Geometría 3º

1
Un triángulo rectángulo tiene los dos ángulos agudos iguales. ¿Qué puede decirse de los catetos?
Solución:
Los catetos son iguales por ser un triángulo isósceles.
2
Los lados de un triángulo miden 6 cm, 7 cm y 10 cm. Calcula los lados de un triángulo semejante a él si la
razón de semejanza es igual a 3.
Solución:
Sean
a b c
, y los lados buscados.
Los lados tienen que verificar:
a b c
3  
 a  18 cm, b  21 cm, c  30 cm
6 7 10
3
Inscribe una circunferencia en el siguiente triángulo:
Solución:
4
En un triángulo de lados 3 cm, 5 cm y 7 cm, construye una circunferencia que sea tangente a los lados.
¿Qué rectas notables del triángulo hay que trazar?
Solución:
Hay que trazar las bisectrices cuyo punto de corte es el centro de la circunferencia que es tangente a los lados y se
llama incentro.
5
Di cuáles de las siguientes parejas de triángulos son semejantes y cuáles no:
a)
40, 60, x
40, y, 80
30, 80, x
30, y, 50
b)
Solución:
a) Son semejantes por tener los mismos ángulos.
40, 60, 80
Los ángulos de los dos triángulos son:
.
b) No son semejantes por tener distintos ángulos.
30, 80, 70
30, 100, 50
Los ángulos del primer triángulo son:
, y los ángulos del segundo son:
.
6
Traza las mediatrices del siguiente triángulo:
Solución:
7
Indica cuanto puede valer como mucho el tercer lado, el más largo, de un triángulo donde las medidas de
los otros 2 lados son 5 y 10cm.
Solución:
El tercer lado debe medir menos de 15 cm, ya que
8
5  10  15
.
Se quiere construir una gasolinera a igual distancia entre tres pueblos que están situados formando un
triángulo. Podrías indicar el lugar adecuado.
Solución:
El lugar adecuado es donde se cortan las mediatrices del triángulo de vértices los tres pueblos, este punto es el
circuncentro.
9
Dibuja un triángulo y traza por cada lado una recta perpendicular que pase por el vértice opuesto. ¿Se
cortan las rectas? En caso que se corten, ¿cómo se llama a ese punto?
Solución:
Se pide trazar las alturas de un triángulo que se cortan en un punto llamado ortocentro.
10 Los lados de un triángulo miden 5 cm, 8, cm y 10 cm, y los de otro miden 15 cm, 24 cm y 29 cm
respectivamente. ¿Son semejantes dichos triángulos?
Solución:
5
8

15 24
No son semejantes, puesto que:
10
29
pero distinto de
.
11 Dibuja un triángulo de lados 5 cm, 6 cm y 8 cm. ¿Se podría dibujar uno de lados 5 cm, 6 cm y 12 cm?
Solución:
No se puede dibujar un triángulo de lados 5, 6 y 12 cm, ya que
5  6  12
12 Los siguientes triángulos son semejantes. Calcula el valor de los lados desconocidos.
Solución:
Como los triángulos son semejantes:
2 5 4
35
  a 
, b  14
7 a b
2
.
13 Mide los lados y los ángulos de las siguientes parejas de figuras e indica si son iguales o no.
a)
b)
Solución:
a) Iguales
b) Distintos
14 En un triángulo de lados 5 cm, 8 cm y 10 cm, construye una circunferencia que pase por los vértices. ¿Qué
rectas notables del triángulo hay que trazar?
Solución:
Hay que trazar las mediatrices cuyo punto de corte es el centro de la circunferencia que pasa por los vértices y se
llama circuncentro.
15 Los ángulos de un triángulo son todos 60º, y los lados de otro miden todos 8 cm. ¿Son iguales los
triángulos?
Solución:
Los dos triángulos son equiláteros al tener los ángulos iguales o los lados iguales. El triángulo con lados 8 cm está
determinado, pero existen infinitos triángulos equiláteros con los ángulos 60º.
16 Traza las mediatrices del siguiente triángulo:
Solución:
17 Traza las alturas del siguiente triángulo:
Solución:
18 La figura está formada por un triángulo equilátero, un hexágono regular y un cuadrado. ¿Qué triángulos
son iguales?
Solución:
Los triángulos a, b, c y d son iguales, son todos equiláteros de lado igual al lado del hexágono.
Los triángulos e y f son iguales, tienen un lado en común y los otros dos lados son los lados del cuadrado.
19 Los lados de un triángulo son todos iguales y miden 10 cm, otro triángulo tiene dos lados que miden 10 cm
y un ángulo de 60º. ¿Son iguales los triángulos?
Solución:
El primer triángulo es equilátero de lados 10 cm.
El segundo triángulo es isósceles, hay dos casos:
1. Si el ángulo igual es 60º entonces el tercero también es de 60º y es equilátero. Son iguales.
2. Si el ángulo desigual es de 60º, se puede dividir el triángulo 60º en dos iguales con ángulos de 60º y 30º, luego
el ángulo igual del triángulo isósceles es también de 60º, y por tanto equilátero. Son iguales.
Luego, los dos triángulos son iguales.
20 Javier está situado en el incentro de una cerca triangular. ¿Cuál de los lados del triángulo está más cerca
de Javier?
Solución:
Está a igual distancia de los tres lados porque el incentro equidista de los lados de un triángulo.
21 En el mismo momento del día una farola de 3 m de altura tiene una sombra de 60 cm, y un edificio tiene una
sombra de 10 m. Calcula la altura del edificio.
Solución:
Los triángulos rectángulos que forma cada objeto con su sombra son semejantes, luego los lados son
proporcionales.
3
h
3  10

h
 50 m
0,6 10
0,6
La altura del edificio es de 50 m
22 Un triángulo tiene por lados 3, 4 y 5, otro triángulo rectángulo tiene un cateto igual a 4. ¿Son iguales los
triángulos?
Solución:
Pueden ser distintos.
El primer triángulo es rectángulo por cumplir el teorema de Pitágoras, pero existen triángulos rectángulos distintos
con un cateto de 4, por ejemplo: de catetos 2 y 4 e hipotenusa
23 Calcula el valor desconocido en las siguientes figuras:
20
.
a)
b)
Solución:
a) Por semejanza de triángulos:
4
7
76
21
7

7 x 
x
7
42 7x
4
2
2
b) Por semejanza de triángulos:
12
15  x
12  15

 x  15 
6
8  12
15
20
24 La figura está formada por un triángulo equilátero, un hexágono regular y un cuadrado. El lado del
hexágono es 6 cm. Calcula la longitud de la línea marcada.
Solución:
Todos los triángulos dibujados son equiláteros y sus lados miden 6 cm, igual que el lado del cuadrado.
 6  6  36
La línea marcada tiene 6 trozos, cada trozo mide 6 cm
.
La longitud pedida es 36 cm.
25 Traza las mediatrices y bisectrices de un triángulo equilátero. ¿Se obtiene el mismo punto?
Solución:
Bisectrices
Mediatrices
Las bisectrices son también mediatrices porque al trazarlas salen los mismos triángulos rectángulos. Luego se
obtiene el mismo punto. En un triángulo equilátero el circuncentro y el incentro coinciden.
26 Comprueba que la altura sobre el lado desigual de un triángulo isósceles lo divide en dos triángulos
iguales.
Solución:
Los ángulos A y C son iguales al ser un triángulo isósceles.
El triángulo ABD es igual al triángulo CBD por tener dos lados iguales y ser los dos triángulos rectángulos.
27 Dibuja un hexágono regular y todas las diagonales desde un vértice. De los triángulos resultantes en la
figura, indica cuales son iguales.
Solución:
T1  T4
y
T2  T3
por tener lados y ángulos iguales.
28 Con los datos de la figura calcula la distancia desde D hasta B.
Solución:
Sea x la distancia de C a D.
Por triángulos semejantes:
5 6
12
 x
 2,4 m
2 x
5
La distancia pedida es
6  2,4  8,4 m
29 Con los datos de la figura calcula la distancia desde N hasta B.
Solución:
Sea x la distancia pedida de N a B.
Por triángulos semejantes:
20 3  x

 x  12  3  9 m
5
3
30 En un determinado momento del día un roble de 2 m arroja una sombra de 1 m. En ese mismo momento,
otro roble arroja una sombra de 2,6 m. Calcula su altura.
Solución:
Los triángulos rectángulos que forma cada árbol con su sombra son semejantes, luego los lados son
proporcionales.
2
1

 h  2  2,6  5,2 m
h 2,6
La altura pedida es 5,2 m
31 Dibuja un heptágono regular y todas las diagonales desde un vértice. De los triángulos resultantes en la
figura, indica cuales son iguales.
Solución:
T1  T5
T3
y
T2  T4
por tener lados y ángulos iguales.
no es igual a ninguno.
32 Averigua donde se encuentra el ortocentro en un triángulo rectángulo.
Solución:
33 En la siguiente figura todos los lados exteriores miden lo mismo, y los ángulos centrales valen 20º. ¿Se
puede decir que todos los triángulos son iguales?
Solución:
Un triángulo gris con uno blanco tienen un lado en común, otro lado igual y un ángulo igual. Por igualdad de
triángulos son iguales. Luego todos los triángulos son iguales.
34 Los lados de un triángulo miden 4 cm, 6 cm y 8 cm. Otro triángulo semejante tiene por perímetro 144 cm.
Halla sus lados.
Solución:
La suma de los lados del triángulo dado es 18 cm.
La razón de semejanza es:
144
8
18
Los lados del triángulo grande miden:
4  8  32 cm, 6  8  48 cm, 8  8  64 cm.
35 Se tiene un terreno triangular sin vallar. ¿En qué punto se debe atar una cuerda para que el círculo descrito
por esta no se salga del terreno?
Solución:
En el punto que equidiste de los lados: el incentro.
36 Mide los lados y los ángulos de las siguientes parejas de figuras e indica si son iguales o no.
a)
b)
Solución:
a) Iguales
b) Distintos
37 Javier está situado en el circuncentro de una cerca triangular. ¿Cuál de los vértices del triángulo está más
cerca de Javier?
Solución:
Está a igual distancia de los tres vértices porque el circuncentro equidista de los vértices de un triángulo.
38 Calcula los valores desconocidos en la siguiente figura, sabiendo que los triángulos son semejantes:
Solución:
Como son semejantes:
8
x
16

x
5 x2
3
39 Las siguientes parejas de triángulos son semejantes. Calcula la razón de semejanza y los valores de los
lados desconocidos:
a) 4, 5, 7
b) 15, x, 9
8, x, y
5, 4, y
Solución:
8
2
4
a) Razón de semejanza:
Por tanto,
x  5  2  10
,
.
y  7  2  14
5
1

