03 Anexo de asesoría y retroalim de Mate

ÁREA DE MATEMÁTICAS
A continuación se da una breve explicación de los temas representativos que deberás estudiar en
tus Cuadernos de Actividades de Consolidación y Retroalimentación de Matemáticas I, II, III y IV.
Con esta explicación y los ejemplos desarrollados, estarás preparado para poder contestar las
preguntas de matemáticas tanto en tu Guía de Estudio como en tu Examen Global.
1.1 ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
Una expresión de la forma ax² + bx + c = 0 es una ecuación de segundo grado porque su mayor
exponente es 2 y su solución puede obtenerse mediante procesos algebraicos: factorización y
fórmula general. Una ecuación de segundo grado tiene como máximo dos soluciones reales.
En la ecuación de segundo grado ax² + bx + c = 0, las constantes a, b y c son valores numéricos
reales que pertenecen a la ecuación, el valor a es diferente de cero y corresponde al término
cuadrático (ax²), el valor b corresponde al término lineal (bx) y el valor c al término independiente.
SOLUCIÓN DE LA ECUACIÓN CUADRÁTICA APLICANDO LA FÓRMULA GENERAL
 b  b 2  4ac
es una fórmula universal que se aplica para encontrar la
2a
solución (x1 y x2) de una ecuación de segundo grado o cuadrática ax² + bx + c = 0.
La fórmula general x 
Para obtener la solución de una ecuación de segundo grado, se sustituyen los valores numéricos
a, b y c en la fórmula general y se realizan las operaciones correspondientes.
EJEMPLOS
1. Resolver la ecuación, x 2  6x  8  0
- Solución: Los coeficientes de la ecuación, son: a = 1 , b = 6 y c = 8
- Se sustituyen los valores de los coeficientes en la fórmula general y se realizan las operaciones
correspondientes para obtener el valor de las raíces o solución de la ecuación.
x
 ( 6)  ( 6) 2  4(1)(8)
2(1)
x
6  36  32
2
x
6 4
2
x
x1 
62
2

x1  4
x2 
62
2

x2  2
62
2
2. Resolver la ecuación, 3x 2  2x  1  0
- Solución: Los coeficientes de la ecuación, son: a = 3 , b = 2 y c = 1
- Se sustituyen los valores de los coeficientes en la fórmula general y se realizan las operaciones
correspondientes para obtener el valor de las raíces o solución de la ecuación.
x
 (2)  (2) 2  4(3)(1)
2(3)
x
 2  4  12
6
x
 2  16
6
x
x1 
2  4
6

x1 
x2 
2  4
6

x 2  1
1
3
2  4
6
1.2 TRIÁNGULOS OBLICUÁNGULOS: LEY DE SENOS Y COSENOS
Uno de los temas de Trigonometría es la solución de triángulos. En la solución de los triángulos
rectángulos se utilizan las funciones trigonométricas y el teorema de Pitágoras, en la solución de
los triángulos oblicuángulos se utilizan dos leyes: la ley de senos y la ley de cosenos.
En un triángulo cualquiera, sus medidas importantes son las longitudes de sus lados y las medidas
de sus ángulos. En su forma más general, el problema de resolver un triángulo consiste en
determinar las tres medidas desconocidas cuando se conocen tres. Los casos que puede
presentar la solución de un triángulo oblicuángulo, son los siguientes.
Caso 1. Cuando se conocen dos ángulos y un lado del triángulo.
Caso 2. Cuando se conocen dos lados y un ángulo del triángulo.
Caso 3. Cuando se conocen los tres lados del triángulo.
Para el caso 1 se aplica la ley de senos y para los casos 2 y 3 se aplica la ley de cosenos.
LEY DE SENOS
La ley de senos se utiliza cuando se conocen dos ángulos y uno de los lados opuestos a uno de
los ángulos conocidos. La ley dice que los lados de un triángulo oblicuángulo son proporcionales a
los senos de sus ángulos opuestos.
C
a
b
c
a
b


