rubrica para medir el examen final de cálculo diferencial e integral

RUBRICA PARA MEDIR LA PC1 DE CÁLCULO DIFERENCIAL E
INTEGRAL DE UNA VARIABLE
Satisfactorio
Regular
Mal
Describe y utiliza
La explicación es
La explicación
Definición y
parcial, pero es
demuestra un
utilización de correctamente los
conceptos de LÍMITE,
consistente con las
entendimiento muy
conceptos
CONTINUIDAD y del
notaciones.
limitado de los
TEOR. DEL VALOR
conceptos
INTERMEDIO justifica
subyacentes.
sus procedimientos y los
aplica consistentemente.
Omite la palabra lim, Hay poco uso o
Terminología Utiliza correctamente la
notación de límite y la
cuando quiere
mucho uso
y notación.
diferencia con la función describir
inapropiado de la
(Habilidad
evaluada en un punto,
acercamiento,
terminología y la
transversal)
determina correctamente responde
notación.
el dominio de una
consistentemente a
función y lo expresa en
pesar del error.
términos de intervalo.
Aplica correctamente las Comete algunos
No utiliza
Cálculo
propiedades y los
errores en la
adecuadamente los
algoritmos durante la
utilización de algún
algoritmos, o
resolución de una
algoritmo, pero es
aplica
situación.
consistente con
incorrectamente las
dichos errores.
propiedades de los
límites.
Plantea los límites
Da las respuestas,
Aplicaciones Usa correctamente la
herramienta LÍMITE para necesarios para
sin utilizar
determinar si una función determinar las A. H y procedimientos, o
tiene Asíntotas
A. V, pero los
no utiliza
Horizontales (A. H) y
procedimientos no
adecuadamente los
Verticales (A. V),
son consistentes o no algoritmos para el
describiendo
plantean
cálculo de los
correctamente las
correctamente las
límites.
ecuaciones de dichas
ecuaciones de dichas
asíntotas.
asíntotas.
Ejes no orientados,
La gráfica no
Precisión del Los ejes son
perpendiculares entre si,
con escala no
corresponde con el
trazado
utiliza una escala
uniforme. La gráfica análisis hecho.
apropiada. Todos los
no se corresponde
puntos y
con algunos de los
comportamientos están
datos.
correctamente trazados.
A continuación se dan ejemplos de cómo estudiantes respondieron a preguntas
donde se miden las habilidades declaradas en esta RUBRICA, la muestra que se
toma es de la PC 1 del ciclo 2006-II, se señalan con precisión algunos de los errores
que con mayor frecuencia comenten los estudiantes.
Rubrica, elaborada por Mg. José I. Cuevas González, coordinador del curso MA 83
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Interpretación y precisión en el trazado
1. Construya la gráfica de una función f que cumpla todas las siguientes condiciones:
f(0) = f(2) = f(7) = 0; lim f ( x)   ; lim f ( x )   ;
x 3
x 3
lim f ( x)  2 ; lim f ( x)  2 ; lim f ( x)  0 ; Dom(f) = R
x 
x 
x 5
Solución: Respuesta regular
No orienta
los ejes
Demuestra
claramente
que no tiene el
concepto
y = 2 de
función
x=3
1
y = –2
No establece
una escala
Nota: Algunas de las condiciones pedidas las cumple.
Solución: Respuesta satisfactoria
y
x=3
y=2
2
1
-1
–2
1
2
3
4
5
6 7
y = –2
La anterior es una de las funciones que satisface todas las condiciones pedidas. Por supuesto que
existen otros muchos ejemplos.
Cálculo
( x  1)( x  2)
2. Calcular el siguiente límite lim
x 
3x
Incorrecto, mal
aplicada la
propiedad de las
límites.
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Solución: Respuesta regular
lim
( x  1)( x  2) x 
=
3x
x  1x  2
lim
x  1x  2
lim
x  1x  2
x 
1
x2
x


x 
3x
lim 3 x
lim 3
3
lim
x 
x 
x  x
Nota: Como pueden observar la propiedad esta mal aplicada ya que los límites de
ambas funciones no existen, a pesar del error cometido se es consecuente con el mismo
y valor del límite coincide con la respuesta. Ojo con las propiedades, que no se
pueden usar indiscriminadamente.
lim

