -kx)
aumentará hasta ser equivalente y opuesta a la fuerza de
gravedad. En ese lugar, el punto de equilibrio del sistema, la
masa permanecerá estática a menos que otra fuerza actúe sobre
ella.
Si luego tiras de la masa hacia abajo, se sentirá una fuerza neta
hacia arriba, en dirección opuesta al desplazamiento que estás
aplicando sobre la masa. Esto es el resultado la fuerza de
elasticidad que aumenta en proporción a la distancia que se
estira la masa desde su punto de equilibrio, mientras la fuerza
de gravedad permanece inalterada. La máxima distancia que se
estira la masa desde su punto de equilibrio se denomina
Amplitud (A) del sistema.
El diagrama a la derecha muestra el movimiento armónico
simple de un sistema de masa-resorte que realiza un recorrido
circular completo de movimiento en 8s. El tiempo transcurrido
aparece a la izquierda y el punto de equilibrio está representado
por la flecha denominada x0, que apunta hacia la derecha. El
vector de desplazamiento (la flecha vertical) indica la distancia
desde el punto de equilibrio hasta la parte superior de la masa.
Cuando se libera una masa en t=0, ésta acelera hacia arriba
debido a la fuerza neta que actúa sobre ella; como el resorte se
estira más allá del punto de equilibrio, la fuerza del resorte
hacia arriba es mayor que la fuerza de gravedad hacia abajo.
La masa tarda 2s en alcanzar el punto de equilibrio. En ese
punto, no hay fuerza neta actuando sobre la masa, razón por la
cual su aceleración es cero y permanece en equilibrio con
velocidad constante: La velocidad se obtiene al acelerar hacia
atrás, al punto de equilibrio, durante los primeros 2s del
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movimiento.
A medida que supera el punto de equilibrio, la fuerza hacia
arriba del resorte disminuye, pero la fuerza sobre la masa
debido a la gravedad permanece constante. Por lo tanto, la
masa siente una fuerza neta, y una aceleración que resulta de
ella, hacia abajo, opuesta a su velocidad. Cuando la masa se
encuentra a una altura equivalente a su amplitud, pero en este
caso sobre el punto de equilibrio, hace una parada
momentánea; esto ocurre en t=4s. En este punto, su
aceleración es la misma que tenía en t=0s, pero en dirección
opuesta.
Luego, la masa acelera hacia debajo de tal forma que pasa a
través del punto de equilibrio nuevamente en t=6s. Una vez
más, no hay fuerza neta actuando sobre la masa en el punto de
equilibrio, pero tiene una velocidad constante (en este caso,
hacia abajo).
Esa velocidad lleva la masa hacia abajo hasta alcanzar una
distancia desde el punto de equilibrio equivalente a su
amplitud de movimiento en t=8s. Hace una parada
momentánea antes de comenzar otro ciclo. El esquema en t=8s
es idéntico al que hubo en t=0s, por lo cual el sistema vuelve a
su condición inicial.
Este movimiento se repite una y otra vez. Si no hubiera
pérdidas debido a la fricción del aire, el calentamiento del
resorte al ser doblado repetidas veces, etc., este movimiento
continuaría indefinidamente.
M.C.U y M.A.S.
Ahora veamos de qué manera se asemeja todo esto al
movimiento circular uniforme, para poder conectar nuestro
aprendizaje previo acerca del M.U.C. a este nuevo tema acerca
del movimiento armónico simple (M.A.S.). Esto nos permitirá
utilizar la terminología y los resultados que obtuvimos en
nuestro estudio acerca del M.U.C. directamente al M.A.S.
La clave es buscar sólo el movimiento hacia arriba y hacia
debajo de un objeto que se mueve en un círculo vertical,
ignorando el movimiento hacia los costados. Es como si una luz
poderosa brillara en el objeto desde el costado y sólo
miráramos su sombra moviéndose en la pared. La sombra sólo
se movería hacia arriba y hacia abajo, su movimiento de
costado sería invisible.
