el concepto de número en los fundamentos de la aritmética de

EL CONCEPTO DE NÚMERO EN LOS FUNDAMENTOS DE LA ARITMÉTICA DE
GOTTLOB FREGE
Universidad Nacional de Colombia
Departamento de Filosofía
Iván D. González C.
Uno de los capítulos más complejos de Die Grundlagen der Arithmetik (Los fundamentos
de la aritmética) de Frege es el dedicado a la definición de número, que Frege implementa
en tres estadios: la definición de número cardinal, la definición de número natural y la
prueba de la inducción matemática. Estos tres pasos constituyen un intento por implementar
procedimientos en los cuales las únicas nociones indefinidas son las nociones de la lógica
formal, que permitirían reducir la aritmética a la lógica. Esta reducción significaría no sólo
una simplificación evidente del lenguaje aritmético requerido, sino que constituiría un logro
epistemológico notable: si la aritmética fuera reducible a la lógica, el estudio de la
aritmética se reduciría al estudio de ciertos principios lógicos básicos, que justificarían la
aritmética, tanto como lo hiciera posible la evidencia de tales principios.
Las definiciones de número de Leibniz y Mill consideran los números como
adiciones de 1. Esta formulación es insatisfactoria para Frege, pues será incompleta, hasta
tanto no se defina 0, 1 y la adición de 1. Lo que hay que tener en cuenta para definir 0 y 1
es que no podemos afirmar de algún objeto ningún número, pues un número no es una
propiedad de una cosa; y una razón para considerar que un número no es una propiedad de
cosas es que ‘0’ no puede aplicarse a objetos, sino sólo a conceptos. Una vez concedido que
“... una asignación de número contiene una afirmación sobre un concepto ...” (Frege,
1996, §55), las definiciones de 0 y 1 podrían formularse diciendo que a un concepto F le
corresponde 0, si para todo a, a no cae bajo F, e indicando que, a un concepto F, le
corresponde 1, si existe un a tal, que a cae bajo F, y para el cual, si a cae bajo F y b cae
bajo F, a=b.
Las definiciones de 0 y 1 permiten intentar definir el paso de un número al siguiente
mediante la formulación: “... al concepto F le corresponde el número (n+1) cuando existe
un objeto a que cae bajo F y tal que al concepto «que cae bajo F, pero no a», le
corresponde el número n” (Frege, 1996, §55).
El problema de estas definiciones sería que no permitirían decidir si a un concepto F
le corresponde un número Julio Cesar, ni si Julio Cesar es o no un número. Tampoco
permitiría demostrar que a=b, si al concepto F le correspondieran números a y b, pues se ha
definido cada número natural en enunciados como “el número n corresponde al concepto
F”, y no en ecuaciones, que constituyen la forma frecuente de los teoremas matemáticos. Si
nunca se pudiera concebir un número determinado, porque no podemos determinar para
qué casos a=b, la expresión ‘el número que corresponde al concepto F’ no podría
justificarse y, en consecuencia, sólo se habría estipulado el sentido de las expresiones ‘el
número 0 corresponde a’ y ‘el número 1 corresponde a’; pero no se habría distinguido el 0
y el 1 como objetos independientes (Frege, 1996, §55).
Frege nos recuerda que los números son objetos independientes y no propiedades de
estos, porque, cuando se afirma que al concepto F le corresponde el número 0, 0 es sólo una
parte del predicado, siempre que F sea el sujeto real.
Todas estas consideraciones parecen atender cuidadosamente los tres principios
fundamentales formulados por Frege en sus Fundamentos:
(i)
que hay que separar lo lógico de lo psicológico,
(ii)
que el significado de las palabras debe ser buscado en el contexto de un
enunciado y
(iii)
que hay que diferenciar concepto de objeto (Frege, 1996, 38).
Frege dice: “Cada uno de los números aparece como objeto autónomo, precisamente
porque constituye una parte de la afirmación” (Frege, 1996, §57). Esto es lo que se
encuentra implícito en la expresión ‘el 1’, donde el artículo determinado ‘el’ caracteriza a 1
como objeto. En cualquier caso, toda forma atributiva de números, como “Júpiter tiene
cuatro lunas”, puede traducirse a su forma objetiva: “el número de lunas de Júpiter es 4”, en
la cual ‘4’ aparece como objeto determinado. En este último caso, la función de la partícula
‘es’ no es copulativa; se trata de un ‘es’ de identidad que identifica el objeto de referencia
de ‘el número de lunas de Júpiter’ con el objeto de referencia de ‘4’1.
1
El que ‘4’ no diga nada sobre Júpiter y sus lunas no impide establecer la igualdad entre la referencia de ‘4’ y
‘el número de lunas de Júpiter’; p. e., el que ‘Colón’ no diga nada sobre el descubrimiento de América no
implica que la persona de Colón fuera la misma que la persona que descubriera América.