Sen A Sen B Sen C
A
B
c
LEY DE COSENOS
La ley de cosenos se utiliza cuando se conocen dos lados del triángulo y el ángulo que los forma;
también se utiliza cuando se conocen los tres lados del triángulo. La ley dice que en todo triángulo
oblicuángulo el coseno de un ángulo es igual a la suma de los cuadrados de los lados que forman
el ángulo, menos el cuadrado del lado opuesto todo dividido entre el doble producto de los lados
del ángulo.
a2 = b2 + c2 – 2bc Cos A  Cos A 
b2  c2  a2
2bc
CosB 
a2  c2  b2
2ac
b2 = a2 + c2 – 2ac Cos B 
a2  b2  c2
c = a + b – 2ab Cos C  CosC 
2ab
2
2
C
a
b
A
c
B
2
EJEMPLOS
1. Resolver el siguiente problema mediante la ley de senos.
Dos observadores situados a 2 Km de distancia el uno del otro sobre el mismo plano horizontal,
encuentran en el mismo instante que los ángulos de elevación de un avión son 62° y 48°
respectivamente. De acuerdo con esto, ¿cuál es la distancia que separa al avión de cada
observador en ese instante de la observación?
- Solución: Se obtiene el valor del 3er ángulo del triángulo: 62° + 48° + C = 180°  C = 70°
- Se aplica la ley de los senos para obtener la distancia a y b de los observadores.
a
b
2 km


Sen 62 sen 48 Sen 70
- Se realizan operaciones y se obtiene la distancia a.
a
2 km

Sen 62 Sen 70
a
2 km (Sen 62) 2 km (0.8829)

Sen 70
0.93969
 a = 1.88 km
- Se realizan operaciones y se obtiene la distancia b.
b
2 km

sen 48 Sen 70
b
2 km (Sen 48) 2 km (0.7431)

Sen 70
0.93969
 b = 1.58 km
Con los resultados obtenidos, se establece que la distancia que separa a cada observador con el
avión es de 1.58 y 1.88 km respectivamente.
2. Resolver el siguiente problema mediante la ley de cosenos.
Dos trenes parten de una estación a las 10:00 a.m., viajando a lo largo de vías rectas, a 120 y
150 km/hr, respectivamente. Si el ángulo entre sus direcciones de viaje es 118º, entonces ¿a
qué distancia están entre sí a las 10:40 a.m.?
- Solución: Se encuentra la distancia que ha recorrido cada tren. De las 10:00 a.m. a las 10:40
a.m. los trenes han recorrido 2/3 de hora (40 minutos).
km   2 

