PROBABILIDAD Y CONJUNTOS

PROBABILIDAD Y CONJUNTOS
1
2
3
4
Se entrevista a un grupo de estudiantes del área técnica, y se obtiene la siguiente información:

25 tienen calculadoras.

14 tienen computadora personal.

7 no tienen calculadora ni computadora personal.
Entre ellos:

11 tienen ambas cosas.
En base a dicha información:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación.
2. ¿Cuál es la probabilidad de que al elegir un estudiante al azar este tenga solo calculadora?
En un grupo de segundo semestre de sistemas computacionales se observa lo siguiente:

16 alumnos tienen teléfono celular.

10 alumnos tienen beeper.

2 alumnos tienen palm.

6 alumnos no tienen ninguno de los tres artefactos.
Entre ellos:

4 alumnos tienen tanto teléfono celular como beeper.
En base a dicha información:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación.
Si se selecciona un alumno al azar, ¿Qué probabilidad hay de que:
2. tenga un solo instrumento?
3. tenga solo beeper?
En una encuesta hecha en una transitada calle de esta ciudad, acerca de las preferencias futbolísticas de las
personas, se obtuvo la siguiente información:

53 personas le van a los Tiburones Rojos.

27 personas le van a las Águilas del América.

31 personas le van a las Chivas Rayadas.

9 personas no le van a ninguno de los tres equipos.
Entre ellos:

6 personas le van tanto a los Tiburones Rojos como a las Águilas del América.

13 personas le van tanto a los Tiburones Rojos como a las Chivas Rayadas.

por supuesto que nadie le va simultáneamente a las Águilas del América y a las Chivas Rayadas.
En base a lo anterior:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación.
Si se selecciona una persona al azar, ¿Qué probabilidad hay de que:
2. le vaya a un solo equipo?
3. le vaya solo a los Tiburones Rojos?
Entre un grupo de estudiantes de Sistemas de Computo, se hace una encuesta para ver los correos electrónicos
que manejan. Los resultados que se obtuvieron en la misma son los siguientes:

81 manejan hotmail.com

43 manejan esmas.com

65 manejan yahoo.com

31 manejan todito.com

3 no manejan correo electrónico.
Entre ellos:

17 manejan simultáneamente hotmail.com y yahoo.com

6 manejan simultáneamente todito.com y esmas.com
Con fundamento en esa información:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación.
Si se selecciona un estudiante al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que maneje:
2. un solo correo?
3. solo esmas.com?
4. dos correos?
5. simultáneamente yahoo.com y todito.com?
5
6
7
8
Se tiene la siguiente información de un grupo de estudiantes: 32 trotan, 32 nadan, 32 juegan tenis y 12 no hacen
nada. De entre ellos: 17 nadan y juegan tenis; 18 trotan y juegan tenis; 6 trotan, nadan y juegan tenis; y 14 trotan
y nadan. En base a dicha información:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler e indique cuantos estudiantes son.
Si se selecciona al azar a uno de ellos, ¿Cual es la probabilidad de que:
2. Haga dos tipos de ejercicio?
3. solo trote y nade?
Con el objeto de conocer las preferencias musicales de los trabajadores de una oficina para instalar un sistema
de música ambiental, se hizo una encuesta, la cual arrojo los siguientes resultados:

a 68 les gusta el rock.

a 63 les gusta la música ranchera.

a 57 les gusta la salsa.

a 2 no les gusta ninguno de los tres géneros de música.
Entre ellos:

a 43 les gusta el rock y las rancheras.

a 37 les gustan las rancheras y la salsa.

a 40 les gusta el rock y la salsa.

a 24 les gustan los tres géneros de música.
En base a dicha información:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación descrita.
Si se selecciona una persona al azar, ¿Cual es la probabilidad de que:
2. Le gusten dos géneros musicales?
3. Le gusten por lo menos dos géneros musicales?
4. Le guste un máximo de dos géneros musicales?
5. Le guste solo el rock?
6. Le guste la salsa pero no la música ranchera?
7. Le guste el rock y las rancheras pero no la salsa?
8. Le gusta el la salsa y/o el rock pero no las rancheras?
En una oficina Federal, el Depto. de Informática ha hecho un censo, mismo que ha arrojado la siguiente
información:

44 empleados saben manejar Excel.

61 empleados saben manejar Word.

18 empleados saben manejar Power Point.

11 empleados saben manejar la base de datos Access.

10 empleados no manejan ningún programa.
Entre ellos:

15 empleados saben manejar tanto Word como Excel.

12 empleados saben manejar tanto Word como Power Point.
Basándose en dicha información:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación descrita.
Si se selecciona un empleado al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que este maneje:
2. solo un programa?
3. por lo menos un programa?.
4. un máximo de un programas?
5. solo Word?
6. solo Excel?
7. solo Power Point?
En un bachillerato se hace una encuesta para ver las preferencias vocacionales de estudiantes con inclinación
hacia el cómputo. Los resultados obtenidos son los siguientes: a 15 les gustaría estudiar Informática; a 23 les
gustaría estudiar Sistemas Computacionales; a 16 les gustaría ser Técnicos en Computo y a 10 no les gusta
ninguna de esas opciones. De entre ellos:
a 2 les gustan las tres opciones.
a 11 les gusta tanto Informática como Sistemas.
a 9 les gusta tanto Sistemas como Técnico en Computo.
En base a dicha información, si se selecciona a uno de los encuestados, ¿Cuál es la probabilidad de que:
1. este indeciso entre dos opciones?
2. le guste Técnico o Sistemas pero no Informática?
9
10
11
Se tiene la siguiente información de un grupo de estudiantes:

32 trotan.

32 nadan.

32 juegan tenis.

12 no hacen nada.
de entre ellos:

17 nadan y juegan tenis.

18 trotan y juegan tenis.

6 trotan, nadan y juegan tenis.

14 trotan y nadan.
En base a dicha información:
1) Construya un diagrama de Venn – Euler e indique cuantos estudiantes son.
Si se selecciona al azar a uno de ellos, ¿Cual es la probabilidad de que:
2) solo trote?
3) haga dos tipos de ejercicio?
4) nade pero no juegue tenis?
5) solo trote y nade?
Una empresa que vende cuatro marcas de procesadores, hizo un sondeo para ver la intención de compra de
clientes potenciales, y reunió la siguiente información:

21 gustan de la marca “Patito”.

23 gustan de la marca “Chafita”

22 gustan de la marca “Maleta”

41 gustan de la marca “Balín”

37 no tienen intención de comprar procesador.
Entre ellos:

3 gustan simultáneamente de las marcas “Patito” y “Chafita”.

8 gustan simultáneamente de las marcas “Patito” y “Balín”.

5 gustan simultáneamente de las marcas “Chafita” y “Balín”.

una persona gusta simultáneamente de las marcas “Patito”, “Chafita” y “Balín”.
En base a dicha información:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación descrita anteriormente.
Se elige al azar un cliente potencial, ¿Cuál es la probabilidad de que este:
2. Compre solo la marca “Patito”
3. Compre la marca “Chafita” y/o “Balín” pero no la “Patito”?.
4. Dude entre dos marcas”
5. Este convencido de una sola marca?.
6. Guste de dos marcas o más?
Se observa que de un grupo de inversionistas:

19 compraron acciones Alfa.

22 compraron acciones Beta.

14 compraron acciones Delta.

21 compraron acciones Gamma.
Entre ellos:

5 compraron simultáneamente acciones Alfa y Beta.

4 compraron simultáneamente acciones Beta y Delta.

7 compraron simultáneamente acciones Alfa y Gamma.

8 compraron simultáneamente acciones Beta y Gamma.