15 3
b) Razón de semejanza:
.
1
1
x  4 :  12 y  9   3
3
3
Por tanto,
,
40 Calcula la circunferencia inscrita en un triángulo acutángulo, rectángulo y obtusángulo.
Solución:
acutángulo
rectángulo
obtusángulo
41 Un triángulo acutángulo tiene dos ángulos iguales. ¿Qué se puede decir?
Solución:
Que es un triángulo isósceles, y por tanto con dos lados iguales.
42 ¿Existe algún triángulo en el que coincidan las mediatrices, medianas, alturas y bisectrices?
Solución:
Sí existe, es cualquier triángulo equilátero.
43 De la siguiente figura indica que lados y ángulos son iguales:
Solución:
AB  CD AD  BC AE  CE BE  DE
,
,
,
 BAD   BCD  BEC   AED  ABC   ADC  AEB   CED
,
,
,
 CBE   ADE  BCE   EAD  ABE   EDC  BAE   DCE
,
,
,
44 Calcula el valor de los lados desconocidos de las siguientes figuras:
a)
b)
Solución:
a  5, b  4
a)
por ser los lados de un paralelogramo.
c5
al ser dos triángulos con dos lados iguales y un lado común.
b)
a3
al ser dos triángulos con dos lados iguales y un lado en común.
b  10
al ser triángulos con los tres lados iguales.
c8
al ser ángulos opuestos, un lado paralelo e igual y un lado en común.
d=3 si suponemos que la figura es simétrica.
45 Una escalera de 3 m está apoyada en la pared. El pie de la escalera dista de la pared 80 cm. Calcula a qué
distancia de la pared se encuentra uno de los escalones que dista 70 cm del extremo inferior de la escalera.
Solución:
Sea x la distancia que separa el escalón de la pared. Por semejanza de triángulos:
3
3  0,7
0,8  2,3

x
 0,61 m
0,8
x
3
46 Calcula los valores desconocidos en la siguiente figura, sabiendo que los triángulos son semejantes:
Solución:
Calculamos la hipotenusa del primer triángulo por el teorema de Pitágoras:
h2  32  42  h  5
.
Calculamos la altura del primer triángulo aplicando dos veces el teorema de Pitágoras:

12

a
 32  a2  b2

5

 2
2
2
9
4  a  5  b
b


5
Como los triángulos del enunciado son semejantes:
10
x
24

x
5 12 / 5
5
47 Descompón el siguiente triángulo en cuatro triángulos de igual área.
Solución:
En el triángulo ABC se traza la mediana BN.
En el triángulo ABN se traza la mediana BM.
En el triángulo CNB se traza la mediana BO.
Los cuatro triángulos tienen igual área ya que tienen la misma base y la misma altura.
48 Prueba que las diagonales de un paralelogramo se cortan en el punto medio.
Solución:
Las diagonales se cortan en un punto M.
Los triángulos A y B son iguales, por tener un lado igual y los ángulos contiguos iguales por ser los lados paralelos.
Luego M es el punto medio.
49
4
3
El perímetro de un triángulo isósceles mide 24 cm y la base es
de cada uno de los lados iguales. Se
8
5
construye un triángulo semejante al anterior con razón de semejanza . Calcula el perímetro del nuevo
triángulo y la medida de sus lados.
Solución:
Si x es la base e y cada uno de los lados iguales:
x  2y  24
4
4

 x  4 y  y  2y  24  4 y  2y  72  y  7,2cm  x  ·7,2  9,6cm
3
3

3

El perímetro del triángulo inicial es:
p = 9,6 + 2 · 7,2 = 24 cm.
8
p'  ·24  38,4cm
5
El perímetro del nuevo triángulo es:
8
·7,2  11,52cm
5
Los lados iguales del nuevo triángulo miden:
8
·9,6  15,36cm
5
Y la base:
50 En un triángulo cualquiera traza sus tres medianas. ¿Cómo son los seis triángulos resultantes?
Solución:
Son equivalentes pues tienen la misma área:
Las siguientes ecuaciones salen por tener los triángulos la misma base y la misma altura:
T1  T3
T2  T4
T5  T6
T1  T3  T5  T2  T4  T6
T1  T2  T4  T3  T5  T6
T1  T2  T3  T4  T5  T6
Luego:
T1  T2  T3  T4  T5  T6
51 La línea de vista de un observador de 1,8 m situado a 20 m de un árbol de 3 m de altura enrasa con la cima
de una montaña situada a 500 m del observador. ¿Cuál es la altura de la montaña?
Solución:
Por el teorema de Tales:
2,2 20
500  2,2

x
 55 m
x
500
20
La altura de la montaña es
55  1,8  56,8 m
52 Divide el siguiente segmento en 6 partes iguales. Explica cómo lo haces.
Solución:
Se trata de una aplicación directa del teorema de Tales.
Trazamos cualquier recta a partir de un extremo del segmento. A partir del segmento, en la recta situamos 6
marcas a igual distancia. Unimos mediante una recta el otro extremo del segmento a dividir con la sexta marca, y
trazamos paralelas a esta última por cada marca. Donde se cortan las paralelas con el segmento son los puntos en
que se divide en seis partes el segmento dado.
53 Calcula la longitud de la línea marcada en la siguiente figura:
Solución:
Todos los triángulos dibujados son iguales por tener los lados iguales.
23  6
Hay 2 trozos verticales:
248
Hay 2 trozos horizontales:
3  5  15
Hay 3 trozos inclinados:
6  8  15  29
La longitud pedida es:
54 Calcula los valores desconocidos en la siguiente figura:
Solución:
Por semejanza de triángulos entre los triángulos pequeño y mediano:
2
4
3
3
 
 a  6, c 
2 1 a 3  c
2
Por semejanza de triángulos entre los triángulos pequeño y grande:
2
4
3
 
 b  10, d  3
3
2  1 2 b
3 d
2
55 Se tiene un triángulo de base 10 m y altura 16 m. Además tenemos otro triángulo de área 320 m 2 semejante
al primero. Calcula la base de este triángulo.
Solución:
A
1
 16  10  80 m2
2
El área del primer triángulo es
2
Las áreas de figuras planas semejantes de razón r varían con la razón r
320
r2 
r  2
80
Luego la razón de semejanza entre los dos triángulos es:
.
10  2  20 m
Luego la base del segundo triángulo mide:
.
56 Dibuja un hexágono regular y todas las diagonales desde un vértice A. De los triángulos resultantes en la
figura, indica cuales son los ángulos en A.
Solución:
120 
Los ángulos interiores de un hexágono regular son de
.
T1 T4
120 
y
son triángulos isósceles por tener dos ángulos iguales, y el tercero
por ser ángulo interior del
180  120
 30
2
T1 T4
hexágono regular. Luego el ángulo A de
y
es de
.
T2 T3
T2
120 
y
son iguales, como la suma de los ángulos en A de los cuatro triángulos es
,el ángulo A de
y
120  2  30
 30
2
T3
tiene un valor de
.
30 
Los cuatro ángulos en A valen
.
57 En el triángulo ABC se traza la paralela media MN. Calcula las dimensiones del rectángulo MPQN.
Solución:
AMN y ABC son semejantes.
9 MN

 MN  4,5m  PQ
7 3,5
1
MP  NQ  ·7  3,5m
2
58 Di si estos pares de triángulos son semejantes o no. Razónalo utilizando algún criterio de semejanza de
triángulos.
a) 
b) 
Solución:
a) Los triángulos 
paralelo.
b) Los triángulos 
elos.
59 Los lados de un triángulo rectángulo miden 5 cm, 12 cm y 13 cm. Otro triángulo semejante tiene por área
240 cm2. Halla sus lados.
Solución:
El área de un triángulo rectángulo es el producto de los catetos dividido entre dos.
Sea x la razón de semejanza entre los dos triángulos:
12 x  5 x
 240  x2  8  x  8
2
Los lados del triángulo pedido miden:
5  8  10 2  14,14 cm
12  8  24 2  33,94 cm
13  8  26 2  36,77 cm
1
Se tienen 100 m de alambre, ¿cuánto medirá el radio de un círculo si se rodea con el alambre dado?
Solución:
El problema es equivalente a hallar el radio de un círculo de perímetro 100 m
L  2 R  R 
2
L
100

 15,92 m
2 2
Determina el área y la longitud de arco de un sector circular de 45º de una circunferencia de radio 2 m.
Solución:
La longitud de arco del sector circular es:
2  r n 2    2  45 
l

  1,57 m
360
360
2
El área del sector circular es:
 r 2 n  22 45 
A

  1,57 m2
360
360
2
3
Halla la diagonal de un cuadrado de 20 cm de lado.
Solución:
La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma esta junto a los lados del cuadrado.
d2  20 2  20 2  d  800  28,28cm
4
Calcula el área y el perímetro de las siguientes figuras:
a)
b)
Solución:
a)
Para calcular el área es necesario conocer la altura:
5 2  4 2  h 2  h  25  16  3
A
8·3
 12cm2
2
El área es:
Perímetro: 8 + 5 + 5 = 18 cm.
3·1
A
 1,50cm2
2
b)
Para hallar el perímetro se necesita la medida del lado que forma junto con la mitad de las diagonales un
l  1,5 2  0,5 2  1,41cm
triángulo rectángulo:
Perímetro: 4·1,41 = 5,64 cm
5
Calcula el área de un círculo y la longitud de su circunferencia si el diámetro mide 16 cm.
Solución:
El área del círculo es:
A    82  64   201,06 cm2
La longitud de la circunferencia es:
L  2    8  16   50,27 cm
6
Se quiere construir un jardín en forma de sector circular de radio 3 m. Se dispone de 10 m de alambre para
rodearlo, ¿cuál es el arco del sector circular?
Solución:
El borde del jardín nos da cuánto mide la longitud de arco:
10  3  3  l  l  4m
l
7
2 r 
23
240
4

