Coherencia, polarización e interferencia.

Coherencia, polarización e interferencia
La coherencia expresa una idea fundamental en óptica: la naturaleza estadística de las ondas
luminosas reales. Las ondas de luz son de modo inevitable y en mayor o menor medida, fluctuantes.
Esto es así porque la luz la generan los electrones libres o ligados en átomos y la dinámica aleatoria
de los átomos e iones en gases y de los electrones en sólidos se traslada irremediablemente a la luz
que generan.
Esta aleatoriedad tiene consecuencias fundamentales en prácticamente todos los campos de la óptica
en particular en polarización e interferencia. Polarización es la coherencia entre dos ondas
luminosas que vibran perpendicularmente y se mide mediante el grado de polarización. La
interferencia es la coherencia entre ondas que vibran en direcciones no ortogonales (usualmente en
la misma dirección) y se mide mediante la visibilidad o del grado de coherencia. De hecho, los
grados de polarización, coherencia y visibilidad están estrechamente relacionados puesto que el
grado de polarización entre dos componentes E1 , E2 es el máximo grado de coherencia y la
máxima visibilidad que se puede conseguir entre dos ondas que se obtengan de E1 y E2
conservando la energía total.
Hay al menos dos formas principales de entender la coherencia. La primera interpretación identifica
la coherencia con correlaciones entre campos eléctricos. De hecho el grado de coherencia usual es
en definitiva el grado de correlación entre dos campos eléctricos  E1E2*  donde se ha usado por
comodidad la representación compleja y los paréntesis agudos indican promedio sobre conjuntos o
realizaciones (es decir repetir muchas veces el experimento y promediar los resultados). La segunda
interpretación entiende la coherencia como la visibilidad de la interferencia donde las dos ondas en
cuestión se superponen.
Siguiendo la idea de que polarización e interferencia son dos manifestaciones particulares de
coherencia nuestro objetivo ha sido reunir ambas en un solo formalismo.
Es como si una misma variable pudiera almacenarse en dos ubicaciones distintas que son
polarización e interferencia, lo mismo que, por ejemplo, la energía puede repartirse en energía
potencial y cinética. Podemos decir grosso modo que interferencia y polarización pueden
convertirse una en otra.
Hay dos claves en el trabajo que hemos desarrollado en este tema: puridad y distancia. Formulamos
la cantidad de coherencia, visibilidad, polarización como distancias al estado de luz que carezca
completamente de esta propiedad. Utilizando una distancia sencilla como la de Hilbert-Schmidt tal
distancia encontramos invariablemente que es equivalente a la idea de puridad tal y como se maneja
en el dominio cuántico y que es en definitiva una medida de información. Para una matriz M
 
puridad equivale a la igualdad de trazas que tr M 2  trM 2 o, equivalentemente, a que M sólo


tiene un autovalor distinto de cero, M    , donde  es un vector columna complejo, o también
que grosso modo que la luz está sólo en un modo.
Hemos analizado la conversión mutua entre interferencia y polarización en el interferómetro de
Young. Hemos demostrado la existencia de una distribución periódica de coherencia en el plano
interferencial análoga a la más usual distribución periódica de la intensidad luminosa. Lo más
interesante es que la amplitud de modulación de la coherencia en el plano interferencial depende del
estado de polarización en las rendijas del interferómetro. Viceversa, el estado de polarización en el
plano interferencia depende de la coherencia entre rendijas.
Modulation of coherence of vectorial electromagnetic waves in the Young interferometer
A. Luis, Opt. Lett. 33, 1497-1499 (2008)
Puesto que interferencia y polarización pueden convertirse una en otra y son aspectos del mismo
fenómeno hemos abordado la medida de la cantidad de coherencia total de una o varias ondas. La
clave es incluir la contribución de la coherencia manifestada tanto en la interferencia como en
polarización.
Por fijar ideas podemos pensar en dos ondas, cada una con una amplitud compleha vectorial con
dos componentes. Eso hace que en el problema tengamos cuatro componentes, digamos E1 , E2 ,
E3 , y E4 , donde las dos primeras componentes E1 , E2 corresponden a la primera onda y las dos
segundas E3 , E4 a la otra onda, por ejemplo.
Si entendemos coherencia como correlaciones entre campos eléctricos, todas las correlaciones
posibles (en segundo orden en los campos eléctricos) están en los 16 coeficientes de correlación que
forman la matriz 4  4
  E 2   E E*   E E*   E E*  
1
1 2
1 3
1 4 

2


*
*
 E2 E1   E2   E2 E3   E2 E4*  
M 
.
  E E*   E E*   E 2   E E*  
3 1
3 2
3
3 4 

  E E*   E E*   E E*   E 2  
4 1
4 2
4 3
4


Es importante advertir que esta matriz contiene la coherencia debida a polarización (o coherencia
intra-onda podríamos decir) en las submatrices
  E 2   E E*  
1
1 2 

2 

*
  E2 E1   E2  
  E 2   E E*  
3
3 4 .