No se trata de eliminar el uso atributivo, puesto que sigue siendo científicamente
útil el que en el lenguaje ordinario el número aparezca como atributo; pero un número es un
objeto independiente.
El rechazo de un número como concepto parece razonable. Se puede conceder que
‘4’ se usa como nombre propio en enunciados como “el número de lunas de Júpiter es 4”,
aunque no parece legítimo que expresiones como ‘par’ o ‘docena’ lo fueran, como indica
W. Kneale (Kneale, 1980, 423). Las expresiones ‘par’ y ‘docena’ son conceptos y cabría
preguntarse qué razón tiene Frege para no identificar los números con estos conceptos 2.
Lo que nos dice Frege es que un detractor de su teoría podría objetar que siempre es
posible tener una imagen de los objetos autónomos o que estos objetos siempre están en
algún lugar; pero lo que replica Frege es que no tenemos una imagen del 4 como de esta
hoja impresa o de su blancura, porque 4 no es una cosa sensible ni la propiedad de algo
externo (Frege, 1996, §58).
La palabra ‘4’ puede suscitar alguna imagen mental, pero esta imagen no
corresponde con el contenido o significado de la palabra. Si confiamos aún en identificar
significados con imágenes mentales, tendríamos que observar que hay objetos autónomos
de los que carecemos de una imagen exacta, como la distancia de la tierra al sol o de la
tierra misma; pero nadie diría por eso que ‘la distancia de la tierra al sol’ o ‘la tierra misma’
no tienen significado: “La apariencia de lo contrario surge únicamente porque
consideramos las palabras aisladas y nos preguntamos por su referencia, creyendo que esta
debe ser una imagen” (Frege, 1996, §60).
Podríamos pensar que para Frege el error del anterior análisis es doble: por un lado,
hay una apelación al psicologismo, porque se considera que el significado son imágenes
mentales y, por otro, porque se busca el significado independientemente del contexto del
enunciado. El psicologista podría evadir la objeción sobre el significado de la expresión ‘la
distancia de la tierra al sol’, obstinándose en decir que tal expresión carece de significado.
En ese caso, Frege apelaría al principio (ii), diciendo que siempre hay que tener en
consideración el enunciado completo y que sólo dentro del enunciado tienen significado las
2
Se podría considerar que el que un número fuera un concepto, no implicaría un cambio drástico en la
doctrina de Frege, pues, si bien un número es un objeto, Frege no niega el que pudiera aparecer como
propiedad de un concepto. El problema sería que la ontología de Frege dependería de este hecho, si bien la
distinción lógica entre la ocurrencia del número como objeto y como concepto no se viera afectada.
palabras. Si hay que considerar el enunciado completo, las representaciones internas que
tenemos como referencia de las palabras aisladas no tendrían por qué corresponder a los
componentes lógicos del juicio, pues sería suficiente que el enunciado como un todo
tuviese sentido, ya que sería por la totalidad del enunciado que las palabras obtendrían su
significado3.
El problema sería que lo que se seguiría de este argumento sería sólo que el
psicologista tendría que formular su teoría imaginística en función de la totalidad del
enunciado, pero Frege no considera esto. Si bien Frege podría estar en lo cierto en su
rechazo a la teoría imaginística del psicologista, el argumento formulado anteriormente
contra el psicologismo no sería conclusivo, a menos que probara, como en el caso de una
imagen suscitada por la partícula ‘sólo’, que “... esta imagen no tiene por qué
corresponder al contenido de la palabra; en otros hombres puede ser totalmente distinta”
(Frege, 1996, §59). Y esto es lo que pretendió probar con expresiones más complejas noparticulativas, como ‘la distancia de la tierra al sol’, tratando de evadir la objeción de que
de los objetos autónomos siempre podemos tener una imagen.
En cualquier caso, la autonomía que adscribe Frege a los números pretende sólo:
“... excluir su uso como predicado o atributo, con lo cual su significado quedaría algo
modificado” (Frege, 1996, §60); y donde su objetividad, no pretendería indicar que fuera un
objeto espacial, pues sólo pretendería indicar que un número es el mismo para todas las
personas y, por consiguiente, no es subjetivo, aunque no se encuentre en algún lugar.
Lo que podría preguntarse el lector es cómo ocurriría el aprendizaje de números, si
estos se han diferenciado radicalmente de todo proceso psicológico. Lo que se pregunta
Frege es: “¿Pero cómo puede sernos dado un número, si no podemos tener de él ninguna
imagen o intuición?” (Frege, 1996, §62). El sentido de la pregunta no es claro. Esta parece
ser una pregunta de corte inapropiadamente psicológico, para la cuál Frege precisa: “De lo
que se tratará, pues, es de determinar el sentido de un enunciado en el que entra un
númeral” (Frege, 1996, §62).