Observa el dibujo de la izquierda. Dentro del círculo vemos
una flecha, un vector de desplazamiento, que sale desde el
centro del círculo hacia el objeto que se mueve alrededor del
círculo. Además, también vemos un vector que muestra el
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movimiento lateral, y otro que muestra el movimiento hacia arriba y hacia abajo (vertical). El
componente vertical también aparece a la izquierda del diagrama, sólo para aclarar el componente de
movimiento.
Junto con el objeto en movimiento circular también vemos un sistema de masa-resorte. Su vector de
desplazamiento, que sale del punto de equilibrio hasta la parte superior de la masa, también se
expresa mediante la misma flecha vertical al costado de ambos diagramas. En este caso, ambos objetos
completan un ciclo en 8s.
A medida que el objeto recorre el círculo, el componente vertical de su desplazamiento desde el punto
de origen sale desde su valor negativa máxima, en t=0s; se convierte en cero en t=2s, alcanzando su
valor positivo máximo en t=04; ambos se convierten en cero nuevamente en t=6s; finalmente, vuelve a
su valor negativo máximo en T=8s.
Así como el período de movimiento del objeto es de 8s, los componentes verticales de su movimiento
tienen el mismo período de 8s. Además, podemos observar que su desplazamiento máximo en
dirección vertical, desde el punto de origen, también será el radio del círculo.
Pero el componente vertical del movimiento circular del objeto es idéntico al desplazamiento del
vector para la masa que experimenta el movimiento armónico simple; no existe ninguna diferencia. El
sistema de masa-resorte experimenta un movimiento hacia arriba y hacia abajo que es idéntico al
movimiento hacia arriba y hacia abajo del objeto en movimiento circular; la única diferencia radica en
la falta de un componente horizontal de movimiento en el caso del M.A.S.
El resultado de esta conexión es que todo lo que aprendimos acerca del movimiento circular uniforme
de los objetos será verdadero para objetos en movimiento armónico simple.
Transferencia de M.U.C a M.A.S.
El período (T) es idéntico:
El período (T) es idéntico:
Entonces:
y
Deberán hacerse ajustes para transferir las ecuaciones de M.U.C para la amplitud, velocidad y
aceleración a ecuaciones de M.A.S. En primer lugar, debemos observar que si bien son constantes, al
centrar nuestra atención en el movimiento de un objeto que se mueve en círculos, no son constantes
cuando observamos a un componente de su movimiento. Por ejemplo, si bien la velocidad de un objeto
en M.C.U. es constante, su velocidad vertical no lo es; a veces, su velocidad mueve el objeto de arriba a
abajo, o de lado a lado (en cuyo caso su rapidez vertical es cero), pero la mayoría de las veces es una
mezcla de ambos; lo mismo sucede con la distancia de un objeto desde el centro del círculo y su
aceleración. Las ecuaciones de desplazamiento, velocidad y aceleración de un objeto en M.U.C. se
convierten en ecuaciones de desplazamiento máximo (A), velocidad máxima (Vmax) y aceleración
máxima (amax) del movimiento vertical.
La amplitud (A) del movimiento vertical de un objeto en movimiento vertical es simplemente el radio
del círculo (r), ya que es la distancia más alejada en la que el objeto puede estar del centro de los
círculos en cualquier dimensión: A = r; pero su distancia (x) del punto de equilibrio variará de +A a –A,
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y pasará por cero. De forma similar, la velocidad del objeto variará de +vmáx a –vmáx, pasando por cero, y
su aceleración variará de +amáx a –amáx, pasando por cero.
Transferencia de M.U.C a M.A.S: A = r
De M.U.C. se vuelve, en M.A.S.:
de M.U.C. se vuelve, en M.A.S.:
de M.U.C. se vuelve, en M.A.S.:
de M.U.C. se vuelve, en M.A.S.:
t
x
v
a
0s
-A
0
+amáx
2s
0
+vmáx
0
4s
+A
0
-amáx
0
-vmáx
0
-A
0
+amáx
La relación entre la posición del objeto y su velocidad y
6s
aceleración se muestra en este cuadro. Si bien hacemos
referencia al tiempo para el movimiento que ilustramos
8s
anteriormente, es sólo a modo de referencia del diagrama;
las relaciones entre la posición, velocidad y aceleración se
mantienen para todo el movimiento de M.C.U. en cualquier período.