2 

*
  E4 E3   E4  
Los otros términos son los que representan la coherencia interferométrica (o por decirlo así
coherencia inter-onda).
Podemos medir la coherencia total como la distancia entre la matriz M y la matriz identidad I que
representa luz totalmente incoherente y despolarizada (independientemente del par de componentes
que elijamos),
1

0
I 
0

0

0
1
0
0
0
0
1
0
0

0
.
0

1 
Como una distancia entre matrices apropiada y sencilla podemos considerar la distancia HilbertSchmidt definiendo un grado de coherencia  de la forma
 
2
 1
1   tr M 2 1
M  I  
 ,
4   trM 2 4
 trM

  tr
donde el factor tr M se incluye para que el resultado no dependa de la intensidad luminosa. Pueden
reconocerse en estas fórmulas las dos ideas de distancia y puridad.
La clave de esta formulación es que todas las componentes E1 , E2 , E3 , y E4 juegan
absolutamente el mismo papel, con independencia de la onda a la que pertenezcan. Por ello el grado
de coherencia  contiene toda la coherencia incluida en las dos ondas, incluyendo tanto la que se
manifiesta en polarización como en interferencia.
Además, el grado de coherencia  también proporciona una cota superior a la visibilidad que se
puede conseguir con la interferencia de dos ondas construidas a partir de cualquier combinación de
las ondas originales que conserve la energía.
Degree of coherence for vectorial electromagnetic fields as the distance between correlation
matrices
A. Luis, J. Opt. Soc. Am. A 24, 1063-1068 (2007)
La misma idea de distancia entre la matriz de correlación y la matriz identidad, o puridad de la
matriz de correlación, la hemos aplicado para evaluar el grado de polarización de ondas
tridimensionales, es decir con tres componentes, obteniendo resultados que concuerdan con análisis
previos en términos de parámetros de Stokes generalizados.
Degree of polarization for three-dimensional fields as a distance between correlation matrices
A. Luis, Opt. Commun. 253, 10 (2005)
El caso de una distribución continua de ondas bidimensionales lo hemos abordado en otro trabajo.
En este caso hemos estudiado la coherencia global en la que participan los estados de polarización
de todas las ondas y las correlaciones entre todas ellas. Hemos encontrado expresiones
especialmente sencillas utilizando la función de Wigner tanto en el caso escalar como en el
vectorial. En ambos casos el grado global de coherencia  puede expresarse como proporcional a la
integral del cuadrado de la correspondiente función de Wigner W (z )
   dzW 2 ( z ) ,
donde z representa todos los argumentos de la function de Wigner function, que en el caso
vectorial incluye los grados de libertad de la polarización además de posición y dirección de
propagación. Esta fórmula reproduce las ideas de puridad en la integración del cuadrado y de
distancia puesto que para luz totalmente incoherente y despolarizada la función de Wigner tiende a
cero y  es la distancia de W (z ) a la función cero.
Overall degree of coherence for vectorial electromagnetic fields and the Wigner function
A. Luis, J. Opt. Soc. Am. A 24, 2070 (2007)
Hemos abordado también el problema de la coherencia entre dos ondas vectoriales desde el punto
de vista de la visibilidad interferométrica. Para ello hemos investigado la máxima visibilidad que se
puede conseguir en la interferencia entre dos ondas obtenidas a través de cualquier combinación de
las ondas originales que conserve la energía. El resultado es
  m
Vmax  M
M  m
donde M y m son los autovalores máximo y mínimo de la matriz de correlación M que hemos
detallado más arriba. La fórmula anterior para Vmax es la misma fórmula para el grado de
polarización de una onda con dos componentes, en cuyo caso la matriz M es 2  2 . Por lo tanto
Vmax es una generalización del grado de polarización a ondas multi-dimensionales.
Maximum visibility in interferometers illuminated by vectorial waves
A. Luis, Opt. Lett. 32, 2191-2193 (2007)
También hemos estudiado las relaciones mutuas entre coherencia, visibilidad, polarización, y
diferencia de fase para un número arbitrario N de componentes del campo electromagnético
E1,  EN . En principio puede parecer que considerar N componentes es un problema meramente
académico. Sin embargo se trata de una situación muy común en la práctica como ponen de
manifiesto las redes de difracción o la convivencia de muchos modos independientes en el interior
de una cavidad, por ejemplo. De acuerdo con la identificación interferencia y polarización discutida
con anterioridad podemos hablar con naturalidad de la polarización de ondas multidimensionales
para dimensiones arbitrarias.
Dentro de una teoría en segundo orden en los campos eléctricos toda la información estadística en el
problema viene dada por la matriz N  N de correlaciones con elementos de matriz
M i, j  Ei E *j  .
Un aspecto clave de este trabajo es la completa equivalencia entre óptica clásica y mecánica
cuántica si identificamos la matriz M con la matriz densidad  de un estado cuántico en un espacio
de Hilbert de dimensión N.