3
Frege podría estar identificando en estas líneas el significado de un término con su referencia, pero la
identificación entre significado y referencia no infringe (ii), aún siendo cierto que Frege estuviera
identificando, de hecho, significado con referencia; sólo haría que el principio afirmase que la referencia de
las palabras debiera buscarse en el contexto de un enunciado.
Tenemos que determinar el sentido del enunciado: “el número que corresponde al
concepto F es el mismo que el que corresponde al concepto G”, o, lo que sería igual,
reconstruir lógicamente su contenido sin emplear la expresión ‘el número que corresponde
al concepto F’, pues, si se determinara el sentido de este enunciado, se establecería un
criterio general para la igualdad de números y, por consiguiente, se podrían establecer
numerales como nombres propios de cosas4.
Como la igualdad no se da sólo entre números, hay que tener una definición general
de igualdad. Esta definición de igualdad no es otra que la definición de Leibniz:
dos cosas son lo mismo, si una de ellas puede ser sustituida por la otra, preservando
la verdad (Frege, 1996, §65).
La razón por la cual Frege se acoge a esta definición es que considera que en la
sustituibilidad generalizada se encuentran incluidas todas las leyes de la igualdad; pero su
utilidad real no parece ser otra que la de ser extensional.
Frege considera que tenemos que poner conceptos y establecer la igualdad de sus
extensiones, igual que cuando decimos: las extensiones de los conceptos ‘recta paralela a a’
y ‘recta paralela a b’ son iguales, si y sólo si, a es paralela a b; lo que permite definir la
dirección de la recta a como la extensión del concepto ‘paralelo a la recta a’ (Frege, 1996,
§68). La jugada de Frege podría ilustrarse considerando el conjunto de rectas de un plano.
Si suponemos una relación de paralelismo entre las rectas, la relación de paralelismo
relacionará todas las rectas paralelas entre sí, agrupándolas en colecciones determinadas de
rectas, que llamaremos direcciones. Siguiendo este esquema de definición, y considerando
que el concepto F es equinumérico con G, si existe esta aplicación biyectiva entre el
concepto F y el concepto G, Frege puede definir la expresión ‘el número que corresponde
al concepto F’ como la extensión del concepto ‘equinumérico al concepto F’; aclarando
que no es necesario definir el término ‘extensión de un concepto’, pues resulta evidente de
las afirmaciones fundamentales que pueden hacerse de ellas: que son iguales y que la una
abarca más cosas que otra (Frege, 1996, §69).
Tomaremos la extensión de un concepto F como:
4
Esta noción implícita de nombre propio será rechazada tempranamente por Russell en Los principios de la
matemática (Russell, 1964, 611).
Ext(F)=defxF(x)5.
Es de esta definición de ‘el número que corresponde al concepto F’ que se sigue
que, las extensiones de los conceptos ‘equinumérico al concepto F’ y ‘equinumérico al
concepto G’ son iguales, si y sólo si, al concepto F le corresponde el mismo número que al
concepto G (Frege, 1996, §69).
En la terminología reciente, una biyección es una relación R(XY) que es función
tal, que (yY)(!xX)R(x)=y, donde la condición ‘!x’ implica que, para todo z
perteneciente a X, si R(x)=y y R(z)=y, se tiene que z=y. La pertinencia de una aplicación
biyectiva era bien conocida por Frege, pues ya había sido acogida en su tiempo por autores
como E. Kossak y G. Cantor, para definir la igualdad numérica, aunque obviando el hecho
de que la igualdad no se da sólo entre números (Frege, 1996, §63).
Con estas biyecciones, la igualdad numérica puede ser definida mediante una
relación , que correlacione biyectivamente los objetos que caen bajo un concepto F con
los objetos que caen bajo un concepto G. La expresión “el concepto F es equinumérico con
el concepto G” significa que existe una relación , que a los objetos que caen bajo el
concepto F, les aplica biyectivamente los objetos que caen bajo G:
FG=def()(yG)(!xF)R(x)=y,
donde el número que corresponde al concepto F es la extensión del concepto ‘equinumérico
al concepto F’:
#
F=defExt(F)=defGGF,
y “n es número” significa lo mismo que existe un concepto tal, que n es el número que le
corresponde:
N(n)=defG(#G=n)6.
5
Seguiré las líneas generales de la notación G. Boolos, en su artículo Saving Frege From Contradiction.
