Aritmética RAZONES – PROPORCIONES Profs.: Equipo de Aritmética

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Aritmética
Profs.: Equipo de Aritmética
RAZONES – PROPORCIONES
Razón: Comparación de dos términos:
El primero Término : Antecedente
El segundo Término : Consecuente
Proporción: Igualdad de dos razones.
Continua
Aritmética
a b  bc
"b " es media diferencial de "a y c"
"c " es tercera diferencial de "a y b"
Aritmética
a b  r
Discreta
a b  cd
"d " es cuarta diferencial de "a, b
y
c"
Pr oporción
Razón
Continua
Geométrica
Geométrica
a
r
b
a b

b c
"b " es media proporcional de "a y c"
"c " es tercera proporcional de "a y b"
Discreta
a c

b d
"d " es cuarta proporcional de "a, b
NOTA :
Proporción Contínua : Cuando los término s medios son iguales.
PROPIEDADES
Proporción Discreta : Cuando todos los términos son diferentes.
Para la proporción : a  c cumple :
b
d
y
c"
Academia Antonio Raimondi
ab
cd

b
d
a
c

ba
dc
ab
cd

b
d
a
c

ba
d c
…siempre los primeros
2
I.- La suma de los antecedentes sobre la
suma de los consecuentes NO hace variar la
razón:
a 1  a 2  a 3  ....  a n
 k (No cambia)
b 1  b 2  b 3  ...  b n
ac
a
c


bd
b
d
PARA RAZONES GEOMÉTRICAS
EQUIVALENTES:
a1
a
a
a
 2  3  ....  n  k (razón)
b1
b2
b3
bn
II.- El producto de los antecedentes sobre el
producto de los consecuentes hace variar la
razón:
a 1  a 2  a 3  ....  a n
n
 k (Si cambia)
b 1  b 2  b 3  ...  b n
PROBLEMITAS
1. La razón aritmética y la razón geométrica de
10
dos números son 15 y
respectivamente.
7
Hallar el valor del consecuente de dichas razones.
a) 42
b) 35
c) 28
d) 50 e) 25
2. La suma de dos números es 806, si su razón es
4
. ¿Cuál es su razón aritmética?
9
a) 248
b) 320
c) 558
d) 50 e) 310
3. Dos números son entre sí como 6 es a 7; si su
producto es 2688. Dar la diferencia de los
números.
a) 8
b) 384
c) 64
d) 48 e) 56
4. Pamela recibe S/.280 de su padre, enseguida
compra un vestido y piensa “lo que gasté y no
gasté están en relación de 5 a 9”. ¿Cuánto le
queda luego de hacer la compra?
a) 160
b) 100
c) 140
d) 180 e) 120
5. A una fiesta asistieron 180 persona entre
varones y mujeres, si por cada 5 mujeres hay 4
varones. ¿Cuál es la relación entre el número de
mujeres y el número de varones después que se
retiran 20 parejas?
a) 5:4
b) 4:3
c) 3:4
d) 9:7
e) 7:9
6. En un corral el número de pavos excede al
número de gallinas en 75.Además se observa que
por cada 8 pavos hay 5 gallinas. ¿Cuál es el
número de pavos y gallinas que hay en el corral?
a) 315
b) 375
c) 325
d) 800 e) 625
7. La suma y diferencia de dos números están en
relación de 11 a 7. Cuando el mayor disminuye en
40 y el menor aumenta en 30, ambos resultan
iguales. ¿Cuál es el mayor?
a) 10
b) 20
c) 30
d) 70
e) 90
8. Hallar la media diferencial de 353 y 535.
a) 442
b) 244
c) 444
d) 888 e) 424
9. ¿Cuál es la media proporcional de 140 y 35?
a) 60
b) 70
c) 80
d) 140 e) 210
10. ¿Cuál es la tercera diferencial de 800 y 500?
a) 200
b) 100
c) 400
d) 250 e) 650
11. Hallar la tercera proporcional de 5 y 15.
a) 20
b) 75
c) 10
d) 25
e) 45
12. Hallar la cuarta proporcional de 20; 50 y
110.
a) 275
b) 280
c) 265
d) 175 e) 135
13. Hallar la cuarta diferencial de 100 y de la
tercera diferencial de 120 y 90; y de la media
proporcional de 100 y 49.
a) 15
b) 40
c) 60
d) 30 e) 90
14. Hallar el valor de P  A  M E , SI:
P: Cuarta diferencial de 6; 10 y 14.
A: Media Proporcional de 1 y 4.
M: Tercera proporcional de 16 y 12.
E: Media diferencial de 12 y 16.
a) 40
b) 41
c) 42
d) 43 e) 44
Academia Antonio Raimondi
Fharytmética
3
15. Tres números son entre sí como 2; 3 y 5,
sabiendo que su suma es 180. ¿Cuál es el valor del
mayor número?
a) 100
b) 90
c) 120
d) 54
e) 36
16. Los antecedentes de varias razones
equivalentes son: 3; 4 y 5. Si la suma de los 2
primeros consecuentes es 42. Hallar el último.
a) 20
b) 90
c) 30
d) 15
e) 60
17. Se conoce que: A  B  C  1200 , además:
3 5 10
 