Observa que el cuadro utiliza la dirección positiva hacia arriba (convencional).
Sistemas horizontales de masa-resorte
Las conclusiones a las que llegamos previamente son igualmente aplicables a sistemas de masa-resorte
horizontales o verticales. En el sistema horizontal, la fuerza restauradora en una dirección se debe al
estiramiento del resorte y, en la dirección opuesta, se debe a la compresión del resorte. En la teoría,
este sistema es mucho más fácil de entender debido ya que no abarca al efecto de gravedad. En la
práctica, es muy difícil de demostrar el diseño
horizontal debido a que requiere resortes
ideales, los cuales son simétricos respecto de la
fuerza que ejercen cuando están estirados o
comprimidos, y requiere de una superficie que
no tenga fricción para que la masa se deslice
sobre ella. Entonces verás demostrados muchos
más diseños verticales que horizontales.
Mientras esos representan problemas prácticos, todos los resultados a los que derivamos en la teoría
para un sistema de masa-resorte son directamente aplicables a diseños horizontales como éste. Y estos
diseños, al ser teóricamente más simples que los diseños verticales, son utilizados frecuentemente
para establecer problemas.
Ejemplo 1: En el siguiente diagrama, un bloque con una determinada masa M está adherido a un resorte
con una constante de elasticidad K. Se aplica un M.A.S. al bloque. ¿Dónde se encuentra el bloque cuando:
a) Su velocidad es la máxima?
b) Su velocidad es cero?
c) Su aceleración es cero?
d) La magnitud de la fuerza neta sobre la masa es la máxima?
Respuestas:
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a) Cuando x=0 la magnitud de la velocidad del objeto sería la mayor ya que toda la energía es EC en ese
lugar.
b) Cuando x=+A y x=-A el objeto momentáneamente se detiene, toda la energía es Uresorte.
c) Cuando x= 0 la fuerza neta en el bloque es cero, entonces su aceleración también lo es.
d) Cuando x= +A o –A el resorte se estira a su máximo entonces la fuerza neta en la masa es la máxima.
El período de un sistema de masa-resorte
Aprendimos anteriormente que la energía almacenada en un resorte es dada por Uresorte = ½kx2 y que
la energía de una masa que se mueve es EC = ½mv2. La energía total de un sistema de masa-resorte es
colocada al principio del sistema desde el exterior, por ejemplo tirando hacia abajo de la masa desde su
punto de equilibrio. Una vez que se suelta la masa, la energía total se mantiene constante pero cambia
de una forma a otra. Éste es siempre el caso con M.A.S., pero en este caso, las dos formas de energía son
Uresorte y EC,
Utotal = Uspring + EC
Cuando el objeto se encuentra en +A o –A toda la energía es en el resorte debido a que está estirado al
máximo y el objeto está momentáneamente en reposo. Desde esto podemos concluir que Utotal =
½kA2. De una manera similar, como la masa se mueve por el equilibrio no hay energía potencial en el
resorte, debido a que no está estirado, entonces toda la energía se encuentra en la energía cinética de
la masa; debería estar moviéndose con su máxima velocidad (vmax) en equilibrio y Utotal = ½mv2max.
Como la energía total es la constante esto significa que:
Utotal = Utotal
mv2max = kA2
Ahora podemos combinar este resultado con nuestro resultado previo (vmax = 2A/T) para encontrar el
período de movimiento de un sistema de masa-resorte.
y
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o (dado que f=
)
Observa que el período y frecuencia de un sistema de masa-resorte NO depende de la amplitud de su
movimiento.