x 
Solución: Respuesta satisfactoria
 1  2 
 x  1  x  2 
( x  1)( x  2)
1  1  



2
( x  1)( x  2)
x  x 

 x  x 
x
= lim
= lim
= lim
lim
x

x 
x

x

3
3x
3
3
=
11
3

1
3
Análisis y utilización de conceptos
3. Empleando la definición de continuidad, halle el valor de k (k > 2) de manera que la función
f sea continua en x = 2.
x 1
f ( x)  
2 x  k
si x  2
si x  2
Solución: Respuesta satisfactoria
Para responder ha esta pregunta, se debe conocer la definición precisa de continuidad en
un punto, la cual dice que f es continua en un punto si lim f  x   f a  y tener muy
xa
claro el concepto de valor absoluto.
f(2) = 1
lim f ( x)  lim ( x -1)  1
x  2
x2
lim f ( x)  lim 2 x  k
x  2
x 2
lim f ( x)  lim 2 x  k = 2 lim x  k = 2 lim  ( x  k )  pues x – k < 0
x  2
x 2
x 2
x 2
= 2(k – 2)
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Para garantizar la continuidad en x = 2 basta que: 2(k – 2) = 1
2k – 4 = 1, de donde:
k
5
2
Empleando la definición de continuidad, halle el valor de k (k > 2) de manera que la función f sea
continua en x = 2.
x 1
f ( x)  
2 x  k
si x  2
si x  2
Solución: Respuesta regular
Para responder ha está pregunta, debe dominar tres aspectos que son fundamentales:
1. El significado del concepto de existencia y unidad del límite
lim f  x   L  lim f x   lim f  x   L
x a
x a
xa
2. La definición de continuidad: que dice que una función es continua en un punto si se verifica
que lim f  x   f a  .
xa
3. La interpretación del concepto de valor absoluto.
Solución:
lim f  x   lim f  x 
x2
x2
x 1  2 x  k
Incorrecto
Bien aplicada la
definición de
valor absoluto
x  1  2 x  k  , Para garantizar la continuidad en x = 2 basta que: 2(k – 2) = 1
2k – 4 = 1, y como la función evaluada en el punto es f(2) = 1
5
2
Nota: La respuesta es correcta, sin embargo se ha cometido errores de consistencia,
algunas conclusiones son correctas. Ojo con la definición de continuidad, NO se
igualan las funciones si no se analiza como se comportan las imágenes en las
cercanías de los puntos.
Concluimos que:
k
Definición y utilización de conceptos
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4. Determine la veracidad o falsedad de cada una de las siguientes afirmaciones. En cada caso,
justifique su respuesta.
(1 pto c/u)
a) Si f(x) es continua en el intervalo (2, 5] entonces es continua en x = 5.
b) Puede asegurarse que en el intervalo (1, 2) existe un número tal que la suma de su
cuadrado más su raíz cuadrada es igual a 4.
Solución: Respuesta satisfactoria
Solución:
a)
Falso. La continuidad en un intervalo cerrado por la derecha (en este caso en x = 5) solo
requiere de la continuidad por la izquierda de x = 5. De manera que f no tiene por que
ser continua en x = 5.
b)
Si x representa al número en cuestión, deberá cumplir que:
x2  x  4
Ojo con esta consideración, es la clave
para una respuesta correcta
Si definimos la función: f ( x)  x2  x
f es continua en [1, 2] (de hecho, es continua para todo x  0). Por otra parte,
f (2)  4  2  4
y
f (1)  1  1  2  4
De acuerdo con el teorema del valor intermedio, existe un número en (1, 2)
donde f toma el valor 4, que es solución de la ecuación planteada.
Solución: Respuesta regular
a) Falso. Porque el intervalo es semi abierto, y para que exista continuidad lateral la función
debe estar definida en el punto.
Nota: Esta respuesta establece que no se ha entendido la pregunta. Este tipo de pregunta, se
debe entender muy bien, se recomienda que el todo se descomponga en sus partes
integrantes y se analice cada aspecto de la pregunta.
b) Si porque si resolvemos la ecuación se demuestra que existe un valor de x que reemplazado en la
misma da 4.
Esta respuesta demuestra que conoce muy bien el concepto de solución de una ecuación, lo que pasa
que analíticamente no es posible encontrarla, es por ello que el teorema del valor intermedio que
es para funciones continuas (instrumental), nos permite analizar si la ecuación tiene solución, más
no encontrar la misma.
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