Esta designación no parece ser escogida arbitrariamente del todo, pues la definición
de ‘equinumérico’ permite considerar que al concepto F le corresponde el mismo número
que al concepto G, aunque Frege nos pide que ‘equinumérico’ debe tomarse “... como una
designación escogida arbitrariamente, cuyo significado no debe inferirse de su composición
lingüística ...” (Frege, 1996, §68). Si no es del todo arbitraria, ‘equinumerosidad’ podría
entenderse como un sustituto de ‘igual número de cosas’, como queda claro en el ejemplo
siguiente:
Si un camarero quiere estar seguro de que pone sobre la mesa igual número de
cuchillos que de platos, no necesita contar ni los primeros ni los segundos; basta
con que coloque a la derecha de cada plato un cuchillo, de modo que cada cuchillo
de la mesa se encuentre justo a la derecha de un plato. Los platos y cuchillos
estarán, de este modo, en correspondencia biyectiva, y esto gracias a la igualdad de
la relación de localización (Frege, 1996, §70).
Si los objetos que caen en los conceptos F y G se relacionan biyectivamente, F y G
tendrán igual número de cosas que caen bajo ellos y, por tanto, serán equinuméricos. Lo
que un psicologista podría objetar es que no hay razón para pensar que tuviese que existir
una relación biyectiva entre F y G, si F y G tienen el mismo número cosas que caen bajo F
y bajo G, pues el que F y G tuvieran el mismo número de elementos no garantizaría que
pudiésemos encontrar y definir una biyección entre F y G.
El criterio de existencia psicologista de la biyección sería algo como: haber sido
definida por un sujeto en una hoja o un tablero. Esta observación psicologista nos
conduciría a distinguir entre considerar que necesariamente existe una relación entre F y G,
si sobre F y G caen igual número de objetos, y considerar que posiblemente existe una
relación entre F y G, si sobre F y G caen igual número de objetos. Si digo
‘necesariamente’, estaré refiriéndome a que hay conceptos que se biyectan con F y
conceptos que no se biyectan con F tales, que si G tiene tantos elementos como F, F es
6
Esta es la definición de número cardinal de Frege. Obsérvese que la definición requiere un dominio previo
de elementos, igual como fue asumido anteriormente el dominio de todas las rectas del plano, cuando
agrupamos las rectas para definir direcciones.
biyectivo con G y, por tanto, existe una relación biyectiva entre F y G, aunque no fuéramos
capaces de encontrarla. Si digo ‘posiblemente’, estaré refiriéndome a que el que F y G
tengan igual número de elementos y, por tanto, sean biyectivos, no garantiza que encuentre
o defina una función tal, que sea biyectiva.
Habiendo aclarado lo anterior, podemos notar que en su segunda definición Frege
indica que la definición del número que corresponde al concepto F es la extensión del
concepto ‘equinumérico con el concepto F’ y, por tanto, sería razonable pensar que la
extensión del concepto es un conjunto de conceptos, pues el concepto ‘equinumérico con el
concepto F’ se aplica a conceptos. Que esto sea lo que entiende Frege por ‘extensión de un
concepto’ es ciertamente un problema, pues Frege explícitamente presupone lo que se
entiende por ‘extensión de un concepto’ (Frege, 1996, §62, en nota al pie 13). Lo
desconcertante de este resultado sería que Frege parecería argüir finalmente que un número
es un conjunto de conceptos, después de haber negado tajantemente que un número fuera
un concepto. La definición de Frege indicaría que al concepto F le corresponde el conjunto
de conceptos biyectables con F, aunque lo desconcertante sería ahora lo que querría decir
aquí Frege con ‘corresponde’7. Quizá esta fraseología inusual condujo a Frege a asegurar
que podríamos decir ‘concepto’ en vez de ‘extensión de un concepto’ (Kneale, 1980, 429).
El problema en ese caso sería que tal sustitución podría conducir a dos objeciones: que los
números no serían objetos y que dos conceptos distintos podrían tener la misma extensión;
a lo cual Frege responde simplemente que “... ambas objeciones podrían ser eliminadas;
pero esto nos llevaría demasiado lejos” (Frege, 1996, §68, en nota al pie 13).
En cualquier caso, lo sobresaliente de la relación ‘equinumérico a’ es que es una
relación de equivalencia tal, que permite definir clases de equivalencia. Una relación de
equivalencia R en un conjunto A es una relación reflexiva (xA)xRx, simétrica
(x,yA)xRyyRx y transitiva (x,y,zA)xRyyRzyRz, que propicia una partición
sobre A: si a es un elemento de A, la clase de equivalencia de equivalencia de a es el
conjunto de todos los elementos de A que están relacionados por R con a. La razón por la
que cabría considerar la relación ‘equinumérico a’ como una relación de equivalencia es
7
Se podría afirmar, p. e., que la correspondencia puede ser entendida en términos de pertenencia, como “el
concepto F pertenece al conjunto de conceptos biyectables con F”; aunque esto legitimaría el uso de
expresiones poco naturales, como “el concepto F pertenece al número n”.
simple: se garantizaría por la existencia de las funciones biyectivas tales, como la idéntica,
la inversa y la compuesta, para cualquier biyección dada.