 76,39  76 23 24
360
360

Calcula el área de las siguientes figuras:
a)
b)
Solución:
a)
b)
Es necesario conocer la medida de la apotema:
5·4
A
 10cm2
2
El área es:
8  5·6  39cm2
A
2
6 2  2 2  b 2  b  36  4  5,66cm
8
Calcula los lados que faltan en los siguientes triángulos rectángulos:
a)
b)
Solución:
a 2  2 2  10 2  a  104  10,20cm
a)
18 2  12 2  b 2  b  324  144  13,42cm
b)
9
Halla el área de la figura:
Solución:
La figura es un rectángulo al que se han quitado dos medias circunferencias, esto es, una circunferencia completa:
A  12 ·4  48
Área del rectángulo:
cm2
A  ·4  12,57
Área de la circunferencia:
cm2
El área de la figura es: 48  12,57 =35,43 cm 2
10 Se quiere construir un jardín en forma de corona circular de radio interior 3 m y radio exterior 5 m. Si el m 2
de césped cuesta 7€, ¿cuánto costará todo el jardín?
Solución:
Tenemos que calcular el área de la corona circular:
A    52  32  16   50,27 m2


Luego el precio del jardín es:
50,27  7  351,89 euros
11 Calcula la diagonal de un rectángulo cuyos lados miden 7 cm y 11 cm.
Solución:
Como la diagonal, d, forma con los lados un triángulo rectángulo del que ella es la hipotenusa,
d2  7 2  112  d  170  13,04cm
12 Halla el perímetro y el área del siguiente trapecio:
Solución:
A
18·10
 90cm2
2
Área:
Para calcular el perímetro falta la medida del lado a.
En el triángulo rectángulo formado:
a  3 2  100 2  10,44cm
Perímetro: 18 + 10,44 + 15 + 10 = 53,44 cm
13 Calcula el área de la siguiente figura:
Solución:
Para hallar el área del triángulo isósceles hay que calcular la altura:
15 2  3 2  h 2  h  225  9  14,70cm
A
6·14,70
 44,10cm2
2
Área del triángulo:
El radio del semicírculo es la mitad de la base del triángulo: r = 3 cm
1
A  ·3 2  14,14cm2
2
Área del semicírculo:
Área total = Área triángulo + Área semicírculo = 44,10 + 14,14 = 58,24 cm 2
14 Calcula el área de la zona coloreada sabiendo que el lado del rombo es 13 cm y el lado pequeño del
rectángulo, 6 cm.
Solución:
Dibujando las diagonales del rombo:
13 2  3 2  a 2  a  169  9  12,65cm
Cada triángulo rectángulo coloreado tiene de base media diagonal mayor, 12,65
12,65·3
A
 18,98cm2
2
cm y de altura media diagonal menor, 3 cm. Su área es:
El área coloreada = 4·18,98 = 75,92 cm 2
15 Un jardín tiene forma circular de diámetro 10 m. Cada metro cuadrado de césped cuesta 10€. Calcula
cuanto costará poner el jardín relleno de césped.
Solución:
El área del círculo es:
A  R2    52  25   78,54 m2
El dinero que costará es:
78,54  10  785,4 euros
16 Calcula el ángulo de un sector circular de área 10 m2 y de radio 2 m.
Solución:
El área del sector circular es:
 r 2 n
 22 n
360  10 900
A
 10 
 n 

 286,48  286 28 48
360
360
4

17 Calcula el radio, el diámetro y el área de un círculo si la longitud de la circunferencia es de 3 m.
Solución:
El radio de la circunferencia es:
3
3  2 r  r 
 0,48 m
2
El diámetro de la circunferencia es:
d  2 r  2  0,48  0,96 m
El área del círculo es:
A   r 2    0,482  0,72 m2
18 Calcula el lado de un cuadrado cuya diagonal mide 7 cm.
Solución:
La diagonal es la hipotenusa del triángulo rectángulo que forma esta junto con los lados del cuadrado.
49
7 2  a 2  a 2  2a 2  49  a 
4,95cm
2
mide el lado
19 Calcula el perímetro y el área de un triángulo equilátero de 20 cm de lado.
Solución:
La altura, la mitad de la base y un lado forman un triángulo rectángulo en el cual la hipotenusa es el lado.
20 2  10 2  h 2  h  400  100  13,32cm
Sea a el lado del triángulo:
10·13,32
A
 66,60cm2
2
Área:
Perímetro: 3·20 = 60 cm
20 Halla el área de las siguientes figuras:
a)
b)
Solución:
A    (62  22 )  32   100,53 cm2
a)
  80  (62  22 ) 64 
A

 22,34 cm2
360
9
b)
21 Calcula la apotema de un hexágono regular de 16 cm de lado.
Solución:
El lado del hexágono y el radio miden lo mismo.
La mitad del lado, la apotema y el radio forman un triángulo rectángulo del que este es la hipotenusa.
8 2  4 2  a 2  a  64  16  6,93cm
mide la apotema
22 Una noria tiene un radio de 5 m y da 1,5 vueltas por minuto. ¿Qué longitud de arco recorrerá un punto en 10
segundos?
Solución:
Un punto cualquiera de la noria recorre en 1 minuto o 60 segundos un arco que abarca
540
 9
60
90 
segundo
. En 10 segundos:
.
90 
Nos están pidiendo la longitud de arco de un sector circular de ángulo
2  R n 2    5  90 5 
L


 7,85 m
360
360
2
.
23 Calcula el área de la figura:
1,5  360  540
, y en un
Solución:
Área del rectángulo:
A  12·1  12cm2
4 2  2 2  h 2  h  16  4  3,46cm
En el triángulo equilátero, la altura:
4·3,46
A
 6,92cm2
2
Área del triángulo:
Área total = Área rectángulo + Área triángulo = 12 + 6,92 = 18,92 cm 2
24 Calcula el perímetro de la circunferencia que circunscribe a un cuadrado de lado 1 m.
Solución:
El radio de la circunferencia que circunscribe al cuadrado es la mitad de la diagonal del cuadrado.
Calculamos la diagonal aplicando el teorema de Pitágoras:
d2  l2  l2  d  2 l  2 m
El perímetro de la circunferencia es:
L  2  R    2  4,44 m
25 Calcula el área de la figura:
Solución:
Calcula el área de la figura:
26 ¿Cuál es el ángulo que tiene una longitud de arco de 50 m en una circunferencia de 20 m de radio?
Solución:
L
2  R n
2    20  n
450
 50 
n 
 143,24  143 14 24
360
360

27 Calcula el perímetro y el área de un trapecio isósceles cuyas bases mide 23 cm y 18 cm y los lados iguales,
12 cm.
Solución:
Perímetro: 23 + 18 + 2·12 = 65 cm
Para hallar el área es necesario calcular la altura, h.
En el triángulo rectángulo formado:
23  18
a
 2,5cm
2
122  2,5 2  h2  h  144  6,25  11,74cm
A
23·11,74
 135,01cm2
2
Área:
28 Calcula el perímetro de un rombo sabiendo que sus diagonales miden 24 dm y 16 dm.
Solución:
Para calcular el perímetro es necesario conocer la medida del lado. Éste junto con la mitad de las diagonales forma
un triángulo rectángulo del que el lado es la hipotenusa.
a  8 2  122  14,42dm
mide el lado
Perímetro: 4·14,42 = 57,68 dm
29 Halla el área de la zona blanca de la figura:
Solución:
a  8 2  8 2  11,31cm
Como es un triángulo isósceles, si a es la hipotenusa,
11,31
r
 5,66cm
2
El radio del círculo es la mitad de la hipotenusa:
A  ·5,66 2  100,64cm2
Área del círculo:
8·8
A
 32cm2
2
Área del triángulo:
El área de la zona blanca es la diferencia entre el área del círculo y la del triángulo: 100,64  32 = 68,64 cm2
30 Halla el área y el perímetro de la siguiente figura, donde los diámetros de las circunferencias están dados
en metros.
Solución:
El área de la figura es:
2
2
2
2
9  4  100  25
3
 2
 10 
5
A              
 22   69,12 m2
4
 2
 2
 2
 2
El perímetro de la figura es:
3
2
10
5
3  2  10  5
L    
 
 10   31,42 m
2
2
2
2
2
31 En la siguiente figura hay un rectángulo formado por dos cuadrados de lado 6 cm. ¿Cuál es el radio del
círculo?
Solución:
El radio del círculo es la mitad de la diagonal del rectángulo formado por los dos cuadrados.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
d2  122  62  d  180  6 5 cm
Luego el radio del círculo es:
r
6 5
 3 5  6,71cm
2
32 Halla el área de la zona blanca sabiendo que el triángulo equilátero tiene 15 cm de lado.
Solución:
Al ser un triángulo equilátero, su altura es la suma del radio del círculo más la mitad de este ya que en la altura
r 3r
hr 
2 2
coincide con la mediana:
Observando el dibujo:
2
r
r 2     7,5 2  4r 2  r 2  225  r 
 2
Área del círculo:
225
3·8,66
 8,66cm  h 
 12,99cm
3
2
A  ·8,66 2  235,61cm2
A
15·12,99
 97,43cm2
2
Área del triángulo:
El área de la zona blanca es la diferencia entre el área del círculo y la del triángulo: 235,61  97,43 = 138,18 cm 2
33 Halla el área de la siguiente figura.
Solución:
La figura está formada por dos cuadrados, dos semicírculos y un sector circular.
Área de un cuadrado:
A cuadrado  l 2  2 2  4 m2
Área de un semicírculo:
Asemicírcul o 
 R2   12  2

 m
2
2
2
Área del sector circular:
 R 2 n  22 160 16  2
A sec tor 


m
360
360
9
Área total:
A  2  Acuadrado  2  Asemicírcul o  Asec tor  2  4  2 
 16 

 16,73 m2
2
9
34 Se quiere construir un jardín, como el de la figura, con forma de corona circular de radio menor 5 m y radio
mayor 7 m, dentro de la corona hay tres círculos tangentes vacíos. ¿Cuál es la superficie del jardín?
Solución:
Tenemos que calcular el área de la corona circular:
Acorona    72  52  24   75,4 m2