2 compraron simultáneamente acciones Alfa, Beta y Gamma.
Empleando la información anterior:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación planteada.
Si se elige un accionista al azar, ¿Cuál es la probabilidad de que este compre:
2. dos tipos de acción?
3. por lo menos dos tipos de acción?
4. un máximo de dos tipos de acción?
5. solo acciones Alfa?.
6. acciones Gamma pero no Beta?
12
13
En un fraccionamiento de la ciudad, una encuesta dio la siguiente información:

en 25 hogares se lee “El Financiero”.

en 28 hogares se lee “Reforma”.

en 44 hogares se lee “La Jornada”.

en 20 hogares se lee “Notiver”.

en 5 hogares no leen periódicos.
De entre ellos:

en 12 hogares se leen “El Financiero” y “Reforma”.

en 15 hogares se leen “El Financiero” y “La Jornada”.

en 18 hogares se leen “Reforma” y “La Jornada”.

en 11 hogares se leen “La Jornada” y “Notiver”.

en 5 hogares se leen “Notiver” y “Reforma”.

en 6 hogares se leen “El Financiero”, “La Jornada” y “Reforma”.

en 3 hogares se leen “Reforma”, “Notiver” y “La Jornada”.
Con base en dichos resultados:
1. Construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación.
Si se selecciona al azar un hogar de ese fraccionamiento, ¿Que probabilidad hay de que se lea:
2. un solo periódico?
3. por lo menos un periódico?
4. un máximo de un periódico?.
5. solo “La Jornada”?
En una fabrica, el departamento de Recursos Humanos hará próximamente una rotación de personal, por lo que
actualmente están revisando los registros y han encontrado lo siguiente:

18 empleados han trabajado en el Departamento de Ensamble.

13 empleados han trabajado en el Departamento Administrativo.

19 empleados han trabajado en el Departamento de Seguridad.

17 empleados han trabajado en el Departamento de Acabado.

8 empleados han trabajado en el Departamento de Ventas.
de todos ellos:

3 empleados han trabajado en los Departamentos de Ensamble y Acabados.

5 empleados han trabajado en los Departamentos de Seguridad y Acabados.

2 empleados han trabajado en los Departamentos de Ventas y Administración.
construya un diagrama de Venn – Euler que ilustre la situación y calcule cuantas personas laboran en la
fábrica.
Si se selecciona al azar un trabajador de la fabrica, ¿Cuál es la probabilidad de que este haya trabajado:
b) en un solo departamento?.
c) en dos departamentos?.
d) en los departamentos de Ventas y Ensamble?
e) solo en el departamento de Acabados?.
a)
14
Una empresa va a impartir un curso a sus empleados, e hizo una encuesta para ver cual prefieren.
31 quieren curso de cómputo.
20 quieren curso de motivación.
27 quieren curso de fotografía.
9 no se interesan por ninguno.
De entre ellos:
a 14 les interesa tanto computo como motivación.
a 14 les interesa tanto computo como fotografía.
a 11 les interesa tanto fotografía como motivación.
a 6 les interesan los tres cursos.
En base a dicha información:
a) Construya un diagrama de Venn – Euler.
b) ¿A cuantos empleados se entrevisto?
Si se selecciona al azar un empleado de dicha empresa, ¿Qué probabilidad existe de que se interese:
c) por un mínimo de 2 cursos?.
d) solo por un curso de computo?.
e) por fotografía y motivación?.
REGLA DE LA SUMA
1
2
3
4
5
PARA EVENTOS QUE NO SON MUTUAMENTE
EXCLUSIVOS
PARA EVENTOS QUE SON MUTUAMENTE EXCLUSIVOS
P( AoB)  P( A)  P(B)  P( AyB )
P( AoB)  P( A)  P(B)
Las probabilidades de que a una persona acusada de conducir imprudentemente se le multe, se le cancele la
licencia o ambas cosas, es de 0.88, 0.62 y 0.55 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que a una persona
acusada de manejar imprudentemente se le multe y/o cancele la licencia?.
Un profesor de Estadística tiene dos asistentes. La probabilidad de que el ayudante de mayor edad este ausente
en un día determinado es de 0.08, la probabilidad de que el más joven de los dos este ausente en un día
determinado es de 0.06, y la probabilidad de que ambos estén ausentes en un día determinado es de 0.02.
Obtenga la probabilidad de que cualquiera de los asistentes o ambos estén ausentes en un día determinado.
La probabilidad de que una persona que se detiene en una gasolinera pide que se revisen las llantas es 0.14; la
probabilidad de que pida que se le revise el aceite es de 0.27, y la probabilidad de que se revisen ambas cosas es
de 0.09. ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se detenga en una gasolinera:
a) revise las llantas, el aceite o ambas cosas?.
b) no revise ni las llantas ni el aceite?
Entre los 64 médicos del personal de un hospital, 58 tienen seguro de negligencia, 33 son cirujanos y 31 de los
cirujanos tienen seguro de negligencia. Si se selecciona al azar uno de estos médicos para representar al
personal del hospital en una convención, ¿Cuál es la probabilidad de que resulte un cirujano que no tenga
seguro de negligencia?
Las probabilidades de que un estudiante obtenga en Estadística una “A”, una “B” o una “C” son de 0.09, 0.15 y
0.53 respectivamente. ¿Cuál es la probabilidad de que dicho estudiante obtenga una calificación inferior a “C”?
Si se selecciona al azar uno de los sujetos representados en la siguiente tabla:
6
Dolor de cabeza
No dolor de cabeza
Fármaco
49
732
Placebo
49
616
Grupo de control
24
602
¿Cuál es la probabilidad de que:
a) haya usado placebo o estado en el grupo de control?
b) haya usado el fármaco o no haya experimentado dolor de cabeza?
7
Un alumno de Informática requiere de hacer un trabajo muy laborioso que debe procesarse en computadora. La
probabilidad de que rente una es del 55%, de que consiga una prestada es del 39%, y la de que ocurran ambas
cosas es del 27%. ¿Cuál es la probabilidad de que rente una computadora o la consiga prestada?
8
Los problemas de acoso sexual han recibido mucha atención en años recientes. En una encuesta, 420 empleados
(240 de los cuales eran hombres) consideraron que una palmadita amigable en el hombro era una forma de
acoso, mientras que 580 empleados (380 de los cuales eran hombres) no lo consideraron una forma de acoso. Si
se escoge al azar a uno de los empleados, calcule la probabilidad de que resulte que:
a) sea una persona que no considere que una palmada en el hombro sea una forma de acoso.
b) sea un hombre o alguien que no considere que una palmada en el hombro sea una forma de acoso.
En una gran industria, se hace un estudio sobre la forma de hacer cálculos de los trabajadores, obteniéndose la
siguiente información:
9
Mujeres
Hombres
Operan a mano
34
19
Usan calculadora
55
37
Usan computadora
23
42
Si se selecciona al azar a un trabajador, ¿Cual es la probabilidad de que:
1. use calculadora y sea hombre.
2. use computadora o sea mujer.
Quienes visitan Yelowstone naturalmente desean ver una erupción del Old Faithful, así que el intervalo de tiempo
entre dos erupciones consecutivas es importante para los visitantes que tienen el tiempo limitado.
10
Tiempo entre erupciones consecutivas
40 – 49 minutos
50 – 59 minutos
60 – 69 minutos
70 – 79 minutos
80 – 89 minutos
90 – 99 minutos
100 – 109 minutos
Frecuencia
8
44
23
6
107
11
1
Si escogemos al azar uno de los tiempos de la tabla, ¿Qué probabilidad hay de que sea:
a) de por lo menos una hora?
b) de un máximo de 70 minutos?
c) de entre 60 y 79 minutos?
De una conocida universidad, en un cuatrimestre especial de homogenización, en el que se cursan solo tres
carreras, se obtuvo la siguiente estadística de los alumnos que solo reprobaron una materia en el primer examen
parcial:
11
Informática
Ingeniería
Administración
Calculo
15
5
19
Contabilidad
17
16
6
Computo
4
8
14
Ingles
9
13
10
Suponiendo que se elige al azar a un alumno de dicho semestre, ¿Cual es la probabilidad de que dicho alumno:
a) sea de Informática?
b) haya reprobado Cálculo?
c) no sea de Ingeniería?
d) no haya reprobado Física?
e) sea de Administración y haya reprobado Ingles?
f) sea de Informática o Ingeniería?
g) haya reprobado Cálculo o Cómputo?
h) sea de Informática o haya reprobado Contabilidad?
i) no sea de Administración o no haya reprobado Cómputo?
j) sea de Ingeniería o no haya reprobado Cálculo?
Se tiene el siguiente registro de los trabajadores de una empresa:
12
Mujeres
Hombres
Blancos
13
18
Moreno
9
21
Si se selecciona al azar un trabajador de esa empresa, ¿Cual es la probabilidad de que:
1. sea un hombre o sea blanco?.
2. sea mujer trigueña?
3. no sea hombre o no sea moreno?
Trigueños
19
11
La tabla muestra las preferencias de una muestra de aficionados a ver deportes por TV:
Fútbol
13
Águila
9
6
1
9
América
Cruz Azul
Guadalajara
Veracruz
Diablos
4
7
7
3
Béisbol
Tigres
3
8
4
2
Sultanes
6
9
2
7
Si se selecciona un aficionado al azar, calcule la probabilidad de que este:
a) le vaya al Guadalajara.
b) le vaya a los Tigres.
c) no le vaya al Veracruz.
d) no le vaya a los Diablos ni a los Sultanes.
e) le vaya al Cruz Azul y al Águila.
f) le vaya al América o al Guadalajara.
g) le vaya al Águila y a los Diablos.
h) le vaya al América o a los Tigres.
i) le vaya al Veracruz pero no a los Sultanes.
j) no le vaya al Cruz Azul ni a los Diablos.
Las compañías de tarjetas de crédito han hecho una campaña agresiva para atraer nuevas cuentas entre los
estudiantes universitarios. De una muestra de 530 estudiantes universitarios, se obtuvo la siguiente información:
14
Sexo
Tienen tarjeta
Total
Si
196
264
460
Hombres
Mujeres
total
No
42
28
70
238
292
530
Si de esta muestra se selecciona un estudiante al azar, halla la probabilidad de que:
a) sea hombre o tenga tarjeta de crédito.
b) sea mujer y tenga tarjeta de crédito.
Registro de una entrevista realizada a una muestra de estudiantes de la carrera de Sistemas Computacionales:
15
Llega caminando
Llega en camión
Llega en auto
Vive con familia
5
8
5
Vive en pensión
7
8
7
Vive en hotel
4
6
9
¿Qué probabilidad hay de que un estudiante de la carrera de Sistemas Computacionales seleccionado al azar:
a) llegue en camión a la universidad y viva en hotel?.
b) llegue en auto a la universidad o viva con su familia?.
c) no llegue caminando a la universidad o no viva en pensión?
Causas de accidentes automovilísticos durante el ultimo año en una importante avenida de la ciudad:
Causa
16
Exceso de velocidad
Alcohol y/o drogas
Fallas mecánicas
Mal estado del camino
Si en esa avenida ocurre un accidente, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) se deba a fallas mecánicas?
b) se deba a exceso de velocidad o mal estado del camino?.
c) no se deba a alcohol y/o drogas?
Numero de casos
16
19
14
5
La siguiente tabla muestra las profesiones de un grupo de Catedráticos de una Universidad, y la marca de PC que
usan:
17
IBM
4
2
5
4
Abogado
Administrador
Contador
Ingeniero
SONY
2
5
3
4
MAC
0
1
2
2
Compaq
3
4
4
3
Caja blanca
6
8
5
6
Si se selecciona aleatoriamente a un Catedrático de esa Universidad, calcule la probabilidad de que:
1. sea Abogado o Contador.
2. tenga Sony y Caja blanca.
3. sea Administrador o tenga Compaq.
4. sea Ingeniero y tenga Mac.
5. no sea Abogado ni Contador, o tenga Sony o Mac.
18
19
Se lanzan tres dados simultáneamente. ¿Cuál es la probabilidad de que la suma:
a) sea menor a 6?,
b) sea igual a 11?.
c) sea mayor o igual que 15?
d) este entre 12 y 14?
Una señora muy hablantina se la pasa conversando por teléfono, y cuando la llama su esposo, el teléfono
siempre suena ocupado.
Por experiencia el esposo sabe que la probabilidad de que su esposa haga al día:

0 llamadas es nula.

entre 1 y 3 llamadas es del 28%.

4 llamadas es del 10%.

entre 5 y 8 llamadas es del 45%.
En base a dicha información, ¿Cuál es la probabilidad de que la señora hablantina haga:
a) más de 8 llamadas al día?
b) por lo menos 4 llamadas al día?
c) un máximo de 4 llamadas al día?
La tabla muestra los promedios de los alumnos de un grupo de Sistemas de Computo en la clase de Estadística:
20
Promedio
Alumnos
De 0 a 2
3
De 2 a 4
6
De 4 a 6
8
De 6 a 8
7
De 8 y a 10
4
Si se selecciona a un alumno al azar de dicho grupo, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) su promedio este entre 2 y 6?
b) su promedio sea igual o menor que cuatro?
c) su promedio sea mínimo de 6?
En una escuela de Computo, se tiene el siguiente registro de solicitudes de cursos para profesionistas:
21
Perfil
Doctor
Ingeniero
Licenciado
25 – 34
15
7
14
Edad del solicitante en años
35 – 44
45 – 54
11
3
15
10
7
16
Si se selecciona al azar a uno de todos los solicitantes, calcule la probabilidad de que:
a) sea Doctor o Licenciado.
b) tenga entre 25 y 34 años y sea Ingeniero.
c) no sea Doctor o tenga entre 55 y 64 años.
d) no tenga entre 45 y 54 años y no sea Ingeniero.
e) tenga entre 35 y 54 años y no sea Doctor.
55 – 64
9
12
19
REGLA DE LA MULTIPLICACION
1
PARA EVENTOS DEPENDIENTES
PARA EVENTOS INDEPENDIENTES
P( AyB )  P( A)  P(B / A)
P( AyB )  P( A)  P(B)
Una urna tiene 8 bolas rojas, 5 bolas blancas y 4 bolas azules. Suponga que se extraen dos bolas sucesivamente.
Suponiendo que no hay reemplazo, calcule la probabilidad de que:
a) las dos sean blancas.
b) la primera sea roja y la segunda azul.
c) ninguna sea azul.
d) la primera sea blanca y la segunda no sea azul.
e) Vuelva a calcular las probabilidades de los incisos anteriores, ahora suponiendo que si hay reemplazo.
2
De una baraja de 52 naipes, mezclados al azar, se sacan tres naipes sucesivamente. Suponiendo que estos no se
reemplazan, calcular la probabilidad de que:
a) los tres sean ases.
b) se obtengan dos reyes y un as.
c) los tres sean del mismo palo.
d) ninguno sea una sota.
e) Vuelva a calcular las probabilidades de los incisos anteriores, ahora suponiendo que si hay reemplazo.
3
Se extraen sucesivamente 4 cartas de una baraja de 40. Suponiendo que hay reemplazo, calcular la probabilidad
de que:
a) las cartas no sean del mismo palo.
b) las cartas sean del mismo palo.
c) obtener dos reyes y dos caballos.
d) obtener tres sotas y un tres.
e) las dos primeras sean copas y las dos últimas espadas.
f) Vuelva a calcular las probabilidades de los incisos anteriores, ahora suponiendo que no hay reemplazo.
4
Un experimento consiste en primero adivinar la cara que caerá al lanzar una moneda, e inmediatamente después
adivinar que numero caerá al lanzar un dado. Calcule la probabilidad de:
a) acertar tanto a la moneda como al dado.
b) acertar a la moneda pero no al dado.
c) acertar al dado pero no a la moneda.
d) no acertar a ninguno de los dos.
5
6
Avaricio invierte $10,000.00 en el proyecto “A” que le producirá una utilidad neta de $800.00, $1,000.00 o
$1,400.00 con probabilidades del 50%, 30% y 20% respectivamente; también invierte $15,000.00 en el proyecto
“B” que le producirá una utilidad neta de $2,400.00, $2,200.00 o $1,800:00 con probabilidad del 15%, 30% y 55%
respectivamente.
Suponiendo que el rendimiento en ambas inversiones es independiente uno del otro, ¿Cuál es la probabilidad de
que la utilidad total de Avaricio sea de $3,200.00?
Ángel estima que tiene una probabilidad de 0.85 de sacar diez en la próxima evaluación de Estadística, Bernardo
piensa que su probabilidad es de 0.82, en tanto que la estimación de Carlos es de 0.80. Suponiendo que las
estimaciones de los tres compañeros se ajustan a la realidad y que definen tres sucesos independientes, halla la
probabilidad de que:
a) los tres obtengan diez en la próxima evaluación de Estadística.
b) sólo Ángel saque diez en la evaluación de Estadística.
7
8
El administrador de un centro de cómputo que tiene 120 PCs sabe que el 10% de ellas fallan, pero no sabe
cuales. Para investigar cuales son, elige aleatoria mente a 6 PCs para revisarlas. ¿Cuál es la probabilidad de que
por lo menos encuentre una PC que este fallando?
Un señor se ha vuelto muy aficionado a divertirse en las fiestas y trasnochar. Su esposa (que ya esta harta de
estos desmanes) ha estado estudiando su comportamiento en los ultimas días, y tiene la siguiente información:

existe un 62% de probabilidades de que llegue a deshoras cualquier noche.