Estas clases de equivalencias, determinadas por la relación ‘equinumérico a’, serían
conjuntos de conceptos, y alguno de esos conjuntos de conceptos sería la extensión del
concepto F, que sería el número que correspondería a F; haciendo que el número que
correspondiera a F fuera la clase de equivalencia de F, obtenida por la relación
‘equinumérico a’.
La definición de la expresión ‘n es número’ nos permite entender esta expresión
como afirmando que existe un concepto F tal, que n es la extensión del concepto
‘equinumérico al concepto F’, donde ‘equinumerosidad’ es la posibilidad de establecer una
aplicación biyectiva entre los objetos que caen bajo F y bajo G (Frege, 1996, §68). El que n
fuera número significaría lo mismo que decir que n es la extensión del concepto
‘posiblemente biyectable con los objetos que caen bajo F’ y que, por lo tanto, nos
conduciría a la pregunta sobre cuál es el objeto que es la extensión del concepto
‘posiblemente biyectable con los objetos que caen bajo F’.
Lo que trata de indicar aquí Frege con ‘posibilidad’ es que la biyectabilidad sobre
un concepto F permite partir los conceptos en clases de equivalencia: los conjuntos que
tienen una biyección (porque tienen igual número de elementos y, por consiguiente, es
posible encontrar una biyección) y los conjuntos que no tienen una biyección (porque no
tienen igual número de elementos y, por consiguiente, no es posible encontrar una
biyección).
Con las tres definiciones anteriores podemos demostrar que el número de un
concepto F es igual al número del concepto G, si y sólo si, F y G son equinumerosos.
Llamaremos principio de Hume a este bicondicional:
#
F=#GFG.
Una consecuencia de las definiciones es que, si #F=#G, entonces Ext(F)=Ext(G). Para
demostrar #F=#GFG, asumimos que #F=#G y, por tanto, que Ext(F)=Ext(G), donde
FF y, por consiguiente, si Ext(F)=Ext(G), entonces FG. La demostración de FG
#F=#G, asume que FG, para la cual tenemos que demostrar que Ext(F)=Ext(G). Esta
demostración procede mostrando que, para todo concepto H, HF, si y sólo si, HG. En el
primer caso, si HF, tenemos que HG, por composición, y, en el segundo, si HG,
tenemos que GH, por simetría y, por tanto, FH, por composición, para la cual
simétricamente FH.
Según la última definición, n sería un número, si existiera un concepto F tal, que n
fuera el número que le correspondiera. Este concepto F no podría consistir en un concepto
tal, como ‘el número de lunas de Júpiter’, pues un concepto de semejante género ni
resultaría lógico, ni permitiría instaurar una serie infinita: si el mundo está constituido por
un número finito de cosas, la serie estaría constituida por un número finito de números y,
por consiguiente, la fuente inagotable de elementos no podría ser el mundo físico, sino que
sería la lógica; y cabría preguntarse, en consecuencia, si lo que constituye aquí una
definición no es otra cosa que lo que está se esta insinuando como fuente inagotable de
elementos: un tipo de definición creadora, opuesta a la concepción fregeana.
Como el concepto ‘desigual consigo mismo’ es un concepto lógico bajo el que no
caería ningún objeto, entonces 0 podría definirse como el número que correspondiera al
concepto ‘desigual consigo mismo’8:
0=def#Cero,
donde Cero=defxx. El que este concepto fuera contradictorio no sería problema; la única
exigencia sobre los conceptos sería que estuvieran determinados de manera tal, que siempre
fuera posible saber si los objetos caen o no bajo el concepto9.
8
La naturaleza lógica de este concepto es clara, pues puede formularse como la negación de la ley de
reflexibilidad de la lógica de la identidad: x(x=x) (Leblanc, 1962, 106).
9
Observemos que esta exigencia se garantiza trivialmente para conceptos como ‘equinumérico a’, pues este
se entiende como el concepto ‘posiblemente biyectable con’. Sería extraño, sin embargo, el hecho de que no
pudiésemos establecer, de facto, qué conceptos caen sobre ellos, puesto que ello implicaría, en última
instancia, que el amplio conocimiento aritmético que tenemos, constituye un conocimiento de cosas sobre las
que no podríamos pretender un conocimiento directo y delimitado.
Si usted dice que conocer el número n que corresponde a F es saber sólo para que casos un concepto
G se biyecta con F, entonces usted deberá recordar que nada garantiza que usted sea lo suficientemente
competente como para encontrar siempre una biyección entre F y G y, si afirma que lo que muestran los casos
de incompetencia es sólo un mal conocimiento de n, entonces tendría que conceder que el amplio
conocimiento aritmético que tenemos, constituye un conocimiento de cosas que no conocemos muy bien.