El área de cada círculo tangente es:
Acírculo    12    3,14 m2
La superficie pedida es:
S  Acorona  3  Acírculo  75,4  3  3,14  65,98 m2
35 Halla el perímetro y el área de la figura:
Solución:
A  12·2  24cm2
Área del rectángulo de lados 2 cm y 12 cm:
A  8·2  16cm2
Área del rectángulo de lados 2 cm y 8 cm:
A
8  2·10  50cm2
2
Área del trapecio isósceles de altura (24 12  2):
Área de la figura: A = 24 + 16 + 50 = 90 cm 2
2
8  2
x  10  
  109  x  109  10,44cm
 2 
2
2
Lado igual del trapecio isósceles,x:
Perímetro de la figura: P = 2·3 + 12·2 + 10,44 · 2 + 8 = 58,88 cm
36 Halla el lado de los siguientes polígonos regulares:
a)
b)
Solución:
a) El radio y el lado del hexágono son iguales:
2
16
a
a 2  2 2     4a 2  a 2  16  a 
 2,31dm
2
3
 
a
a 2  22   
 2
2

4a 2 -a 2 =16

a=
16
 2,31 dm
3
b) En el triángulo equilátero las alturas y las medianas coinciden. Por tanto, del centro a uno de los vértices hay el
doble que del centro a la mitad del lado. Si esa mitad es a, entonces:
4 2  2 2  a 2  a  16  4  3,46cm
El lado del triángulo mide: 2·3,46 = 6,92 cm
37 Una noria tiene 10 cabinas y un radio de 5 m. Al girar cada cabina recorre 1 m/s. ¿Cuántas vueltas da la
noria en 1 minuto?
Solución:
Cada cabina recorre en un minuto: 60 m.
El problema es equivalente a calcular el arco con una longitud de 60 m.
2  R n
2 5n
2160
L
 60 
n
 687,55
360
360

Para calcular el número de vueltas basta con dividir el ángulo entre 360º que tiene una vuelta.
Número de vueltas en un minuto:
687,55
 1,91 v ueltas.
360
38 Calcula el perímetro y el área de la figura:
Solución:
Área del rectángulo de lados 9 y 8 cm:
A  9·8  72cm2
A  2··2 2  25,23cm2
Área de dos círculos de 4 cm de diámetro:
Área de la figura = Área del rectángulo  Área de dos círculos = 72  25,13 = 46,87 cm 2
A  2·2··2  25,23
Perímetro de 2 circunferencias:
Perímetro de la figura: P = 25,23 + 2·9 = 43,23 cm
39 Calcula el área de la zona central cuadriculada, sabiendo que la diagonal del cuadrado mide 14 cm.
Solución:
14 2  a 2  a 2  a 2  98cm2
Llamando a al lado del cuadrado:
A  a 2  98cm2
El área del cuadrado es:
La mitad de la zona blanca es la diferencia entre el área del cuadrado y un cuarto de círculo cuyo radio es el lado
del cuadrado:
r  98  9,90cm
A
1
·9,90 2  76,98cm2
4
Área del cuarto círculo:
Entonces, el área de la zona blanca es: 2 · (Área cuadrado  Área cuarto círculo) = 2·(98  76,98) = 42,04 cm2
Área de la zona central cuadriculada: A = 98  42,04 = 55,96 cm 2
40 Calcula el área de las hojas centrales del cuadrado sabiendo que el lado de éste mide 10 cm.
Solución:
Área del cuadrado:
A  10 2  100cm2
A  ·5 2  78,54cm2
Área de un círculo de radio igual a la mitad del lado del cuadrado:
Área de la figura = 2·(Área del cuadrado  Área del círculo) = 2·(100  78,54) = 42,92 cm 2
41 Calcula el área de la estrella, sabiendo que es un polígono regular de 6 cm de lado.
Solución:
La estrella está formada por 5 triángulos isósceles de 2 cm de base y 6 cm cada uno de los lados iguales, y un
pentágono regular en el centro de 2 cm de lado.
Altura de cada triángulo, h:
16 2  12  h 2  h  36  1  5,92cm
2·5,92
A  6·
 35,52cm2
2
Área de los triángulos:
3 2  12  a 2  a  9  1  2,83cm
Apotema del pentágono interior, a:
5·1·2,83
A
 14,15cm2
2
Área del pentágono:
Área de la estrella = Área de los triángulos + Área del pentágono = 35,52 + 14,15 = 49,67 cm 2
42 Cada círculo tiene de diámetro 8 cm. Halla el área de la región sombreada.
Solución:
Se puede considerar que el área sombreada es la de un cuadrado de lado un diámetro al que se le quita un cuarto
de cada círculo.
A  Acuadrado  4
1
1
Acírculo  82    42  13,73 cm2
4
Una moneda de un euro se puede considerar como un cilindro de radio 8 mm y altura 2 mm. Si se apilan
100 € encima uno del otro, calcula las dimensiones de la figura resultante.
Solución:
La figura resultante es un cilindro de radio el mismo que el de la moneda de 1 €, es decir, 8 mm, y de altura 100
veces el de 1€, es decir, 200 mm = 20 cm.
2
Indica cuáles de las siguientes figuras son prismas y cuáles son pirámides.
a)
b)
c)
Solución:
Prisma es un poliedro que tiene por caras dos bases paralelas e iguales que son polígonos y las caras laterales
paralelogramos, mientras que una pirámide es un poliedro que tiene por caras una base que es un polígono y las
caras laterales que son triángulos que se encuentran en un vértice.
Por la definición:
a) Es una pirámide
b) No es ni pirámide ni prisma.
c) Es un prisma.
3
Calcula el número de caras, de aristas y de vértices de un tetraedro.
Solución:
Caras: 4.
Vértices: 4.
Aristas: 6.
4
Calcula el elemento que falta en las siguientes pirámides:
a)
b)
Solución:
a) Tenemos un triángulo de catetos 12 y 5 e hipotenusa
Aplicando el teorema de Pitágoras:
a
a2  122  52  a  144  25  169  13
b) Tenemos un triángulo de catetos 10 y
b
e hipotenusa 10.
10  82  b2  b  100  64  36  6
2
Aplicando el teorema de Pitágoras:
5
Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
112  42  H2  H  105  10,25
6
Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
62  52  L2  L  36  25  11  3,31
7
Observa los desarrollos siguientes e indica de qué clase son los cuerpos:
a)
b)
Solución:
a) Se trata de una pirámide de base cuadrada.
b) Se trata de un prisma recto de base cuadrada.
8
Pepe quiere introducir un lápiz de 10 cm de largo en una caja con forma de cono de altura 8,5 cm y radio de
la base 4 cm. ¿Puede meter Pepe el lápiz?
Solución:
La distancia más larga es la generatriz del cono.
Calculamos la generatriz aplicando el teorema de Pitágoras:
g2  (8,5)2  42  g  88,25  9,4 cm
Como la generatriz mide menos que el lápiz, no puede meterlo en la caja.
9
Determina el número de vértices, caras y aristas de los siguientes poliedros.
a)
b)
c)
Solución:
a) Caras: 6
Aristas: 12
Vértices: 8
b) Caras: 5
Aristas: 8
Vértices: 5
c)
Caras: 7
Aristas: 15
Vértices: 10
10 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
52  22  H2  H  21  4,58
11 De las siguientes figuras indica cuál es un poliedro.
a)
b)
c)
Solución:
Un poliedro está formado por polígonos planos, luego la figura del apartado a no es un poliedro y las otros dos sí.
12 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
152  102  R2  R  125  11,18
13 Dibuja el desarrollo plano de un tetraedro.
Solución:
14 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
g2  82  62  g  100  10
15 Determina los ángulos diedros que forman las caras laterales de un poliedro que es un prisma recto de
base un heptágono regular.
Solución:
El ángulo diedro formado por las caras laterales es igual al ángulo interior del heptágono de la base:
180  7  2 : 7 
900
 128 34 17
7
16 Un ascensor mide 1 m de ancho, 1,5 m de largo y 2,3 m de alto. Un señor pretende introducir un palo de 3 m
de altura, ¿puede hacerlo?
Solución:
La distancia mas larga es la diagonal del ortoedro, y es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la tres
dimensiones.
d  12  1,52  2,32  8,54  2,92 m
Como el palo mide mas, el señor no puede introducir el palo en el ascensor.
17 Se tiene un cono de altura 10 cm y radio de la base 4 cm. Si se mantiene el radio de la base y se aumenta al
doble la altura, ¿cuánto ha variado la generatriz del cono?
Solución:
La generatriz del cono de altura 10 cm es:
g2  102  42  g  116  10,77 cm
La generatriz del cono de altura el doble es:
g2  202  42  g  416  20,39 cm
La proporción de lo que ha variado es:
20,39
 1,89
10,77
18 Medio círculo se hace girar hasta generar una esfera. Sabiendo que el perímetro del medio círculo es 120
cm, calcula el radio de la esfera generada.
Solución:
El perímetro de medio círculo es
2R   R
Luego:
2R   R  120  R 
120
 23,34 cm
2
19 Calcula la distancia máxima entre dos puntos de un cilindro de radio 12 cm y altura 60 cm.
Solución:
La distancia máxima es la línea recta que une los puntos A y B de la figura adjunta.
La distancia AB es la hipotenusa h de un triángulo rectángulo de catetos 24 cm y 60 cm, aplicando el teorema de
Pitágoras:
h2  242  602  h  242  602  4176  12 29  64,62 cm
20 Una circunferencia de perímetro 2,31 m se hace girar hasta generar una esfera. Calcula el radio de la esfera.
Solución:
El perímetro del círculo es
2 R
Luego:
2 R  2,31  R 
2,31
 0,37 m
2
21 ¿Cabe una regla de 1 m en un prisma de base rectangular, de aristas 30 cm y 60 cm, y de altura 50 cm?
Solución:
La distancia máxima es la diagonal del ortoedro:
d  302  602  502  7000  83,67 cm
Como la diagonal es menor que un metros, la regla no cabe en el prisma.
22 Dibuja el desarrollo de los siguientes cuerpos:
a)
b)
Solución:
a)
b)
23 ¿Cuál es el camino de longitud mínima desde A hasta B en la siguiente figura (sin salirse de la superficie de
la misma)? ¿Cuánto mide?
Solución:
Al desarrollar el cilindro se obtiene un rectángulo. El camino de longitud mínima es la línea recta que une A con B.
Tenemos un triángulo rectángulo de catetos 15 y 8, la longitud que nos piden es la hipotenusa. Aplicando el
teorema de Pitágoras:
h  82  152  64  225  17
24 Una caja de cerillas tiene por dimensiones 1, 2 y 3 cm, respectivamente. Calcula el valor de:
a) Las diagonales de las caras.
b) Las diagonales del ortoedro.
Solución:
a) Las tres diagonales diferentes de las caras son:
da  12  22  5  2,24 cm
db  12  32  10  3,16 cm
da  22  32  13  3,6 cm
b) Las diagonales de la caja de cerillas son todas iguales y miden:
d  12  22  32  14  3,74 cm
25 Se tiene una figura con 10 caras, 15 vértices y 20 aristas. ¿Se trata de un poliedro?
Solución:
Si fuera un poliedro debería cumplir la relación de Euler:
Caras + Vértices = Aristas +2
10  15  20  2
luego no se trata de un poliedro.
26 Calcula la distancia máxima entre dos puntos de un tronco de cono de bases con radios 5 cm y 2 cm, y
altura 10 cm.
Solución:
La distancia máxima es la línea recta que une los puntos A y B de la figura adjunta.
La distancia AB es la hipotenusa h de un triángulo rectángulo de catetos 10 y 2+5=7,
D2  102  72  D  149  12,21 cm
27 Determina los ángulos diedros que forman las caras laterales de un poliedro que es un prisma recto de
base un octógono regular.
Solución:
El ángulo diedro formado por las caras laterales es igual al ángulo interior del octógono de la base:
1080
180  8  2 : 8 
 135
8
28 Una pelota de 13 cm de radio se corta a 8 cm del punto de contacto del suelo. ¿Puedes calcular el radio del
círculo que forma la sección?
Solución:
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo rectángulo formado por:
-
Radio de la sección de la circunferencia: r .
Radio de la esfera: 13.
- Distancia entre el centro de la pelota y el plano de sección:
Se tiene:
13  8  5
.
52  r 2  132  r  169  25  144  12 cm
29 Calcula el valor de la diagonal de un ortoedro de aristas 3 cm, 4 cm y 5 cm.
Solución:
La diagonal y las aristas de un ortoedro de aristas a, b, c están relacionadas de la siguiente forma:
d  a2  b2  c2
Luego la diagonal mide:
d  a2  b2  c2  32  42  52  9  16  25  50  5 2  7,07 cm
30 Calcula el elemento que falta en los siguientes prismas:
a)
b)
Solución:
a) La diagonal de un ortoedro es igual a la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de los catetos:
a  72  52  32  83  9,11
b) Tenemos un triángulo rectángulo de catetos 6 y 5 e hipotenusa
Aplicando el teorema de Pitágoras:
b
b2  62  52  b  36  25  61  7,81
31 Calcula el valor de las aristas de los siguientes cubos sabiendo que las diagonales miden:
a) 21 cm
b) 81 cm
Solución:
La diagonal y la arista del cubo están relacionadas de la siguiente forma:
d  a2  a2  a2  3 a2  a 3
Despejando el valor de la arista se obtiene:
d 3
a
3
a
21 3
7 3
3
a
81 3
 27 3 cm
3
cm
a)
b)
32 Una circunferencia de perímetro 50 cm se hace girar hasta generar una esfera. Calcula el radio de la esfera.
Solución:
El perímetro del círculo es
2 R
Luego:
2 R  50  R 
50
 7,96 cm
2
33 ¿Cuál es el camino de longitud mínima desde A hasta B en la siguiente figura (sin salirse de la superficie de
la misma)? ¿Cuánto mide?
Solución:
Al desarrollar el cilindro se obtiene un rectángulo. El camino de longitud mínima es la línea recta que une A con B.
Tenemos un triángulo rectángulo de catetos 20 y 10, la longitud que nos piden es la hipotenusa. Aplicando el
teorema de Pitágoras:
h  102  202  100  400  22,36 cm
34 Con 12 varillas de 5 cm de largo cada una, usando todas las varillas ¿qué poliedros regulares se pueden
construir?
Solución:
Se pueden formar los poliedros regulares que tengan 12 aristas: el cubo y el octaedro.
35 Tenemos una caja en forma de cubo de lado 1 m. ¿Cabría en la caja una vara de 1,5 m de longitud?
Solución:
Calculemos la máxima longitud en el cubo, que es la diagonal d
En la base del cubo tenemos un triángulo rectángulo de hipotenusa a y catetos 1 m, aplicando el teorema de
Pitágoras calculamos el valor de a:
a2  12  12  a  2 m
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de hipotenusa d y catetos a y 1:
d2  a2  12  d  2  1  3  1,73 m
Como la diagonal mide más que 1,5 m la vara cabe en la caja.
36 Calcula la diagonal de un ortoedro de aristas 2 m, 5 m y 7 m.
Solución:
La diagonal de un ortoedro es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la tres dimensiones.
d  22  52  72  78  8,83 m
37 De un prisma sabemos que el número de vértices es 16 y que el número de aristas es 24, ¿cuántas caras
tiene?
Solución:
Un prisma es un poliedro convexo, por tanto debe cumplir la relación de Euler: caras + vértices = aristas +2.
c  16  24  2  c  10
El número de caras del prisma es 10, se trata de un prisma de base octogonal.
38 Comprueba la fórmula de Euler: caras + vértices = aristas + 2, en los siguientes poliedros.
a)
Solución:
a) Caras: 7
7  10  15  2
b) Caras: 8
8  12  18  2
b)
Vértices: 10
Aristas: 15
Vértices: 12
Aristas: 18
39 Se tiene un cono de altura 7 cm y radio de la base 2 cm. Si se mantiene la altura y se aumenta al doble la
base, ¿cuánto ha variado la generatriz del cono?
Solución:
La generatriz del cono de radio de la base 2 cm es:
g2  72  22  g  53  7,28 cm
La generatriz del cono de radio el doble es:
g2  72  42  g  65  8,06 cm
La proporción de lo que ha variado es:
8,06
 1,11
7,28
40 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución:
Aplicando el teorema de Pitágoras:
A2  52  22  h  29  5,39
41 Se tiene una figura con 15 caras, 9 vértices y 21 aristas. ¿Se trata de un poliedro?
Solución:
Si fuera un poliedro debería cumplir la relación de Euler:
Caras + Vértices = Aristas +2
15  9  21  2
luego no se trata de un poliedro.
42 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
A2  7,52  102  A  156,25  12,5
43 En un cono recto el radio de la base mide 4 cm y la generatriz 10 cm. Calcula la altura del cono.
Solución:
Aplicando el teorema de Pitágoras:
102  42  h2  h  100  16  84  9,16 cm
44 A una bola de hielo de 20 cm de diámetro se le aplican tres cortes paralelos, de forma que los trozos
resultantes tienen el mismo ancho. Calcula el radio de los círculos que salen al aplicar los cortes.
Solución:
Al aplicarle 3 cortes, la naranja se descompone en cuatro gajos de 3 cm de grosor, saliendo dos secciones con
igual radio R. Y la tercera el radio de la esfera: 12 cm.
Calculamos las otras dos secciones aplicando el teorema de Pitágoras:
52  R2  102  R  75  8,66 cm
45 Dos moscas se encuentran dentro de una pirámide de base cuadrada. El lado de la base mide 6 m, y la
altura de la pirámide son 8 m. Calcula la distancia máxima a la que se pueden encontrar las moscas.
Solución:
La distancia máxima es la apotema de las caras, que es la hipotenusa de un triángulo rectángulo de catetos la
altura y la mitad de la base.
a2  82  32  a  73  8,54 m
46 Se tiene un tronco de cono donde el radio de la base mayor mide 8 cm, el radio de la base menor 5 cm y la
altura 4 cm. Calcula la altura del cono completo.
Solución:
Vamos a calcular la altura del cono completo por semejanza:
5 x
20
 x
3 4
3
h4x4
20 32