existe un 27% de probabilidades de que llegue sin dinero cualquier noche.

existe un 45% de probabilidades de que cualquier noche no pueda abrir la puerta al llegar.
En base a la información reunida por la esposa, calcule la probabilidad de que cualquier noche el señor llegue:
a) a buena hora, con dinero y pueda abrir la puerta.
b) a deshoras, sin dinero, y su esposa tenga que ayudarlo a abrir la puerta.
c) a deshoras, pero con dinero y pueda abrir la puerta.
d) a buena hora, con dinero, y no pueda abrir la puerta.
En un supermercado, una encuesta para ver las preferencias con respecto a las bebidas gaseosas que ahí se
venden, da la siguiente información:
Mujeres
Hombres
9
10
11
12
Fanta
24
14
Mirinda
36
7
Orange Cruch
8
14
Si se seleccionan:
a) dos personas al azar de la muestra, ¿Que probabilidad hay de que la primera sea mujer y la segunda no?
b) tres personas al azar de esa muestra, ¿Cuál es la probabilidad de que las tres sean mujeres?
c) cuatro personas al azar de esa muestra, ¿Cuál es la probabilidad de que a las dos primeras les guste Mirinda,
a la tercera Orange Cruch y a la cuarta Fanta?
d) dos personas al azar de esa muestra, ¿Cuál es la probabilidad de que a la primera le guste Orange Cruch y a
la segunda no le guste la Fanta?
e) dos personas al azar de esa muestra, ¿Cuál es la probabilidad de que la primera sea un hombre al que le
guste Mirinda, y la segunda una mujer a la que le guste la Fanta?
Una empresa puede producir el articulo Delta, el articulo Omega o el articulo Gamma con probabilidades del 27%,
41% y 32% respectivamente.
La demanda de su producto tiene el 55% de probabilidades de crecer según un estudio de mercadotecnia.
Según los analistas, las probabilidades de que el producto resulte excelente, bueno, regular o malo son de 1/4,
3/8, 5/16 y 1/16 respectivamente.
Calcule la probabilidad de que la empresa:
a) Fabrique el articulo Beta, la demanda del mismo aumente, y sea calificado por los críticos como malo.
b) No fabrique el articulo Delta, la demanda del mismo no crezca, y sea calificado como bueno.
c) Fabrique el artículo Gamma, la demanda del mismo no crezca, pero no sea calificado como malo.
Se lanza una moneda, y si cae águila se sacara una bola de una urna dorada, pero si cae sol se sacara de una
urna que es plateada.
La urna dorada tiene 14 bolas azules, 9 blancas y 10 rojas; la urna plateada tiene 8 azules, 10 blancas y 11 rojas.

Si se lanza la moneda y luego se saca una bola, ¿Qué probabilidad hay de que esta:
a) sea roja?
b) no sea blanca?

Si se sacan dos bolas sucesivas (previo lanzamiento de la moneda a cada una), ¿Cual es la probabilidad de
que ambas sean azules:
a) si no hay reemplazo?
b) si sí hay reemplazo?.
Determine la probabilidad de que un matrimonio con tres hijos tenga exactamente dos varones.
1. Suponga que es igualmente probable que nazca un niño que una niña.
2. Suponga de que la probabilidad de que nazca una hija es del 55%.
13
14
15
Se hará una revisión a una empresa, y la probabilidad de que se analicen los departamentos de Tesorería,
Nominas y Compras son del 43%, 34% y 23% respectivamente. La probabilidad de que se encuentren errores en
cualquiera de los departamentos es del 30%, y de que se emita alguna recomendación es del 65%. ¿Cuál es la
probabilidad de que:
a) se revise Tesorería, se encuentren errores pero no se emita alguna recomendación?
b) se revise Nominas y no haya errores ni recomendación?
c) no se revise Compras, no haya errores pero se emita una recomendación?
Un cliente importante hará un pedido especial a una fábrica.
El pedido puede ser turnado a las maquinas Alfa, Beta o Delta. La probabilidad de que sea asignado a la maquina
Alfa es del 35% y a la maquina Beta del 25%. Existe un 70% de probabilidades de que cualquiera de las tres
maquinas sea operada por personal experimentado. Las tasas de unidades perfectas, aceptables y defectuosas
producidas por la fábrica son del 56%, 38% y 4% respectivamente.
Si una vez que el cliente importante recibe el pedido, selecciona una unidad al azar, calcule la probabilidad de
que dicha unidad:
a)
se haya fabricado en la maquina Alfa, con personal experimentado, y sea de calidad aceptable.
b) no se haya fabricado en la maquina Delta, haya intervenido personal no experimentado, y no sea
defectuosa.
Se lanzara un dado que tiene una cara blanca, dos rojas y tres azules. Dependiendo del color que caiga se sacara
una bola de una urna blanca, una roja o una azul. El contenido de cada urna es el siguiente:
- Urna blanca: 5 bolas amarillas, 6 verdes y 2 negras.
- Urna roja: 8 bolas amarillas, 6 verdes y 3 negras.
- Urna azul: 6 bolas amarillas, 5 verdes y 4 negras.
a) ¿Qué probabilidad hay de sacar una bola amarilla de la urna roja?
b) ¿Qué probabilidad hay de sacar una bola verde?
c) ¿Qué probabilidad hay de sacar una bola no roja que venga de una urna no azul?
d) Si se sacan dos bolas sin reemplazo, ¿Qué probabilidad hay de sacar ambas negras?
e) Conteste el inciso anterior ahora suponiendo que si hay reemplazo.
Un experimento consiste en lanzar un dado, y si cae el número 1 se saca una bola de la urna “A”; si cae un 2 o 3
se saca una bola de la urna “B”; y si cae un 4, 5 o 6 se saca una bola de la urna “C”. El contenido de cada urna
se muestra en la siguiente tabla:
16
Urna “A”
Urna “B”
Urna “C”
Verde
16
15
9
Color de la bola
Blanca
15
10
22
Roja
16
8
25

Suponiendo que se lanza el dado y se extrae una bola, calcule la probabilidad de que la bola extraída:
sea roja.
no sea blanca.