. Por lo tanto diga Ud. ¿Cuál es el
A B C
valor de A  B  C ?
a) 36
b) 18
c) 42
d) 72
e) 54
18. En una serie de 4 razones geométricas
equivalentes los antecedentes son: 14; 28; 56 y
98. Si el producto de los tres primeros
consecuentes es 216. Hallar el cuarto
consecuente.
a) 35
b) 14
c) 21
d) 7
e) 42
19. En una proporción geométrica continua, la
suma de los términos es 32 y la diferencia de los
extremos es 16. Hallar el producto de los
extremos
a) 6
b) 12
c) 48
d) 20
e) 36
20. La suma de los 4 términos de una
proporción geométrica continua es a la diferencia
de sus términos extremos como 3 a 1. ¿En qué
proporción están los términos extremos?
a) 2:1
b) 5:2
c) 7:3
d) 4:1 e) 5:9
a 28 e

  7 , además e  f  56 y
b
d
f
b  d  f  13 . Hallar: “a”
a) 7
b) 14
c) 21
d) 35
e) 28
21.
Si:
ab 3
bc 7

 .
y
ab 2
bc 3
ac
Calcular:
a c
27
29
25
23
a)
b)
c)
d)
23
21
24
27
22. Si:
e)
24
25
23. Si una ficha naranja equivale a 3 fichas rojas
y una ficha roja equivale a 6 fichas blancas,
entonces 90 fichas blancas equivalen a:
a) 20 rojas
b) 10 naranjas
c) 10 rojas
d) 20 naranjas
e) 5 naranjas
a c  11 b

 , además: a  b  c  19 .
b
a 1
c
Calcular a  b  c
a) 80
b) 224
c) 216
d) 240 e) 192
24. Si:
25. Si “b” es la media proporcional de “a” y “c”,
además a  b  c  93 y
“ab”
a) 42
b) 80
a 2  b2
2
b c
c) 20
2

1
. Hallar
25
d) 125
e) 45
PROMEDIOS
Es la cantidad media de varias cantidades diferentes. Existen:
Promedio Aritmético (Ma)
Ma 
Promedio Geométrico (Mg)
a 1  a 2  ...  a n
n
Mg  n a 1  a 2  ...  a n
Promedio Armónico (Mh)
Mh 
n
1
1
1