cm
3
3
La altura del cono completo es
47 Se tiene un tronco de cono donde el radio de la base mayor mide 5 cm, el radio de la base menor 1 cm y la
altura 2 cm. Calcula la altura del cono completo.
Solución:
Vamos a calcular la altura del cono completo por semejanza:
2 x
1
 x
4 1
2
La altura del cono completo es
h2x4
1 9
 cm
2 2
48 A una pelota de 30 cm de diámetro se le aplican dos cortes paralelos, de forma que los trozos resultantes
tienen el mismo ancho. Calcula el perímetro de los círculos que salen al aplicar los cortes.
Solución:
Al aplicarle 2 cortes, la naranja se descompone en tres gajos de 10 cm de grosor, saliendo las dos secciones con
igual radio R.
Aplicando el teorema de Pitágoras:
52  R2  102  R  75  8,66 cm
El perímetro es:
P  2 R  2  8,66  54,41 cm
49 En un ortoedro sus dimensiones son proporcionales a 4, 5 y 8, y su suma es 51 cm. Halla las dimensiones
del ortoedro y la medida de su diagonal.
Solución:
Sea x la constante de proporcionalidad:
4 x  5 x  8 x  51  17 x  51  x  3
Luego las dimensiones del ortoedro son 12, 15 y 24 cm.
La diagonal del ortoedro es la raíz cuadrada de la suma de los cuadrados de la tres dimensiones.
d  122  152  242  945  30,74 cm
50 Se ha dado un corte a una esfera de radio 10 cm, en el que el perímetro de la sección es igual al radio de la
esfera. Calcula a que altura se ha dado el corte.
Solución:
Primero calculamos el radio de la sección:
10
2 R  10  R 
 1,59 cm
2
Calculamos la altura H de la figura mediante el teorema de Pitágoras:
H2  R2  102  H  102  1,592  9,87 cm
51 Se tiene una pirámide de base un hexágono regular. La arista de la base mide 5 cm y la arista lateral 7 cm.
Calcula la apotema de la cara y la altura de la pirámide.
Solución:
Las caras son triángulos isósceles.
Aplicando el teorema de Pitágoras al triángulo de hipotenusa la arista lateral y de catetos la altura de la cara a y el
semilado del hexágono:
2
25
171 3
5
a2     72  a  49 