Suponiendo ahora que se lanza el dado dos veces, y después de cada lanzamiento se extrae una bola.
Calcule la probabilidad de que:
c) ambas sean verdes. (Calcule primero suponiendo que no hay reemplazo, y después que si lo hay).
a)
b)
17
18
Un alumno un poco flojo, presentara un examen teórico de “Estadística”, el cual consta de 5 preguntas, cada una
de las cuales tiene 4 opciones, para que el elija la que considere que es correcta. Como no estudio para el
examen, las contestara al azar, ya que confía mucho en su suerte. ¿Qué probabilidades tiene de:
a) aprobar?
b) sacar 6?
Existen dos métodos A y B para adiestrar a los trabajadores de una empresa en cierta habilidad industrial. El
porcentaje de fracasos es de 18% para el método A y de 8% para B. Sin embargo, B cuesta más caro y es por eso
que sólo se utiliza en el 22% de los casos. Si se adiestró a un trabajador según uno de los métodos y este fracasó
en el aprendizaje, ¿Cuál es la probabilidad de que haya recibido entrenamiento con el método A?
Relación entre la forma en que llegan algunos estudiantes a la universidad, y sus bebidas preferidas:
Café
9
16
20
Camión
Auto
A pie
19
20
Refresco
13
17
18
Agua
16
12
11
Si se selecciona uno de ellos al azar, ¿Cual es la probabilidad de que:
1) llegue en auto y le guste el refresco?
2) llegue en camión o le guste el café?
3) no llegue a pie y le guste el agua?
Si se seleccionan a dos alumnos al azar, sin reemplazo, ¿Cual es la probabilidad de que:
4) ambos lleguen en auto y les guste el café?
5) el primero llegue en auto y tome agua, y el segundo llegue en camión y tome refresco?
En una empresa hay en las oficinas 19 equipos PCs de gabinete y 8 equipos laptops.
El 20% de las reparaciones del equipo de cómputo en esa empresa son debidos a virus, el 35% a inestabilidad del
sistema, y el resto a otras causas.
De los 27 equipos, 5 están a cargo de ejecutivos de alto nivel, 9 con ejecutivos de nivel medio, y el resto con
operadores.
Si se selecciona al azar un equipo de computo de esa empresa, ¿Cuál es la probabilidad de que:
1. sea laptop, se le repare por virus y este a cargo de un ejecutivo de nivel medio?
2. sea de gabinete, no se haya reparado debido a la inestabilidad del sistema, ni este a cargo de
operadores?.
Se tiene el siguiente registro de un grupo de estudiantes de la licenciatura de Sistemas Computacionales:
Gordos
Normales
Flacos
21
Muy altos
2
4
1
Altos
7
6
5
Normales
8
5
1
Chaparros
3
2
8
Si seleccionamos aleatoriamente a dos de ellos (sin reemplazo), determine la probabilidad de que:
a) el primero sea gordo y el segundo sea flaco.
b) el primero sea alto y el segundo de peso normal.
c) ambos sean gordos y altos.
Si se seleccionan aleatoriamente a tres de ellos (sin reemplazo) determine la probabilidad de que:
a) los tres sean de peso normal y chaparros.
b) el primero sea muy alto y gordo; el segundo alto y de peso normal; y el tercero de estatura normal y
flaco.
Se realiza una encuesta afuera de una casilla electoral durante unas votaciones, y se clasifican las respuestas en
función de la edad del votante y su preferencia partidista, obteniéndose los siguientes datos:
22
Edades
18 – 28
29 – 39
40 – 50
51 – 61
PRI
2
3
8
8
PAN
8
6
4
3
PRD
9
8
3
4
CD
9
7
8
7
Al seleccionar a dos personas al azar sin reemplazo de esa muestra, ¿Que probabilidad hay de que:
a. la primera le vaya al PRI y la segunda no le vaya al PRI?
b. la primera tenga entre 29 y 39 años y la segunda le vaya al PAN?
c. la primera tenga menos de 40 años y la segunda no le vaya al PRD?
Al seleccionar a tres personas al azar sin reemplazo de esa muestra, ¿Que probabilidad hay de que:
d. la primera tenga entre 29 y 39 años y le vaya al CD, la segunda tenga entre 18 y 28 años y le vaya al PRI,
y la tercera tenga entre 40 y 50 años y le vaya al PRD?
e. las tres tengan mas de 40 años y le vayan al PAN?
FUNCIONES DE DISTRIBUCION DE PROBABILIDAD
Una variable aleatoria, es aquella que tiene un solo valor numérico, determinado por el azar, para cada resultado de la
ejecución de un experimento.
Las variables aleatorias pueden ser de dos tipos: discretas y continuas.

Una variable aleatoria discreta, es aquella que no puede tomar cualquier valor, debido principalmente a:
tiene un numero finito de valores, es decir, que el numero total de valores que puede adoptar se puede contar.
los valores que puede tomar están dentro de un intervalo.
los valores que puede tomar tienen todos una determinada característica bien definida.

Una variable aleatoria continua, es aquella que puede adoptar un numero infinito de valores, mismos que pueden
asociarse a mediciones de escala continuas, de tal manera que no existan huecos ni interrupciones,

Se le llama distribución de probabilidad, al conjunto de valores que puede adoptar una variable aleatoria, asociada
con sus correspondientes probabilidades de ocurrencia.
Principales funciones de distribución de
probabilidades:
Para variables discretas
Para variables continuas
Binomial
De Poisson
Normal
t de Student
DISTRIBUCION BINOMIAL DE PROBABILIDADES
La función de distribución
binomial de probabilidades se
aplica cuando:
P( X ) 





El experimento consiste de n ensayos idénticos.
Cada ensayo tiene solo dos resultados posibles: éxito o fracaso.
La suma de la probabilidad de éxito y de fracaso en un ensayo, es igual a uno.
Las probabilidades de éxito y fracaso son constantes en todo el problema.
El resultado de un ensayo es independiente de los anteriores y no influye en los
posteriores.
n!
p x qn x
x! (n  x )!
  np
y
  npq
Donde:
Px   Probabilidad de obtener “x” número de éxitos.
x = Numero de éxitos en “n” repeticiones del experimento.
q = Probabilidad de obtener un fracaso.
  Desviación estándar de la distribución binomial.
n = Numero de veces que se repite el experimento.
p = Probabilidad de obtener un éxito.
Media o promedio de éxitos de la distribución
binomial.

