Conceptos básicos 1

Mat CCSS I
I.E.S. COMPLUTENSE
Tema 9. SUCESIONES Y PROGRESIONES
Resumen
Una sucesión es un conjunto de números dispuestos ordenadamente. A cada uno de los
números se le llama término. Suelen designarse por a1, a2, a3, ..., an.
Ejemplos:
a) 4, 7, 10, 13, ... → a1 = 4, ..., a4 = 13.
b) 2, 3, 5, 7, 11, 13, ... es la sucesión de los números primos.
Término general de una sucesión
Es una fórmula que nos permite obtener el valor de cualquier término en función de la
posición que ocupa.
Ejemplo: La expresión an = 3n + 1 es el término general de la sucesión 4, 7, 10, 13, ....
A partir de esa fórmula podemos obtener, por ejemplo, a25 = 3 · 25 − 1 = 74.
Una sucesión es creciente si cada término es mayor o igual que el anterior: an ≤ an+1. Esto es,
cuando an+1 – an ≥ 0. Ejemplo: La sucesión 1; 1,2; 1,3; 1,4; … es (estrictamente) creciente.
Una sucesión es decreciente si cada término es menor que el anterior: an ≥ an+1. Esto es,
cuando an+1 – an ≤ 0. Ejemplo: La sucesión 1; 1/2; 1/3; 1/4, … es estrictamente decreciente
•
Una sucesión es constante si tiene todos sus términos iguales: an = k, para todo n.
Una sucesión está acotada superiormente si existe una constante k, tal que an ≤ k, para
todo n. Una sucesión está acotada inferiormente si existe una constante k, tal que k ≤ an ,
para todo n.
2n − 1
Ejemplo: La sucesión a n =
es creciente y está acotada superiormente por k = 2.
n+2
•
Introducción al concepto de límite de una sucesión
La sucesión a n tiende a a, a n → a o lím(a n ) = a , si para valores grandes de n la diferencia
a n − a → 0. A las sucesiones que tienen límite se las llama convergentes.
Límite de algunas sucesiones
2
• Las sucesiones de tipo polinómico: a n = P ( n ) → ±∞. Ejemplo: lím ( − n + 17 n + 1) = −∞
•
a n = 1 / P(n) → 0. Ejemplo: lím
•
an =
•
•
1
=0
n − 2n − 1
2
P ( n)
3n + 10
→ 0, si el grado Q(n) > grado P(n). Ejemplo: lím 2
=0
Q ( n)
n +1
n 2 − 3n
P ( n)
→ ∞, si el grado Q(n) < grado P(n). Ejemplo: lím
=∞
an =
Q ( n)
10n + 25
P ( n)
p
an =
→ , si grado Q(n) = grado P(n). siendo p y q los coeficientes principales de
Q ( n)
q
P(n) y Q(n), respectivamente. Ejemplo: lím
3n 2 + 7n − 17
3
=
2
2n − 16n + 39 2
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Progresiones aritméticas
Una sucesión es una progresión aritmética cuando cada término se obtiene sumando al
anterior un número fijo, llamado diferencia de la progresión.
En general, si el primer término es a1 y la diferencia d, la progresión aritmética es:
a1
a n = a n−1 + d
a 2 = a1 + d a3 = a 2 + d a 4 = a3 + d ...
• El término general de una progresión aritmética es: a n = a1 + ( n − 1) d
Ejemplo: La sucesión 1,5, 2, 2,5, 3, 3,5, ... es una p. a. de diferencia d = 0,5.
Término general: a n = 1,5 + (n − 1)·0,5 ⇔ a n = 1 + 0,5n ⇒ a 35 = 1 + 0,5·35 = 18,5 ; a100 = 51 .
( + )n
La suma de los n primeros términos de una progresión aritmética es: S = a1 a n
2
(a + a )·200
Ejemplo: La suma: 1 + 7 + 13 + 19 +… + a200, vale, S = 1 200
.
2
(1 + 1195)·200
Como a1 = 1 y d = 6 ⇒ a200 = 1 + 199 · 6 = 1195, entonces: S =
= 119600 .
2
•
Progresiones geométricas
Una sucesión es una progresión geométrica cuando cada término se obtiene multiplicando el
anterior por un número fijo, llamado razón de la progresión.
Si el primer término de una progresión geométrica es a1 y la razón es r, la progresión será:
a1
a 2 = a1r
a3 = a 2 r
a 4 = a3 r
...
a n = a n −1r
El término general de la progresión geométrica es: a n = a1r n−1
Ejemplo: La sucesión 1, 2, 4, 16, 32, ... es una progresión geométrica de razón r = 2.
Su término general será: a n = 1·2 n−1 = 2 n −1 ⇒ a10 = 2 9 = 512 .
•
•
La suma de los n primeros términos de una progresión geométrica es: S =
•
Si la razón, r, verifica que r < 1 , dicha suma vale: S =
a1 (r n − 1)
r −1
a1 (−1)
a
= 1
r −1 1− r
Ejemplo:
a) La suma de los 10 primeros términos de la progresión 1, 2, 4, 8, ... es
1·(210 − 1)
S=
= 1023 .
2 −1
b) La suma 100 + 50 + 25 + 12,5 + ... (infinitos términos, con r = 1/2) es: S =
100
= 200 .
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