Matematicas II Junio - Prepa 20-30

MATEMÁTICAS II
ECUACIONES DE SEGUNDO GRADO
RESOLUCION POR FORMULA GENERAL:
x  42  2x5x  1  7x  2 Simplificando : 9x 2 17x  2  0 ; Formula
  17   172  49 2
17  19
Sustituyendo x 
; x
;
18
29
x2
x
x
 b  b 2  4ac
2a
1 Resultado
9
11
Resultado
4
9x  1  3 x 2  5  x  3x  2 _____________ x  1, x  5 Resultado
13
13 3
4x  
___________________________ x  2, x  
Resultado
8
x 2
EJERCICIO : 4 x 2  3x  22  0 ________________________ x  2, x  


RESOLUCION POR FACTORIZACION:
6 9
4
4 x  24 4 x  3  0
   Simplificando: 4 x 2  27x  18  0 ; 16x 2  274x  72  0 ;
2
4 1
x
3
x
x6
x6  0
x  64x  3  0 ;
;
3 Resultado
x
4x  3  0
4
EJERCICIO : xx  3  5x  3 ___________________________ x  3, x  1 Resultado
25
x  22  2x  32  80 ____________________ x  3, x   Resultado
3
RESOLUCION POR C.T.C.P. :
1
7
11
20
84
20
400 84 400
2
2
 2 
x
x


Simplificando : 11x 2  20x  84  0 ; x 
; x 
11
11
11
484 11 484
3x 5 x
60
x2
2
64 20
20 
4096


; x
;
x  
42 Resultado
x
22 22
22 
484

11
EJERCICIO : 20x 2  27x  14  0 ________________________ x 
7
2
, x   Resultado
4
5
x2 x
  3x  5 ________________________ x  6, x  15 Resultado
6 2
POR CUALQUIER METODO:
-
-
Un tren ha recorrido 200 Km en cierto tiempo. Para haber recorrido esa distancia en una
hora menos, la velocidad debía haber sido10 km por hora más. Hallar la velocidad del
tren.
La longitud de una sala excede a su ancho en 4 mts. Si cada dimensión se aumenta en 4
mts el área será doble. Hallar las dimensiones de la sala.
RADICALES
SIMPLIFICACION
Resolución : 2 75x 4 y 5 ;2 25 3  x 4  y 4  y ; 10x 2 y 2 3 y Resultado
Ejercicio : 5a3 160x 7 y 9 z 13 _____________________ 10ax2 y 3 z 4 3 20xz Resultado
1
108 a 5b 7
2
_____________________ 3a 2b3 3ab Resultado
SUMA Y RESTA
Resolución : 2 450  9 12  7 48  3 98 ; 2 225 2  9 4  3  7 16 3  3 49 2
30 2  18 3  28 3  21 2 ; 9 2 10 3 Resultado
Ejercicio :
175  243  63  2 75 _____________________ 2 7  3 Resultado
80  2 252  3 405  3 500 __________________ 5 12 7 Resultado
MULTIPLICACION



Resolución : 3 2  5 3 4 2  3 ; 12 4  3 6  20 6  5 9 ; 24 17 6 15 ; 9  17 6 Resultado

 a

a 1 a  2

Ejercicio : 7 5 11 7 5 5  8 7 ______________________________ 791111 35 Resultado

a 1 _________________________ 3a  2  3 a 2  a Resultado
DIVISION
Resolución :
75x 2 y 3  5 3xy ;
1
1
25 xy 2 ; 5 y  x ;
5
5
y x Resultado
Ejercicio : 4x a3 x 2  2 a 2 x3 _______________________ 2 ax Resultado
33 16a5  43 2a 2 ________________________
3a
Resultado
2
RACIONALIZACION
Resolución :
Ejercicio :






52 7
20  11 35  42 62 11 35
5 2 7 4 5 3 7
;
;
;
Resultado
17
4 5  3 7 4 5  3 7 4 5  3 7 16 25  9 49
6 21  29
4 3 3 7
_________________________________
Resultado
17
2 3 3 7
7  3 11
________________________________ 9711 77 Resultado
5 7  4 11
ANGULOS Y TRIANGULOS
CONCEPTOS DE : Angulo, triangulo, clasificación de los ángulos, clasificación de los
triángulos, bisectriz, mediatriz, altura, mediana, incentro, circuncentro, baricentro, ortocentro.

Completa los siguientes cuadros expresando los ángulos dados, en las unidades
correspondientes:
Grados
Radianes
Revoluciones
Grados
Radianes Revoluciones
120
1.25
2.17
7.15
.87
420

Construir un triángulo obtusángulo que tenga un ángulo de 120º y los lados que lo
forman midan 2cm y 6cm, trazar sus alturas y ubicar el ortocentro.

Construir un triángulo equilátero de 5cm de lado, trazar sus mediatrices, ubicar el
circuncentro y trazar la circunferencia circunscrita.

Construir un triángulo rectángulo cuyos catetos midan 3cm y 7cm, calcule el valor de la
hipotenusa, trazar sus bisectrices, ubicar el incentro y trazar la circunferencia inscrita.