19  6,54
2
4
4
2
 
cm.
La altura de la pirámide es un cateto de un triángulo rectángulo de hipotenusa la arista lateral y de otro cateto el
radio de la base o lado del hexágono. Aplicando el teorema de Pitágoras:
h2  52  72  a  49  25  24  4,9
cm.
52 Se tienen 34 triángulos equiláteros.
a) ¿Qué poliedros regulares se pueden construir?
b) Si cada triángulo se usa una sola vez, ¿qué poliedros se pueden construir? ¿Sobra algún triángulo?
Solución:
a) Se pueden formar los siguientes poliedros regulares: el tetraedro, el octaedro y el icosaedro.
b) Se pueden construir los poliedros del apartado a), sobrando 2 triángulos.
4+8+20=32
53 La pantalla de una lámpara tiene forma de tronco de pirámide de base cuadrada, los lados de las bases
mide 40 y 20 cm respectivamente. Si la altura de la pantalla mide 15 cm, halla la apotema de la cara.
Solución:
La apotema de la cara es la hipotenusa del triángulo rectángulo de catetos 15 y 20-10=10.
A2  152  102  A  140  18,03 cm
54 Calcula la distancia máxima entre dos puntos de un tronco de cono de bases con radios 5 cm y 2 cm, y
generatriz 10 cm.
Solución:
La distancia máxima es la línea recta que une los puntos A y B de la figura adjunta.
La distancia AB es la hipotenusa h de un triángulo rectángulo de catetos H y 2+5=7, primero necesitamos calcular
la altura del tronco de cono:
102  32  H2  H  91
Volviendo a aplicar el teorema de Pitágoras;
D2  H2  72  D  91  49  140  11,83 cm
55 Calcula en la siguiente figura el elemento que falta:
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
82  A2  62  A  28  5,29
Luego:
R  6  A  6  5,29  0,71
1
Calcula la superficie total de una semiesfera de radio 5 cm.
Solución:
El área de una esfera entera es:
Ae  4 r 2  4  52  100  314,16 cm2
Como es una semiesfera es la mitad más el área de un círculo de radio el radio de la esfera:
314,16
A
   52  235,61 cm2
2
2
En un cilindro recto el radio de la base mide 2 cm y la altura 10 cm. Calcula:
a) El área de la base.
b) El área lateral.
Solución:
3
De un cilindro conocemos su altura, 15 cm, y el radio de la base, 5 cm. Calcula su área y su volumen.
Solución:
El área del cilindro es:
A  2    52  2    5  15  628,32 cm2
El volumen del cilindro es:
V    52  15  1178,1 cm3
4
¿Es posible meter 55 caramelos de forma esférica de radio 1 cm en una caja rectangular de lados 10, 11 y 5
cm?
Solución:
El volumen de un caramelo es:
4
4
V   R3    13  4,19 cm3
3
3
Los 55 caramelos ocupan un volumen de
4,19  55  230,45 cm3
El volumen de la caja es:
V  6  7  5  210 cm3
Como el volumen de la caja es menor que el de los caramelos, no se puede meter los caramelos en la caja.
5
Calcula el volumen de una esfera de radio:
a) 2 m
b) 12 cm
Solución:
V
4
4
32
  R3    23 
  33,51 m3
3
3
3
V
4
4
  R3    123  2304  7238,23 cm3
3
3
a)
b)
6
Calcula el área de la superficie de una esfera de radio 6 cm.
Solución:
El área es:
A  4 r 2  4  62  144  452,39 cm2
7
En un cono recto el radio de la base mide 8 cm y la altura 15 cm. Calcula:
a) El área de la base.
b) El área lateral.
c) El área de todo el cono.
d) El volumen del cono.
Solución:
Abase   r 2    82  64  cm2
a) Área de la base:
b) Calculamos la generatriz por medio del teorema de Pitágoras:
g2  82  152  g  17 cm
c) Área lateral:
Alateral   r g    8  17  136  cm2
Área de todo el cono:
A total  Abase  Alateral  64   136   200  cm2
V
1
1
960
Abase  h  64   15 
  320 cm3
3
3
3
d) Volumen del cono:
8
El radio de una esfera mide 7 cm. Calcula:
a) El área de la superficie.
b) El volumen de la esfera.
Solución:
A  4  r 2  4    72  196  cm2
e) Área de la superficie:
V
f)
9
4 3 4
1372
r    73 
 cm3
3
3
3
Volumen de la esfera:
Determina la superficie mínima de papel para envolver un prisma de base un cuadrado de lado 1 m, y 2 m
de altura.
Solución:
El área de la base es:
Abase  12  1 m2
.
A T  1 2  2 m2
El área de cada rectángulo lateral es:
.
A  2  Abase  4  A T  2  1  4  2  10 m2
El área de todo el prisma es:
.
10 m2
Nos hace falta al menos
de papel.
10 Calcula el volumen de una esfera de radio:
a) 4 cm
b) 15 mm
Solución:
V
a)
4
4
256
  R3    43 
  268,08 cm3
3
3
3
V
4
4
  R3    153  4500  14137,17 mm3
3
3
b)
11
Solución:
12 Calcula el volumen de las siguientes figuras:
a)
b)
Solución:
A
 h 16  8 128 3
V  base


u
3
3
3
a)
V  Abase  h  9  6  54 u3
b)
13 Calcula el área del siguiente poliedro:
Solución:
El área está formada por dos cuadrados, un rectángulo y dos triángulos.
Para calcular el área del rectángulo nos hace falta la hipotenusa del triángulo, que la calculamos por medio del
teorema de Pitágoras:
Área del rectángulo:
D2  32  32  D  18  3 2
AR  3  3 2  9 2 cm2
AT 
33 9
 cm2
2
2
Área de un triángulo:
Área de un cuadrado:
AC  3  3  9 cm2
.
A  AR  2 AT  2 AT  9 2  2 
9
 2  9  9 2  27  39,73 cm2
2
Área total:
14 Calcula el volumen de las siguientes figuras:
a)
b)
Solución:
A
 h 16  8 128 3
V  base


u
3
3
3
c)
V  Abase  h  9  6  54 u3
d)
15 Dada la siguiente pirámide de base un cuadrado de lado 2 cm y altura 5 cm, calcula:
a) El área de la base.
b) El área de las caras laterales.
Solución:
a)
b)
22  4 cm2
Área de la base:
Calculamos la altura de una cara por medio del teorema de Pitágoras:
52  12  h2  h  26 cm
2 26
 26 cm2
2
Área de una cara lateral:
4 26 cm2
Área de las cuatro caras laterales:
16 a) Área de la base:
Abase   r 2    22  4  cm2
b) Área lateral:
Alateral  2  r h  2   2  10  40  cm2
Solución:
17 Se quiere pintar una habitación con forma de prisma recto de base cuadrada de lado 3 m, y la altura de la
habitación es 3,5 m. El pintor cobra 3 € por metro cuadrado. ¿Cuánto costará pintar las paredes de la
habitación?
Solución:
Las 4 paredes son de forma rectangular, midiendo los lados 3 y 3,5 m.
Apared  3  3,5  10,5 m2
Una pared tiene una superficie:
.
2
4  10,5  42 m
Luego se debe pintar una superficie de
.
2
3  42  126
m
Como cada
cuesta 3 €, en total cuesta:
€.
18 En un cono recto el radio de la base mide 2 cm y la altura 6 cm. Calcula el área lateral del cono.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
g2  22  62  g  40  6,32 cm
El área lateral es:
A    2  6,32  39,71cm
19 Determina la superficie mínima de papel para envolver una pirámide de base un cuadrado de 1 m de lado, y
2 m de altura.
Solución:
Abase  12  1 m2
El área de la base es:
.
La altura de cada triángulo es por el teorema de Pitágoras:
h2  22  0,52  h  2,06 m
AT 
1 2,06
 1,03 m2
2
El área de cada triángulo lateral es:
.
A  Abase  4  A T  1  4  1,03  5,12 m2
El área de toda la pirámide es:
.
2
5,12 m
Nos hace falta al menos
de papel.
20 Calcula el volumen de una esfera de radio:
a) 2 cm
b) 4 cm
¿Si se duplica el radio de una esfera en cuánto varía el volumen?
Solución:
V
a)
4
4
32
  R3    23 
 cm3
3
3
3
V
4
4
256
  R3    43 
 cm3
3
3
3
b)
Al duplicar el radio el volumen queda multiplicado por 8.
21 Determina la superficie mínima de papel para envolver una pirámide hexagonal regular de 1 m de lado de la
base y 2 m de altura.
Solución:
Dividimos el hexágono en seis triángulos equiláteros, la altura de este triángulo es por el teorema de Pitágoras:
12  a2  0,52  a  0,75  0,87 m
Abase  6 
1 0,87
 2,61 m2
2
El área de la base es:
.
La altura de cada triángulo es por el teorema de Pitágoras:
h2  22  0,872  h  2,18 m
1 2,18
 1,09 m2
2
AT 
El área de cada triángulo lateral es:
.
A  Abase  6  AT  2,61 6  1,09  9,15 m2
El área de toda la pirámide es:
.
9,15 m2
Nos hace falta al menos
de papel.
22 Calcula el área de las caras de un icosaedro de arista 2 cm.
Solución:
El icosaedro está formado por veinte triángulos equiláteros de lado 2 cm.
2h
A
h
2
Cada triángulo tiene de área:
. Nos falta calcular la altura h del triángulo.
22  12  h2  h  4  1  3  3 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras:
.
A  h  3 cm
2
El área de un triángulo es:
El área del icosaedro es:
.
AT  20  A  20  3  34,64 cm2
.
23 Calcula el área de las caras de un tetraedro de arista 6 cm.
Solución:
El tetraedro está formado por cuatro triángulos equiláteros de lado 6 cm.
6h
A
3h
2
Cada triángulo tiene de área:
. Nos falta calcular la altura h del triángulo.
62  32  h2  h  36  9  27  3 3 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras:
.
A  3  h  3  3 3  3 3 cm2
El área de un triángulo es:
El área del tetraedro es:
.
AT  4  A  4  3 3  9 3  15,59 cm2
24 Se quiere pintar un edificio esférico radio 12 m, ¿cuánta superficie hay que pintar?
Solución:
Necesitamos calcular el área de la superficie de la esfera:
A  4  R2  4  122  576   1809,56 m2
25 Un monumento tiene forma de cono, y está hecho con cristal. La altura del monumento es de 4,2 m, y el
diámetro de la base es 8 m. Calcula la superficie del monumento.
Solución:
Hay que calcular la generatriz del cono, para ello aplicamos el teorema de Pitágoras:
g2  4,22  42  h  33,64  5,8 m
El área lateral del cono es:
A   r g    4  5,8  72,88 m2
26 ¿Cuántos litros de agua caben en un depósito como el de la figura?
Solución:
Volumen del cilindro:
VC   R2 H   62 12  1357,17 m3
Volumen de la semiesfera:
1
1 4
2
VE    R3    63  452,38 m3
2
2 3
3
Como un metro cúbico tiene 1000 litros, en el depósito caben:
1000  (1357,17  452,38)  1809550 l
27 Calcula el área de las caras de un icosaedro de arista 6 cm.
Solución:
El icosaedro está formado por veinte triángulos equiláteros de lado 6 cm.
A
6h
3h
2
Cada triángulo tiene de área:
. Nos falta calcular la altura h del triángulo.
62  32  h2  h  36  9  27  3 3 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras:
.
A  3  h  3  3 3  9 3 cm2
El área de un triángulo es:
El área del icosaedro es:
.
AT  20  A  20  9 3  180 3  311,77 cm2
.
28 Calcula el volumen y el área del siguiente prisma.
Solución:
V  Abase  h
El volumen es:
Nos falta calcular el area de la base. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de la base.
42  a2  22  a  12  3,46
Abase  6 
4  3,46
 41,52
2
El área de la base es:
V  41,52  10  415,2
Luego el volumen es:
El área de todo el prisma es:
A  2  Abase  6  A cara  2  41,52  6  4  10  323,04
29 Tenemos una esfera de radio 2 m dentro de otra de radio 5 m. Calcula el volumen que hay entre las dos
esferas.
Solución:
El volumen que hay entre las dos esferas es igual a la resta del volumen de la mayor menos el volumen de la
menor.
4
4
4
4
4
 R3   r 3   53   23   (125  8)  156  490,09 m3
3
3
3
3
3
.
30 Pepe se ha comprado una bola de cristal. La bola mide 12 cm de diámetro. Pepe quiere averiguar cuanto
pesa la bola, ¿podrías calcular su peso sabiendo que 1 cm3 pesa 30 g?
Solución:
Volumen total de la esfera:
4
4
V   R3    63  904,78 cm3
3
3
Luego pesará:
904,78  30  27143 g  27,143 kg
31
36 m 3
El volumen de una esfera es
. Calcula la superficie de la esfera.
Solución:
Primero calculamos el radio de la esfera:
4
3 V 3 3  36 3
V   r3  r  3

