Física 2 (Físicos) - Cátedra Dr. Depine - 1er. Cuatrimestre... Serie 3 - Oscilaciones en sistemas continuos limitados en...

Física 2 (Físicos) - Cátedra Dr. Depine - 1er. Cuatrimestre 2005
Serie 3 - Oscilaciones en sistemas continuos limitados en el espacio
A. Ecuación de las ondas - condiciones de contorno - modos normales
1. a) Verifique si las siguientes expresiones matemáticas cumplen la ecuación de las ondas
unidimensional. Grafique las funciones dadas.
i) y(y,t) = y0 e-(y-vt)
ii) y(x,t)= (x + vt)
iii) y(x,t)= y0sin[k(x - vt)]
iv) y(x,t)= y0sin2(kx - t)
v) y(x,t)= y0cos(kx) sin(t)
2
b) En aquellas expresiones que satisfacen lo requerido en a), indique si no existe contradicción con
la afirmación de que una onda es siempre función de (x vt).
2. Se tiene una cuerda de longitud L y densidad lineal de masa  sometida a una tensión T0.
Proponga como solución de la ecuación de ondas para un modo normal a la expresión:
 ( x, t )  A sin ( k x   ) cos( t  )
Tome el sistema de coordenadas con x = 0 en un extremo de la cuerda y x = L en el otro. Encuentre
la forma particular que adopta la solución propuesta en los siguientes casos:
a) (0,t) = (L,t) = 0 (ambos extremos están fijos).
b) (0,t) = 0 y x (L,t) = 0 (un extremo está fijo y el otro está libre). ¿Imponer que un extremo
se encuentre "libre" es equivalente a no imponer condiciones de contorno sobre ese extremo?
¿Cómo lograría un extremo "libre" para la cuerda?
c) x(0,t) = 0 y x(L,t) = 0 (ambos extremos se encuentran libres). ¿A qué corresponde el
modo de frecuencia mínima? ¿Cuánto vale la frecuencia de oscilación de ese modo?
d) Ahora tome un sistema de coordenadas con x = 0 en el centro de la cuerda. Halle la forma que
adopta la solución general propuesta si (-L/2,t) = (L/2,t) = 0 (ambos extremos fijos).
3. Se tiene una cuerda de 20 cm de longitud y 5 g de masa, sometida a una tensión de 120 N, calcule
sus modos naturales de oscilación, supuesto que se halle adosada a una caja de resonancia, ¿son
todos audibles para el oído humano?
4. Las cuatro cuerdas de un violín emiten, estando libres, las notas sol2 (198/s); re3 (297/s); la3
(440/s) y mi4 (660/s). La primera es de aluminio (2.6 g/cm3 y diámetro d1 = 0.09 cm); las dos
siguientes son de otro material (1.2 g/cm3) y diámetros d2 = 0.12 cm y d3 = 0.1 cm, y la cuarta
es de acero (7.5 g/cm3) y diámetro d4 = 0.1 cm. Calcular las tensiones a las que deben estar
sometidas con respecto a la primera.
5. Una cuerda de violín de 30 cm de longitud, emite la nota La3 (440/s), en su modo fundamental.
Calcule las modificaciones que deben realizarse en la longitud para que dé las notas si 3 (495/s), do3
(528/s) y re3 (594/s), todas en su modo fundamental.
6. Se propaga una onda armónica plana en el aire, cuya frecuencia es  y cuya amplitud de
elongación es A; la onda viaja hacia x > 0. Se sabe que la presión atmosférica (media) es p0.
a) Escribir (x,t) (desplazamiento de las partículas), en la forma más general posible.
b) A partir de (x,t), hallar p(x,t) (presión en cada punto, tomando como referencia la
atmosférica). ¿Cuál es la diferencia de fase entre ellas? ¿Cuánto vale la amplitud de presión?
c) Hallar (x,t) (densidad). ¿Cuánto vale su amplitud?
d) Calcular las energías cinética y potencial instantáneas por unidad de volumen.