El tren que viaja a 120 km/hr, ha recorrido: 120
  hr   80 km
hr   3 

km   2 

El tren que viaja a 150 km/hr, ha recorrido: 150
  hr   100 km
hr   3 

- Se aplica la ley de los cosenos para obtener la distancia c entre los trenes.
c2 = (100 km)2 + (80 km)2 – 2(100 km)(80 km) Cos (118°)
- Se realizan operaciones y se obtiene la distancia c.
c2 = 10000 km2 + 6400 km2 – 16000 km2 (–0.46947)
c=
16400 km2  7511.52 km2
c=
23911.52km2
 c = 154.6 km
Con el resultado obtenido, se establece que la distancia entre los trenes es de 154.6 km a las
10:40 a.m.
3. Resolver el siguiente problema mediante la ley de cosenos.
Se tiene un círculo de 10 cm de radio y una cuerda que tiene 15 cm de longitud. De acuerdo con
esto, ¿cuál es la medida del ángulo en el centro del círculo, subtendido por la cuerda?
- Solución: Se aplica la ley de los cosenos para obtener el ángulo “C” del triángulo correspondiente
al centro del círculo subtendido por la cuerda.
Cos C 
(10 cm)2  (10 cm)2  (15 cm)2
2 (10 cm)(10 cm)
- Se realizan operaciones y se obtiene la distancia c.
Cos C 
100 cm2  100 cm2  225 cm2
200 cm2
Cos C  0.125
C  Cos1(0.125)  C = 97.18° ó 97°10’48”
Con el resultado obtenido, se establece que el ángulo en el centro del círculo subtendido por la
cuerda es de 97.18°
4. Resolver el siguiente problema mediante la ley de cosenos.
Tres circunferencias cuyos radios respectivos miden 20, 16 y 18 m, son tangentes exteriores
entre sí. De acuerdo con esto, ¿cuánto mide cada ángulo que se forma cuando se unen los
centros de las circunferencias?
16 m
20 m
C
A
18 m
C
A
17 m
19 m
18 m
B
B
- Solución: Se aplica la ley de los cosenos para obtener los ángulos A, B y C del triángulo formado
por los radios de las tres circunferencias.
Cos A 
(18 cm)2  (19 cm)2  (17 cm)2
 0.5789  A = Cos–1(0.5789)  A = 54.62° ó 54°37’12”
2 (18 cm)(19 cm)
Cos B 
(17 cm)2  (19 cm)2  (18 cm)2
 0.5046  B = Cos–1(0.5046)  B = 59.69° ó 59°41’24”
2 (17 cm)(19 cm)
Cos C 
(17 cm)2  (18 cm)2  (19 cm)2
 0.4117  C = Cos–1(0.4117)  C = 65.68° ó 65°40’48”
2 (17 cm)(18 cm)
Con los resultados obtenidos, se establece que los ángulos formados por los centros de las tres
circunferencias, miden 54.62°, 59.69° y 65.68° respectivamente.
1.2 SECCIONES CÓNICAS
Las circunferencias, parábolas, elipses e hipérbolas son curvas que se obtienen al cortar un cono
con un plano. La curva que se obtiene en cada corte depende de la inclinación del plano y a estas
curvas se les llaman secciones cónicas.
Las cónicas son curvas muy importantes, pues aparecen en muchos fenómenos: cuando se lanza
una pelota, ésta sigue una trayectoria parabólica al igual que cualquier proyectil en vuelo, un
cohete, una piedra o el atleta que salta a una altura determinada; los reflectores de los estudios de
televisión, los faros de un coche, los telescopios y algunas antenas tienen la forma de un plato
parabólico. Los planetas siguen una trayectoria elíptica en su viaje alrededor del Sol y la mayoría
de los cometas cruzan el sistema solar en órbitas hiperbólicas cuando solo podemos verlos una
vez; los cometas que regresan regularmente tienen órbitas elípticas.
Las curvas cónicas (circunferencia, parábola, elipse e hipérbola) son lugares geométricos que se
pueden representar en el plano cartesiano y están descritas por ecuaciones algebraicas
estandarizadas.
La circunferencia es el lugar geométrico del conjunto de puntos equidistantes a un punto fijo
llamado centro.
La parábola es el lugar geométrico del conjunto de puntos que equidistan de un punto fijo llamado
foco a una recta fija llamada directriz.
La elipse es el lugar geométrico del conjunto de puntos, tales que la suma de las distancias de
cada uno de ellos a dos puntos fijos llamados focos es constante.
La hipérbola es el lugar geométrico del conjunto de puntos, tales que la diferencia de las distancias
de cada uno de ellos a dos puntos fijos llamados focos es constante.
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES DE LAS CURVAS CÓNICAS
Cada curva tiene puntos y rectas notables que se utilizan para graficarlas en el plano cartesiano.
