Conceptos:  

DEPARTAMENTO DIDÁCTICO DE MATEMÁTICAS
ACTIVIDADES DE AULA
GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.
Actividad nº: 14
Nivel: 1er ciclo.
Tema: Cuadriláteros.
Objetivos: O112-O116
Metodología: Aula, Individual.
Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____
Nociones elementales sobre cuadriláteros y sus elementos.
Conceptos:
 Cuadrilátero: polígono de cuatro lados, de donde tendrá siempre d 
4  4  3
2
diagonales.
 Un cuadrilátero siempre se puede descomponer en dos triángulos, uniendo
dos vértices opuestos.
 La suma de todos sus ángulos internos es 2  180   360  , dado lo anterior.
 Clasificación:
 Por paralelismo de sus lados:
 Paralelogramo: tiene dos pares de lados paralelos e iguales dos a dos, a su
vez se dividen en:
 Rectángulos: tienen los cuatro ángulos iguales de 90o, y los lados iguales dos a dos.
 Rombos: tienen los cuatro lados iguales, y los ángulos iguales dos a
dos.
 Romboide: no tienen ninguna propiedad específica.
 Cuadrado: es un rectángulo y un rombo a la vez. Es el cuadrilátero
regular. Tiene los cuatro lados y los cuatro ángulos iguales.
 La cometa: es un tipo especial de romboide, ya que tiene sus diagonales perpendiculares entre sí.
 Trapecio: son los cuadriláteros con dos lados paralelos, a su vez se dividen
en:
 Trapecio rectángulo: tiene dos ángulos rectos.
 Trapecio isósceles: tiene dos lados no paralelos iguales y los ángulos
iguales dos a dos. Los ángulos no iguales entre sí son suplementarios.
 Trapecio escaleno: no tiene ninguna propiedad específica.
 Trapezoide: no tienen ningún par de lados paralelos.
 Propiedades de los paralelogramos:
 Los ángulos opuestos son siempre iguales.
 Los lados opuestos son siempre iguales y paralelos.
 Las diagonales se cortan siempre en su punto medio.
 Los ángulos adyacentes o contiguos son suplementarios.
 Las diagonales de un rectángulo son iguales.
 Las diagonales de un rombo son perpendiculares.
 Las diagonales de un romboide son oblicuas y desiguales.
Adaptaciones nivel 2
Página.- i
acti14-Cuadriláteros
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Rectángulo
Trapecio isósceles
Cuadrado
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Rombo
Trapezoide
Romboide
Trapecio rectángulo
Trapecio escaleno
 Área de un rectángulo: siendo a el largo y b el ancho, el área será S  a  b .
 Área de un paralelogramo en general: siendo a
el lado base y h la altura trazada desde uno
cualquiera de los vértices opuestos al lado de la
h
base, S  a  h
R
o
 Área del trapecio: si llamamos D a la base
m
mayor, d a la base menor, h a la altura entre las
b
A
B
C
D
E
Dd
o
 h , ver la figura.
bases, el área será S 
2
 El área del rectángulo AAEE es doble
h
que la del trapecio, es la del trapecio mas
los triángulos AA' B y CD' D , y el cuadraE’
A’
B’
D’
do DD' E' E que configuran otro trapecio
1
igual al primero. Luego el área del trapecio será S   A' E'  AA ' , como
2
AA'  BB'  h , y A' E'  A' D'  D' E' , siendo D' E'  BC la base menor y
1
A' D' es la base mayor, entonces S   D  d   h , c.q.d.
2
 Área del rombo: si llamamos D a la diagonal mayor y d a la
B
Dd
diagonal menor, el área del rombo será S 
, ver figura.
2
 El área del rombo es el cuádruplo del área del triángulo
D
OA  OB
A
O
rectángulo AOB , la cual vale S 
, como
2
d
D
OA  , y OB  , nos queda por fín que el área del
2
2
D d

Dd Dd
d
rombo será S  4  2 2  4 

2
8
2
 Área de una figura en general: siempre que se trate de figuras limitadas por poligonales, podemos descomponer la misma en triángulos, rectángulos, cuadrados,

Adaptaciones nivel 2
Página.- ii

acti14-Cuadriláteros
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ACTIVIDADES DE AULA
trapecios y rombos, es decir, podemos medir su área a partir de las áreas de las
figuras más sencillas en que la descompongamos.
 Área de un polígono regular: para un pentágono podemos dividir
éste en cinco triángulos formados por los radios del mismo. Los
triángulos son todos isósceles e iguales, si a es la apotema del polígola pa

no, su área será S  5 
, donde l es el lado del polígono y
2
2
p es el perímetro del mismo.
la pa

