Examen 1 - Olimpiada Hondureña de Matemática

EXAMEN DEPARTAMENTAL DE OLIMPIADAS MATEMATICAS
NIVEL I
DEPARTAMENTO: _________________________________
NOMBRE:________________________________________
INSTITUTO:_______________________________________
FECHA DE NACIMIENTO:_____________________________
TELEFONO:_______________________________________
1. Los compañeros de clase de Dulce y Manuel ser formaron en una fila. Dulce tiene 16 niños
detrás de ella (incluyendo a Manuel), mientras que Manuel tiene 14 niños delante de él
(Incluyendo a Dulce). Si entre Dulce y Manuel hay 7 niños, ¿Cuántos niños hay en total en el
salón de Dulce y Manuel?
2. En cierto poblado viven 800 mujeres, De ellas, el 3% utiliza solo un arete. Del 97 % restante, la
mitad usa dos aretes y la otra mitad ninguno. ¿Cual es la cantidad de aretes que utilizan en total
todas las mujeres del pueblo?
Justifica tu respuesta.
3. Un semáforo tarda 45 segundos en verde, 4 segundos en amarillo y 30 segundos en rojo, y
sigue en orden verde amarillo y rojo durante todo el día. Si a las 7:00 a.m. cambia de rojo a
verde, ¿de que color estará a las 2:34 p.m.?
4. Definamos la operación
como: a
b = a2 + 3b. ¿Cual es el valor de ( 2
0)
(0
1 )?
5. Reparte los números del 1 al 9 de manera que obtengas horizontal, vertical y diagonalmente
números de tres dígitos que tengan la propiedad de ser divisibles entre 3, sin importar si lo lees
de izquierda a derecha, de arriba hacia abajo o viceversa. ) el 3 y el 8 están fijos)
8
3
EXAMEN DEPARTAMENTAL DE OLIMPIADAS MATEMATICAS
NIVEL II
DEPARTAMENTO: _________________________________
NOMBRE:________________________________________
INSTITUTO:_______________________________________
FECHA DE NACIMIENTO:_____________________________
TELEFONO:_______________________________________
1. ¿Cuántos números de siete dígitos son múltiplos de 388 y terminan en 388?
2. El peso de tres manzanas y dos naranjas es de 225 gr. , El peso de dos manzanas y tres naranjas es de 285 gr. Si
todas las manzanas son del mismo peso y todas las naranjas son del mismo peso, ¿ Cuanto pesan una manzana y
una naranja juntas?
3. Dos hermanos decidieron correr una carrera de 100 mts. El mayor ganó por 3 metros, es decir, cuando el mayor
llego a la meta el menor había recorrido 97 mts.. decidieron correr otra vez, pero ahora el mayor va a empezar 3
mts. Detrás de la línea de salida. Suponiendo que los dos corren como la vez anterior, ¿quien ganara esta vez?
4. Un velero siguió el siguiente trayecto. ¿Cuánto mide el ángulo a?
5. Si
y
¿Cuánto vale ?
EXAMEN DEPARTAMENTAL DE OLIMPIADAS MATEMATICAS
NIVEL III
DEPARTAMENTO: _________________________________
NOMBRE:________________________________________
INSTITUTO:_______________________________________
FECHA DE NACIMIENTO:_____________________________
TELEFONO:_______________________________________
1. En mi calculadora una de las teclas del 1 al 6 funciona mal: al apretarla aparece en pantalla un dígito entre 0 y 9
que no es el que corresponde. Cuando se trata de escribir el número 987654321, aparece un número divisible
entre 11 y que deja residuo 3 al dividirlo entre 9. ¿Cuál es la tecla descompuesta? ¿Cual es el número que
apareció en pantalla?
2. Juan y Andrés viajan en autobús. Cada boleto tiene impreso un número de 5 dígitos distintos. Juan observa que
los números además de consecutivos, son tales que la suma de los 10 dígitos es 62, que la suma de los dígitos de
uno de los boletos es 35 y que son los números más pequeños que se pueden formar con esos dígitos. ¿Cuáles
son los números?
3. Encuentre las ternas ( x , y , z ) con x , y , z enteros positivos, que cumplan :
4. El triangulo ABC es equilátero, el circulo inscrito tiene radio 1 cm. Y el círculo grande pasa por los vértices del
rectángulo ABDE. ¿Cuánto mide el diámetro del circulo grande?
5. Encuentre todos los enteros a , b tales que : a2 = 2b y b2 = 2a
NIVEL 1
1. Los compañeros de clase de Dulce y Manuel ser formaron en una fila. Dulce tiene 16 niños detrás de ella (
incluyendo a Manuel ), mientras que Manuel tiene 14 niños delante de él ( incluyendo a Dulce). Si entre Dulce y
Manuel hay 7 niños, ¿Cuántos niños hay en total en el salón de Dulce y Manuel?