e) Hallar el valor medio temporal de dichas energías y el vector flujo de energía j .
f) Hallar el nivel de intensidad.
Datos: A, , vsonido, p0,  = Cp/Cv.
7. Se tiene un tubo de longitud L. Considere las siguientes posibilidades:
I) Está cerrado en ambos extremos, lleno de aire en su interior.
II) Tiene un extremo cerrado y el otro abierto.
III) Ambos extremos están abiertos.
Datos: velocidad de propagación de las ondas = vs, L, P0, 0 = P0 /vs2.
Hallar, para cada una de dichas situaciones:
a) las posibles longitudes de onda con las que puede vibrar el aire en el tubo, y sus correspondientes
frecuencias.
b) Elija un sistema de referencia conveniente, y escriba la expresión más general para el
desplazamiento de las partículas ((x,t)). En dicha expresión, ¿qué parámetros conoce? ¿De qué
dependen los parámetros que no conoce?
c) A partir de la expresión hallada en b), deducir la expresión de p(x,t) y (x,t).
8. a) ¿Qué longitud debe tener un tubo de órgano abierto en ambos extremos para que produzca en
el aire un sonido de 440 Hz?
b) ¿Qué longitud deberá tener un tubo de órgano cerrado en uno de sus extremos para que produzca
el mismo tono en su primer armónico?
9. Se tiene un tubo cerrado en uno de sus extremos; su longitud es menor que 1 m. Se acerca al
extremo abierto un diapasón que está vibrando con  = 440 Hz. Considere vs = 330 m/s.
a) Hallar las posibles longitudes del tubo para que haya resonancia. Para cada una de ellas, ¿en qué
modo está vibrando el aire contenido en el tubo?
b) Repetir a), si el tubo está abierto en ambos extremos.
10. Un tubo de 1 m de longitud está cerrado en su parte inferior. Un hilo extendido se coloca sobre
el lado abierto del tubo. El hilo tiene 30 cm de longitud y una masa de 0.01 kg. Fijado en dos
extremos, el hilo vibra en su modo fundamental excitando una resonancia en la columna de aire del
tubo. Lo hace vibrar en su frecuencia fundamental. Calcular:
a) la frecuencia de oscilación de la columna de aire.
b) la tensión del hilo.
B. Series de Fourier - Problemas con condiciones iniciales
11. Considere la función diente de sierra simétrica, entendiendo por tal a aquella función cuyos
bordes anterior y posterior tienen la misma inclinación.
f(z)
A
z
-A
Sitúe el origen del sistema de coordenadas (z = 0) en una de las crestas y demuestre que la función
tiene un desarrollo de Fourier de la forma:
f(z) = (8 A/ { cos(k1 z) + (1/9) cos(3 k1 z) + (1/25) cos(5 k1 z) + ... }
donde k1 = 2 (con : longitud entre crestas del diente de sierra) y A es la amplitud del diente de
sierra (2A es la diferencia entre los valores del máximo y del mínimo).
12. Obtenga el desarrollo en serie de Fourier de las siguientes funciones:
a)
b)
L

