Tema 18.Ondas en medios elásticos

Tema 18
ONDAS EN MEDIOS ELÁSTICOS. ENERGÍA QUE TRANSPORTAN.
FENÓMENOS CARACTERÍSTICOS. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN.
MÉTODOS EXPERIMENTALES PARA SU ESTUDIO.
EL SONIDO COMO EJEMPLO DE ONDAS LONGITUDINALES. CONTAMINACIÓN
ACÚSTICA.
1. ONDAS: CLASIFICACIÓN
Una onda es la propagación de una perturbación sin transporte neto de materia, pero con
transporte de energía. Según necesiten medio material o no para propagarse, se clasifican en:
-
Mecánicas: Las partículas del medio transmiten unas a otras energía y momento lineal
(sonido)
Electromagnéticas: Lo que se propaga es la variación de la intensidad del campo
eléctrico y el magnético (luz)
Según la relación entre la perturbación y su dirección de propagación, las ondas se pueden
clasificar en:
-
Longitudinales: Cuando la dirección de propagación coincide con la dirección de la
perturbación (muelle, sonido)
Transversales: La dirección de propagación de la perturbación es perpendicular a la
perturbación (un pulso en una cuerda, una onda superficial en el agua)
1.1. ONDAS ARMÓNICAS
Una onda es armónica cuando la perturbación que se propaga es un movimiento armónico
simple, es decir, cuando la fuerza que experimenta una partícula sometida a dicho movimiento es en
cada momento proporcional a la distancia a la que se encuentra respecto a la posición de equilibrio.
La ecuación del M.A.S. es
x = A sin ( t +0)
1.2. PARÁMETROS QUE DESCRIBEN LAS ONDAS
-
longitud de onda, : distancia entre dos puntos consecutivos que se encuentran en el
mismo estado de vibración
periodo, T: tiempo que tarda la onda en propagarse una distancia igual a su longitud de
onda
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-
-
-
velocidad de propagación, vp: en medios homogéneos e isótropos las ondas se propagan
con M.R.U., por lo que se puede definir
x 
vp 

t T
1
frecuencia, f: número de oscilaciones por segundo
f
T
2
k
número de ondas, k: es el número de ondas que caben en la longitud 2 metros

frecuencia angular, : magnitud equivalente a la velocidad angular del movimiento
circular
 2 


t
T
1.3. ECUACIÓN DE LAS ONDAS ARMÓNICAS
Supongamos un movimiento ondulatorio transversal que se propaga por un medio con
una perturbación en el origen de tipo armónico y = A sin t, siendo t el tiempo medido en el
instante inicial. Las otras partículas del medio también describirán un M.A.S. del tipo y =Asintv,
siendo tv el tiempo que dicho punto lleva oscilando. Como la perturbación no se propaga de
forma instantánea, si ésta lo hace de izquierda a derecha, los puntos de la derecha sufrirán un
cierto retraso,
x
tv  t vp
Sustituyendo en la ecuación y = A sin tv, tenemos que
y  A sin ω t v  A sin { ω (t -
x
ωx
2πt 2πx
)}  A sin ( ω t )  A sin (
)  A sin ( ωt - kx)
vp
vp
T
λ
Considerando los puntos del medio a la izquierda del origen, llevarán mas tiempo
vibrando, y su ecuación será de la forma
y  A sin ( ω t  kx)
Si además consideramos un cierto desfase inicial, la ecuación general de una onda
armónica queda
y  A sin( ωt  kx  0 )
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Destacar la doble periodicidad, respecto a la posición y al tiempo. Para un instante
determinado, cada  metros se repite el estado vibratorio, y lo mismo para cada punto concreto,
ya que cada T segundos ocurre lo mismo.
Generalizando
a
una
onda
que
se
propaga


espacio,  ( r , t)  0 sin( w t k r  0 ) , que es solución de la ecuación de ondas
 2ψ(x ,t)
 x2

1  2ψ(x ,t)
v2
 t2
, y, z, siendo v 
en
el
 ω
 la velocidad de propagación
T k
2. ENERGÍA TRANSPORTADA POR LAS ONDAS
Cuando un punto es alcanzado por la perturbación que propaga la onda, empieza a vibrar y
adquiere energía cinética y potencial; por tanto, las ondas transportan energía.
La energía mecánica que adquiere una partícula alcanzada por una onda armónica será
E = E c + Ep =
1
1
1
1
k x 2  m v 2  k A 2  m v 2vmáx
2
2
2
2
ya que en el extremo de su trayectoria, la partícula sólo tiene energía potencial elástica y en la
posición de equilibrio sólo tiene energía cinética.
Pero como x = A sin ( t +0) , entonces v = Acos( t +0). Por tanto vmáx = Ay la
expresión de la energía queda como
E
1
m A 2 ω2  2 m π2 A 2 f 2 ,
2
que nos indica que la energía transportada por una onda es proporcional al cuadrado de su amplitud
y su frecuencia.
2.1. ATENUACIÓN
Se define la intensidad de una onda en un punto como la energía que propaga por unidad
de tiempo a través de la unidad de superficie normal a su dirección de propagación en dicho
punto,
E
P
I

