PROPIEDADES MÉTRICAS

PROPIEDADES MÉTRICAS
Producto escalar
APLICACIÓN A PROBLEMAS
 
ur  us
Ángulo que forman dos rectas cos( r , s )   
ur  us
 
Si las rectas son perpendiculares, u r  u s  0 .
 
n 1  n 2
 
Ángulo que forman dos planos cos( 1 ,  2 )  cos(n 1 , n 2 )  

n 1  n 2
 
Si los planos son perpendiculares, n 1  n 2  0 .

ur
 
Ángulo que forman un plano y una recta sen(r ,  )  cos(u r , n )  
ur
 
Si el plano y la recta son paralelos, u r  n  0 .
 
Si el plano y la recta son secantes, u r  n  0
Producto vectorial
 
Área del paralelogramo: u  v
Área del triángulo:
Producto mixto
1  
u v
2
  
Volumen del paralelepípedo: u, v , w
Volumen del tetraedro:
1   
u , v , w
6

 n

 n
Perpendicularidad y punto medio Determinar un punto simétrico a uno dado:
de un segmento.
 Respecto de una recta: Se siguen los siguientes pasos:
1. Hallar el plano perpendicular a la recta que contiene al punto dado (A).
2. Hallar el punto de corte (M) del plano y la recta (M es la proyección del punto dado (A)
sobre el plano)
3. Hallar las coordenadas del punto simétrico sabiendo que M es el punto medio del
segmento AP.
 Respecto de un plano: Se siguen los siguientes pasos:
1. Hallar la recta perpendicular al plano que contiene al punto dado (A).
2. Hallar el punto de corte (M) de la recta y el plano
3. Hallar las coordenadas del punto simétrico sabiendo que M es el punto medio del
segmento AP.
Cálculo de distancias

Distancia entre dos puntos (Módulo del vector) d ( A, B)  AB
En estos problemas si nos piden el
Ax1  By1  Cz1  D
o los puntos de una recta que Distancia entre un punto y un plano: d ( P,  ) 
distan…. se expresa el punto de la
A2  B 2  C 2
recta en forma paramétrica para
D
Si el punto es el origen de coordenadas, d (O,  ) 
tener una sola incógnita.
A2  B 2  C 2
Excepto en la distancia entre dos Distancia entre planos paralelos:
puntos, todas las demás distancias *Se puede calcular la distancia de un punto de un plano al otro plano utilizando la fórmula anterior.
son
distancias
mínimas
D1  D2
*También se puede calcular utilizando la siguiente fórmula: d ( 1 ,  2 ) 
para aplicar
(perpendicular).
A2  B 2  C 2
esta fórmula los coeficientes A, B y C de las ecuaciones de los dos planos tienen que ser los mismos.
Distancia entre una recta y un plano: solo se puede calcular si son paralelos, utilizando la fórmula
de la distancia entre un punto y un plano d ( Pr ,  ) . El punto puede ser cualquier punto de la recta ya
que son paralelos.
Distancia entre un punto y una recta: Se corresponde con el área del paralelogramo determinado
por el vector director de la recta y el vector que tiene como origen un punto de la resta y como
 
Ar P  u r
extremo, el punto al que se quiere calcular la distancia. h  d ( P, r ) 

ur
La distancia entre dos rectas paralelas se calcula con la misma fórmula, hallando la distancia de un
punto de una a la otra.
Distancia entre rectas que se cruzan: Se corresponde con la altura del paralelepípedo que tiene
como lados los dos vectores de las dos rectas y el vector que tiene como origen un punto de una y
  
Ar As , u r , u s
como extremo un punto de la otra. h  d (r , s) 
 
ur  us


También se puede calcular mediante la distancia de un punto de una de las rectas al plano paralelo a ella y que contiene a la otra
Perpendicular común a dos
rectas que se cruzan
Se puede determinar por dos caminos: (mirar ejercicios resueltos de la página 157)
-
Como intersección de dos planos. Cada plano está determinado por el vector y el punto de
una de las rectas y por el vector producto vectorial de los vectores directores de las dos rectas.
  

  

 1 det(AP, ur , ur  us )  0
r:
 1 det(AP, ur , ur  us )  0
Con los puntos de corte de esta recta con cada una de las dos que se puede determinar la
distancia entre las dos rectas. (tercer procedimiento)
-
Por puntos genéricos.
a) Se plantea un punto genérico de cada recta expresándolo en forma paramétrica y
utilizando un parámetro diferente para cada una.
b) Para que los puntos pertenezcan a la perpendicular común el producto escalar del vector
que forman con el vector director de cada recta tiene que ser 0.
 
Pr Ps  ur  0
 
Pr Ps  u s  0
c) Al resolver el sistema determinamos dos puntos de la perpendicular común que nos
permiten hallar dicha recta y la distancia entre ambas.
Con los puntos de corte de esta recta con cada una de las dos que se puede determinar la
distancia entre las dos rectas.