Construir un triángulo isósceles que tenga un ángulo de 70º y los lados que lo forman
midan 4cm, Trazar sus medianas y ubicar el baricentro.
POLIGONOS, CIRCUNFERENCIA Y CIRCULO
CONCEPTOS DE : Polígono, clasificación de polígonos, vértice, diagonal, apotema, centro,
radio, ángulo central, circunferencia, círculo, diámetro, cuerda, tangente, secante, arco,
ángulos de la circunferencia.
PROBLEMAS SOBRE AREAS Y PERIMETROS :
Calcular el área de un hexágono regular sabiendo que sus lados miden 70 cm c/u
Resultado 12726cm2
Calcular el área de una corona que tiene como radio mayor 52 cm., radio menor 42 cm.
Resultado 2953cm2
Calcular el área del trapecio circular de radio mayor 1.25 m, radio menor .25 m. Y que describe
un arco de 75.6º .
Resultado 0.9896m2
Calcular el área de un sector de una circunferencia de 3 metros de diámetro y que describe un
arco de 103.2º
Resultado 2.026m2
Calcular el área de un triangulo equilátero cuyo perímetro es de 12 m.
Resultado 6.923m2
Encuentra el perímetro de un rombo, si su área es de 120 m2 y la diagonal menor mide 12 m.
Resultado 46.645m
Hallar el perímetro de una circunferencia inscrita en un cuadrado de 20 cm de lado.
Resultado 62.83cm
Encuentra el área y el perímetro de un trapecio isosceles si sus bases miden 31 y 42 cm , y su
altura es de 12 cm.
Resultado Area = 438cm2
Perímetro = 99.4 cm
Encuentra el área de un rombo que tiene 32 m de perímetro y su diagonal menor mide 10 m .
Resultado 62.445m2
El ABCD es un cuadrado OA  4cm
Calcule el área de la parte sombreada de la figura.
La figura ABC es un equilátero. AB  BC  CA  10cm. P, M y N son los puntos medios de los
lados. Calcule el área de la parte sombreada de la figura.
TRIGONOMETRIA
TRIANGULOS RECTANGULOS
Nombre los lados del siguiente triangulo rectángulo, en función del ángulo que se
identifica y escriba las funciones trigonométricas en función del mismo ángulo:
a
b
c
b
A
c
a
sen A 
csc A 
cos A 
sec A 
tan A 
cot A 
Escribe la formula del teorema de
Pitágoras:
Calcular los elementos que faltan en cada uno de los siguientes triángulos rectángulos:
Resuelto: hipotenusa =32.68 cm y un cateto 15.25 cm
Cateto: 32.682  15.252  a 2 ; a 2  1067.9  232.6 ; a  835.3 ; a  28.9cm Resultado
Angulo A : CosA 
15 .25
; CosA  0.4666 ; A  Cos1 0.4666; A=62º 13’ Resultado
32 .68
Angulo B : 90º -62º 13’ =27º 47’
B=27º 47’ Resultado
EJERCICIO:
-
La hipotenusa mide 11.2 cm y un cateto 6.48 cm
Resultados: cateto=9.14 cm , ángulos 54º 40’ y 35º 20’
-
Los dos catetos miden 14.9 cm y 16.9 cm
Resultados : hipotenusa=22.5 cm , ángulos 48º 40’ y 41º 20’
-
Un ángulo mide 23º 18´ y su cateto opuesto 13.7 cm
Resultados : cateto ad. =31.8 , hipotenusa=34.6 cm , ángulo 66º 42’
-
Un ángulo mide 54º 12´ y la hipotenusa 18.2 cm
Resultados : ángulo 35º 48’ , catetos 10.6 cm y 14.8 cm
-
Un ángulo mide 58º 40´ y su cateto adyacente 38.6 cm
Resultados : ángulo 31º 20’ , cateto 63.4 cm , hipotenusa 74.2 cm
Un cable guía de 600 pies esta sujeto a la parte superior de una torre de comunicaciones.
Si el cable forma un ángulo de 65º con la tierra ¿Cuál es la altura de la torre de
comunicaciones?:
TRIANGULOS OBLICUANGULOS
Identifica con las letras correspondientes los lados y ángulos restantes del siguiente
triangulo oblicuángulo:
(1)
(2)
c
(3
)
(4)
A
1.
2.
3.
4.
Escribe la formula de ley de senos para calcular el lado
“a”:
Escribe la formula de ley de senos para calcular el
ángulo “B”:
Escribe la formula de ley de cosenos para calcular el
lado “b”:
Escribe la formula de ley de cosenos para calcular el
ángulo “C”:
Encuentra los elementos que faltan en los siguientes triángulos oblicuángulos :
Resuelto : dos lados miden 132 y 224 cm , y el ángulo que forman 28º 40’
Tercer lado : l  1322  2242  2132224cos280 40´
l  125 cm Resultado
132 sen28 40
A  30030´ Resultado
125
0
0
0
Angulo B : 180  28 40´30030´ B  120 50´ Resultado
Ángulo A: senA 
0
´
Ejercicio :
>Un lado 12.5 cm , su ángulo opuesto 54º 40’ y otro ángulo 65º 10’
Resultados : ángulo 60º 10’ , lados 13.9 y 13.3 cm
>Un lado 51.2 cm , su ángulo opuesto 48º 50’ y otro lado 42.6 cm
Resultados : lado 68 cm , ángulos 38º 50’ y 92º 20’
>Los tres lados 24.5 cm , 18.6 cm y 26.4 cm
Resultados : ángulos 74º 8’ , 63º 12’ y 42º 40’
Un árbol en una ladera proyecta una sombra de 215 pies colina abajo. Si el ángulo de
inclinación de la ladera es de 22º con la horizontal y el ángulo de elevación del sol es de
52º, ¿Cuál es la altura del árbol?