t Sn Sn
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ya que la potencia emitida es la energía por unidad de tiempo. En el caso de ondas
esféricas la expresión anterior se reduce a
P
I
4 π R2
Si el medio en el que se propaga la onda no es perfectamente elástico o hay
rozamientos, parte de la energía es absorbida y la intensidad del movimiento ondulatorio
disminuye a medida que éste se propaga. Para una onda esférica que se propaga en un medio
isótropo, la energía total propagada por unidad de tiempo en dos frentes de onda a diferentes
distancias del punto donde se produce la perturbación será
E1  4 π R12 I1
,
E2  4 π R 22 I2
Si suponemos un medio que no absorbe energía, está claro que la energía total
propagada por unidad de tiempo es la misma en todos los frentes de onda, E1 = E2
I1 R 22
2
2

4 π R1 I1  4 π R 2 I2 y por tanto
I2 R 2
1
que nos indica que la intensidad de las ondas esféricas decrece con el cuadrado de la distancia
por razones puramente geométricas aunque el medio sea perfectamente elástico, fenómeno
conocido como atenuación. Si tenemos en cuenta también que la energía es proporcional a la
intensidad, y también es proporcional al cuadrado de la amplitud,
I1 E1 A12 R 22
A
R



 1 1
I2 E 2 A 2 R 2
A2 R2
2
1
que nos dice que la amplitud de las ondas esféricas decrece linealmente con la distancia al
centro emisor.
3. PRINCIPIO DE SUPERPOSICIÓN
“Cuando dos o más ondas coinciden simultáneamente en un punto del medio en el que se
propagan, la perturbación producida en dicho punto es igual a la suma de las perturbaciones que,
individual e independientemente, originaría en dicho lugar cada
una de ellas”.
4. FENÓMENOS CARACTERÍSTICOS
Según el principio de Huygens, que propuso un modelo
general de propagación de las ondas, todos los puntos de un
frente de ondas se comportan como focos emisores de ondas
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elementales o secundarias que se propagan en todas direcciones; en un instante dado, el nuevo
frente de onda es la envolvente de las ondas secundarias.
4.1. DIFRACCIÓN
En su propagación hacia la derecha, las
ondas encuentran un obstáculo y siguen
propagándose después de la abertura pero,
según sea la relación entre la longitud de la
onda y las dimensiones del obstáculo, se
observa que se propagan en otras direcciones
además de la que tenían antes de encontrarse
con él. Se dice que se han difractado.
Cuando el tamaño de la abertura es
grande en relación a la longitud de onda, la
difracción es poco notable, pero según se
abertura, el fenómeno es más considerable.
reduce
dicha
El fenómeno de la difracción es característico de todas las ondas, y se define como el
cambio de dirección que experimenta una onda en su propagación cuando se encuentra con
obstáculos o aberturas.
Las ondas de radio tienen longitudes de onda muy
grandes; las de onda media, OM ó AM, pueden llegar a
los 6000 metros, por lo que pueden bordear obstáculos
como montañas con gran facilidad, mientras que para
las de FM, con longitudes de hasta 4 metros, no es
posible. Lo mismo ocurre para las ondas de TV, de
hasta 10 metros. Este es el motivo por el que no
podemos ver lo que ocurre a la vuelta de la esquina
pero sí oir.
4.2. INTERFERENCIAS
La coincidencia de dos o más ondas que se
propagan en un mismo medio se denomina
interferencia. Cuando varias ondas avanzan y
coinciden en un mismo punto, la perturbación
producida en dicho punto es la suma de las
perturbaciones que produciría cada una por
separado (principio de superposición). Después,
las ondas prosiguen su propagación sin que se
modifique ninguna de sus características. Un
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ejemplo de esto es que varias personas pueden entenderse en un sitio aunque haya ruidos, se
pueden distinguir los diferentes instrumentos de una orquesta, etc
Sea P un punto sometido a la acción de dos
ondas cuyos focos emisores sean A y B. Las
distancias de dichos focos al punto P serán x1 y x2.
Si las dos ondas tienen la misma frecuencia,
amplitud y velocidad de propagación, la
perturbación en P será, de acuerdo con el principio
de superposición, la suma de las perturbaciones
que originan en dicho punto cada una de las
ondas, y = y1 + y2.
Si y1  A sin( ωt  kx1) y y 2  A sin( ωt  kx2 ) y teniendo en cuenta la ecuación
A B
A -B
sin A  sin B  2 sin
cos
2
2
nos queda que
x -x
k (x1  x2 ) 