0 para 0  z  4
L


A para 0  z 

L
3L


2
F ( z )   A para  z 
G( z)  
4
4

0 para L  z  L

3L

2
0
para

z

L

4

13. Considere una cuerda de longitud L, de densidad de masa uniforme 0 sujeta en ambos extremos
y sometida a una tensión T0. En t = 0 la cuerda se suelta de modo que su forma está dada por la
siguiente función:
(x,0) = H(x) = sin(x/L) + (1/3) sin(3 x/L) + (1/5) sin(5 x/L)
(el sistema de coordenadas tiene x = 0 en un extremo de la soga, y x = L en el otro).
a) Halle x,t).
b) Grafique x,t) para 1 t = 0, /5, /3 y /2. ¿Qué clase de simetría tiene x,t) alrededor de 1 t
= /2? ¿y alrededor de ?. ¿Cómo espera que sea x,t) para 1 t = 2 ? (1 es la frecuencia
fundamental).
14. Considere una cuerda de longitud L, de densidad de masa uniforme 0, sujeta en ambos
extremos y sometida a una tensión T0. En t = 0 se la pone a vibrar aplicándole un golpe que, sin
provocarle ninguna deformación, le imprime una velocidad dada por la siguiente expresión (si
usamos el mismo sistema de coordenadas del problema anterior):
 (x,0) = P(x) = 4 sin(x/L) - 0.45 sin(3 x/L) + 0.16 sin(5 x/L).
a) Obtenga x,t).
b) Grafique la posición del centro de la cuerda para 1 t entre /2 y 2. ¿Corresponde a una
oscilación armónica?
15. Considere una cuerda de longitud L, de
densidad de masa uniforme 0, sometida a una
tensión T0, con un extremo fijo y el otro libre.
Se le da a la cuerda la forma mostrada en la
figura, y en t = 0 se la suelta.
a) Usando el sistema de coordenadas indicado
en la figura, halle x,t).
b) Graficar x,t) para 1 t = 0, /3 y /2.
c) Si tomara un sistema de coordenadas con el
origen en el extremo libre de la cuerda, diga
qué es lo que cambiaría. ¿Es conveniente ese
sistema?
16. Considere una cuerda de longitud L, siendo
T0 su tensión y su densidad lineal. Sea x,t)
la elongación de la cuerda.
(x,0)

L/4
L
x
(x,0)
V0
a) Escriba la expresión más general que
L/3
representa un modo normal en dicha cuerda, es
decir, la expresión más general de una onda
estacionaria.
b) Sabiendo que la cuerda tiene un extremo libre
y otro fijo, y que el sistema de coordenadas con - V 0
el que trabaja es tal que el extremo libre está en x
= 0 y el extremo fijo está en x = L, imponga las
condiciones de contorno y determine las constantes pertinentes.
c) Usando la relación de dispersión, obtenga las posibles frecuencias temporales n.
L
x
 ( x,0)  V0 cos 3  , siendo 0 x L, obtenga la amplitud y fase de cada
d) Si x,0) = 0 y 
2L


modo y halle x,t) .
17. Se tiene una cuerda de longitud L, siendo T0 su
tensión y  su densidad lineal, con ambos extremos
libres. En t = 0, la velocidad de todos los puntos de la
cuerda es nula, y la deformación es la que se muestra en
la figura.
(x,0)
A
L/4
L/4
L/4
L/4
x
Elija un sistema de coordenadas y halle x,t). Describa
cualitativamente el movimiento de los extremos de la
cuerda en función del tiempo. Dicho movimiento,
¿corresponde a oscilaciones armónicas?
-A
18. Se tiene un tubo de longitud L en ambos extremos
como se indica en la figura. El tubo presenta un tabique
ubicado en la mitad del tubo. De un lado del tabique hay
un gas que presenta una densidad 0 - , y del otro lado
hay un gas de densidad 0 + (considere0 ).
Todo el gas se encuentra en reposo. En t = 0 se quita el 0
tabique y se deja evolucionar al sistema.

0
0
L/2
L
x
a) Escriba la expresión para un modo normal n (x,t) en el tubo, imponiendo las condiciones de
contorno. ¿Cuáles son las longitudes de onda permitidas? ( es el desplazamiento de los elementos
del gas).
b) Escriba la expresión de (x,0) y de (x,0); y grafíquelas. Sugerencia: hallar (x,0) a partir de
(x,0), y usando las condiciones de contorno.
c) Usando las condiciones iniciales, halle (x,t). Calcule (x,t).
d) Halle (x,L/v) y (x,2L/v); compárelas con (x,0).
Datos: , , L, v = velocidad del sonido en el gas.
19. Se tiene un tubo dividido en dos regiones separadas por un tabique (ver figura). En una de ellas
se tiene una presión P = P0 + p (constante). La otra región está abierta a la atmósfera, teniendo
presión P0. En t = 0 se remueve el tabique. Hallar p(x,t), (x,t), (x,t).
L/3
P0 + p
2L/3
P0
Datos: P, p << P0, L, v = velocidad del sonido en el gas, .
P0