Límites cuánticos en interferómetros no lineales. Más allá del límite

Límites cuánticos en interferómetros no lineales
La interferencia de dos o más ondas luminosas proporciona métodos de medida y
detección de señales entre los más precisos que se conocen. Un interferómetro es un
dispositivo que imprime o codifica la señal a detectar (longitud, tiempo, presión,
temperatura, etc.) en el estado de la luz que lo ilumina, modificando alguna de sus
propiedades, generalmente su intensidad previa una modificación de fase.
En última instancia, cuando se superan todas las fuentes de ruido técnico, la precisión de
una medida interferométrica viene finalmente limitada por la naturaleza cuántica de la
luz utilizada. Esta limitación cuántica ha provocado la investigación de estrategias de
medida que permitan evitarla en todo lo posible. Una de ellas consiste en iluminar el
interferómetro con luz de propiedades no clásicas lo que permite llevar la precisión de la
medida más allá de los que lo permiten las fuentes de luz clásicas.
En este apartado se presenta una estrategia diferente y más eficaz. La idea parte de
observar que los interferómetros usuales son dispositivos lineales. Esto es que la
amplitud de la luz a la salida del interferómetro es proporcional a la amplitud de la luz a
su entrada. La cuestión es si se pueden realizar mejores medidas con interferómetros no
lineales, en los cuales la amplitud de la luz a la salida del interferómetro es una función
no lineal de la amplitud a la entrada.
La respuesta es afirmativa y la podemos justificar invocando la relación de
incertidumbre energía-tiempo,
tE  h ,
que nos dice que la incertidumbre en el tiempo t es inversamente proporcional a la
incertidumbre en la energía  E
t 
1
.
E
En los interferómetros usuales la señal a detectar provoca en primer lugar un cambio de
fase, que después en interferómetro convierte en un cambio de intensidad luminosa de
las ondas que abandonan el interferómetro. En el fondo, los interferómetros transforman
cualquier señal en una señal de tiempo (es decir un cambio de fase), y por ello nos sirve
la relación de incertidumbre energía-tiempo.
La energía depende del número de fotones de la onda que ilumina el interferómetro. La
dependencia es lineal en interferómetros lineales E  N , y no lineal en los no lineales
E  f (N )  N .
De acuerdo con la relación de incertidumbre las medidas más precisas se realizarán
iluminando el interferómetro con estados de luz con la máxima incertidumbre en la
energía, es decir, con la máxima incertidumbre en el número de fotones. Este es el caso
de estados superposición coherente de dos alternativas extremas, cero fotones y N
fotones
0 fotones  N fotones .
Estos estados se conocen bajo distintos nombres en distintos contextos (gatos de
Schrödinger o estados N00N) y tienen propiedades no clásicas muy interesantes. Desde
luego son ciertamente paradójicos puesto que cuesta entender que un estado de cero
fotones tenga ninguna utilidad.
En nuestro contexto estos estados nos van a permitir demostrar las buenas propiedades
metrológicas de los interferómetros no lineales, que, no obstante, pueden aprovecharse
también usando estados de luz mucho menos exóticos. Lo que nos interesa ahora es que
la incertidumbre en número de fotones (o de cualquier potencia) es la máxima posible
N  N ,
N   N  .
En interferómetros lineales (los más comunes y conocidos)
EN
E  N  N
t 
1
N
y la incertidumbre en el tiempo es, en el mejor de los casos, inversamente proporcional
al número de fotones. Esto es lo mejor que puede hacer un interferómetro lineal y se
conoce como límite de Heisenberg.
En interferómetros no lineales la energía de la luz es proporcional al cuadrado (o
potencias superiores) del número de fotones, con lo que
E  N2
E  N 2  N 2
t 
1
N2
.
El resultado es que la incertidumbre en el tiempo es inversamente proporcional al
cuadrado del número de fotones. Como nos interesa siempre el caso de un número de
fotones muy elevado tenemos que N 2 es mucho más grande que N por lo que la
incertidumbre en el tiempo en el caso no lineal es mucho menor que en el caso lineal.
La conclusión es que los interferómetros no lineales permiten realizar medidas mucho
más precisas que los lineales.
Esta ventaja no sólo se pone de manifiesto con estados de luz exóticos como
0 fotones  N fotones . Incluso cuando la luz que ilumina el interferómetro es clásica
los interferómetros no lineales mejoran con mucho las prestaciones de los lineales.
Obtener buenas medidas con luz clásica es muy interesante puesto que la luz clásica es
mucho más robusta frente a imperfecciones que la luz no clásica. Esto se ha demostrado
por ejemplo considerando detectores ineficientes en los que parte de los fotones se
pierden y no son detectados.
Las no linealidades ya se han usado con anterioridad para mejorar las prestaciones de
los interferómetros pero con una filosofía diferente puesto que se no linealidad se
planteaba para generar estados de luz no clásicos con los que iluminar los
interferómetros lineales. El análisis anterior demuestra que es preferible utilizar no
linealidades directamente para imprimir la señal en la luz en el interferómetro, en lugar
de usarlas para la generación de los estados que lo iluminan.
Hay que tener en cuenta que en óptica las transformaciones no lineales son muy
sencillas de implementar en la práctica puesto que consiste en que la luz se propague en
un medio con propiedades ópticas no lineales, que son bien conocidos.
Hemos comparado distintos tipos de no linealidad y hemos encontrado que, bajo
condiciones equivalentes, las transformaciones que no producen enredamiento
(entanglement) son más eficientes que las que lo producen, quizás paradójicamente.
Este es un resultado interesante puesto que se suele creer que el enredamiento es
necesario para un tratamiento óptimo de la información. Este caso parece ser una
excepción.
Phase-shift amplification for precision measurements without nonclassical states
A. Luis, Phys. Rev. A 65, 025802 (2002)
Reaching quantum limits for phase-shift detection with semiclassical states
A. Luis, J. Opt. B: Quantum Semiclass. Opt. 6, 1 (2004)
Heisenberg limit for displacements with semiclassical states
A. Luis, Phys. Rev. A 69, 044101 (2004)
Nonlinear transformations and the Heisenberg limit
A. Luis, Phys. Lett. A 329, 8 (2004)
Breaking the Heisenberg limit with inefficient detectors
J. Beltrán, A. Luis, Phys. Rev. A 72, 045801 (2005)
Quantum limits, nonseparable transformations, and nonlinear optics
A. Luis, Phys. Rev. A 76, 035801 (2007)