y  2 A cos k 2 1 sin  ω t 
2
2


Se puede observar que tenemos una amplitud variable
que oscila entre 2A y 0. Cuando es 2A hablamos de
interferencia constructiva, mientras que cuando es 0
hablamos de interferencia destructiva. Se deduce que habrá
máximo de interferencia cuando
x2 – x1 = n 
es decir, cuando la diferencia de caminos es un múltiplo de la
longitud de onda, mientras que tendremos un mínimo de
interferencia cuando

x 2 - x 1  ( 2n  1 )
2
El conjunto de puntos cuya amplitud es cero constituye una línea nodal. Para una
longitud de onda determinada, dando valores a n se obtienen las distintas líneas nodales, que
son hipérbolas cuyos focos coinciden con los focos emisores. Lo mismo ocurre con las líneas
correspondientes a amplitud máxima.
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Superposición de ondas de similar longitud de onda y frecuencia
Ahora las ondas serán de la forma y1  A sin( ωt  kx) , y 2  A sin( ω' t  k' x)
y aplicando el principio de superposición obtenemos que y = y1 + y2 siendo
 ω - ω ' k - k'   ω  ω ' k  k' 
y  2 A cos 
tx  sin 
t x
2   2
2 
 2
pero como   ’ y k  k’, haciendo que
ω  ω'
k  k'
ω  ω'
k  k'
 ω g  0,
 k g  0,
 ω f  ω  ω' ,
 k f  k  k' ,
2
2
2
2
tenemos que la amplitud de la onda resultante es
 ω - ω ' k - k' 
2 A cos 
tx   2 A cos ( ω g t - k g x )
2 
 2
 ω  ω ' k  k' 
y la fase de las onda resultante será 
t x  ( ω f t - k f x )
2 
 2
Se observa que la amplitud de la onda resultante también tiene aspecto de onda
armónica, cuyos valores oscilan entre 2A y 0. La conclusión es que resulta un movimiento
ondulatorio, llamado onda de fase o pulsante, de la forma
y = A’ sin ( f t – kf x )
cuya amplitud A’ está
modulada por una onda,
llamada onda de grupo,
con una pulsación g y
un número de ondas kg
muy pequeños; y con
una pulsación f y con un número de ondas kf prácticamente iguales a los de las ondas
individuales que viajaban juntas. Lo que hace la onda de grupo es modular la amplitud de la
onda de fase, originando trenes de ondas, llamados también pulsos.
La velocidad de propagación de la onda de fase (u onda modulada) será
ω
ω ω'
vf  f  
k f k k'
ω g dω
pero la de la onda de grupo (u onda modulante de la amplitud) será v g 
, que al ser

k g dk
muy pequeñas se pueden sustituir por cantidades infinitesimales.
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Como sabemos que v 