1
Se sabe que el 10% de los empleados de una empresa son zurdos. Como existen ciertas actividades que se
requiere sean hechas por zurdos, y es necesario hacer unas pruebas previas, se resuelve obtener una
muestra de 15 empleados. ¿Cuál es la probabilidad de que tres de ellos sean zurdos?
2
En una empresa que se dedica al ramo de la innovación en la informática, se supone que la contratación de
mujeres y hombres son igualmente probables, y que el sexo de cualquier trabajador contratado no afecta la
contratación de cualquier otro trabajador. De acuerdo con lo anterior, calcule la probabilidad de que se
contraten:
a) 2 mujeres en 8 contrataciones.
b) 4 mujeres en 16 contrataciones.
c) 6 mujeres en 24 contrataciones.
3
4
5
6
7
8
Si es verdad que se puede prevenir el 80% de todos los accidentes industriales prestando estricta atención a
las normas de seguridad, obtenga la probabilidad de que se puedan prevenir, cuatro de siete accidentes.
Según estudios de rating televisivo, el 35% de los TV de México sintoniza los domingos en la mañana algún
partido de fútbol. Suponiendo que un domingo en la mañana se escogen TV al azar, determine la probabilidad
de que:
1. 5 de 15 televisores estén sintonizados en el fútbol.
2. al menos 2 de 9 televisores estén sintonizados en el fútbol.
Una empresa asegura que el 20% de sus trabajadores sufre de atrasos diariamente al llegar. Si se seleccionan
en un determinado día trabajadores al azar, calcule la probabilidad de que:
1. ninguno de 14 haya sufrido atrasos ese día.
2. uno de 14 haya sufrido atraso ese día.
3. dos de 14 hayan sufrido atraso ese día.
4. más de dos de 14 hayan sufrido atraso ese día.
Un examen de Estadística tiene 10 preguntas de opción múltiple, cada una con cinco posibles respuestas.
Para un flojo, que no estudio y trata de adivinar todas las respuestas, calcule su probabilidad de aprobar, si la
calificación mínima aprobatoria es 6. ¿Es la probabilidad lo bastante alta como para que valga la pena
arriesgarse a probar adivinando al azar en lugar de estudiando?
¿Cuál seria la respuesta en el problema anterior, si el examen fuera de 5 preguntas con 6 opciones cada una?
En un sondeo hecho entre estudiantes de la universidad, se detecto que de 24 entrevistados, 14 tienen PC
propia. Si se seleccionan aleatoriamente alumnos de esa universidad, ¿Cuál es la probabilidad de que:
1. 5 de 10 tengan PC propia?
2. 10 de 20 tengan PC propia?
9
En un taller se sabe que de cada 15 PCs que se revisan en mantenimiento, en 9 se encuentran problemas de
virus. Construya una tabla de distribución de probabilidades para la revisión de 6 PCs., y determine la
probabilidad de que:
1. un mínimo de 2 PCs tengan problemas de virus.
2. un máximo de 3 PCs tengan problemas de virus.
3. entre 3 y 5 PCs tengan problemas de virus.
10
Últimamente se ha notado que una maquina en una fabrica ha estado funcionando en forma no muy correcta.
El supervisor de producción afirma que 4 de cada 15 piezas hechas por esa maquina tienen defectos. Para
comprobarlo, usted decide obtener una muestra aleatoria de 6 piezas fabricadas por dicha maquina. Calcule la
probabilidad de que:
1. ninguna sea defectuosa.
2. un máximo de una sean defectuosas.
3. un mínimo de 3 sean defectuosas.
11
Una encuesta de Computerworld mostró que el 80% de los ejecutivos de nivel superior usa con regularidad
PC en su trabajo. La Telektronic Ccompany planea transferir nueve ejecutivos de nivel superior a una nueva
oficina central en Atlanta. Si solo se cuenta con siete PCs en Atlanta, calcule la probabilidad de que se vayan
a necesitar más. ¿Es dicha probabilidad lo suficientemente alta como para iniciar planes de adquirir más
PCs?.
12
13
14
15
Ranulfo Malacara, gerente de control de calidad de una fabrica de electrónicos, sabe que su compañía fabrica
supresores de picos de voltaje con una tasa del 10% de unidades defectuosas. Ha instituido varias medidas
diseñadas para reducir esa tasa de defectos, y en una prueba de 20 supresores de picos, solo se encuentran
defectos en uno. Si la tasa de defectos del 10% no ha cambiado, calcule la probabilidad de que entre 20
unidades, una o ninguna tengan defectos. Con base en el resultado, ¿Cree usted que las medidas recién
instituidas sean efectivas?.
En un estudio reciente se encontró que aproximadamente el 15% de los estudiantes de cierta universidad
tenían computadora. Si se entrevista aleatoriamente a diez estudiantes de esa universidad, halla la probabilidad
de que:
a) ninguno tenga computadora.
b) al menos uno tenga computadora.
Un informe del departamento de seguimiento indica que el 25% de los egresados de una universidad tienen
empleo en el área que estudiaron. Si se obtiene una muestra de 15 egresados de esa universidad, calcule la
probabilidad de que:
a) tres egresados trabajen en su área de estudio.
b) por lo menos tres egresados trabajen en su área de estudio.
c) un máximo de tres egresados trabajen en su área de estudio.
Una empresa petrolera de perforación exploratoria de pozos, clasifica a estos como productivos o
improductivos. Para ser rentable la empresa, por lo menos el 25% de los pozos que explora deben ser
productivos. La experiencia indica que el 15% de los pozos perforados resultan productivos. Si el presente
mes se ha programado explorar 12 pozos,:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que los 12 sean productivos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que los 12 sean improductivos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que exactamente un pozo sea productivo?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que este mes la empresa opere en niveles de rentabilidad?
16
En la actualidad, el 29% de los jueces son mujeres. Si se elige una muestra aleatoria de 5 jueces:
a) Calcule la media y desviación estándar para el evento de que el juez seleccionado sea mujer.
b) Construya una tabla de distribución de probabilidades para el evento de que el juez seleccionado sea
mujer.
c) Trace la gráfica de la distribución de probabilidades binomiales correspondiente.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que por lo menos dos jueces sean mujeres?.
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un máximo de tres mujeres sean jueces?.
17
Un taller de mantenimiento de PC entrega en promedio diariamente 16 computadoras reparadas. Según los
registros y la experiencia del gerente, la probabilidad de que un cliente regrese en l72 horas a hacer una
reclamación porque algo no ha quedado bien es del 23%.
a) Calcule la media y desviación estándar para el evento de que una persona regrese en 72 horas a reclamar.
b) Construya una tabla de distribución de probabilidades para el evento de que en 72 horas un cliente
reclame.
c) Trace la gráfica de la distribución de probabilidades binomiales correspondiente.
d) ¿Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera por lo menos 5 clientes regresen al taller a hacer un
reclamo?
e) ¿Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera un máximo de 12 clientes regresen al taller a reclamar?
f) ¿Cuál es la probabilidad de que un día cualquiera entre 7 y 10 clientes regresen al taller a hacer algún
reclamo?
18
En una maquilladora de la frontera, de una muestra de 43 trabajadoras, 28 de ellas son casadas. Si se eligen al
azar 9 trabajadoras, calcule la probabilidad de que:
1. una sea casada.
2. por lo menos una sea casada.
3. a lo más una sea casada.
19
20
21
De cada embarque de 60 módems el 5% resultan defectuosos. Se seleccionan aleatoriamente y sin reemplazo
3 módems de un embarque de 60 unidades. Calcule la probabilidad de que:
a)
ninguno resulte defectuoso.
b) por lo menos uno resulte defectuoso.
c)
uno resulte defectuoso.
d) un máximo de uno resulte defectuoso.
En una Universidad hay 74 estudiantes de Cómputo, 95 de Administración y 42 de Ingeniería.
Si se selecciona al azar una muestra de 9 estudiantes de esa Universidad, calcule la probabilidad de que:
1. tres sean de Contaduría.
2. por lo menos uno no sea de Ingeniería.
3. un máximo de dos sean de Cómputo.
En una oficina laboran 16 Licenciados, 11 Contadores, 6 Administradores y 41 personas sin titulo
universitario. Si se selecciona aleatoriamente una muestra de 12 empleados de dicha empresa, determine la
probabilidad de que:
a) Ocho sean Contadores.
b) Un mínimo de diez no sean Administradores.
c) Dos sean Licenciados.
d) Un máximo de 2 sean Licenciados.
e) Un mínimo de 2 sean Licenciados.
f)
Más de dos sean Licenciados.
g) Menos de dos sean Licenciados.
h) Cuatro sean Administradores o no tengan titulo universitario.
i)
Tres o cuatro sean Contadores.
j)
Ninguno tenga titulo universitario.
DISTRIBUCION DE PROBABILIDADES DE POISSON
La función de
distribución de
Poissón de
probabilidades se
aplica cuando:

Se puedan asignar probabilidades para un evento en función de su promedio de ocurrencias
dentro de un intervalo de tiempo, longitud, área, etc...

“n” es grande y “p” es pequeña.

La probabilidad de ocurrencia de un evento es igual en todos los intervalos de igual tamaño.

La ocurrencia o no ocurrencia de un evento en cualquier intervalo, es independiente de la
ocurrencia o no ocurrencia del mismo evento en cualquier otro intervalo.
P( x ) 
 X e 
x!
Donde:
P( X) 