Con la definición de 0, tenemos que formular la definición de ‘número
inmediatamente siguiente’. No la definición particular para 1, sino para cualquier número
natural inmediatamente siguiente de otro: n sigue inmediatamente a m, en la serie de los
números naturales, cuando existe un concepto F y un objeto x que cae bajo él, de tal tipo
que, el número que corresponde al concepto F es n, y el número que corresponde al
concepto ‘que cae bajo F, pero no es igual a x’ es m (Frege, 1996, §76).
En la notación especial:
mSn=def(F)(x)F(x)#F=n#Fx=m,
donde #Fx=defGGExt(Fx) y Ext(Fx)=defyF(y)y=x.
La definición de ‘número inmediatamente siguiente’ define 1 como el
inmediatamente siguiente de 0: si consideramos el concepto ‘igual a 0’, tenemos que bajo
ese concepto cae el objeto 0 y, al concepto ‘igual a 0, pero no igual a 0’ le corresponde el
número 0 y, por consiguiente, el número que corresponde al concepto ‘igual a 0’ sigue
inmediatamente al 0 en la serie de números naturales S.
Tenemos que:
0S1=def(F)(x)F(x)#F=1#F0=0,
pues 0==defx=0 es tal, que #0==1 y #0=0=0.
Si se define a 1 como el número que corresponde al concepto ‘igual a 0’, tenemos
que 1 sigue inmediatamente al 0 en la serie de los números naturales, continuando con:
2 es el número que corresponde al concepto ‘igual a 0 o a 1’,
3 es el número que corresponde al concepto ‘igual a 0 o a 1 o a 2’,
4 es el número que corresponde al concepto ‘igual a 0 o a 1 o a 2 o a 3’,
5 es el número que corresponde al concepto ‘igual a 0 o a 1 o a 2 o a 3 o a 4’,
y así sucesivamente (Frege, 1996, §77).
Estas son definiciones perfectamente entendibles de números finitos particulares;
aunque esconden un vicio notable: la inconsistencia de la lógica cuantificacional superior
(Leblanc, 1962, 163-6).
La propuesta de Frege introduce una situación indeseable; la definición de los
números implica como condición el conjunto de todos los conceptos, pues este es el
conjunto sobre el cual definimos la relación ‘equinumérico a’. Quizá no importe que no
sepamos muy bien qué cosas sean equinuméricas con el concepto F al que le corresponde el
número n, igual como no sabemos con precisión que son todas las estrellas del cielo. Lo
que importaría sería que existiera un conjunto de conceptos determinado, porque este
conjunto de conceptos sería un número, aunque no pudiéramos, de facto, determinarlo
completamente. En este orden, necesitaríamos del conjunto de todos los conceptos sobre los
cuales determináramos esos conjuntos de conceptos que son números, pues, si existiera sólo
un subconjunto muy grande de todos los conceptos, los números de los conceptos no
incluidos en el subconjunto de todos los conceptos no podrían existir.
Si consideramos al conjunto de todo los conceptos como la extensión del concepto
‘ser concepto’, podríamos reparar en que el concepto ‘ser concepto’ cae en sí mismo y, por
consiguiente, reparar en la distinción entre la clase de conceptos que caen en sí mismos y la
clase de conceptos que no caen en sí mismos. Esta última clase sería la extensión del
concepto ‘ser un concepto que no cae en sí mismo’, que nos conduce a la paradoja de
Russell: si el concepto ‘ser un concepto que no cae en sí mismo’ cae en sí mismo, entonces
es un concepto que no cae en sí mismo, y, si ‘ser un concepto que no cae en sí mismo’ no
cae en sí mismo, entonces es un concepto que cae en si mismo, y, por consiguiente, ‘ser un
concepto que no cae en sí mismo’ caería en sí mismo, si y sólo si, no cayese en el concepto
‘ser un concepto que no cae en sí mismo’ (Russell, 1964, 611-36).
El haber definido 0 y el inmediatamente siguiente, permite a Frege dar una
definición de número natural, como aquel n que pertenece a la serie que empieza por 0;
donde todo n se define en términos del anterior, como lo hicieran Leibniz y Mill. Esta
definición remata un expediente que permite demostrar que, primero, si a sigue
inmediatamente a 0 en la serie de números naturales, entonces a=1: 0Saa=1; segundo, si
1 es el número que corresponde a un concepto, existe un objeto que cae bajo el concepto:
#
F=1(x)F(x); tercero, si 1 es el número que corresponde a un concepto F, y si el objeto
x cae bajo F e y cae bajo F, entonces x=y: #F=1F(x)F(y)x=y; cuarto, si bajo un
concepto F cae un objeto, y si el que x caiga bajo F y que y caiga bajo F implica que x=y,
entonces 1 es el número que corresponde a F: (x)(y)F(x)F(y)x=y#F=1; quinto, la
relación de m con n en “n sigue inmediatamente a m en la serie de números naturales” es
biyectiva: mSn(yS)(!xS)S(x)=y; y sexto, todo número, excepto de 0, sigue
inmediatamente a otro en la serie de números naturales: (nS)n=0S(x)=y.