 27  3 m
3
4
4
Aplicamos la fórmula de la superficie esférica:
A  4 r 2  4  32  36 cm2
32 Calcula el volumen y el área de la siguiente pirámide.
Solución:
V
1
 Abase  h
3
El volumen es:
Nos falta calcular el área de la base. Aplicamos el teorema de Pitágoras para calcular la apotema de la base.
32  a2  1,52  a  6,75  2,6
Abase  6 
3  2,6
 23,4
2
El área de la base es:
V
1
 23,4  7  54,6
3
Luego el volumen es:
Para calcula el área de la pirámide nos falta calcular la altura de un triángulo de la pirámide, aplicando el teorema
de Pitágoras:
l2  h2  a2  l  72  2,62  7,47
Un triángulo de la pirámide tiene de área:
3  7,47
A triángulo 
 11,21
2
El área de toda la pirámide es:
A  Abase  6  A triángulo  23,4  6  11,21  90,66
33 Dado el siguiente prisma recto de base un rectángulo, calcula:
a) El área de las bases.
b) El área de las caras laterales.
c) El área de todo el prisma.
d) El volumen del prisma.
Solución:
5  3  15 cm2
a) Área de una base:
2  15  30 cm2
Área de las dos bases:
7  5  35 cm2
b) Área de una cara lateral:
3  7  21cm2
Área de otra cara lateral:
2  21 2  35  112 cm2
Área de las cuatro caras laterales:
112  30  142 cm2
c) Área de todo el prisma:
3  5  7  105 cm3
d) Volumen del prisma:
34 Dada la siguiente pirámide de base un cuadrado de lado 8 cm y altura 10 cm, calcula:
a) El área de la base.
b) El área de las caras laterales.
c) El área de toda la pirámide.
d) El volumen de la pirámide.
Solución:
82  64 cm2
e) Área de la base:
f) Calculamos la altura de una cara por medio del teorema de Pitágoras:
102  42  h2  h  116  2 29 cm
8  2 29
 8 29 cm2
2
Área de una cara lateral:
4  8 29  32 29 cm2
Área de las cuatro caras laterales:
64  32 29 cm2
g) Área de toda la pirámide:
35 Calcula el área de las caras de un tetraedro de arista 4 cm.
Solución:
El tetraedro está formado por cuatro triángulos equiláteros de lado 4 cm.
A
4h
 2h
2
Cada triángulo tiene de área:
. Nos falta calcular la altura h del triángulo.
42  22  h2  h  16  4  12  2 3 cm
Aplicando el teorema de Pitágoras:
.
A  2  h  2  2 3  4 3 cm2
El área de un triángulo es:
El área del tetraedro es:
.
AT  4  A  4  4 3  16 3  27,71 cm2
36 Determina la superficie mínima de papel para envolver un prisma hexagonal regular de 1 m de lado de la
base y 2 m de altura.
Solución:
Dividimos el hexágono en seis triángulos equiláteros, la altura de este triángulo es por el teorema de Pitágoras:
12  a2  0,52  a  0,75  0,87 m
Abase  6 
El área de la base es:
1 0,87
 2,61 m2
2
.
AT  1  2  2 m2
El área de cada rectángulo lateral es:
.
A  2  Abase  6  AT  2  2,61  6  2  17,22 m2
El área de todo el prisma es:
.
17,22 m2
Nos hacen falta al menos
de papel.
37 En un cilindro recto el radio de la base mide 8 cm y la altura 15 cm. Calcula:
a) El área de la base.
b) El área lateral.
c) El área de todo el cilindro.
Solución:
g)
h)
i)
Abase   r 2    82  64  cm2
Área de la base:
Alateral  2  r h  2   8  15  240  cm2
Área lateral:
A total  2  A base  A lateral  2  64   240   368  cm2
Área de todo el cilindro:
38 Calcula la superficie total de una semiesfera de diámetro 4,6 cm.
Solución:
El área de una esfera entera es:
Ae  4 r 2  4  2,32  66,48 cm2
Como es una semiesfera es la mitad más el área de un círculo de radio el radio de la esfera:
66,48
A
   2,32  49,86 cm2
2
39 El radio de una esfera mide 2,1 m. Calcula:
a) El área de la superficie.
b) El volumen de la esfera.
Solución:
A  4  r 2  4    2,12  55,42 m2
j)
Área de la superficie:
V
4 3 4
r    2,13  38,79 m3
3
3
k) Volumen de la esfera:
40 Calcula el lado de un cubo con igual volumen que una esfera de diámetro 3,2 m.
Solución:
Primero calculamos el volumen de la esfera:
4
4
Vesfera   r 3   1,63  17,16 m3
3
3
Como el volumen del cubo debe ser igual al de la esfera:
Vesfera  Vcubo  17,16  l3  l  3 17,16  2,58 m
41 Dado el siguiente prisma recto de base un triángulo equilátero, calcula:
a) El área de las bases.
b) El área de las caras laterales.
c) El área de todo el prisma.
d) El volumen del prisma.
Solución:
S
El área de un triángulo equilátero de lado a es:
42  3  16 3 cm2
h) Área de una base:
2  16 3  32 3 cm2
Área de las dos bases:
a2 3
4
8  12  96 cm2
i)
Área de una cara lateral:
3  96  288 cm2
Área de las tres caras laterales:
288  32 3 cm2
j)
Área de todo el prisma:
16 3  12  192 3 cm3
k) Volumen del prisma:
42 Halla el volumen de la siguiente tuerca hexagonal de lado 2 cm, altura 2 cm, y el cilindro central de
diámetro 0,5 cm.
Solución:
Calculamos primero el volumen del prisma hexagonal de lado 2cm.
Área del hexágono:
22  12  h2  h  3 cm  A  6 
2 3
 6  3  10,39 cm2
2
Volumen del prisma:
Vprisma  A  2  12 3  20,78m3
Volumen del cilindro:
2

 0,5 
Vcilindro    
  2   0,39 cm3
2
8


Volumen de la tuerca:
V  Vprisma  Vcilindro  20,78  0,39  20,39 cm3
43 Halla el área y el volumen del siguiente cuerpo compuesto donde las medidas están en metros.
Solución:
Para calcular el volumen se puede descomponer el cuerpo en cuatro ortoedros de dimensiones 5x5x20:
V  4  5  5  20  2000 m3
El área:
A  7  5  20  20  15  8  5  5  700  300  200  1200 m2
44 Halla el volumen de los siguientes cuerpos compuestos donde las medidas están en centímetros.
a)
b)
Solución:
a) Este cuerpo se puede ver como 3 ortoedros de medidas 2,2 y 5 cm.
V  3  2  2  5  60 cm3
b) Es la suma de dos cilindros.
V  Vc. mayor  Vc. menor    0,52  5    1,52  10  74,61cm3
45 Calcula los lados del triángulo más grande que se puede construir sobre un ortoedro de aristas 2, 3 y 4m.
Solución:
El triángulo equilátero más grande que se puede construir es el marcado en la figura. Luego los lados del triángulo
son las diagonales de las caras de l ortoedro.
Aplicando el teorema de Pitágoras varias veces:
2
2
2
l1  22  32  l1  13 m l2  22  42  l2  20  2 5 m l3  42  32  l3  5 m
,
,
13 2 5 5 m
Los lados del triángulo miden
,
y
.
46 Calcula el área del triángulo más grande que se puede construir sobre un ortoedro de aristas 2, 2 y 5m.
Solución:
El triángulo equilátero más grande que se puede construir es el marcado en la figura. Luego los lados del triángulo
son las diagonales de las caras de l ortoedro.
Aplicando el teorema de Pitágoras varias veces:
2
2
2
l1  l2  22  52  l1  l2  29 m l3  22  22  l3  2 2 m
,
29 m
2 2m
El triángulo pedido es un triángulo isósceles de lado igual
y lado desigual
.
Calculamos la altura de este triángulo por medio del teorema de Pitágoras:
 2   h   29   h 
2
2
2
27  3 3 m
El área del triángulo es:
AT 
2 2 3 3
 3 6  7,35 m2
2
47 En un tronco de cono el radio de la base mayor mide 12 cm, el radio de la base menor 3 cm y la altura 12
cm. Calcula:
a) El área de la base menor y mayor.
b) El área lateral.
c) El área de todo el tronco de cono.
d) El volumen del tronco de cono.
Solución:
Abase menor   r 2    32  9  cm2
Área de la base menor:
Abase mayor   r 2    122  144  cm2
Área de la base mayor:
a) Calculamos la generatriz por medio del teorema de Pitágoras:
g2  92  122  g  15 cm
Área lateral:
Alateral   (R  r ) g    (3  12)  15  225  cm2
Atotal  Abase menor  Abase mayor  Alateral  9   144   225   378  cm2
b) Área de todo el tronco de cono:
Vamos a calcular la altura del cono completo por semejanza:
9 12

x4
3
x
h  12  x  12  4  16 cm
La altura del cono completo es
V  Vcono grande  Vcono pequeño 
144   16 9   4