1
M.
trM
Esta equivalencia es interesante porque permite trasladar conceptos y resultados desde una teoría a
la otra, como relaciones de incertidumbre por ejemplo.
La visibilidad interferométrica para N ondas puede definirse en general como la distancia entre la
matriz M y la matriz diagonal D con las intensidades en la diagonal  E j
2
,



D



E1
2

0

0


2

 E2  
0
.




2 
0
  E N  

0
0
Esta sería la matriz M si todas las diferencias de fases entre componentes fuesen totalmente
aleatorias de forma que  Ei E*j  0 si i  j y no fuera posible ningún tipo de interferencia. La
distancia entre D y M viene a ser la cantidad de interferencia que contiene M. Una fórmula sencilla
para la distancia entre M y D es
2

2  tr 1 M  1 D   .
VM


trD  
 trM

Para el grado de polarización de la onda N-dimensional, o grado de coherencia global usamos la
generalización a dimensión N de la fórmula comentada más arriba para dimensión cuatro, es decir,
 1
1
P 2  tr
M
N
 trM

I

2
 
tr M 2
1

 ,
 trM 2 N
siendo I la identidad en dimensión N. En física cuántica P es también la pureza del estado y una
medida de la cantidad de información que contiene.
Hemos encontrado que estas cantidades entran en una clase de relación de incertidumbre para
sistemas de dimensión finita de la forma
2  C 2  P2
VM
,
donde C representa la estadística de cómo está repartida la intensidad luminosa entre las N
componentes
 
2
 1
1   tr D2
1
2

C  tr 
D I  

2
N   trD 
N
 trD


2  C 2  P2
La relación VM
es una clase de relación de incertidumbre cuántica para sistemas en
dimensión finita, como se discute en esta página web en el apartado de complementariedad.
También es un ejemplo de teorema de Pitágoras como se ilustra en la figura
2  C 2  P2
Clásicamente la relación VM
dice que para una coherencia dada P la máxima
visibilidad VM  P se obtiene cuando las intensidades de las N ondas son iguales, es decir C  0 .
Este es exactamente el mismo resultado que para dos ondas donde un requisito para máxima
visibilidad es la igualdad de las intensidades de las ondas que interfieren. Cuánticamente significa
que para que haya interferencia cualquier camino para el fotón ha de ser igualmente probable, es
decir nula información del camino seguido.
Es posible derivar relaciones análogas a la anterior de la forma
V2  C 2  P 2 ,
donde V2 es la distancia entre la distribución de fase I ( ) y la distribución uniforme 1 /(2 ) ,
1 