X
e
1
Probabilidad de obtener “x” éxitos.
Valor esperado o cantidad promedio de éxitos en un intervalo.
Numero esperado de éxitos.
Base de los logaritmos naturales = 2.71828.......
Una fábrica tiene un promedio semanal de 0.2 accidentes que requieren de atención médica. Calcule la
probabilidad de que en una semana seleccionada al azar, el numero de accidentes que requieran asistencia
medica sea:
a) cero.
b) uno.
c) dos.
2
Un análisis de cintas magnéticas para computadora muestra que, por cada 500 pies de cinta, el número
promedio de defectos es de 2. Calcule la probabilidad de que haya más de un defecto en un tramo de 500 pies
de cinta seleccionada al azar.
3
El numero de descomposturas mensuales de una computadora es una variable aleatoria que tiene la
distribución de Poisson, con un promedio de 1.8 Obtenga las probabilidades de que esta computadora funcione
durante un mes:
a) sin descomposturas.
b) con una sola descompostura.
c) con un mínimo de dos descomposturas.
4
Una maquina produce aproximadamente el 1.5% de artículos defectuosos. Si en una caja hay 48 de artículos
producidos por esta maquina, ¿Cual es la probabilidad de que en la caja:
a) no haya ningún articulo defectuoso?
b) haya cuando mas un articulo defectuoso?
c) haya cuando menos un articulo defectuoso?
5
Un hotel ha adoptado la política de hacer un descuento del 15% a los clientes que pagan en efectivo en vez de
hacerlo con tarjeta de crédito. De sus registros obtienen que aproximadamente el 12% de los clientes aceptan
pagar en efectivo. Si en un fin de semana llegan 50 clientes, ¿Cual es la probabilidad de que al menos uno de
los clientes acepte pagar en efectivo?
6
El promedio de accidentes graves en una autopista es de 6 cada 30 días. Halle la probabilidad de que en un:
a) periodo de 4 días haya cuando mas 2 accidentes graves.
b) periodo de 10 días haya cuando menos 5 accidentes graves.
c) día haya dos accidentes graves.
7
8
9
10
Los sábados por la mañana, los clientes entran a una tienda del centro a razón de 0.40 clientes por minuto.
Halla la probabilidad de que entren:
a) dos clientes en ocho minutos.
b) cuando mas cinco clientes en diez minutos.
c) cuando menos cuatro clientes en cinco minutos.
El número de llamadas que un estudiante recibe en respuesta a su anuncio en el periódico para la venta de una
laptop es una variable aleatoria que tiene la distribución de Poisson con un promedio de 4.4.
¿Cuáles son las probabilidades de que en respuesta a dicho anuncio una persona reciba:
a) solo dos llamadas?
b) solo tres llamadas?
c) a lo sumo tres llamadas?
Los últimos 5 semestres, un alumno flojo ha presentado en examen extraordinario un promedio de 2 materias.
Calcule la probabilidad de que el semestre que esta por concluir presente en examen extraordinario:
a) más de dos materias.
b) dos materias.
c) menos de dos materias.
Una maquina que produce 1200 unidades por hora de un articulo, en promedio hace el 2% de artículos
defectuosos.
Calcule la probabilidad de que:
a) en un periodo de una hora produzca 20 unidades defectuosas.
b) en un periodo de dos horas produzca 50 unidades defectuosas.
c) en un periodo de media hora produzca 15 unidades defectuosas.
11
Una ensambladora de PCs de “caja blanca”, recibe al día en promedio 8 pedidos de equipo. Determine:
a) la probabilidad de que un día cualquiera seleccionado al azar reciba por lo menos tres pedidos.
b) la probabilidad de que un día cualquiera seleccionado al azar reciba un máximo de 5 pedidos.
c) la probabilidad de que un día cualquiera seleccionado al azar reciba exactamente 6 pedidos.
d) construya la correspondiente gráfica de distribución de probabilidades, empleando las probabilidades:
P( 0) , P( 2) , P( 4) , P( 6) , P( 8) , P(10) , P(12) , P(14) yP(16).
12
En una fabrica que tiene 125 empleados, en promedio diariamente 4 faltan por cuestiones de salud.
Construya la una gráfica de distribución de probabilidades, empleando las probabilidades de que un día
cualquiera seleccionado al azar falten de cero a ocho trabajadores por cuestiones relacionadas a la salud.
13
El 10% de las herramientas empleadas en cierta fábrica están muy gastadas. Encuentre la probabilidad de que
de 10 herramientas seleccionadas al azar de dicha fabrica, exactamente dos estén muy gastadas:
a) empleando la distribución binomial.
b) empleando la distribución de Poisson.
14
La probabilidad de que una persona no reaccione favorablemente ante un programa de motivación productiva
es de 0.001; determine la probabilidad que de 2000 individuos que trabajan en una fabrica:
a) exactamente 3 no reaccionen favorablemente.
b) más de 2 no reaccionen favorablemente.
15
En una fábrica se trabaja en turnos de 8 horas, y en promedio hay 10 contratiempos menores por turno.
Calcule la probabilidad de que durante un turno cualquiera seleccionado al azar:
a) se presenten 12 contratiempos menores.
b) se presenten 6 contratiempos menores en 4 horas.
c) se presenten 2 contratiempos menores en 2 horas.
d) se presenten 3 contratiempos menores en 1 hora.
e) se presenten 8 contratiempos menores en 6 horas.
16
En la industria acerera (que trabaja los 365 días del año) de un importante estado industrial, ocurren en
promedio 75 accidentes leves al mes. ¿Cual es la probabilidad de que:
1. en un día ocurran dos accidentes leves?
2. en una semana ocurran tres accidentes leves?
17
En una fábrica en la que se realizan operaciones catalogadas como de alto riesgo para sus trabajadores, el
número de accidentes laborales que ocurren en un turno de 12 horas es de 6. Determine la probabilidad de que:
1) en 5 horas se produzcan 4 accidentes.
2) en 3 horas se produzca al menos un accidente.
3) en 9 horas se produzcan 3 accidentes.
18
Un programador comete en promedio 24 errores en cada 75 paginas de código.
¿Cuál es la probabilidad de que cometa:
1. 7 errores en 25 paginas de código?
2. 17 errores en 50 paginas de código?
3. un mínimo de un error en 3 paginas de código?
4. un máximo de un error en 3 paginas de código?
19
Un estudiante de Sistemas Computacionales, comete un promedio de 8 faltas de ortografía por cada hoja de
Word que escribe. Calcule la probabilidad de que cometa:
a) 3 faltas de ortografía en media hoja.
b) 19 faltas de ortografía en 2 hojas.
c) 9 faltas de ortografía en 1 hoja.
d) 25 faltas de ortografía en 3.5 hojas.
DISTRIBUCION NORMAL DE PROBABILIDADES



Es aquella en la que las variables se distribuyen simétricamente alrededor de la media aritmética,
estando la mayor concentración de casos cerca de la misma, disminuyendo la cantidad de casos a
medida que los valores se alejan de dicha media.
Fue introducida por Gauss en relación con la teoría de los errores de medidas físicas, razón por la que
también se conoce como distribución gaussiana, y a su representación grafica como campana de
Gauss.
Matemáticamente, se expresa por medio de la siguiente función:
Información
general
f(x)
1  x  

 
2
 
1

e 2
 2
en la que:
e = base de los logaritmos naturales
x = cualquier valor de la variable
= Constante de proporcionalidad de la circunferencia.
 = Media aritmética de la distribución de frecuencias