 Para un polígono regular de n-lados, sería S  n 
, es decir, nos
2
2
quedaría lo mismo.
Actividades de aplicación.
P1.- Un rectángulo tiene un área de 18 m2 y el largo mide 6 m. Calcula la longitud de
sus diagonales.
P2.- La diagonal de un cuadrado mide
8 cm. Calcula su área.
P3.- El largo de un rectángulo es doble que su ancho. Su diagonal mide 12 m. Calcula
los lados y el área del mismo.
P4.- Busca las dimensiones de tres rectángulos que tengan igual área que un cuadrado
de 6 m de lado.
P5.- Tenemos un paralelogramo, un triángulo y un trapecio tales que sus respectivas
bases y alturas son iguales. Calcular sus áreas siendo la base común 2,3 m, la
altura común 84 cm. y la base menor del trapecio 1 m.
P6.- Determinar el área de un rombo cuyas diagonales miden 4 y 12 m, respectivamente.
P7.- Hallar el área de un pentágono regular de 6,88 cm. de apotema y 10 cm. de lado.
P8.- Halar el área de un pentágono regular de 10 cm. de lado circunscrito a una circunferencia de 6,88 cm. de radio.
P9.- Alrededor de una manzana de casas, de forma cuadrada de 50 m de lado, se ha
construido una calle de 8 m de ancho. ¿Cuál es el área de la superficie asfaltada?.
P10.- Un rectángulo de de 4cm de ancho, está inscrito en una circunferencia de 9 m de
diámetro. Determinar el área de este rectángulo.
P11.- Tenemos un paralelogramo con uno de sus ángulos de 45o, siendo sus dimensiones lineales de 10 y 7 m. Calcular su área.
Adaptaciones nivel 2
Página.- iii
acti14-Cuadriláteros
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P12.- Uno de los ángulos de un trapecio isósceles mide 45o, y sus respectivas bases
miden 15 y 20 m. ¿Cuál será el área del mismo?.
P13.- Calcular el área de un triángulo equilátero cuyo lado es igual al de un cuadrado
de 225 cm2 de área.
P14.- Una de las diagonales de un rombo mide 20 m y su lado 15 m. Calcular su área.
P15.- Halla el área del siguiente polígono.
4 m.
5 m.
5 m.
4 m.
6 m.
8 m.
1 m.
6 m.
4 m.
3 m.
P16.- Calcular el área de un hexágono regular inscrito en una circunferencia de 10 m de
radio, y también el del hexágono regular circunscrito a la misma.
P17.- En un rectángulo de 20 m de largo y 10 m de ancho construimos un rombo uniendo los puntos medios de sus lados. Determinar las áreas del rectángulo y del
rombo.
P18.- ¿Cuántas baldosas cuadradas de 33 cm. de lado renecesitan para cubrir una
superficie rectangular de 12,1 m de largo por 5,7 m de ancho?.
P19.- El lado de un rombo mide 7,8 cm. y una de sus diagonales 10 cm. ¿Cuánto mide
la otra diagonal?. ¿Cuánto mide su área?.
P20.- En un trapecio rectángulo e, lado oblicuo mide 5 cm. y sus bases 9,4 y 6,4 cm.
respectivamente. Calcular el perímetro y el área.
P21.- Se quiere rodear con una red metálica de 1,5 m de alto un campo que tiene la
forma de un trapecio isósceles, cuyas bases miden 75 y 30 m y cuya altura mide
60 m. ¿Cuántos metros cuadrados de red metálica se necesitan?.
P22.- Calcula el área y el perímetro de la siguiente figura:
3 cm.
2 cm.
4 cm.
4 cm.
3 cm.
2 cm.
Adaptaciones nivel 2
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ACTIVIDADES DE AULA
GUIÓN DE ACTIVIDADES DE AULA EN MATEMÁTICAS.
Actividad nº: 15
Nivel: 1er ciclo.
Tema: Circunferencias y círculos.
Objetivos: O117-O124
Metodología: Aula, Individual.
Alumno: _____________________________________ Curso/Grupo: _____ Nº: ____
Nociones elementales sobre circunferencias y sus elementos.
Conceptos:
 Lugar geométrico: es el conjunto de los puntos del plano que gozan todos ellos de
una misma propiedad.
 Circunferencia: es una línea curva, cerrada y plana, cuyos puntos tienen la propiedad de equidistar de un punto O llamado centro. La distancia del centro a cualquier punto de la circunferencia se llama radio.
 Como lugar geométrico, es el lugar geométrico de los puntos del plano que
se encuentran a igual distancia de un punto fijo llamado centro. A la distancia
común se la denomina radio.
 Otros lugares geométricos de interés, aparte de las cónicas:
 Mediatriz: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
los extremos de un segmento.
 Bisectriz: es el lugar geométrico de los puntos del plano que equidistan de
los lados de un ángulo.
 Círculo: es la región del plano limitada por una circunferencia.
 Elementos notables de la
Circunferencia
Círculo
circunferencia y del círculo:
 Cuerda: es el segmento de recta que une dos
puntos cualesquiera de la circunferencia.
R, radio
 La mediatriz a toda cuerda pasa siempre
O, centro
R
por el centro de la circunferencia.
O
 La mediatriz a una cuerda es la bisectriz
del ángulo central que sustenta dicha
cuerda.
 Arco: es cada una de las partes en que queda
dividida la circunferencia por una cuerda.
 Se puede decir también que es el trozo de circunferencia comprendido entre
dos radios.
 Diámetro: es la cuerda que pasa por el centro de la circunferencia. Es la
cuerda más larga que se puede trazar en una circunferencia.
 Un diámetro divide a la circunferencia en dos arcos de igual tamaño, llamados semicircunferencias. Además divide al círculo en dos segmentos circulares iguales, llamados semicírculos.
 Radio: es el segmento de recta que une el centro con uno cualquiera de los
puntos de la circunferencia.
 Segmento circular: es cada una de las dos partes en que queda dividido el círculo por una cuerda.
Adaptaciones nivel 2
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acti15-Circunferencias
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