V2   d  I ( ) 
2 


2
,
I ( )   expi j  k    E j Ek*  .
j,k
En el dominio clásico I ( ) es la distribución de intensidad en campo lejano producido por una red
de difracción de N rendijas siendo  la diferencia de fase entre dos rendijas consecutivas. En este
contexto V representa la visibilidad de la interferencia medida como se especifica en otro apartado
de esta página web. En el dominio cuántico I ( ) es la distribución de fase en un espacio de
dimensión finita, siendo V una medida de la incertidumbre en fase del tipo de entropía de Renyi.
La cadena de desigualdades V  VM  P tiene una interpretación clara. La visibilidad máxima
que puede obtenerse en un montaje interferencial depende del número de grados de libertad de que
se disponga. En el caso de la red de difracción ilustrada en la figura tenemos que en el caso (a)
todas las amplitudes y fases en las rendijas son fijas, en el caso (b) sólo las amplitudes son fijas
mientras que en (c) tanto las amplitudes como las fases pueden variarse libremente.
Quantum-classical correspondence for visibility, coherence, and relative phase for
multidimensional systems
A. Luis, Phys. Rev. A 78, 025802 (2008)
An Overview of Coherence and Polarization Properties for Multicomponent Electromagnetic
Waves
A. Luis, Advances in Information Optics and Photonics, International Commission for Optics, (Ed.
A. T. Friberg, R. Dändliker) Volume VI, c. 9, p. 171.
Los grados de coherencia estándar de segundo orden (escalar y vectoriales) son en ocasiones
insuficientes para analizar algunas situaciones interesantes. Este es por ejemplo el caso de la
metrología cuántica donde los estados que permiten alcanzar la máxima resolución de la medida
suelen tener grado de coherencia nulo. La anulación resulta de propiedades de simetría de los
estados y no por efecto de aleatoriedad o fluctuaciones del campo.
Con el fin de evitar esta situación paradójica (óptima interferencia para coherencia nula) hemos
desarrollado una formulación de la coherencia ente dos ondas donde esta propiedad del campo
electromagnética se describe en términos de la estadística de la diferencia de fase entre las dos
ondas. Con esto conseguimos una generalización sencilla a todo orden evitando la complicada serie
infinita de funciones de correlación, especialmente complejas en el caso vectorial.
Hay varias rezones que justifican la pertinencia de esta formulación de la coherencia. Vamos a
comentar tres de ellas.
i) Sólo invocando fluctuaciones de fase es posible explicar de forma sencilla muchos ejemplos
coherencia parcial de modo que la identificación de coherencia con diferencia de fase puede verse
como una buena aproximación

E1E2
E1
2
 ei ,
E2
2
  argE2   argE1  .
ii) Sin embargo la identificación de coherencia con diferencia de fase es de hecho exacta desde una
perspectiva estadística de promedio sobre conjuntos, ya que la fórmula del grado de coherencia
aplicada a cada realización (es decir quitando los promedios) da exactamente la exponencial de la
diferencia de fase

E1 E2
2
E1 E2
2
 e i .
iii) Finalmente, coherencia quiere decir esencialmente buena interferencia, que es equivalente a
decir capacidad para distinguir pequeños cambios de fase, que a su vez implica pocas fluctuaciones
de la diferencia de fase. Por tanto, también desde un punto de vista práctico coherencia y diferencia
de fase deben estar muy relacionadas.
La estadística de la diferencia de fase P ( ) puede derivarse de la estadística para las amplitudes
complejas PE1, E2  mediante un cambio de variables que incluya la diferencia de fase  como
una de las nuevas coordenadas y luego integrando en el resto de variables que no sea la diferencia
de fase
PE1, E2   PE1 y1, yn , , E2  y1, yn ,  ,
P    dy1 dyn
E1, E2 
PE1, E2  .
 y1, yn , 
La cantidad de coherencia puede evaluarse por la distancia D entre la distribución de la diferencia
de fase P ( ) y la distribución uniforme 1 /(2 ) que representa luz completamente incoherente.
Mayor distancia significa mayor coherencia. Puesto que D no está acotado superiormente podemos
definir un grado de coherencia normalizado  entre cero y uno en la forma
2

1 

D  2  d  P  
2 
 

D
.
D 1
Para luz térmica caótica con PE1, E2  Guassiana se obtiene que P ( ) depende única y
exclusivamente del grado de coherencia estándar |  | . Además resulta que  coincide casi
totalmente con |  | como muestra la figura
Seguidamente aplicamos este mismo formalismo a luz cuántica que alcanza la máxima resolución
interferómetrica en interferómetros lineales (límite de Heisenberg). Este es el caso de iluminar un
interferómetro de Mach-Zehnder con n fotones por cada lado del divisor de haz de entrada.
Estamos interesados en las propiedades de coherencia y fase de los haces internos después del
divisor de haz de entrada y antes del de salida, puesto que son las ondas que interfieren.
Como distribución para las amplitudes complejas podemos usar la función Q definida por
proyección en los estados coherentes cuadratura
Pn E1, E2  
E12  E22
2n
 n!2 22n
2
2
exp  E1  E2  .


