Examen resuelto de Vectores y Cinemática

IES SAN DIEGO DE ALCALÁ
Dpto. de Física y Química
Avda. Primero de Mayo 133
Puerto del Rosario-Las Palmas
Nombre: _________________________________________________________ Fecha: ____________
1. Responde razonadamente
a. ¿Es posible que el módulo de la velocidad de un objeto que se mueve sea constante y al mismo
tiempo el objeto esté acelerado? Si es posible, dar un ejemplo de la situación. Si no lo es, razonar
por qué. [0,5 Puntos]
Sí, en el caso del movimiento circular uniforme en el que el módulo de velocidad no varía pero si lo hacen la
dirección y sentido de la misma, y eso se debe a que el cuerpo está acelerado con aceleración normal constante.
Un ejemplo de esto lo constituye el sistema solar en el que los planetas se mueven con v = cte y lo hacen alrededor
del sol porque hay una aceleración normal que tuerce la trayectoria recta del planeta.
b. Dos niños están montados en los caballitos de un «Tío Vivo». Determina la aceleración a la que están
sometidos, cuando el «Tío Vivo» gira con una velocidad constante de 32 m/s, sabiendo que la distancia de
los niños al eje de giro es de 10 m [1 Punto]
La aceleración a la que están sometidos es la aceleración normal, cuya expresión es an 
v2
;
R
sustituyendo en esta expresión los datos que nos dan se puede obtener de manera directa el valor de la
misma: an 
322
 102,4 m/s2.
2,5
2. Dada la gráfica v-t de la figura: Responde a las siguientes cuestiones: [1,5 Punto]
a) ¿Qué tipo de movimiento tiene la partícula en cada tramo?
Tramo a: MRUA con aceleración constante y positiva
Tramo b: MRU
Tramo c: MRUA con aceleración constante y negativa
V
b) ¿Qué aceleración tendrá la partícula en cada tramo?
v  v0 4  0

 1m/s2.
t  t0 4  0
v  v0 4  4
Tramo b: a 

 0 m/s2.
t  t0 8  4
v  v0 0  4  4
Tramo c: a 


 - 1,33 m/s2.
t  t 0 11 8 3
Tramo a:
(m/s)
4
a
b
a
c
8
4
11
t (s)
c) ¿Cuál será la distancia total recorrida?
Tramo a: MRUA  x = x0 +v0·(t – t0)+ ½ a·(t – t0)2 = 0 + 0 (4 – 0)+ ½ 1·(4 – 0)2 = 8 m
Tramo b: MRU  x = x0 +v0·(t – t0) = 8 + 4 (8 – 4) = 24 m
Tramo c: MRUA x = x0 +v0·(t – t0)+ ½ a·(t – t0)2 = 24 + 4 (11 – 8) - ½ 1,33·(11 – 8)2 = 30,015 m


r =(3t2+1) i
3. La posición de una partícula viene dada por

+ (2t2 – 5t) j en el SI. Calcular:
a. La posición de la partícula en los instantes t = 3 s y t = 5 s.Y la velocidad media entre esos
instantes [0,5 Puntos]
Empleando la expresión del vector de posición y sustituyendo el tiempo por su valor:

r (3 s) =(3·32+1)

r (5 s) =(3·52+1)

i

i



+ (2·52 – 5·5) j = [76 i


+ (2·32 – 5·3) j = [28 i + 3 j ] m
 
r  r0 48iˆ  23 ˆj
Vm 

 24iˆ  11,5 ˆj _ m / s
t  t0
53

+ 25 j ] m
b. La velocidad en cualquier instante. [0,5 Puntos]
Se obtiene derivando la expresión del vector de posición con respecto del tiempo.
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
dr
V
 6·t ·iˆ  (4·t  5) ˆj _ m / s
dt
c. La velocidad instantánea en los instantes t = 2s y t = 5s. [0,5 Puntos]