 ... 
a1 a 2
an
Para dos números A y B:
Ma 
2
A B
2
Mg  Ma  Mh
Mg 
A B
Ma  Mg  Mh
EJERCICIOS
I. Hallar el promedio aritmético de:
1) 12; 25; 35 y 24
Rpta: 24
2) 16; 22; 32; 40 y 50
Rpta: 32
Mh 
2AB
A B
Ma  Mh  A B
3) 44; 32; 55; 39; 68 y 56
Rpta: 49
II. Hallar el promedio geométrico de:
1) 9 y 36
Rpta: 18
2) 12; 32; y 36
Rpta: 24
Academia Antonio Raimondi
3) 6; 9; 16 y 24
Rpta: 12
III. Hallar el promedio armónico de:
1) 3 y 6
Rpta: 4
2) 8; 6 y 24
Rpta: 9
3) 6; 6 y 6
Rpta: 6
4) 10; 12; 20 y 30
Rpta: 15
PROBLEMITAS
1. Pamela obtuvo puntajes de 87, 83 y 88 en sus
primeras tres notas de matemáticas este
semestre. Si recibe un 90 en la cuarta nota,
entonces su promedio.
a) Se incrementa en 4
b) Se incrementa en 3
c) Se incrementa en 2
d) Se incrementa en
1
e) No cambiara
2. Dados los números 12; 18 y 27, calcular el
error que se comete al tomar el promedio
aritmético como promedio geométrico.
a) 1,5
b) 1
c) 0,5
d) 2
e) 0, 3
3. El promedio de A y 10 es 15, el promedio de C
y 15 es 10 y el promedio de A; 10; B; 35; C y 15 es
20. Hallar el valor de A  B  C .
a) 40
b) 50
c) 55
d) 60
e) 45
4. La media aritmética de 5 números es 85.Si se
considera un sexto número entonces el promedio
aumenta en 15, por lo tanto el sexto número es:
a) 175
b) 185
c) 165
d) 195 e) 155
5. El mayor promedio de dos números es 100
mientras que su menor promedio es 36. hallar la
diferencia de dichos números.
a) 120
b) 220
c) 160
d) 150 e) 180
6. Si las medias aritmética y geométrica de dos
números “m” y “n” son 4 y 5. hallar la Mh (m; n) .
a) 3
b) 3,2
c) 3,4
d) 6
e)
6,4
7. Un tren recorre la distancia que separa dos
ciudades A y B a una velocidad de 60 m/s ; pero
al regreso de B hacia A de 140 m/s. Cual es la
velocidad promedio del recorrido.
a) 84
b) 86
c) 88
d) 82 e) 80
8. Un ciclista recorre una pista cuya forma es de
un triángulo equilátero con velocidades de 4 m/s;
6 m/s y 12 m/s cada lado respectivamente. Cual
es la velocidad promedio del recorrido total.
a) 8
b) 6
c) 10
d) 7
e) 6,3
…siempre los primeros
4
9. Si el promedio de las edades de 4 personas es
de 18 años y ninguno de ellos tiene menos de 15
años. Cual es la mayor edad que pueda tener uno
de ellos.
a) 24
b) 35
c) 27
d) 36 e) 22
10. Si el promedio de las edades de 5 personas es
de 20 años y ninguno tiene más de 22 años. Cual
es la menor edad que pueda tener uno de ellos.
a) 12
b) 8
c) 14
d) 10
e) 16
 m.a    m.h  de A y B es 196 y
 m.a    m.g  es 245 ¿Cuál es la diferencia entre
11. Si
AyB¿
a) 20
b) 19
c) 23
d) 21
e) 22
12. En que relación están la media aritmética y la
media armónica de 2 números sabiendo que la
media aritmética es a la media geométrica como 5
es a 3.
a) 26/5
b) 5/9
c) 25/9
d) 16/3
e) 49/7
13. El promedio armónico de 20 números
diferentes es 18 y el promedio armónico de otros
30 números diferentes es 54. Hallar el promedio
armónico de los 50 números.
a) 16
b) 20
c) 30
d) 40
e) 50
14. El promedio aritmético de 20 números es 35 y
el promedio aritmético de otros 30 números es
60. Hallar el promedio aritmético de los 50
números.
a) 60
b) 50
c) 70
d) 40
e) 20
15. El promedio aritmético de 25 números 20, si
el promedio aritmético de 5 de ellos es 20 ¿Cuál
es la suma de los números restantes?
a) 300
b) 70
c) 400
d) 600 e) 500
16. El promedio aritmético de 5 números pares
consecutivos es 24. Hallar el promedio
Geométrico de la 5ta parte del menor y la séptima
parte del mayor.
a) 6
b) 4
c) 2
d) 5
e) 8