PARÁBOLA
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES
POSICIONES
Parábolas Horizontales
MF = MA  Condición de la parábola
D
V  Vértice
R
F  Focos
M
A
H
V
F
E.S.
P = VH = VF  Parámetro
P
LR = R Q = 4P  Lado recto
Q
D’
E.S.  Eje de simetría
Abre a la derecha
cuando el eje de
simetría es el eje X o paralelo a éste con
p > 0.
Abre a la izquierda
cuando el eje de
simetría es el eje X o paralelo a éste con
p < 0.
Parábolas Verticales
Abre hacia arriba
cuando el eje de
simetría es el eje Y o paralelo a éste con
p > 0.
Abre hacia abajo
cuando el eje de
simetría es el eje Y o paralelo a éste con
p < 0.
DD '  Directriz
ELIPSE
B
POSICIONES
Elipse horizontal
cuando el eje mayor es el
eje X o paralelo a éste.
P
N
V’
V
F’
N’
C
F
Elipse vertical
cuando el eje mayor es el eje Y
o paralelo a éste.
B’
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES
PF  PF '  V V '  Condición de la elipse
Puntos: C  Centro
,
V V’  Vértices
,
FF’  Focos
Ejes: BB '  Eje menor , V V '  Eje mayor , FF '  Eje focal
,
NN '  Lado Recto
Cuando los focos de la elipse son casi iguales a los vértices, entonces la curva es muy aplanada.
Cuando los focos de la elipse se acercan casi al centro, entonces la curva es casi circular.
Si los focos de una elipse se acercan exactamente al centro de la curva, entonces se obtiene una
circunferencia que tiene como puntos y rectas notables el centro C y radio r. De esto se establece
que la circunferencia es un caso especial de la elipse.
HIPÉRBOLA
POSICIONES
B
N
Hipérbola horizontal
cuando el eje real o
transverso es el eje X o paralelo a éste.
P
F’
V’
V
F
C
Hipérbola vertical
cuando el eje real o
transverso es el eje Y o paralelo a éste.
N’
B’
PUNTOS Y RECTAS NOTABLES
PF '  PF  V V '  Condición de la hipérbola
Puntos: C  Centro
V V’  Vértices
,
,
FF’  Focos
Ejes: BB '  Eje conjugado o imaginario , V V '  Eje real o transverso , FF '  Eje focal
NN '  Lado Recto
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA CIRCUNFERENCIA
A partir del concepto de una curva cónica, se establece algebraicamente la ecuación ordinaria
(reducida, estándar o canónica) de ésta, y por medio de procedimientos algebraicos se llega a la
ecuación en su forma general.
A partir del concepto de la circunferencia, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de
procedimientos algebraicos se llega a la forma de su ecuación general.
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Con centro en el origen del plano C(0,0)
Ordinaria:
x y
2
2
r
Con centro fuera del origen del plano C(h,k)
General:
2
x y F 0
2
2
Ordinaria:
x  h 
2
General:
 y  k   r
2
2
x  y  Dx  Ey  F  0
2
2
Cuando el centro de la curva es fuera del origen del plano, su ecuación se obtiene por medio de la
traslación de los ejes coordenados, de ésta forma se establecen las traslaciones h y k. Recuerda
que “r” es el radio de la curva.
La circunferencia tiene sus aplicaciones en Arquitectura e Ingeniería Civil, y para resolver los
problemas de aplicación de ésta curva se utilizan sus ecuaciones y sus puntos notables.
EJEMPLOS
1. Resolver el siguiente problema mediante la aplicación de los elementos de la circunferencia.
En un balneario particular se quiere construir una alberca circular aprovechando 3 alcantarillas
de desagüe, situadas en los puntos coordenados A(0,0) ; B(1,–1) y C(–3,1). Se quiere que la
circunferencia que rodea la alberca, pase por estas tres alcantarillas; para que se cumpla esta
condición, ¿cuál debe ser el centro y el radio de la alberca circular?
Solución:
- Se sustituyen las coordenadas de las alcantarillas en la ecuación general de la circunferencia y
se forma un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
P(x,y)
A(0,0)
(0)2
B(1,–1)
(1)2
C(–3,1)
(–3)2
Sistema
+
(0)2
+
(–1)2
+ D(1) + E(–1) + F = 0
D – E + F = –2
(1)2
+ D(–3) + E(1) + F = 0
–3D + E + F = –10
+
+ D(0) + E(0) + F = 0
F=0
- Del sistema obtenido, se establece que F = 0 y este valor se sustituye en la segunda y tercera
ecuación, quedando un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se resuelve por
suma.
 D  E  2