Ejemplo 2: Una masa de 3,0 Kg. está adherida a un resorte de una constante de elasticidad 80 N/m y es
libre de moverse en una superficie horizontal que no tiene fricción. El resorte se encuentra inicialmente
estirado por una fuerza de 10N y luego se suelta.
a) ¿Cuál es la amplitud de su movimiento?
b) ¿Cuál es su período?
c) ¿Cuál es su frecuencia?
d) ¿Cuánto tardará en alcanzar el punto de equilibrio por primera vez?
e) ¿Cuál es la velocidad máxima de la masa?
f) ¿Cuál es la aceleración máxima de la masa?
Respuestas
a) Dado que F = kx, la fuerza de 10N estiraría el resorte por una cantidad dada por
=
b)
c) f
=
=
=
= 0,125m
= 2(0,19s) = 1,2s
= 0,82Hz
d) Desplazarse hacia el punto de equilibrio equivale a ¼ de un ciclo, entonces tardaría 1,2s/4 =0,30s
e) vmax = 2Af = 2(0,125m)(0,82Hz) = 0,64 m/s
f) amax = 42Af2 = 42(0,125m)(0,82Hz)2 = (39,4)(0,125m)(0,67Hz2) = 3,3 m/s2
La relación entre velocidad y posición
También podemos usar nuestro análisis de energía para determinar la velocidad de la masa en
cualquier posición en su movimiento. Hacemos esto mediante la combinación de dos de los cuatro
resultados:
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y
mv2 = kA2 - kx2
Dado que
y por lo tanto
esto también puede ser escrito como:
Esto proporciona la magnitud de velocidad de la masa en cualquier posición entre +A y –A. Observa
que cuando x = A (cuado la masa está a una distancia máxima del punto de equilibrio) entonces v = 0.
También, cuando x = 0 (cuando la masa atraviesa el punto de equilibrio) esa v = vmax..
En cualquiera de las otras posiciones, la velocidad se encuentra entre -vmax y +vmax.
Ejemplo 3: ¿Cuál es la magnitud de velocidad de la masa en el ejemplo 2 cuando está ubicada en x =
0,062m?
Respuesta:
v= (5,12 s-1)(0,11m)
v = 0,56 m/s
Extensión de estos resultados a todos los M.A.S.
Mediante nuestro análisis fue realizado para un sistema de masa-resorte, quedó demostrado que
nuestros resultados pueden ser extendidos a todos los sistemas a los que se les aplique un movimiento
armónico simple.
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Todos los objetos a los que se les ejerce un M.A.S. están sujetos a una fuerza que toma la forma F= -kx.
Eso significa que todos experimentan una “fuerza restauradora” dirigida de nuevo hacia la posición de
equilibrio la cual se vuelve más fuerte a medida que la distancia desde el punto de equilibrio aumenta.
Una vez que se pueda mostrar que la fuerza que actúa sobre un objeto toma esa forma, se aplicarán
todas las ecuaciones mostradas anteriormente. Todo lo que es necesario para aplicarlas es determinar
qué elemento cumple el rol de “k” y sustituirlo en las fórmulas anteriores. Un nuevo grupo de
relaciones pueden ser derivadas para ése caso particular.
Hasta cierto punto todas las fuerzas restauradoras pueden ser aproximadas como F= -kx para
desplazamientos cortos. Como resultado, un M.A.S. resulta ser característica de muchos sistemas.
Un buen ejemplo acerca de cómo aplicar este acercamiento es el
péndulo.
El péndulo
Un péndulo es simplemente una masa en el extremo de una cuerda o
vara que se mueve libremente de lado a lado. En el punto de
equilibrio (cuando la masa está directamente por debajo del punto
de pivote) la masa es atraída hacia abajo por la fuerza de gravedad,
mg. Sin embargo, esa fuerza se compensa por completo por la
tensión hacia arriba de la cuerda. No hay fuerza actuando en el
objeto.
