Referencias que se usarán en los ejercicios

Generador de Exámenes. Curso 3.º ESO Aplicadas. Tema 9. Teoremas de Thales y Pitágoras
3.º ESO
Tema 9. Teoremas de Thales y Pitágoras
1. Lugares geométricos y ángulos
3ESO09e01
Enunciado
Dibuja un segmento de 3,5 cm y su mediatriz.
Solución
3ESO09e02
Enunciado
Dibuja un ángulo de 55° y su bisectriz.
Solución
3ESO09e03
Enunciado
Halla el complementario y el suplementario de un ángulo de 53°
Solución
Complementario: 90° – 53° = 37°
Suplementario: 180° – 53° = 127°
3ESO09e04
Enunciado
Halla la suma de los ángulos de un heptágono convexo.
Solución
S = (n – 2) · 180°  S = (7 – 2) · 180° = 5 · 180° = 900°
3ESO09e05
Enunciado
Halla cuánto mide cada uno de los tres ángulos formados por las siguientes rectas.
Solución
El opuesto por el vértice mide 60°
Cada uno de los otros dos son suplementarios, luego miden 180° – 60° = 120°
3ESO09p01
Enunciado
Halla el valor de cada uno de los ángulos de un eneágono regular.
Solución
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S = (n – 2) · 180°  S = (9 – 2) · 180° = 7 · 180° = 1260°
Cada uno de los cinco ángulos mide 1260° : 9 = 140°
3ESO09p02
Enunciado
Calcula el valor de cada uno de los tres ángulos del triángulo que hay dentro del pentágono
regular.
Solución
El ángulo central mide 360° : 5 = 72°
Entre los otros dos: 180° – 72° = 108°  Cada uno 108 : 2 = 54°
2. Teorema de Thales
3ESO09e06
Enunciado
Calcula la distancia B’C’ del siguiente dibujo:
Solución
3,6 · 4
A' B' B' C'
3,6 B' C'
= 4,8 cm



 B' C' 
AB
BC
3
4
3
3ESO09e07
Enunciado
Calcula la distancia CC’ en el siguiente dibujo:
Solución
Los triángulos ABC y AB’C’ están en posición de Thales.
AB' AC '
3,5 AC '
3,5 · 2,4
= 4,2 cm  CC’ = 4,2 – 2,4 = 1,8 cm



 B' C ' 
AB AC
2
2,4
2
3ESO09e08
Enunciado
Divide un segmento de 5 cm en 4 partes iguales.
Solución
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3ESO09e09
Enunciado
Dibuja un cuadrado de 1,5 cm de lado y otro semejante de razón de semejanza 1,8. ¿Cuánto
mide el lado del cuadrado semejante?
Solución
A’B’ = r · AB  A’B’ = 1,8 · 1,5 = 2,7 cm
3ESO09p03
Enunciado
Calcula la altura de una pirámide de Egipto sabiendo que su sombra mide 120 m y en ese
mismo momento la sombra de una persona que mide 1,80 m es de 2 m
Solución
2 120
120 · 1,8

x
= 108 m
1,8
x
2
3ESO09p04
Enunciado
Calcula la altura de una farola sabiendo que su sombra mide 8 m y en ese mismo momento la
sombra de un palo de 1,2 m mide 1,5 m
Solución
1,2 · 8
1,5 8
 x
= 6,4 m
1,2 x
1,5
3ESO09p05
Enunciado
Se tiene un cilindro inscrito en un cono de radio R = 5 cm y altura H = 10 cm. Si el radio de la
base del cilindro mide 2 cm. ¿Cuánto mide la altura?
Solución
Los triángulos están en posición de Thales, sus lados
son proporcionales
3 ·10
5 10
= 6 cm