 3D  E   10
–2D
= –12

6 – E = –2

E=8
D=6
- Una vez que se tienen los valores de D, E y F, éstos se sustituyen en la ecuación general de la
circunferencia y dicha ecuación se transforma a su forma ordinaria.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y2 + 6x + 8y = 0
x2 + 6x + y2 + 8y = 0
x2 + 6x + 9 + y2 + 8y + 16 = 9 + 16
(x + 3)2 + (y + 4)2 = 25
De la ecuación ordinaria, se establece que el centro C(h,k) y el radio “r” de la alberca, son C(–3,–4)
y r =5
2. Resolver el siguiente problema mediante la aplicación de los elementos de la circunferencia.
En una casa particular se va a construir un chapoteadero circular aprovechando 3 alcantarillas
de desagüe, situadas en los puntos coordenados A(0,0) ; B(6,2) y C(2,–2). Se quiere que la
circunferencia que rodee el chapoteadero, pase por las tres alcantarillas; de acuerdo con esto,
¿cuáles deben ser las coordenadas del centro y la medida del radio del chapoteadero?
Solución:
- Se sustituyen las coordenadas de las alcantarillas en la ecuación general de la circunferencia y
se forma un sistema de ecuaciones lineales con tres incógnitas.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
P(x,y)
A(0,0)
(0)2
B(6,2)
(6)2
C(2,–2)
(2)2
+
(0)2
+ D(0) + E(0) + F = 0
+
(2)2
+ D(6) + E(2) + F = 0
+
(–2)2
+ D(2) + E(–2) + F = 0
Sistema
F=0
6D + 2E + F = –40
2D – 2E + F = –8
- Del sistema obtenido, se establece que F = 0 y este valor se sustituye en la segunda y tercera
ecuación, quedando un sistema de ecuaciones lineales con dos incógnitas que se resuelve por
suma.
6D  2E  40