T

2π λ 2π λ ω

  ω k v
2 π T T 2π k
entonces la velocidad de grupo quedará
v g  v , k
dv
dk
donde v es la velocidad de cada onda individual, igual a su vez a la velocidad de fase. Si esta
velocidad de fase es independiente de la longitud de onda (medio no dispersivo), es decir, si las
dos ondas individuales avanzaban a la misma velocidad aunque sus frecuencias y longitudes de
onda fueran distintas de una a otra, podemos asegurar que la velocidad de grupo a la que
avanzan los trenes de ondas (ondas de grupo) tiene el mismo valor que la velocidad de fase.
Sin embargo, en un medio dispersivo, la velocidad de grupo puede ser mayor o menor que la de
fase, pero no igual.
Ondas estacionarias
Se producen cuando dos ondas de igual frecuencia, velocidad de propagación y amplitud
que avanzan por un medio en sentidos opuestos se superponen. Se observa además que hay
puntos del medio que no vibran (nodos) y otros lo hacen
con amplitud máxima (vientres).
De acuerdo con el principio de superposición, si las
ondas son de la forma
y1  A sin( ωt  kx) , y 2  A sin( ωt - kx)
se obtiene que
y = y1 + y2 = 2 A cos k x sin  t
que es una onda con un vientre en el origen de coordenadas; además pone de manifiesto que
en una onda estacionaria, los puntos del medio se comportan como osciladores armónicos. Por
tanto, aunque una onda estacionaria es el resultado de la interferencia de dos ondas, en rigor,
no es un movimiento ondulatorio, puesto que no hay transporte neto de energía de unos puntos
a otros, por lo que el perfil de la onda no se desplaza.
Para una onda con un nodo en el origen se obtiene que
y = 2 A sin k x cos  t
que tiene nodos en los puntos x  n
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λ
λ
y vientres en x  ( 2n  1 )
2
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Cuando se hace vibrar una cuerda tensa con sus extremos
fijos, dichos extremos son nodos. Para que se forme una
onda estacionaria deberá verificarse que en los extremos de
la cuerda debe haber un nodo, es decir, que
x Ln
λ
2L
y por tanto λ  , con n = 1, 2, 3, ...
2
n
Por tanto, para una cuerda de longitud L no es posible
obtener una onda estacionaria para cualquier valor de la
longitud de onda; sólo son válidos los obtenidos
anteriormente. Además, como
v
f 
λ
las frecuencias que pueden dar lugar a ondas estacionarias en una cuerda de longitud L con
sus extremos fijos serán
f0 
v
2v
3v
; f1 
 2 f 0 ; f2 
 3 f0 y así sucesivamente.
2L
2L
2L
La frecuencia f0 es la frecuencia fundamental o primer armónico y las siguientes son el
segundo armónico, el tercero,... El sonido que produce una cuerda de violín, guitarra, etc. Es
una mezcla de armónicos, es decir, de sonidos cuyas frecuencias son múltiplos de la frecuencia
del sonido fundamental.
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5. MÉTODOS EXPERIMENTALES PARA EL ESTUDIO DE LAS ONDAS
El método experimental más usado en los centros
es la cubeta de ondas, que permite la visualización de ondas
mecánicas transversales que se producen en la superficie de un
líquido transparente como el agua. Además, permite el estudio
cuantitativo de fenómenos característicos de las ondas, como la
propagación, reflexión, refracción, difracción, interferencias, etc.
Consta de varias partes:
Una cubeta de fondo plano y material transparente,
de escaso espesor y con los bordes con una
pendiente suave, a modo de “playas” que se llena de
agua, y que evita que las ondas reflejadas en las
paredes de la cubeta interfieran con las ondas
principales, ya que dichas playas amortiguan las
ondas reflejadas mediante rozamientos.
- Un generador de impulsos mecánicos, cuya
frecuencia es regulable, y al que se pueden acoplar
diferentes dispositivos (planos para generar frentes de onda planos, puntiagudo para ondas
circulares, con dos puntas para generar dos ondas circulares que interfieren) que al golpear el
agua sean los focos de las ondas generadas.
Una lámpara estroboscópica que emite destellos luminosos, que puede ser regulable. Se coloca
debajo de la cubeta de tal forma que la luz atraviesa el
agua de la cubeta y se refracta en las ondas de la
superficie del agua, proyectándose sobre una pantalla
con el efecto visual del “congelamiento” de las ondas.
Gracias a la iluminación estroboscópica podemos
observar la propagación de las ondas con velocidad
regulable a voluntad mediante un mando de sincronismo.
Una pantalla de material plástico translúcido en donde se
recoge la imagen proyectada de las ondas en la
superficie. También puede colocarse la cubeta sobre un
retroproyector.
Diferentes piezas rígidas de plástico para simular
rendijas, lámina plano-paralela, barrera en ángulo recto,
espejos, lentes, ... que se interponen en la propagación
de las ondas. Es importante que, como las ondas son
superficiales, estas piezas no sobresalgan de la
superficie, a no ser que sean obstáculos a la
propagación.
-
-
-
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Para la formación de ondas estacionarias transversales se suele usar un electroimán
conectado a un relé (cronovibrador) que oscila a la frecuencia de la red. Al relé se amarra una
cuerda elástica y al estirarla se observan las ondas estacionarias. Variando la longitud de la cuerda