dr
 6·2·iˆ  (4·2  5) ˆj  12·iˆ  3· ˆj _ m / s
dt

dr
V (5s) 
 6·5·iˆ  (4·5  5) ˆj  30·iˆ  15· ˆj _ m / s
dt
V (2s) 
4. Desde de la acera, junto a un edificio, se lanza verticalmente hacia arriba, con velocidad de 50 m/s, un
cohete. Si el cohete tarda 3 s en llegar a la parte superior del edificio, calcula:
a. El tiempo que tarda el cohete en llegar al punto de altura máxima. [0,5 Puntos]
b. Altura máxima que alcanza el cohete y la del edificio. [0,75 Puntos]
c. Velocidad del cohete al llegar al suelo después de caer desde su altura máxima. [0,5 Puntos]
Datos: Tome g = 10 m/s2; V0 = 50 m/s; (tfinal edificio – t0) = 3 s
a) El tiempo que tarda el cohete en llegar a su altura máxima se obtiene teniendo en cuenta que en ese caso V final =
0 m/s por lo que aplicando la ecuación de la Velocidad para un mov de lanzamiento vertical es:
V = V0 + a·(t – t0) ; 0 = 50 - 10·(t – 0) ; 
t = 50/10 = 5 s
b) La altura máxima que alcanza el cohete viene dada por la ecuación de la posición para un lanzamiento vertical:
y = y0 + V0·(t – t0)+ ½ a·(t – t0)2 ; y = 0 + 50·(5 – 0) - ½ ·10·(5 – 0)2 = 250 – 125 = 125 m
La altura del edificio será :
y = y0 + V0·(t – t0)+ ½ a·(t – t0)2 ; y = 0 + 50·(3 – 0) - ½ ·10·(3 – 0)2 = 250 – 125 = 105 m
c) La velocidad del cohete al llegar al suelo después de caer desde su altura máxima se obtiene considerando
la ecuación que relaciona V, g y posición.
V2 =V02 + 2·g·(y – y0); 
V2 =02 – 2·10·(0 – 125); 
V  2·10·125  50 m/s
Que como cabía esperar coincide con la velocidad con que fue lanzado hacia arriba.
5. Dos automóviles se mueven siguiendo una trayectoria rectilínea; entre dos puntos A y B situados a
1,5 km uno de otro. El primero, sale de A, donde se encuentra en reposo, y se dirige a B con una
aceleración constante de 3 m/s2. El segundo sale de B dos segundos más tarde y se dirige en la
misma dirección y sentido que el primero con una velocidad constante de 25 m/s. Calcula:
V0A = 0
t0A = 0
t0B = 2 s
aA = 3 m/s2
VB = 25 m/s
A
B
1500 m
a. El tiempo que tardarán en encontrarse. [0,5 Puntos]
El A con MRUA: xA = x0A + V0A·(t – t0A)+ ½ a·(t – t0A)2.
El B con MRU: xB = x0B + V0·(t – t0B).
En el momento en que A alcanza a B los dos tienen la misma posición con lo que x A = xB; igualando ambas
ecuaciones se obtiene el tiempo:
x0B + V0·(t – t0B) = x0A + V0A·(t – t0A)+ ½ a·(t – t0A)2.
1500 + 25·(t – 2) = 0 + 0·(t – 0) + ½ 3·(t – 0)2. 
1,5·t2 – 25·t – 1450 = 0 ; Que resolviendo da como
resultados : X1 = - 23,9 s; X2 = 40,5 s; descartando el valor negativo se tiene: t = 40,5 s.
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b. En qué punto se encontrarán. [0,75 Puntos]
Se encontrarán en xB = x0B + V0·(t – t0B). 
xB = 1500 + 25·(40,5 – 2) = 2462,5 m.
c. Dibuja la gráfica espacio-tiempo de ambos móviles. [0,5 Puntos]
X, (m)
2462,5 m
1500 m
0m
t
40,5 s
6. Un lanzador de jabalina hace un lanzamiento con una velocidad de 20 m/s y un ángulo de 43º
respecto de la horizontal. Determinar:
Datos: V = 20 m/s; α = 43º; 
Vx = 20·cos 43 = 14,63 m/s; Vy = 20·sen 43 =13,64 m/s
a. La distancia a la que caerá la jabalina; [0,5 Puntos]
Se trata de calcular el alcance; para ello necesitamos calcular el tiempo que tarde en llegar allí; sabiendo que en el
eje Y la posición inicial y final son y = y0 = 0 y conocidas Vy y g; para un MRUA:
y = y0 + V0y·(t – t0) - ½ ·g·(t – t0)2 . 0 = 0 + 13,43·(t – 0) - ½ ·9,8·(t – 0)2 . De donde su puede obtener el valor de t ;
que es : t = 2,78 s.
Una vez conocido el valor de t se puede calcular el alcance con el MRU horizontal; con lo que x = x0 + V0x·(t – t0);
sustituyendo: x = 0 + 14,63·2,78 = 40,72 m
b. La altura máxima que alcanzará; [0,75 Puntos]
La altura máxima que alcanzará se obtiene teniendo en cuenta que cuando la jabalina llega a esa altura Voy se hace
cero; así Vy = V0y – g(t – t0) nos dará el tiempo que tarda en llegar a ese punto y con ella y la ecuación de
la posición calculamos este alcance.
Vy = V0y – g(t – t0);  0 = 13,64 – 9,8(t – 0) ; 
y = y0 + V0y·(t – t0) - ½ ·g·(t – t0)2 ; 
t = 13,64/9,8 = 1,39 s.
y = 0 + 13,64·(1,39 – 0) - ½ ·9,8·(1,39 – 0)2 ;  y = 18,95 – 9,47 = 9,48 m
c. El tiempo que tardará en pasar por segunda vez por la altura de 5 metros. [0,75 Puntos]
y = y0 + V0y·(t – t0) - ½ ·g·(t – t0)2 ; 
5 = 0 + 13,64·(t – 0) - ½ ·9,8·(t – 0)2 ;  4,9·t2 – 13,64·t + 5 = 0
Resolviendo esta ecuación se obtienen los dos tiempos en los que la jabalina pasa por la altura de 5 m y el que
buscamos es el mayor, cuyo valor es: t1 = 0,43 s; y t2 = 2,34 s.


El valor de las cuestiones está indicado en cada una entre corchetes.