h
3 h
5
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3. Teorema de Pitágoras
3ESO09e10
Enunciado
Dibuja un triángulo rectángulo cuyos catetos miden 4,2 cm y 2,8 cm. Halla cuánto mide la
hipotenusa.
Solución
Se aplica el teorema de Pitágoras
a2 = b2 + c2 ⇒ a2 = 4,22 + 2,82 = 25,48
a = 25,48 = 5,05 cm
3ESO09e11
Enunciado
Dibuja un triángulo rectángulo en el que la hipotenusa mida 4,5 cm y un cateto 3,5 cm. Halla
cuánto mide el otro cateto.
Solución
Se aplica el teorema de Pitágoras:
b2 + c2 = a2 ⇒ 3,52 + c2 = 4,52 ⇒ c2 = 8
c = 8 = 2,83 cm
3ESO09e12
Enunciado
De las siguientes ternas indica cuáles son pitagóricas:
a) 1, 2, 3
b) 2, 3, 4
c) 3, 4, 5
d) 4, 5, 6
Solución
La única terna pitagórica es 3, 4, 5 porque 32 + 42 = 52
3ESO09e13
Enunciado
Añade un número a la pareja 5 y 12 para que sea una terna pitagórica.
Solución
La única terna pitagórica es 5, 12, 13 porque 52 + 122 = 132
3ESO09e14
Enunciado
Calcula la diagonal de un ortoedro de aristas 6 m, 4 m y 3 m
Solución
Se aplica el teorema de Pitágoras en el espacio
D2 = 62 + 42 + 32 = 36 + 16 + 9 = 61
D = 61 = 7,81 m
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3ESO09p06
Enunciado
Calcula la altura de un triángulo equilátero de lado 3 m
Solución
Se aplica el teorema de Pitágoras:
h2 + 1,52 = 32  h2 = 6,75
h = 6,75 = 2,60 m
3ESO09p07
Enunciado
Calcula la apotema de un hexágono regular de lado 6 m
Solución
Se aplica el teorema de Pitágoras:
a2 + 32 = 62  a2 = 27
h = 27 = 5,20 m
3ESO09p08
Enunciado
Calcula la diagonal de un cuadrado de lado 3 cm
Solución
Se aplica el teorema de Pitágoras:
d2 = a2 + a2  d2 = 18
h = 18 = 4,24 cm
3ESO09p09
Enunciado
Calcula la el radio de la base de un cono recto sabiendo que la altura mide 8 cm y la generatriz
10 cm
Solución
Se aplica el teorema de Pitágoras:
R2 + H2 = G2  R2 + 82 = 102  R2 = 36
R = 36 = 6 cm
3ESO09p10
Enunciado
Dibuja una pirámide recta cuadrangular en la que la arista de la base mida 4 cm, y la altura,
6 cm. Calcula su apotema.
Solución
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Se aplica el teorema de Pitágoras:
h2 = H2 + (a/2)2  h2 = 62 + 22  h2 = 40
h = 40 = 6,32 cm
3ESO09p11
Enunciado
Dibuja un tronco de pirámide recta cuadrangular en el que la arista de la base mayor mida 4 cm;
la arista de la base menor, 2,4 cm, y la altura, 1,5 cm. Halla su apotema.
Solución
Se aplica el teorema de Pitágoras:
h2 = 0,82 + 1,52  h2 = 2,89
h = 2,89 = 1,70 cm
3ESO09p12
Enunciado
Dibuja un tronco de cono recto en el que el radio de la base mayor mida 3,5 m; el de la base
menor, 2 m; y la altura, 6 m. Halla su generatriz.
Solución
Se aplica el teorema de Pitágoras:
G2 = 1,52 + 62  h2 = 38,25
h = 38,25 = 6,18 m
4. Área de figuras planas
3ESO09e15
Enunciado
Calcula el área de un triángulo cuyos lados miden 14 m, 16 m y 26 m
Solución
Se aplica la fórmula de Herón.
Perímetro = 56 m  p = 28 m
A = p( p  a)( p  b)( p  c)
A=
28 ·14 ·12 · 2 = 97 m2
3ESO09e16
Enunciado
Calcula el área de un rombo cuyas diagonales miden 5 cm y 3 cm
Solución
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Área
D·d
2
5·3
A=
= 7,5 cm2
2
A=
3ESO09e17
Enunciado
Calcula el área de un romboide en el que la base mide 24 m y la altura tiene 10 m
Solución
Área
A=b·a
A = 24 · 10 = 240 m2
3ESO09e18
Enunciado
Calcula el área de un trapecio en el que las bases miden 3,2 cm y 1,8 cm y la altura tiene 2,3 cm
Solución
Área
Bb
·a
2
3,2  1,8
A=
· 2,3 = 5,75 cm2
2
A=
3ESO09e19
Enunciado
Calcula la longitud de una circunferencia cuyo radio mide 6 cm y el área del círculo
correspondiente.
Solución
Longitud:
L = 2R
L = 2 · 3,14 · 6 = 37,68 cm
Área:
A = R2
A = 3,14 · 62 = 113,04 cm2
3ESO09e20
Enunciado
Calcula la longitud de un arco de 6,4 cm de radio cuya amplitud es de 150° y el área del sector
correspondiente.
Solución
Área:
Longitud:
R 2
2R
A=
· n
L=
· n
360
360
3,14 · 6,4 2
2 · 3,14 · 6,4
A=
·150 = 53,59 cm2
L=
·150 = 16,75 cm
360
360
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3ESO09e21
Enunciado
Calcula el área de una corona circular cuyos radios miden: R = 7,6 m y r = 5,4 m
Solución
Área:
A = (R2 – r2)
A = 3,14(7,62 – 5,42) = 89,80 m2
3ESO09p13
Enunciado
El radio de una rueda de bicicleta mide 50 cm. ¿Cuántas vueltas tiene que dar para recorrer un
kilómetro?
Solución
Longitud de la rueda: L = 2R  L = 2 · 3,14 · 0,5 = 3,14 m
N.º de vueltas: 1000 : 3,14 = 318,48 vueltas.
3ESO09p14
Enunciado
Halla el diámetro de un bote de conservas cilíndrico para que el área de la base sea de 78,5 cm2
Solución
78,5
A = R2  78,5 = 3,14 R2  R =
= 5 cm
3,14
3ESO09p15
Enunciado
En la reforma de una vivienda que tiene forma rectángular se tiran todos los tabiques. Si mide
12 m de larga por 8,5 m de ancho, ¿cuánto costará poner el suelo si se cobra a 55 €/m2?
Solución
Área de la vivienda: A = 12 · 8,5 = 102 m2  Coste: 102 · 55 = 5610 €
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