o la fuerza con la que se tire, se observan ondas estacionarias con nodos de diferente longitud. Si
unimos un resorte podemos observar la formación de ondas mecánicas
longitudinales.
También se suelen
usar diapasones unidos a cajas
de resonancia, de forma que al
hacer vibrar uno de ellos en las
proximidades del otro, se observe
que comienza a oscilar también, probando la propagación de las ondas
sonoras a través del aire.
6. EL SONIDO
Consiste en la propagación de una vibración: es una
onda mecánica puesto que requiere la presencia de un medio
material para propagarse, y que por tanto no puede hacerlo
en el vacío. Al hacer vibrar un diapasón, la vibración empuja y
comprime las capas de aire cercanas; esta compresión se
transmite a las capas adyacentes, de forma que todo sucede
como si la compresión se propagara hacia fuera, a partir de la
fuente sonora. A la compresión le sucede una disminución de
la presión: el sonido es una onda de presión.
El sonido es un movimiento ondulatorio longitudinal, porque la dirección de vibración y de
propagación es la misma. Si el sonido llega al tímpano del oído, esta membrana vibra y se percibe
dicho sonido. Subjetivamente, el sonido es la sensación que experimenta el órgano del oído ante la
vibración. Objetivamente, es el movimiento ondulatorio que da lugar a dicha sensación.
El oído humano puede percibir los sonidos de frecuencias entre 20 y 20000 Hz. Los de
frecuencia inferior se denominan infrasonidos, mientras que los de frecuencia superior se llaman
ultrasonidos.
6.1. INTENSIDAD DEL SONIDO. SONORIDAD
En general la intensidad del sonido es pequeña comparada con otros movimientos
ondulatorios como la luz. Por ejemplo, la intensidad del sonido emitido por una persona es del
orden de 10-8 W m-2. Por tanto, la audición es posible por la gran sensibilidad de nuestro oído.
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Habitualmente, cuando se comparan sonidos según su intensidad se habla de fuerte o
débil. Pero la sensación sonora o sonoridad, , es la sensación que produce un sonido al oído
humano. Éste no percibe doble sensación sonora en un sonido de doble intensidad; es decir, no
existe proporcionalidad entre la intensidad de un sonido y la sensación sonora que produce. La
sonoridad, expresada en decibelios, viene dada por la expresión
β  10 log
I
I0
siendo I0 la intensidad umbral de audición para el oído humano, I0 = 10-12 W m-2, es decir, la
intensidad mínima por debajo de la cual el oído no percibe sonido. Por ejemplo, a un sonido de
intensidad igual a la umbral, le corresponde una sonoridad 0; a otro sonido de intensidad 10
veces la umbral le corresponde una sonoridad de 10 dB, mientras que a uno de intensidad 1000
veces la umbral le correspondería una sonoridad de 30 dB. De la definición de sonoridad se
obtiene que
I  I0
β
10
 10
El umbral de audición no es un valor definido para todos los sonidos: la sensibilidad del
oído depende de la frecuencia del sonido. Según la figura adjunta, que muestra la relación entre
la sonoridad y la frecuencia, la máxima sensibilidad (mínima intensidad umbral) se presenta a
unos 3000 Hz.
En este gráfico quedan
definidos los umbrales de
audición y de dolor, así como el
área de sonidos audibles. Con
la edad, se modifican tanto los
umbrales como las frecuencias
mínima y máxima audibles: a
medida que se envejece se
reduce el límite superior de
audibilidad, de forma que un
sonido de frecuencia alta
resulta inaudible para una
persona de edad. La frecuencia
de sonidos cotidianos se encuentra entre 60 y 1150 Hz.
La energía de las ondas sonoras se disipa en la materia en forma de calor; además, a
mayor frecuencia, mayor es la rapidez con la que se disipa su energía; por tanto, las ondas de
baja frecuencia son audibles a distancias mayores que las de alta frecuencia, motivo por el cual,
por ejemplo, las sirenas para niebla de los barcos son de baja frecuencia.
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6.2. CONTAMINACIÓN ACÚSTICA
Ante el exceso de intensidad sonora, las personas reaccionan con irritación y fatiga; la
prolongada exposición al ruido puede provocar la aparición de alteraciones, tanto físicas
(problemas auditivos) como psíquicas. Una persona de nivel auditivo normal no debe
someterse a más de 80 dB durante 20 horas semanales. Por encima de este límite existe el
riesgo de pérdida de capacidad auditiva.
La contaminación acústica que sufren la mayor parte de las grandes ciudades, por donde
discurren vehículos a motor, conlleva la reducción de la capacidad auditiva de los ciudadanos y
altera su calidad de vida. En la actualidad, la lucha contra la contaminación acústica se basa en
la reducción de los sonidos emitidos por los vehículos a motor, el acondicionamiento antirruido
de las casas, la colocación de barreras acústicas en las vías de circulación rápida, el
distanciamiento entre las zonas industriales y las viviendas..., pero como siempre, el factor
fundamental es la educación de la población, concienciándola de los perjuicios del exceso de
sonoridad en cualquiera de sus actividades, tanto laborales como de ocio.
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