ACTIVIDADES DE AULA
Sector circular: es la parte del círculo comprendida entre dos radios y su arco
correspondiente.
Ángulo central: es el que está formado por dos radios y tiene su vértice en el
centro de la circunferencia.
Ángulo inscrito: es el que tiene su vértice en un punto cualquiera de la circunferencia y sus lados son cuerdas de la misma.
 Un ángulo inscrito vale la mitad que su correspondiente ángulo central, es
decir, que el ángulo central que abarca el mismo arco.
 Todo ángulo inscrito que soporte un diámetro, o que abarque una semicircunferencia, es un ángulo de 90o o recto.
Tangente: es una recta exterior a la circunferencia que toca a ésta en un solo
punto de la misma.
 El radio que une el centro de la circunferencia con la recta tangente a la
misma, es perpendicular a ésta en el punto de tangencia.
 El ángulo que forman dos rectas tangentes a una circunferencia trazadas
desde un punto común exterior a la misma, es suplementario del ángulo
central formado por los radios trazados a las tangentes en los respectivos
puntos de tangencia.
 La bisectriz del ángulo formado por dos rectas tangentes a una circunferencia, trazadas desde un punto común exterior a la misma, pasa por el centro
de la circunferencia y divide a ésta en dos semicircunferencias, y al círculo
correspondiente en dos semicírculos.
Secante: es una recta que corta a la circunferencia en dos puntos de la misma.
Corona circular: es la superficie comprendida entre dos circunferencias concéntricas.
Trapecio circular: es la porción de corona circular limitada por dos radios.
Relación entre un ángulo inscrito a una circunferencia y el ángulo central correspondiente que abarca el mismo arco:
β
β
180-α
α
De la figura se desprende que α es el ángulo central que
abarca el mismo arco que el ángulo inscrito β, además de la
relación de los ángulos del triángulo isósceles representado,
en el cual se cumple que la suma de sus ángulos ha de ser
180o, de donde tenemos

    180    180  2        , es decir, el án2
gulo inscrito siempre es la mitad de su central correspondien-
te.
Valor del ángulo inscrito a una circunferencia y que abarca un diámetro.
El ángulo inscrito es el ángulo      .
Los triángulos AOC y AOB son ambos isósceles, ya que OA  OC  OB  R , siendo
R el radio de la circunferencia.
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acti15-Circunferencias
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ACTIVIDADES DE AULA
Del triángulo AOC se desprende que     180   180    2   .
Del triángulo AOB se desprende que
      180  2    2    180      90
.
Es decir δ y β son complementarios, suman
90o, en consecuencia, todo ángulo inscrito
A
β
180-φ
β
C
δ
φ
δ
a una circunferencia y que abarque
un diámetro es un ángulo recto, el
B
O
triángulo ABC es un triángulo rectángulo.
Arco
Arco
Segmento circular
Cuerda
Ángulo inscrito
Ángulo central
Diámetro
Ángulo central
Segmento circular
Sector circular
Radio
Secante
Tangente
90o
φ
β
90o
Trapecio circular
Corona circular
 Longitud de la circunferencia: Lc  2    R , siendo R el radio de la misma.
 Longitud de un arco en función del ángulo central que lo abarca: como la longitud de toda la circunferencia sería la de un arco sostenido por un ángulo central de
360o, se trataría de resolver una regla de tres simple, si ha un ángulo central de 360o
le corresponde una longitud de arco de 2R , a un ángulo central de  le corres2R
R
  