 756  cm3
3
3
48 Halla el volumen de los siguientes cuerpos compuestos donde las medidas están en centímetros.
a)
b)
Solución:
V  Vcono  Vcilindro 
1
   0,52  2    0,52  10  8,38cm3
3
V  Vcono  Vesfera 
1
4
   22  6     23  58,64 cm3
3
3
c)
d)
49 Luis dispone de 4000 €. Quiere recubrir una cuarta parte de una esfera, de radio 8 m, con placas de titanio.
El titanio cuesta a 20 € el metro cuadrado. ¿Puede Luis recubrirla?
Solución:
Necesitamos calcular el área de la superficie de la esfera:
A  4  R 2  4  8 2  576   804,24 m2
La cuarta parte de una esfera tiene la cuarta parte de superficie:
804,24
 201,06 m2
4
Recubrirla cuesta:
201,06  20  4021,2
€
por lo que Luis no puede recubrirla ya que le faltan 21,2 €.
50 Calcula el área del triángulo equilátero más grande que se puede construir sobre un cubo de lado 8 m.
Solución:
El triángulo equilátero más grande que se puede construir es el marcado en la figura.
Aplicando el teorema de Pitágoras, el lado del triángulo es:
l2  82  82  l  8 2 m
Nos falta calcular la altura del triángulo, volviendo aplicar el teorema de Pitágoras:
8 2 
2
 
 h2  4 2
El área pedida es:
2
 h  128  32  96  4 6 m
A
8 24 6
 32 3  55,43 m2
2
51 Calcula el área del siguiente poliedro:
Solución:
El área está formada por dos cruces, ocho rectángulos de lados 4 y 7, y cuatro rectángulos de lados 2 y 7.
Una cruz está formada por 4 rectángulos de lados 2 y 4 y un cuadrado central de lado 2:
A cruz  4  (2  4)  2  2  32  4  36
Área rectángulos 4x7:
A 4 x7  4  7  28
Área rectángulos 2x7:
A 2x7  2  7  14
Área total:
A  2  Acruz  8  A 4x7  4  A2x7  2  36  8  28  4  14  352 u2
52 Carlos puede cargar con 32 kg de peso. ¿De qué tamaño puede fabricar una bola de hielo, sabiendo que 1
decímetro cúbico pesa 874 g?
Solución:
El volumen máximo que se puede conseguir es:
32
 36,61 dm3
0,874
Calculamos el radio de la esfera:
4
4
V   R3  36,61    R3  R  2,06 dm
3
3
53 Ana realiza el siguiente razonamiento:
“tengo una esfera de radio 2 m, si quiero tener una esfera con el doble de superficie basta con duplicar el
radio”.
¿Es correcto el razonamiento de Ana?
Solución:
No es correcto, ya que al duplicar el radio, la superficie esférica queda multiplicada por cuatro.
54 Halla el área y el volumen de la siguiente figura.
Solución:
El volumen es 3/4 del volumen de una esfera:
3 4
V      53  392,7 cm3
4 3
El área es 3/4 del área de una esfera mas la de dos semicírculos:
A
3
  52
 4    52  2
 100   314,16 cm2
4
2
55 El granito cuesta 0,12 € por centímetro cúbico. Calcula el radio de la esfera de granito, de mayor radio
posible, que se puede conseguir con 50 €.
Solución:
El volumen máximo que se puede conseguir es:
50
 417,67 cm3
0,12
Calculamos el radio de la esfera:
4
4
V   R3  417,67    R3  R  4,64 cm
3
3
1
Si el radio medio de la Tierra mide 6371 km, ¿cuánto mide el arco de una circunferencia máxima
correspondiente a cinco grados?
Solución:
La longitud de la circunferencia máxima es:
L  2 r  2  6371
El arco correspondiente a 5º:
2  6371
l
 5  555,97 km
360
2
Indica la longitud de las siguientes coordenadas geográficas:
77 17 N 43 31 O
a)
134 21 S 78 40 E
b)
Solución:
La longitud es la medida del ángulo que forma el plano del meridiano de Greenwich con el meridiano que pasa por
esa coordenada.
43 31 O
a)
78 40  E
b)
3
¿Cuántas horas tienen de diferencia dos personas situadas sobre los puntos de coordenadas
34 17  N 25 10  O 65 33 S 64 50 O
y
?
Solución:
La Tierra se divide en 24 husos distintos, cada uno con una hora distinta. Los 360º entre 24 da 15º. Cada huso está
a 15º de diferencia.
25 10O
64 50
La persona que está a longitud
está en el segundo huso, mientras la que está en
en el quinto
huso. Luego tienen 3 horas de diferencia.
4
¿Cuántas horas tienen de diferencia dos personas situadas sobre los puntos de coordenadas
10 17 N 75 45 O 43 43 S 14 31 O
y
?
Solución:
La Tierra se divide en 24 husos distintos, cada uno con una hora distinta. Los 360º entre 24 da 15º. Cada uso está
a 15º de diferencia.
75 45O
14 31
La persona que está a longitud
está en el sexto huso, mientras la que está en
en el primer huso.
Luego tienen 5 horas de diferencia.
5
Calcula la medida que falta, sabiendo que el radio medio de la Tierra mide 6371 km.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
R2  H2  35002  H  63712  35002  28339641  5323,5 km
6
Calcula las medidas que faltan, sabiendo que el radio medio de la Tierra mide 6371 km.
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
R2  A2  15002  A  63712  15002  3833641  6191,9 km
La otra distancia pedida es:
B  6371  1500  4871 km
7
¿Cuántas horas tienen de diferencia dos personas situadas sobre los puntos de coordenadas
23 34 N 26 31 O 14 13 S 11 22 E
y
?
Solución:
La Tierra se divide en 24 husos distintos, cada uno con una hora distinta. Los 360º entre 24 da 15º. Cada huso está
a 15º de diferencia.
26 31 O
11 22 E
La persona que está a longitud
está en el segundo huso al oeste, mientras la que está en
, en el
primer huso al este. Luego tienen 3 horas de diferencia.
8
Dos ciudades están sobre el ecuador, pero en meridianos separados por 16º. ¿Cuál es la distancia que
separa a las ciudades?
Solución:
La longitud del ecuador es:
L  2 r  2  6371
El arco correspondiente a 16º:
2  6371
l
 16  1779,12 km
360
9
Dos ciudades están sobre el ecuador, pero en meridianos separados por 35º. ¿Cuál es la distancia que
separa a las ciudades?
Solución:
La longitud del ecuador es:
L  2 r  2  6371
El arco correspondiente a 35º:
2  6371
l
 35  3891,82 km
360
10 Si el radio medio de la Tierra mide 6371 km, ¿cuánto mide el arco de una circunferencia máxima
correspondiente a dos grados?
Solución:
La longitud de la circunferencia máxima es:
L  2 r  2  6371
El arco correspondiente a 2º:
2  6371
l
 2  222,39 km
360
11 Si una persona está a 90º de latitud, ¿dónde se encuentra?
Solución:
Sólo hay dos puntos que están a latitud 90º, el polo norte o el polo sur.
12 Calcula el radio del paralelo que tiene perímetro igual al radio de la Tierra. El radio de la Tierra es 6371 km.
Solución:
El perímetro de una circunferencia es:
2 r
Luego:
2 r  R  r 
R 6371

 1013,98 km
2
2
13 La antípoda de la ciudad A es B. Sabemos que B está sobre el ecuador. ¿Qué podemos decir sobre donde
está A? Calcula la distancia que las separa. (R=6371 km)
Solución:
Si B está sobre el ecuador, también lo está A por ser la antípoda de B.
La distancia que las separa es la mitad del ecuador:
2 r 2  6371
L

 20015,09 km
2
2
14 Un paralelo corta perpendicularmente al eje de la Tierra a 3200 km del polo. Calcula el perímetro del círculo
paralelo. (R=6371 km)
Solución:
B=6371-3200=3171 km.
Por el teorema de Pitágoras:
R2  A 2  B2  A  63712  31712  5525,09km
El perímetro es:
p  2A  2·5525,09  32264,72km
15 Un paralelo corta perpendicularmente al eje de la Tierra a 1800 km del polo. Calcula el área del círculo
paralelo. (R=6371 km)
Solución:
B=6371-1800=4571 km.
Por el teorema de Pitágoras:
R2  A2  B2  A  63712  45712  19695600  4437,97 km
El área es:
Area   A2   4437,972  61875482,28 km2
16 Un paralelo corta perpendicularmente al eje de la Tierra a 2600 km del ecuador. Calcula el perímetro del
círculo paralelo. (R=6371 km)
Solución:
Por el teorema de Pitágoras:
R2  A2  B2  A  63712  26002  33829641  5816,33 km
El perímetro es:
p  2 A  2  5816,33  36545,08 km