Esta es una function par de sus argumentos con lo que el grado de coherencia estándar es
exactamente cero
Pn E1,E2   Pn  E1, E2   Pn E1, E2     E1E2  0 .
Como vemos, esta anulación ocurre puramente por razones de simetría y no porque el haz de luz
presente muchas fluctuaciones.
En este caso la distribución de la diferencia de fase P ( ) tiene dos picos simétricos cuya anchura
decrece cuando el número de fotones n aumenta, de modo que la distancia D a la distribución
uniforme aumenta cuando n aumenta. De igual modo, el grado de coherencia  tiende a su valor
máximo   1 cuando n aumenta, a pesar de que   0 . Esto concuerda perfectamente con la
utilidad interferométrica de estos estados. La resolución interferomérica significa capacidad para
detectar cambios de fase, lo que depende sólo de la anchura de los picos y no de su número o
localización.
La conclusión es que la diferencia de fase proporciona una generalización de la coherencia más allá
del orden dos que es sencilla y completa incluyendo consistentemente en un mismo formalismo luz
clásica y luz cuántica.
Ensemble approach to coherence between two scalar harmonic light vibrations and the phase
difference
A. Luis, Phys. Rev. A 79, 053855 (2009)
En otro trabajo hemos demostrado que la acción de transformaciones unitarias aleatorias implica
evolución irreversible de distintas magnitudes relacionas con la coherencia, de ondas vectoriales. En
particular la entropía, como una medida relevante de desorden, muestra un comportamiento no
decreciente. Lo mismo le ocurre a otras magnitudes propuestas más recientemente para caracterizar
la coherencia entre ondas vectoriales, cuyo decrecimiento no puede compensarse por la acción de
transformaciones unitarias en cada una de las ondas.
Puesto que la coherencia está directamente relacionada con la aleatoriedad de los campos eléctricos,
el análisis de los efectos de transformaciones unitarias aleatorias es un instrumento para comprender
mejor en los fenómenos ligados a la coherencia entre ondas vectoriales.
Irreversible effects of random unitary transformations on coherence propes rties of partially
polarized electromagnetic fields
P. Réfrégier y A. Luis, J. Opt. Soc. Am. A 25, 2749-2757 (2008)
Principio de Huygens inverso y parámetros de Stokes generalizados
Para el estudio de la coherencia de ondas vectoriales hemos desarrollado una herramienta de
análisis que consiste en una versión de la óptica geométrica que incluye la coherencia. En la óptica
geométrica estándar casa rayo transporta cierta intensidad y estado de polarización, representados
por los parámetros de Stokes.
Una simple modificación de esta idea permite asociar a cada rayo unos parámetros de Stokes
generalizados derivados de la función de Wigner, con los cuales todos lo fenómenos ópticos
ondulatorios pueden describirse con el formalismo geométrico de modo exacto, incluyendo
fenómenos sensible a la coherencia como interferencia y polarización.
Este formalismo geométrico puede formularse de modo análogo a la formulación de Huygens de la
óptica ondulatoria, salvo que reemplazando ondas por rayos. Más detalles sobre este formalismo
pueden encontrarse en otro apartado de esta página web.
Scalar Wigner function for vectorial fields and spatial-angular Stokes parameters
A. Luis, Opt. Commun. 246, 437 (2005)
Properties of spatial-angular Stokes parameters
A. Luis, Opt. Commun. 251, 243 (2005)
Spatial–angular Mueller matrices
A. Luis, Opt. Commun. 263, 141–146 (2006)
Negativity, diffraction and interference for nongeometrical waves
A. Luis, Opt. Commun. 266, 426-432 (2006).
Ray picture of polarization and coherence in a Young interferometer
A. Luis, J. Opt. Soc. Am. A 23, 2855 (2006)
Complementary Huygens principle for geometrical and nongeometrical optics
A. Luis, Eur. J. Phys. 28 231-240 (2007)
Polarization ray picture of coherence for vectorial electromagnetic waves
A. Luis, Phys. Rev. A 76, 043827 (2007)
Polarization and coherence for vectorial electromagnetic waves and the ray picture of light
propagation
A. Luis, J. Eur. Opt. Soc. 2, 07030 (2007)