Como entre Dulce y Manuel hay 7 niños, y hay 14 niós delante de Manuel incluyendo a Dulce, tenemos que hay 6 niós
delante de Dulce. Luego, el total de niños es 6 + 16 + 1 = 23, es decir, 6 niños delante de Dulce, 16 niños detrás de dulce
y Dulce.
2. En cierto poblado viven 800 mujeres, De ellas, el 3% utiliza solo un arete. Del 97 % restante, la mitad usa dos aretes
y la otra mitad ninguno. ¿ Cual es la cantidad de aretes que utilizan en total todas las mujeres del pueblo?
Justifica tu respuesta.
En total son 800 aretes.
3. Un semáforo tarda 45 segundos en verde, 4 segundos en amarillo y 30 segundos en rojo, y sigue en orden verde
amarillo y rojo durante todo el día. Si a las 7:00 a,m, cambia de rojo a verde, ¿ de que color estará a las 2:34 p.m.?
De 7:00 a.m. a las 2:34 p.m. han transcurrido 27,240 segundos. Si dividimos el numero de segundos transcurridos entre
45 + 4 + 30 = 79, obtenemos 344 ciclos de verde-amarillo y rojo y sobran 64 segundos, de los cuales el semáforo estará
45 segundos en verde, 4 en amarillo y los últimos 15 segundos en rojo. Por lo tanto a las 2:34 el semáforo estará en rojo.
4. Definamos la operación
¿ Cual es el valor de ( 2
como : a
0)
(0
b = a2 + 3b.
1 )?
0 = 2 2 + 30 = 4 + 1 = 5
Tenemos que 2
1 = 02 + 31 = 0 + 3 = 3. Luego
0
(2
0)
(0
1)=5
3 = 52 + 33 = 25 + 27 = 52
5. Reparte los nuemros del 1 al 9 de manera que obtengas horizontal, vertical y diagonalmente números de tres
digitos que tengan la propiedad de ser divisibles entre 3, sin importar si lo lees de izquierda a derecha , de arriba
hacia abajo o viceversa. ) el 3 y el 8 están fijos)
8
3
7
2
3
8
9
1
6
4
5
Nivel 2
1. ¿Cuántos números de siete dígitos son múltiplos de 388 y terminan en 388?
Para que el número abcd388 sea múltiplo de 388, necesitamos que abcd lo sea, luego abcd = 388r si y solo si 3
por lo tanto, hay 23 numeros de 7 dígitos que terminan en 388 y son múltiplos de 388.
2. El peso de tres manzanas y dos naranjas es de 225 gr. , El peso de dos manzanas y tres naranjas es de 285 gr. Si
ntodas las manzanas son del mismo peso y todas las naranjas son del mismo peso, ¿ Cuanto pesan una manzana
y una naranja juntas?
Denotemos por x el peso de cada manzana y y el peso de cada naranja, luego tenemos las dos ecuaciones 3x + 2y = 225 y
2x + 3y = 285. Sumando ambas ecuaciones obtenemos que 5x + 5y =510, por lo que x + y = 102. Por lo tanto , una
manzana y una naranja pesan juntas 102 gr.
3. Dos hermanos decidieron correr una carrera de 100 mts. El mayor ganó por 3 metros, es decir, cuando el mayor
llego a la meta el menor había recorrido 97 mts.. decidieron correr otra vez, pero ahora el mayor va a empezar 3
mts. Dtrás de la línea de salida. Suponiendo que los dos corren como la vez anterior, ¿ quien ganara esta vez?
Cuando el mayor reciorre 100 metros, el pequeño recorre 97 metros. En la segunda carrera el mayor recorre 103
metros, el pequeño recorre
= 99.91metros, es decir, que el mayor gana y al pequeño todavía le faltan 9
centimetros para llegar a la meta.
4. Un velero siguió el siguiente trayecto. ¿ Cuanto mide el ángulo a?
Dividamos el heptágono en 5 triangulos. La suma de los angulos internos del heptágono es 5 x 180 = 900º, luego se
tiene:
Tenemos que :
(180º - 50º ) + a + 60º + ( 360º - a ) + 30º + ( 360º - a ) + 40º = 900º
Despejando tenemos que a = 80º
5. Si
y
¿ Cuanto vale ?
Si invertimos las fracciones tenemos:
De donde:
NIVEL III
6. En mi calculadora una de las teclas del 1 al 6 funciona mal: al apretarla aparece en pantalla un dígiito entre 0 y 9
que no es el que corresponde. Cuando se trata de escribir el número 987654321, aparece un número divisible
entre 11 y que deja residuo 3 al dividirlo entre 9. ¿Cuál es la tecla descompuesta? ¿ Cual es el numero que
apareció en pantalla?