 2D  2E   8
8D
= –48
2(–6) – 2E = –8

D = –6

E = –2
- Una vez que se tienen los valores de D, E y F, éstos se sustituyen en la ecuación general de la
circunferencia y dicha ecuación se transforma a su forma ordinaria.
x2 + y2 + Dx + Ey + F = 0
x2 + y2 – 6x – 2y = 0
x2 – 6x + y2 – 2y = 0
x2 – 6x + 9 + y2 – 2y + 1 = 9 + 1
(x – 3)2 + (y – 1)2 = 10
De la ecuación ordinaria, se establece que el centro C(h,k) y el radio “r” del chapoteadero, son
C(3,1) y r = 10 ó 3.16
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA PARÁBOLA.
A partir del concepto de la parábola, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de
procedimientos algebraicos se llega a la forma de su ecuación general.
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Parábola Horizontal.
Con vértice en el origen
V(0,0)
Ordinaria:
y 2  4 px
Parábola Vertical.
Con vértice fuera del
origen V(h,k)
Ordinaria:
y  k 2
 4 p( x  h)
General:
General:
y  Dx  0
y  Dx  Ey  F  0
2
2
Con vértice en el origen
V(0,0)
Ordinaria:
Con vértice fuera del
origen V(h,k)
Ordinaria:
x 2  4 py
x  h2
General:
x 2  Ey  0
General:
x 2  Dx  Ey  F  0
 4 p(y  k )
La parábola tiene sus aplicaciones en Física, Astronomía, Ingeniería Civil y en las propiedades de
reflexión, y para resolver los problemas de aplicación de ésta curva se utilizan sus ecuaciones y
sus puntos notables.
EJEMPLOS
1. Resolver el siguiente problema mediante la aplicación de los elementos de la parábola.
Cada uno de los cables que sostienen el arco principal del puente Golden Gate forman la gráfica
de una parábola. Si las torres que lo sostienen están a 146 m arriba del punto medio del cable y
la distancia entre dicho punto y una de las torres es de 1260 m, entonces ¿cuál es la ecuación
descrita por uno de los cables?
Y
146 m
X
X’
0
1260 m
Y’
Solución:
- De la figura se observa que la parábola es vertical con vértice en el origen del plano y con
abertura hacia arriba, por lo tanto la ecuación a utilizar es x 2 = 4py.
- Uno de los puntos de un cable es P(1260,146) que se sustituye en la ecuación: (1260)2 = 4p(146)
- Se despeja el parámetro “p” de la ecuación y se obtiene su valor: p 
(1260) 2
4(146)
 p
198450
73
- Se sustituye el valor de “p” en la ecuación establecida al principio de la solución del problema.
 198450 
x 2  4
y
 73 
- Se simplifica la expresión y se obtiene la ecuación ordinaria descrita por uno de los cables.
x2 
793800
y
73
- Se iguala la expresión a cero y se obtiene la ecuación general descrita por uno de los cables.
73x2 – 793800y = 0
2. Resolver el siguiente problema mediante la aplicación de los elementos de la parábola.
Un cable sostenido por dos torres eléctricas tiene forma parabólica y su punto medio se ubica a
20 m sobre la carretera. Si la altura de cada torre es de 50 m y la distancia entre ambas es de
300 m, entonces ¿cuál es la ecuación que describe la forma del cable?
Solución:
- De la figura se observa que la parábola es vertical con vértice V(0,20) y con abertura hacia
arriba, por lo tanto la ecuación a utilizar es (x – h)2 = 4p(y – k).
- Uno de los puntos del cable es P(150,50) el cual se sustituye en la ecuación junto con las
coordenadas del vértice: (150)2 = 4p(50 – 20)
- Se despeja el parámetro “p” de la ecuación y se obtiene su valor: p 
(150) 2
4(30 )
 p
375
2
- Se sustituye el valor de “p” y las coordenadas del vértice en la ecuación establecida al principio
de la solución del problema.
 375 
x 2  4
 ( y  20)
 2 
- Se simplifica la expresión y se obtiene la ecuación ordinaria descrita por la forma del cable.
x2  750 (y  20)
- Se iguala la expresión a cero y se obtiene la ecuación general descrita por la forma del cable.
x2 – 750y + 15000= 0
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA ELIPSE
A partir del concepto de la elipse, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de procedimientos
algebraicos se llega a la forma de su ecuación general.
ECUACIONES DE LA ELIPSE con Centro C(h,k)
Elipse Horizontal.
Elipse Vertical.
x  h  2  ( y  k ) 2
a2
b2
y  k  2  ( x  h) 2
 1 Ordinaria
a2
b2
 1 Ordinaria
Ecuación general para ambas curvas.
Ax  Cy  Dx  Ey  F  0 con A  C y con el mismo signo
2
2
Si el centro de la curva es el origen del plano, entonces h = 0 y k = 0.
En la Elipse se presentan 3 parámetros que tienen relación:
a = longitud del semieje mayor (distancia del centro de la curva a uno de sus vértices)
c = distancia del centro de la curva a uno de sus focos.
b = longitud del semieje menor.
Con la relación de los tres parámetros, se establece la relación pitagórica en la elipse: a2 = b2 + c2
La elipse tiene sus aplicaciones en Astronomía, Ingeniería Civil y en el diseño de muebles, y para
resolver los problemas de aplicación de ésta curva se utilizan sus ecuaciones y sus puntos
notables.
EJEMPLOS
1. Resolver el siguiente problema mediante la aplicación de los elementos de la elipse.
Se necesita hacer un túnel en una montaña por donde debe pasar una carretera, el arco para
dicho túnel debe tener forma semielíptica, con el eje mayor horizontal de 44 m y la parte más
alta de 20 m por encima de la carretera. De acuerdo con esto; ¿cuál es la ecuación ordinaria de
la elipse que describe la forma del túnel y cuál es la altura que libra el arco a 9 m del centro de la
carretera?
Y
20 m
X’
0
9m
Y’
44 m
h
X
Solución:
- De la figura se observa que la elipse es horizontal con centro en el origen del plano, por lo tanto
x2 y2
la ecuación a utilizar es 2  2  1 , ya que h y k valen cero.
a
b
- A partir de la figura se establece que a = 22 y b = 20.
- Se sustituye el valor de a y b en la ecuación a utilizar y se obtiene la ecuación ordinaria de la
y2
x2
y2
x2
elipse que describe la forma del túnel:



1

1
484 400
(22) 2 (20) 2
- A partir de la figura se establece que un punto en el túnel es P(9,h). Este punto se sustituye en la
ecuación ordinaria y se obtiene la altura h que libra el arco a 9 m del centro de la carretera:
(9 ) 2
h2
81 


 1 . Despejando a h, se tiene h  400 1 

484 400
484 

 h  18.25 m
2. Resuelve el siguiente problema apoyándote en los elementos de la elipse.
Se debe hacer un canal cuya sección transversal debe tener forma semielíptica con un ancho en
la parte superior de 10 m y un claro (máxima profundidad del canal) de 4 m. De acuerdo con
esto, ¿cuál es la ecuación ordinaria de la elipse que describe la sección del canal y cuál es la
profundidad del arco en los puntos situados a 3 m del centro?
Y
10 m
3m
X’
X
p
4m
Y’
Solución:
- De la figura se observa que la elipse es horizontal con centro en el origen del plano, por lo tanto
x2 y2
la ecuación a utilizar es 2  2  1
a
b
- A partir de la figura se establece que a = 5 y b = 4.
- Se sustituye el valor de a y b en la ecuación a utilizar y se obtiene la ecuación ordinaria de la
x 2 y2
elipse que describe la sección del canal:

1
25 16
- A partir de la figura se establece que un punto en el arco del canal es P(3,p). Este punto se
sustituye en la ecuación ordinaria y se obtiene la propfundidad p del arco del canal a 3 m de su
centro:
(3)2 p2
9 


 1. Despejando a p, se tiene p  16 1 

25 16
25 

 h = 3.2 m
FORMAS DE LA ECUACIÓN DE LA HIPÉRBOLA
A partir del concepto de la hipérbola, se deduce su ecuación ordinaria y por medio de
procedimientos algebraicos se llega a la forma de su ecuación general.
ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA con Centro C(h,k)
Hipérbola Horizontal.
x  h  2  ( y  k ) 2
a2
b2
Hipérbola Vertical.
y  k  2  ( x  h) 2
 1 Ordinaria
a2
b2
 1 Ordinaria
Ecuación general para ambas curvas.
Ax  Cy  Dx  Ey  F  0 donde A y C son de signo contrario
2
2
Si el centro de la curva es el origen del plano, entonces h = 0 y k = 0.
En la hipérbola se presentan 3 parámetros que tienen relación:
a = longitud del semieje real o transverso (distancia del centro de la curva a uno de sus vértices)
c = distancia del centro de la curva a uno de sus focos.
b = longitud del semieje conjugado o imaginario.
Con la relación de los tres parámetros, se establece la relación pitagórica en la hipérbola: c2 = a2 + b2
La hipérbola tiene sus aplicaciones en Física, Astronomía, Navegación y Geofísica, y para resolver
los problemas de aplicación de ésta curva se utilizan sus ecuaciones y sus puntos notables.
EJEMPLOS
1. Resolver el siguiente problema mediante la aplicación de los elementos de la hipérbola.
Un cometa recorre una trayectoria hiperbólica con el Sol ubicado en uno de sus focos; si la
trayectoria de dicho astro está descrita por la ecuación 40x 2  81y2  3240 = 0, entonces ¿cuál
es la distancia más cercana en unidades astronómicas (U.A.) entre el cometa y el Sol?
Y
C
a
S
X’
X
0
c
Y’
Solución:
- La ecuación general de la hipérbola se convierte a su forma ordinaria trasponiendo el término
constante al segundo miembro y dividiendo la igualdad entre dicho término constante.
40x2  81y2  3240 = 0
40 x 2 81y 2
3240