Para demostrar ahora que a todo número n le sigue inmediatamente otro en la serie
de números naturales, Frege nos dice que a n le sigue inmediatamente el número
correspondiente al concepto: ‘perteneciente a la serie de números naturales que termina con
n’, y que este concepto requiere definir el enunciado: “y sigue a x en la serie-”.
Siguiendo su Begriffsschrift (Conceptografía), Frege dice que el que y siga a x en la
serie- significa que, para todo concepto F, si todo objeto con el que x está en la relación
 cae bajo F, y si, para todo d, el que d caiga bajo F implica que todo objeto con el que d
esté en relación  cae bajo F, entonces y cae bajo el concepto F: y tiene cualquier
propiedad F que tenga cualquier otro objeto relacionado con x por  y que tuviese
cualquier objeto con el cual algún objeto que fuese F se relacionara por  (Frege, 1996,
§79).
En la notación especial:
xSy=def(F)(z)(xzF(z))(d)F(d)(z)(dzF(z))F(y),
para la cual podemos probar transitividad.
Frege ofrecería definiciones lógicas de todas las nociones aritméticas, y mostraría
que todo razonamiento matemático sería reducible a argumentos lógicos. Esto requeriría
acreditar lógicamente el tipo de inferencia que permite considerar que una propiedad F
pertenece a todos los números naturales, porque pertenece a 0 y al siguiente de cualquier
número que tuviese la propiedad F. Este tipo de inferencia es la inducción matemática.
Sin embargo, lo que obtiene Frege no parece lo que nosotros consideraríamos una
demostración, pues la inducción se formula como la propiedad definitoria los números
naturales. El quid del asunto es su fundamento lógico, derivado de la definición de sucesión
en una serie (xSy); la intromisión de cualquier inferencia no-lógica debería ser rechazada:
“Sólo mediante esta definición de la sucesión en una serie es posible reducir la inferencia
de n a (n+1), que aparentemente es peculiar de la matemática, a las leyes lógicas generales”
(Frege, 1996, §80).
Tomemos ahora a  como la relación ‘sigue inmediatamente en la serie de los
números naturales’, la serie- será la serie de los números naturales: xSy=xSy. El que y
siga a x en la serie- o y fuera lo mismo que x, significaría que y pertenece a la serie- que
empieza por x y que x pertenece a la serie- que termina con y:
xSyy=x=defSmin(x)(y)=defSmax(y)(x)=defxS=y,
y por consiguiente, a pertenece a la serie de los números naturales que termina con n, si n
sigue a a en la serie de números naturales o n es igual a a:
aSnn=aSmax(n)(a),
donde Smax(n)(a)=defaS=n.
Por consiguiente, hay que demostrar que el número que corresponde al concepto
‘perteneciente a la serie de los números naturales que termina con n’ sigue inmediatamente
a n en la serie de los números naturales:
nS#Smax(n),
que podemos abreviar como:
nS#S=n,
para probar que hay un número que existe inmediatamente a n en S:
(n)(x)S(n)nSx,
para el cual, dado que S(n)=def0Snn=0, tenemos que S(n)=def0S=n y, por tanto, que
no existe un último miembro en la serie:
(x)(n)0S=nnSx.
El que hay un número que sigue inmediatamente a n en la serie de números
naturales requiere demostrar que, si a sigue a d en la serie de los números naturales y el
número que corresponde al concepto ‘perteneciente a la serie de los números naturales que
termina con d’ sigue inmediatamente a d, entonces el número que corresponde al concepto
‘perteneciente a la serie de los números naturales que termina con a’ sigue inmediatamente
a a:
(dSa)(dS#S=d)(aS#S=a);
junto con la demostración de que para 0 se cumple lo dicho para d y para a:
(0Sa)(0S#S=0)(aS#S=a)
y, entonces, deducir que también se cumple para cualquier n perteneciente a la serie que
empieza por 0:
(nS)(nSa)(nS#S=n)(aS#S=a),
donde este modo de inferencia constituiría una aplicación directa de la definición de la
expresión “y sigue x en la serie de números naturales”.
La primera demostración requiere probar que a es el número que corresponde al
concepto ‘perteneciente a la serie de los números naturales que termina con a, pero que no
es igual a a’:
# =
S aa=a
y, por consiguiente, hay que demostrar que este concepto tiene la misma extensión que
‘perteneciente a la serie de los números naturales que termina con d’:
# =
S aa=#S=d.
