Documento 299422

Teorías y Fundamentos Físicos. Curso 2008-2009. GRUPO O.
Escuela Técnica Superior de Arquitectura
Universidad Politécnica de Madrid
SOLUCIONES al examen del 26 de Marzo de 2008
CUESTIONES:
CUESTION 1. (1 punto)
(a) ¿Dé que formas distintas (refiriéndose a “a partir de qué magnitudes”) se puede generar el campo de momentos
de un sistema de vectores deslizantes?
Respuesta:
1) A partir del sistema de vectores deslizantes:
M , R

2) A partir de un torsor:

a1 , a2 ,......,an 
P
R, a,a

3) A partir de un sistema equivalente reducido:

(b) Hallar la recta de acción del vector deslizante a  (4,1,1) si el vector momento respecto al origen de
 
coordenadas es M 0 (a)  (1,11,7) .
i
 
M 0 (a )  (1,11,7)  x
j
k
y
z  y  1  z; x  11  4 z  P(1,11,0) 
4 1 1
x 1
 y  11  z
4
CUESTIÓN 2. (0,5 puntos) Explica el significado de las dos componentes intrínsecas de la aceleración: aceleración
tangencial y aceleración normal. Pon un ejemplo de movimiento en el que toda la aceleración sea aceleración
normal y otro en el que la aceleración sea exclusivamente aceleración tangencial.
Respuesta:

Aceleración tangencial: expresa el cambio en el módulo de la velocidad y se expresa como a t 
dv 
ut
dt
Ejemplo de movimiento con solo aceleración tangencial: movimiento rectilíneo uniformemente acelerado
Aceleración normal: expresa el cambio en dirección y sentido de la velocidad y se expresa como

v2 
an 
un
R
Ejemplo de movimiento con solo aceleración normal: movimiento circular uniforme
1
CUESTIÓN 3 (0,5 puntos). Describe cuál es la forma más sencilla de describir las velocidades de los puntos de un
sólido rígido que realiza un movimiento plano.
Respuesta: mediante una rotación pura alrededor de un eje que en cada instante es perpendicular al
plano del movimiento y pasa por el centro instantáneo de rotación, esto es mediante la expresión



vP    CIRP .
CUESTIÓN 4. (0,5 puntos) Si un sólido rígido realiza una rotación pura alrededor de un eje de ecuaciones
x  y  z con una velocidad angular  de módulo 2. Calcular el módulo de la velocidad lineal en un punto A de
coordenadas (1,1,1) del dicho sólido rígido.
Respuesta: la velocidad es nula por pertenecer el punto (1,1,1) al eje de rotación
CUESTIÓN 5. (1 punto) Explica el significado de cada uno de los términos de la siguiente ecuación
 

M P ( F )  I  . Explica a qué se reduce dicha ecuación cuando se le aplica a un sólido rígido que realiza un
movimiento plano. ¿A qué punto del sólido rígido se puede aplicar la ecuación que has deducido?
Respuesta:
 
M P (F ) : momento de las fuerzas externas respecto de un punto P
I : momento de inercia respecto al sistema de referencia de ejes principales y cuyo orige es el punto P

 : aceleración angular en torno a dicho eje que pasa por el punto P
En el caso de que el movimiento sea plano:
 0   I1

 
 0 0
M   0
 Z 
0
I2
0
0  0 
 
0  0   M z  I
I 3   
Ecuación que se puede aplicar a cualquier punto del sólido rígido, siempre que los momentos de las
fuerzas externas se calculen respecto a dicho punto y el momento de inercia sea el de un eje
perpendicular al plano del movimiento y que pase por dicho punto.
2
PROBLEMAS:
PROBLEMA 1 (1 punto). La ecuación que nos define la ley horaria de una partícula en el plano OXY y referida a O
como origen viene dada por

r  (5t,10  5t 2 ) determinar los vectores aceleración tangencial y aceleración
normal para el instante t = 1s.


 dr
 v
dv
20t
1
2
v
 (5,10t ) ; v  5 1  4t ;

ut  
(5,10t )
2
dt
dt
v 5 1  4t 2
1  4t

 dv
a
 (0,10 )
dt


dv
at (1s) 
(1s)u t (1s)  (4,8)
dt
  

 
a  at  an  an  a  at  (4,2)
PROBLEMA 2. (2, 5 puntos) Una escalera de mano de 5m de longitud se apoya sobre una pared vertical y el suelo
horizontal, rebasada la posición de equilibrio comienza a caer de forma que en un momento determinado forma un
ángulo  con la horizontal. Si en dicho instante el módulo de la velocidad del extremo A es 2m/s calcular en función
del ángulo  : el vector velocidad angular, el vector aceleración angular y la velocidad y aceleración lineal del punto
medio de la barra.
Y B
5m

A

vA
X
A(5 cos ,0,0)
CIR(5 cos ,5sen ,0)
i
j
k



2
v A    CIRA  0
0
  (2,0,0)  5sen ,0,0  (2,0,0)   
rad / s
5sen
0  5sen 0

   (0,0,
2
)rad / s
5sen
3


d d
d
4 cos
 

 (0,0,
)
dt d
d
25sen 3

i
j
0
0
5
 cos
2
5
sen
2




v M  v A    AM  (2,0,0) 
k
2
cos
 (1,
,0)
5sen
sen
0


dv M d
dv M

2
 aM 

 (0,
,0)
dt d
d
5sen3
PROBLEMA 3. (2 puntos)
a) Un disco y una esfera (ambos del mismo radio R e idéntica masa M) se dejan rodar sin deslizar partiendo
simultáneamente del reposo por un plano rugoso de coeficiente de rozamiento  inclinado un ángulo . ¿Cuál de
ellos “ganará “ está carrera? Justifica tu respuesta con operaciones.
Datos: Momentos de inercia respecto a un eje que pasa por su centro de masas:
I disco 
2
MR 2
2
, I esfera  MR
5
2
MR 2
2 gsen
 MR 2 )   DISCO 
DISCO: M  I CIR   MgsenR  (
2
3 R
2MR 2
5 gsen
 MR 2 )   ESFERA 
ESFERA: M  I CIR   MgsenR  (
5
7 R
Ganará la esfera
b) Demostrar que el momento de inercia de un disco respecto de un eje perpendicular a su superficie y que pasa por
su centro de masas es
I disco
MR 2

.
2
R
2M 3
MR 2
r
dr

2
2
0 R
I disco   dm r  
2
Se escogen como diferenciales de masa los anillos circulares de anchura dr y a una distancia r del centro
del disco:

M
dm
dm
2M


 dm  2 rdr
2
ds 2rdr
R
R
4
Problema 4. (1 punto) Se desea volcar el armario de la figura que tiene una masa de 60 Kg, y sobre el que se
aplica una fuerza requerida para ello es F  210N . Determinar vara que valores de h el armario vuelca.
F h P
0,6m
P  0,6m
0h
 0,84 m
2
2F
Cuando el punto aplicación de la fuera F se sitúa por encima de 0,84 m el armario vuelca.
5