3240 3240 3240


x2 y2

1
81 40
- De la ecuación ordinaria se establece que: a2 = 81, b2 = 40 y a = 9.
- El valor del parámetro “c” se obtiene con la condición de los parámetros.
c 2  a2  b2
c 2  81  40

 c = 11
- La distancia más cercana entre el cometa y el Sol es la distancia existente entre el vértice y el
foco de la curva, la cual se obtiene con la siguiente expresión:
 Dmin  2
D min  c  a  11  9
Del resultado obtenido, se establece que la distancia más cercana entre el cometa y el Sol es de
2 U.A. (unidades astronómicas).
2. Resuelve el siguiente problema apoyándote en los elementos de la hipérbola.
En un observatorio se ha analizado que la órbita o trayectoria de un cometa está descrita por la
ecuación x2 – y2 + 2x – 4y – 7 = 0. Si el Sol está ubicado en uno de los focos de la curva
hiperbólica, entonces ¿cuál es la distancia más cercana en unidades astronómicas entre el
cometa y el Sol?
Y
C
X’
X
0
a
S
c
Y’
Solución:
- La ecuación general de la hipérbola se convierte a su forma ordinaria mediante procesos
algebraicos.
x2 – y2 + 2x – 4y – 7 = 0
x2 + 2x – y2 – 4y = 7
x2 + 2x + 1 – (y2 + 4y + 4) = 7 + 1 – 4
(x + 1)2 – (y + 2)2 = 4
( x  1) 2 ( y  2) 2

1
4
4
- De la ecuación ordinaria se establece que: a2 = 4, b2 = 4 y a = 2.
- El valor del parámetro “c” se obtiene con la condición de los parámetros.
c 2  a2  b2

c2  4  4

c 8
- La distancia más cercana entre el cometa y el Sol es la distancia existente entre el vértice y el
foco de la curva, la cual se obtiene con la siguiente expresión:
D min  c  a  8  2  D min  0.83
Del resultado obtenido, se establece que la distancia más cercana entre el cometa y el Sol es de
0.83 U.A. (unidades astronómicas) aproximadamente.
FORMULARIO
A continuación se muestran las fórmulas que se utilizaron en el desarrollo de los ejemplos
desarrollados en este documento.
* Ecuación cuadrática: ax ²  bx  c  0
Ley de Senos
Solución: x 
 b  b ²  4ac
2a
Ley de Cosenos
a
b
c


Sen A Sen B Sen C
Triángulo oblicuángulo
Cos A 
b c a
2bc
CosB 
a2  c2  b2
2ac
2
2
2
C
a
b
A
a2  b2  c2
CosC 
2ab
B
c
ECUACIONES DE LA CIRCUNFERENCIA
Con centro en el origen del plano C(0,0)
Ordinaria:
General:
x2  y2  r 2
x2  y2  F  0
Con centro fuera del origen del plano C(h,k)
Ordinaria:
x  h 
2
General:
 y  k   r
2
2
x 2  y 2  Dx  Ey  F  0
ECUACIONES DE LA PARÁBOLA
Parábola Horizontal.
Con vértice en el origen
V(0,0)
Ordinaria:
y 2  4 px
Parábola Vertical.
Con vértice fuera del
origen V(h,k)
Ordinaria:
y  k 2
 4 p( x  h)
General:
General:
y  Dx  0
y  Dx  Ey  F  0
2
2
Con vértice en el origen
V(0,0)
Ordinaria:
Con vértice fuera del
origen V(h,k)
Ordinaria:
x 2  4 py
x  h2
General:
x 2  Ey  0
General:
x 2  Dx  Ey  F  0
 4 p(y  k )
ECUACIONES DE LA ELIPSE con Centro C(h,k)
Elipse Horizontal.
Elipse Vertical.
x  h  2  ( y  k ) 2
a2
 1 Ordinaria
b2
y  k  2  ( x  h) 2
a2
b2
 1 Ordinaria
Ecuación general para ambas curvas.
Ax  Cy  Dx  Ey  F  0 con A  C y con el mismo signo
2
2
ECUACIONES DE LA HIPÉRBOLA con Centro C(h,k)
Hipérbola Horizontal.
x  h  2  ( y  k ) 2
a2
b2
Hipérbola Vertical.
 1 Ordinaria
y  k  2  ( x  h) 2
a2
b2
 1 Ordinaria
Ecuación general para ambas curvas.
Ax 2  Cy 2  Dx  Ey  F  0 donde A y C son de signo contrario