Sea abcdefghi el numero tecleado en la calculadora, este numero es divisible entre 11, esto es :
A + c + e + g + i – ( b + d + f +h ) = 11k, y deja residuo 3 al dividirlo entre 9, esto es :
A + b + c + d + e + f + g + h + i = 9r + 3. Observemos que 9 + 7 + 5 + 3 + 1 = 25 y 8 + 6 + 4 + 2 = 20.
Si la tecla descompuesta es el numero 6, y en su laugar aparece el 0, entonces se tiene:
9 + 7 + 5 + 3 + 1 – ( 8 + 0 + 4 + 2 ) = 11 y 9 + 8 + 7 + 0 + 5 + 4 + 3 + 2 + 1 = 39 = 9 ( 6 ) + 3.
Luego la tecla mala es la del numero 6 y el numero que salió fue 987054321.
7. Juan y andres viajan en autobús. Cada boleto tiene impreso un numero de 5 digitos distintos. Juan observa que
los números además de consecutivos, son tales que la suma de los 10 digitos es 62, que la suma de los digitos de
uno de los boletos es 35 y que son los números mas pequeños que se pueden formar con esos digitos. ¿Cuáles
son los números?
Supongamos que los números de los boletos de Juan y andres son dos números consecutivos que tienen todos los
números iguales excepto el digito de las unidades, es decir, son los números abcde y abcdf , donde f = e + 1. Luego,
tendríamos que 2a + 2b + 2c + 2d + 2f= 61, lo cual es imposible. Entonces uno de los números termina en 9 y el otro en
0, y son de la forma abcd9 y abce0, con e = d + 1. De aquí que a + b + c + d = 26 y a + b + c + e = 27. Entonces, los
números son
5 6 7 8 9 y 56790.
8. Encuentre las ternas ( x , y , z ) con x , y , z enteros positivos, que cumplan :
Como x , y , z tienen que ser enteros, x = 5X , y = 6Y , z = 7Z, para ciertos enteros X ; Y ; Z . luego sustituyendo las
igualdades anteriores en ambas ecuaciones , tenemos:
5X + 6Y + 7Z = 97
4X + 5Y + 6Z = 82
Restando la segunda ecuación de la primera, tenemos que X + Y + Z = 15.
Ahora consideremos las ecuaciones:
6X + 6Y + 6Z = 90
4X + 5Y + 6Z = 82
Restando la segunda de la primera, tenemos que 2X + Y = 8. Luego, tenemos las siguientes posibilidades:
X
1
2
3
Y
6
4
2
Z
8
9
10
x
5
10
15
y
36
24
12
z
56
63
70
Por tanto las ternas son : ( 5 , 36 , 56 ) , ( 10 , 24 , 63 ) y ( 15 , 12 , 70 ).
9. El triangulo ABC es equilátero, el circulo ionscrito tiene radio 1 cm. Y el circulo grande pasa por los vértices del
rectángulo ABDE. ¿ Cuanto mide el diámetro del circulo grande?
Encontremos primero la medida del lado del triangulo equilátero ABC. Denotemos por P el punto de tangencia de AB y al
circulo inscrito, y por O el centro de dicho circulo:
Como OB es bisectriz del angulo ABC, entonces PBO = 30º. Como OP = 1, y el triangulo PBO es un triangulo cuyos
angulos miden 30º , 60º y 90º, entonces OB = 2 y PB =
. Luego AB =
. Ahora, aplicando el teorema de Pitagoras al
triangulo CAP obtenemos que CP = 3.
Como EABD es un rectángulo y CP es perpendicular a AB, entonces EA = 3.
Ademas ,
BE =
EAB = 90º y BE es un diámetro, luego, aplicando el teorema de pitagoras al triangulo EAB, obtenemos que
. PO lo tanto, el diámetro del circulo grande mide
cm.
10. Encuentre todos los enteros a , b tales que : a2 = 2b y b2 = 2a
Al sumar las ecuaciones a2 = 2b y b2 = 2a, obtenemos a2 + b2 = 2a + 2b. De aquí que :
a2 – 2a + 1 + b2 – 2b + 1 = 2
factorizando se tiene:
( a – 1 ) 2 + ( b – 1 )2 = 2
Por lo que a – 1 =
1y b–1=
1 , lo que lleva a 4 posibles soluciones:
( a , b ) = ( 2 , 2 ) , ( 0 , 0 ) , ( 2 , 0 ) , ( 0 , 2 ),
Las últimas 2 no satisfacen las ecuaciones originales, luego ( 2 , 2 ) y ( 0 , 0 ) son las únicas soluciones.