=

Grafica






Usos



1
Desviación estándar de la distribución de frecuencias.
Es una curva en forma de campana que se extiende indefinidamente en ambas direcciones,
aproximándose cada vez mas al eje x sin llegar a tocarlo, es decir, que el eje x es una asintota para ella.
Tiene un solo “pico” o altura máxima, es decir, es unimodal.
La grafica es simétrica con respecto a una vertical que pasa por el centro.
El área bajo la curva y sobre el eje x es igual a 1.
La media aritmética esta situada en el eje x exactamente donde pasa el eje vertical de simetría.
En situaciones en las que es necesario hacer inferencias mediante la toma de muestras.
Se ajusta casi perfectamente a distribuciones reales de muchos fenómenos, como pesos, estaturas, IQ,
dimensiones, rendimientos, y otras variables empleadas en la Administración, Economía e Ingeniería.
Para comparar la dispersión de un dato con respecto a la media.
Para interpretar un valor en función de una distribución.
Para comparar dos valores en función de una media.
En un examen de Estadística Descriptiva, la calificación promedio fue de 7.2 con una desviación estándar de 1.5.
Calcule la proporción de estudiantes que obtuvieron una calificación:
a) mayor de 6.
b) mayor de 7.
c) menor de 5.
d) menor de 8.
e) entre 5.5 y 6.6.
f) entre 7.3 y 8.4.
g) entre 6.5 y 7.5.
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El peso medio de 500 estudiantes varones de cierta universidad es de 151 libras con una desviación estándar de
15 libras. Suponiendo que los pesos están distribuidos en forma normal, calcular cuantos estudiantes pesan:
a) entre 120 y 155 libras.
b) más de 185 libras.
c) menos de 180 libras.
d) entre 140 y 150 libras.
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“MENSA” es una asociación internacional de personas con alto coeficiente intelectual. Para pertenecer a ella, una
persona debe tener un coeficiente de 132 o mas alto. Si las calificaciones del coeficiente de inteligencia se
distribuyen normalmente con promedio de 100 y desviación estándar de 15, ¿Qué porcentaje de personas califica
para ser miembro de “MENSA”?.
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El numero promedio de clientes que tiene diariamente un Café – Web es de 45, con una desviación estándar de 9.
a) ¿A cuantos clientes es menor 15% de los días?
b) ¿A cuantos clientes es mayor 10% de los días?
El partido ABC hizo una campaña con el objeto de que aproximadamente el 60% de los electores de un estado
conocieran a su candidato. Suponiendo que el partido logro su objetivo, si después de la campaña se toma una
muestra aleatoria de 250 ejemplares, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) cuando mas 140 electores conozcan al candidato del partido ABC?
b) cuando menos 165 electores conozcan al candidato del partido ABC?
El número promedio de archivos que tiene un estudiante de Sistemas Computacionales en su PC es de 84 con una
desviación estándar de 12. ¿Cuál es la probabilidad de que un estudiante de esa carrera seleccionado al azar
tenga:
a) mas de 100 archivos?
b) menos de 40 archivos?
c) mas de 70 archivos?
d) menos de 90 archivos?
e) entre 50 y 70 archivos?
f) entre 80 y 95 archivos?
Una compañía refresquera hizo una campaña con el objeto de que aproximadamente el 70% de la población de una
región conociera su nuevo refresco. Suponiendo que la campaña cumplió su objetivo, si se seleccionan al azar
300 personas de esa región, ¿Cuál es la probabilidad de que:
a) cuando menos 220 personas conozcan el nuevo refresco?
b) cuando mas 190 personas conozcan el nuevo refresco?
El precio promedio de una determinada Lap – Top con características especificas en las tiendas de una ciudad es
de $22,500.00 con una desviación estándar de $625.00.
Calcule la probabilidad de que en una de esas tiendas dicha Lap – Top tenga un precio:
a) entre $21,500.00 y $22,100.00.
b) entre $22,300.00 y $23,150.00.
c) exactamente de $22,850.00.
¿Cuál es la probabilidad de que una calificación tomada al azar de una población normalmente distribuida con una
media de 66 y una desviación estándar de 8 sea:
a) mayor que 70?.
b) menor que 60?.
c) comprendida entre 60 y 70?.
d) alrededor de 70?.
e) igual o menor que 54 o mayor que 72?.
f) menor que 52 o comprendida entre 78 y 84?.
g) entre 56 y 64 o entre 80 y 86?.
h) entre 60 y 70 o entre 65 y 75.
El tiempo promedio que emplea una persona en leer el periódico es de 49 minutos con una desviación estándar de
16 minutos, y los tiempos se distribuyen en forma normal.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que un lector tarde cuando menos 1 hora en leer el periódico?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un lector no tarde mas de 30 minutos en leer el periódico?
c) ¿Cuál es el intervalo de tiempo de lectura en que el 10% de los lectores tardan mas leyendo el periódico?
El peso promedio de los frascos de café que envasa una maquina automática es de 510 gr. con una desviación
estándar de 18 gr.
1) ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco llenado por esa maquina pese menos de 475 gr?
2) ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco llenado por esa maquina pese menos de 523 gr?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que un frasco llenado por esa maquina pese entre 490 y 530 gr?
4) ¿El 40% de los frascos llenados por esa maquina pesan mas de cuantos gr?
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La edad promedio que tiene una persona al casarse por primera vez es de 26 años. Suponiendo que las edades en
el primer casamiento tienen una distribución normal con una desviación estándar de 4 años:
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez tenga menos de 23 años?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona que se casa por primera vez tenga entre 20 y 30 años?
c) El 90% de las personas que se casan por primera vez ¿A que edad lo hacen?
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El tiempo necesario para hacer un examen extraordinario de Estadística se distribuye normalmente con una media
de 80 minutos y una desviación estándar de 10 minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de terminar el examen en una hora o menos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que un alumno termine el examen en más de 60 min., pero menos de 75 min?
c) Suponga que en un grupo hay 40 alumnos. ¿Cuántos se espera que entreguen el examen después de 90
minutos de haberlo iniciado? (Redondee la respuesta al entero más cercano).
d) El 5% que entrega mas rápido el examen ¿En menos de que tiempo lo contesto?
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Una empresa tiene 14,625 empleados; la gerencia ordenó la aplicación de un test de motivación (el cual se califica
en escala de 0 a 60) a una muestra de 420 trabajadores seleccionados al azar. Los resultados obtenidos se
distribuyen normalmente con una media de 40 puntos y una desviación estándar de 3.5 puntos. En base a dichos
resultados, conteste las siguientes preguntas:
1) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador tenga un puntaje menor a 31?
2) ¿Qué probabilidad hay de que un trabajador tenga un puntaje entre 35 y 44?
3) ¿Cuál es la probabilidad de que un trabajador tenga un puntaje entre 45 y 50?
4) ¿Qué puntaje separa al 30% menor del 70% mayor?
5) Escriba el rango semi – intercuartilitico
Los sueldos de los trabajadores de una agencia aduanal se distribuyen en forma normal, con una media de $12,
500 y una desviación estándar de $2,400.
1. ¿Qué proporción de trabajadores ganan mas de $16,000?
2. ¿Qué proporción de trabajadores ganan entre $13,000 y $17,000?
3. ¿El 18% de los trabajadores gana menos de que sueldo?
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Los trabajadores de una fabrica de computadoras trabajan en promedio 45 hrs. extras al mes, con una desviación
estándar de 9 hrs. Si se selecciona al azar a un trabajador de esa fabrica, calcule la probabilidad de que:
1. trabaje más de 60 horas extras al mes.
2. trabaje más de 40 horas extras al mes.
3. trabaje entre 20 y 30 horas extras al mes.
4. trabaje entre 35 y 54 horas extras al mes.
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El número promedio de archivos que tiene guardados en su PC una muestra de alumnos de la Universidad es de
124 con una desviación estándar de 22.
¿Cuál es la probabilidad de que un alumno de esa Universidad tenga:
a) menos de 50 archivos en su PC?.
b) menos de 160 archivos en su PC?.
c) entre 130 y 160 archivos en su PC?.
d) entre 114 y 140 archivos en su PC?.
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La altura de 300 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 68 pulg. y desviación estándar de 3
pulg.
a) ¿a que altura es menor el 30% de los estudiantes?
b) ¿a que altura es mayor el 25% de los estudiantes?
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El número de mensajes por celular que reciben en promedio al mes los estudiantes de una Universidad es de 64,
con una desviación estándar de 9. Si el numero de mensajes recibidos se comporta en forma normal, determine la
probabilidad de que un alumno reciba:
a) entre 54 y 62 mensajes al mes.
b) el 18% de los estudiantes que menos mensajes reciben ¿Cuántos reciben como máximo al mes?
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El número promedio de archivos tipo MP3 que un alumno de Sistemas de Computo tiene en su PC es de 325, con
una desviación estándar de 42.
1. ¿Cual es la probabilidad de que un alumno tenga mas de 380 archivos MP3?
2. ¿Cual es la probabilidad de que un alumno tenga mas de 300 archivos MP3?.
3. ¿Cual es la probabilidad de que un alumno tenga entre 180 y 260 archivos MP3?.
4. ¿Cual es la probabilidad de que un alumno tenga entre 310 y 360 archivos MP3?.
5. El 5% de los alumnos con mayor numero de archivos, ¿Cual es el numero mínimo de archivos MP3 que
tienen?.
Según un censo efectuado en una ciudad, las empresas medianas tienen un promedio de 64 trabajadores, con una
desviación estándar de 12 trabajadores.
Si se selecciona al azar a alguna de las medianas empresas de esa ciudad, calcule la probabilidad de que tenga:
a) menos de 42 trabajadores.
b) menos de 75 trabajadores.
c) entre 58 y 68 trabajadores.
d) entre 73 y 85 trabajadores.
e) el 20% de las empresas más pequeñas, ¿tienen menos de cuantos trabajadores?
Una estación de radio con programación de rock & roll, que según encuestas recientes ha descubierto que el
tiempo promedio que una persona sintoniza la estación es de 25 minutos con una desviación estándar de 5
minutos.
a) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona la sintonice menos de 18 minutos?
b) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona la sintonice mas de 22 minutos?
c) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona la sintonice entre 16 y 29 minutos?
d) ¿Cuál es la probabilidad de que una persona la sintonice entre 27 y 37 minutos?
e) Determine el intervalo del 70% más representativo de los tiempos de sintonización.
f) El 22% de las personas que menos tiempo la sintonizan, ¿cuál es el tiempo máximo que la sintonizan?
El examen de aptitudes para contratación de personal de una importante maquiladora consta de 25 preguntas, y
para cada una se dan 4 opciones para contestar.
1) Calcule la media y la desviación estándar de esta distribución.
Determine la probabilidad de que un aspirante a trabajador de dicha maquiladora (que no sabe nada) que
contestara todas al azar:
2) tenga 15 aciertos.
3) tenga un máximo de 24 aciertos.