Demostrar esta igualdad requiere probar que ningún objeto que pertenezca a la serie de los
números naturales que empieza por 0 puede seguirse a sí mismo, y esto se prueba por la
definición de sucesión en una serie:
(n)0S=nnSn.
Por esto debe añadirse una condición adicional a la prueba de nS#S=n: la condición de
que n pertenezca a la serie de los números naturales que empieza con 0 (o de que n sea un
número finito; que implica que ningún número finito se sigue a sí mismo en la serie de los
números naturales).
Pero aún hay algo en que reparar todavía. Las definiciones anteriores de números
finitos ocultaban una presunción infinita. La forma en la que llegamos a una definición
general de número requería un dominio sobre el cual la relación ‘equinumérico a’
determinaba una partición: el conjunto de todos los conceptos, que conducía a la paradoja
de Russell. Lo que podemos observar ahora es que este conjunto tiene que incluir un
concepto ya instituido por Frege: el concepto ‘ser un número natural’.
La jugada de Frege para definir los números naturales nos permite considerar la
extensión de un concepto tal, que no tiene un elemento último en la serie y, por tanto,
haciendo definible un número infinito correspondiente al concepto ‘ser un número natural’.
Puesto que la definición de los números finitos tiene como condición previa la definición de
la expresión “n es número”, y esta expresión supone el conjunto de todos los conceptos,
supone, por consiguiente, el concepto ‘ser número natural’ y, por tanto, el número que
corresponde al concepto ‘ser número natural’, cuya extensión es infinita, pues Frege habría
probado que los números naturales no tienen un elemento último10.
10
No se trata de afirmar que existe un conjunto I tal, que contiene el conjunto  y el singleton de cada uno de
sus miembros, p. e.:
I(x) xIxI,
La definición de “n es número” es una definición de número cardinal, y no una
definición admisible de número natural, pues n es número no implica que n sea un número
finito. La forma como lo entiende Frege es diciendo que el número que corresponde al
concepto ‘número finito’ es un número infinito. Este número infinito Frege lo nota como
‘1’. La forma de probar esto es demostrando que 1 puede seguirse a sí mismo en la serie
de números naturales. En este orden, 1 debe entenderse como el número que corresponde
a un concepto F tal, que existe una relación que aplica biyectivamente los objetos que caen
bajo F a los números naturales, y donde la exigencia de una naturaleza determinada es
cumplida por 1, porque 1 puede ser reconocido como el mismo número y puede ser
distinguido de cualquier otro, mediante las definiciones dadas por Frege.
Frege concede a Cantor la afirmación hecha en sus Grundlagen einer allgemeinen
Mannigfaltigkeitslehre (Fundamentos de una teoría general de multiplicidades) de que los
números no son entidades reales, una vez llamemos reales las cosas sensorialmente
perceptibles, y una vez admitamos el que no necesitemos de percepciones para fundamentar
sus teoremas. En lo que sí se muestra inconforme es en las denominaciones dadas por
Cantor: Cantor llama potencia a lo que Frege denomina número, mientras que su noción de
número lo refiere a la ordenación. Frege afirma que esto hace que su definición de número
corresponda mejor al uso corriente del vocablo ‘número’, pues Frege no puede más que
considerar la definición cantoriana de ‘número’ como una ampliación irrespetuosa del
significado usual de tal vocablo, al no hacer generalmente válida la independencia de los
números respecto al orden de la serie (Frege, 1996, §84-5).
Frege se encuentra especialmente insatisfecho de las definiciones formuladas por
Cantor de número y del seguir en una sucesión (así como de su apelación a la intuición
interna), aunque no parece renegar de los alcances de su teoría, que no duda en calificar de
justificada y fértil (Frege, 1996, §85-6). Las diferencias posibles entre ambas teorías no
serán analizadas.
como en el Axioma de infinitud. Se trata de un principio que garantice un conjunto infinito tal, que contenga
cada uno de los conceptos a los que corresponden los números, como ‘desigual a sí mismo’, ‘igual a 0’ o
‘igual a 0 o a 1’. Si la serie de números naturales es infinita, los infinitos conjuntos correspondientes tendrían
que estar en el conjunto de todos los conceptos y, por tanto, el conjunto de todos los conceptos tendría que ser
infinito; donde la condición de tener un conjunto infinito sería previa a la definición de número.
BIBLIOGRAFÍA
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Thomson (ed.), On Being and Saying. Cambridge: MIT, 3-20.
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Escritos filosóficos. Barcelona: Grijalbo, 32-127.
Kneale, W. y M. (1980). El desarrollo de la lógica. Madrid: Tecnos.
Leblanc, H. y Ferrater, J. (1962). Lógica matemática. México D. F.: Fondo de
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