 
ponderá Larc, o sea, L arc 
360 
180 
Adaptaciones nivel 2
Página.- iii
acti15-Circunferencias
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ACTIVIDADES DE AULA
 Área del círculo: S    R , siendo R el radio de la circunferencia que lo envuelve.
 Considerando la circunferencia como un polígono de infinitos lados, el área
2    R  R
 R2
del mismo sería S 
2
 Área del sector circular: al igual que con la longitud de un arco, se trata de resolver una regla de tres simple, si consideramos el círculo completo como un sector de
ángulo central de 360o, tendremos que a 360o le corresponden   R 2 unidades de
superficie, luego a un sector de ángulo central  , le corresponderán Ssec, de donde
2
  R2
 
360
 Área del segmento circular: pueden darse dos casos:
 Si el ángulo φ es menor de 180o, en ese caso el área sería la del sector A
correspondiente menos la del triángulo formado por los radios y la
c
cuerda que lo sustenta, así, si h es la altura correspondiente a la
R
cuerda trazada desde el centro y c la longitud de la cuerda,
quedaría Ssec 
h

c h  R2
ch
Sseg  Ssec 

  
R
O
2
360
2
Si el ángulo φ es mayor que 180o, en este caso sería la del sector correspon-
c h  R2
ch

  
2
360
2
 Área de la corona circular: sería la diferencia entre el área de la circunferencia
diente más la del triángulo, Sseg  Ssec 


2
2
mayor menos la de la menor, así Scor    R  r , donde R es el radio de la
circunferencia mayor y r el correspondiente de la menor.
 Área del trapecio circular: si φ es el ángulo central correspondiente al trapecio,
entonces Strap


  R2  r2

 
360
Actividades de aplicación.
P1.- ¿Cuál es la longitud de un arco correspondiente a un radián si ha sido trazado con
radio de 12 cm.?.
P2.- Calcular el valor del ángulo inscrito en una circunferencia si abarca un arco de
36o 24′.
P3.- Calcular el ángulo inscrito en una circunferencia cuyo arco equivale a un recto.
P4.- Calcular el valor del arco correspondiente a un ángulo de 45o 51′ 38″ inscrito en
una circunferencia.
Adaptaciones nivel 2
Página.- iv
acti15-Circunferencias
B
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ACTIVIDADES DE AULA
P5.- Calcular el área de la corona circular cuyo radio menor mide 1 dm y el mayor
13,5 cm.
P6.- Calcular el área del sector circular de 25o de amplitud y radio 15 cm.
P7.- Calcular el perímetro del sector circular anterior.
P8.- Calcular el área del círculo inscrito en un triángulo equilátero de 12 cm. de lado.
P9.- ¿Cuál es la razón entre las áreas de los círculos inscrito y circunscrito a un triángulo equilátero de lado L?.
P10.- Calcular el área de un círculo delimitado por una circunferencia de 143,8 dm.
P11.- Calcular el área de un sector circular de amplitud 60o en un círculo de 10 m de
radio. Calcular también el área del segmento circular correspondiente.
P12.- Calcular el área de una corona circular limitada por dos circunferencias de radios
10 y 20 m. Determinar el área del trapecio en esta corona circular cuya amplitud
sea de 300o.
P13.- Determinar el área de un sector circular de 20o de amplitud correspondiente a un
círculo de 60 m de radio.
P14.- Hallar el área de la corona circular delimitada por las circunferencias inscrita y
circunscrita a un hexágono regular de 20 m de lado.
P15.- Una corona circular está limitada por dos circunferencias de radios 10 y 15 m,
respectivamente. Determinar el área del trapecio circular de esta corona, cuya
amplitud es de 250o.
P16.- Calcular la superficie de césped del siguiente jardín:
10 m
100 m
10 m
6 cm.
200 m
P17.- Calcular el área del siguiente trapecio:
P18.- Un trapecio isósceles está inscrito en una semicircunferencia de radio 25 cm. y su lado oblicuo mide 30 cm.
Calcular el perímetro y el área del mismo.
Adaptaciones nivel 2
Página.- v
5 cm.
acti15-Circunferencias