Cuando la masa es atraída hacia uno de los lados, la fuerza de gravedad continúa atrayendo la masa
hacia abajo. Sin embargo, esa fuerza no puede ser compensada totalmente por la tensión de la cuerda
debido a que la tensión se encuentra actualmente en un ángulo a la fuerza gravedad; el resultado es
una fuerza neta hacia el punto de equilibrio, una fuerza restauradora.
Con trigonometría podemos mostrar que para ángulos pequeños, la cantidad de fuerza esta dada
aproximadamente por:
F = -mgsinθ
)
)x
(donde L es la longitud del péndulo)
El signo negativo en esta ecuación nos dice que la fuerza es restauradora, que siempre atraerá de
vuelta al péndulo hasta el punto de equilibrio. Eso combinado con el hecho de que la fuerza es
proporcional a x, nos dice que esto resultaría en movimiento armónico simple. Debemos determinar
de qué sirve el rol de “k”, así podremos usar todos los resultados anteriores.
F = -kx
y
)x
)x
k
Una vez obtenido “k” para este sistema, podemos conectarlo con todas las ecuaciones anteriores para
obtener los resultados para un péndulo.
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[Substituya K = mg/L]
Observa que el período y la frecuencia de un péndulo son independientes de la masa y su
desplazamiento, cuan lejos se mueva en cada ciclo. Sólo depende de la gravedad local, g, y de la
longitud de la cuerda. Esta es la razón por la que éstos se convirtieron en la fundación de relojes
antiguos y todavía siguen siendo vistos en los “relojes de abuelos”.
Las relaciones trigonométricas utilizadas para realizar el primer paso de este problema serán
desarrolladas en su próximo curso de física. Pero es importante destacar que se necesita suponer que
el péndulo no se está moviendo en un ángulo muy largo desde el vertical; esto se llama aproximación
de ángulo pequeña. Un péndulo sólo se moverá en M.A.S. para desplazamientos cortos desde el
vertical.
Ejemplo 4: Un péndulo consiste en una masa de 1,5kg adherida al extremo de una largar cuerda de 2,4m.
Se empuja la masa para uno de los lados y se suelta.
a) ¿Cuál es su período?
b) ¿Cuál es su frecuencia?
c) ¿Cuánto tardará en moverse hasta la misma altura en el lado opuesto?
d) Si se duplicara la masa, ¿en qué cambiarían éstas respuestas?
Respuestas
=
a)
b) f =
=
=
= 2(0,50s) = 3.1s
, = 0,32Hz
c) Desplazarse hacia la otra altura máxima equivale a ½ ciclo, entonces tardaría
= 1,5s
d) No hay cambio; la masa no es un factor en el movimiento de un péndulo.
Energía y el péndulo
En todos los casos de M.A.S. existen dos formas de energía y un medio para la eficiencia de conversión
entre ellos. En el caso del sistema de masa-resorte, era la energía cinética (CE) y la energía elástica
(Uresorte). En el caso del péndulo es energía potencial gravitacional (EPG) y energía cinética (EC). La
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energía total del sistema es constante una vez que está en movimiento, pero la forma de la energía
varía.
Utotal = Constante
Utotal = EPG + EC
Cuando un péndulo se encuentra en su punto más bajo (cuando la cuerda está en posición vertical), la
EPG se define como cero, toda la energía del sistema es EC. Cuando alcanza su punto más alto, su
mayor desplazamiento, la masa permanece momentáneamente en reposo y su EC es cero; toda la
energía se encuentra en forma de EPG. Entre medio de esas dos posiciones, la velocidad puede ser
cualquier valor entre –vmax y +vmax. Su energía total está dada por la altura máxima (hmax) y por su
velocidad máxima (vmax).
O
Estas ecuaciones nos permiten encontrar la velocidad o altura máxima del movimiento de un péndulo
dadas las otras.
Ejemplo 5: ¿Cuál sería la magnitud de velocidad de la masa en el ejemplo 4 cuando se encuentra en el
extremo más bajo si hubiese sido atraída inicialmente para un lado, quedando elevada 0,20m?
Respuesta:
vmax = 2,0 m/s
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